Генерация магнитных полей турбулентными потоками проводящей среды

Степанов, Родион Александрович

Генерация магнитных полей турбулентными потоками проводящей среды тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Степанов, Родион Александрович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Пермь МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Генерация магнитных полей турбулентными потоками проводящей среды»

Автореферат диссертации на тему "Генерация магнитных полей турбулентными потоками проводящей среды"

На правах рукописи

0034814Э0

Степанов Родион Александрович

ГЕНЕРАЦИЯ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ ТУРБУЛЕНТНЫМИ ПОТОКАМИ ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЫ

01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Пермь 2009

2 9 л-

003481490

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук «Институте механики сплошных сред Уральского отделения РАН»

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор, член-корреспондент РАН Суржиков С. Т.

доктор физико-математических наук, профессор Любимов Д. В.

доктор физико-математических наук Решетник М. Ю.

Ведущая организация: Научно-исследовательский вычисли-

тельный центр МГУ

Защита состоится 19 ноября 2009 г. в 11 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 004.012.01 Института механики сплошных сред УрО РАН по адресу: 614013, г. Пермь, ул. Ак. Королева, 1, http://www.icmm.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред УрО РАН.

Автореферат разослан "17 октября"2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Березин И. К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Объект исследования и актуальность проблемы.

Магнитные поля существуют не только у компактных астрофизических объектов, таких как планеты и звезды, они также наблюдаются повсюду во Вселенной, в межзвездном пространстве, и могут быть свойственны галактикам и галактическим кластерам. Речь идет о магнитном поле, возникающем в процессе эволюции системы, которая имеет в своем составе сплошную электропроводящую среду, такую как жидкий металл или плазма. Описание генерации космических магнитных полей остается важнейшей фундаментальной проблемой магнитной гидродинамики (МГД). Большой интерес к этой проблеме объясняется особой ролыо магнитных полей в формировании ионосферы Земли, изменениях солнечной активиости, звездообразовании в галактических дисках и многих других процессах и явлениях. Затрагиваемый круг проблем находится в очень широком диапазоне: от проектирования жидкостных систем охлаждения ядерных реакторов до создания космологических теорий Вселенной.

Происхождение и эволюция космических магнитных полей в основном объясняется теорией динамо, систематическое изложение которой можно найти в монографиях Паркера и Моффата. Важной особенностью маг-нитпогидродинамических систем, в которых возможно самовозбуждение магнитного поля, является турбулентный характер движения проводящей среды. Именно турбулентность совместно с факторами открытых границ системы и существенной трехмерности явления динамо делает задачу не решаемой в общей постановке. Фундаментальным шагом в развитии пауки о природе магнитных полей гидродинамических систем послужило создание теории среднего поля в электродинамике (Краузе и Рэд-лер). Аналогично подходу Рейнольдса в гидродинамике, магнитное иоле раскладывалось на крупномасштабную составляющую, которая описывалась уравнениями для осредненных переменных, и мелкомасштабную составляющую, влияние которой учитывалось через эффективные турбулентные коэффициенты. В результате такого подхода был открыт так называемый а-эффект - механизм генерации крупномасштабного поля за счет мелкомасштабной МГД-турбулентности. В последние десятилетия был достигнут значительный прогресс в построении теоретических моделей динамо, прямом численном моделировании, экспериментальном подтверждении основ теории динамо и интерпретации астрофизических наблюдений. Одновременно с этим обозначился ряд трудностей применения теории среднего поля для решения определенного круга актуальных

проблем.

На начальных этапах построения теории особое внимание привлекало изучение условий возникновения динамо-эффекта, а именно влияние параметров системы на порог генерации. Среднее поле скорости способно самостоятельно вызвать неустойчивость крупномасштабного магнитного поля без учета турбулентности. Однако количественная оценка критических характеристик в значительной степени зависит от всех деталей задачи. Наиболее актуальна эта проблема при планировании, проведении и анализе результатов динамо-экспериментов.

Генерация магнитного поля за счет а-эффекта является далеко не единственным механизмом. Неоднородность турбулентности совместно с общим вращением и сдвиговыми средними потоками среды также влияют в среднюю турбулентную электродвижущую силу. Для определения преобладающего механизма необходим анализ всех даже самых экзотических возможностей. При равных вкладах двух механизмов генерации в динамо-процесс они могут приводить к усилению или же ослаблению друг друга. Тогда доминирующим может стать изначально более слабый эффект, который и будет определять условия генерации и структуру магнитного поля.

Использование результатов теории среднего поля при построении динамо-моделей разнообразных космических объектов требует соответствующих количественных оценок турбулентных коэффициентов. Даже в самых простых случаях необходимо знать статистические характеристики мелкомасштабного поля. Как правило, колмогоровские представления о развитой гидродинамической турбулентности обобщаются па МГД. Однако в реальности магнитное поле, обладая собственным интегралом движения - магнитной спиральностыо, делает процессы переноса энергии и спиральности но спектру значительно более сложными для анализа. Экспериментальная верификация соотношений теории среднего поля наряду с возможностями численного моделирования МГД-турбулентности является актуальной задачей.

ствия па мелкомасштабное поле необходимо введение мелкомасштабных переменных и их динамической связи с крупномасштабными. Таким образом, актуальной проблемой является построение самосогласованных определяющих соотношений, которые позволят сформулировать адекватную математическую модель динамо-процесса.

Использование теоретических результатов для объяснения характера и структуры магнитных полей в реальных астрофизических объектах предполагает наличие достоверных наблюдательных данных. Однако измерение космических магнитных полей в большинстве случаев возможно только косвенным путем. К примеру, сравнительный анализ существующих работ по интерпретации данных наблюдений магнитного поля нашей Галактики показывает расхождения не только в количественных оценках, но и в выводах относительно общей геометрической структуры. В получаемых результатах определяющую роль играет выбор данных и техники обработки. Для проведения объективного анализа необходимо использовать методы, которые не содержат большого числа подгоночных параметров и позволяют получать результаты, устойчивые к вариации данных наблюдений. Очевидно, что развитие методов и подходов обработки наблюдательных данных и их интерпретации должно идти встречным курсом с развитием теории.

Цель работы состоит в формировании самосогласованных представлений об условиях и характере процессов генерации магнитных полей в условиях турбулентности с использованием единой основы - построение теоретических и численных моделей, интерпретация экспериментальных измерений и астрофизических наблюдений.

Задачи диссертационной работы состоят в:

а) определении зависимости порога генерации магнитного поля в среднем винтовом потоке проводящей жидкости, организованном в тороидальном канале, от проводимости окружающей среды и пространственно-временных характеристик среднего поля скорости;

б) выводе соотношений теории среднего поля для турбулентной электродвижущей силы, возникающей в условиях общего вращения и произвольного тензора градиента среднего ноля скорости;

в) исследовании характера совместного действия генерационных механизмов винтового ноля скорости и мелкомасштабной турбелентно-сти;

г) развитии аппарата каскадных моделей МГД-турбулеитности с целью описания динамики мелкомасштабных кинетических и магнитных полей, потоков энергии по спектру, роли нелокальных взаимодействий, а также нелинейных сценариев насыщения мелкомасштабного динамо;

д) построении и численном анализе комбинированной модели динамо, описывающей взаимодействие крупномасштабных и мелкомасштабных полей;

е) разработке методов обработки и интерпретации наблюдательных данных галактических магнитных полей;

ж) планировании и теоретическом подготовке экспериментальных исследований элементов динамо, компьютерной обработке проведенных измерений и их физической оценке; Методы исследований. Основу используемых математических моделей составляют уравнения магнитной гидродинамики. Влияние мелкомасштабной турбулентности па эволюцию крупномасштабного магнитного ноля описывается через турбулентную электродвижущую силу. Турбулентные эффекты устанавливаются в рамках теории среднего поля с помощью корреляционного анализа в приближении второго порядка. Определяющие соотношения обратной реакции крупномасштабных полей на свойства мелкомасштабных переменных получены из "первых принципов" - законов сохранения для МГД-системы. Динамика мелкомасштабных полей в широком спектральном диапазоне описана с использованием каскадных моделей турбулентности. Решения поставленных задач были получены численно. Ресурсозатратпые расчеты выполнены на многопроцессорных вычислительных комплексах. Основным математическим методом обработки данных экспериментальных измерений и астрофизических наблюдений является спектрально-временной анализ сигналов, базирующийся на непрерывном прямом и обратном вейвлет-преобразовании.

Научная новизна заключается в следующем:

а) получены характеристики винтового динамо в замкнутом канале с учетом основных факторов, влияющих на генерацию;

б) впервые получено полное аналитическое выражение для средней турбулентной электродвижущей силы, возникающей при наличии

общего вращеиия и произвольного сдвигового среднего потока в условиях однородной и неоднородной турбулентности;

в) впервые показан характер изменения критического значение магнитного числа Рейпольдса при малых значениях магнитного числа Прапдтля и нелокальный характер взаимодействий структур различных масштабов при больших значениях магнитного числа Прандт-ля. Предложено феноменологическое описание процесса насыщения мелкомасштабного динамо;

г) построена новая комбинированная модель а2- и afí-динамо, описывающая динамическое взаимодействие крупномасштабных и мелкомасштабных полей на основе "первых принципов" магнитной гид-родииамики;

д) разработаны и применены новые методы обработки и подходы к интерпретации наблюдательных данных;

е) впервые получены экспериментальные результаты генерации магнитных полей в турбулентных потоках проводящих металлов, согласующиеся с положениями теории среднего поля. Проведены прямые измерения некоторых турбулентных МГД-эффектов;

Обоснованность и достоверность полученных в работе результатов обеспечена строгой математической постановкой задач, применением математически обоснованных методов решения, проверкой численных алгоритмов на задачах имеющих точные решения, детальным анализом тестовых примеров, сравнением с результатами, полученными другими авторами.

Научно-практическое значение полученных результатов. Все

решенные задачи являются фрагментами единого методологического подхода к описанию процесса генерации магиитного поля в турбулентной многомасштабной среде. Предложенные методы моделирования динамо-процессов могут использоваться для широкого круга задач. Проведен комплекс вычислительных работ, результаты которых обосновывают возможность проведения уникального динамо-эксперимента в винтовом потоке в тороидальном канале. Предложенные методы обработки данных и их интерпретаций могут применяться для анализа хаотического поведения различных систем. По данным самого крупного международного каталога научных публикаций "Web of Science" опубликованные результаты диссертационной работы имеют более 130 цитирований.

Апробация работы. По теме диссертации опубликовано 49 печатных работ, в том числе 28 статей в изданиях, рекомендованных ВАК, 20 -в прочих научных изданиях и в трудах международных и российских научных конференций, а также получен 1 патент РФ. Основные результаты диссертации изложены в работах [1-29], список которых приведен в конце автореферата.

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на российских и международных конференциях: "European Turbulence Conférence" (2004, 2007, 2009); "Оптические методы измерения потоков" (2009); "Fluxes and Structures in Fluids: Physics of Geospheres" (2009); "Зимняя школа по механике сплошных сред" (1995, 1997, 1999, 2003, 2005, 2007, 2009); "Fundamental and applied MHD" (2000, 2002, 2005, 2008); VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (2001), "Mode Conversion, Coherent Structures and Turbulence" (2004).

На защиту выносятся теоретические положения, связанные с разработкой новых математических моделей генерации магнитных нолей в условиях турбулентности, а также методы обработки экспериментальных и наблюдательных данных и результаты их интерпретации.

Личный вклад автора. Автору диссертации принадлежит разработка математических моделей рассматриваемых явлений, выбор и отладка численных алгоритмов решения задач. Лично автором или при его непосредственном участии поставлены задачи диссертации, определены методы решения, получены основные теоретические и экспериментальные результаты, а также выполнена их интерпретация. Из работ в соавторстве на защиту выносятся результаты, в получении которых автор принимал непосредственное участие. Личным достижением автора является последовательное проведение комплексного исследования, включающего теоретические, численные и экспериментальные работы, направленные на решение поставленных задач. Выводы по диссертации сделаны лично автором.

Связь исследований с научными программами. Работы по тематике диссертации проводились при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 99-01-00362-а, 01-01-96482-р-урал-а, 03-02-04031-нни0-а, 06-01-00234-а, 07-01-92160-НЦНИ-а, 07-01-96007-р-урал-а), Американского фонда гражданских исследований и развития (грант молодым ученым №Y2-P-09-02), Программы поддержки молодых ученых (грант Президента РФ МК-4338.2007.1), Фонда содействия отечественной науке.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения. Список использованных источников содержит 225 наименований. Общий объем диссертации составляет 314 страниц, включая 7 таблиц и 105 рисунков, которые размещены но месту ссылок внутри основного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность работы, излагаются цели и методы исследования, указывается научная новизна, а также структура диссертации.

Первая глава диссертации содержит решения ряда задач, составляющих теоретическую основу дипамо-экснеримента, предложенного Денисовым и др. Идея эксперимента заключается в создании винтового течения жидкого натрия в замкнутом тороидальном канале, которое обеспечит возбуждение магнитного ноля. Необходимая интенсивность потока получается за счет резкого торможения предварительно раскрученного канала. Винтовая структура навязывается в результате прохождения натрия под действием сил инерции через жестко установленные внутри канала диверторы. Для экспериментальной реализации вопрос о величине порога возникновения эффекта имеет принципиальное значение. Количественные оценки критических параметров, которые можно найти из точного решения задачи Пономоренко (динамо-прототип), ие применимы в силу существенных различий в условиях эксперимента, а именно в электрических и магнитных свойствах окружающей среды и в характере винтового потока. На первом этане были проведены расчеты порога генерации магнитного поля и характерные времена роста в одномерной постановке, в которых учитывались конечная толщина стенки, повышенная проводимость стенки относительно натрия и турбулентный профиль течения [1].

