Функционально-геометрический метод решения задач со свободной границей для гармонических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 517.57

003481796

Демидов Александр Сергеевич „ "

О

Функционально-геометрический метод решения задач со свободной границей для гармонических функций

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2008

' 2 ?000

003461796

Работа выполнена на кафедре общих проблем управления Механико-математического факультета

Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Официальные оппоненты:

член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук.

профессор Плотников Павел Игоревич

(Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН)

доктор физико-математических наук,

профессор Афендиков Андрей Леонидович

(Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН)

доктор физико-математических наук, профессор Радкевич Евгений Владимирович (Механико-математический факультет МГУ)

Ведущая организация

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН

Защита диссертации состоится 27 февраля 2009 г. в 16—

на заседании диссертационного совета Д'501.001.85

при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова

по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы,

МГУ им. М.В. Ломоносова,

Механико-математический факультет, аудитория 16-24

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета

Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 23 января 2009 г. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ доктор физико-математическю

профессор

И.Н. Сергеев

1. Общая характеристика работы

В диссертации разработан функционально-геометрический метод исследования широкого круга задач со свободной границей для гармонических функций двух переменных. Этот метод заключается во взаимосвязанном анализе функциональных и геометрических характеристик исходных задач со свободной границей и соответствующих им нелинейных задач Римана-Гильберта с нелинейными функциональными ограничениями. Этот метод позволил найти условия существования или несуществования, единственности или неединственности решений рассмотренных в диссертации задач и установить некоторые качественные свойства решений. В диссертации рассмотрены прямая и обратная задачи о равновесии плазмы в токама-ке, задача о течениях с минимальным отношением экстремальных значений давления на свободной границе, задача об обтекании криволинейного препятствия, частично поглощающего энергию потока, задача Стокса-Лейбензона для Хиле-Шоу течения. Кроме того, разработанный в диссертации функционально-геометрический метод позволил по-новому подойти к вопросу о высокочастотных асимптотиках для гармонических функций и получить в сильной метрике экспоненциально точные вплоть до границы области асимптотики.

Актуальность представленной работы обусловлена как трудностью изучения задач со свободной границей, так и разнообразием важных приложений этого круга задач. К их числу относятся проблемы нелинейной динамики свободной поверхности идеальной жидкости1, включая проблему цунами2, потенциальные течения однофазных3 и многофазных сред4, кавитационные и струйные течения5, задачи фильтрации6, экстремальные задачи со свободной границей7 и ряд других задач8.

'А.И. Дьяченко, В.И. Захаров, Е.А. Кузнецов (1996) Нелинейная динамика свободной поверхности идеальной жидкости. Физика плазмы, Т. 22, № 10, 916-929.

2S.Yu. Dobrokhotov, S.Ya. Sekerzh-Zenkovich, В. Tirozzi, В. Volkov (2006) Explicit asymptotics for tsunami waves in framework of the piston model. Rus. J. Earth. Set., 8, ES4003, doi: 10.2205/2006 ES000215.

3См., например, §3 и §5 диссертации.

4См., в частности, следующие работы:

G. Caginalp (1989) Stefan and Hele-Shaw type problems as asymptotics limits of the phase field equations. Physics Review A 39, No. 11, 5887-5896

П.И. Плотников, B.H. Старовойтов (1993) Задача Стефана, как предел системы фазового поля. Дифф. уравнения, Т. 29, № 3, 461-471

В.Г. Данилов, Г.А. Омельянов, Е.В. Радкевич (1995) Асимптотическое решение системы фазового поля и модефицированная задача Стефана. Дифф. уравнения Т. 31, № 3, С. 483-491

G. Caginalp, X. Chen (2000) Convergence of the phase field model to its sharp interface limits. Eur. J. Appl. Math. 12, 20-42.

5См., например,

Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло (1964) Струи, следы и каверны. "Мир", Москва

М.И. Гуревич (1979) Теория струй идеальной жидкости. Отрывные и кавитационные течения. 2-ое изд. "Наука", Москва. См. также §4 диссертации.

6П.Я. Кочина /П.Я. Полубаринова-Кочина/ (1991). Избранные труды. Гидродинамика и теория фильтрации. "Наука", Москва. См. также §4 диссертации.

7См., например, §3 и §4 диссертации.

8См., в частности, обзор: Дж.Р. Окендон, С.Д. Ховисон (2002) Кочина и Хиле-Шоу в современной

Одной из таких задач является задача, которая была нами поставлена и решена в связи с вопросом, поднятым Е.П. Велиховым в 1972 году о возможности распада на отдельные компоненты связности плазменного разряда. Простейшая задача, соответствующая этому вопросу, такова.

Заданы число М > 0 и симметричная относительно осей х и у плоская спрямляемая кривая Г, ограничивающая односвязную область £ С К2.

а) — Ь)

Рис. 1

Требуется выяснить существует ли расположенные в Б "плазменные" области к ш2, представляющие ортогональные сечения шнура плазменного разряда, состоящие, соответственно, из одной и двух односвяз-нъьх компонент связности (см. рис. 1), спрямляемые границы которых 71 и 72 = к} и Ъ симметричны относительно осей х и у, причем эти области и>\ и таковы, что выполнено следующее свойство.

В "вакуумных" областях Пх = 5 \ (а^ и 71) ив Пг = 5 \ (шг и 72) существуют определенные в П^, где к — 1 или к = 2, гармонические функции и = щ : —» Ж,удовлетворяющие таким граничным условиям:

I

Г= м,

ди

(1)

7 Ы"

Здесь I > О — заданная константа (равная 4 в случае наличия двух осей симметрии), а [7! — заранее не заданная длина9 искомого контура 7 = 7*.

Функционально-геометрический метод в отношении случая Ь) этой задачи характеризуется взаимосвязанным изучением следующих двух объектов:

1) геометрии области О = Пг Л К++ (см.10 рис. 2¡,а) с заданным углом N(3) между осью х и внешней нормалью V к Г в точке Ре 6 Г П

2) соответствующей этой геометрии и условию (1) нелинейной задаче Римана-Гильберта для аналитической функции А + ¿В комплексного переменного и/ = и + ¿и, определенной в прямоугольнике

<5 = {0<г1<М, 0 < и < 1} ф = ъи{0.) (2)

и подчиненной таким нелинейным граничным условиям:

В(и, 0) = 0, В{М,у) = ф), В{и, = 0,«)=0. (3)

математике, естественных науках и технике. Лрикл. Мат. и Механика, Т. 66, вып. 3, 515-524.

'Нормальная производная ди/8и\ определена почти всюду, ввиду сделанного предположения о

спрямляемости 7.

103десь и ниже К* + =' {х > 0, у > 0}.

Рис. 2Ь. Сепаратриса {(х,у) 6 Пг | и(х,у) = С,} проходит через начало координат. Она разделяет топологически различные типы линий уровня функции и : П2 —> К. Через О обозначена область Ог П К5.+.

Здесь <р(ь) = ЛГ(ф)), а(щ)= Г е*^ ¿т], а(1) = |Г|/4.

Jо

ф*(и)=1г/2 при С*<и<М, ф*(и) = 7г при 0 <и<С*,

а число С» (заключенное между нулем и М) характеризуется тем, что выполнено следующее нелинейное функциональное ограничение:

Отметим здесь же, что рассмотрение поставленной задачи в случае а), т.е. задачи (иллюстрируемой на рис. 1а) о существовании кривой 7 = 71, го-меоморфной окружности, связано с задачей Римана-Гильберта для функции А+Ш в том же прямоугольнике при тех же граничных условиях (3), но при ином функциональном ограничении, а именно:

а = 0, а J{v)>0 при 0 < у < 1. (5)

В случае задачи Римана-Гильберта для аналитической функции А + ИЗ, подчиненной необходимым условиям разрешимости (3) и (4) или же необходимым условиям (3) и (5) термин функционально-геометрический метод означает не только то, что указанные необходимые условия были получены на основе геометрических рассмотрений, учитывающих геометрический смысл вещественной и мнимой частей функции А + гВ, названной в диссертации функцией Гельмгольца-Кирхгофа. Термин "функционально-геометрический метод" в данном случае означает также следующее:

1) анализ условий (3) и (5), использующий эллиптическую теорию, теорию интеграла Лебега, а также вариант теории степени отображений Лере-Шаудера, учитывающий (что особенно важно) геометрические характеристики исходной задачи со свободной границей;

И) анализ условий (3) и (4) с помощью принципа максимума для эллиптических уравнений.

Это позволило установить, что при 0 < А^й) < к¡2 есть разрешимость исходной задачи со свободной границей 7 = 71, гомеоморфной окружности, но не существует области ш = и>2 с границей 7 = 72 (как на рис. 2).

Цели диссертации таковы.

Во-первых, разработка функционально-геометрического метода исследования широкого круга задач со свободной границей для гармонических функций, изучение которых ранее вызывало затруднения.

Важный класс таких задач характеризует следующее

Условие Гельмгольца11. Пусть и> = и + т — комплексный потенциал скорости V = Уи течения несжимаемой жидкости в некоторой искомой области П С К2. Требуется, чтобы искомая область П однолистно отображалась на фиксированную одно связную область функцией

ги:£1эг = х + гу1-> ги(г) = и(х, у) + гу(х, у) € £).

Вслед за пионерской работой Гельмгольца11 о форме вытекающей из щели плоской струи было решено12 немало задач этого класса с помощью метода годографа в интерпретации, восходящей к Кирхгофу13 и получившей развитие в работах М. Планка14, Релея15, Н.Е. Жуковского16, С.А. Чаплыгина17, Т. Леви-Чевита18 и многих других. Кирхгоф обратил внимание

на то, что если можно найти область К, = ¿г/йги (назовем ее обла-

ше<2

стью Кирхгофа; она очевидным образом связана с областью годографа

И ё= ¿ш/йх ), то тогда искомая область $7 = { г(ю) = / ии € <3}

может быть найдена путем построения отображения х : <3 —> К посредством' однолистных отображений к и <7 в следующей диаграмме

|£€/С Л* с+э к(я(ю)) Т*

-шеС} С+ э д{ю).

11 Н. Helmholtz (1868) Ueber discontinuirliche Flüssigkeitsbewegungen. Prussichen Academie der Wissenschaften zu Berlin Monatsberichte der Königlich, 215-228.

12См., в частности, примечание С.А. Чаплыгина на стр. 74 к переводу 1902 года в московском изд-ве ПАЛЛА]Г] статьи Гельмгольца, учебник

Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе (1963) Теоретическая гидромеханика, б-ое изд., "Физматгиз", Москва,

а также монографии5 М.И. Гуревича и Г. Биркгофа, Э. Сарантонелло.

13G. KirchhofI (1869) Zur Theorie freier Flüssgkeitsstrahlen. J. reine angew. Math. Grell. Berlin 70, 269298 (см. также: Механика. Лекции по математической физике, АН СССР, Москва, 1962).

14М. Planck (1884) Wiedemann Ann., V.XXI, ser. 2.

15Lord Rayleigh /J.W. Strutt/ (1876) On the resistance of fluids. Phil. Mag., v .II, ser. 5.

l6H.E. Жуковский (1890) Видоизменение метода Кирхгофа для определения движения жидкости в дух измерениях при постоянной скорости, данной на неизвестной границе. Матем. сборник, Т. XV, вып. 1, 121-278 (см. также Собрание сочинений, Т. II, ГИТТЛ, М.-Л., 1949г.).

17С.А. Чаплыгин (1897) О некоторых случаях движения твердого тела в жидкости, Мат. сб., Т. XX.

1ST. Levi-Civita (1907) Scie е leggi di resistenzia. Rend. Circolo Math. Palermo, 23, 1-37.

Согласно этой диаграмме, (¿г/^иг = где к(гп) = к"1 , а ко-

эффициенты а, Ь,спё дробно-линейного автоморфизма полуплоскости С+ находятся (с точностью до пропорциональности) из соответствий, заданных отображениями А; и д. В этом и заключается суть метода годографа.

Итак, в тех простейших случаях, т.е. когда область Кирхгофа /С может быть описана явно19, задачу построения искомого отображения ^ можно свести к построению однолистного отображения н : <3 —» 1С. Это то, чем занимались классики. Но в общем случае область К. не поддается явному описанию, поскольку она характеризуется (например, как в (3)-(4) или в (3), (5)) решением, вообще говоря, нелинейной задачи Римана-Гильберта с нелинейными ограничениями для функции Гельмгольца-Кирхгофа

А + Ш : <3 = Э» = и + г);м Л(и, и) + гБ(и, и) 1п .

ахи

Эта функция полностью20 решает исходную задачу нахождения искомой области течения и его скорости, ибо

Jrw

' 4', ш 6 Я, = г(щ) } , (б)

Именно такая общая ситуация, в том числе та, когда область <3 = не является фиксированной и/или односвязной, представляет особый интерес и значимость. Именно ей посвящена диссертация, в которой вместо метода годографа разработан функционально-геометрический метод для непосредственного построения и анализа функции А + ИЗ, т.е. решения задачи Римана-Гильберта, соответствующей исходной задаче со свободной границей.

Вторая цель диссертации - применение функционально-геометрического метода при решении широкого спектра задач со свободной границей для гармонических функций, инициированных прикладными запросами (физики, механики, ...). Этому посвящены

Глава 1, Прямая и обратная задачи о равновесии плазмы в токамаке

§1. Обратная задача о равновесии плазмы в токамаке

§2. Прямая задача о равновесии плазмы в токамаке

Глава 2. Эстремальные задачи со свободной границей

§3. Плоские стационарные течения с минимальным отношением экстремальных значений давления на свободной границе

19В таких случаях область К. обычно выявляется из общефизических соображений, которые могут быть обоснованы апостериори или с помощью не всегда тривиальных математических рассуждений.

20При условии, что формула (б) определяет однолистное отображение. Это надо проверять отдельно.

§4. Стационарное обтекание по схеме Кирхгофа криволинейного препятствия, частично абсорбирующего энергию потока, и оценка максимально возможного КПД турбин в открытом потоке

Глава 3. Задача Стокса-Лейбензона (для Хиле-Шоу течения)

§5. Возмущение окружности

§6. Квазиконтурная модель. Аттрактирующее многообразие

Третья цель диссертации состоит в том, чтобы показать возможности применения разработанного функционально-геометрического метода к иного рода задачам. Этому посвящена

Глава 4. Высокочастотные асимптотики

§7. Векторные поля, определяющие экспоненциально точные высокочастотные асимптотики гармонических функций в плоской области

§8: Задача Олейник-Темама об усреднении

§9. Асимптотика в областях с сильно гофрированной границей

Методы исследования — это взаимосвязанный анализ геометрических характеристик исходной задачи со свободной границей и функциональных свойств соответствующей ей линейной или нелинейной задачи Римана-Гильберта с нелинейными функциональными соотношениями на ее решение, методы общей теории эллиптических дифференциальных уравнений, функциональный анализ, теория степени Лере-Шаудера и теория функций комплексного переменного. В ряде случаев проводимые исследования дополняются построением асимптотик и численным анализом.

Научная новизна и основные результаты.

Все результаты диссертации впервые получены автором. При этом был применен разработанный в диссертации функционально-геометрический метод. Вкратце, результаты таковы.

