Функциональные уравнения гомологического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОНИКИ И МАТЕМАТИКИ

/Технический университет/

На правах рукописи

ШУЛЬМАИ Кглтер.шп Викторовна

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГОМОЛОГИЧЕСКОГО ТИПА 01.01.01 - матеглатическмй анализ

АВТОРВ&ЕРА? диссертации на соискание ученой степени • кандидата физико-математических ¡шуте

Москва - 1994

Работа выполнена на кафедре математического анализа Московского педагогического государственного университета им.В.И.Ленина

Наутный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущая организация

- доктор физико-математических наук профессор Е.АЛ'орин

- доктор физико-математических наук профессор Д.П.Яелобенко

Ки-пД^Ц Ди.Т филИКО-Кэ о.и п ч <.:СКу1Л

лоцо.пт А • И. -И о г я I г о п

Институт штемьтвки АН Украины, г. Киев

Зящкта диссертации состоится 11 октября 1994г. в 16 час.00 уик па заседании диссертационного Совета К 063.68.05 в Московской государственном институте электроники и- математики по адресу: Москва, Б.Зузовский пер., 3/12.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГЮМ

Автореферат разослан

1994 г.

Ученый секретарь диссертационного доцент

Совета —п

П. В.Шнурков

-

. . общая характеристика работы

Диссертация посвящена исследованию некоторых классов функци-[альных уравнений на топологических полугруппах, вклвчащих, в ютности, классические уравнения Кот, Лобачевского, Пексиде, (нио и др. Рассматриваются строение пространства решений, вопро-I устойчивости, а также решения в классах обобщенных функций.

Актуальность темы. Функциональные уравнения

{(**«p«f(*) С1)

'|(®«p»fc®)f(y) ' (2)

их обобщения привлекали и привлекает анимание математиков, на-1ная с работ Коти, доказавшего, что их непрерывные решения -го, соответственно, линейные функции и экспоненты. Интерес к та-ш уравнениям объясняется, прежде всего, широтой спектра их применяй, включаюцего задачи теории случайных процессов, небесной гханики, квантовой теории поля, статистической фаэихи (обзор рилогений можно найти в книге Ш). В соответствии-с потребности приложений формировались и основные направления обобщений, реди которых мы выделим следующие: 15 рассмотрение функций на апологических группах и полугруппах, 23 сухекиа области ог.реде--вния и области выполнения равенств, 33 изучение соответствующих йравенств С гюлуаддитивные функции), 4) исследование векторных ешений; сюда относятся, в частности, операторнозначные решения a R+ уравнения С2), изучение которых составляет теорию полу-рупп операторов Cí¿},[3]).

ill Aczei J., Dhombres J., Functional equations in several ariables Cambridge UniY. Press, Cambridge, UK, 1989.

t2J .Хилле Э., Филлипс P., Функциональный анализ и полугруппу/ М., ИЛ. 1962

[31 Голдстейн Дж., Полугруппы линейных операторов и их при-ожения // Киев, Выща. юк., 1989

Сравнительно недавно стали рассматриваться вопросы устойчивости уравнений (1) и (2), т.е. свойства функций, которые, в том или инок смысле "почти" удовлетворяет уравнениям (спрашивается, верно' ли, что они мало отличаются от решений уравнений). Первые результаты здесь были получены в 1941 году Хайерсби [41, который, отвечая на вопрос Улама, показал, что непрерывное отображение ('• X ^ .где X . V - банаховы пространства, удовлетворяющее условию II - ((2) -1 (р !! < & , не более, чей на £,, отличается от линейного отображения. Позднее Бейкер С5] доказал, что для непрерывных отображений полугруппы в банахову алгебру условие

эквивалентно условию

|| ( '

где 0. - гомоморфизм. Отметим различие в этих результатах: прежде всего, речь в них идет с разных классах функция, кроме того, второй не носит "количественного" характера. Перенести результат Хайерса на произвольные полугруппы, как выяснилось, невозможно [6). также как и доказать его "бейкеровскую" модификации

<в?< К (ю' 3< ~ 3

даже для скалярных функций. Правильный класс полугрупп здесь выделяется условием аменабельности (напомним, что аменабельной называется локально - компактная группа, допускавшая левоинвариант-нсе среднее на пространстве ограниченных непрерывных функций). Основные результаты для амена>-бельных групп и аменабельных бана-

t41 Hyers D.H. , On stability of the linear functional equations /x Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1941, v. 27, N2, p.222-224

(51 Baker J., Functional equations, distributions and approximate identities// Canadian J. Math., 1990, v.42, N4, p.696-709

161 Штерн А. И., Квазипредставления и псевдопредставления // Функциональный анализ и его приложения, 1991, т.25, в.2, с.70-73

ковra алгебр соответственно были получены Д. Кавданом 17] и Б. Джонсоном [8J. Наиболее обзде результаты моюю найти у А.К.Штерна 16,9].

Продолжением результатов Коти об уравнении.С13 является и теория хогомологий топологических групп [103, поскольку -решения (1) - это одномерные коциклы стандартного коцепяого комплекса'со скалярными коэффициентами Сем., например, til]). В частности, известные теоремы Ван Эста C12J и Мостова [13! о совпадении гладких, непрерывных и измеримых ксгомологий, являются прявдмм обобщениями результатов 'о совпадении соответствующих классов аддитивных функций.

Центральное место в данной работе занимает изучение решений . уравнения

Здесь

I .ас, к - неизвестные функции на некоторой полугруппа, скалярные или принимающие значения в банаховой алгебре; в г.о-

17] Kazhdan D. // Israel J. Math. -1983, v. 43, N4, p.315-323

[8] Johnson B.E., Approximately multiplicative maps between' banach algebras //J. London Math. Soc.(2). 37 (1988), p 294-316

[tri Штерн А. И, , Псевдохарактер, определенный символом Раде-махера // УМН, 1990, т.43, в.3(273), с.197-198

[10] Guichardet А., Cogomologie des groupes topologiques et des algebres de Lie // Cedic/Fernand Kathan, Paris, 1980

tili Горин E. А., Функционально-алгебраический вариант теоремы Бора - ван Кампена''// Мат. сборник, 1970, т. 82(124), N2

i123 Van Est W.Т., Group cohomology and Lie algebra cohono-logy in Lie groups // I, II, Indagationes Mathematicae, t.15, 1953, p. 484-492, 493-504 ' •

[13] Mostow G. D.. Cohomology of topological groups and sol-Ynianifolds // Ann. Math., 1961, v.73, p.20-48

следней главе рассматриваются, также, обобщенные функции. Таш уравнения рассмотрены (для функция на абелевых полугруппах) Секелехиди С141 под названием уравнений Леви-Чивиты (см. так» £ 133*. где исследуется, как они возникает в краевых задачах дл: уравнений математической физики) и, независимо, автором под на ■званием "теорем сложения". Взгляд на (3), как на теорему слояеии: предполагает характеризацип функция ( , для которых суцествус такке Q.Í. . fee , что выполняется (3); по существу, однако, прин цнпиалъных различий в этих подходах нет.