На втором этапе были изучены свойства процесса генерации в нестационарном и неоднородном вдоль канала течении. Дело в том, что поток становится винтовым по мере прохождения жидкости через дивертор, так что фронт завихренности распространяется в процессе торможения тора. Исследование этой проблемы потребовало решения уравнения индукции в трехмерной постановке

дВ

_ = V х [([/ + 1п /1г)хВ - 77 V х В] ,

где В - вектор магнитной индукции, и - вектор скорости, т] - коэффициент магнитной диффузии, связанный с электрической проводимостью а соотношением 77 = (цоЦгс)-1! й) и ~ коэффициенты магнитной проницаемости вакуума и относительной магнитной проницаемости среды. Слагаемое т/V 1п цг даёт эффект, называемый "парамагнитной накачкой", который выталкивает магнитное поле в область с бблыией проницаемостью. Уравнение индукции дополняется вакуумными граничным условиями. Параметризация поля скорости была выполнена на основе экспериментальных измерений, подробно изложенных в [1].

Численное решение поставленной задачи было получено с использованием оригинального пакета программ, реализующего конечно-разностный метод. Интегрирование по времени выполнялось с использованием явной схемы Рунге-Кутта-Фельтберга с коэффициентами Кэша-Карпа 5-го порядка точности с адаптивным выбором шага. Пространственные производные аппроксимировались центральными разностями 6-го порядка точности. Расчетная схема была распараллелена, что позволило эффективно использовать многопроцессорные кластеры. Результат!,I расчетов представлены на рис. 1, где показана зависимость среднеквадратичного значения магнитного поля от времени для "оптимистического" и "пессимистического" режима течения. "Оптимистический" режим предполагает, что течение во всем канале соответствует течению, измеренному экспериментально в области за дивертором. "Пессимистический" режим соответствует менее закрученному потоку входящему в дивертор. Такая неопределенность поля скорости была обусловлена ограниченными техническими возможностями измерений. Тем не менее на основе рассмотрения простой модели был предложен наиболее реалистичный вид зависимости потока от времени и координат [1], в соответствии с которым рост магнитного поля обозначен на рис. 1 как "г-с1ереп(1еп1". На начальном этапе магнитное поле затухает, а начиная с момент 0.1 с результирующая мода перестраивается и в дальнейшем достаточно быстро нарастает. При медленном торможении коэффициент усиления ноля заметно падает (рис. 1, справа).

Формирование динамо-волны в цилиндрической геометрии показано на рис. 2, где изоповерхности магнитного поля |В| даны для восьми различных моментов времени. Отметим, что со временем начальная доминирующая мода с азимутальным волновым числом тп = 1 и продольным волновым числом к = 0 (затухающая медленнее остальных) трансформируется в моду с к = 1 и так далее до моды с к = 3. Зависимость коэффициента роста магнитного поля от начальных условий и другие

0.5 1.0

ф]

Run 3

optimistic

z-dependent

pessimistic

10"

0.5 1.0

lis]

Рисунок 1: Изменение относительного среднеквадратичного значения магнитного поля со временем для Ть =0.1 с (Йлт1) и Ть = 0.2с (йлпЗ).

Рисунок 2: Структура магнитного поля в различные моменты времени. Слева направо, соответствует временам 0,0, 0.05, 0.1, 0.15, 0.2, 0.3, 0.4 и О.бв; время торможения Ть = 0.1 с. Показаны изоповерхности, представляющие собой постоянные уровни магнитного поля (Вг > 0, В. < 0), и силовые линии. Дивертор расположен внизу, и в его направлении движется общий поток.

характеристики для различных режимов течения и параметров стенки канала представлены в работе [2]. Расчеты подтверждают предварительные благоприятные оценки того, что планируемый динамо-эксперимент может быть осуществлен; ожидаемый коэффициент роста может составить 10'! или больше. Так, например, увеличение магнитной проницаемости добавлением ферромагнитных частиц в жидкий натрий может повысить коэффициент усиления, по это не принципиально для реализации динамо.

Заключительным этапом было численное моделирование динамо в криволинейном канале. Исследования генерации магнитного поля при винтовом движении в торе показали, что в пределе тонкого тора задача сводится к хорошо изученному случаю винтового динамо в цилиндре.

В толстом торе становятся существенными два фактора: дискретность спектра возбуждаемых волновых мод, приводящая к немонотонности нейтральной кривой, и кривизна области генерации, нарушающая симметрии генерируемого магнитного поля [3]. Благодаря этому в толстом торе появляется принципиально новое решение для винтового динамо: возникает Иглобалы1ое"магнитпое поле, не затухающее на внешней оси тора и имеющее масштаб максимального геометрического размера тора. Важен также вывод о возможности понижения порога генерации магнитного поля в толстом торе за счет изменения параметра закрутки потока.

Были рассмотрены возможности по созданию винтового потока без использования диверторов, которые в значительной степени тормозят поток и ограничивают время наблюдения динамо-эффекта. Показано, что течение в канале эллиптического сечения, замкнутом по листу Мёбиуса не имеет принципиальных отличий в динамо-процессе, но может дать больший коэффициент усиления за счет однородности и меньшей скорости затухания течения [4].

Во второй главе дан вывод общего выражения турбулентной электродвижущей силы, возникающей в винтовом потоке при наличии фоновой неоднородной турбулентности. Исследуется влияние пульсаций Ь = В — В, и = и — 1Г па генерацию среднего магнитного поля В при наличии среднего потока и. Применяя правила осреднения Рейнольдса, получаем уравнение индукции для среднего поля

д[В - V х {Т7 х В + £) - ^2В = 0,

где £ - электродвижущая сила, возникающая благодаря пульсациям скорости и магнитного поля,

£ = их В'.

Именно определение зависимости £ от средних полей и статистических свойств турбулентности представляет основную задачу теории среднего поля в электродинамике (Краузе и Рэдлер). Стандартно полагаем, что £ в выбранной точке зависит от компонент В и их пространственных производных в этой точке. Тогда £ может быть представлено в форме

£г = ау В^ + Ьф ЭВ3/дхк,

где компоненты тензоров а^ и Ьф есть осреднённые величины, зависящие от и и и. Разложение на симметричные и кососимметричные части позволяет выделить основные группы слагаемых в следующим виде:

£ = -а - В - -у хВ - 0 ■ {V хВ) - 6 х {V хВ) - к :

где а и /3 - симметричные тензоры второго ранга, 7 и 5 - векторы и к -тензор третьего ранга, (ФВ)^ = ^дВ^/дхи+дВк/дх^) - симметричная часть тензора градиента В. Слагаемое с а описывает а-эффект, который обычно вызывает дипамо-эффект, а слагаемое с 7 имеет смысл эффективной турбулентной скорости переноса магнитного поля. Слагаемые с ¡3 и 8 могут интерпретироваться как введение турбулентной магнитной диффузии, которая также в общем случае анизотропна. Слагаемое ск не имеет особо выделенной роли, но необходимо для полноты разложения.

Турбулентные пульсации и в винтовом потоке отличаются от однородных изотропных зеркально симметричных вследствие влияния силы Ко-риолиса, вызванной общим вращением П, наличия градиента ноля скорости V?/ и градиента интенсивности турбулентности д = (и2)'1^!!2. Используя стандартные в электродинамике среднего поля соображения симметрии, получаем

£ = -а?\д-П)В-а?]((П-В)д + (д-В)П)-а{™\д-ЦГ)В ■ В)д + (д • В)Ш) - а^а{д, £>) - В _(7(0 )д + 7(П )д х п + 7(ИЧ9 х]у + 7(£1) д £>) х В - /?(0>У х В

• (V х В) - {¿^П + х (V х В)

-(к^П + к^Ш) ■ (уВ)Ы - к™ к(£>) : (УВ)« ,

где = \idUildxj + ди^/дх^, \¥ = V х и, кцк = ещИ^ + ешОц, ощ = (еитЩ + е#тЮц)дт. Коэффициенты а|117), •••и к^

определяются через и, но не зависят от среднего поля скорости. С использованием корреляционного приближения второго порядка выведены соотношения в общем виде для получения количественных оценок эффективных коэффициентов. Определены асимптотические значения турбулентных коэффициентов в пределах слабо и сильно проводящей среды. Процедуры и результаты вычисления коэффициентов подробно изложены в [5], где также проведен их сравнительный анализ с известными результатами.

Для определения влияния турбулентности на винтовое динамо в диссертации проведен расчет критического магнитного числа Рейнольдса Ни, определенного по параметрам среднего потока I/, в зависимости от его турбулентного аналога Яио (интенсивности турбулентности) и от параметра д (отношение корреляционного масштаба турбулентности к радиусу канала).

Винтовое поле скорости и имеет в цилиндрической системе координат

О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 о 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Рисунок 3: Щ, в зависимости от Д„,о для различных £ (отношение корреляционного масштаба турбулентности к радиусу сечения капала) с учётом (слова) и без учёта проводящей стенки (справа).

(г, (р, г) ВИД

и = (0,со(г)г,щ(г)).

Для конкретизации £ переходим в систему отсчета, движущуюся со скоростью и в рассматриваемой выделенной точке г = го. Непулевыми компонентами остаются = —(Шг/скг и \Уг = геИ/с^г, а И имеет ненулевые Д-^ = ДдГ = и Д-г = Вгт = \&и%1<1г. В контек-

сте планируемого динамо-эксперимеита предполагается, что д является радиальным вектором, что приводит к следующей структуре а

(0 «1 а2 \

а! 0 0 . а2 0 0 /

Слагаемые а^ и исчезают, а непулевыми остаются

«1 = -(«Г - \"{0)) = («Г - 9^+а^дП.

Таким образом, среднее магнитное поле в направлении г не генерирует электродвижущей силы в направлении 1р или г, а значит, и не даёт а-эффекта в стандартном понимании.

Влияние турбулентности исследовано численно в терминах«, 7, /?, 8 и к-эффекта. На рис. 3 показано изменение критического числа Рейнольд-са с учетом всех турбулентных слагаемых £. При ряде предположений, сделанных относительно свойств турбулентности, ожидаемых в динамо-эксперименте, 11т* может меняться лишь в пределах одного процента. Однако при более высокой интенсивности турбулентности эффект становиться более значимым. Детальный анализ влияния каждого эффекта

в отдельности выполнен в работе [6]. Ряд теоретических оценок удалось сопоставить с результатами экспериментов с винтовым потоком жидкого галлия [7]. Несмотря на эту особенность, а-эффект способен поддерживать динамо-процесс в некоторой степени. Две составляющих /^-эффекта о) и /3(в> работают в противоположных направлениях: приводит к дополнительной магнитной диффузии и увеличивает порог генерации, а создает анизотропию и существенно усиливает винтовое динамо. Аналогично ¿-эффект поддерживает дипамо-нроцесс, ак-эффект противодействует ему. Против винтового динамо всегда работает и 7-эффект. Известно, что

и "-эффекты в сочетании с интенсивным вращением приводят к генерации магнитного поля, называемой 12 х ./-динамо (Рэд-лер, 1969). Однако в случае винтового динамо показано, что комбинация этих двух механизмов не усиливает динамо-процесс.

В третьей главе исследуются свойства МГД-турбулептности с использованием каскадных моделей. Основная идея каскадных моделей турбулентности состоит в построении цепочки обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих процессы спектрального переноса энергии в развитой турбулентности. В случае МГД-турбулентности задача состоит в том, чтобы сохранить для каждой октавы волновых чисел кп < |к| < кп+1, кп = 2" только пару комплексных переменных Цп и Вп, характеризующих пульсации скорости и магнитного поля в соответствующих масштабах, и записать для этих переменных систему уравнений, сохраняющую "базовые" свойства исходных уравнений магнитной гидродинамики. Под базовыми свойствами понимается тип нелинейности и законы сохранения, которым исходные уравнения удовлетворяют в без-диссииативном пределе. Аппарат каскадных моделей начал развиваться с задач о гидродинамической турбулентности и за последнее десятилетие был применен для исследования конвективной и магнитогидродинами-ческой турбулентности.

В диссертации предлагается рад шагов по устранению недостатков ранее известных каскадных моделей с целью описания нелокальных взаимодействий и сииральпости полей. Математическая формулировка разработанной нелокальной каскадной модели для МГД заключается в следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений

ип = гкп [<2Г1([/, и, а) - д„(В, В, а)] - Ке~хк2пип + вп = Исп ши, В, Ъ) - С}п(В, и, 6)] - Шп-1к1вп,

где

К+1 +

т=1

представляет нелинейное взаимодействие мод с различным номером оболочки п, Еп - турбулентная сила действующая в масштабе п = 0. Оптимальным отношением толщин двух соседних оболочек является золотое сечение А = (1 + \/5)/2. При N = 1 получается локальная каскадная модель для МГД, использованная в [8]. Дополнительные нелокальные взаимодействия при N > 2 соответствуют взаимодействиям всех возможных триад, включающих моды из различных оболочек. Выражения для кинетической энергии Ец и спиральности Ни, магнитной энергии Ев и спиральности Яд, а также перекрестной спиральности Не имеют вид

Еи = \Т, 1[/"12> Ни = \ £(-1)п I2

п п

Ев = \^\Вп I2, Нв = \^2(-1Гк~'\Вп\2

п п

В бездиссипативном пределе {у = т] = 0) полная энергия Е = Ец + Ев, магнитная и перекрестная спиральности должны сохраняться (Е = Нв = Не = 0). Это позволяет однозначно определить коэффициенты

<4и Нп'

п1 -Ь + к 1 п2 - ~кт+1 ~ (-1)т „з _ - (-1)"1 "т — "'т ' лт+1 ит — ■ и™ —

т к , г"т лт+1

б1 = Г-1)т+1 Ь2 = 1 б3 = -1

В частном случае чистой гидродинамики (Вп = 0), коэффициенты а'т будут удовлетворять условиям сохранения кинетической энергии и спиральности (Еи = Ни = 0). Коэффициент Тт = А2 + А) зависит только от т, а а является свободным параметром и определяет степень интенсивности нелокальных взаимодействий.

Статистически стационарные численные решения каскадных уравнений позволяют определить спектральное распределение энергии в развитой МГД-турбулентности при различных значениях чисел Рейнольд-са (см. рис. 4, справа). Была установлена зависимость порога генерации

ХодюРпг1 1од10к

Рисунок 4: Слепа: зависимость порога генерации от Ргп-1. Справа: спектр энергии кинетического (черные кружки) и магнитного (серые) поля при Ргп = 10~2.

