Равновесие изотропного упругого пространства, содержащего полости и включения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Шульмин Антон Сергеевич

РАВНОВЕСИЕ ИЗОТРОПНОГО УПРУГОГО ПРОСТРАНСТВА, СОДЕРЖАЩЕГО ПОЛОСТИ И ВКЛЮЧЕНИЯ

Специальность 01.02.04 - «Механика деформируемого твёрдого тела»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

11 МАР 2015

005560379

Липецк-2014

005560379

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетно\ образовательном учреждении высшего профессионапьного образована «Липецкий государственный технический университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук профессор Пеньков Виктор Борисович

Официальные оппоненты: Шашкин Александр Иванович, доктор физико-математических наук профессор, ФПЮУ ВГ10 «Воронежский государственный университет» кафедра математического и прикладного анализа, заведующий кафедрой

Сильвестров Василий Васильевич, доктор физико-математических наук профессор, ФГБОУ ВПО «Российский государственный университет нсфт! и газа имени И. М. Губкина», кафедра высшей математики, профессор

Ведущая организация: федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образовани «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана»

Зашита состоится « 1» _ _ ОН 201э_года в 14 пс

заседании диссертационного совета Д 212.271.02 при ФГБОУ ВП( «Тульский государственный университет» (300012, г. Тула, пр. Ленина, 92 12-105)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте http://lsu.tula.ru Тульског о государственного университета

Автореферат разослан « 10»_____________ОЛ___201 £1 •

Ученый секретарь л,

диссертационного совета —Толоконников Лев Алексеевич

Общая характеристика работы

Актуальность_темы_исследования. Развитие метода граничных

состояний (МГС) на классы задач для ограниченных и неограниченных тел, содержащих полости и включения произвольной формы, является актуальной темой.

Задачи о полостях в пространстве изучались механиками издавна. Дж. Лармор исследовал влияние полостей на прочность материалов. Чун-Рон Чан анализировал концентрацию напряжений вокруг сферической полости в трехмерной среде. Гасратова Н. А. строила напряжённо-деформированное состояние упругого пространства со сферическим жёстким включением, в другой её- работе было приведено решение некоторых классических пространственных задач теории упругости в напряжениях. Максимов А. Н. методом малого параметра оценил напряжённое состояние упругопластического сжимаемого пространства, ослабленного эллипсоидальной полостью. Уатаев К. Ш. исследовал напряжённое состояние случайно-неоднородной среды с полостью.

Специфика этих работ связана с конфигурацией границ тел (сферы, неограниченные цилиндрические поверхности), что позволяет применять спектральные разложения, используя в качестве рабочего инструмента специальные функции. Данное ограничение существенно сужает класс рассматриваемых задач, поэтому актуальна разработка метода, распространяемого на задачи для ограниченных и неограниченных тел, содержащих-полости и включения произвольной формы.

Цель диссертационной работы: развитие МГС на класс задач теории упругости для неограниченных тел, содержащих полости и включения.

Задачи исследования:

- обоснование методологии построения базиса пространства гармонических функций для неограниченных областей;

- разработка методики наполнения базисов пространств состояний для тел, содержащих полости и включения, на основе общих решений определяющих уравнений для среды;

- формулировка краевых задач теории упругости в терминах МГС;

- разработка вычислительных алгоритмов;

- решение серии задач о внешности сферической полости (первая, вторая, основная контактная и основная смешанная задачи);

- решение серии задач о взаимодействии полостей и включений (первая, вторая и основная смешанная задачи).

Методы исследований:

методы функционального анализа (теория гильбертовых пространств);

- методы компьютерной алгебры;

- методы решения бесконечных систем уравнений.

Научные результаты. На защиту выносятся следующие научные результаты:

- теорема о функциях, гармонических вне е-окрестности точки;

- методология наполнения базиса пространства состояний для тела, содержащего полости;

- результаты решения задач теории упругости для неограниченного тела с одной и двумя сферическими полостями и включениями.

Научная новизна определяется следующими положениями:

- разработаны методология и алгоритм построения функций, гармонических вовне окрестности фиксированной точки, на основе набора однородных гармонических многочленов;

- наработаны шаблоны, позволяющие набирать базис пространства состояний по стандартной схеме;

- выполнены тестовые и оригинальные расчеты для серии задач о внешности сферической полости (первая, вторая, основная контактная и основная смешанная задачи);

- решены новые задачи о взаимодействии полостей и жестких включений (первая, вторая и основная смешанная задачи).