Уравнения (1), (2Э так. же, как и многие другие, ранее изуча вшиеся функциональные уравнения Суравнение Лобачевского (( Щ^-)' = f (х4/1 f(4)f/i • Уравнение Пексиде f (x+V) с а (X) + é(y) уравнение Фенио | (ху) = Ct f (у) + - f(x) f(</) ) являются ene , циализацияци уравнения (3), т е. получается из в предполоье кия дополнительных зависимостей между неизвестными (Li , Si Эта соотношения могут носить как алгебраический, так и дифферец циальный характер (например, в случае "синус-уравнения" /(Х-^р * = (Ч'Х) f (у) (.ot)|'(j)5, Обшдя классификация решений уравнение . Леви-Чивиты позволяет единообразно рассматривать специализации сводя мкогие задачи к нахождению соотношений между числовыми па' раметрами, входящими в общее решение. Этот подход процллюстриро' ван в § 2 диссертации на примере уравнения

((z+fi «/(*>+/ op ♦ «!(«) ley) * é(xja(p .

возникающего в задаче о равномерно-сегментном движении по плоско] кривой.

Новые классы специализаций и приложений (интегрируемые гаки льтоновы системы, нелинейные уравнения математической физики

[14) Szekelyhidi Laszlo, On the LeYi-Civita functional equ atlon // Ber. Math.-statist. Sek. Forschungsges, Joanneuin, 1988, N301. p. 1-23

1153 Кючуков Александър H., Съставяне на функционали урав цения // Мат. и Мат. образ., Докл. XVII пролет, конф. Сьвза мат, Бьлгария, Слньчев бряг, 6-9 апр., 1988, с.545-550

(4)

формальные группы) возникают при переходе от (3) к более общему уравнение

.22 с,и;> ^ V

Его специализации

= (УС"-)^ (1/)С6)

рассматривались в работах 1161, С171; в частности, эллиптические функции типа "обобщенных синусов" удовлетворяют (6).

Уравнение (4) рассматривается в § 4 диссертации без дополнительных условий гладкости решений. Полное описание получено в случае квадратично независимых решений Сони исчерпываются отношениями квазимногочленов и потому мероморфны).

Непосредственную связь с приложениями имеют, как и в случае дифференциальных уравнений, вопросы устойчивости, Обаие результаты об устойчивости уравнения Леви-Чивиты (глава 2, Теоремы 6.3, 5.4, 7.3) переносятся на специализации в виде, определенном характером дополнительных зависимостей между неизвестными. В част-, ности, для специализация дифференциального типа это означает устойчивость в С" -норме.

Изучение обобщенных 2-коциклов группы которому-посвя-

иен последний параграф диссертации, мотивировано возникающей.в приложениях (к теории поля) задачей классификации ксвариантных ассоциативных операций умножения в пространствах функций на однородных многообразиях. Эта задача была решена Ф. А. Березиным и

1163 Бухштабер В.М; , Функциональные уравнения, ассоциированные с теоремами сложения для эллиптических функций, и двузначные алгебраические группы /✓ УМН, 1890, т. 45, в.3(273), с.185-186

117] ■ Кричевер И. М. // Функциональный анализ и его приложения, 1980, т. 14, в. 4, с. 45-54

Ф. И. Карпелевичем (18] при дополнительных предположениях гладкости операций. Использование аппарата обобщенных функций позволило отказаться от ограничений гладкости.

' Цепь работы состоит в изучении структуры решений уравнений Яеви-Чивиты и его специализаций для скалярно- и векторнозна-чных функций на топологической полугруппе, исследовании устойчивости этих уравнений, классификации квадратично независимых решений функционального уравнения С 4), а также обобщенных решений уравнения (3) на областях пространства {£ и обобщенных 2-коцик-лов на .

Нетоды исследования. Основным методом, систематически применяемом в работе, является использование понятий и объектов теории представлений, позволявшее выявить геометрический 'смысл со-ответствуюдих аналитических задач. В особенности полезным такой подход оказался в вопросах устойчивости (глава 2),где центральной задачей стала оценка поперечников инвариантных множеств через расстояния до инвариантных подпространств. Кроме того, широко используются методы классического функционального анализа.

Научная новизна. Среди новых результатов в работе

- изучена структура решений уравнения Леви-Чивиты и его специализаций для скалярно- и векторнозначных функций на топологической полугруппе,

- исследована устойчивость этих уравнений в различных функциональных пространствах.

- классифицированы квадратично независимые решения уравнения (4),

- получено решение уравнения Леви-Чивиты в классе обобщенных функций на областях пространства К" ,

- описаны обобщенные 2-коциклы на пространстве й .

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер.

Результаты могут иметь приложение в механик», теории уравнений в частных производных, теории поля, теории приближений.

[18] Береэин Ф. А. , Карпелевич. Ф. И.. Об ассоциативных алгебрах функций // Вестник МГУ, матем.-мех., 1976, N1, с. 33-38

Лппробация. Результаты диссертации докладывались ка XVI школе по теории операторов в Никнем Новгороде, на IX коллоквиуме по групповому анализу (Нижний Новгород, 19923, а также на семинаре по теории функций и функциональному анализу в МПГУ.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приводится в конце автореферата. Еще 2 работы приняты к печати и депонированы.

Структура й объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав со сплошной нумерацией параграфов (4+3*2) и списка литературы. содержащего 36 наименований. Все основные предложения (теоремы, леммы, следствия, наиболее важные определения и замечания) имеют двойной индекс: первый указывает номер параграфа, второй - номер предложения в параграфе, и этот принцип сохранен в автореферате.

Полный текст диссертации занимает 101 страницу машинописи.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается .краткий обзор исследований по тематике работы и описываются основные результаты диссертации.

Первая глава посвящена теоремам сложения.

