Геогелиофизические временные ряды и динамический хаос в них: моделирование и предсказуемость тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.03 ВАК РФ

введение.

глава i. Концепция детерминированного хаоса и обратная задача теории колебаний в применении к геофизическим и гелиофизическим экспериментальным временным рядам.

1.1 История проблемы.

1.1.1. Развитие математических представлений от Пуанкаре и Ляпунова до Такенса и Хаусдорфа.

1.1.2. Развитие физических представлений и простейших моделей. Атмосферной циркуляции (Лоренц). Конвекции в жидкости (Релей, Бенар). Земного магнитного динамо (Рикитаке). Солнечной активности (Гудзенко, Рузмайкин) .Прямая и обратная задача динамики.

1.2 Экспериментальные данные.

1.2.1 Солнечная активность: числа Вольфа.

1.2.2 Площадь солнечных пятен.

1.2.3 Числа Вольфа, реконструированные по ряду Шоува (наблюдения полярных сияний с 11 века).

1.2.4 Ряды характеристик движения Солнца относительно центра масс Солнечной системы

1.2.5 Ряды индексов геомагнитной активности: АА, Кр,.

1.2.6 Геомагнитные пульсации.

ГЛАВА II. Фрактальность и хаос в модельных и природных временных рядах: особенности интерпретации.

2.1. Процедуры восстановления псевдофазового пространства из экспериментальных данных:

2.1.1 Вложение Такенса и дифференциальное вложение. Взаимосвязанность и свойства этих пространств.

2,1.2 Определение характеристического времени — оптимального временного сдвига для исследуемых процессов.

2.2. Определение фрактальных размерностей. Влияние шума на фрактальную размерность модельных процессов. Вычисление фрактальных размерностей исследуемых временных рядов.

2.2.1. Понятие и примеры фрактальных структур.

2.2.2. Обобщенное определение фрактальной размерности.

2.2.3. Анализ корреляционного интеграла чисел Вольфа.

2.2.4. Сравнение корреляционных интегралов числа Вольфа и ряда, восстановленного по данным о наблюдениях полярных сияний

2.2.5. Анализ корреляционного интеграла Аа - индекса геомагнитной активности.

Выводы.

2.3. Отображение и последовательность Пуанкаре и их интерпретация для исследуемых процессов.

2.3.1. Отображение Пуанкаре для наблюденных и реконструированных чисел Вольфа.

2.3.2. Определение неподвижных точек отобраэюения по экспериментальным данным.

2.3.3. Последовательность Пуанкаре для реконструированного ряда чисел Вольфа и формулировка правша вековых тенденций.

2.3.4. Сравнение рядов на основе анализа последовательности Пуанкаре. Последовательность Пуанкаре для чисел Вольфа, Ааиндекса, скорости изменения углового момента Солнца.

Выводы.

2.4. Максимальный показатель Ляпунова. Локальный и глобальный показатель Ляпунова по экспериментальным данным.

2.4.1 Определения, постановка задачи, и основные свойства.

2.4.2 Алгоритмы вычисления показателей Ляпунова по экспериментальным данным.

2.4.3 Локальный максимальный показатель Ляпунова.

2.4.4 Выявление аномалий в экспериментальных данных.

2.4.5. Физический смысл полученных особенностей.

2.4.6 Возможность предсказания «фазовых катастроф» для чисел

Вольфа.

Выводы.

2.5. Время детерминированного поведения и горизонт предсказуемости солнечной активности.

2.5.1. Постановка задачи и терминология.

2.5.2.Расчет локальной предсказуемости чисел Вольфа.

Выводы.

ГЛАВА III. Реконструкция уравнений динамики для исследуемых геофизических временных рядов.

3.1. Модельные уравнения и методы аппроксимации, полиномиальная аппроксимация.

3.1.1. Постановка задачи.