мелкомасштабного магнитного поля отРт (см. рис. 4, слева). Выход критического значение 11т на постоянное значение было невозможно показать методами прямого численного моделирования. Основываясь только на данных роста порога генерации при Рт > 10~2 можно было сделать неверное предположение об отсутствии мелкомасштабного динамо при малых числах Рт. Применение новой каскадной модели показало, что генерация магнитного поля при больших числах Рт характеризуется особой ролыо нелокальных взаимодействий мод различных масштабов [9].

Исследован линейный режим экспоненциального роста энергии магнитного поля и последующий нелинейный режим насыщения процесса генерации при малых значениях магнитного числа Прандтля. Насыщение наблюдается сначала в мелких масштабах, а затем в крупных, аналогично обратному каскаду. Найденные решения хорошо совпадают с предлагаемыми аналитическими соотношениями, полученными из феноменологического описания процесса [10]. Развитый аппарат каскадных моделей позволил исследовать МГД-турбулентность, стационарно поддерживаемую внешней силой, которая наряду с энергией вносит в поток заданное количество перекрестной спиральности. Показано, что перекрестная спиральность препятствует каскадному переносу энергии и приводит к накоплению энергии в системе. Это накопление происходит до тех пор, пока интенсификация вихрей не компенсирует падающую эффективность нелинейных взаимодействий [11].

С помощью развитового аппарата каскадных моделей удалось изучить процессы спектрального переноса в ряде специальных случаев. Использованная каскадная модель гидродинамической турбулентности одинаково эффективна как для спиральной, так и для неспиральиой турбу-

лентности. Показано, что при постоянном внесении сниральпости на масштабе возбуждения турбулентности, она переносится по всему инерционному интервалу как пассивная примесь, а ее диссипация происходит на тех же масштабах, что и диссипация энергии [12]. Предложена каскадная модель, позволяющая исследовать сценарии развития турбулентного каскада энергии магнитного ноля под влиянием эффекта Холла, действующего в сильно намагниченной среде [13,14].

Четвертая глава просвещена разработке комбинированных моделей динамо, состоящих из уравнений среднего поля, каскадных уравнений МГД-турбулептности и соотношений, определяющих сопряжение крупно- и мелкомасштабных полей. Построение комбинированных моделей стало развитием идей каскадно-сеточного подхода. Конкретный вид модели динамо определяется структурой уравнений генерации крупномасштабного поля. Одним из самых простых случаев считается модель а2-динамо, которая может быть записана в терминах иолоидальной Вр и тороидальной Вт составляющих крупномасштабного магнитного поля в виде

= Иг^аВт — РВр, ¿гВт = -гкьаВр — /ЗВт,

где а - коэффициент а-эффекта, а (3 — эффективный коэффициент диффузии турбулентной среды, кь — волновое число, определяющее макромасштаб Ь. Также рассмотренная в диссертации модель аП-динамо, описывающая генерацию магнитного поля в топком галактическом диске, представляет собой систему уравнении частных производных

<МТ = аят^г^Вт + (Зк\д12Ат, д,Вт = -СдгАт + (5к\()1хВт.

где (7 - мера дифференциального вращения галактического диска, Ат -тороидальная компонента векторного потенциала магнитного поля, г -координата поперек диска.

Ключевой момент комбинированной модели состоит в том, чтобы связать уравнения среднего поля с каскадными уравнениями, описывающими динамику мелкомасштабных полей. Это сопряжение удается построить, исходя из тех же законов сохранения, на основе которых построены каскадные модели. Конечно, конкретная разработка искомого сопряжения зависит от специфики рассматриваемой задачи, однако ряд возникающих при этом проблем носит общий характер. Считается, что коэффициент а можно рассматривать как сумму двух составляющих а" и аь.

Первая составляющая в уравнениях среднего ноля обычно оценивается с использованием сииральности мелкомасштабного поля следующим образом

а" и —г <vrotv> . 3

Вторая компонента а связана с токовой сниральпостыо

аЬ » ^т < j rot j > .

Эти оценки содержат множитель т, который имеет размерность времени. Предполагая, что т определяется временем оборота вихря соответствующего масштаба, а можно вычислить по каскадным переменным следующим образом

= Е^иувд2=E(-1)nic/-i'

п п

«' = £(- 1)"|В„|.

Диффузия крупномасштабного магнитного поля описывается коэффициентом Р, который может быть оценен как

/3 и ^т < v2 > .

В терминах каскадных переменных это соответствует выражению

Для определения обратной связи используется закон сохранения полной энергии, перекрестной и магнитной сииральности. Так, изменение характеристик крупномасштабного магнитного поля за счет действия а-эффекта, обусловленного мелкомасштабной турбулентностью в оболчке п, определяется следующим образом

Iu„ = h f dzAdzKB)dz, Jo

1Ъ„ = kL f \dzAdz(abnB) - kL/3n(dzBf - kL/3nd2zzA)2}dz, Jo

III = h f [anB2 - 2kLpndzAdzB]dz, Jo

Рисунок о: Эволюция энергии тороидального (толстая линия) и нолоидального (пунктир) магнитного ноли в турбулентном галактическом диско (эисргия турбулентных пульсаций показана тонкой черной линией). Из расчета исключены магнитный а-эффект и контроль за балансом магнитной сниральности (левый рисунок). Учитывается магнитный а-эффект и баланс магнитной сниральности (правый рисунок).

где ГЦ определяет прирост магнитной энергии за счет гидродинамического альфа-эффекта, /'¡ - за счет магнитного a-эффекта, а 1[\ дает прирост магнитной сниральности за счет a-эффекта. Приращения сохраняемых величин в крупномасштабном иоле должны быть компенсированы их эквивалентной убылыо в мелкомасштабной турбулентности, что обеспечивают силы вида

TUL

fB _ 1п°п

Jn '

и*пЪп - ипЬ*п'

„в

Un(Ibn + In-l+Mn+MlU)

9п =--/л . 1WL.-г—Л- ДЛЯ четных п,

(А + 1 ){Ь*пи„ - Ьпи*п)

„в

un{In + ¡n-1 ~ In ~ In-1)^

9„ =--м , -7—Г,- ДЛЯ нечетных п,

(л + i)(6;u„ - ьпи*п)

входящие в каскадные уравнения. При этом изменение перекрестной сниральности мелкомасштабной турбулентности равно нулю. Заметим, что дифференциальное вращение в моделях аП-динамо рассматривается как неисчерпаемый источник энергии и сниральности. Модель позволяет проанализировать роль отдельных связей, отвечающих за взаимодействие крупномасштабного магнитного ноля с мелкомасштабной турбулентностью. В первом случае ( рис. 5, слева) в расчет принимался только гидродинамический а-эффект (аь = 0) и не учитывался баланс магнитной сниральности ( 1\\ = 0). В этом случае экспоненциальный рост крупномасштабного поля выходит на насыщение при t и 150. Тороидальное поле непосредственно генерируется за счет очень сильного и стабильного механизма дифференциального вращения? и его энергия

существенно превосходит энергию полоидального поля, а в ее изменениях отсутствуют быстрые вариации, обусловленные в полоидальном поле сильными флуктуациями турбулентности.

Во втором случае (рис. 5, справа) учитывается полный а-эффект и строго контролируется баланс магнитной сииральности при взаимодействии турбулентности и крупномасштабного магнитного поля. В этом случае преобладание тороидального поля над полоидальным не столь выражено, а процесс генерации в целом становится менее устойчивым. Накапливающаяся магнитная спиралыюсть мелкомасштабного (турбулентного) магнитного поля может приводить в конце концов к продолжительной блокировке крупномасштабного динамо. Такую блокировку динамо называют "катастрофической". Такое состояние наблюдается па интервале времени 300 < í < 400. Необходимость сброса магнитной спи-ральности приводит к кратковременным инверсиям полоидального поля, а при достаточно длительной инверсии и к изменению знака тороидального магнитного поля [15,16].

Пятая глава содержит описание предложенных методов обработки и интерпретации наблюдений космических магнитных нолей. Работа была направлена на решение фундаментальной проблемы определения крупномасштабной структуры магнитного ноля нашей Галактики по данным астрофизических наблюдений. Наиболее достоверным индикатором магнитного поля в межзвездной среде является фарадеевская мера вращения поляризованного излучения некоторого радиоисточпика внутри Галактики или за ее пределами. Фарадеевская мера ЯМ дает интегральную оценку магнитного поля вдоль луча, направленного на радиоисточник, и определяется выражением

где пе - плотность свободных электронов, 5 - расстояние до источника поляризованного излучения, в направлении которого и ведется интегрирование. Существует два типа источников: внегалактические (излучение проходит через всё магнитное поле нашей Галактики, и расстояние до источника пе играет роли, 5 = оо ) и внутригалакгические (как правило, это пульсары, при рассмотрении которых учёт расстояния просто необходим). Обработка данных только внегалактических источников не позволяет полностью определить структуру галактического магнитного поля, так как для анализа имеется лишь двумерная проекция на сфере [17]. В свою очередь, наблюдательные данные фарадеевских мер пульсаров

-7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7 5 10

Рисунок 6: Совместное распределение данных фарадеевских мер вращения пульсаров (радиоисточники внутри Галактики) и внегалактических источников радиоизлучения с использованием "оптической толщины" (вид с торца галактического диска вверху, вид в плоскости внизу). Источники с отрицательными 11М обозначены пустыми кругами, с положительные заполненными. Размер отражает величину Г1М.

весьма немногочисленны, а их распределение по галактическому диску крайне неравномерно. Основную новизну исследования представляет собой идея развития и применения метода совместного анализа данных. Восстановление структуры трехмерного поля по таким проекциоппым данным представляет собой очень сложную задачу, разрешаемую только до определенной степени.

Процедура восстановления подиптегральпой функции в выражении для И,М отягощена рядом условий. Функция ЯМ дискретна и известна только в точках расположения источников или па границе галактического диска. Источники разбросаны существенно нерегулярно по диску, а их низкая плотность распределения не позволяет провести простое осреднение. Данные сильно зашумлеиы как за счет ошибок измерений, так и наличием сильной турбулентной составляющей магнитного поля. В диссертационной работе был разработан подход, так или иначе преодолевающий эти проблемы и позволяющий восстанавливать трехмерное поле по имеющимся па данный момент наблюдательным данным. Комбинирование данных было выполнено за счет введения расстояния между источниками не в килопарсеках, а в единицах дисперсионной ме-

-4-2 0 2 4

Рисунок 7: Результат восстановления крупномасштабных структур магнитного поля в галактической плоскости.

ры, определяемой выражением

На рис. 6 хорошо видно, как внегалактические источники покрывают поверхность эффективного галактического диска, а пульсары заполняют его. Это даёт бесспорные преимущества, при дальнейшей обработке.

Метод обработки данных, который был развит в данной работе, основан на вейвлет-анализе, который уже зарекомендовал себя как удобный инструмент, охватывающий весь спектр проблем, включающих распознавание образов, масштабный и корреляционный анализ [17]. Вейвле-ты па данный момент являются одним из самых удобных инструментов анализа многомерных полей путем разделения пространственных структур с различными размерами. Особое значение имеет свойство вейвлет-преобразования, дающее возможность исследования дифференциальных характеристик анализируемых сигналов, не проводя дифференцирование самих сигналов — очень неустойчивой процедуры. Именно это свойство было положено в основу разработанной методики, которая подробно изложена в работе [18].

В дальнейшем представлялось целесообразным отдельно сформулировать задачу регуляризации операции дифференцирования зашумлён-пых данных на языке вейвлет-представлепия сигналов, которое позволяет естественным образом совместить преимущества работы в физическом пространстве и пространстве Фурье. В работе [19] подробно рассматриваются различные алгоритмы приближенного вычисления производной

Рисунок 8: Анализ тестового сигнала, состоящего из регулярных спиральных структур и шума в виде ярких точечных источников (слева). Вариация угла закрутки спиралей но азимуту (справа).

функции, заданной неточно. Алгоритм дифференцирования с использованием вейвлет-преобразования сравнивается с алгоритмом па основе преобразования Фурье и алгоритмами вычисления производной в физическом пространстве. Проведена численная оценка погрешности вычислений различных алгоритмов на модельных примерах.

В обработку были включены практически все данные ИМ, которые можно найти в опубликованных каталогах. В настоящий момент это порядка 1000 источников. В результате обработки удалось получить устойчивые к ошибкам измерений данные относительно глобальной структуры магнитного поля Галактики, что впервые позволило сделать ряд существенных выводов: оцепить параметры спиральной структуры крупномасштабного магнитного поля, определить направление магнитного поля в спиральных рукавах, выявить наличие сдвига между рукавами ионизированного газа и магнитными рукавами. На рис. 7 показан пример восстановления структуры крупномасштабного магнитного поля в плоскости галактического диска, получаемые в результате вейвлет-обработки. Солнце расположено в начале координат. Линиями изображены оптические спиральные рукава. Хорошо видно, как магнитные рукава отклоняются от оптических. Область, где данных недостаточно для получения устойчивых результатов, остается белой. Результаты раздела подробно изложены в научных статьях [18,19].

Рассматривается обратная задача определения спиральных свойств турбулентного магнитного поля по наблюдаемым интегральным характеристикам. Впервые предлагается принципиальное решение проблемы, устанавливающее связь между величиной магнитной спиральности и уровнем коррелированное™ меры фарадеевского вращения со степенью по-

ляризации сипхротронного излучения. Эффект деполяризации играет решающую роль и позволяет проводить диагностику магнитной спираль-ности в определенном диапазоне длины волны наблюдаемого радиоизлучения.