В § 1 рассматриваются свойства функций, являющихся решениями уравнения Леви-Чивиты. Пусть & - полугруппа с единицей' СЮ • .

| - комплексноэначная функция на От . Будем говорить, что | допускает теорему сложения (Т.С.) длины И , если существуют такие функции а.I , 6с : О С С1 £ и) . что СЗ) выполнено-для всех X , | из & .Множество функций, допускающих Т.С. длины И , мы будем обозначать ТСП (О) Основным результатом первого параграфа является

Теорема 1.1: ^ С ТСп (С) тогда и только тогда, когда ^ - матричный1 ¡цп*№г<аял*итг. ллЛггггугодгго' & \Tptxrpnavrw

размерности не выше И .

( Напомним, что матричным элементом представления X полугруппы От в линейном пространстве X называется функция

{(х) = < *Сх)у, ч) ,

где ^ X , £ X ( X * ~ пространство линейных функциона-

лов на X есш X наделено топологией, то X* - простран ство непрерывных линейных функционалов)). Ее следствиями являютс, полученные ранее в [15] теоремы о решениях уравнений Леви-Чивит! на' (они являются квазимногочленами). Исследуются таки

свойства решения, как ограниченность и непрерывность, и уста навливается их связь с соответствующими свойствами представлений

Теорема 1.4. Пусть X - представление полугруппы G-линейном пространстве X С X $ И ), ^ . ¡7 - цикличес

кие векторы для ЗС и соответственно, А '• Х-* С - инъек тивный линейный оператор, Д* : £ "—> X* ~ сопряженный операто (сюръективный), В какой-либо рравый обратный к Л ' rts) произвольная функция на G со значениями в Клк Я * • Тогд набор ({, <Ц, ' .где { (се) ■ <1 \ > ,

ас (а) ="ХЧб£Ч*)? + , SiCx)= A4fl*(a0f )

( А' - координатные функции в С" ) является решением уравне ния (3). Обратно, каждое решение уравнения (3) задается так» образом.

Описание функций 0-е , в (3) заметно упрощается

предположении линейной независимости каждого иэ этих наборог Ясно, что общий случай сводится к такому перегруппировкой.

Следствие 1.7. Линейно независимые решения (3) (т.е. р< шения с линейно независимыми наборами { , {& ) задаете

выбором представления 5Г полугруппы G- ь линейном простра} стве X • циклического вектора ^ с X . коциклического вехто; £ с X * и биортогонакьиого базиса , {j в X

X* по формулам

* ic (х) = <*(*) <5i , ЧУ.

Далее рассматриваются функции, удовлетворяющие уравнениям

{(®л> - 6 сгсх), "Г с<р) , с

где О? , X - функции со значениями в ЛТП X , Y , а В непрерывная билинейная форма. (Случай уравнения Леви-Чивити вкл чается в (7): он соответствует конечномерным* X , Y )• В сл

чае, хогда X , V ~ гильбертовы пространства, а Сг - компактная абелева группа, этот класс функций допускает особенно простое описание: он совпадает с алгеброй всех функций, имеющих абсолютно сходящийся ряд Фурье СТеорема 1.10).

Затем исследуется более специальная ситуация. Будем называть (топологическую) полугруппу * -полугруппой, если задан'ее инволю-тивный гомеоморфизм 1и х* , удовлетворяющий условию (ос^) = = у* X* . Основные примеру:

1) • & - группа, х =х

2) & - абелева полугруппа, щ*-£ .

Будем говорить, что непрерывная функция | на 0- удовлетворяет инволютнвной теореме сложения (И.Т.С.), если

г ((у'х) = (а( х),0.ср), £8)

где Я, - функция на Сг со значениями в гильбертовом пространстве Н непрерывная относительно слабой сходимости в ¡-/

Будем называть *-представлением полугруппы (&,*) ее непрерывный гомоморфизм в полугруппу всех линейных операторов некоторого предгильбертова пространства Но . наделенную слабой операторной топологией, удовлетворяющий условию

(Вд)^, о = , *(**)?)

для всех X с От , Ч , 2 £ Но •

Теорема 1.12. Непрерывная функция ^ на #-полугруппе 0-удовлетворяет условию (8) тогда и только тогда, когда- существует * -представление X в пространстве Ц0 с Ц и вектор ■н с Н , такие, что {(к) = (, а (ее) .

При различных выборах * -полугрупп .-мы получаем описание положительно определенных, экспоненциально выпуклых функций и т.п. Заключает параграф •

Теорема 1.14. Для того, чтобы функция | на б- допускала Т.С. длины И , необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы | ^С3^^) не превосходил П для любых наборов

Г^Мйг."3 & '■

В § 2 приводится одно "механико-геометрическое" приложение теории уравнений Леви-Чивиты: задача о равномерно-сегментном движении. Рассматривается движение по плоской кривой, при котором за

равные промежутки времени проходятся сегменты одинаковой площади. Возможность такого движения является внутренним свойством кривой (в отличие от движения с постоянной секториальной скоростью). Используя результат о непрерывных решениях уравнения Яеви-Чивиты на отрезке, удается доказать, что равномерно-сегментное движение возможно лишь по кривым второго порядка (и по прямым).

В § 3 рассматривается теоремы сложения для функций со значениями в банаховом пространстве. Пусть ^ ■ Сг 7. (где 2 -банахово пространство) удовлетворяет условию

= В (а.(Ж) , кр) , С9)

где £) - билинейное отображение из X * У в Е ■ Если при этом о!л/Тп X" = Лит У = , то будем говорить, что ^ допускает теорему сложения длины И . Как показывает Теорема 3.1, функция ^ допускает Т.С. длины У] тогда и только тогда, когда ^(х) * (\ где X - представление & в некотором пространстве К . обОтп К £ П , £ К . Д - линейный оператор из К в 2 . Специализацией уравнения С 9) является уравнение

(!(*),/до.

Показывается, что решение этого функционального уравнения связано с.выделением ассоциативных подалгебр неассоциативных алгебр.