3.1.2. Требования, предъявляемые временному ряду, при которых возможна корректная реконструкция. Длина ряда. Уровень шума. «Наблюдаемость» данной переменной - проблема индекс и физическая величина для исследуемых процессов.

3.2 Построение модельного оператора.

3.2.1. Моделирование из физических аналогий, редукция уравнений прямой задачи по существующей модели, аппроксимация экспериментальных данных модельным оператором заданного вида.

3.2.2 Полиномиальная аппроксимация, спектр коэффициентов, устойчивость процедуры восстановления к уровню шумов. Алгоритм и его апробация на тестовых системах.

3.3 Построение и анализ решений уравнений динамики для исследуемых процессов.

3.3.1 Тестирование алгоритма реконструкции уравнений на данных записи геомагнитных пульсаций.

3.3.2 Реконструкция глобальных векторных полей для индексов Аа и W.

Выводы.

3.4 Прогноз и эпигноз чисел Вольфа по построенным модельным системам уравнений.

3.4.1. Задача сверхдолгосрочного прогноза солнечной активности.

3.4.2 Числа Вольфа и 11-летний цикл солнечной активности (расчет).

3.4.3 Числа Вольфа, ряд Шоува и вековой цикл солнечной активности (расчет).

Выводы.

Настоящая работа посвящена исследованиям глобальных гелиогеофизических индексов в рамках концепции детерминированного хаоса с целью получения дополнительной информации о физике процессов, описываемой данными индексами, а также с целью определения их локальной предсказуемости при построении оптимальной прогностической модели.

Актуальность темы. В настоящее время наблюдается значительное повышение интереса как к чисто теоретическим и модельным исследованиям хаотических процессов, так и к приложениям разработанного математического формализма и терминологии к различного рода физическим процессам и явлениям. Все длинные временные ряды (часто индексы), накопленные в солнечной физике, геофизике, метеорологии, климатологии, весьма сложны с точки зрения физики, определяющей данные процессы и, соответственно, с точки зрения их предсказания, или определения степени взаимосвязанности тех или иных процессов. Детальное моделирование физических процессов, имеющих на выходе сравнительно простой временной ряд, требует как развития громоздкого математического аппарата так и огромных вычислительных мощностей. Таковы метеопроцессы нижней атмосферы, таковы и процессы в солнечной, космической и околоземной плазме. В то же время, описание этих рядов в терминах сравнительно простых низкоразмерных систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений позволяет часто без детализации конкретных физических процессов получить ряд количественных характеристик (инвариантов динамики). Эти характеристики, некоторые из которых можно получить непосредственно из временного ряда наблюдаемой переменной (ряд может быть даже одномерным) могут нести независимую информацию о динамике, а следовательно, и о физике процесса, о возможной его управляемости, и, главное, о его предсказуемости. Важно также решение задачи реконструкции глобального векторного поля, которое может позволить построить статистически оправданные предсказательные модели в терминах обыкновенных дифференциальных уравнений даже для сравнительно коротких, слабозашумленных природных квазипериодических временных рядов. В настоящее время, когда для рассматриваемых процессов уже произведены оценки фрактальных характеристик и инвариантов динамики, представляет особенный интерес дальнейшая детализация этих оценок: например, рассмотрение распределения локального показателя Ляпунова над фазовой плоскостью. Представляет интерес сравнение этих характеристик для связанных процессов (временных рядов), а также рассмотрение проблемы наличия или отсутствия синхронизации процессов при помощи классических методов исследования многомерной динамики, таких как построение отображения и последовательности Пуанкаре.

Смысл представляемой работы заключается в применении развитой сравнительно недавно математической концепции детерминированного хаоса к анализу таких известных в геофизике временных рядов как индексы солнечной и геомагнитной активностей с целью получения дополнительной информации о динамике и физике процессов, выраженных в этих индексах. Также в работе используются и другие природные ряды, в частности геомагнитные пульсации, с целью наглядной апробации используемых численных алгоритмов на хорошем экспериментальном материале.