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечена:

- строгим математическим обоснованием МГС;

- тестированием результатов в отношении точности (визуальное сопоставление граничных условий с решением, оценка невязки решения с граничными условиями);

- тестированием метода на известных решениях (сопоставление первой основной задачи для сферической полости с известным решением Саутвелла).

Теоретическая ценность заключается в следующих положениях:

- МГС усовершенствован на предмет учёта полостей, содержащихся в

теле;

- доказана теорема о функциях, гармонических во внешности окрестности любой точки пространств, конструктивное применение которой позволяет строить базис пространства гармонических функций;

- разработана методология построения базиса гармонических функций вовне окрестности фиксированной точки, исходя из набора однородных гармонических многочленов;

- выполнены постановки первой, второй, основной смешанной и основной контактной задач теории упругости в терминах МГС для неограниченной среды с полостями и включениями.

Практическая ценность заключается в возможности использования МГС для решения задач, в которых пространства содержат полости и включения, в частности:

- разработан алгоритм наполнения базиса гармонических функций вовне окрестности фиксированной точки;

- разработаны алгоритмы наполнения базисов пространств состояний для тел, содержащих полости;

- решена серия задач для неограниченного теля со сферической полостью (первая, вторая, основная контактная и основная смешанная задачи);

- решена серия задач о взаимодействии полостей и жестких включений (первая, вторая и основная смешанная задачи).

Вклад автора в разработку проблемы:

- соавторство в формулировке и доказательстве теоремы о функциях, гармонических вне г-окрестности точки в Л3;

разработаны алгоритмы наполнения базиса пространства гармонических функций для неограниченных областей;

- сформулированы краевые задачи теории упругости в терминах МГС;

- разработаны вычислительные алгоритмы;

- проведены расчеты задач о внешности сферической полости (первая, вторая, основная контактная и основная смешанная задачи);

- проведены расчёты задач о взаимодействии полостей и включений (первая, вторая и основная смешанная задачи).

Апробация_работы. Материалы диссертации докладывались на

регулярных семинарах по механике в ЛГТУ, на семинаре им. Л. А. Толоконникова в ТулГУ (июнь 2014), на международных конференциях «Современные проблемы математики, механики, информатики» (г. Тула, сентябрь 2012, сентябрь 2013, сентябрь 2014), на международной

конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (г. Воронеж, ноябрь 2013), МГТУ им. Н. Э. Баумана (сентябрь 2014).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, в том числе 2 опубликованы в изданиях, входящих в перечень ВАК РФ.

Структура и объём диссертации. Диссертация содержит введение, 3 главы, заключение, библиографический список из 134 источников, 1 приложение. Общий объём диссертации составил 66 страниц.

Краткое содержание работы1

Во .введении дан обзор актуальности темы, степени её разработанности, цели диссертации, научной новизны, теоретической и практической ценностей, методологии, апробации.

В первой главе дан обзор для задач о полостях в пространстве и методы их решения, а также дан обзор задач, решённых методом граничных состояний. В первом параграфе выполнен обзор задач о полостях в пространстве. Во втором параграфе дан обзор задач, решённых методом граничных состояний.

Во второй главе выполнено обоснование МГС для задач о неограниченных телах с полостями. В первом параграфе описан МГС, поставлены и решены основные внешние задачи механики, описана методология построения базиса состояний для односвязного упругого тела. Решены основная контактная и основная смешанная задачи для сферической полости с линией раздела граничных условий

1. Диссертант выражает благодарность к. ф.-м. и. Саталкиной Л. В. за

научную консультацию но теме диссертации

непосредственно на сфере.

Под внутренним состоянием среды £, понимается любое частное решение определяющих уравнений среды. Совокупность таких состояний образует гильбертово пространство. Каждому внутреннему состоянию соответствует его след на границе тела - граничное состояние совокупность которых образует гильбертово пространство граничных состояний. Внутреннее и граничное состояния представляются рядами Фурье по элементам ортонормированных базисов с общими коэффициентами: # = -У = Т.С<У''> где С1 ) ~ коэффициенты

к 1 4

Фурье. Внутреннее состояние упругого тела ^-{и ,е ,сг } представляется компонентами вектора перемещения и и тензоров деформаций е и напряжений а . Граничное состояние у = {и,р} представлено перемещениями и и усилиями р на границе тела.