Пусть Е , р ~ банаховы Пространства, / - функция на С со значениями в X С Е, , непрерывная в какой-нибудь из операторных топологий. Условимся называть функцию допускающей операторную теорему сложения СО,Т.С.3, если существует банахово пространство Л и функции (г О и 6 О , такие, что л . Л

{(хр = А (х) 6 (у) . (10)

Естественный класс примеров функций, допускающих 0 Т. С. , составляют "операторные матричные элементы", т. е. функции вида

((х) = /¡ТСх) 6 (Ш

где Т(зО - представление полугруппы (г в некотором банаховом пространстве С . 6 € X, (Е , -О , Л Г> Эта конструкция,

Бообс» говоря, не универсальна, как .показывает следующий пример: , Е = Г = // ( ® + ) , ( (£) =. Мвч{» . где через М*

при У> € + ) обозначается оператор умножения на ^ (О в

+ ) .Тогда (10) выполнено с й (к) =6 (к) = Ме'Ч ^ .С другой стороны, норма операторной функции на вида (11) должна расти не быстрее экспоненты, в то время как || $)||= Шр ^ а ( ^. Однако лобую функцию, допускающую О.Т.С., можно представить в виде (И), если рассматривать и представления неограниченными операторами:

Теорема 3.6. Если | допускает 0.Т.С., то существует нормированное пространство /0 , представление Т^ полугруппы (г в замыкаемыми (относительно пополнения пространства /,о) операторами и операторы Д : £ о" Г , В : Е ¿с , такие, что операторы Т(<р В и ограничены и справедливо

равенство (11).

, Заключительная теорема параграфа показывает,что если функция, о которой идет речь в Теореме 3.6, ограничена, то представление Т(]) также можно считать ограниченным.

В § 4 рассматриваются функции | : К £ , допускающие "тангенциальную теорему сложения" (Т. Т.С.), т. е. такие, что

для некоторых у с, и.;, 21, : 51 —* и всех 1, 5 с Щ . Примерами таких функций являются отношения квазимногочленов, эллиптические функции Якоби, некоторые решения уравнения Ламе. В данной работе Т. Т. С. изучаются путем исследования наборов', [ '¿[| и т.д., т. е. , (12) рассматривается как функциональное уравнение.

Каждое из семейств ••• можно считать ли-

нейно независимым, сделав, если необходимо, перегруппировку и сменив обозначения.

Определение 4.1. Семейства { у; (0]Гч , [¡Е; называются

совместно независимыми, если линейно независимо семейство функций

( у; (1)2; ({) : ££ I £ п , I ^ ^ т } .

Определение 4.2. Семейства [^(03^1, { ^ (0}^ называются (совместно) квадратично зависимыми, если они удовлетворяют нетривиальному соотношению

с;| «1С (0 ^(1)^(0 (I) -о ,

П£ 4 \ ' '

где Ь ее - константы. Основной результат § 4 составляет

Теорема 4.3. Пусть семейства и {^СО^-?! совместно

линейно независимы. Тогда либо семейства {(1)]Д и {(I) квадратично зависимы, либо, с точностью до множителя (одной и той же произвольной функции) они являются отношениями квазимногочленов и функция I - также отношение квазимногочленов.

В наиболее важном для. приложений случае исследу-

стся квадратично зависимые решения. Устанавливается, что характер квадратичной связи может быть произвольным. Получен общий вид . матрицы, обеспечивающий существование линейно независимых систем решений с квадратичной зависимостью.

Во второй главе рассматривается устойчивость функционального уравнения Леви-Чивиты, понимаемая в смысле Хайерса - Упаыа и некоторые связанные с ней вопросы теории представлений.

Пятый параграф содержит предварительные сведения об амена-бельных группах и носит вводный характер.

В §§ 6-7 для доказательства устойчивости уравнений Леви-Чи виты строятся ковариантные аналоги некоторых понятий теории приближений в банаховых пространствах. Пусть X - банахово пространство, в котором определено ограниченное действие локально < компактней группы С- . Через В С У) мы будем обозначать его единичный шар, Вс (X) -с ВСЮ . X (X) - алгебра всех линейных ограниченных операторов в X ^в 0<3Щем случае X ( X, У) ~ пространство всех операторов из X в У 1, X * ( (X , €) ) -дуальное пространство ( если X = У* . то будем писать У - X* ) Представление Т • & —> X С X) будем'называть дуальным представлением, если X - дуальное пространство, все операторы Т($) <Г(. У, X*) -непрерывны и Т является б'(У,, X») -непрерывным.

Пусть 6 (£) - пространство всех измеримых функций на , а ТТСп С£) - пространство всех матричных элементов непрерывных представлений % • & -»X С К), где ¿Хлп К^п . Как обычно, п -поперечником подмножества /1 С X называется нижняя грань р п (йу его расстояний до п-мерных подпространств, Ковариантний. п-поперечник р* (й) - это нижняя грань расстояний от Л до (г -инвариантных подпространств, размерности которых не превосходят И . Ясно, что р„ (Л) ^ р^ (А) ■ Оказывается, что в случае ак;енабелънсй группы С справедлива оценка противоположного типа:

Теорема 6.1. Для произвольных действительных . С >0,

и целого II ^ 0 существует такое <Г= &'Сп. 6 , С, С.) , что если 7: & -»X (X) ~ изометрическое дуальное представление амена-бельной группы (г ■ /1 с Вс СЮ ~ С- инвариантное подмножество и ри СА") < 9 . то р® (д) < 6 .

Доказательство теоремы использует результаты В. Джонсона о "почти гомоморфизмах" банаховых алгебр. Явная оценка Р (п, 5, С) имеет порядок (и!)"1 . В случае гильбертова пространства ее можно значительно улучшить:

Теорема 6.2. Пусть Т(^) - унитарное представление группы О в гильбертовом пространстве Н . Тогда

Р?(А) р.СЛ)

¿ля любого & -инвариантного подмножества Д с Ц ■ ,

Приложение полученных результатов к вопросам устойчивости уравнений Леви-Чивиты иллюстрируют Теоремы 6.3 и 6.4.

Теорема 6.3. Для аменабельной локально компактной группы (г и чисел П ¡^ , ¿ 7*0 , С >0 существует такое $ >0 , . что если £ £ С . причем ¡1 £ II $ С и

• 1^(9(1)- £ < Ь( < я (13)

для некоторых Ас ( « £ (£) и всех 0, Ь е <? , то найдется такая < УПпСЬ) >что

! <5.

Теорема 6.4. Пусть б - компактная группа. Если | с £ (&) удовлетворяет^ неравенству С13), то И^'^И^ < <Г >1й+Т для некоторой I" с Ш» С&) . ,

Абстрактная аппроксимационная схема может быть расширена таким образом, чтобы содержать, в качестве следствия, теорему об устойчивости уравнения СЗ) для неограниченных функций. Для этого рассматриваются инвариантные подмножества банаховых (? -прост-' ранств, в которых действие (г уже не является ограниченным, но его сужение на некоторое кофинитное подпространство ограничено.