(1) Получена двусторонняя поточечная оценка21

ди дV

е'ш < — Ре Г ду

^ ди р=р(р)67 д1>

еш, к = к{Г) (7)

РеГ

для искомой гармонической функции и, определенной в двусвязной области 0(7, Г, М), ограниченной искомой линией уровня у = {и(х,у) = 0} и

заданной кривой Г = {и(х,у) = М} при условии, что ^ди/дийГ Ф ' 1. Этот результат22 имеет отношение к одной из центральных проблем управляемого термоядерного синтеза, а именно, к так называемой обратной за-

21Отметим, что ди/ду\Т е2'м = (1/2тгр) в случае, когда Г и 7 — концентрические окруж-

ности радиусов, равных, соответственно, Я = 1 и р = ехр (—2-пМ). "Первая, во более слабая оценка | была ранее получена автором и его аспиранткой в работе А.С, Демидов, В.В. Петрова (1994) Обратная задача со свободной границей в теории равновесной плазмы. Дифф. уравнения, Т. 30, №6,1034-1038.

даче23 о равновесии плазмы, в которой ставится вопрос о возможности классификации различных типов распределения тока в плазме по данным магнитной диагностики, т.е. по значениям .

Вспомогательной в решении проблемы классификации распределения тока в плазме является прямая задача. Один из ее вариантов — это обобщение задачи о гармонической функции и в области О,, у которой задана внешняя граница Г, а внутренняя 7, являющаяся искомой, подчинена условиям (1). Обобщение заключается в том, что условие ди/ди| = //17'|

заменяется на условие

(8)

ди !h>

т.е. условие того типа, которое фигурирует в оценке (7). Здесь s — натуральный параметр на искомом контуре 7, a q — заданная положительная функция на [0,1]. Задание функции q частично определяет прямое, т.е. непосредственное задание распределения тока в плазме. В терминах функции q и геометрических характеристик заданной кривой Г = {и(х, у) = М} для этой прямой задачи получены достаточные условия как для существования, так и для несуществования, как для единственности, так и для неединственности равновесных плазменных конфигураций 7 = 7^ в заданном топологическом классе, соответствующем к компонентам связности плазмы. Для скицированного тока, что соответствует условию

ди/ди\=1/Ь I, (9)

и для специального семейства внешних контуров Г, имеющих две оси симметрии, дано полное описание всех симметричных, а также несимметричных плазменных конфигураций, включая их бифуркацию и топологические перестройки. Кроме того, в случае q = const доказано существование выпуклой кривой 7 = 7i для произвольного выпуклого контура24 Г.

Вот два замечания о научной новизне результатов по прямой задаче.

Замечание 1. Условие (9) было сформулировано в работах автора в соответствии с анализом размерности. Если пренебречь этой физической аргументацией и заменить условие (9) на более "простое"

ди/др I = С, С = const, (10)

то возникнут трудности25 даже при полярной симметрии: если Г - окружность единичного радиуса, а р < 1 - искомый радиус окружности 7, концен-

23Эта задача о реконструкции функции j : 5 —> R исходя из приведенных ниже соотношений (13)-(17). Об имеющихся на данный момент математических результатах по обратной задаче см. сноску47.

24Параллельно, этот результат, как решение задачи A.C. Демидова, был получен с помощью вариационных неравенств Йонгом Лю (диссертантом Авнера Фридмана) в работе

Y. Liu (1995) The equilibrium plasma subject to skin effect. SIAM J. Math. Anal., 26, No. 5(Sept.), 1157-1183.

25И.И. Данилкж (1972) Об интегральных функционалах с переменной областью интегрирования. Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова, Т. 118.

тричной с Г, то при С > Me задача имеет два решения, определяемых из уравнения Cpln(l/p) = М, но не имеет ни одного решения, если С < Me.

Впрочем, таких трудностей не возникает, если свободная граница 7 (го-меоморфная окружности) является внешней по отношению к заданной границе Г. В частности, при полярной симметрии однозначная разрешимость есть следствие того, что функция р\п(1/р) строго монотонно убывает при р > 1. Соответствующая этому случаю физическая задача приводит26 к условию (10). При этом имеется теорема об однозначной разрешимости27.

Замечание 2. Различным постановкам прямой задачи о равновесии (т.е. различным способам задания распределения тока) посвящено множество вычислительных работ физиков28. Первая математическая работа29 [1] по этой тематике была начальной для того направления математического исследования этой задачи, которое развивалось диссертантом [1]-[7], [9], [13], [15]-[17]. Спустя год после публикации [1] возникло второе направление математического исследования прямой задачи о равновесии плазмы в тока-маке. Оно было начато в статье Р. Темама30, последующей заметке А. Бе-рестики и X. Брезиса31 и продолжено в исследованиях многих авторов32. Если говорить коротко, в этом направлении исследований задается функция /:МЭин /(-и) > 0, равная нулю при и > 0, и анализируется вопрос существования решения и 6 Cl(S) уравнения Au = /(и), подчиненное условию: u\s— M > 0, Js f(u(x, y)) dxdy = 1. Однако при этом возникает (отнюдь не простой) вопрос: чем является множество нулей этого решения? Частично этот вопрос был изучен в работах33 Каффарелли, Киндерлерера,

26A. Beurling (1957) On free-boundary problems for the Laplace equation. Semin. on Analytic Functions., N.Y. Inst. Adv. Study, V.I, 248-263.

27 A. Acker (1989) On the qualitative theory of parametrized families of free boundaries. J. Reine Angew. Math., V. 393, 134-169.

28См., в частности, библиографию в книгах

J.P. Freidberg (1987) Ideal Magnetohydrodynamics, Plenum, New York.

J. Blum (1989) Numerical Simulation and Optimal Control in Plasma Physics (With Applications to Tokamaks). Chichester-New York-Brisbane-Toronto-Singapore. John Wiley & Sons.

Ю.Н. Днестровский, Д.П. Костомаров (1993) Математическое моделирование плазмы. "Наука", Москва.

29В квадратных скобках указаны работы из списка, приведенного в конце автореферата.

30R- Тешат (1975) A non-linear eigenvalue problem: The shape at equilibrium of a confined plasma. Arch. Ration. Mech. 60, №1, 51-73.

31H. Berestycki, H. Brezis (1976) Sur certains problèmes de frontière libre. C.R. Acad. Sci. Paris 283, Série A, 1091-1094.

З20тметим лишь следующие работы:

R. Temara (1977) Remarks on a free boundary problem arising in plasma physics. Commun. P.D.F. 1, №6, 563-585.

J.-P. Puel (1977) Sur un problème de valeur propre non linéaire et de frontière libre. C.R. Acad. Sci. Paris 284 Série A, 861-863.

H. Berestycki, H. Brezis (1980) On a free boundary problem arising in plasma physics. Nonlinear Anal. Theory Methods Appl 4, 415-436.

A. Ambrosetti, G. Mancini (1980) A free boundary problem and a related semilinear equation Nonlinear Anal. Theory, Methods Appl, v. 4, 909-915.

M. Sermange (1980) Bifurcation of free boundary plasma equilibria. Duke Math. J. 47 923-942.

33D. Kinderlehrer, L. Nirenberg (1977) Regularity in free boundary problems. Ann. Scu. Norm. Sup. Pisa,

Ниренберга и Спрука (см. также библиографию в книге34 А. Фридмана).

Первое же направление исследований имеет непосредственное отношение к физике дела. Здесь речь заранее идет о (спрямляемой) нулевой линии уровня функции и, а вовсе не о каком-то множестве нулей этой функции. Кроме того, в качестве аргумента прямой задачи здесь предъявляется не та характеристика, которая является искомой в основной (т.е. обратной) задаче о равновесии, а функция д в условии (8), т.е. та величина, которая может быть в какой-то мере известна, в частности, благодаря оценке (7).

(2) В качестве одного из примеров задачи о плоском стационарном потенциальном течении несжимаемой жидкости (или, в другой интерпретации, о стационарном тепловом потоке) с минимальным отношением экстремальных значений модуля скорости на свободной границе, рассмотрена задача, возникшая в авиационном научно-техническом комплексе им. А.Н. Туполева. Задача связана с проблемой обледенения элементов корпуса летательных аппаратов. Речь идет о выборе формы полоски фольги, по которой пропускается электрический ток. Требуется минимизировать риск перегорания фольги за счет выбора формы полоски фольги, обе кромки которой 7± вынуждены (в силу некоторых конструктивных особенностей) проходить через заданные точки. Математическая формулировка такова: выбрать такую криволинейную полоску Г2, кромки которой 7± проходят через заданные точки, чтобы было минимально значение функционала

Ф(7) = max|Vu(P)| i|Vu(P)| , 7 = 7_U7+, (11)

где и — гармонична в а ц > 0 — заданная константа. Доказаны теоремы о разрешимости, даны конструктивные формулы для кривых 7± и их асимптотических приближений при ¡л —> 0. Диссертанту неизвестны работы других авторов по экстремальной задаче для функционала (11).

(3) Получены теоремы о разрешимости, а также конструктивные формулы для решения стационарной задачи о максимизации отбора энергии у плоского потенциального бездивергентного потока, набегающего (по схеме Кирхгофа) на объект, частично поглощающий этот поток и, соответственно, его энергию. Такой объект, являясь препятствием для частично обтекающего его потока, моделирует35 турбину в открытом потоке реки, океанского течения. Как максимизировать отбор энергии у потока?

Serie IV, 4 No. 1, 373-391.

D. Kinderlehrer, G. Spruck (1978) Regularity in free boundary problems. Ann. Scu. Norm. Sup. Pisa, Serie IV,5 No. 1,131-148.

L.A. Caffarelli, G. Spruck (1982) Convexity properties of solutions of some classical variational problems. Commm. in P.D.E. 7, 1337-1379.

34 А. Фридман (1990) Вариационные принципы и задачи со свободными границами, "Наука", Москва.

35A.N. Gorban1, A.N. Gorlov, V.M. Silantyev (2001) Limits of the Turbine Efficiency for FVee Fluid Flow. Journal of Energy Resources Technology 123, no. 4, December, 311-317.

Если сопротивление, которое турбина оказывает потоку, слишком мало, то поток почти беспрепятственно просачивается. Если сопротивление слишком велико, то поток стремится обойти турбину-препятствие. Золотая середина достигается выбором оптимальных управляющих параметров, задающих вектор скорости вхождения потока в объект. В диссертации дано весьма существенное обобщение предложенной ранее модели36: получены теоремы о разрешимости и даны конструктивные алгоритмы при весьма общем распределении углов входа течения в это препятствие (а не пластины, ортогональной симметричному потоку с одним варьируемый углом входа36).

(4) Для задачи Стокса-Лейбензона, одна из интерпретаций которой есть динамика контура нефтеносного пласта (или динамики зажатого между пластинами пятна вязкой жидкости с нулевым поверхностным натяжением), получено нелинейное интегро-дифференциальное уравнение для соответствующей этой задаче функции Гельмгольца-Кирхгофа. Анализ этого уравнения и его матричного приближения позволил впервые получить объяснение следующего "загадочного" явления: некоторые вполне регулярные контура, охватывающие жидкость, казалось бы, ничем не отличающиеся от подавляющего большинства других, вдруг при отводе этой жидкости из скважины, резко меняют свою форму с образованием так называемых "языков" (в терминологии П.Я. Кочиной37), или иначе говоря38, "пальцев".

В диссертации представлена теорема [14] автора о тех //2-возмущениях окружности, которые в случае источника, т.е. подвода жидкости, деформируются бесконечно долго. Другие полученные к настоящему времени результаты39 о бесконечно долгой эволюции в случае источника предполагают аналитичность или существенную гладкость начального контура.

(5) С помощью функционально-геометрического метода построена, согласно оценке (12), экспоненциально точная при е —> 0 асимптотика и£ решения 1/е следующей краевой задачи для уравнения Лапласа

АС4 =0, Це

(I

«ег

в плоской области О с кусочно-аналитической границей Г = 8Q. Здесь

36A. Gorban', М. Braverman, V. Silantyev (2002) Modified Kirchhoff flow with a partially penetrable obstacle and its application to the efficiency of free flow turbines. Mathematical and Computer Modelling 35, no. 13, June, 1371-1375.

37П.Я. Кочина, A.P. Шкирич (1954) К вопросу о перемещении контура нефтеносности (эксперимент) Известия АН СССР, отд. технин. наук, №11, 105-107.

38P.G. Saffman, G.I. Taylor (1958) The penetration of a fluid into a porous medium of Hele-Shaw cell containing a more viscous liquid. Proc. Royal Soc. A, 245, 312-329.

39A.M. Meirmanov, B. Zaltzman (2002) Global in time solution to the Hele-Shaw problem with a change of topology. Euro. Jnl of Applied Mathematics, 13, 431-447.

B. Gustafsson, D. Prokhorov, and A. Vasil'ev (2004) Infinite lifetime for the starlike dynamics in Hele-Show cells Proc. of American Math. Soc., v. 132, No.9, 2661-2669.

/ G Ha 1/,2(Г), а > 0, a s — натуральным параметр на Г. Доказана оценка

II иЕ-иЕ\\н»(й)<Сае-т'е, где т>0. (12)

Есть три отличия от традиционных построений40: 1) не исключен случай, когда граничные значения Ue принадлежат почти максимальному классу в шкале соболевских пространств, в которых есть единственность соответствующей гармонической функции Ue\ 2) асимптотика экспоненциально близка к решению краевой задачи; 3) оценка погрешности дается в наиболее сильной норме, в которой ограничена сама функция Ue.

Дано также обобщение такого построения асимптотики для решения двумерного квазилинейного эллиптического уравнения 2-го порядка.

(6) Рассмотрена поставленная41 O.A. Олейник и Р. Темамом задача о построении при е —» 0 равномерной вплоть до границы Г = дй области Q асимптотики для решения краевой задачи

AUe = 0 в ü, Ue = F(x/e, у/е) на Г,

где F(x,y) — периодическая по каждому переменному функция, знакопостоянная на полупериоде, равном единице. С помощью функционально-геометрического метода построена экспоненциально точная (в смысле, аналогичном оценке (12)) асимптотика для любой кусочно-аналитической границы Г = dÜ в случае двузначной функции F.

(7) Функционально-геометрическим методом построена экспоненциально точная при е —► 0 асимптотика решения краевой задачи для уравнения Лапласа в областях с сильно гофрированной границей с частотой волны гофра порядка 1/е. При этом оценка остаточного члена получена в наиболее сильной норме, в которой существует решение. Известные к настоящему времени иные методы42 построения асимптотики дают для этой задачи оценку остаточного члена только порядка £3/2 и то лишь в метрике Я1.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Ее значимость заключается в разработке такого функционально-геометрического подхода, который позволяет получать

• теоремы существования и несуществования, единственности и неединственности в отношении широкого спектра двумерных задач со свободной границей для гармонических функций;

40См., например, Г.П. Панасенко (1979) Асимптотики высших порядков для решений задач о контакте периодических структур. Матпем. Сборник Т. 110(152), Л- 4, 505-538.

41См., в частности,

O.A. Oleinik, R. Temam, G.A. Yosifian (1995) Some nonlinear homogenization problems Applicable Analysis Vol. 57, No. 1-2, 101-118.

42См., например,

N. Neuss, M. Neuss-Radu, A. Mikelié (2006) Effective laws for the Poisson equation on domains with curved oscillating boundaries Applicable Analysis, Vol. 85, No. 5, 479-502.

• явные конструкции и формулы, задающие решения этих задач;

• экспоненциально точные (относительно сильной нормы) асимптотики для гармонических функций, быстро осциллирующих весьма сложным образом на границе области определения.

Как уже было отмечено, обозначенный класс задач богат приложениями. Явные же конструкции и формулы, задающие решения этих задач, могут быть использованы при тестировании вычислительных алгоритмов более сложных, например, трехмерных задач и при выборе подходящего начального приближения в соответствующих итерационных алгоритмах.