Физико-математическая концепция и терминология, в рамках которых производится описание и анализ экспериментального материала в настоящей работе, исторически берут начало из трех фундаментальных направлений.

Первое направление вытекает из физических и математических работ Пуанкаре, обнаружившего перемешиваемость фазовых траекторий в задаче трех тел, и давшего новое истолкование природы случайных процессов. К истокам этого направления можно отнести и математические работы Ляпунова по анализу нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. В целом, развитие этого направления привело к представлению о том, что в природе существуют случайные процессы, которые описываются дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Таким образом, в результате эволюции жесткого детерминированного правила может получиться существенно случайный процесс. Постепенно развитие идей Пуанкаре приводит к представлению о том, что большинство физических систем являются открытыми, и большинство процессов являются лишь приближенно периодическими. Строго периодических процессов не бывает, и случайность является нормой не только для квантовых, но и для макропроцессов - такую мысль можно найти в работах Фейнмана, Борна, Пригожина и других известных исследователей.

Второе направление основывается на сравнительно современных работах по фрактальной геометрии Мандельброта, Хаусдорфа и др. Эти работы постулируют существование кривых, поверхностей и объёмов дробных размерностей, которые нельзя описать заданием аналитической функции, но которые являются результатом действия сравнительно простого алгебраического отображения. Помимо чисто математических объектов таковыми оказались береговые линии, объёмы, в которых залегают горные породы, облака, снежинки, деревья, и т.д. В результате опять - таки можно сказать, что фрактальный объект для природы является скорее правилом, чем исключением.

К третьему направлению можно отнести связующие геометрию и динамику работы Уитни, Мане, Такенса и др., постулирующие возможность реконструкции n-мерной динамики из одной наблюдаемой. При этом реконструированное пространство вложения аналогично обобщенному фазовому пространству и полностью описывает динамику данной наблюдаемой посредством траектории, как правило, обладающей фрактальными свойствами.

Развитие этих направлений на современном уровне дает основу нескольким развивающимся научным направлениям. Это, в частности, теория катастроф, синергетика, и динамический хаос -направления, хотя и независимые, но во многом пересекающиеся. Так, во многом благодаря развитию синергетики, выявилось наличие ряда физических моделей, сводимым к системам нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, обнаруживающих в решениях динамический хаос, т.е. такие свойства, как чувствительная зависимость от начальных данных, перемешиваемость траекторий, и дробную размерность множества, которое заполняет траектория решения (странного аттрактора). К таким моделям можно отнести, например, известный аттрактор Лоренца - систему, описывающую конвекцию в слое приземной атмосферы, динамо Рикитаке - систему, описывающую на качественном уровне генерацию геомагнитного поля, в частности его инверсии; наконец, система уравнений солнечного динамо, которую получали различные авторы посредством редукции уравнений МГД по процедуре, использованной Лоренцем, и множество других моделей.

Третье (синтетическое) фундаментальное направление позволило разрабатывать обратную задачу в концепции динамического хаоса, которую часто называют задачей реконструкции глобального векторного поля. Это задача поиска уравнений, аппроксимирующих экспериментальные данные наилучшим образом, которая является одной из основных задач настоящей работы.

Основной проблемой в рассматриваемом подходе является отыскание сравнительно простой системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, определяющих динамику процесса с очень большим, или даже с бесконечным числом степеней свободы. Такие широко используемые ряды, как числа Вольфа, геомагнитные индексы, весьма сложны как для модельного, так и для статистического описания. И в настоящее время еще выходят работы, где одни и те же ряды могут описываться и как чисто случайные, с применением теории вероятностей, и как п - периодические - результат наложения большого числа гармоник. Один из возможных путей к получению более полного знания - это описание в терминах систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которое дает принципиальную возможность сочетать достоинства обоих подходов, и выявлять новую качественную и количественную информацию о физических и динамических свойствах процесса, описываемого данным временным рядом.