Пусть пространство X представления Т- содержит подпространство У с изометрическим дуальным сужением • Следующая теорема характеризует те векторы из X , орбита хото-

рых принадлежит суше некоторого1 конечномерного подпространства к ограниченного подмножества из V. " '

Теорема 7.1. Пусть & - аменабельная группа, £ £ X Тогда следующие условия эквивалентны:

а) % * \ , Ч с У , ,1Л. ( { Тф? : д с с} ^ й: ц .

б) ТС9> >г = .где усд)« У, 4ШЗ (Ц) £ I , ¿Ст И £ Ц . й

В качестве следствия имеем:

Теорема 7.3. Измеримая функция £ на аменабельной группе (г .удовлетворяет условии

4ир [|{ : у, ь СО ] С <*

для некоторых к.;, V; с 5 С С) тогда и только тогда, когда

¡xJ+Ч , где у е , ГсШиСО

Этот результат, б частности, усиливает некоторые теоремы о квазихарактерах, доказанные в 19).

Следствие 7.4. Измеримая функция £ на локально компактной группе Сг удовлетворяет условию

шр (11Тф(-± сиф^ Ир | с-б]

для некоторых ре (1 ; и с в том й только том

случае, когда % * % + у , где ^с

Следствие 7.8. 15] Измеримая функция ^ на локально компактней группе б- удовлетворяет условию

в том и только том случае, когда либо ограничена, либо

является характером группы С- ■

В гл. 3 рассматриваются решения некоторых функциональных уравнений в классах обобщенных функций.

Как обычно, для любой области Ос ^ 1К через 2)'(Л) обозначаются соответственно пространства основных (финитных бесконечно дифференцируемых) и обобщенных функций. Если а® £>'(ЛО , & с то под а (а) о(^) мы будем понимать

функцию Г £ £)' , определенную условием

<Г , =< а,

для любых 7, < 6 CJ2,) .Аналогичный смысл С обобщенной функции ь SiL^Slt ) придается | (oc+ip ': если fe • r'«e

SI оSli,*Sli > то чеРез ( Сх+'р мы обозначаем обобщенную функцию Fe 2)'(J2i "J2i) , такую, что

< F,iftCx)«fi(^> = < f, JRm «fiCa)Y.Ct-a:)(/x> .

Введенные обозначения позволяют придать смысл равенству СЗЗ как уравнению относительно обобщенных функций f , ft.- , .

Теорема 8.1. Каждая обобщенная функция, допускающая Т. С. , является квазимногочленом, каждое обобщенное решение уравнения Леви-Чивиты, для которого наборы [й;],"*, линейно неза-

висимы, состоит из квазимногочленов и является решением в обычном смысле.

В § 9 обобщается результат Березина - Карпэлевича, связанный бо следующей общей задачей, возникающей в некоторых вопросах математической физики. Пусть на многообразии М непрерывно действует группа Ли G • Требуется описать все умножения а С ( М) превращающие это пространство в ассоциативную алгебру, для которой сдвиги по & являются автоморфизмами.

i>. А. Березиным и Ф. И. Карпелевичем эта задача решена для случая, когда 'М3^ и G- - группа сдвигов, в дополнительном предположении гладкости рассматриваемых операций. Центральную роль в доказательстве полноты предложенной ими классификации играло следующее утверждение:

Каждая функция ^ е С *(£ "»), удовлетворяющая условию

f(x,fi+f(z+y,Z)-f(oc,y+2)+f(ii,Z)r С14)

имеет вид

f(x,£) = Ь(х.у) ♦ k(x) - Ь(х+у) + (i(у) где &(Х,У) - антисимметричная билинейная форма, h с С CR") .

Этот результат дает явное описание группы £'(£"» О гладких 2-коциклов группы Щ" с комплексными коэффициентами. Нами получено С теорема 9.3) аналогичное описание обобщенных функций, удовлетворяющих (14).

В качестве следствия приводится описание непрерывных и локально ограниченных измеримых функций, удовлетворяющих С14):

Теорема 9. 5. Каждая локально ограниченная измеримая функция

| ,■ удовлетворяющая условию (14) почти всюду на R. К."и (Е" , совпадает почти всюду на К*1* ¡R* с функцией 6 (Я, а) + -

-Ь , где - антисимметричная билинейная форма, a h ~

локально ограниченная измеримая функция на Rw . Если { непрерывна, то и V) можно выбрать непрерывной.

Автор глубоко признателен своему , научному руководителю Евгению Алексеевичу Горину за постоянное внимание к ■работе и поддержку.

По теме диссертации опубликованы работы:

1. Шульман Е.Б., 0 функциональных уравнениях гомологического типа для обобщенных функций на ft." . // Математические заметки, том 54 (вып.6), 1993, с.148-150.

■2. Шульман Е. В., Обобщенные 2-к'оциклы на группе ft" •. // XVI всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов,, Нижний Новгород, 13-20 сентября, 1991, с.253. .

3. Шульман Е. В,, Функциональные уравнения и аппроксимация инвариантными подпространствами. // IX коллоквиум "Групповой анализ. Методы и приложения"., Тезисы докладов, Нижний Новгород, 24-30 июня, 1992, г.54.

•4. Shulman Е.V., Group representations and stability of functional equations. .'/ Journal of the London Mathematical Society, (to appear?.

ВВЕДЕНИЕ.

ЖВА 1 ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ.

§1. Теоремы сложения и функциональное уравнение

Леви-Чивиты.

§2. Равномерно-сегментное движение.

§3. Теоремы сложения для векторнозначных и операторнозначных функций.

§4. Тангенциальные теоремы сложения.

ГЛАВА 2. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУТШ И УСТОЙЧИВОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

§5. Предварительные сведения и обозначения.

§6. Аппроксимация в О-модулях.

§7. Неизометрические представления и неограниченные функции.

ГЛАВА 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЯХ.

§8. Теорема сложения для обобщенных функций.

§9. Обобщение теоремы Березина-Карпелевича.