Апробация работы:

• приглашенный докладчик на международных конференциях "Singular Perturbations and Boundary Layer Theory", Lyon (1976) /France/, "Inverse Problems, Control and Shape Optimization", Carthage (2002) /Tunisie/

и "two months" E. Magenes-Seminar "Free Boundary Problems", Pavia (1979) /Italy/;

• докладчик на многих международных конференциях, в том числе: "Differn.Eq. and Related Topics"dedicated to I.G. Petrovskii, Moscow (1978, 1983, 1986, 1998, 2001, 2004); "Complex Analysis and FBR", St.-Petersburg (1994); "PDE and Applications", Lyon (1999) /France/; "Parabolic and Elliptic Problems", Gaeta (2001) /Italy/; "Free Boundary Problems", Tours (2003) /France/; "Kolmogorov and Comtemporary Mathematics", Moscow (2003); "Comput. Methods in Appl. Sciences", Jyvaskyla (2004) /Finland/; "Global and Geometric Aspects of Nonlinear PDF", Erevan (2004); "System Modeling and Optimization", Turin (2005) /Italy/; "Tikhonov and Contemporary Math.", Moscow (2006); "New Trends in Complex and Harmonic Analysis", Voss (2007) /Norway/; "Pontryagin 100-Anniversary Conference", Moscow (2008);

• докладчик на многочисленных научных семинарах в научных центрах России, Германии, Италии, Португалии, США, Франции,..., в том числе:

в институте АН СССР им. И.В. Курчатова на семинаре (1973 г.) п/р М.А. Леонтовича и Б.Б. Кадомцева;

в МГУ на семинаре им. И.Г. Петровского (1974 г.) п/р В.И. Арнольда, М.И. Вишика, О-А. Олейник и Я.Г. Синая;

в Rutgers University, Depart. Math, на семинаре (1997 г.) п/р И.М. Гельфанда;

в МИРАН им. В.А. Стеклова на семинаре (2002 г.) п/р О.В. Бесова, С.М. Никольского и С.И. Похожаева;

в РНЦ "Курчатовский институт" на семинаре (2006 г.) п/р В.Д. Шафранова.

Поддержка работ автора по теме диссертации: 1992 - 1995: Soros Foundation grant (NAW000, NAW300) - руководитель; 1998 - 2000: PAST grant Министерства Образования и Науки Франции;

1994 - но настоящее время: гранты РФФИ — исполнитель, руководитель;

2001 - 2003: French-Russian grant PICS/RFBR - координатор;

2002 - 2004: Grant of the Liapunov French-Russian Institute — исполнитель; 2005 - 2008: French-Russian grant PICS/RFBR - руководитель.

Публикации. Основных публикаций по теме диссертации — 21. Их список приведен в конце автореферата. 16 работ из этого списка опубликованы в изданиях, которые рекомендует ВАК; 6 из них в соавторстве. Вклад соавторов в совместные работы отражен в приведенном списке.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, четырех глав и списка литературы. Работа изложена на 132-х страницах, включая 14 рисунков и список литературы из 132 наименований.

2. Краткое содержание работы

Функционально-геометрический метод заключается во взаимосвязанном анализе функциональных и геометрических построений при исследовании рассматриваемых задач. Эта общая характеристика частично конкретизируется в комментариях, касающихся элементов доказательств некоторых из приводимых ниже теорем. Эти теоремы достаточно полно отражают основное содержание диссертации.

В главе 1 (параграфы 1 и 2) рассмотрены задачи, относящиеся к одной из центральных проблем управляемого термоядерного синтеза: реконструкции по данным магнитных измерений распределения тока j, протекающего по горячей плазме, заключенной в камере токамака (ТОроидальной КАмере с МАгнитными Катушками). Плазма отделена от металлического кожуха (оболочки) камеры вакуумной зоной, в которой плазма "подвешена" с помощью магнитного поля, создаваемого протекающим по плазме током j и управляющими токами, в том числе в трансформаторных катушках токамака.

Рис. 3. Две подзадачи обратной задачи о равновесии плазмы.

1°. К математическому анализу этой проблемы относятся так называемые прямая и обратная задачи о равновесии. Базовая математическая

формулировка обратной задачи иллюстрируется на рис. 3, где изображено ортогональное к оси 2 сечение 3 <е М2у камеры токамака, рассматриваемой в первом приближении в виде бесконечного цилиндра с образующей вдоль оси г. Граница области <5> задана. Это кривая Г, диффеоморфная окружности, представляющая сечение кожуха камеры токамака. В предположении, что искомая "плазменная" область ш имеет одну компоненту связности, ее свободная граница 7 — дш диффеоморфна окружности. Кольцеобразная "вакуумная" область П отделяет "плазменную" область и> от заданной кривой Г. Известно, что ^-компонента и : 5 —> К векторного потенциала магнитного поля является решением так называемого уравнения Грэда-Шафранова, которое в цилиндрическом приближении токамака принимает вид:

д^и д2и ., _ .„„.

= В (13)

где правая часть имеет следующую структуру

,-л. -л _ / Ии(х'У)) при (х>У) е ш.

при (х,у)£П = £\й.

(14)

Равновесие плазмы эквивалентно тому, что граница 7 области и есть линия уровня функции и, для определенности, нулевая:

и = 0 на искомом контуре 7. (15)

На внешней по отношению к 7 кривой Г, являющейся границей области 5, функцию и тоже можно считать известной. В случае отсутствия внешних управляющих токов металлический кожух токамака "вморожен" в силовые линии магнитного поля и тогда

и = М на Г, (16)

где М > 0 — это величина, равная интегралу (11 вдоль той линии

I, соединяющей искомый контур 7 с заданной кривой Г, которую касается градиент функции и. Число М характеризует "отдаленность" плазмы от кожуха камеры. В реальном токамаке эта отдаленность может задаваться с помощью так называемого лимитора — стержня, направленного внутрь камеры, свободный конец которого, соприкасаясь при разряде с плазмой, лимитирует ее границу. Тем самым, число М может считаться заданным. В общем случае (т.е. при наличии управляющих токов) можно, используя вспомогательную процедуру, подобрать подходящий внешний контур, имитирующий кривую Г, и считать, что условие (16) выполнено.

Согласно формуле (14), функция / определяет одну из важнейших характеристик плазменного разряда: распределение протекающего по плазме

тока. Знание этой величины необходимо не только для понимания физических процессов, протекающих при разряде, но и для эффективного управления самим разрядом, для подавления неустойчивостей плазмы.

Однако эта характеристика не может быть найдена ни теоретически (в силу отсутствия соответствующей теории), ни непосредственно в эксперименте (ибо температура в плазме сравнима с температурой Солнца). Известна лишь величина полного тока I, которая может быть принята за единицу измерения тока:

J j(x,y)dxdy = I. (17)

Для реконструкции функции / недостаточно наличие лишь системы соотношений (13)-(17), если только множество функций, в котором ищется правая часть уравнения Грэда-Шафранова, не одномерно. Нужны дополнительные данные. Основным их источником являются данные магнитных измерений, позволяющие замерить градиент функции и в ряде точек Pj € Г, где расположены датчики на кожухе камеры токамака.

Таким образом, возникает задача43 о реконструкции функции / и контура 7 из системы соотношений (13)—(17) и аппроксимативного задания нормальной производной функции и в конечном числе точек Pj кривой Г= {(х,у) <Е К2 | и(х,у) = М > 0}.

2°. Ниже обозначена функционально-геометрическая конструкция однолистного изометрического отображения аналитической кривой. С помощью такого отображения в диссертации установлена

Теорема 1 Пусть Q = £/(Г; Р\,..., Р„; d\,..., dn; rf) — множество таких положительных аналитических функций д на кривой, Г класса С1,Л, го-меоморфной окружности, что выполнено44 условие аппроксимации

I д —dj\<r], где j = l,...,n, а 0<т?<С1, (18) г

и условие нормировки

[ gdr = 1 =) [ f{u{x, у)) dxdy{= [ Audxdy= f du/dvdT. (19) Jr Js Js J г

Тогда для любой функции g & G можно предъявить такие числа М9 > 0

и М* > 0, что

43См., в частности,

A.C. Демидов, Л.Е. Захаров (1974) Прямая и обратная задачи в теории равновесия плазмы. Успехи матем. наук, Т. 29, № 6, 203.

3. Blum, Н. Buvat (1997) An inverse problem in plasma physics: the identification of the current density profile in a tokamak. IMA volumes in mathematics and its applications 92, Springer-Verlag, 17-36.

44В работе А.Д. Валиев, A.C. Демидов (1997) О неотрицательных тригонометрических полиномах с фиксированным средним, проходящих через заданные точки. Матем. заметки, 62, № 3, 468-471 приведены 3 алгебраических критерия того, что тригонометрический полином g £ Q, степени не выше п — 1, удовлетворяет условиям (18)—(19).

во-первых, при любом М е (О, М*} найдется аналитическая кривая 7 = 7з С 5, диффеоморфная окружности, для которой задача

ди |

Ди = 0 в О.,

= 0,

и = М и —| = о 1г ди\т у

имеет решение и = ид;

во-вторых, для45 /л = тт(1/2, М* — М, М3) справедлива оценка

ди д.V

-Ш/ц <

РеГ

<

ди дV

вШ/ц

(20)

(21)

РбГ

р=р(Р) 6 7

где р(Р) — та точка 7, в которую приходит выходящая из точки РеГ линия, касающаяся градиента функции и.

Комментарий. Основой построений, с помощью которых доказывается эта теорема является изометрическое однолистное отображение аналитической46 кривой Г на окружность Т={£еС||£| = 1}. Это отображение задается формулой

"1+/

Jo

ехр(Л + гВ) с1г€Ут,

(22)

где Ур — некоторой окрестность кривой Г, V-? — соответствующая ей окрестность окружности Т, а функция Гельмгольца-Кирхгофа А + гВ : С характеризуется следующими условиями

дВ

В

5ёГ

= 5-ад,

о

5ёГ

ди

= 0

(23)

Здесь ЛГ(в) — угол между осью х и внешней нормалью к Г в точке е. Равенство 0 эквивалентно условию изометрии

|2'(С)|-1 для се Т. (24)

Поэтому, обозначая через вещественную часть комплексного числа г, получаем, что функция

и,(О

к> 1 у 7

= ащ С

определяет решение ид(г) = ид(£(г)) задачи (20) при тех М, для которых линии уровня {С е | ид(С) = т е [0,М]} гомеоморфны окружности.

3°. Теорема 1 сводит обратную задачу в области 5, схематично представленную на рис. За, к чуть упрощенной обратной задаче в фиксированной

45Формула для числа ц получена дипломником диссертанта В.М. Силантьевым.

46Случай Г С С1,а сводится к рассмотренному с помощью теоремы Келлогга и конформного отображения области 12 на достаточно близкую область с аналитической границей.

"плазменной" области со, представленной на рис. ЗЬ, а именно47 к реконструкции функции / : и \—> /(и) из априори заданного функционального

Некоторая полезная информация в отношении обратной задачи может быть получена при анализе вспомогательной задачи, в которой ставится вопрос о разрешимости соотношений (13)—(17) относительно функции и, но лишь в области при условии задания , т.е. той характеристики, связанной47 с искомой функцией /, которая может быть приближено найдена, например, с помощью численного решения соответствующей задачи Коши с учетом гарантированной оценки (21).

Такого рода задача относится к числу так называемых прямых задач. Они называются так потому, что решение и дифференциального уравнения ищется при непосредственно, иначе говоря, прямым образом заданной величине, полностью или частично определяющей искомую функцию /.

В этом пункте представлены основные теоремы диссертации по ряду постановок прямой задачи.

Прежде всего, представим результаты, относящиеся к таким областям Г2, которые имеют две оси симметрии и схематично изображены на рис. 0.1. Их внешняя заданная граница Г полностью характеризуется функций

N : [0. Ar(s) S [AL, N+], AL=infiV, N+^supN, (25)

задающей угол АГ(й) (см. рис. 24а) между осью х и внешней нормалью к Г в точке я £ отождествленной с соответствующим ей натуральным

параметром, отсчитываемым от точки Р0 € Г П {х > 0, у = 0}.

При оговоренных свойствах симметрии области А, внутренняя искомая граница 7 также характеризуется своей четвертью 7+ 7ГШ++. Поэтому

A.C. Демидов (2000) Об обратной задаче для уравнения Грэда-Шафранова с аффинной правой частью. Успехи Матем. Наук, Т. 55, № б, 131-132.

A.S. Demidov, М. Moussaoui (2004) An inverse problem originating from magnetohydrodynamics. Inverse Problems, v. 20,137-154.

Теорема А (б = 0). Если односвязная область ы не круг, то при е — 0 существует не более конечного числа аффинных функций / : и ь-> /(и) = аи + Ь, которые могут быть решениями обратной задачи (в отличии от континуального числа таких функций в случае, когда есть круг). Эта теорема обобщает результат работы

M. Vogelius (1994) An inverse problem for the equation Au = —cu — d. Ann. Inst. Fourier, v. 44, No. 4, 1181-1209,

а предложенный автором метод доказательства теоремы А, позволил недавно: 1) усилить теорему А, показав для широкого класса областей единственность решения; 2) показать, что справедлива

Теорема В (е > 0). Если е > 0, то даже в классе аффинных функций / для любого а > 0 найдется такое счетное множество распределений тока jk{x>y) — a^Uit(x, у) + bk, которые в равномерной метрике попарно различаются более чем на а. Эти распределения являются членами последовательности, сходящейся к току, сосредоточенному на 7.

Алгоритм поиска существенно различных / в классе полиномиальных функций предложен в работе A.C. Демидов, A.C. Кочуров и А.Ю. Попов (2009) К задаче о реконструкции нелинейностей в уравнениях математической физики. Труды семинара им. И.Г. Петровского, вып. 27.

класса по таким данным: и = 0

"В работах

доказана

ди I

задание производной , отвечающее постановке прямой задачи, достаточно осуществить лишь на 7+. В диссертации это делается таким образом:

ди дV

Ф{р))

г(р) =

в[р)

Ре7+ |7+| ' 17+Г

Здесь д е О1 [0,1] — заданная функция, удовлетворяющая условиям:

д > О

, До

Jo

г) {¿г = 1 .

(26)

(27)

а 6 [0, |7+| ] — это длина дуги рро контура 7, где ро — это точка на 7 с нулевой ординатой и максимальной абсциссой.

Всюду ниже д'(г) = а г(у) — функция, обратная к у(г) = /0Г

Теорема 2 (З71) Для любого числа М > 0 существует внутри заданного контура Г такая кривая 7 = 71, диффеоморфная окружности и симметричная относительно осей х и у, что в кольцеобразной области О = Пх (см. рис. 1а), заключенной между 7 = 71 и кривой Г, найдется гармоническая функция и, удовлетворяющая условиями

если

М

и|7=0,

ди дV

1р€-у

(26)-(27) д(г{р))

171/4

ди

(0,У)<

д2{г)

<

г=г(и)

Зи

(О, ь) У»е[0,1],

(28)

(29)

где С- и С+ — гармонические в = {0 < и < М, 0 < и < 1} функции, подчиненные соответственно таким граничным условиям:

С-(0,у) = О, С_(и,0) = О, С-(М, у) = , С_(и,1) =

7Г

С+(0,«/) = -, С+(и,0) = 0, С+{М,у)

см.(25)

ЛГ.

+1

С+(и, 1) =

Теорема 3 (Ду2)Пусть Л+ = 7г/2 и пусть

Я'{г)

О <

— «2

?2(Г)

г=г(и)

V V € [0,1].