Применение вейвлет-алгоритмов показало свою эффективность и при анализе спиральных рукавов внешних галактик. Диски галактик в большинстве случаев демонстрируют спиральную структуру в распределении звезд, газа, ныли и магнитного поля. Спиральные рукава наблюдаются как по интенсивности сипхротронного радиоизлучения, так и по ориентации плоскости поляризации, связанной с крупномасштабным магнитным полем. Сравнение положение и ориентации различных спиральных компонент межзвездной среды может дать важную информацию о астрофизической связи газа, пыли и магнитного поля в галактиках. Также хотелось бы определить разделение различных на границах ударных волн и систематической сдвиг, ожидаемый в теории.

С использованием анизотропных вейвлетов была разработана техника изолирования вытянутой структуры в галактических изображениях, таких как спиральные рукава. Тестированию этой методики было уделено значительное внимание. На рис. 8 показан тестовый сигнал и результат определения углов закрутки спиралей. Методика была применена к распределению газа СО, инфракрасного и радиоизлучения галактики М51, обладающей ярко выраженной спиральной структурой.

Был установлен систематический сдвиг между рукавами СО, инфракрасного и радиоизлучения протяженностью несколько килопарсек, а также вариации угла закрутки спирали порядка нескольких десятков градусов. На рис. 9 показано положение рукавов различных компонент в галактической плоскости. Было обнаружено два типа рукавов поляризованного излучения: один расположен там же, где и рукав СО, с углом спирали близким к направлению магнитного поля, второй не всегда совпадает с рукавом СО и имеет угол закрутки спирали, отличный от направления магнитного поля. Смещения между положениями регулярного магнитного поля, плотного газа и разогретой нылыо сравнимы с предсказаниями теории образования звезд. Подробное изложение методики результатов анализа представлено в работе [20].

Шестая глава содержит обсуждение экспериментальных результатов, направленных на прямое измерение средней турбулентной электродвижущей силы и индукционных механизмов динамо-цикла. Для изучения взаимодействия магнитных полей и нестационарных турбулентных спи-

16 и PI6 полное и поляризованное радиоизлучение Абсм, ISO - 15/гм инфракрасное излучение.

ральных потоков проводящей жидкости в ИМСС УрО РАН была создана и затем неоднократно модернизировалась специальная экспериментальная установка. Основная физическая идея, обеспечивающая возбуждение потоков, та же, что и в установке для планируемого дипамо-экснеримента - закон инерции: тороидальный капал с жидкостью раскручивается вокруг главной оси симметрии до больших накапливаемых жидкостью энергий и затем резко тормозится. В качестве рабочей жидкости был выбран сплав галлия, что обеспечило возможность проведения экспериментов при комнатной температуре канала. Достижимое значение Rm было порядка 1, но этого уже достаточно для проявления индукционных эффектов.

В первом цикле экспериментальных работ ставился о вопрос об индукционных механизмах, возникающих при внешнем наложенном магнитом поле. Обработка экспериментальных данных позволила воссоздать полую трехмерную структуру магнитного поля, индуцированного вокруг тороидального канала (рис. 10). Было показано, что винтовое течение эффективно вытягивает магнитные силовые линии вдоль канала и частично поворачивает вокруг внутренней оси тора. Анализ нестационарного поведения индуцированного поля дал возможность проследить характер распространения фронта завихренности. Эта информация была использована при численном моделировании винтового динамо в главе 1.

Следующим этапом экспериментальных исследований была попытка получения а-эффекта. С одной стороны, крупномасштабное течение об-

Рисунок 10: Схема магнитных полей, возникающих в результате индукции продольной компонентой поля скорости [/(слева) и вращательной компонентой и (справа).

лает выраженной спиральностыо и можно ожидать, что в результате каскада по спектру турбулентность тоже будет спиральной. В пользу этого говорили наблюдения за турбулентностью в винтовом потоке воды, где визуализация осуществлялась калеросконическими частицами. С другой стороны, из теоретического анализа турбулентной электродвижущей силы, проведенного в главе 2, следовало, что а-эффект может возникать и без спиральной турбулентности. В результате экспериментальных работ было обнаружено действие ЭДС в направлении наложеного поля, которое зависело от знака спиральиости потока. Однако наблюдаемый эффект получил неожиданное объяснение. Характер зависимости от времени указывал па то, что эффект является результатом завихренности и продольного градиента турбулентных пульсаций, возникающих сразу после начала остановки канала и может быть представлен в виде

€( = а^ОД.

Последним шагом поисков турбулентных эффектов был эксперимент, где впервые были проведены прямые измерения эффективной проводимости (магнитной вязкости) в турбулентном потоке жидкого металла. Пиковые значения числа Рейнольдса. достигали значения Г1е ~ 106, что соответствует магнитному числу Рейнольдса Ит я» 1. Проводимость металла в канале определялась по сдвигу фаз вынужденных гармонических колебаний в последовательном колебательном контуре, индуктивностью которого являлась намотанная на канал тороидальная катушка. Полученный эффект имел нестационарный характер так же, как и возбуждаемое течение, достигая максимум в момент полной остановки (рис. 11, слева). Зависимость от скорости вращения тора, показанная на рис. 11, справа, носит нелинейный характер. Максимальное от-

Рисунок 11: (а) Изменение сднига фаз 5в за вычетом деформационного вклада со временем при различных начальных частотах вращения тора (сверху вниз 55, 50, 45, 40 и Зое-1). Резонансные частоты 166Гц. (б) Зависимость максимального относительного отклонения проводимости металла в канале от начальной частоты вращения канала О. Частота резонанса 166 Гц (квадратики), 954Гц (кружки).

клонение эффективной проводимости турбулентной среды от омической проводимости металла составило порядка 1%. Полное описание условий экспериментов и полученных результатов всего цикла работ изложено в [7,21-24].

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

а) В задаче о винтовом динамо установлена зависимость критических параметров от всех основных факторов, влияющих на процесс генерации: электрических и магнитных свойств среды и стеики канала, пространственно-временных свойств ноля скорости и геометрии канала. Получены оптимальные параметры экспериментальной установки для реализации винтового динамо.

б) В рамках теории среднего поля на основе корреляционного анализа определена полная структура средней турбулентной электродвижущей силы, возникающей при наличие общего вращения и произвольного сдвигового среднего поля скорости в условиях однородной и неоднородной турбулентности. Показано, что действия различных эффектов может носить конкурирующий характер.

в) Построены новые каскадные модели однородной и изотропной МГД-турбулеитиости, с помощью которых получено детальное описание процессов переноса кинетической и магнитной энергии но спектру при больших значениях чисел Рейнольдса. Показано, что при малых значениях магнитного числа Прандтля критическое значение

магнитного числа Рейнольдса выходит на постоянное значение. При больших значениях магнитного числа Прандтля существенную роль играют нелокальные взаимодействия структур разных масштабов. Предложен сценарий насыщения мелкомасштабного динамо. Выявлено, что перекрестная спиральиость препятствует каскадному переносу энергии и приводит к накоплению энергии в системе.

г) Построены комбинированные модели а2- и аА-динамо, включающие в себя формирование крупномасштабного магнитного ноля при участии мелкомасштабной турбулентности, онисаиие динамической эволюции мелкомасштабных полей и обратного действия среднего магнитного поля па статистические свойства МГД-турбулентности. Получено динамическое подавление составляющих а-эффекта, приводящее к характерной стабилизации крупномасштабного магнитного поля.

д) На основе вейвлет-апализа разработан и применен метод определения структуры галактических магнитных полей но интегральным оценкам - фарадеевской меры [¡ращения внегалактических радиоисточников совместно с данными по пульсарам. Предложен подход к оценке статистических свойств МГД-турбулентности в межзвездной среде по распределениям поляризационных наблюдений.

е) Получено экспериментальное подтверждение положений теории среднего поля па установке с жидким галлием. Впервые проведено прямое измерение турбулентной электродвижущей силы, возникающей в направлении магнитного поля (а-эффект), и коэффициента турбулентной магнитной диффузии (/3-эффект). Эксперимент с наложенным внешним полем подтвердил работу основных индукционных механизмов винтового динамо, которое планируется получить на большей установке с жидким натрием.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Основные результаты прямого численного моделирования опубликованы в [1-4]. Теоретические положения и численные расчеты в рамках теории среднего поля представлены в [5,6]. Исследование свойств мелкомасштабной МГД-турбулентности с использованием каскадных моделей изложено в [8-14,25]. Развитие каскадно-сеточных моделей и решение с

их помощью задач мпогомасштабного динамо опубликовано б [15,16,26]. Разработка и применение методов анализа астрофизических наблюдений представлено в [17-20,27,28]. Постановка, реализация экспериментальных исследований и интерпретация их результатов, выбор и апробация схемы измерений представлено в [7,21-24,29].

[1] Frick P., Noskov V., Denisov S., Khripchenko S., Sokoloff D., Stepanov R., Sukhanovsky A. Non-stanionary screw flow in a toroidal channel: way to a laboratory dynamo experiment // Magnetohydrodynamics. 2002. Vol. 38, № 1-2. P. 143-162.

[2] Dobler W., Frick P., Stepanov R. Screw dynamo in a time-dependent pipe flow // Physical Review E. 2003. Vol. 67, №5. P. 056309-+.

[3] Степанов P. А., Чупин А. В., Фрик П. Г. Винтовое МГД динамо в торе // Вычислительная механика сплошных сред. 2008. Т. 1, № 1. С. 109 - 117.

[4] Shukurov A., Stepanov R., Sokoloff D. Dynamo action in Möbius flow // Physical Review E. 2008. Vol. 78, № 2. P. 025301-+.

[5] Rädler К.-H., Stepanov R. Mean electromotive force due to turbulence of a conducting fluid in the presence of mean flow // Physical Review E. 2006. Vol. 73, №5. P. 056311-+.

[6] Rädler K.-H., Stepanov R. On the effects of turbulence on a screw dynamo // Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics. 2006. Vol. 100, №4-5. P. 379-395.

[7] Stepanov R., Volk R., Denisov S., Frick P., Noskov V., Pinton J.-F. Induction, helicity, and alpha effect in a toroidal screw flow of liquid gallium // Physical Review E. 2006. Vol. 73, №4. P. 046310-+.

[8] Stepanov R., Plunian F. Fully developed turbulent dynamo at low

magnetic Prandtl numbers // Journal of Turbulence. 2006. Vol. 7. P. 39-+.

[9] Plunian F., Stepanov R. A non-local shell model of hydrodynamic and magnetohydrodynamic turbulence // New Journal of Physics. 2007. Vol. 9. P. 294-+.

[10] Stepanov R., Plunian F. Phenomenology of Turbulent Dynamo Growth and Saturation // Astrophysical Journal. 2008. Vol. 680. P. 809-815.

[11] Мизёва И. А., Степанов Р. А., Фрик П. Г. Влияние перекрестной спиральности на каскадные процессы в МГД-турбулентности // Доклады Академии Наук. 2009. Т. 424, № 4. С. 479 - 483.

[12] Степанов Р. А., Фрик П. Г., Шестаков А. В. О спектральных свойствах спиральной турбулентности // Известия АН. Механика жидкости и газа. 2009. С. 33-43.

[13] Frick P., Stepanov R., Nekrasov V. Shell model of the magnetic field evolution under Hall effect // Magnetohydrodynamics. 2003. Vol. 39, №3. P. 327-334.

[14] Frick P., Stepanov R., Rheinhardt M. Shell models for Hall effect induced magnetic turbulence // New Journal of Physics. 2007. Vol. 9. P. 293—к

[15] Stepanov R., Frick P., Sokoloff D. A multi-scale disk dynamo model // Astronomische Nachrichten. 2006. Vol. 327. P. 481-+.

[16] Степанов P. А., Фрик П. Г., Соколов Д. Д. Сопряжение уравнений динамо средних полей и каскадной модели турбулентности на примере задачи галактического динамо // Вычислительная механика сплошных сред. 2008. Т. 1, № 4. С. 97 - 108.

[17] Frick P., Stepanov R., Shukurov A., Sokoloff D. Structures in the rotation measure sky // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2001. Vol. 325. P. 649-664.

[18] Stepanov R., Frick P., Shukurov A., Sokoloff D. Wavelet tomography of the Galactic magnetic field. I. The method // Astronomy and Astrophysics. 2002. Vol. 391. P. 361-368.

[19] Патрикеев И. А., Степанов P. А., Фрик П. Г. Вейвлет-регуляризация операции дифференцирования сигналов с шумом // Вычислительные методы и программирование. 2005. Т. 6. С. 35-42.

[20] Patrikeev I., Fletcher A., Stepanov R., Beck R., Berkhuijsen E. M., Frick P., Horellou C. Analysis of spiral arms using anisotropic wavelets: gas, dust and magnetic fields in M51 // Astronomy and Astrophysics. 2006. Vol. 458. P. 441-452.

[21] Денисов С. А., Носков В. И., Степанов Р. А., Фрик П. Г. Измерения эффективной проводимости турбулентной проводящей жидкости // Письма в ЖЭТФ. 2008. Т. 88, № 3. С. 198-202.

[22] Noskov V., Stepanov R., Denisov S., Frick P., Verhille G., Plihon N., Pinion J.-F. Dynamics of a turbulent spin-down flow inside a torus // Physics of Fluids. 2009. Vol. 21, №4. P. 045108-+.

[23] Frick P., Denisov S., Noskov V., Stepanov R. Direct measurement of effective electro conductivity of turbulent liquid metal // Astronomische Nachrichten. 2008. Vol. 329. P. 706-+.

[24] Noskov V., Denisov S., Frick P., Khripchenko S., Sokoloff D., Stepanov R. Magnetic field rotation in the screw gallium flow // The European Physical Journal B. 2004. Vol. 41, №4. P. 561-568.

[25] Степанов P. А. Оптимизация методов численного интегрирования каскадных моделей // Вычислительные методы и программирование. 2002. Т. 3. С. 176-179.

[26] Frick P., Stepanov R., Sokoloff D. Large- and small-scales interactions and quenching in alpha-square-dynamo // Physical Review E. 2006. Vol. 74. P. 066310-+.

[27] Stepanov R., Arshakian T. G., Beck R., Frick P., Krause M. Magnetic field structures of galaxies derived from analysis of Faraday rotation measures, and perspectives for the SKA // Astronomy and Astrophysics. 2008. Vol. 480. P. 45-59.