Классические функциональные уравнения х+у) (у) (1) и х.у)-- {(X) {ф (2) привлекали и привлекают постоянное внимание многих математиков, начиная с работ Коши, установившего, что непрерывные их решения -это, соответственно, линейные функции и экспоненты. Среди направлений, в которых эти результаты обобщались, можно выделить следующие:

1) рассмотрение функций на абстрактных (топологических) группах и полугруппах,

2) рассмотрение измеримых решений с ослаблением условий до выполнимости почти всюду,

3) изучение свойств неизмеримых решений,

4) ограничение области определения или области выполнения соответствующих равенств (в частности, на открытые подмножества в группах),

5) изучение соответствующих неравенств (полуаддитивные функции),

6) векторнозначные решения (сюда относятся, в частности, операторнозначные решения на R+ уравнения (2), изучение которых составляет теорию полугрупп операторов, имеющую совершенно необозримый спектр приложений).

Достаточно полный обзор этих направлений содержится в работах Иосида [13, Хилле и Филлипса [23, Голдстейна [3].

Сравнительно недавно стали рассматриваться вопросы устойчивости уравнений (1) и (2), т.е. свойства функций, которые, в том или ином смысле "почти" удовлетворяют уравнениям (спрашивается: верно ли, что они "мало" отличаются от решений уравнений?). Первые результаты здесь были получены в 1941 году Хайерсом [4] который, отвечая на вопрос Улама, показал, что непрерывное отображение | X —* У ( где X > У банаховы пространства), удовлетворяющее условию II { (х+1р -1 (х) (у)Ц < £ , не более, чем на б отличается от линейного отображения. Позднее Бейкер [5] доказал, что для непрерывных отображений полугруппы в банахову алгебру условие <1 эквивалентно условию

ОО мр II |(х)-^(х)|| оо где гомоморфизм. Отметим различие в этих результатах: прежде всего, речь в них идет о разных классах функций, кроме того, второй не носит "количественного" характера. Перенести результат Хайерса на произвольные полугруппы, как выяснилось, невозможно [6 ], так же, как и доказать его "бейкеровскую" модификацию у II ((хр |< оо => шр II {(X) -I (х)Ц даже для скалярнозначных функций. Правильный клаоо полугрупп здесь выделяется условием аменабельности. Основной результат для аменабельных груш (и аменабельных банаховых алгебр, соответственно) был получен Д.Кажданом [7] и Б.Джонсоном [8 ]. Наиболее общие результаты можно найти у А.С.Штерна [6,93.

Продолжением результатов Коши об уравнении (1) является и теория когомологий топологических груш (см.[10]). В самом деле, решения (1) - это одномерные коциклы стандартного коцегшого комплекса (со скалярными коэффициентами). В частности, известные теоремы Ван Эста [11] и Мостова [12] о совпадении гладких, непрерывных и измеримых когомологий, являются прямыми обобщениями результатов о совпадении соответствующих классов аддитивных функций.

Основной целью настоящей работы является изучение' решений функциональных уравнений вида и некоторых более общих (см. ниже). Здесь , , ос - неизвестные функции на некоторой полугруппе, скалярнозначные или принимающие значения в банаховой алгебре; в последней главе рассматриваются, также, обобщенные функции. Такие уравнения рассмотрены (для абелевых полугрупп) Секелехиди [13] под названием уравнений Леви-Чивиты (см. [15 ],[35], а также [14], где исследуется, как они возникают в краевых задачах для уравнений математической физики); частные случаи уравнения (3) часто изучаются под названием "теорем сложения" (см., например, С161). Взгляд на (3) как на теорему сложения предполагает характеризацию функций * * для которых существуют й<; , о с такие, что выполняется (3); по существу, однако, принципиальных различий в этих подходах нет.

Несколько слов о связи (3) с (1) и (2). Различие здесь не только в более сложной правой части, но и в числе неизвестных. Таким образом, (1) - это не частный случай (3), а специализация

3) его частного случая (я+у) =а(х)

4) если специализацией функционального уравнения называть любое функциональное уравнение, получающееся из него накладыванием дополнительных зависимостей между неизвестными. Так, уравнение являются специализациями (3),

В случае "уравнения Пексиде" (4) очевидно, что оно эквивалентно своей специализации (1). Для (2) и уравнения лярнозначны; в операторной ситуации отличия могут быть значительными (см. §3). Как бы то ни было, явное описание решений общего уравнения сильно облегчает задачу исследования его специализаций ( которая уже сводится к нахождению дополнительных зависимостей между параметрами, входящими в общее решение).

Основным методом, систематически применяемым в работе, является использование понятий и объектов теории представлений; позволяющее выявить геометрический смысл соответствующих аналитических задач.

В особенности полезным такой подход оказался в вопросах устойчивости (глава 2), которые, таким образом, свелись к оценке поперечников инвариантных множеств через расстояние до уравнение Лобачевского) уравнение Фенио) это также справедливо, если функции скаинвариантных подпространств.

Опишем содержание работы по главам.

В первой главе рассматриваются свойства функций, являющихся решениями уравнений Леви-Чивиты.

Основным результатом первого параграфа является Теорема 1.1, устанавливающая, что решения уравнений Леви Чивиты на полугруппе Сг это в точности матричные функции конечномерных представлений. Для коммутативного случая этот результат был получен в [13]. Его следствием является теорема Леви-Чивиты 135] о решениях уравнения (3) на К (они являются квазимногочленами). Исследуются такие свойства решений, как ограниченность и непрерывность, и устанавливается их связь с соответствующими свойствами представлений. Здесь же рассматриваются функции, удовлетворяющие уравнениям ху) = Ь(а(х) (5) где сС , 8 функции со значениями в ЛТП X » У , а В непрерывная билинейная форма. (Случай уравнения Леви Чивиты включается в (5): он соответствует конечномерным X , У ). В случае, когда X , V гильбертовы пространства, а & компактная абелева группа, этот класс функций допускает особенно простое описание: он совпадает с алгеброй всех функций, имеющих абсолютно сходящийся ряд Фурье.

Пусть & полугруппа с инволюцией; рассмотрим следующую специализацию уравнения (5) (для гильбертова или эвклидова X = У ) б)

Теорема 1.12 первого параграфа утверждает, что решения (6) различных выборах *-полугруш мы получаем описание положительно определенных,или экспоненциально выпуклых функций.

В § 2 приводится одно "механико-геометрическое" приложение теории уравнений Леви-Чивиты: задача о равномерно-сегментном движении. Рассматривается движение по плоской кривой, при котором за равные промежутки времени проходятся сегменты одинаковой площади. Возможность такого движения является внутренним свойством кривой (в отличие от движения с постоянной секториальной скоростью). Используя результат о непрерывных решениях уравнения Леви-Чивиты на отрезке, удается доказать, что равномерно-сегментное движение возможно лишь по кривым второго порядка (и по прямым).