(30)

(31)

(32)

Тогда ми при каком М > 0 внутри контура Г не существует контура 7 = 72, симметричного относительно системы координат (х, у) и гомео-морфного двум окружностям (т.е. такой, как на рис. 1Ь), для которого в области П = Пг, заключенной между Г и 7, нашлась бы гармоническая в П функция и, удовлетворяющая условиям (28).

Теорема 4 (З72) Пусть Г — Га — такой полигональный контур длины |Г| = 4, для которого функция (25) принимает ровно два значения48, а именно:

_ / М- 6 (-7г/2,7г/2), если 0 < з < а, ^ ~ \ Л/+ € [я-/2,тг + ЛГ_), если а < з < 1 =

|Г|/4,

Пусть

<о v v е [о, 1], (33)

ди ' q2(r) r=r{v)

где49 Со — гармоническая в Q = {0 < и < М, 0 < v < 1} функция, подчиненная таким граничным условиям:

Со(0,и) = я-, C0(u,0) = Со(М,v) = max(iV+,+ , C0(u, 1) = тг.

Пусть М > О, если AL > 0, а если N- < 0. то пусть М>1.

ТогЛг можно указать числа50 г, > 0 и е* G (e*,cos N-), что если

е* < а cos ЛГ_ + (1 - а) cos N+ < е*, (34)

то найдется, как минимум, один51 контур 7 = 72, диффеоморфный двум окружностям, который симметричен относительно системы координат (х,у) и для которого в области О = заключенной между Г и 7, существует гармоническая в Q функция и, удовлетворяющая условиям (28).

Теорема 5 (/З71) Пусть Г = Га — контур, такой же, как в теореме 4, но N+ £ (7г/2,7Г -г N-), т.е. исключена возможность того, чтобы N+ = тг/2.

Тогда для V g Е С1 [0,1] ЗМ0 > О VM < М0 3 е^ > 0, что если

О < acosAL + (1 - a)cos7V+ < ем, (35)

то ни для какой кривой 7 = 71, гомеоморфной окружности и симметричной относительно координатных осей х и у, в области Q = Ох, заключенной между Г и 7, не существует ни одной гармонической в О функции, удовлетворяющей условиям (28).

Пересечение условий теорем 2 и 4 дает ответ на вопрос, поставленный Е.П. Велиховым. В частности, справедлива

4вНапример, как на рисунках 4-6, где а 6 (1/2,1], JV_ = тг/4 и N+ = 3ir/4.

49Если N+ = 7г/2, то q ф const, ввиду неравенства (33).

50£, = 0, например, при q = 1 и N_ > 7г/2.

51Можно дать (см. рис. 5) достаточные условия существования двух различных контуров типа 72.

Рис. 4. Все типы симметричных "плазменных" конфигураций для семейства контуров Га.

Рис. 5. Несимметричные "плазменные" конфигурации 7Ь и (при а = 0.54иМ = 0.13).

Теорема 6 (З71&З72) Пусть q = 1, а Г = Га — полигональный контур, длина которого |Г| равна 4 и для которого функция (25) принимает ровно два значения

. _ Г JV_ = ж/А, если 0 < 5 < а € (1/2,1], ~~ \ N+ = Зтг/4, если а < s < 1 = |Г|/4,

Пусть Ьщ < а < ам, где функции М н-» ам и М Ьм представлены своими .графиками на рис. 4■ Тогда внутри Г существуют как контур 7 = 7i, так и контур 7 = 72, каждый из которых симметричен относительно системы координат (х, у), причем контур 7^ диффеоморфен к окружностям, а в области = заключенной между Г и 7*, найдется гармоническая в Гфункция и — щ, удовлетворяющая условиям (28).

Теорема 7 (3 несимметричный контур7х) Пусть q = 1, а Г = Га — контур, такой же, как в теореме 6. Для любого М > О существует ем > О, что при а 6 (1/2,1/2 + ем) внутри контура Га найдется несимметричная относительно оси х аналитическая кривая 7 = 7i, диффеоморф-ная окружности, для которой в кольцевой области f2 = fij, заключенной между Га и 7ъ существует гармоническая функция, удовлетворяющая условиям (28).

Численный анализ соответствующих нелинейных интегральных функционалов (38) позволил найти все несимметричные конфигурации (см. рис. 5). Их число к = к(а,М) равно 1 при a € (1/2, ам) и 2 при ам < а < Ъм (по модулю отражений относительно оси у). Бифуркационные связи симметричных и несимметричных конфигураций 7 в случае q = 1 и семейства контуров Га, описанных в теоремах 6 и 7, представлены на рис. 6.

а н-> Si((7, а, а) и р н-> Si(<тz(p), р, аз(р)), определенных в (38). Корни уравнения а = Si(a,a,a) определяют симметричные "плазменные"

конфигурации 71,72,72, а корни уравнения а = (р),/?> аз{р)) определяют несимметричные конфигурации и

Без каких-либо предположений о симметрии контура Г доказана

Теорема 8 (3 выпуклый контур 71) Если Г — выпуклая кривая, то для любого М > 0 существует выпуклая аналитическая кривая 7 = 71, для которой в кольцевой области П = Пь заключенной между Г и 7, существует гармоническая функция, удовлетворяющая условиям52

г=м,

7 ovh m

Комментарий. Функционально-геометрический метод в части, касающейся доказательства приведенных здесь теорем существования, имеет некоторые специфические особенности. Проиллюстрируем одну из них на примере теоремы 7 о несимметричных конфигурациях. По-существу, все сводится к поиску мультипараметра а = (01,02,03), компоненты которого удовлетворяют следующим условиям: 0 = сг0 < < 02 < 1 < 0"з < 04 = 2 и

S, = S4 > S2 = S3, (37)

где

m / rM gj^ \

S? (01,02,03) = j ^exp J —(u,v)dujdv, (38)

а В = В" — гармоническая функция в <Э2 = {0 < и < М, 0 < v < 2}, удовлетворяющая таким граничным данным:

В(и, 0) = 0, В(«, 1) = тг, B„(0,«) = 0, B(M,v) = ip(v), (39)

где

_ / 7Г/4 ПРИ v 6 U К ъ),

(P[V> - \ Зтг/4 при v е (о-ь а2) U (<х3,2). ^

Ясно, что формулы (37) выражают геометрические соотношения между длинами Sj последовательных четырех сегментов ломанной ГаПК+. Асимптотический анализ [3] интегралов, представляющих функции Sj, позволя-

def

ет показать, что при достаточно малом р = 02 существуют такие параметры53 о-! = 0(р2) и о"з = 03(р) > р, для которых выполнены соотношения (37). При этом, малость параметра р приводит к малости "перешейка" контура Га (где 1/2 < о < 1, см. рис. 5). Это означает, что

52В кандидатской диссертации В.В. Петровой (см. также [9]) теорема 8 обобщена на случай, когда

условие | = щ заменено на более общее, типа (26), с некоторыми ограничениями на функцию д,

обеспечивающими выпуклость искомой кривой у.

53Показатель а в формуле <х\ = 0(ра) зависит от величины углов между сегментами контура Га.

Si(cri(p), /9,стз(р))= f0fi (expf0M dv -»■ 1/2 при p 0. Анало-

гичные построения проводятся при доказательстве теорем 4 и 6. Что же касается теорем 2 и 8 для криволинейных контуров Г, то, следуя идее Н.Е. Жуковского54, в ряде случаев воплощенной В.Н. Монаховым55, криволинейный контур Г предварительно аппроксимируется полигональным Гт. Проблема поиска мультипараметра а = (cri,..., от) G Т>т <s Rm, соответствующего контуру Гт, т.е. проблема аналогичная указанной выше в доказательстве теоремы 7, формулируется в этом случае в форме поиска неподвижной точки для гомотопически эквивалентных при Л 6 [0,1] отображений Fxt : Т>т Э(ги F^(a) G Km, соответствующих удовлетворяющей определенным геометрическим ограничениям деформации контура Гт в квадрат (которому отвечает почти идентичное отображение F^). Эта проблема неподвижной точки отображения F^ решается с помощью теории Лере-Шаудера. Здесь важно отметить следующее. В случае бананового пространства X требуемая в теореме Лере-Шаудера компактность отображения Кх = I — Fx : V —> X эквивалентна тому, что является равномерным пределом конечномерных отображений. При доказательстве теорем 2 и 8 также применяются конечномерные аппроксимации КД = I — F^ : Vm —> Km, но они напрямую связаны с геометрическими характеристиками контура Г (с его самонепересекаемостью), а не с требованием равномерной сходимости. А это позволяет снять обременительное ограничение компактности отображения : Т> —> X, которое при непосредственном применении теоремы Лере-Шаудера в пространстве X гельдеровских функций (возникающих в случае криволинейного контура Г) приводит к очень жестким ограничениям на геометрию Г.

Отметим еще одну особенность функционально-геометрического метода, которая позволила сравнительно легко завершить доказательство теорем существования при переходе от полигональных контуров Гт к спрямляемому контуру Г. Она опять-таки связана с геометрией: с геометрически очевидной оценкой \zm(w)\ < С, Vm > 1 для функции zm, биективно

(2)

отображающей границу прямоугольника Q = {0 < и < M ,0 < v < 1} на Гт —» Г. Поэтому существует такая подпоследовательность zmk, которая равномерно сходится на каждом компакте К С Q к искомой гармонической функции

540на выражена в заключительных словах его работы16 о перспективе решения задачи обтекания плоского криволинейного препятствия: "Может быть, эта задача могла бы быть разрешена, как предельный случай задачи об ударе (т.е. обтекании — А.Д.) потока на многогранный контур".

55В.Н. Монахов (1977) Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. 2-ое изд., "Наука", Новосибирск.

Глава 2 (параграфы 3 и 4) посвящена, экстремальным задачам со свободной границей. Рассмотрена, в частности, задача

Ф(7) —> inf, где $(7) = шах

Ре 7

<9и

(i5)

mm

PS7

du lh>

(P)

(41)

Здесь и — функция, гармоническая в центрально-симметричной (см. рис. 7) области $7 = П7, ограниченной отрезками М3М0, М1М2 и кривыми 7_ и 7 = 7+. Положительные числа заданы. ^(5) — угол между осью х

и нормалью V к Г в точке Ре £ 7. ф = го(П), где хи = и + гу — однолистное отображение, причем и = на 7±, и = — 1 на М3М0 и V — 1 на М\М%

M3(~h,0)

Mo (0,0)

{v

1

Q--

-м V Гл ,,, , . <"■ и

-1

Рис. 7.

Теорема 9 Пусть талИ — ттЫ < 7Г, а N(0) = Лг(|7|) = 0. В этом случае функционал Ф, определенный формулой (41), достигает минимум, если ограничена гёльдеровская норма функции N. При этом, кривая у, доставляющая минимум, определяется, как множество точек

z(ß, •) : [—1,1] Э v t-> 2

(fi,v) = г J ^

ехр

а(г?) + iß(rj) dij,

где (ci,ß) — решение задачи Fo(a) —> inf, F\(a,ß) = 0, F2(a, ß) — 0. Здесь

Fnfa) — a+ — a~, a+ = maxa(ti), a~ = min a(v),

M<i ' |»|<1

Fi(a,ß)=p-J ea(v)cosß(v)dv, F2(a,ß)=l + J eaWsmß(v)dv,

а p - ордината точки M\(\,p).

В главе 3 (параграфы 5 и 6) рассмотрена задача Стокса-Лейбензона об эволюции односвязной ограниченной области iit С К2, заданной в момент t = 0 своей достаточно гладкой границей Го, окружающей начало координат {0}. Закон деформации области üt соответствует динамике пятна жидкости с нулевым поверхностным натяжением, зажатой между двумя пластинами при наличии источника или стока этой жидкости, локализованного в начале координат {0} € Оо- Иными словами, в момент t точка

s(£) = (x(t),y(t)) границы Г( области Î7j движется со скоростью s = {¿,у), определяемой кинематическим граничным условием

s = Vu на Гг, (42)

где Vu = (их, иу) — градиент функции и(£; -, ■) : £lt —♦ R, удовлетворяющей условию Стокса

— qô(x, у) в Qt (43)

и динамическому граничному условию Лейбензона

и = 0 на Г4. (44)

Здесь S(x, у) — это ¿-функция Дирака, сосредоточенная в начале координат, а коэффициент q характеризует мощность источника (стока). Случай источника соответствует tq > 0, а случай стока соответствует tq < 0. Предполагается, что область Qt симметрична относительно оси х, a q = 2.

Для каждого фиксированного t можно запараметризовать точку s(i) G Г4+ = Tt П Ж2 той линией уровня {(х,у) € Qt | v(t;x,y) = 17} функции у, гармонически-сопряженной к и в Qf = Qt П К+, которая содержит эту точку s(t). В силу симметрии Clt параметр т] меняется от нуля до единицы. Тем самым, определена непрерывная функция

s{t, •) : [0,1] Э т? ~ s(t, 4) = |Р0РЧ| G [О, ]Г+| ], (45)

где 1-Ро-Рт)! ~ длина дуги РоД, кривой Г+, отсчитываемая в положительном направлении от точки Ро ее пересечения с положительной полуосью х до точки Pv ее пересечения с линией уровня {v{t,x, у) = т]}.

Декартовы координаты (х, у) точки Pv G Г4 представимы в виде

x(t, v) = х0(t) - [ еа((л) sin b(t, 77) dr], y(t, v) = f ea{t'n) cos b(t, rj) dq,

J 0 J 0

(46)

где x0(t) = f°œeA^du,a

a(t, v) + ib(t, v) = A{t; 0, v) + iB{t, 0, v). (47)

Здесь

A(i; u, v) 4- iB(t; и, v)= ln

дz(t; w)

dw

-Harg ^ z = x + iy G ^ , (48)

где (при каждом 1)т = и+т£(д = {—оо < и < 0, 0 < и < 1}.

В диссертации получено такое необходимое условие разрешимости задачи (42)—(44): функции а и Ь удовлетворяют интегро-дифференциальному уравнению

Щ, V) = е~2аа' + Ъ'е~а Г [еаа - } ¿ц, Ъ = % = ^ ■ (49) «/ о

Если Tt — окружность, то b(t) v) = тги. Рассматривая Г4, как возмущение окружности, введем функцию

Р : [0,1] Э v н-» p(t, v) =f b(t, v) - то; = J2 sin тгkv , (50)

k>i

удовлетворяющую (в силу симметрии и дифференцируемое™ кривой Г) такому условию: P(t, 0) = /3(t, 1) = 0. Коэффициенты Фурье Pk(t) определяют, согласно (46), эволюцию контура Г4, ибо

A(t; и, v) = a0(t) + тг и + ^P/^e^cosTrb. (51)

к> I

где do (t) — функция, которая тоже полностью определяется коэффициентами Pk(t). Справедлива

Теорема 10 Эволюция коэффициентов Фурье рк(-) задается динамической системой вида

(52)

эквивалентной уравнению (49). Покоординатно система (52) такова:

2(t + tQ)(f3lpl+rï(p)p) = (-/S?+ 2 £i>2/??)+*!(/?), )

[ (53)

2{t + to)(j3k+rk(fi)jfy = -(k + 2)Pk + sk(P) дм k> 2, J

где

ЫР)Р\ < qi^^'l^llo, ЫР)\ < СЦ/ЗЦ^"1*-11, (54)

а

II/?!!: = max /^(fcft(i))2, \\Р\\0 = шах ./¿(À(î))2-

V v

Теорема 10 служит не только базой для доказательства нижеследующей теоремы И о тех Я2-возмущениях окружности, которые, подчиняясь кинематическому условию (42), преобразуются за бесконечное время в окружность, но также выявляет принципиальное отличие уравнения (52)ф=>(49) от обычно исследуемого в работах по задаче Стокса-Лейбензона уравнения Галина-Кочиной

z = ei*ÇdD> D = {z&C\\z\<l} (55) относительно однолистного отображения

f{t,.):D3z~f{t,z)€Qt, /М) = 0,

гомеоморфного вплоть до границы диска О и задающего искомый контур = ¡{дБ). В отличие от уравнения (55), описывающего лишь деформацию контура, уравнение (52) задано в терминах коэффициента а(£,-) продольного сжатия-растяжения контура и эволюции касательного поля Ь(£, •) к нему. Благодаря этому уравнение (52) позволяет обнаружить наличие аттракторов (и репеллеров) в пространстве контуров Гг. На них оператор Г — К(/?) вырождается. В частности, линеаризованное на окружности (т.е. для /3 = 0) уравнение (52), имеющее, согласно теореме 10, такой вид

(fc-1)

Á + Щ^)'в\

= 0, (56)

вырождается для амплитуды первой гармоники возмущения (50).