Методология построения базиса состояний для одпосвязного упругого тела. Общее решение уравнения Ламе при отсутствии объемных сил для линейной изотропной упругости представляется формулой Папковича - Нейбера. Для ограниченного односвязного тела эффективным вариантом является решение Аржаных - Слободянского

и =4(1 -у)В +хВ -хВ , у =-,

2 (Л + р)'

где запятая перед нижним индексом или у означает дифференцирование по соответствующей координате, и~ компоненты вектора перемещений, Я и р - постоянные Ламе. В = {{<р,0,0},{0,^,0},{0,0,^}}, ср - гармоническая функция; при организации базиса внутренних состояний используются элементы пространства однородных гармонических многочленов.

Во втором параграфе сформулирована и доказана теорема о функциях, гармонических вне г-окрестности.

Теорема: пусть и(х,у,г) - однородный гармонический многочлен степени п и г — радиус-вектор, проведённый из некоторого центра. Тогда функция у(х,у,г) = и(х,у,г)!г' , г = |г| - гармоническая в любой открытой области, исключающей е - окрестность центра.

Используя данную теорему, базис состояний для неограниченного тела с полостью в соответствии с решением Аржаных-Слободянского для внешности полости

и =4(1-1/)В -(х В ) , В = {{<з,0,0}, {0, ср,Щ, {0,0, д>)}, где элементы <р строятся в соответствии с выводами теоремы:

^АЛА^"^....).

г г г г г г г

В третьем параграфе описаны процедуры решения внешних задач. Описана процедура формирования базиса, ортогонализация базиса, а так же решение основных задач теории упругости.

В четвёртом параграфе решена серия задач для неограниченного тела со сферической полостью: первая основная (задача Саутвелла), вторая основная, основная контактная и основная смешанная задачи. Отметим, что решения, построенные Саутвеллом и по методу граничных состояний, совпадают.

В третьей главе решена серия задач о сферических полостях и включениях в неограниченном пространстве.

В первом параграфе приведено решение задачи о взаимовлиянии сферических полостей (первая основная задача). Неограниченная изотропная упругая среда содержит две сферические полости одинакового

радиуса Я (межполостный слой имеет толщину к) растягивается усилиями I

интенсивности Ра на бесконечности в направлении нормали к общей | экваториальной плоскости (ось г). Необходимо определить напряжённо-

деформируемое состояние (НДС). На рисунке 1 представлены результаты | расчетов, выполненных при безразмерных значениях геометрических и

физических параметров задачи: ^х = 1, у = 1/4, К = 0.7, Ра = 1, И = 0.4. |

Среднеквадратическая невязка ГУ с соответствующими им атрибутами I

восстановленного граничного состояния составила малую безразмерную {

величину порядка 10~3. |

Рисунок 1 - Перемещения: а - радиальные в плоскости сечения; б - } осевые

Во втором параграфе приведено решение задачи о взаимовлиянии

сферических включений (вторая основная задача). Поставлена задача об I

упругом пространстве с двумя взаимодействующими жёсткими |

включениями, спаянными с окружающей средой. Неограниченная |

изотропная упругая среда, содержащая два сферических включения |

одинакового радиуса, растягивается усилиями интенсивности Р„ на | бесконечности в направлении нормали к общей экваториальной плоскости

(ось г). Межполостный слой имеет толщину к. Необходимо определить напряжённо-деформируемое состояние (НДС) и исследовать зависимость концентрации напряжений от И. На рисунке 2 представлены результаты расчетов, выполненных при безразмерных значениях геометрических и физических параметров задачи: Я = 0.7, к = 0.6, е = 0.01, Л = р = 1. Среднеквадратическая невязка ГУ с соответствующими им атрибутами восстановленного граничного состояния составила малую безразмерную величину 0.006.

0.0 0 2 0.4 Об 0.8 1.0 ".О 0.2 0.4 0.6 0.8 10

Рисунок 2 - Изолинии напряжений в сечении у=0

На рисунке 3 представлено влияние межполостного расстояния на концентрацию напряжений.