В § 3 рассматриваются теоремы сложения для функций со ¡значениями в банаховом пространстве. Пусть ^ От 7. (где 2 банахово пространство) удовлетворяет условию где Ё> билинейное отображение из X х У в 2 Если при этом теорему сложения длины И Как показывает Теорема 3.1, функция это наборы %

7)

Специализацией уравнения (Т) является уравнение

Показывается, что решение этого функционального уравнения связано -с выделением ассоциативных подалгебр неассоциативных алгебр.

Пусть Е » Г банаховы пространства, | - функция на Сг со значениями в X (Е, Г) , непрерывная в какой-нибудь из операторных топологий. Условимся называть функцию допускающей операторную теорему сложения (О.Т.С.), если существует банахово пространство и функции Д С-Г) и В такие, что = ¡) (ое)Р) (у). Естественный класс примеров функций, допускающих 0.Т.С.,составляют "операторные матричные элементы", то есть функции вида где Т (эО представление полугруппы & в некотором банаховом пространстве /С , Ь е X ( Е Д € X (£>* О Эта конструкция, вообще говоря, не универсальна, однако любую функцию, допускающую О/Г.С., можно представить в виде (8), если рассматривать и представления неограниченными операторами (Теорема 3.6).

Заключительная теорема параграфа показывает,что если функция, о которой идет речь в Теореме 3.6, ограничена, то представление Т(}) также можно считать ограниченным.

В § 4 рассматриваются функции ^ Щ-* (П 9 допускающее 1'апгьн-циальную теорему сложения (Т.Т.С.), то есть такие, что

1Г1 для некоторых Це , -Щ —(С и всех I, 5 £ Е Примерами таких функций являются отношения квазимногочленов, эллиптические функции Якоби, некоторые решения уравнения Ламе (см. [19], [20]). В данной работе Т.Т.С. изучаются путем исследования наборов [2^] и т.д., то есть (9) рассматривается как функциональное уравнение. Вводятся понятия совместно независимых и совместно квадратично независимых систем функций. Основной результат § А составляет следующее утверждение ( Теорема 4.3 ): Пусть и г -) т и \lfjjjsi совместно линейно независимы. Тогда либо семейства и совместно квадратично зависимы, либо, с точностью до множителя, они являются отношениями квазимногочленов, и функция I также отношение квазимногочленов.

В наиболее важном для приложений случае И = УУ\ -1 исследуются квадратично зависимые решения. Устанавливается, что характер квадратичной связи может быть произвольным. Получен общий вид матрицы, обеспечивающий существование линейно независимых систем решений (с квадратичной зависимостью).

Во второй главе рассматривается устойчивость функционального уравнения Леви Чивиты и некоторые связанные с ней вопросы теории представлений.

Пятый параграф содержит предварительные сведения об амена-бельных группах и носит вводный характер.

В §§ 6-7 для доказательства устойчивости уриеш^тй виты строятся ковариантные аналоги некоторых понятий теории приближений в банаховых пространствах. Пусть X - банахово пространство, в котором определено ограниченное действие локально компактной группы & . Как известно, И -поперечником произвольного подмножества А пространства X называется точная нижняя грань ри (/О его расстояний до И -мерных подпространств. Определим ковариантный И -поперечник р* ( А) как нижнюю грань расстояний от /1 до С- -инвариантных подпространств, размерности которых не превосходят И Ясно, что ри (/0 ^ рг, (А) Оказывается (в этом состоит Теорема 6.1). что в случае аменабельной & справедлива оценка противоположного типа: для любого £ >0 найдется такое £ >0 что если (т -инвариантное подмножество Я единичного щара банахова пространства X удовлетворяет условию рп (А)<-Я , то ^ £ Это влечет устойчивость уравнения (3) в классе ограниченных функций на аменабельной группе, (Теорема 6.3).

Абстрактная аппроксимационная схема может быть расширена таким образом, чтобы содержать, в качестве следствия, теорему об устойчивости уравнения (3) для неограниченных функций. Для этого рассматриваются инвариантные подмножества банаховых £-пространств, в которых действие & уже не является ограниченным, но его сужение на некоторое кофинитное подпространство ограничено. Доказывается (Теорема 7.1), что если орбита какого-то элемента содержится в сумме конечномерного и ограниченного подпространств, то она содержится также в сумме ограниченного и (г -инвариантного конечномерного подпространства. Как следствие, получается (Теоремы 7.3, 7.4-.), что функция, дающая ограниченную "невязку" при подстановке в (3), отличается от некоторого решения (3) на ограниченное слагаемое. Отметим также, что в случае рефлексивности пространства X предположение об аменабельности Сг можно опустить, используя известный результат Джонсона о когомологиях групповых алгебр (опирающийся, в свою очередь, на теорему Рыль-Нарджевского о неподвижной точке).

В Главе 3 рассматриваются решения некоторых функциональных уравнений в классах обобщенных функций.

Как обычно, для любой области Л <=: К"1 через Й(^) и Ф'О?) обозначаются соответственно пространства основных (финитных бесконечно дифференцируемых) и обобщенных функций. Если си ?)(&)• ^ е то под а(х)?(у) мы будем понимать функцию р€ й'С^^О' определенную условием для любых ^ £ Й(Л).Аналогичный смысл ( обобщенной функции в ) придается термину р(ое+у) если , где

Л ^Л^+Ль то через [мы обозначаем обобщенную функцию Г £ й'(Й|1Рг)такую что г,71(0044ор> = /г ^(^(ыи^)

Введенные обозначения позволяют придать смысл равенству (3) как уравнению относительно обобщенных функций | , &С , В § 8 показано, что всякая обобщенная функция, допускающая теорему сложения типа (3), является квазимногочленом.

В § 9 обобщается теорема Ф.А.Березина и Ф.И.Карпелевича (см. [21]), классифицирующая ассоциативные алгебры функции на Ки, инвариантные относительно сдвигов. Центральную роль в доказательстве полноты предложенной ими классификации играло следующее утверждение: каждая функция { £ С (К. 4 И ) , удовлетворяющая условию имеет вид где антисимметричная билинейная форма, ЬеС(ИГ). Этот результат дает явное описание группы XXК",С) гладких 2-коциклов группы Еп с комплексными коэффициентами. Мы получаем аналогичное описание обобщенных функций, удовлетворяющих (10), и, в качестве следствия, описание непрерывных и локально ограниченных измеримых функций, удовлетворяющих этому условию. Это снимает и ограничение гладкости в теореме Березина-Карпелевича.