В связи с только-что сказанным, подчеркнем, что уравнение (49) было получено посредством применения функционально-геометрического метода к задаче Стокса-Лейбензона.

def

Пусть 5д(о) = { \z | = R(0) }, а Го — слабое возмущением окружности 5^0), а именно: определяющая, контур Го функция

[0, 1] Э 6(0, v) = 7TV + Plsin к™ (57)

П>1

подчинена для некоторых положительных чисел ¿¿<1ир<1/8 условию56

< (И1/21АТ/2, О < \0°\ < до. (58)

к> 2

Теорема 11 Существует такое р G (0,1/8), что если выполнено условие (58) при том или ином (л € (0,1], то эволюция t —► Г< при t > 0 (т.е. в случае источника) продолжается бесконечно долго и она единственна на любом временном интервале. При этом для любого t > 0 кривая Tj ана-литична и ее отк.юнение от окружности радиуса R(t) = \/ñ2(0) 4- 2tj-K стремится к нулю при t —+ оо. Более того, существует такая константа С, что для коэффициентов Фурье /?/ь(£) функции

(3 : [0,1] Э v 0(t, v) =f b(t, v)-ttv = J2 sin >

def

— 'ДЦ uj — vi и =

k>l

задающей согласно (46)-(48) эволюцию контура Г4, справедливы оценки

Ш-Ш\<Сц, 2<C/i, (59)

V k¿2

!де «^(йда-- (60)

56Условие (58) позволяет обойти особенности, связанные с вырождением (56).

Замечание 1 Если предположить, что систелш уравнений (53) разрешима для £ € (XI, 0) при каком-нибудь Т_ < 0, то тогда можно показать, что начальный контур Го необходимо аполитичен и справедливы формулы (59)-(61). Формулы (60) проясняют причину аналитичности начального контура Го в этом случае, т.е. в случае стока. Действительно, функция (50) будет определена при некотором сколь угодно малом í < 0 лишь тогда, когда коэффициенты Фурье /3% = /3^(0) функции (57) экспоненциально быстро убывают. Тем самым, они определяют аналитическую функцию.

В случае произвольного начального контура уравнение (52) аппроксимировалось матричным уравнением вида

<2(лиЖ = Р(г,Лг, а).

Здесь N = (N1,..., Л'т), ЛГ^ — угол между осью х и внешней нормалью к ^'-ой стороне полигонального квазиконтура, а параметр и = (<тд,..., ат) характеризует длины его сторон. Численный анализ показал, что в пространстве квазиконтуров имеется гиперповерхность

%п = {{М,а) |скЛ<2(ад=0}.

В случае источника (при £ > 0) эта поверхность коразмерности 1 является притягивающим многообразием (аттрактором). Если обратить время, т.е. рассмотреть случай стока, то эта гиперповерхность превращается в отталкивающее многообразие, как говорят, репеллер (анти-аттрактор). Численный анализ показывает, что вполне "приличный", внешне ничем особо не выделяющийся контур Гц, представленный точкой Ру, расположенной очень близко к этой гиперповерхности, почти мгновенно изменяет свою форму. Дело в том, что точка Ро с громадной скоростью "отлетает" от гиперповерхности и через мгновение находится вдали от нее, представляя контур, существенно отличный от Г0. Отличие связано с тем, что сильно растут гармоники, соответствующие вырождению оператора I — К, стоящему при /3 в уравнении (52). При этом площадь, охватываемая контуром, за столь короткое время почти не уменьшается (т.к. мощность стока постоянна). Поэтому возникают так называемые "пальцы", компенсирующие скачкй кривизны контура (вызванные ростом некоторых гармоник) при почти постоянной площади, охватываемой этим контуром.

Глава 4 (§7— §9) диссертации посвящена построению (с помощью отображений типа (22)) экспоненциально точной асимптотики гармонической

функции в области с сильно гофрированной границей, а также построению такого асимптотического приближения ие решения ие краевой задачи

AUe_

О,

иЕ + А

dUe du

= /(s/e), где /еЯ^(Г), Л>0,

se г=ап

для которого справедлива следующая оценка

||ие - Ue||я-(П) < Сае~т/£, где т > 0, а а = р + 1/2 + sign Л > 0.

Кроме того, в параграфе 8 рассмотрена задача Олейник-Темама об усреднении. Речь идет об асимптотике в П при е —» 0 решения задачи Дирихле

AUe = 0 в ilgl2, Ue = F{x/e,y/e) на Г = Ш. (62)

|Г| = \Т\ = 2тг <г2

f,*). (*,!/) е Г

S, С

= 0 cr2 <73 CT4 CT5 0"6 0-7 ÍT8 = 2тг

d)

яяяшамя w&sssmm в

= 0 92 »3 «4 fe 06 67 08 =2тг

Рис. 7

Предполагается, что функция F в (62) периодична и нечетна по каждому переменному, двузначна и постоянна на полупериоде, равном единице. Пусть для определенности область Ù односвязна (см. рис. 7а), а аналитическая кривая Г, длины |Г| = 2тг, задается функцией

N : Та Э а н-+ N{a) - а = F0 + ^(F* cos ka + Gk sin ka), (63)

k> 1

определенной на окружности Та (см. рис. 7Ь). Здесь N(s) — угол между осью X и внешней нормалью к Г в точке s. Пусть отображение

z: Vf Э С = péc ■-> z{ О = zo + £ ехр(Л + iB) d( го€Г, (64)

некоторой окрестности Vf на окрестность Vr кривой Г построено (ср. с (22)) посредством функции Гельмгольца-Кирхгофа A+ ÍB, где

А : С = peia н-> А{р, а) = ]- - р~к) [Gk cos ka - Fk sin ka],

¿ k>i-

В : С = peiir i-> B(p, a) = F0 + ~ + P~k) № cos ka + Gk sin И •

При заданном числе e > 0 построение асимптотики осуществляется так. На Г фиксируется след функции (х,у) F(x/e,y/e). Развертка этого следа, параметризованная точками ак (см. рис.7с1), переносится в виде графика функции a i—> /£(<т) на окружность Тст (см. рис.7Ь). При сделанном предположении о двузначности функции F существует аналитический автоморфизм а : в а (в) окружности Те, (см. рис.7с), при котором функция Ö и /£ нечетна. Такой автоморфизм может, очевидно, задаваться

полиномом, принимающим значение ак в точке вк = кт (см. рис. 7d и рис. 7е). С помощью указанного автоморфизма а : в > а(в) в некоторой окрестности Vj окружности То строится отображение

С : V4 Э i/> = peie н-> С(^) = 1 + J^ exp(a + ib) di¡> e C(Vt), (65)

где функции а — a(ß, в) и Ь = Ь(ц, в) представлены через коэффициенты с/с) dk, fk и дк разложений в ряды Фурье 27г-периодических функций

а{в)-в = f0+Y^{fkZoske+gksmke), —= к(ск cos кв+dk sin кв) к> 1 а \ ) ¿>2

следующими рядами

«о+Е

*>1 L

ь+Е[(

*>1 4

'ck + fk к °k-fk\ uû fdk + gk к dk~9k\ . ,a

где константа ао определяется из нормировки: /02?г еа^'9Ыв = 2тг. Заметим, что отображение (65) однолистно и на совпадает с а.

Теорема 12 Пусть тах^ст^ — оь-\) = 0(е) при е —» 0. Тогда искомая экспоненциально точная асимптотика решения задачи (62) представи-ма в виде и£ : (1 э г = I + ¡1/ н — Хе(-г) ■ ■уе^(С(-г))) • Здесь

Хе — гладкая в О, функция, равная 1 вблизи Г и нулю вне некоторой ее окрестности, ие — решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в диске с граничной функцией ¡(в/е), представленной на рисЛе, а отображение г н-> ?/>(£(.г)) — обратно к отображению

г о С : Э (64Ь(65) гШ). (66)

При этом, линии уровня и£(х,у) = 0 искомого асимптотического решения ие вкладываются в поле трансверсалей к Г, которое есть образ нормалей к окружности Т^ при отображении (66).

3. Основные публикации по теме диссертации

( Публикации [1]-[16] из официального Перечня ВАК )

[1] Прямая и обратная задачи в теории равновесия плазмы. Успехи ма-тем. наук, 1974, Т. 29, № 6, 203. (Диссертант доказал теоремы, относящиеся к прямой задаче о равновесия плазмы. Соавтор J1.E. Захаров /институт им. Курчатова/ показал, что обратная задача в предположении однородности распределения тока имеет единственное решение в случае квадрупольного поля. Результат JT.E. Захарова не включен в диссертацию).

[2] The form of a steady plasma subject to the skin effect in a tokamak with поп-circular cross-section. Nuclear Fusion, 1975, v. 15, 765-768.

[3] Sur la perturbation "singulière"dans un problème à frontière libre. Lecture Notes in Math., Springer-Verlag, 1977, v. 594, 123-130.

[4] Equilibrium form of a steady plasma Physics of Fluids, 1978, v. 21, 902904.

[5] Об одной задаче со свободной границей в теории равновесия плазмы. Труды семинара им. И.Г. Петровского, 1978, вып. 4, 65-82.

[6] Теоремы существования, несуществования и регулярности в одной задаче со свободной границей. Успехи матем. наук, 1983, вып. 5, 151-152.

[7] Теоремы существования, несуществования и регулярности в одной задаче со свободной границей. Математический сборник АН СССР, 1983, №1, 1983, 421-444. (Соавтор А.Баджади /Алжир, аспирант диссертанта/ доказал в данной статье утверждения в замечаниях 1.1, 4.1 и 4.2, принял участие в доказательстве леммы 1.2 и предложения 3.3. Результаты, представленные в автореферате и в диссертации, получены диссертантом).

[8] Об одной экстремальной задаче со свободной границей. Успехи матем. наук, 1986, вып.4, 190-191. (Соавтор А.А. Созыкин /канд. техн. наук/

выполнил численные расчеты по написанной им программе, алгоритм которой соответствует конструктивной теореме, доказанной диссертантом).

[9] On inverse and direct free boundary problems in the theory of plasma equilibrium in a Tokamak. C.R. Acad. Sci. Paris, 1996, T. 323, Série I, 353-358 (Соавторы — ученики диссертанта: канд. ф.-м.наук В.В. Петрова и дипломник В.М. Силантьев. Их вклад в эту заметку упомянут, соответственно, в примечании52 и примечании45. Все основные конструкции доказательств теорем этой публикации принадлежат диссертанту).

[10] Полная асимптотика решения задачи Дирихле для 2-мерного уравнения Лапласа с быстро осциллирующими граничными данными. Доклады РАН, 1996, Т. 346, № 6, 732-734.

[11] Полигональная модель для течения Хил-Шоу. Успехи машем, наук, 1998, вып. 4, 195-196.

[12] Конечноточечная модель задачи Стокса-Лейбензона для Хил-Шоу течения. Фундамент, и прикл. математика, 1999, № 5, 67-84. (Соавтор канд. физ-мат наук О. А. Васильева выполнила численные расчеты. Постановка задачи и все теоретические результаты принадлежат диссертанту).

[13] Some Applications of the Helmholtz-Kirchhoff Method. Russian J. Math. Ph., 2000, v. 7, No. 2, 166-186.

[14] Об эволюции слабого возмущения окружности в задаче о течении Хил-Шоу. Успехи матем. наук, 2002, вып. 6, 177-178.

[15] An inverse problem originating from magnetohydrodynamics. Inverse Problems, 2004, v. 20, No.l, 137-154 (Соавтор: проф. M. Moussaoui /Lyon/; его вклад в работу (стр. 145-146) никак не отражен в диссертации).

[16] Метод Гельмгольца-Кирхгофа и граничное управление при обтекании плоским потоком. Фундамент, и прикл. математика, 2006, № 4, 65-77.

[17] Configurations du plasma stationnaire équilibré. Free Boundary Problems. Proceedings of a Sem. held in Pavia, Roma, 1980, v. I, 467-486.

[18] The Stokes-Leibenson Problem for Hele-Shaw Flows. Patterns and Waves (Eds. A. Abramian, S. Vaculenko, V. Volpert), Saint Peresburg, 2003, 103-124 (Соавтор: Dr. J.-P. Loheac /Lyon/ выполнил численные расчеты по написанной им программе; теоретические результаты принадлежат диссертанту).

[19] Evolution of a perturbation of a circle in a problem for Hele-Shaw flows Journ. of Math. Sciences, 2004, No. 8, 4381-4403.

[20] О минимуме непрерывных функционалов от производных гармонической функции, параметризованной ее искомой линией уровня и/или другими граничными данными. Современная математика и ее приложения, ВИНИТИ, 2005, Т. 24 (Динамические системы и оптимизация), 35-50.

[21] Evolution of a perturbation of a circle in a problem for Hele-Shaw flows. Part II. Journ. of Math. Sciences, 2006, No. 6, 7064-7078.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова

Подписано в печать 0(, 09 Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. Тираж 100 экз. Заказ 02

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

Введение.

Глава 1. Прямая и обратная задачи о равновесии плазмы в токамаке

§1. Обратная задача о равновесии плазмы в токалтке

§2. Прямая задача о равновесии плазмы в токалтке

Глава 2. Эстремальные задачи со свободной границей

§3. Плоские стационарные течения с минимальным, отношением экстремальных значений давления на свободной границе

§4. Стационарное обтекание по схеме Кирхгофа криволинешюго препятствия, частично абсорбирующего энергию потока, и оценка максимально возможного КПД турбин в открытом, пот,оке

Глава 3. Задача Стокса—Лейбензона

§5. Возмущение окруэюности.

§6. Квазиконтурная модель. Аттрактирующее многообразие.

Глава 4. Высокочастотные асимптотики.

§7. Векторные поля, определяющие экспоненциально точные высокочастотные асимптотики гармонических функций

§8. Задача, Олейник-Темама об усреднении

§9. Асимптотика в областях с сильно гофрированной границей

В диссертации разработан функционально-геометрический метод исследования широкого круга задач со свободной границей для гармонических функций двух переменных. Этот метод заключается во взаимосвязанном анализе функциональных и геометрических характеристик исходных задач со свободной границей и соответствующих им нелинейных задач Римана-Гильберта с нелинейными функциональными ограничениями. Этот метод позволил найти условия существования или несуществования, сдинствсн

--------ности или неединственности решений рассмотренных в диссертаципзадачл установить некоторые качественные свойства решений. В диссертации рассмотрены прямая и обратная задачи о равновесии плазмы в токамаке, задача о течениях с минимальным отношенном экстремальных значений давления па свободной границе, задача об обтекании криволинейного частично абсорбирующего препятствия, задача Стокса-Лепбензона для Хпле-Шоу течения. Кроме того, разработанный в диссертации фупкцпоналыю-гео-метрический метод позволил по-новому подойти к вопросу о высокочастотных асимптотиках для гармонических функций и получить в сильной метрике экспоненциально точные вплоть до границы области асимптотики.