Целью настоящей работы является

• Определение величин фрактальных характеристик гелиогеофизических индексов, и их физического смысла в конкретных случаях.

• Определение степени достоверности возможных прогнозов в зависимости от точности исходных данных и точности модельного оператора.

• Привлечение динамических характеристик к определению степени взаимосвязанности рассматриваемых физических процессов.

• Построение модельной системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в восстановленном трехмерном фазовом пространстве для исследуемых временных рядов.

• Её апробация как возможной прогностической модели.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Посредством анализа атласа локального максимального показателя Ляпунова выявлено наличие протяженного максимума этой величины в районе окончания ветви спада Солнечной активности. Этот максимум интерпретируется как область основной потери динамической памяти системы. Предложена физическая интерпретация механизма возникновения этой аномалии, указаны коррелирующие с ней по времени физические явления на Солнце.

2. Количественно определены пределы предсказуемости Солнечной активности, выраженной среднегодовыми числами Вольфа. Среднее время детерминированного поведения этого ряда порядка 11 лет. Построен график локальных изменений времени предсказуемости, определена зависимость времени предсказуемости от фазы цикла и от суммарной погрешности значений ряда и модельного оператора.

3. Построена нелинейная динамическая модель солнечной активности на основе ряда Вольфа с 1700г., и восстановленного ряда Вольфа с 1100г. в комбинации с вековым циклом активности как независимой переменной. Проанализирована возможность использования моделей для амплитудного сверхдолгосрочного прогноза среднегодовых чисел Вольфа. По результатам анализа качества предсказания амплитуды второго максимума для 9-22 циклов, предложено использовать последнюю модель для сверхдолгосрочного прогноза солнечной активности.

4. Посредством сравнительного анализа отображений Пуанкаре для рядов Аа - индекса, индекса Вольфа и ряда скорости изменения углового момента Солнца, выявлена идентичность структур отображения максимумов для рядов Аа и W, и коренное отличие их от структуры отображения для ряда скорости изменения углового момента Солнца при его движении относительно центра масс Солнечной системы. Этот факт говорит о том, что прямая динамическая связь между этими рядами на временах больших одного периода отсутствует, несмотря на значительную корреляцию отдельных циклов.

Научная новизна:

•S Разработан алгоритм вычисления локального максимального показателя Ляпунова из временного ряда

S Обнаружена и интерпретирована аномалия в фазовом пространстве солнечного цикла, определённая количественно локальным максимальным показателем Ляпунова. Определена предсказуемость солнечного цикла в зависимости от точности экспериментальных данных и ошибки модельного оператора. Эта величина определена локально в зависимости от фазы цикла.

S Впервые предложена статистически проверенная модель прогноза последующего максимума 11 -летнего цикла солнечной активности из предыдущего. S Произведена апробация на геофизических экспериментальных данных одного из новых алгоритмов реконструкции дифференциального уравнения в фазовом пространстве. S Предложено использовать развитую в работе нелинейную динамическую модель для амплитудных сверхдолгосрочных прогнозов.

S Предложено использовать отображение Пуанкаре для определения возможности физической связанности близких по периоду временных рядов. Получен независимый результат об отсутствии систематической динамической связи между характеристиками планетных приливов и солнечной активностью. Научная и практическая значимость:

Результаты проведенных исследований важны для понимания комплексных характеристик природных процессов, которыми определяются проанализированные экспериментальные временные ряды. Они могут служить основой для анализа других временных рядов, так же как разработанные алгоритмы и программы. Разрабатываемое направление предполагает возможность исследования сложных взаимосвязанных процессов и построения сравнительно простых моделей управления, что является особенно важным для исследования физики солнечно-земных связей.

Предложенная нелинейная динамическая модель может служить основой для сверхдолгосрочных амплитудных прогнозов солнечной активности.