По теме диссертации опубликованы работы:

1. Шульман Е.В., 0 функциональных уравнениях гомологического типа для обобщенных функций на // Математические заметки, том 54 (вып.6), 1993, с.148-150.

2. Шульман Е.В., Обобщенные 2-коцшаы на группе К 11 // XVI всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов, Нижний Новгород, 13-20 сентября, 1991, с.253.

3. Шульман Е.В., Функциональные уравнения и аппроксимация инвариантными подпространствами. // IX коллоквиум "Групповой анализ. Методы и приложения". , Тезисы докладов, нижний поо1.^ВД} 24-30 июня, 1992, с.54.

4. Шульман Е.В., Устойчивость функциональных уравнений и ковариантная теория приближений. // Сборник трудов Вологодского политехнического института. Уравнения, операторы и модели прикладных задач, 1994.

5. Шульман Е.В., Дифференциальные уравнения и тангенциальные теоремы сложения. // Сборник трудов Вологодского политехнического института. Уравнения, операторы и модели прикладных задач, 1994.

6. Shulman E.V., Group representations and stability of functional equations. // Journal of the London Mathematical Society, 1994, to appear.

1. Иооида К., Функциональный анализ.,- М.: Мир, 196?.

2. Хилле Э., Филлжгс Р., Функциональный анализ и полугруппы.М.: МЛ, 1962.

3. Голдстейн Дзк., Полугруппы линейных операторов и их приложения. Киев, Выща шк., "¡989.

4. Hyers D.H., On stability oi the linear functional equations. // Proc. Nat. load. Sci. USA, 1941, v.2?, N2, p.222-224.

5. Baker J., Functional equations, distributions and appro-xinate identities. // Canadian J.Math., 1990, v.42, N4, p.696-709

6. Штерн A.M., Квазипредставления и псевдопредетавления. Функциональный анализ и его приложения, 1991, т.25, в.2, с.70-73

7. Kazhdan I). // Israel J. Math. 1982, v.43, N4, p. 315-323

8. Johnson B.E., Approximately multiplicative laps oetween banach algebras //' J. London Math. Soc. (¿), (1988), p.294-3

9. Штерн A.M., Пеевдохарактер, определенный символом махера. // УМН, 1990, т.45, в.3(273), с.197-198.

10. Guichardet A., Oogomologie dts groupes topologiques des algebras de Lie. // Cedie/Fernand Nathan, Paris, '1980Van Est W.T., Group oogomology and Lie *ebra oogomology in Lie groups. /./ I, II, Indagationes Mather t.1S, 1953, p-484-492; 493-504.

11. Mostow i.D., Oohomology o.f topological groups and solvma-niiolds, Ann 196 3, p. 48,Szekelyhidi Lassie, the Levi-Oiv ionation. / Ber.Mat-h.-s i'ors j.N301, p.1-23.

12. Кючуков Алекоандър Н., Съставяне на функционали уравнения. // Мат. и Мат. образ., Докл. XVII пролет, конф. Зыор.а мат. България, Слнъчев бряг 6-9 апр., 1988.-София,1988.- е.545-550.

13. Stephanos С., Sure une categorie dfequations fonotionn-elles. // Rend. Giro. Mat., Palermo 18, 360-362, 1904.

14. Penyo Paganoni L., Su una regola di addizionc rationale. // Rend, sernin. mat., Univ. e politeon. Torino, 1987 45, N3, 105-116.

15. Ssekelyhidi Laszlo, The stability of the sine and eosir functional equations.// Proc.Amer.Math.Soc., 1990,v.1lo,p.109-115.

16. Gaejda Z., Unitary Representations of Topological groups and Functional Equations /7 J.Math.Analysis and applioaiions, 1990, v.152, P-6-19.

17. Еухштабер B.M., Функциональные уравнения,, ассоциированные с теоремами сложения для эллиптических функций, и двуЯнйаные алгебраические группы. // УМН, 1990, т.45, в.3(273), с.180

18. Кричевер И.М. /./ Функциональный анализ и его прило^с^я, 1980, Т.14, вып.4, С.45-54.

19. Бе резин Ф. А., Карпелевич Ф.И., Об ассоциативных г1Лгабр?.' функций. // Вестник МГУ, матем.-мех., 1976, N1, с.

20. Пидкуйко С.И., Степин A.M., О решении одного диф$е-ально-функционального уравнения. // Функциональный анал^о $ ere приложения, 3.84-85, 1976.Sane certain timet I one.Res. emin. / Babes Bolyai Univ. .N6, p.285-288.

21. Aczel Janos, Kuozma Marek, On two related types of functional equations describing mean value properties,. // Zesz. nauk. Mat.-fiz., PSL, 1991, N64, p.27-35.

22. Aczel Janos, Kuczma Marek, On two mean value properties and functional equations associated with them, // Aequat. math., 1989, v.38, N2-3, p.216-235.

23. Johnson B.E., Cogomology in Banach algebras // Mem. Amer. Math. Soc., 1972, N127.

24. Roman G., Stability of addition formulae for trigonometric mappings, // Zesz. nauk, Mat.-fiz., PSL, 1991, N64, p.75-84.

25. Forti G.L., The stability of homomorphisms and Amenability, with applications to functional equations, // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 57, p.215-226, 1987.

26. Gajda Z., On the stability of the Cauchy equation onsemigroups, // Aequat. Math., v.36, p.76-79.t

27. Moszner Z., Sur la stabilité de l'équation d'homomor-phisme, // Aequat. Math. 29 (1985), p.290-306.

28. Ratz J., On approximate additive mapping, General Inequalities 2 // (Ed. E.P.Beckenbach), ISNM v.47, Birkhauser, Basel, 1980, p.233-251.

29. Пич , Операторные идеалы, // Москва,

30. Хелемский А.Я., Гомологии в банаховых и топологических алгебрах, // Москва, Издательство Московского Университета, 1986.

31. Шилов Г.Е., Математический анализ. Второй специальный курс. // Издательство МГУ, 1984.

32. Levi-Civita T., On the functions which permit an addition formula of the type f(£+y) = 22 X¿ (ос) Y¿ (у) // At ti Aoad. Naz. Liucei Rend. (5), 22, Pt2, p. 181-183,. 1913.

33. Tabor Jozef, Restrioted stability of the Cauohi and the Pexider equations. // Zesz. nayk. Mat.-fiz., PSL, 1991, N64* p.203-221.