[28] Мизёва И. А., Степанов P. А., Фрик П. Г. Вейвлетные кросскорре-ляции двумерных полей // Вычислительные методы и программирование. 2006. Т. 7. С. 172-179.

[29] Халилов Р. И., Степанов Р. А., Фрик П. Г., Хрипченко С. Ю. Электромагнитные измерения уровня жидкого металла в замкнутых объемах // Измерительная техника. 2007. Т. 8. С. 41-44.

Сдано в печать 10.10.2009. Формат 60x84/16 Тираж 100 экз. Отпечатано в тип. ИМСС УрО РАН

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Степанов, Родион Александрович

Введение

1 Кинематическая генерация магнитного поля средним потоком

1.1 Уравнения магнитной гидродинамики.

1.2 Винтовое динамо в реальных условиях

1.2.1 Двухмерная постановка задачи.

1.2.2 Результаты численного решения.

1.3 Динамо в нестационарном и неоднородном поле скорости . 30 1.3.1 Численное решение в цилиндрической геометрии

1.4 Винтовое динамо в торе.

1.4.1 Постановка задачи и метод решения.

1.4.2 Результаты.

1.5 Динамо в канале в форме листа Мёбиуса.

1.5.1 Математическая постановка.

1.5.2 Результаты расчетов.

1.6 Выводы по главе.

2 Турбулентная электродвижущая сила

2.1 Турбулентная электродвижущая сила в винтовом потоке

2.1.1 Структура средней электродвижущей силы £

2.1.2 Вычисление средней электродвижущей силы £

2.2 Влияние турбулентности на винтовое динамо.

2.2.1 Оценка эффектов турбулентности.

2.2.2 Влияние турбулентности на порог генерации

2.3 Выводы по главе.

3 Мелкомасштабное динамо

3.1 Каскадные модели МГД-турбулентности

3.2 МГД-турбулентность при малых значениях магнитного числа Прандтля

3.3 Нелокальные взаимодействия в МГД-турбулентности

3.3.1 Построение модели.

3.3.2 Потоки энергии.

3.4 Сценарий насыщения турбулентного динамо.

3.5 МГД-турбулептность в условия высокой перекрестной спи-ральности.

3.5.1 Феноменологические представления.

3.5.2 Каскадная модель МГД-турбулентности с новым определением спиральности

3.5.3 Численные результаты.

3.6 Каскад гидродинамической спиральности.

3.6.1 Феноменология.

3.6.2 Численные эксперименты.

3.7 Каскад магнитной энергии под действием эффекта Холла

3.8 Оптимизация процедуры численного решения.

3.9 Выводы.

4 Комбинированные модели астрофизического динамо

4.1 а2-динамо.

4.1.1 Сопряжение крупномасштабных и мелкомасштабных переменных.

4.1.2 Результаты численного решения.

4.1.3 Нелинейная стабилизация динамо.

4.1.4 Роль магнитной составляющей в а-эффект.

4.1.5 а2-динамо при малых числах Рейнольдса.

4.2 аП-динамо

4.2.1 Сопряжение средних и турбулентных полей.

4.2.2 Проблема алайнмента.

4.2.3 Численные результаты.

4.3 Выводы.

5 Интерпретация данных радионаблюдений

5.1 Анализ анизотропных структур

5.1.1 Анизотропный корреляционный вейвлет-анализ

5.1.2 Спиральные рукава в распределениях пыли, газа и магнитного поля в галактике М51.

5.2 Вейвлет-томография.

5.2.1 Дифференцирующий вейвлет.

5.2.2 Методы численного дифференцирования.

5.2.3 Галактическое магнитное поле.

5.3 Статистический метод обнаружения магнитной спиральности в межзвездной среде.

5.3.1 Модель межзвездной среды.

5.3.2 Корреляционный анализ.

5.4 Выводы

6 Экспериментальные исследования элементов динамо-цик

6.1 Адвективное вращение внешнего магнитного поля.

6.1.1 Экспериментальная установка и измерения.

6.2 а-эффект.

6.2.1 Тороидальное наложенное поле.

6.3 /^-эффект.

6.3.1 Анализ результатов

6.4 Выводы.

Введение диссертация по механике, на тему "Генерация магнитных полей турбулентными потоками проводящей среды"

Объект исследования и актуальность проблемы.

Магнитные поля существуют не только у компактных астрофизических объектов, таких как планеты и звезды, они также наблюдаются повсюду во Вселенной, в межзвездном пространстве, и могут быть свойственны галактикам и галактическим кластерам. Речь идет о магнитном поле, возникающем в процессе эволюции системы, которая имеет в своем составе сплошную электропроводящую среду, такую как жидкий металл или плазма. Описание генерации космических магнитных полей остается важнейшей фундаментальной проблемой магнитной гидродинамики (МГД). Большой интерес к этой проблеме объясняется особой ролью магнитных полей в формировании ионосферы Земли, изменениях солнечной активности, звездообразовании в галактических дисках и многих других процессах и явлениях. Затрагиваемый круг проблем находится в очень широком диапазоне: от проектирования жидкостных систем охлаждения ядерных реакторов до создания космологических теорий Вселенной.

Происхождение и эволюция космических магнитных полей в основном объясняется теорией динамо, систематическое изложение которой можно найти в монографиях Паркера и Моффата. Важной особенностью маг-нитногидродинамических систем, в которых возможно самовозбуждение магнитного поля, является турбулентный характер движения проводящей среды. Именно турбулентность совместно с факторами открытых границ системы и существенной трехмерности явления динамо делает задачу не решаемой в общей постановке. Фундаментальным шагом в развитии науки о природе магнитных полей гидродинамических систем послужило создание теории среднего поля в электродинамике (Краузе и Рэд-лер). Аналогично подходу Рейнольдса в гидродинамике, магнитное поле раскладывалось на крупномасштабную составляющую, которая описывалась уравнениями для осредненных переменных, и мелкомасштабную составляющую, влияние которой учитывалось через эффективные турбулентные коэффициенты. В результате такого подхода был открыт так называемый си-эффект - механизм генерации крупномасштабного поля за счет мелкомасштабной МГД-турбулептности. В последние десятилетия был достигнут значительный прогресс в построении теоретических моделей динамо, прямом численном моделировании, экспериментальном подтверждении основ теории динамо и интерпретации астрофизических наблюдений. Одновременно с этим обозначился ряд трудностей применения теории среднего поля для решения определенного круга актуальных проблем.

Использование результатов теории среднего поля при построении динамо-моделей разнообразных космических объектов требует соответствующих количественных оценок турбулентных коэффициентов. Даже в самых простых случаях необходимо знать статистические характеристики мелкомасштабного поля. Как правило, колмогоровские представления о развитой гидродинамической турбулентности обобщаются на МГД. Однако в реальности магнитное поле, обладая собственным интегралом движения - магнитной спиральностыо, делает процессы переноса энергии и спиральности по спектру значительно более сложными для анализа. Экспериментальная верификация соотношений теории среднего поля наряду с возможностями численного моделирования МГД-турбулентности является актуальной задачей.

По мере того как теория динамо продвигалась от решения задач об условиях возникновения динамо-процесса к задачам о заключительном состоянии, стало понятно, что необходимо учитывать обратное действие крупномасштабного магнитного поля на мелкомасштабные поля. Возникшая трудность описания насыщения генерации и стабилизации магнитного поля обусловлена существенной нелинейностью этих процессов. Если воздействие магнитного поля на среднее поле скорости может быть определено в рамках уравнений среднего поля, то для описания воздействия на мелкомасштабное поле необходимо введение мелкомасштабных переменных и их динамической связи с крупномасштабными. Таким образом, актуальной проблемой является построение самосогласованных определяющих соотношений, которые позволят сформулировать адекватную математическую модель дипамо-процесса.

Задачи диссертационной работы состоят в: а) определении зависимости порога генерации магнитного поля в среднем винтовом потоке проводящей жидкости, организованном в тороидальном канале, от проводимости окружающей среды и пространственно-временных характеристик среднего поля скорости; б) выводе соотношений теории среднего поля для турбулентной электродвижущей силы, возникающей в условиях общего вращения и произвольного тензора градиента среднего поля скорости; в) исследовании характера совместного действия генерационных механизмов винтового поля скорости и мелкомасштабной турбелентно-сти; г) развитии аппарата каскадных моделей МГД-турбулентности с целью описания динамики мелкомасштабных кинетических и магнит-пых полей, потоков энергии по спектру, роли нелокальных взаимодействий, а также нелинейных сценариев насыщения мелкомасштабного динамо; д) построении и численном анализе комбинированной модели динамо, описывающей взаимодействие крупномасштабных и мелкомасштабных полей; е) разработке методов обработки и интерпретации наблюдательных данных галактических магнитных полей; ж) планировании и теоретическом подготовке экспериментальных исследований элементов динамо, компьютерной обработке проведенных измерений и их физической оценке;

Методы исследований. Основу используемых математических моделей составляют уравнения магнитной гидродинамики. Влияние мелкомасштабной турбулентности на эволюцию крупномасштабного магнитного поля описывается через турбулентную электродвижущую силу. Турбулентные эффекты устанавливаются в рамках теории среднего поля с помощью корреляционного анализа в приближении второго порядка. Определяющие соотношения обратной реакции крупномасштабных полей на свойства мелкомасштабных переменных получены из "первых принципов" - законов сохранения для МГД-системы. Динамика мелкомасштабных полей в широком спектральном диапазоне описана с использованием каскадных моделей турбулентности. Решения поставленных задач были получены численно. Ресурсозатратные расчеты выполнены на многопроцессорных вычислительных комплексах. Основным математическим методом обработки данных экспериментальных измерений и астрофизических наблюдений является спектрально-временной анализ сигналов, базирующийся на непрерывном прямом и обратном вейвлет-преобразовании.

Научная новизна заключается в следующем: а) получены характеристики винтового динамо в замкнутом канале с учетом основных факторов, влияющих на генерацию; б) впервые получено полное аналитическое выражение для средней турбулентной электродвижущей силы, возникающей при наличии общего вращения и произвольного сдвигового среднего потока в условиях однородной и неоднородной турбулентности; в) впервые показан характер изменения критического значение магнитного числа Рейнольдса при малых значениях магнитного числа Прандтля и нелокальный характер взаимодействий структур различных масштабов при больших значениях магнитного числа Прандтля. Предложено феноменологическое описание процесса насыщения мелкомасштабного динамо; г) построена новая комбинированная модель а2- и аП-динамо, описывающая динамическое взаимодействие крупномасштабных и мелкомасштабных полей на основе "первых принципов" магнитной гидродинамики; д) разработаны и применены новые методы обработки и подходы к интерпретации наблюдательных данных; е) впервые получены экспериментальные результаты генерации магнитных полей в турбулентных потоках проводящих металлов, согласующиеся с положениями теории среднего поля;

Научно-практическое значение полученных результатов. Все решенные задачи являются фрагментами единого методологического подхода к описанию процесса генерации магнитного поля в турбулентной многомасштабной среде. Предложенные методы моделирования динамо-процессов могут использоваться для широкого круга задач. Проведен комплекс вычислительных работ, результаты которых обосновывают возможность проведения уникального динамо-эксперимента в винтовом потоке в тороидальном канале. Предложенные методы обработки данных и их интерпретаций могут применяться для анализа хаотического поведения различных систем. По данным самого крупного международного каталога научных публикаций "Web of Science" опубликованные результаты диссертационной работы имеют более 130 цитирований.

На защиту выносятся теоретические положения, связанные с разработкой новых математических моделей генерации магнитных полей в условиях турбулентности, а также методы обработки экспериментальных и наблюдательных данных и результаты их интерпретации.

Связь исследований с научными программами. Работы по тематике диссертации проводились при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 99-01-00362-а, 01-01-96482-р-урал-а, 03-02-04031-ННИС)-а, 06-01-00234-а, 07-01-92160-НЦНИ-а, 07-01-96007-р-урал-а), Американского фонда гражданских исследований и развития (грант молодым ученым №У2-Р-09-02), Программы поддержки молодых ученых (грант Президента РФ МК-4338.2007.1), Фонда содействия отечественной науке.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения. Список использованных источников содержит 240 наименований. Общий объем диссертации составляет 340 страниц, включая 7 таблиц и 54 рисунка, которые размещены по месту ссылок внутри основного текста. Первая глава диссертации содержит ре

Заключение диссертации по теме "Механика жидкости, газа и плазмы"

6.4 Выводы

Рассмотрен вопрос об индукционных механизмах, возникающих при внешнем наложенном магнитом поле. Обработка экспериментальных данных позволила воссоздать полую трехмерную структуру магнитного поля, индуцированного вокруг тороидального канала. Было показано, что винтовое течение эффективно вытягивает магнитные силовые линии вдоль канала и частично поворачивает вокруг его внутренней оси тора. Анализ нестационарного поведения индуцированного поля дал возможность проследить характер распространения фронта завихренности.

Разработана и проведена серия экспериментов, позволившая провести прямые измерения магнитного поля, вызванного индуцированными токами в направлении внешнего наложенного магнитного поля. Характер полученных сигналов указывает на турбулентную природу полученных индукционных эффектов. Наиболее вероятным объяснением полученных результатов является действие сь-эффекта, возникающего на фоне градиента турбулентных пульсаций и завихренности в направлении внешнего поля. Экспериментальным результатам дано адекватное теоретическое описание, согласующееся также своими количественными оценками измеренного эффекта.

Впервые проведены прямые измерения эффективной проводимости (магнитной вязкости) в турбулентном потоке жидкого металла. Нестационарный турбулентный поток сплава галлия возбуждался в замкнутом тороидальном канале с диэлектрическими стенками. Пиковые значения числа Рейнольдса достигали значения Ие ~ 106, что соответствует магнитному числу Рейнольдса Иш « 1. Проводимость металла в канале определялась по сдвигу фаз вынужденных гармонических колебаний в последовательном колебательном контуре, индуктивностью которого являлась намотанная на канал тороидальная катушка. Максимальное отклонение эффективной проводимости турбулентной среды от омической проводимости металла составило порядка 1%.