Личный вклад автора. Автор принимал участие в постановке задачи, выбирал и обрабатывал экспериментальный материал, разрабатывал численные алгоритмы и программы. Все результаты, изложенные в диссертации, получены автором самостоятельно. Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах НИИФ СПбГУ, Пулковской ГАО, ААНИИ, и 5 - ти Российских и международных конференциях:

1. Конференция, посвященная памяти М.Н. Гневышева и А.И. Оля, С.-Петербург, май 1997.

2. International Conference "Problems of Geocosmos", St.-Petersburg, June 1997.

3. 1-st International Conference "Control of Oscillations and Chaos", St.-Petersburg, August 27-29, 1997.

4. International Conference "Problems of Geocosmos", St.-Petersburg, May 1999.

5. International Conference "Problems of Geocosmos", St.-Petersburg, May 2000.

Публикации:

1. Киселев Б.В., Волобуев Д.М. Сопоставление динамических характеристик солнечной и геомагнитной активности. Геомагнетизм и аэрономия, т. 37 N 5, 1997. с.152-154.

2. Киселев Б.В., Волобуев Д.М. Реконструкция аттракторов в трёхмерном пространстве и моделирование геомагнитных пульсаций. Вопросы геофизики, вып. 35. Спб., 1998, с.338-348.

3. Kiselev B.V., Volobuev D.M. Reconstruction of 3D - motion-equations from chaotic experimental time-series applied to geomagnetic pulsations. //Problems of geospace. Proceedings of an International Conference "Problems of Geocosmos". Verlag der Osterreichischen Akademie der Wisseschaften, Wien, 1997, pp. 163169.

4. Киселев Б.В., Волобуев Д.М. Цикличность солнечной активности: моделирование и прогноз. Труды конференции "Современные проблемы солнечной цикличности", 26-30 мая 1997, ГАО, Пулково, Санкт-Петербург стр. 42-47.

5. Kiselev B.V., Volobuev D.M. Equation of motion from a geophysical data series. International conference "Control of Oscillations and Chaos", August 27-29, 1997, St.Petersburg, Russia , p.246-251

6. Макарова Л.Н., Широчков A.B., Григорьева А.Ю., Волобуев Д.М. Связь вариаций теплового режима средней атмосферы высоких широт с процессами в солнечном ветре. Геомагнетизм и аэрономия. No 3, стр. 58. 1997г.

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, списка литературы и 1 приложения. Работа содержит 144 страницы машинописного текста, 24 рисунка, 2 таблицы и библиографию из 143 наименований.

Выводы

Предложенная методика может быть использована для амплитудных сверхдолгосрочных прогнозов солнечной активности. Качество прогнозов соответствует уровню наилучших современных прогнозов в этой области. Методика легко модифицируется, и может использовать дополнительные предикторы, при этом качество прогноза улучшается. К достоинствам методики можно отнести ее относительную простоту и универсальность сравнительно с моделями типа нейронных сетей (Макаренко, 1999), возможность работать с относительно короткими рядами, и возможность статистической проверки качества прогноза.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ В данной работе проведены последовательный анализ и моделирование динамики солнечной активности, представленной наиболее длинными и полными из имеющихся на сегодняшний день временных рядов (индексов). Производилось сопоставление с геомагнитным Аа - индексом и характеристиками движения планет с целью выявления возможных динамических связей. Для анализа использовался новый математический аппарат, развитый в концепции динамического хаоса. Получены следующие результаты:

1. Посредством анализа атласа локального максимального показателя Ляпунова выявлено наличие протяженного максимума этой величины в районе окончания ветви спада Солнечной активности. Этот максимум интерпретируется как область основной потери динамической памяти системы. Предложена физическая интерпретация механизма возникновения этой аномалии, указаны коррелирующие с ней по времени физические явления на Солнце.