Актуальность представленной работы обусловлена как трудностью изучения задач со свободной границей, так и разнообразием важных приложений этого круга задач. К их числу относятся проблемы нелинейной динамики свободной поверхности идеальной жидкости [31], включая проблему цунами [91], потенциальные течения однофазных (см . например, §3 и §4 диссертации) и многофазных сред [15, 56, 77, 78], кавптацнонные и струйные течения [5, 14] (см. также §4 диссертации), задачи фильтрации [38] (см. также §5), экстремальные задачи со свободной границей (см., например, §3 и §4 диссертации) и ряд других задач (см. в частности, обзор [53]).

Одной пз таких задач является задача, которая была нами поставлена, и решена в связи с вопросом, поднятым Е.ГТ. Велиховым в 1972 году о возможности распада на отдельные компоненты связности плазменного разряда. Простейшая задача, соответствующая этому вопросу, такова.

Заданы число М > 0 и симметричная относительно осей х и у плоская спрямляемая кривая Г, ограничивающая одиосвязную область 6 С К'.

Требуется выяснить существует ли расположенные в © "плазменные" области ии>2, представляющее ортогональные сечения шнура плазменного разряда, состоящие, соответственно, из одной и двух односвязиых компонент связности (см. рис. 0.1). спрямляемые границы которых 7х а <у2 = "/2^12 симметричны относительно осей х и у, причем эти области и> 1 и Ш2 таковы, что выполнено следующее свойство. X а) ~ Ь)

Рис. 0.1

В "вакуумных" областях = & \ {ш\ и 71) и в О,2 = © \ (и>2 и 72) существуют определенные в где к = 1 или к — 2, гармонические функции и = к/- : —» Ш.удовлетворяющие таким граничным, условиями

Ыг= М, и и = 0. 17 ди дv 1 Ы

0.1)

Здесь I > 0 — заданная константа (равная 4 б случае наличия двух осей симметрии), а |7| — заранее не заданная длина1 искомого контура 7 = 7/с. у = о в = о

B = N(<,(v)) м ■' а) /?)

Рис. 0.2. Сепаратриса { (ж, у) е | и(х,у) = С*} проходит через начало координат. Она разделяет топологически различные типы линий уровня функции и : 0,2 —М. Через обозначена область П

Функционально-геометрический метод в отношении случая Ь) этой задачи характеризуется взаимосвязанным изучением следующих двух объектов Ими являются

1) геометрия области Г2 — 02 (см.2 рис. 0.2а) с заданным углом

N{3) между осью х и внешней нормалью 1/кГв точке Р3 £ Г П п

2) соответствующая этой геометрии и условию (0.1) нелинейная задача Римана-Гильберта для аналитической функции А + гВ комплексного переменного т = и + ги, определенной в прямоугольнике

Q = {0 < и < М, 0 < v < 1}

Q = w(tt)

0.2) и подчиненной таким нелинейным граничным условиям:

Я(гг,0) = 0, B(M,v) = ip(v), В{иЛ) = ф*(и), Bu(0,v) = 0. (0.3)

Нормальная производная Ои/ди | определена почти всюду, ввиду сделанного предположения о спрямляемости 7. 2 Здесь и ниже def

4f > 0,у > 0}.

Здесь <p(v) = N{s(v)), s(v) = [ eA{AI^ drj, s(l) = |Г|/4.

J о ф*(и) = 7г/2 при С* <U < М , Ф*{и) = тг при 0 < и < С* , а число С* (заключенное между нулем и М) характеризуется тем, что выполнено следующее нелинейное функциональное ограничение: т Г cos В(0, „)*, ( = ° "Р" " = I ,. (0.4) v у 70 v у [ > 0 при у G (0,1). v '

Отметим здесь же, что рассмотрение поставленной задачи в случае а), т.е. задачи (иллюстрируемой на рис. 0.1а) о существовании кривой 7 = 7i, гомеоморфпой окружности, связано с задачей Римана-Гильберта для функции A + iB в том же прямоугольнике Q, при тех же граничных условиях (0.3), но при ином функциональном ограничении, а именно:

С, = 0, a J(v) > 0 при 0 < V < 1. (0.5)

В случае задачи Римана-Гильберта для аналитической функции A + iB, подчиненной необходимым условиям разрешимости (0.3) и (0.4) или необходимым условиям (0.3) и (0.5), термин функционально-геометрический метод означает не только то, что указанные необходимые условия были получены на основе геометрических рассмотрений, учитывающих геометрический смысл еществеиной и мнимой частей функции A+iB, названной в диссертации функцией Гельмгольца-Кирхгофа, или ГК-функцни. Термин "функционально-геометрический метод" в данном случае означает также следующее: i) анализ условий (0.3) и (0.5), использующий эллиптическую теорию, теорию интеграла Лебега, а также вариант теории степени отображений Лере-Шаудера, учитывающий (что особенно важно) геометрические характеристики исходной задачи со свободной границей: ii) анализ условий (0.3) и (0.4) с помощью принципа максимума для эллиптических уравнений.

Это позволило установить, что при 0 < N(s) < тг/2 есть разрешимость исходной задачи со свободной границей 7 = 71, гомеоморфной окружности, но не существует области си = (¿2 с границей 7 = 72 (как па рис. 0.2).

Цели диссертации таковы.

Во-первых, разработка функционально-геометрического метода исследования широкого круга задач со свободной границей для гармонических функций, изучение которых ранее вызывало затруднения.

Важный класс таких задач характеризует следующее

Условие Гелъмголъца [102]. Пусть w = u + iv — комплексный потенциал скорости V = Vu течения несжимаемой жидкости в некоторой искомой области С К2. Требуется, чтобы искомая область О однолистно отображалась на фиксированную односвязную область функцией и) : = ю{г) = и(х, у) + у) (Е С}.

Вслед за пионерской работой Гельмгольца [102] о форме вытекающей из щели плоской струи было решено (см., в частности, [5, 14, 37]) немало задач этого класса с помощью метода годографа в интерпретации, восходящей к Кирхгофу [106] и получившей развитие в работах М. Планка [118], Н.Е. Жуковского [33], С.А. Чаплыгина [61], Т. Леви-Чивита [107] и многих других авторов. Метод годографа применим в случае, когда может бытьявио охарактеризована область/С = с1г / сШ 7 Н о в емееобл астыо те(9

Кирхгофа. Она очевидным образом связана с так называемой областью

1е / годографа % = дли/йг (от гр. ЬосЬэ — путь), т.е. множеством на комплексной плоскости, которое кончик вектора комплексно-сопряженной скорости : П Э 2 4 ^ е Н проходит, двигаясь по пути, определяемому точкой (ж, у), пробегающей всю искомую область течения. При заданной области /С = ¿г/д^ги , искомая область О, = { г{ги) = / Ф- с1'ш, -ш е <5} может быть найдена путем построения отображения х : С} —> К, посредством однолистных отображений к и д в следующей диаграмме

-Ш С+ э я{ии) ■

Согласно этой диаграмме, с1г/(1и) = где ус(и>) = к~1 , а коэффициенты а, 6, с и й дробно-линейпого автоморфизма полуплоскости С+ находятся (с точностью до пропорциональности) из соответствий, заданных отображениями к и д. В этом и заключается суть метода годографа.

Итак, в тех простейших случаях, т.е. когда область Кирхгофа может быть описана явно3, задачу построения искомого отображения ^ можно свести к построению однолистного отображения >с : К,. Это то, чем занимались классики. Но в общем случае область /С (и, соответственно, область годографа) не поддается явному описанию, поскольку она характеризуется (например, как в (0.3)-(0.4) или в (0.3), (0.5)) решением, вообще говоря, нелинейной задачи Римана-Гильберта с нелинейными ограничениями для функции

А + гВ : О = ъи(П,) Э ш = и + гу ^ А(и, у) + ИЗ (и, у) 1п . аги

3В таких случаях область Кирхгофа обычно выявляется из общефизических соображений, которые могут быть обоснованы апостериори. В случае задачи Кирхгофа о кавитационом обтекании отрезка [—г, г] потенциальным потоком с единичной горизонтальной скоростью па бесконечности, область /С есть полукруг. При этом, <3 = С \ Е+, а = где и0 = т{г) > 0.

Эта функция названа в диссертации функцией Гельмгольца-Кирхгофа. Она полностью4 решает исходную задачу нахождения искомой области течения и его скорости, ибо гги еА(и,у)+гВ(и,ь) ^ и) е д > ^ = ^^ } ^ ^ ^

9(г) = е гиа а р-А(и,у)+1В(и,у) I

Именно такая общая ситуация, в том числе та, когда область — ии(С1) не является фиксированной и/или одпосвязной, представляет особый интерес и значимость. Именно ей посвящена диссертация, в которой вместо метода годографа разработан функционально-геометрический метод для непосредственного построения и анализа функции А + гВ, т.е. решения задачи Римаиа-Гильберта, соответствующей исходной задаче со свободной границей.

Вторая цель диссертации - применение функционально-геометрического метода при решении широкого спектра задач со свободной границей для гармонических функций, инициированных прикладными запросами (физики, механики, .). Этому посвящены первые три главы диссертации.

Третья цель диссертации состоит в том, чтобы показать возможности применения разработанного функционально-гсомстрпчсского метода к иного рода задачам. Этому посвящена глава 4 (о высокочастотных асимптотиках) .

Методы исследования — это взаимосвязанный анализ геометрических характеристик исходной задачи со свободной границей и функциональных свойств соответствующей ей линейной или нелинейной задачи Римана-Гильберта с нелинейными функциональными соотношениями па ее решение, методы общей теории эллиптических дифференциальных уравнений, функциональный анализ, теория степени Лере-Шаудера и теория функций комплексного переменного. В ряде случаев проводимые исследования дополняются построением асимптотик и численным анализом.

Научная новизна и основные результаты.

Все результаты диссертации впервые получены автором. При этом был применен разработанный в диссертации функционально-геометрический метод. Вкратце, результаты таковы.

1) Получена двусторонняя поточечная оценка ди ди е-ш < ди Ре г ду ди < — р=р(Р)е 7 екА1 , к = к (Г) (0.7; р<ег

При условии, что формула (0.6) определяет однолистное отображение Это надо проверять отдельно для искомой гармонической функции и, определенной в двусвязноп области П(7,Г,М), ограниченной искомой линией уровня 7 = {и(х,у) = 0} и заданной кривой Г = {и(х,у) = М} при условии, что /г ди/дь> ¿Г=1 (ср. с (0.1)). Отметим, что ди/ди1 = ди/ди\г е2пМ = (1/2тгр) в случае, когда Г и 7 — концентрические окружности радиусов, равных, соответственно, В, = 1 и р = ехр(—2тгМ). Первая, но более слабая оценка е была ранее получена, автором и его аспиранткой в работе [29]. Оценка (0.7) имеет отношение к одной из центральных проблем управляемого термоядерного синтеза, а именно, к так называемой обратной задаче о равновесии плазмы, "которой ставится вопрос о~возможностггкласспфикации различных-типов распределения тока в плазме по данным магнитной диагностики, т.е. п « по значениям Математическая формулировка заключается в реконструкции функции у : © —> М, исходя из приведенных ниже соотношений (1.18)—(1.22).

ПРИМЕЧАНИЕ (об имеющихся на данный момент математических результатах по обратной задаче). В работах [23, 89] доказана,

Теорема А (е — 0). Если одиосвязная область со не круг, то при 5 = 0 существует не более конечного числа аффинных функций / : и у—> /{и) = аи + Ъ, которые могут быть решениями обратной задачи (в отличии от континуального числа таких функций в случае, когда и есть круг).

Эта теорем,а обобщает результат работ,ы [132] а предложенный автором метод доказательства теоремы А, позволил недавно: 1) усилить теорему А, показав для широкого класса областей единственность решения; 2) показать, что справедлива

Теорема В (б > 0). Если £ > 0, то даже в классе аффинных функций / для любого а > 0 найдется такое счетное мноэюеетво распределений тока у) = ^'кик(х-, у) + ^к, которые в равном,ерной метрике попарно различаются более ч,е.м, на а. Эти распределения являются членами 'последовательности, сходящейся к току, сосредоточенному на 7.

Алгоритм поиска существенно различных / в классе полиномиальных функций предложен в работе[28].

Вспомогательной в решении проблемы классификации распределения тока в плазме является прямая задача. Один из ее вариантов — это обобщение задачи о гармонической функции и в области Г2. у которой задана внешняя граница Г, а внутренняя 7, являющаяся искомой, подчинена, условиям (0.1). Обобщение заключается в том, что условие ди/ди| = //|7| заменяется па условие ди ди *(|Д7|) , (0.8)

1а'€7 171 т.е. условие того типа, которое фигурирует в оценке (0.7). Здесь в — натуральный параметр искомом контуре 7, а # — заданная положительная функция на [0,1]. Задание функции q частично определяет прямое, т.е. непосредственное задание распределения тока в плазме. В терминах функции q и геометрических характеристик заданной кривой Г = {и{х, у) = М} для этой прямой задачи получены достаточные условия как для существования, так п для несуществования, как для единственности, так и для неединственности равновесных плазменных конфигураций 7 = в заданном топологическом классе, соответствующем к компонентам связности плазмы. Для скицированного тока, что соответствует условию

------ - ---------- ди/ду\=1/17|,- (0.9) и для специального семейства внешних контуров Г, имеющих две оси симметрии, дано полное описание всех симметричных, а также несимметричных плазменных конфигураций, включая их бифуркацию и топологические перестройки. Кроме того, в случае q = const доказано существование выпуклой кривой 7 = 7i для произвольного выпуклого контура1' Г.

Сделаем два замечания относительно научной новизны результатов по прямой задаче.

Замечание 1. Условие (0.9) было сформулировано в работах автора в соответствии с анализом размерности. Если пренебречь этой физической аргументацией и заменить условие (0.9) на более ''простое" ди/ди| = С, С = const, (0.10) то возникнут трудности [16] даже при полярной симметрии: если Г - окружность единичного радиуса, а р < 1 - искомый радиус окружности 7, концентричной с Г, то при С > Me задача имеет два решения, определяемых из уравнения Ср1п(1/р) = М, но не имеет ни одного решения, если С < Me

Впрочем, таких трудностей не возникает, если свободная граница 7 (го-меоморфпая окружности) является внешней по отношению к заданной границе Г. В частности, при полярной симметрии однозначная разрешимость есть следствие того, что функция р\п(1/р) строго монотонно убывает при р > 1 Соответствующая этому случаю физическая задача приводит [73] к условию (0.10). При этом имеется теорема об однозначной разрешимости [63].

Замечание 2. Различным постановкам прямой задачи о равновесии (те. различным способам задания распределения тока) посвящено множество вычислительных работ физиков6. Первая математическая работа [26] по этой тематике была начальной для того направления математического исследования этой задачи, которое развивалось диссертантом. Спустя год

5Параллельно, этот результат, как решение задачи A.C. Демидова, был получен с помощью вариационных неравенств Ион 1-ом Лю (диссертантом Авнера Фридмана) в работе [110].