Заключение

Главными результатами диссертационной работы: а) В задаче о винтовом динамо установлена зависимость критических параметров от всех основных факторов, влияющих на процесс генерации: электрических и магнитных свойств среды и стенки канала, пространственно-временных свойств поля скорости и геометрии канала. Получены оптимальные параметры экспериментальной установки для реализации винтового динамо. б) В рамках теории среднего поля на основе корреляционного анализа определена полная структура средней турбулентной электродвижущей силы, возникающей при наличие общего вращения и произвольного сдвигового среднего поля скорости в условиях однородной и неоднородной турбулентности. Показано, что действия различных эффектов может носить конкурирующий характер. в) Построены новые каскадные модели однородной и изотропной МГД-турбулентности, с помощью которых получено детальное описание процессов переноса кинетической и магнитной энергии по спектру при больших значениях чисел Рейнольдса. Показано, что при малых значениях магнитного числа Прандтля критическое значение магнитного числа Рейнольдса выходит на постоянное значение. При больших значениях магнитного числа Прандтля существенную роль играют нелокальные взаимодействия структур разных масштабов. Предложен сценарий насыщения мелкомасштабного динамо. Выявлено, что перекрестная спиральность препятствует каскадному переносу энергии и приводит к накоплению энергии в системе. г) Построены комбинированные модели а2- и аП-динамо, включающие в себя формирование крупномасштабного магнитного поля при участии мелкомасштабной турбулентности, описание динамической эволюции мелкомасштабных полей и обратного действия среднего магнитного поля на статистические свойства МГД-турбулентности. Получено динамическое подавление составляющих а-эффекта, приводящее к характерной стабилизации крупномасштабного магнитного поля. д) На основе вейвлет-анализа разработан и применен метод определения структуры галактических магнитных полей по интегральным оценкам - фарадеевской меры вращения внегалактических радиоисточников совместно с данными по пульсарам. Предложен подход к оценке статистических свойств МГД-турбулентности в межзвездной среде по распределениям поляризационных наблюдений. е) Получено экспериментальное подтверждение положений теории среднего поля на установке с жидким галлием. Впервые проведено прямое измерение турбулентной электродвижущей силы, возникающей в направлении магнитного поля (ск-эффект), и коэффициента турбулентной магнитной диффузии (/^-эффект). Эксперимент с наложенным внешним полем подтвердил работу основных индукционных механизмов винтового динамо, которое планируется получить на большей установке с жидким натрием.

Список источников диссертации и автореферата по механике, доктора физико-математических наук, Степанов, Родион Александрович, Пермь

1. Larmor J. How could a rotating body such as the Sun become a magnet? // Report of 87th Meeting British Associate Advances in Science. 1919. P. 159-160.

2. Пономаренко Ю. Б. К теории гидродинамического динамо // ПМТФ. 1973, № 6. С. 47-51.

3. Денисов С. А., Носков В. И., Соколов Д. Д., Фрик П. Г., Хрипчен-ко С. Ю. О возможной лабораторной реализации нестационарного МГД-динамо // Доклады РАН. 1999. Т. 365, № 4. С. 478.

4. Frick P., Noskov V., Denisov S., Khripchenko S., Sokoloff D., Stepanov R., Sukhanovsky A. Non-stanionary screw flow in a toroidal channel: way to a laboratory dynamo experiment // Magnetohydrodynamics. 2002. Vol. 38, № 1-2. P. 143-162.

5. Ландау JI. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.: Физматгиз, 2003. 656 с.

6. Моффат Г.К. Генерация магнитного поля в проводящей среде. М.: Мир, 1980.

7. Гайлитис А., Фрейберг Я. Ж. К теории винтового МГД-динамо // Магнитная гидродинамика. 1976, № 2. С. 3-6.

8. Лупян Е., Шукуров А. Шукуров А. Винтовое динамо в реальных потоках // Магнитная гидродинамика. 1992, № 5. С. 29-36.

9. Степанов Р. А., Фрик П. Г. Винтовое МГД-динамо в реальных потоках в трубах // Сб. научных трудов: Гидродинамика. 1999, № 12. С. 240-251.

10. Dobler W., Shukurov A., Brandenburg A. Nonlinear states of the screw dynamo // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 65, №3. P. 036311—h

11. CmenaiLoe P. А. Диссертация на соискание учеой степени кандидата физико-математических наук "Исследование структур и механизмов генерации магнитных полей галактики". Институт механики сплошных сред УрО РАН, 2000.

12. Frick P., Khripchenko S., Denisov S., Sokoloff D.} Pinton J.-F. Effective magnetic permeability of a turbulent fluid with macroferroparticles // European Physical Journal B. 2002. Vol. 25. P. 399-402.

13. Cash J. R., Karp A. H. A variable order Runge-Kutta method for initial value problems with rapidly varying right-hand sides // ACM Transactions on Mathematical Software. 1990. Vol. 16, №3. P. 201-222.

14. Степанов Р. А., Чупин А. В., Фрик П. Г. Винтовое МГД динамо в торе // Вычислительная механика сплошных сред. 2008. Т. 1, № 1. С. 109 117.

15. Воеводин В. В., Воеводин Вл. В. Параллельные вычисления. БХВ-Петербург, 2004. 608 с.

16. Коортап В. О. Flow in а Möbius strip // Ann. Math. 1926. Vol. 27. P. 424-426.

17. Dobler W., Frick P., Stepanov R. Screw dynamo in a time-dependent pipe flow // Physical Review E. 2003. Vol. 67, №5. P. 056309-+.

18. Krause F., Rädler K.-H. Elektrodynamik der mittleren Felder in turbulenten leitendenMedien und Dynamotheorie // In Proc. Ergebnisse der Plasmaphysik und der Gaselektronik. 1971. Vol. 2. P. 1154.

19. Краузе Ф., Рэдлер К.-Х. Магнитная гидродинамика средних полей и теория динамо, пер. с англ. М., 1984.

20. Rädler K.-H. Mean-Field Magnetohydrodynamics as a Basis of Solar Dynamo Theory //In Proc. Basic Mechanisms of Solar Activity. 1976. P. 323-344.

21. Rädler K.-H. Mean-Field Approach to Spherical Dynamo Models // Astron. Nachr. 1980. Vol. 301. P. 101-129.

22. Rädler K.-H. The Generation of Cosmic Magnetic Fields //In Proc. From the Sun to the Great Attractor (1999 Guanajuato Lectures in Astrophysics). 2000. P. 101-172.

23. Kichatinov L. L. On mean-field magnetohydrodynamics in a inhomogeneous medium // Magnetohydrodynamics. 1982. Vol. 3. P. 67-73.

24. Vainshtein S. I., Kichatinov L. L. The Macroscopic Magnetohydrodynamics of Inhomogeneously Turbulent CosmicPlasmas 11 Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 1983. Vol. 24. P. 273-298.

25. Rüdiger G., Kichatinov L.L. Alpha-Effect and Alpha-Quenching // Astron. Astrophys. 1993. Vol. 269. P. 581-588.

26. Kitchatinov L. L., Pipin V. V., Rmediger G. Turbulent viscosity, magnetic diffusivity, and heat conductivity under the influence of rotation and magnetic field // Astronomische Nachrichten. 1994. Vol. 315. P. 157-170.

27. Rädler K.-H., Kleeorin N., Rogachevskii I. The Mean Electromotive Force for MHD Turbulence: The Case of a Weak MeanMagnetic Field and Slow Rotation // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 2003. Vol. 97. P. 249-274.

28. Urpin V. Mean Electromotive Force and Dynamo Action in a Turbulent Flow 11 Astron. Astrophys. 1999. Vol. 347. P. L47-L50.

29. Urpin V. Turbulent dynamo action in a shear flow // Mon. Not. R. Astron. Soc. 1999. Vol. 308. P. 741-744.

30. Hoyng P. The Field, the Mean and the Meaning //In Proc. Advances in Nonlinear Dynamics. 2003. P. 1-36.

31. Rogachevskii I., Kleeorin N. Electromotive Force and Large-Scale Magnetic Dynamo in a Turbulent Flowwith a Mean Shear // Phys. Rev., E. 2003. Vol. 68. P. 036301/1-12.

32. Frick P., Denisov S., Khripchenko S., Noskov V., Sokoloff D., Stepanov R., Sukhanovsky A. The Nonstationary Dynamo Project // Fundamental and Applied MHD (Proceedings of the 5th International PAMIRConference). 2002. P. VI-1 VI-5.

33. Noskov V., Denisov S., Frick P., Khripchenko S., Sokoloff D., Stepanov R. Magnetic field rotation in the screw gallium flow // The European Physical Journal B. 2004. Vol. 41. P. 561-568.

34. Rogachevskii I., Kleeorin N. Nonlinear theory of a "shear-current"effect and mean-field magnetic dynamos // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 70. P. 046310-1-15.

35. Rädler K.-H. Uber eine neue Möglichkeit eines Dynamomechanismus in turbulentenleitenden Medien // Monatsber. Dtsch. Akad. Wiss. Berlin. 1969. Vol. 11. P. 272-279.

36. Rädler K.-H. Investigations of Spherical Kinematic Mean-Field Dynamo Models // Astron. Nachr. 1986. Vol. 307. P. 89-113.

37. Roberts G.O. Dynamo action of fluid motions with two-dimensional periodicity // Phil. Trans. Roy. Soc. London A. 1972. Vol. 271. P. 411454.

38. Moffatt H. K., Proctor M. R. E. The Role of the Helicity Spectrum Function in Turbulent Dynamo Theory // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 1982. Vol. 21. P. 265-283.

39. Roberts P. H., Soward А. М. A Unified Approach to Mean Field Electrodynamics // Astron. Nachr. 1975. Vol. 296. P. 49-64.

40. Steenbeck M., Krause F., Rädler K.-H. Berechnung der mittleren Lorentz-Feldstärke v x Bfür ein elektrisch leitendes Medium in turbulenter, durchCoriolis-Kräfte beeinflusster Bewegung // Z. Naturforsch. 1966. Vol. 21a. P. 369-376.

41. Rädler K.-H. Zur Elektrodynamik in turbulenten, Coriolis-Kräften unterworfenenleitenden Medien // Monatsber. Dtsch. Akad. Wiss. Berlin. 1969. Vol. 11. P. 194-201.

42. Rädler K.-H., Brandenburg A. a -effect dynamos with zero kinetic helicity // Phys. Rev. E. 2008. Vol. 77, №2. P. 026405-+.

43. Rüdiger G., Kitchatinov L. L. Do mean-field dynamos in nonrotating turbulent shear-flows exist? // Astron. Nachr. 2006.

44. Obukhov A.M. Some general characteristic equations of the dynamics of the atmosphere // Atmos. Oceanic Europhys. 1971. Vol. 7. P. 41.

45. Lorenz E. Low order models representing realizations of turbulence // J. Fluid Mech. 1972. Vol. 55. P. 545.

46. Гледзер Е.Б. Система гидродинамического типа, допускающая квадратичных интеграла движения // ДАН СССР. 1973. Т. 209, № 5. С. 1046-1048.

47. Desnyansky V.N., Novikov Е.А. The evolution of turbulence spectra to the similarity regime // Izv. Akad. Nauk. SSSR Fiz. Atmos. Okeana. 1974. Vol. 10. P. 127.

48. Siggia E.D. Origin of intermittency in fully developed turbulence // Phys. Rev. A. 1977. Vol. 15. P. 1730.

49. Yamada M., Ohkitani K. Lyapunov Spectrum of a Chaotic Model of Three-Dimensional Turbulence //J. Phys. Soc. Jpn. 1987. Vol. 56. P. 4210.

50. Frisch U. Turbulence: The Legacy of A.N. Kolmogorov. Cambridge Univ. Press, 1995.

51. Bohr T., Jensen M.H., Paladin G., Vulpiani A. Dynamical Systems Approach to Turbulence. Cambridge Univ. Press, 1998.

52. Pope S.B. Turbulent flows. Cambridge Univ. Press, 2000.

53. Biferale L. Shell models of energy cascade in turbulence // Ann. Rev. Fluid Mech. 2003. Vol. 35. P. 441-468.

54. L'vov V., Podivilov E., Pomlyalov A., Procaccia I., Vandembroucq D. Improved shell model of turbulence // Phys. Rev. E. 1998. Vol. 58. P. 1811.

55. L'vov V., Podivilov E., Procaccia I. Hamiltonian structure of the Sabra shell model of turbulence: Exact calculation of an anomalous scaling exponent // EurPhys. Lett. 1999. Vol. 46. P. 609.

56. Ditlevsen P.D. Symmetries, invariants, and cascades in a shell model of turbulence // Phys. Rev. E. 2000. Vol. 62. P. 484.

57. Mingshun J., Shida L. Scaling behavior of velocity and temperature in a shell model for thermal convective turbulence // Phys. Rev. E. 1997. Vol. 56. P. 441.

58. Hattori Y., Rubinstein R., Ishizawa A. Shell model for rotating turbulence // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 70. P. 046311.

59. Решетпяк M. Ю., Штеффен Б. Каскадные модели в быстровраща-ющихся динамо-системах // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. 2006. Т. 7, № 1. С. 8592.

60. Bowman J. С., Doering С. R., Eckhardt В., Davoudi J., Roberts M., Schumacher J. Links between dissipation, intermittency, and helicity in the GOY model revisited // Physica D Nonlinear Phenomena. 2006. Vol. 218. P. 1-10.

61. Zimin V., Hussain F. Wavelet based model for small-scale turbulence // Phys. Fluids. 1995. Vol. 7. P. 2925.

62. Melander M. Helicity causes chaos in a shell model of turbulence // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 78. P. 1456.

63. Melander M., Fabijonas B. Self similar enstrophy divergence in a shell model of isotropic turbulence // J. Fluid Mech. 2002. Vol. 463. P. 241.

64. Melander M., Fabijonas B. Transients in the decay of isotropic turbulence // J. Turb. 2003. Vol. 4. P. 014.

65. Grappin R., Léorat J., Pouquet A. Computation of the dimension of a model of fully developed turbulence //J. Phys. (France). 1986. Vol. 47. P. 1127.