Ь =0.9

Рисунок 3 - Влияние межполостного расстояния на концентрацию напряжений

В третьем параграфе приведено решение задачи о взаимодействии сферических полости и включения (основная смешанная задача). Неограниченная изотропная упругая среда содержит сферическую полость

и включение одинакового радиуса Я. Межполостный слой имеет толщину к. Граница первой полости 5. подвержена внутреннему давлению интенсивности Р0, граница второй полости 5(( спаяна с жёстким сферическим ядром такого же радиуса. Необходимо определить НДС. На рисунке 4 представлены результаты расчетов, выполненных при безразмерных значениях геометрических и физических параметров задачи: Я = 0.7, к = 0.6, Р0 =1, Л =/и = 1. Среднеквадратическая невязка граничных условий с соответствующими им атрибутами восстановленного граничного состояния составила малую безразмерную величину порядка 10" .

Рисунок 4

0 1 2-2-1 СУ_

- Изолинии напряжений в сечении у=0

Заключительная часть работы содержит основные результаты и общие выводы, сформулированные на основе проведенных исследований.

Основные результаты работы

1. МГС развит на класс областей (ограниченных, неограниченных), содержащих полости и включения.

2. Сформулирована и доказана теорема о функциях, гармонических во внешности окрестности любой точки пространств, конструктивное применение которой позволяет конструировать базис пространства гармонических функций.

3. Разработана методология построения базиса гармонических функций вовне окрестности фиксированной точки, исходя из набора однородных гармонических многочленов

4. Выполнены постановки первой, второй, основной смешанной и основной контактной задач теории упругости в терминах МГС для неограниченной среды с полостями и включениями.

5. Разработан алгоритм, позволяющий строить гармонические функции вовне окрестности фиксированной точки, исходя из набора однородных гармонических многочленов.

6. Наработаны шаблоны, позволяющие набирать базис пространства состояний по стандартной схеме.

7. Выполнены расчеты для серии задач о внешности сферической полости (первая, вторая, основная контактная и основная смешанная задачи).

8. Выполнены расчеты для серии задач о взаимодействии полостей и включений (первая, вторая и основная смешанная задачи).

9. МГС продемонстрировал свою эффективность в задачах для тел с полостями.

Работы, опубликованные по теме диссертации:

1. Шульмин, А. С. Основная смешанная задача для сферической полости в упругом пространстве / А. С. Шульмин, В. Б. Пеньков, Л. В. Саталкина // Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 1. Часть 1. — Тула: ТулГУ. - 2014. — С. 207-216.

2. Шульмин, А. С. Применение метода граничных состояний для анализа упругой среды с полостями и включениями / А. С. Шульмин, В. Б. Пеньков, Л. В. Саталкина // Прикладная математика и механика. Том 78. Вып. 4. - М. - 2014. - С. 542-556.

3. Шульмин, А. С. Базис пространства состояний многосвязного упругого тела / А. С. Шульмин, Л. В. Саталкина, В. Б. Пеньков // Материалы международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики". - Тула: ТулГУ. - 2012. - С. 209-211.

4. Шульмин, А. С. Взаимодействие упругого слоя с жесткой сфероидальной поверхностью / А. С. Шульмин, Л. В. Саталкина, В. Б. Пеньков, С. С. Теплова // Материалы международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики". - Тула: ТулГУ.-2012.-С. 225-227.

5. Шульмин, А. С. Двухполостное упругое пространство со свободной границей / А. С. Шульмин, Л. В. Саталкина, В. Б. Пеньков // Материалы международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики". - Тула: ТулГУ. - 2012. - С. 272-275.

6. Шульмин, А. С. Взаимодействие нагруженной полости со сферическим включением / А. С. Шульмин // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сборник трудов Международной конференции. - Воронеж: ВГУ. - 2013. - С. 232-235.

7. Шульмин, А. С. Взаимодействие жестких шаровых включений через упругую среду. / А. С. Шульмин, В. Б. Пеньков, Л. В.

Саталкина // Материалы международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики", посвященная 90-летию профессора Л. А. Толоконникова (Россия, Тула, 1620.09.2013). - Тула: ТулГУ. - 2013. - С. 439-443.

Подписано в печать 08.10.2014. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная.

Ризография. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 120 экз. Заказ № 521. Издательство Липецкого государственного технического университета. Полиграфическое подразделение Издательства ЛГТУ. 398600 Липецк, ул. Московская, 30.