С.м., в частности, библиографию в книгах [30, 74, 93]. после публикации [26] возникло второе направление математического исследования прямой задачи о равновесии плазмы в токамаке Оно было начато в статье Р. Темама [129], последующей заметке А. Берестпки п X. Брезиса [68] и продолжено в исследованиях многих авторов (см., в частности, [65, 69, 120, 126, 130]). Если говорить коротко, в этом направлении исследований задается функция / : М. э и н-> /(и) > Отавная пулю при и > 0, и анализируется вопрос существования решения и Е С1{&) уравнения Аи = /(и), подчиненное условию: М > 0, и(х,у)) йхйу = 1. Однако при этом возникает (отнюдь не простой) вопрос: чем является множество нулей этого решения? Частично этот вопрос был изучен в работах [76, 104, 105] (см. также библиографию в книге [60]) Первое же направление исследований имеет непосредственное отношение к физике дела. Здесь речь заранее идет о (спрямляемой) нулевой линии уровня функции г/, а вовсе не о каком-то множестве пулен этой функции. Кроме того, в качестве аргумента прямой задачи здесь предъявляемся не та характеристика, которая является искомой в основной (т.е. обратной) задаче о равновесии, а функция д в условии (0.8), те. та величина, которая может бымъ в какой-то мере известна, в частности, благодаря оценке (0.7).

2) В качестве одного из примеров задачи о плоском стационарном потенциальном течении несжимаемой жидкости (или, в другой интерпретации, о стационарном тепловом потоке) с минимальным отношением -экстремальных значений модуля скорости на свободной границе, рассмотрена задача, возникшая в авиационном научно-техническом комплексе им. А.Н. Туполева. Задача связана с проблемой обледенения элементов корпуса летательных аппаратов. Речь идет о выборе формы полоски фольги, по которой пропускается электрический ток. Требуехся мпшшизировахь риск перегорания фольги за счет выбора формы полоски фольги, обе кромки которой 7± вынуждены (в силу некоторых конструктивных особенностей) проходить через заданные точки. Математическая формулировка макова: выбрать такую криволинейную полоску кромки которой 7± проходят через заданные точки, чтобы было минимально значение функционала где и — гармонична в П, а д > 0 - заданная константа. Доказаны теоремы о разрешимости, даны конструктивные формулы для кривых 7± и их асимптотических приближений при ¡1 —> 0. Диссертанту неизвестны работы других авторов по экстремальной задаче для функционала (0.11)

3) Получены теоремы о разрешимости, а также конструктивные формулы для решения стационарной задачи о максимизации отбора энергии у плоского потенциального бездивергентного потока, набегающего (по схе

0.11) ме Кирхгофа) на объект, частично поглощающпй этот поток и, соответственно, его энергию. Такой объект, являясь препятствием для частично обтекающего его потока, моделирует [94] турбину в открытом потоке реки, океанского течения. Как максимизировать отбор энергии у потока?

Если сопротивление, которое турбина оказывает потоку, слишком мало, то поток почти беспрепятственно просачивается. Если сопротивление слишком велико, то поток стремится обойти турбину-препятствие. Золотая середина достигается выбором оптимальных управляющих параметров, задающих вектор скорости вхождения потока в объект. В диссертации дано весьма существенное обобщение предложенной рапсе модели [95|: получены теоремы о разрешимости и даны конструктивные алгоритмы при весьма общем распределении углов входа течения в это препятствие (а не пластины, ортогональной симметричному потоку с одним варьируемый углом входа [95]).

4) Для задачи Стокса-Лсйбензона, одна из интерпретаций которой есть динамика контура нефтеносного пласта (или динамики зажатого между пластинами пятна вязкой жидкости с нулевым поверхностным натяжением), получено нелинейное интегро-дифференциальное уравнение для соответствующей этой задаче функции Гельмгольца-Кирхгофа. Анализ этого уравнения и его матричного приближения позволил впервые получить объяснение следзчощего "загадочного" явления: некоторые вполне регулярные контура, охватывающие жидкость, казалось бы, ничем не отличающиеся от подавляющего большинства других, вдруг при отводе этой жидкости из скважины, резко меняют свою форму с образованием так называемых "языков" (в терминологии П.Я. Кочиной [39]), или иначе говоря [123], "пальцев".

В диссертации представлена теорема [11] автора о тех Я"2-возмущениях окружности, которые в случае источника, т.е. подвода жидкости, деформируются бесконечно долго. Другие полученные к настоящему времени результаты [101, 113] о бесконечно долгой эволюции в случае источника предполагают аналитичность или существенную гладкость начального контура.

5) С помощью функционально-геометрического метода построена, согласно оценке (0.12), экспоненциально точная при е —> 0 асимптотика иЕ решения \]е следующей краевой задачи для уравнения Лапласа в плоской области О, с кусочно-аналитической границей Г = дО,. Здесь / 6 На~1/2(Г), а > 0, а б — натуральным параметр на Г. Доказана оценка

А иЕ = 0, ие (Ф) и£ - С4||я«(П) < Сае т/(Г, где т > 0 .

0.12)

Есть три отличия от традиционных [54] построении: 1) не исключен случай, когда граничные значения Ue принадлежат почти максимальному классу в шкале соболевских пространств, в которых есть единственность соответствующей гармонической функции U£\ 2) асимптотика экспоненциально близка к решению краевой задачи; 3) оценка погрешности дается в наиболее сильной норме, в которой ограничена сама функция U£.

Дано также обобщение такого построения асимптотики для решения двумерного квазилинейного эллиптического уравнения 2-го порядка.

6) Рассмотрена поставленная O.A. Олейник и Р. Темамом (см., в частности, [117]) задача о построении при~е~—ГО рагшомерной вплоть до границы Г = д£1 области О асимптотики для решения краевой задачи

Д[4 = 0 в Q, Ue = F{x/e,y/e) на Г, где F(x,y) — периодическая по каждому переменному функция, знакопостоянная на полупериоде, равном единице. С помощью функционально-геометрического метода построена экспоненциально точная (в смысле, аналогичном оценке (0.12)) асимптотика для любой кусочно-аналитической границы Г = дО, в случае двузначной функции F.

7) Функционально-геометрическим методом построена экспоненциально точная при £ —> 0 асимптотика решения краевой задачи для уравнения Лапласа в областях с сильно гофрированной границей с частотой волны гофра порядка 1/е. При этом оценка остаточного члена получена в наиболее сильной норме, в которой существует решение. Известные к настоящему времени иные методы (см., например, [116]) построения асимптотики дают для этой задачи оценку остаточного члена, только порядка е3/2 и то лишь в метрике Н1.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Ее значимость заключается в разработке такого функционально-геометрического подхода, который позволяет получать

• теоремы существования и несуществования, единственности и неединственности в отношении широкого спектра двумерных задач со свободной границей для гармонических функций;

• явные конструкции и формулы, задающие решения этих задач;

• экспоненциально точные (относительно сильной нормы) асимптотики для гармонических функций, быстро осциллирующих весьма сложным образом на границе области определения.

Как уже было отмечено, обозначенный класс задач богат приложениями. Явные же конструкции и формулы, задающие решения этих задач, могут быть использованы при тестировании вычислительных алгоритмов более сложных, например, трехмерных задач и при выборе подходящего начального приближения в соответствующих итерационных алгоритмах.

Апробация работы:

• приглашенный докладчик на международных конференциях "Singular Perturbations and Boundary Layer Theory", Lyon (1976) /France/, "Inverse Problems, Control and Shape Optimization", Carthage (2002) /Tunisie/ и "two months" E. Magenes-Scminar "Free Boundary Problems", Pavia (1979) /Italy/;

• докладчик па многих международных конференциях, в том числе: "Differn.Eq. and Related Topics "dedicated to I.G. Petrovskii, Moscow (1978, 1983, 1986, 1998, 2001, 2004); "Complex Analysis and FBR", St.-Pctersburg " (1994);-"PDE and Applications", Lyoir(1999)7France/; "Parabolic and-Elliptic-Problems", Gaeta (2001) /Italy/; "Free Boundary Problems", Tours (2003) /France/; "Kolmogorov and Comtemporary Mathematics", Moscow (2003); "Comput. Methods in Appl. Sciences", Jyvaskyla (2004) /Finland/; "Global and Geometric Aspects of Nonlinear PDF", Erevan (2004); "System Modeling and Optimization", Turin (2005) /Italy/; "Tikhonov and Contemporary Math.", Moscow (2006); "New Trends in Complex and Harmonic Analysis", Voss (2007) /Norway/; "Pontryagin 100-Anniversary Conference", Moscow (2008),

• докладчик на многочисленных научных семинарах в научных центрах России, Германии, Италии, Португалии, США. Франции,., в том числе: в институте АН СССР им. И.В. Курчатова на семинаре (1973 г.) п/р М.А. Леонтовича и Б.Б. Кадомцева; в МГУ на семинаре им. И.Г. Петровского (1974 г.) п/р В.И. Арнольда, М.И. Вишика, О.А. Оленник и Я.Г. Синая; в Rutgers University, Depart. Math, па семинаре (1997 г.) п/р И.М. Гельфанда; в МИРАН им. В.А. Стеклова на семинаре (2002 г.) п/р О.В. Бесова, С.М. Никольского и С.И. Похожасва; в РНЦ "Курчатовский институт" на семинаре (2006 г.) п/р В.Д. Шафранова.

Поддержка работ автора по теме диссертации: 1992 - 1995: Soros Foundation grant (NAW000, NAW300) руководитель; 1998 - 2000: PAST grant Министерства Образования и Науки Франции; 1994 - по настоящее время: гранты РФФИ — исполнитель, руководитель;

2001 - 2003: French-Russian grant PICS/RFBR — координатор;

2002 - 2004: Grant of the Liapunov French-Russian Institute — исполнитель; 2005 - 2008: French-Russian grant PICS/RFBR - руководитель.

1. Л.Н. Александров (1985) Кинетика кристализации и перекристали-зации полупроводниковых пленок. "Наука", Новосибирск.

2. В.И. Арнольд (2000) Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, 2-ое изд. Удмурд. гос. унпв-т.

3. А. Баджади, A.C. Демидов (1983) Теоремы существования, несуществования и регулярности в одной задаче со свободной границей. Матем. сборник АН СССР, Т. 122(164), №1(9), 64-81.

4. С.И. Безродных, В.И. Власов, A.C. Демидов (2009) О числе решений обратной задачи для уравнения Гельмгольца. Матем. заметки.

5. Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло (1964) Струи, следы и каверны. "Мир", Москва.

6. О.И. Богоявленский (2000) Точные глобальные равновесия плазмы. УМН, Т. 55, № 3, 63-100.

7. К.В. Брушлинский, В.В. Савельев (1999) Магнитные ловушки для удержания плазмы. Матем,. моделирование, Т. 11, № 5, 3-36.

8. А.Д. Валиев, A.C. Демидов (1997) О неотрицательных тригонометрических полиномах с фиксированным средним, проходящих через заданные точки. Матем. заметки, 62, N2 3, 468-471.

9. O.A. Васильева, A.C. Демидов (1999) Конечпоточечная модель задачи Стокса-Лейбензона для Хил-Шоу течения. Фундаментальная и прикладная матем., Т. 5, № 5, 67-84.

10. В.Н. Видарович, А.Е. Вальпян, Г.М. Курдюмов (1976) Направленная кристаллизация и физико-химический анализ. "Химия", Москва.

11. Ю.П. Виноградов, П.Г1. Куфарев (1948) Об одной задаче фильтрации. Прикл. Матем. Мех., Т. 12, № 2, 181-198.

12. Л.А. Галин (1945) Неустановившаяся фильтрация со свободной поверхностью. ДАН СССР, Т. 47, № 4, 250-253.

13. Г.М. Голузин (1966) Геометрическая 'теория функций комплексного переменного. 2-ое изд., "Наука", Москва.

14. М.И. Гуревич (1979) Теория струй идеальной жидкости. Отрывные и кавитационные течения. 2-ое изд. "Наука", Москва.

15. В.Г. Данилов, Г.А. Омельянов, Е.В. Радкевич (1995) Асимптотическое решение системы фазового поля и модефицированная задача Стефана. Дифф. уравнения Т. 31, № 3, С. 483-491.

16. И.И. Данилюк (1972) Об интегральных функционалах с переменной областью интегрирования. Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова, Т. 118.

17. A.C. Демидов (1970) Асимптотика решений краевых задач для линейного эллиптического уравнения 2-го порядка с коэффициентами, имеющими "всплеск". Труды ММ О, Т. 23, 77-112.

18. A.C. Демидов (1975) Асимптотика решения краевой задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений с малым параметром при старшем операторе. Труды ММО, Т. 32, 119-146.

19. A.C. Демидов (1978) Об одной задаче со свободной границей в теории равновесной плазмы. Труды семинара им. И.Г. Петровского, Т. 4. 6582.

20. A.C. Демидов (1983) Теоремы существования, несуществования и регулярности в одной задаче со свободной границей. Успехи матем. наук, выи 5, 151-152.

21. A.C. Демидов (1996) Полная асимптотика решения задачи Дирихле для 2-мерного уравнения Лапласа с быстро осцилпрующимн граничными данными. Доклады РАН, Т. 346, № 6, 732-734.

22. A.C. Демидов (1998) Полигональная модель для течения Хнл-Шоу. Успехи Матем. Наук, Т. 53, № 4, 195-196.

23. A.C. Демидов (2000) Об обратной задаче для уравнения Трэда-Шафранова с аффинной правой частью. Успехи Матем. Наук, Т. 55, № 6, 131-132.

24. A.C. Демидов (2002) Об эволюции слабого возмущения окружности в задаче о течении Хил-Шоу. Успехи Матем. Наук, Т. 57, № 6, 177-178

25. A.C. Демидов, JI.E. Захаров (1974) Прямая и обратная задачи в теории равновесия плазмы. Успехи Матем. Наук, Т. 29, № 6, 203.

26. A.C. Демидов, A.A. Созыкин (1986) Об одной экстремальной задаче со свободной границей. Успехи Матем. Наук, Т. 41, 4, 190-191.

27. A.C. Демидов, A.C. Кочуров и А.Ю. Попов (2009) К задаче о реконструкции нелинейиостей в уравнениях математической физики. Труды семинара им. И.Г. Петровского, вып. 27.

28. А.С, Демидов, В.В. Петрова (1994) Обратная задача со свободной границей в теории равновесной плазмы. Дифф. уравнения, Т. 30, №6, 10341038.

29. Ю.Н. Днестровский, Д.П. Костомаров (1993) Математическое моделирование плазмы. "Наука", Москва.

30. А.И. Дьяченко, В.Е. Захаров, Е.А. Кузнецов (1999) Нелинейная динамика свободной поверхности идеальной жидкости. Физика плазмы, Т. 22, № 10, 916-929.

31. В.В. Жиков, С.М. Козлов, O.A. Олейник (1993) Усреднение дифференциальных операторов. "Физико-матем. лит-ра", А4осква.

32. А.К. Звонкин, М.А. Шубин (1984) Нестандартный анализ и сингулярные возмущения обыкновенных дифференциальных уравнений. УМН. Т. 39, №, 77-127.

33. E.H. Каблов (2001) Литые лопатки газотурбинных двигателей. "МИ-СИС", Москва.

34. А. Картан (1963) Элементарная теория, аналитических функций одного и нескольких комплексных переменных. "ИЛ", Москва.

35. Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе (1963) Теоретическая гидромеханика. 6-ое изд. (в двух частях), "Физматгиз", Москва.