66. Gloaguen C., Léorat J., Pouquet A., Grappin R. A scalar model for MHD turbulence // Physica D. 1985. Vol. 51. P. 154.

67. Carbone V. Scale similarity of the velocity structure functions in fully developed magnetohydrodynamic turbulence // Phys. Rev. E. 1994. Vol. 50. P. 671.

68. Biskamp D. Cascade models for magnetohydrodynamic turbulence // Phys. Rev. E. 1994. Vol. 50. P. 2702.

69. Frik P. Hierarchical model of two-dimensional turbulence // Magn. Gidrodin. 1983. Vol. 19. P. 60.

70. Frik P. Two-dimensional MHD turbulence. Hierarchical Model // Magn. Gidrodin. 1984. Vol. 20. P. 48.

71. Brandenburg A., Enquist K., Olesen P. Large-scale magnetic fields from hydromagnetic turbulence in the very early universe // Phys. Rev. D. 1996. Vol. 54. P. 1291.

72. Prick P., Sokoloff D. Cascade and dynamo action in a shell model of magnetohydrodynamic turbulence // Phys. Rev. E. 1998. Vol. 57. P. 4155.

73. Nordlund A., Brandenburg A., Jennings R. L., Rieutord M., Ruokolainen J., Stein R. F., Tuominen I. Dynamo action in stratified convection with overshoot // Astrophysical Journal. 1992. Vol. 392. P. 647-652.

74. Brandenburg A., Jennings R. L., Nordlund A., Rieutord M., Stein R. FTuominen I. Magnetic structures in a dynamo simulation 11 Journal of Fluid Mechanics. 1996. Vol. 306. P. 325-352.

75. Nore C., Brächet M. E., Politano H., Pouquet A. Dynamo action in the Taylor-Green vortex near threshold // Physics of Plasmas. 1997. Vol. 4. P. 1-3.

76. Christensen U., Olson P., Glatzmaier G. A. Numerical modelling of the geodynamo: a systematic parameter study // Geophysical Journal International. 1999. Vol. 138. P. 393-409.

77. Yousef T. A., Brandenburg A., Rüdiger G. Turbulent magnetic Prandtl number and magnetic diffusivity quenching from simulations // A&A. 2003. Vol. 411. P. 321-327.

78. Schekochihin A. A., Cowley S. C., Taylor S. F., Hammett G. W., Maron J. L., McWilliams J. C. Saturated State of the Nonlinear Small-Scale Dynamo // Physical Review Letters. 2004. Vol. 92, 8. P. 084504—h

79. Batchelor G. K. On the Spontaneous Magnetic Field in a Conducting Liquid in Turbulent Motion // Royal Society of London Proceedings Series A. 1950. Vol. 201. P. 405-416.

80. Gailitis A., Lielausis O., Platacis E., Dement'ev S., Cifersons A., Gerbeth G., Gundrum T., Stefani F., Christen M., Will G. Magnetic Field Saturation in the Riga Dynamo Experiment // Physical Review Letters. 2001. Vol. 86. P. 3024-3027.

81. Stieglitz R., Müller U. Experimental demonstration of a homogeneous two-scale dynamo // Physics of Fluids. 2001. Vol. 13. P. 561-564.

82. Müller U., Stieglitz R., Horanyi S. A two-scale hydromagnetic dynamo experiment // J. Fluid Mech. 2004. Vol. 498. P. 31-71.

83. Normand C. Ponomarenko dynamo with time-periodic flow // Phys. of Fluids. 2003. Vol. 15. P. 1606-1611.

84. Leprovost N., Marié L., Dubrulle B. A stochastic model of torques in von Karman swirling flow // European Physical Journal B. 2004. Vol. 39. P. 121-129.

85. Ponty Y., Mininni P. D., Montgomery D. C., Pinton J.-F., Politano H., Pouquet A. Numerical Study of Dynamo Action at Low Magnetic Prandtl Numbers // Physical Review Letters. 2005. Vol. 94, №16. P. 164502—h

86. Rädler K.-H., Stepanov R. The dynamo in a turbulent screw flow // Advances in Turbulence X (Proceedings of the Tenth European Turbulence Conference, Norway, Trondheim, June 29 July 2, 2004). 2004. P. 789-792.

87. Ravelet F., Chiffaudel A., Daviaud F., Léorat J. Toward an experimental von Karman dynamo: Numerical studies for an optimized design // Physics of Fluids. 2005. Vol. 17, №11. P. 117104—h

88. Boldyrev S., Cattaneo F. Magnetic-Field Generation in Kolmogorov Turbulence // Physical Review Letters. 2004. Vol. 92, № 14. P. 144501

89. JIodickuh С. А., Соколов Д. Д., Фрик П. Г. Магнитное число Прандтля и мелкомасштабное МГД-динамо // Астрономический журнал. 1999. Т. 76, № 11. С. 833-859.

90. Giuliani Р, Carbone VA note on shell models for MHD turbulence // Europhysics Letters. SEP 1 1998. Vol. 43, №5. P. 527-532.

91. Kraichnan R. H. Inertial-range spectrum of hydromagnetic turbulence 11 Phys. Fluids. 1965. Vol. 8. P. 1385.

92. Kraichnan R.H., Nagarajan S. Growth of turbulent magnetic fields // Phys. Fluids. 1967. Vol. 10. P. 859.

93. Ирошников П. С. Турбулентность в потоке проводящей жидкости в сильном магнитном поле // Астрономический журнал. 1963. Т. 40. С. 742.

94. Verma М. К. Mean magnetic field renormalization and Kolmogorov's energy spectrum in magnetohydrodynamic turbulence // Phys. Plasmas. 1999. Vol. 6. P. 1455-1460.

95. Haugen N. E., Brandenburg A., Dobler W. Is nonhelical hydromagnetic turbulence peaked at small scales ? // Astrophys. J. 2003. Vol. 597. P. 141-144.

96. Schekochihin A.A., Cowley S.C., Hammett G.W., Maron J.L., McWilliams J.C. A model of nonlinear evolution and saturation of the turbulent MHD dynamo // New J. Phys. 2002. Vol. 4. P. 84.

97. Schekochihin A.A., Maron J.L., Cowley S.C., McWilliams J.C. The small-scale structure of magnetohydrodynamic turbulence with large magnetic Prandtl numbers // Astrophys. J. 2002. Vol. 576. P. 806.

98. Pouquet A., Frisch U., Leorat J. Strong MHD helical turbulence and the nonlinear dynamo effect // Journal of Fluid Mechanics. 1976. Vol. 77. P. 321-354.

99. Alexakis A., Mininni P.D., Pouquet A. Imprint of large-scale flows on turbulence // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 95. P. 264503.

100. Mininni P.D., Alexakis A., Pouquet A. Shell-to-shell energy transfer in magnetohydrodynamics. II. Kinematic dynamo // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 72. P. 46302.

101. Carati D., Debliquy O., Knaepen B., Teaca B., Verma M. Energy transfers in forced MHD turbulence // Journ. Turb. 2006. Vol. 7. P. 112.

102. Verma M. K. Statistical theory of magnetohydrodynamic turbulence: recent results // Phys. Reports. 2004. Vol. 401. P. 229-380.

103. Batchelor G.K., Townsend A.A. Decay of turbulence in the final period // Proc. R. Soc. London A. 1948. Vol. 194. P. 527.

104. Alexakis A., Mininni P.D., Pouquet A. Shell-to-shell energy transfer in magnetohydrodynamics. I. Steady state turbulence // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 72. P. 46301.

105. Plunian F., Stepanov R. A non-local shell model of hydrodynamic and magnetohydrodynamic turbulence // New Journal of Physics. 2007. Vol. 9. P. 294-+.

106. Stepanov R., Plunian F. Phenomenology of Turbulent Dynamo Growth and Saturation // Astrophysical Journal. 2008. Vol. 680. P. 809-815.

107. Belcher J. W., Davis, Jr. L. Large-amplitude Alfven waves in the interplanetary medium, 2. // J. Geophys. Res. 1971. Vol. 76. P. 35343563.

108. Dobrowolny M., Mangeney A., Veltri P. Fully developed anisotropic hydromagnetic turbulence in interplanetary space // Physical Review Letters. 1980. Vol. 45. P. 144-147.

109. Miiller W.-C., Biskamp D. Scaling Properties of Three-Dimensional Magnetohydrodynamic Turbulence // Physical Review Letters. 2000. Vol. 84. P. 475-478.

110. Miiller W.-C., Grappin R. Spectral Energy Dynamics in Magnetohydrodynamic Turbulence / / Physical Review Letters. 2005. Vol. 95, №11. P. 114502—Ь

111. Grappin R., Leorat J., Pouquet A. Dependence of MHD turbulence spectra on the velocity field-magnetic field correlation // A&A. 1983. Vol. 126. P. 51-58.

112. Мизёва И. А., Степанов P. А., Фрик П. Г. Влияние перекрестной спиральности на каскадные процессы в МГД-турбулентности // Доклады Академии Наук. 2009. Т. 424, № 4. С. 479 483.

113. Brissaud A., Frisch U., Leorat J., Lesieur M., Mazure A. Helicity cascades in fully developed isotropic turbulence // Physics of Fluids. 1973. Vol. 16. P. 1366-1367.

114. Chen Q., Chen S., Eyink G. L., Holm D. D. Intermittency in the Joint Cascade of Energy and Helicity // Physical Review Letters. 2003. Vol. 90, №21. P. 214503—Ь

115. Копров Б. M., Копров В. М., Пономарев В. М., Чхетиани О. Г. Измерение турбулентной спиральности и ее спектра в пограничном слое атмосферы // Доклады Академии Наук РАН. 2005. Т. 403, № 5. С. 627-630.

116. Ditlevsen P. D., Giuliani P. Cascades in helical turbulence // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 63, №3. P. 036304-+.

117. Chen Q., Chen S., Eyink G. L. The joint cascade of energy and helicity in three-dimensional turbulence // Physics of Fluids. 2003. Vol. 15. P. 361-374.

118. Golbraikh E., Moiseev S. S. Different spectra formation in the presence of helical transfer // Physics Letters A. 2002. Vol. 305. P. 173-175.

119. Kurien S., Taylor M. A., Matsumoto T. Cascade time scales for energy and helicity in homogeneous isotropic turbulence // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 69, №6. P. 066313-+.

120. Benzi R., Biferale L., Kerr R. M., Trovatore E. Helical shell models for three-dimensional turbulence // Phys. Rev. E. 1996. Vol. 53. P. 35413550.

121. Chkhetiani O. G., Golbraikh E. Helicity spectra and dissipation 11 Physics Letters A. 2008. Vol. 372. P. 5603-5604.

122. Степанов P. А., Фрик П. Г., Шестаков А. В. О спектральных свойствах спиральной турбулентности // Известия АН. Механика жидкости и газа. 2009. Т. 5. С. 33-43.

123. Фрик П. Г. Турбулентность: подходы и модели. Москва-Ижевск: ИКИ, 2003. 292 с.

124. Kunz M. W., Balbus S. A. Ambipolar diffusion in the magnetorotational instability // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2004. Vol. 348. R 355-360.

125. Muslimov A. G., van Horn H. M., Wood M. A. Magnetic field evolution in white dwarfs: The hall effect and complexity of the field 11 Astrophys. J. 1995. Vol. 442. R 758-767.

126. Cumming A., Arras P., Zweibel E. Magnetic Field Evolution in Neutron Star Crusts Due to the Hall Effect and Ohmic Decay // Astrophysical Journal. 2004. Vol. 609. P. 999-1017.

127. Goldreich P., Reisenegger A. Magnetic field decay in isolated neutron stars // Astrophysical Journal. 1992. Vol. 395. P. 250-258.

128. Vainshtein S., Chitre S., Olinto A. Rapid dissipation of magnetic fields due to the Hall current // Phys. Rev., E. 2000. Vol. 61. P. 4422.

129. Rheinhardt M., Konenkov D., Geppert U. The occurrence of the Hall instability in crusts of isolated neutron stars // Astron. Astrophys. 2004. Vol. 420. P. 631-645.

130. Urpin V., Shalybkov D. Magnetohydrodynamic processes in strongly magnetized young neutron stars // Mon. Not. R. Astron. Soc. 1999. Vol. 304. P. 451-456.

131. Г. Корн, Т. Корн Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984.

132. Степанов Р. А. Оптимизация методов численного интегрирования каскадных моделей // Вычислительные методы и программирование. 2002. Т. 3. С. 176-179.

133. Haugen N. E. L., Brandenburg A., Dobler W. Simulations of nonhelical hydromagnetic turbulence // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 70, №1. P. 016308—Ь

134. Brandenburg A., Sokoloff D. Local and Nonlocal Magnetic Diffusion and Alpha-Effect Tensors in Shear Flow Turbulence // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 2002. Vol. 96. P. 319-344.

135. Beck R., Brandenburg A., Moss D., Shukurov A., Sokoloff D. Galactic Magnetism: Recent Developments and Perspectives // Ann. Rev. Astron. Astrophys. 1996. Vol. 34. P. 155-206.

136. Brandenburg A., Subramanian K. Astrophysical magnetic fields and nonlinear dynamo theory // Physics Reports. 2005. Vol. 417. P. 1-209.

137. Frick P., Boffetta G., Giuliani P., Lozhkin S., Sokoloff D. Long-time behavior of MHD shell models // Europhysics Letters. 2000. Vol. 52. P. 539-544.

138. Фрик П. Г., Соколов Д. Д. Модель многомасштабного МГД-динамо // Астрономический журнал. 2002. Т. 49, № 6. С. 511-516.

139. Zeldovich Ya. В., Ruzmaikin A. A., Sokoloff D. D. Magnetic fields in astrophysics. The Fluid Mechanics of Astrophysics and Geophysics, New York: Gordon and Breach, 1983, 1983.

140. Field G. В., Blackman E. G. Dynamical Quenching of the a2 Dynamo 11 Astrophysical Journal. 2002. Vol. 572. P. 685-692.