36. П.Я. Кочина /П.Я. Полубаринова-Кочина/ (1991). Избранные труды. Гидродинамика и теория фильтрации. "Наука", Москва.

37. П.Я. Кочина, А.Р. Шкирич (1954) К вопросу о перемещении контура нефтеносности (эксперимент) Известия АН СССР, отд. технич. наук, №11, 105-107.

38. Р. Курант (1962) Уравнения с частными производными, "Мир", Москва.

39. П.П. Куфарев (1948) Решение задачи о контуре нефтеносности для круга. ДАН СССР, Т. 60, №8, 1333-1334.

40. М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат (1973) Методы теории функций комплексного переменного. 4-ое изд., "Наука", Москва.

41. Г. Ламб (2003) Гидродинамика, (в двух частях), "Регулярная и хаотическая динамика", Ижевск.

42. Л.С. Лейбензоп (1934) Нефтепромысловая механика. Часть II, Нефте-пздат, Москва.

43. Э. Маджеиес (1966) Интерполяционные пространства и уравнения в частных производных. У МИ Т. 21, № 2, 169-218.

44. С.Н. Мергеляп (1956) Гармоническая аппроксимация и приближенное решение задачи Коши для уравнения Лапласа. УМН Т. 11, № 5, 3-26.

45. С.Г. Михлин (1962) Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения, "Физматгиз", Москва.

46. В.Н. Монахов (1977) Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. 2-ое изд., "Наука", Новосибирск.

47. Н.И. Мусхелишвили (1933) Некоторые задачи теории упругости. АН СССР, Ленинград.

48. И.П. Натансон (1974) Теория функций вещественной переменной. 3-е изд., "Наука", Москва.

49. А.И. Некрасов (1922) О прерывном течении жидкости в двух измерениях вокруг препятствия в форме дуги круга. Изв. Иваново-Вознесенского политехн. ин-та, № 5.

50. Л. Ниренберг (1977) Лекции по нелинейному функциональному анализу. "Мир", Москва.

51. Дж.Р. Окендон, С.Д. Ховисон (2002) Кочина и Хиле-Шоу в современной математике, естественных науках и технике. Нрикл. Мат. и Механика, Т. 66, вып. 3, 515-524.

52. Г.П. Панасенко (1979) Асимптотические разложения высокого порядка для решений контакных задач с периодической структурой. Матем. Сборник Т. 110(152), № 4, 505-538.

53. И.Г. Петровский (1961) Лекции об уравнениях с частным,и производными. "Гостехиздат", Москва.

54. П.И. Плотников, В.Н. Старовойтов (1993) Задача Стефана, как предел системы фазового поля. Дифф. уравнения, Т. 29, № 3, 461-471.

55. П.Я. Полубаринова-Кочина (1945) К вопросу о перемещении контура нефтеносности. Доклады АН СССР, Т. 47, № 4, 254-257.

56. П.Я. Полубаринова-Кочина (1945) О неустановившихся движениях в теории фильтрации: О перемещении контура нефтеносности. Прикл. Матем. и Мех., Т. 9, вып. 1, 79-90.

57. В.Л. Поляченко, A.M. Фридман (1976) Равновесие и устойчивость гра-витирующггх систем. "Наука", Москва.

58. А. Фридман (1990) Вариационные принципы и задачи со свободными границами, пер. с англ., "Наука", Москва.

59. С.А. Чаплыгин (1897) О некоторых случаях движения твердого тела в жидкости, Мат. сб., T. XX.

60. В.Д. Шафранов (1957) О магнитогидродинамических равновесных конфигурациях. Ж^уриал Экспериментальной и Теоретической Физики, Т. 33, №3(9), 710-722. Soviet Physics JETP, 6, (1958).

61. A. Acker (1989) On the qualitative theory of parametrized families of free boundaries. J. Reine Angew. Math., V. 393, 134-169.

62. M.C Altan, St. Luckhaus (1990) A review of fiber-reinforced injection molding: flow kinematic and particle orientation. Journ. of Thermoplastics Composite Materials, 3, 275-313.

63. A. Ambrosetti, G. Mancini (1980) A free boundary problem and a related scmilinear equation Nonlinear Anal. Theory, Methods Appl., v. 4, 909-915.

64. A. Antontsev, A.M. Meirmanov, V. Yurinsky (1999) Hele-Shaw flow in two dimensions: Global-in-time classical solutions. Universidade da Beira Interior, Portugal, preprint 6.

65. R. Aymar, P. Barabaschi, Y. Shimomura (2002) The ITER design. Plasma Phys. Control. Fusion, 44, 519-565.

66. H. Berestycki, H. Brezis (1976) Sur certains problèmes de frontière libre. C.R. Acad. Soi. Paris 283, Série A, 1091-1094. .

67. H. Berestycki, H. Brezis (1980) On a free boundary problem arising in plasma physics. Nonlinear Anal. Theory Methods Appl. 4, 415-436.

68. E. Beretta, M. Vogelius (1991) An inverse problem originating from magnethohydrodynamics. Arch. Rat. Mech. Anal. 115, 137 152.

69. E. Beretta, M. Vogelius (1992) An inverse problem originating from magnethohydrodynamics, II. The case of the Grad-Shafranov equation. Indiana Univ. Math. J. 41, 1081-1118.

70. E. Beretta, M. Vogelius (1995) An inverse problem originating from magnethohydrodynamics, III. Domains with corners of arbitrary angles. Asymptotic Analysis 11, 289-315.

71. A. Beurling (1957) On free-boundary problems for the Laplace equation. Semin. on Analytic Functions. N.Y. Inst. Adv. Study, V.I, 248-263.

72. J. Blum (1989) Numerical Simulation and Optimal Control in Plasma Physics (With Applications to Tokamaks). Chichester-New York-Brisbane-Toronto-Singapore. John Wiley &¿ Sons.

73. L.A. Caffarelli, G. Spruck (1982) Convexity properties of solutions" of some classical variational problems. Commun, in P.D.E. 7, 1337-1379.

74. G. Caginalp (1989) Stefan and Hele-Shaw type problems as asymptotics limits of the phase field equations. Physics Review A 39, No. 11, 5887 5896.

75. G. Caginalp, X. Chen (2000) Convergence of the phase field model to its sharp interface limits. Eur. J. Appl. Math. 12, 20-42.

76. A.S. Demidov (1975) The form of a steady plasma subject to the skin effect in a tokamak wit,h non-circular cross-section. Nuclear Fusion 15, 765 768.

77. A.S. Demidov (1977) Sur la perturbation "singulière" dans un problème à frontière libre. Proceedings of the Conference held in Lyon, 1976, Led. Notes Math. 594 123-130.

78. A.S. Demidov (1978) Equilibrium form of a steady plasma. Physics of Fluids 21, 902-904.

79. A.S. Demidov (1980) Configurations du plasma stationnaire équilibré. Proceedings of a seminar held in Pavia, 1979, V. I, Roma, 467-485.

80. A.S. Demidov (2000) Some Applications of the Helmholtz-Kirchhoff Method. (Equilibrium Plasma in Tokamaks, Hele-Shaw Flow, and High-Frequency Asymptotics). Russian J. Math. Ph., V. 7, No. 2, 166-186.

81. A.S. Demidov (2004) Evolution of a perturbation of a circle in a problem for Hele-Shaw flows. Journ. of Math. Sciences, 123, No. 8, 4381-4403 (http://www.wkap.nl/journalhome.htm/1072-3374).

82. A.S. Demidov (2006) Evolution of a perturbation of a circle in a problem for Hele-Shaw flows. Part II. Journ. of Math. Sciences, 139, No. 6, 7064-7078.

83. A.S. Demidov, J .-P. Lohéac (2001) A quasi-contour model of Stokes-Leibenson problem for Hele-Shaw flows. CNRS UMR 5585 preprint 328.

84. A.S. Demidov, J.-P. Lohéac (2003) The Stokes-Leibenson Problem for Hele-Shaw Flows. Patterns and Waves (Eds. A. Abramian, S. Vaculenko, V. Volpert), Saint Peresburg, 103-124.

85. A.S. Demidov, M. Moussaoui (2004) An inverse problem originating from magnetohydrodynamics. Inverse Problems 20, No. 1, 137-154.

86. A.S. Demidov, V.V. Pet.rova, V.M. Silantiev (1996) On inverse and direct free boundary problems in the theory of plasma equilibrium in a Tokamak. C.R. Acad. Sci. Paris 323 Série I, 353-358.

87. S.Yu. Dobrokhotov,S.Ya. Sekerzh-Zenkovich, B. Tirozzi, B. Volkov (2006) Explicit asymptotics for tsunami waves in framework of the piston model. Rus. J. Earth. Sci., 8, ES4003, doi: 10.2205/2006 ES000215.

88. J. Escher, G. Simonett (1997) Classical solutions of multidimensional Hele-Shaw models. SI AM J. Math. Anal, 28, No. 5, 1028-1047.

89. J.P. Freidberg (1987) Ideal Magnetohydrodynamics, Plenum, New York.

90. A.N. Gorban', A.N. Gorlov, V.M. Silantyev (2001) Limits of the Tuibinc Efficiency for Free Fluid Flow. Journal of Energy Resources Technology 123, no. 4, December, 311-317.

91. A. Gorban', M. Braverman, V. Silantyev (2002) Modified Kirchhoff flow with a partially penetrable obstacle and its application to the efficiency offree flow turbines. Mathematical and Computer Modelling 35, no. 13, June, 1371-1375.

92. A.M. Gorlov (1995) The Helical turbine: a new idea for low-head hydropower. Hydro Review, 14, No.5, 44-50.

93. A.M. Gorlov (1998) Helical turbine for the Gulf Stream. Marine Technology, 35, No.3, 175-182.

94. H. Grad, H. Rubin (1958) Hydromagnetic equilibria and force-free fields. Proceedings of the 2nd. United Nations International Conference on the Peaceful Uses of Atomic Energy, Geneva, Vol. 31, 190—. Columbia University Press, New York (1959).

95. B. Gustafsson (1985) Applications of variational inequalities to a moving boundary problem for Hele-Shaw flows. SIAM J. Math. Analysis 16, 279300.

96. B. Gustafsson, A. Vasil'ev (2004) Conformal and Potential Analysis in Hele-Shaw cells, Stockholm-Valparaiso.

97. B. Gustafsson, D. Prokhorov, and A. Vasil'ev (2004) Infinite lifetime for the starlike dynamics in Hele-Shaw cells Proc. of American Math. Soc., v. 132, No.9, 2661-2669.

98. S.D. Howison, J.R. Ockendon (1999) Papers from the conference held in Oxford. Euro. J. of Applied Mathematics, 10, 511-709.

99. D. Kinderlehrer, L. Nirenberg (1977) Regularity in free boundary problems. Ann. Scu. Norm. Sup. Pisa, Serie IV, 4 No. 1, 373-391.

100. D. Kinderlehrer, G. Spruck (1978) Regularity in free boundary problems. Ann. Scu. Norm. Sup. Pisa, Serie IV,5 No. 1, 131-148.

101. G. Kirchhoff (1869) Zur Theorie freier Flüssgkeitsstrahlen. J. reine angew. Math. Grell. Berlin 70, 269-298 (см. также: Механика. Лекции по лм-тематической физике, АН СССР, Москва, 1962).

102. T. Levi-Civita (1907) Soie e leggi di resistenzia. Rend. Circolo Math. Palermo, 23, 1- 37.

103. J. Leray, J. Schauder (1934) Topologie et équations fonctionnelles. Ann. Sei. Ecole Normale super. 13, 45-78 (русск. перевод в УМЫ (1946) T.l, вып. 3-4, 71-95).

104. J.-L. Lions, E. Magenes (1971) Неоднородные граничные задачи и их приложения, "Мир", Москва.

105. Y. Liu (1995) The equilibrium plasma subject to skin effect-. S1AM J. Math. Anal., 26, No. 5(Sept.), 1157-1183.

106. T.C. Luce (2005) Development of steady-state advanced t.okamak research in the DIII-D tokamak. Fusion Science and Technologie, 48, No. 10(0ct.), 1212-1225.

107. R. Liist, A. Schlüter (1957) Axialsymmetrische magnetohydrodynamische glcichgcwichtskonfigurationeii. Zeitschrift für Naturforschüng, 12A, 850.

108. A.M. Meirmanov, В. Zaltzman (2002) Global in time solution to the Hele-Shaw problem with a change of topology. Euro. Jnl of Applied Mathematics. 13, 431-447.

109. J. Mossino (1982) A priori estimates for a model of Grad-Mercier type in plasma confinement. Appl. Anal., Vol. 13, №№ 3, 185-207.

110. J. Mossino (1987) Isoperimetric inequalities and nonexistence résultat for the Grad-Shafranov equations. Nonlinear Anal, Vol. 11, No 2, 231-244.

111. N. Neuss, M. Neuss-Radu, A. Mikelic (2006) Effective laws for the Poisson equation on domains with curved oscillating boundaries Applicable Analysis, Vol. 85, No. 5, 479-502.

112. O.A. Oleinik, R. Ternam, G.A. Yosifian (1995) Some nonlinear homogenization problems Applicable Analysis Vol. 57, No. 1-2, 101-118.

113. M. Planck (1884) Wiedemann Arm., V.XXI, ser. 2.

114. G. Prokcrt (1999) On evalution equations for moving domains. Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen 18, No. 1, 67-95.

115. J.-P. Puel (1977) Sur un problème de valeur propre non linéaire et de frontière libre. C.R. Acad. Sei. Paris 284 Série A, 861-863.

116. V.D. Pustovitov (2001) Magnetic diagnostics: General principles and the problem of reconstruction of plasma current and pressure profiles in toroidal systems. Nuclear Fusion, 41, No. 6, 721-30.

117. S. Richardson (1972) Hele-Shaw flows with a free boundary produced by the injection of fluid into a narrow channel. J. Fluid Mech. 56, 609 618.

118. P.G. Saffman, G.I. Taylor (1958) The penetration of a fluid into a porous medium of Hele-Shaw cell containing a more viscous liquid. Proc. Royal Soc. A, 245, 312-329.

119. D.G. Schaffer (1977) Non-uniqueness m the equilibiium shape of a confined plasma. Commun. P.D.E. 2 587-600.

120. M. Sermange (1979) Une méthode numérique en biffurcation: application à une problème à frontière libre de la physique des plasmas. Appl. Math, fnd Opt. 5, 127-151.

121. M. Sermange (1980) Bifurcation of free boundary plasma equilibria. Duke Math. J. 47 923-942.

122. V.D. Shafranov (1957) On equilibrium magnetohydrodynamic configurations. Terzo Congresso Internazionale Sui Fenomeni D'tonizzazione Nei Gas, tenuto a Venezia dall'll al 15 giuyno, 1957. Milano, 990-997.

123. J. Steinbach (2002) A Variational Inequality Approach to the free Boundary Problems with Applications in Mould Filling, Intern. Scries of Numerical Math., 136 Birkhauser Verlag Basel/Switzeizerland.

124. R. Temarn (1975) A non-linear eigenvalue problem: The shape at equilibrium of a confined plasma. Arch. Ration. Mech. 60, №1, 51 73.

125. R. Temam (1977) Remarks on a free boundary problem arising in plasma physics. Commun. P.D.F. 2, №6, 563-585.

126. B.G.Thomas, Ch.Beckermann (1998) Modeling of casting, welding advanced solidification processes San Diego, California.

127. M. Vogelius (1994) An inverse problem for the equation Au = —eu — d. Ann. Inst. Fourier 44, No. 4, 1181-1209.