141. Brandenburg A., Sandin C. Catastrophic alpha quenching alleviated by helicity flux and shear // A&A. 2004. Vol. 427. P. 13-21.

142. Kleeorin N., Moss D., Rogachevskii I., Sokoloff D. Helicity balance and stady strength for dynamoc generated galactic magnetic field // A&A. 2000. Vol. 361. P. L5-L8.

143. Kleeorin N., Moss D., Rogachevskii I., Sokoloff D. Nonlinear magnetic diffusion and magnetic helicity transport in galactic dynamos // A&A. 2003. Vol. 400. P. 9-18.

144. Rogachevskii I., Kleeorin N. Electromotive force and large-scale magnetic dynamo in a turbulent flow with a mean shear // Phys. Rev. E. 2003. Vol. 68, №3. P. 036301-+.

145. Brandenburg A., Matthaeus W. H. Magnetic helicity evolution in a periodic domain with imposed field // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 69, № 5. P. 056407—K

146. Subramanian K., Brandenburg A. Nonlinear Current Helicity Fluxes in Turbulent Dynamos and Alpha Quenching // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 93, №20. P. 205001—h

147. Brandenburg A., Blackman E. G., Sarson G. R. How magnetic helicity ejection helps large scale dynamos // Advances in Space Research. 2003. Vol. 32. P. 1835-1844.

148. Schekochihin A. A., Cowley S. C., Maron J. L., McWilliams J. C. Critical Magnetic Prandtl Number for Small-Scale Dynamo // Physical Review Letters. 2004. Vol. 92, №5. P. 054502-+.

149. Schekochihin A. A., Haugen N. E. L., Brandenburg A., Cowley S. C., Maron J. L., McWilliams J. C. The Onset of a Small-Scale Turbulent

150. Dynamo at Low Magnetic Prandtl Numbers // Astrophysical Journal Letters. 2005. Vol. 625. P. L115-L118.

151. Mininni P. D., Montgomery D. C. Low magnetic Prandtl number dynamos with helical forcing // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 72, №5. P. 056320—Ь

152. Kazantsev A. P. Enhancement of a Magnetic Field by a Conducting Fluid // Soviet Journal of Experimental and Theoretical Physics. 1968. Vol. 26. P. 1031—К

153. Stepanov R., Plunian F. Fully developed turbulent dynamo at low magnetic Prandtl numbers // Journal of Turbulence. 2006. Vol. 7. P. 39-+.

154. Sokolov D., Shukurov A., Ruzmaikin A. Asymptotic solution of the alpha-squared-dynamo problem // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 1983. Vol. 25. P. 293-307.

155. Рузмайкин А. А., Соколов Д. Д., Шукуров А. М. Магнитные поля галактик. М.: Наука, 1988. 280 с.

156. Frisch U., She Z. S., Sulem P. L. Large-scale flow driven by the anisotropic kinetic alpha effect // Physica D Nonlinear Phenomena. 1987. Vol. 28. P. 382-392.

157. Vainshtein S. I. Possible generation of a magnetic field by Langmuir oscillations 11 JETPh. 1975. Vol. 67. P. 517-524.

158. Vainshtein S. I., Zeldovich I. В., Ruzmaikin A. A. The turbulent dynamo in astrophysics // Moscow Izdatel Nauka. 1980.

159. Brandenburg A., Saar S. H., Turpin C. R. Time Evolution of the Magnetic Activity Cycle Period // Astrophysical Journal Letters. 1998. Vol. 498. P. L51+.

160. Schekochihin A. A., Cowley S. C., Taylor S. F., Maron J. L., McWilliams J. C. Simulations of the Small-Scale Turbulent Dynamo // Astrophysical Journal. 2004. Vol. 612. P. 276-307.

161. Антонов Т. Ю., Фрик П. Г., Соколов Д. Д. Долговременная эволюция свободно распадающейся МГД-турбулентности // Доклады РАН. 2001. Т. 377, № 2. С. 170-172.

162. Зельдович Я. В., Рузмайкин А. А., Соколов Д. Д. Магнитны поля в астрофизике. Москва-Ижевск: ИКИ, 2006. 384 с.

163. Frick P., Stepanov R., Sokoloff D. Large- and small-scales interactions and quenching in alpha-square-dynamo // Physical Review E. 2006. Vol. 74. P. 066310-+.

164. Кузнецов В. В. Причина ускорения дрейфа северного магнитного полюса: джерк или инверсия // Геомагнетизм и аэрономия. 2006. Т. 46, № 2. С. 280-288.

165. Raffel М., Willert С., Kompenhans J. Particle Image Velocimetry: A Practical Guide. Berlin: Springer, 1998.

166. Edwards A. L. Multiple Regression and Analisys of Variance and Covariance. San Francisco: W.H Freeman and Company, 1979.

167. Frick P., Beck R., Berkhuijsen E. M., Patrickeyev I. Scaling and correlation analysis of galactic images // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2001. Vol. 327. P. 1145-1157.

168. Чуй К. Введение в вейвлеты. М.: Мир, 2001.

169. Holschneider М. Wavelets: An Analysis Tool. Oxford University Press, 1995.

170. Aurell E., Frick P., Shaidurov V. Hierarchical tree-model of 2D-turbulence // Physica D Nonlinear Phenomena. 1994. Vol. 72. P. 95109.

171. Beck R. Magnetic Fields in Galaxies //In Proc. Cosmic Magnetic Fields. 2005. Vol. 664. P. 41-+.

172. Heifer Т. Т., Thornley M. D., Regan M. W., Wong Т., Sheth K., Vogel S. N., Blitz L., Bock D. C.-J. The BIMA Survey of Nearby Galaxies (BIMA SONG). II. The CO Data // Astrophysical Journal Supplement Series. 2003. Vol. 145. P. 259-327.

173. Patrikeev I., Fletcher A., Stepanov R., Beck R., Berkhuijsen E. M., Frick P., Horellou C. Analysis of spiral arms using anisotropic wavelets: gas, dust and magnetic fields in M51 // Astronomy and Astrophysics. 2006. Vol. 458. P. 441-452.

174. Тихонов А., Арсепин В. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1996.

175. Пикалов В. В., Мельникова Т. С. Томография плазмы. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1995.

176. Троицкий И.Н. Статистическая теория томографии. М.:Радио и связь, 1989.

177. Патрикеев И. А., Фрик П. Г. Вейвлет-томография в условиях шума // Математическое моделирование систем и процессов. 1997. Т. 5. С. 86-92.

178. Patriekeyev I., Frick P. Lymphocyte nucleus reconstruction via wavelet tomography // Journal of Biomedical Optics. 1999. Vol. 7. P. 376-380.

179. Степанов P. А. Двумерная вейвлет-томография галактических полей // Математическое моделирование систем и процессов. 1999. Т. 7. С. 86-91.

180. Stepanov R., Frick P., Shukurov A., Sokoloff D. Wavelet tomography of the Galactic magnetic field. I. The method // Astronomy and Astrophysics. 2002. Vol. 391. P. 361-368.

181. Гелъфанд И. M., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.:Наука, 1959.

182. Bracewell R. Fourier Transform and Its Application. McGrow-Hill, Inc., 1965.

183. Хемминг P. Цифровые фильтры. M.: Советское радио, 1980.

184. Levin G. G. Analytical Methods for Optical Tomography. SPIE, 1992.

185. Frick P., Grossmann A., Tchamitchian P. Wavelet analysis of signals with gaps // Journal of Mathematical Physics. 1998. Vol. 39. P. 40914107.

186. Frick P., Stepanov R., Shukurov A., Sokoloff D. Structures in the rotation measure sky // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2001. Vol. 325. P. 649-664.

187. Manchester R. N. Structure of the Local Galactic Magnetic Field // Astrophysical Journal. 1974. Vol. 188. P. 637-644.

188. Taylor J. H., Cordes J. M. Pulsar distances and the galactic distribution of free electrons // Astrophysical Journal. 1993. Vol. 411. P. 674-684.

189. Sokoloff D. Astrophysical dynamos and magnetic helicity conservation // Plasma Physics and Controlled Fusion. 2007. Vol. 49. P. 447-+.

190. Mininni P. D. Inverse cascades and a effect at a low magnetic Prandtl number // Phys. Rev. E. 2007. Vol. 76, №2. P. 026316-+.

191. Shukurov A., Sokoloff D., Subramanian K., Brandenburg A. Galactic dynamo and helicity losses through fountain flow // A&A. 2006. Vol. 448. P. L33-L36.

192. Пипин, В. В. Генерация солнечных магнитных полей в динамо // Астрономический журнал. 2007. Т. 84. С. 461-470.

193. Brandenburg A. Why coronal mass ejections are necessary for the dynamo // Highlights of Astronomy. 2007. Vol. 14. P. 291-292.

194. Zhang H., Sokoloff D., Rogachevskii I., Moss D., Lamburt V., Kuzanyan K., Kleeorin N. The radial distribution of magnetic helicityin the solar convective zone: observations and dynamo theory // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2006. Vol. 365. P. 276-286.

195. Stefani F., Gailitis A., Gerbeth G. Magnetohydrodynamic experiments on cosmic magnetic fields // Zamm-Zeitschrift Fur Angewandte Mathematik Und Mechanik. DEC 2008. Vol. 88, № 12. P. 930-954.

196. Денисов С. А., Носков В. И., Степанов Р. А., Фрик П. Г. Измерения эффективной проводимости турбулентной проводящей жидкости // Письма в ЖЭТФ. 2008. Т. 88, № 3. С. 198-202.

197. Kahniashvili Т. Effects of primordial helicity on CMB // New Astronomy Review. 2006. Vol. 50. P. 1015-1019.

198. Kahniashvili Т., Vachaspati T. Detection of magnetic helicity // Phys. Rev. D. 2006. Vol. 73, №6. P. 063507-+.

199. Beck R. Measurements of Cosmic Magnetism with LOFAR and SKA // Advances in Radio Science. 2007. Vol. 5. P. 399-405.

200. Fletcher A., Shukurov A. Canals in Milky Way radio polarization maps 11 Mon. Not. R. Astron. Soc. 2006. Vol. 371. P. L21-L25.

201. Odier P., Pinton J.-F., Fauve S. Advection of a magnetic field by a turbulent swirling flow // Phys. Rev. E. 1998. Vol. 58. P. 7397-7401.

202. Bourgoin M., Volk R., Frick P., Khripchenko S., Odier P., Pinton J.-F. Induction mechanisms in von Karman swirling flows of liquid gallium // Magnetohydrodynamics. 2004. Vol. 40. P. 3-21.

203. Bourgoin M., Marie L., Petrelis F., Gasquet C., Guigon A., Luciani J.B., Moulin M., Narner F., Burguete J., Chiffaudel A., Fauve S.,

204. Odier P. Magnetohydrodynamics measurements in the von Karman sodium experiment // Physics of Fluids. 2002. Vol. 14. P. 3046-3058.

205. Petrelis F., Bourgoin M., Marie L., Burguete J., Chiffaudel A., Daviaud FFauve S., Odier P., Pinton J.-F. Nonlinear Magnetic Induction by Helical Motion in a Liquid Sodium Turbulent Flow // Physical Review Letters. 2003. Vol. 90, № 17. P. 174501—Ь

206. Lavrentev I. V., Shishko A. I. Electromagnetic processes in MHD channels at large magnetic Reynolds numbers / / Magnitnaia Gidrodinamika. 1980. P. 81-106.

207. Денисов С. А., Носков В. И., Сухановский А. Н., Фрик П. Г. Нестационарные турбулентные винтовые течения в кольцевом канале // Изв.РАН: Механика жидкости и газа. 2001. Т. 6. С. 73-80.

208. Roberts P., editor Magnetohydrodynamics and the Earth's Core. Taylor & Francis, 2002.

209. Busse FH, Grote E, Tilgner A On convection driven dynamos in rotating spherical shells // Studia Geophysica et Geodaetica. 1998. Vol. 42, №3. P. 211-223.

210. Dormy E., Valet J.-P., Courtillot V Numerical models of the geodynamo and observational constraints // Geochem. Geophys. Geosyst. 2000. Vol. 1, №10. P. 1037.

211. Rüdiger G., Hollerbach R. The magnetic Universe. Wiley-VCH, 2004.

212. Parker E. N. Hydromagnetic Dynamo Models. // Astrophysical Journal. 1955. Vol. 122. P. 293-+.

213. Kaiser R., Tilgner A. Kinematic dynamos surrounded by a stationary conductor // Phys. Rev. E. 1999. Vol. 60. P. 2949-2952.

214. Noskov V., Stepanov R., Denisov S., Frick P., Verhille G., Plihon N., Pinton J.-F. Dynamics of a turbulent spin-down flow inside a torus // Physics of Fluids. 2009. Vol. 21, №4. P. 045108—f.

215. Stepanov R., Volk R., Denisov S., Frick P., Noskov V., Pinton J.-F. Induction, helicity, and alpha effect in a toroidal screw flow of liquid gallium // Physical Review E. 2006. Vol. 73, №4. P. 046310—К

216. Reighard А. ВBrown M. R. Turbulent Conductivity Measurements in a Spherical Liquid Sodium Flow // Physical Review Letters. 2001. Vol. 86. P. 2794-2797.

217. Халилов P. И., Степанов P. А., Фрик П. Г., Хрипченко С. Ю. Электромагнитные измерения уровня жидкого металла в замкнутых объемах // Измерительная техника. 2007. Т. 8. С. 41-44.

218. Яценко С.П. Галлий, Взаимодействие с металлами. М.: Наука, 1974.

219. Шлихтииг Г. Теория пограничного слоя. М: Мир, 1969.

220. Зельдович Я. Б. // ЖЭТФ. 1956. Т. 31. С. 154.

221. Radier К.-H., Stepanov R. Mean electromotive force due to turbulence of a conducting fluid in the presence of mean flow // Physical Review E. 2006. Vol. 73, №5. P. 056311—I-.

222. Radier К.-H., Stepanov R. On the effects of turbulence on a screw dynamo // Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics. 2006. Vol. 100, №4-5. P. 379-395.