2. Количественно определены пределы предсказуемости солнечной активности, выраженной среднегодовыми числами Вольфа. Среднее время детерминированного поведения этого ряда порядка 11 лет. Построен график локальных изменений времени предсказуемости, определена зависимость времени предсказуемости от фазы цикла, от суммарной погрешности значений ряда и модельного оператора.

3. Построена нелинейная динамическая модель солнечной активности на основе ряда Вольфа с 1700г., и восстановленного ряда Вольфа с 1100г. в комбинации с вековым циклом активности как независимой переменной. Проанализирована возможность использования моделей для амплитудного сверхдолгосрочного прогноза среднегодовых чисел Вольфа. По результатам анализа качества предсказания амплитуды второго максимума для 9-22 циклов, предложено использовать последнюю модель для сверхдолгосрочного прогноза солнечной активности.

4. Посредством сравнительного анализа отображений Пуанкаре для рядов Аа - индекса, индекса Вольфа и ряда скорости изменения углового момента Солнца, выявлена идентичность структур отображения максимумов для рядов Аа и W, и коренное отличие их от структуры отображения для ряда dL/dt. Этот факт указывает на динамическую независимость этих рядов на временах больших одного периода.

1. Abarbanel H.D.I, Brown R., Sidorovich J.J., Tsimring L.S.,The analysis of observed chaotic data in physical systems. //Rev. of Modern Physics , Vol.65, N4, 1993.

2. Andersen C.N. A presentation of the sunspot cycle. //Bell Syst. Tech. J. 1981. V.18.P.292.

3. Andersen C.N. Notes on the sunspot cycle. // J. Geophys. Res., 1954, 59, №4, P. 455-461.

4. Anderson R.J. Possible connection between surface winds, solar activity and the Earth's magnetic field.// Nature, v. 358, pp. 51.

5. Babcock, H.W. The topology of the Sun's magnetic field and the 22-year cycle. Astroph. Journ, 1961,133,572.

6. Broomhead D.S. and King G.P., Extracting qualitative dynamics from experimental data. Physica 20D, 1986, P. 217.

7. Brown E.W. A possible explanation of the sunspot period. // Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 1900, № 60, P. 599-606.

8. Burlaga L.F., Klein L.W., Fractal structure of interplanetary magnetic field.// J.G.R. N 90, 1985, P. 6278.

9. Baker D.N., Bargatz L.F. and Zwickl R.D. Magnetospheric response to the IMF.Substorms, J. Geomag. Geoelectr., N 38,1986,P. 1047.

10. Price, C.P. D. Prichard, and E. A. Hogenson, Do the Sunspot Numbers Form a "Chaotic" Set? J. Geophys. Res., vol.~96, no.~A12, pp.~19113—19120, 1992.

11. Casdagli, M. et al, Nonlinear modelling of chaotic time series: theoryand applications. // Applied Chaos, 1992.

12. Crutchfield J.P., McNamara B.S. Equation of Motion from a Data Series. // Complex Systems N 1. 1987.

13. Crutchfield J.P., Packard N.H. // Intern. J. Theor. Phys. 1982. V.21. P.433.

14. Currie R.G., Deterministic signal in tree-ring from Europe.//Ann. Geophys., v. 10 N 5, 1992, pp. 241-253.

15. Doerner R., Hubinger B., Martienssen W., Grossmann S. and Thomae S. Chaos, Solitons and Fractals 11991, p.553.

16. Eckmann J.P. and Ruelle D., Ergodic theory of chaos and strange attractors.// Rev. Of modern physics. No 57, 1985, p. 617.

17. Eckmann J.P. and Ruelle D., Fundamental limitations for estimating dimensions and Lyapunov exponents in dynamical systems.// Phys. D N 56,1992, p.30.

18. Eckhardt B. And Yao D. Local Lyapunov exponents in chaotic systems.//Phys. D N 65 1993, p. 100-108.

19. Ershov S.V., Malinetskii G.G., Ruzmaikin A.A. A Generalized two-disk dynamo model .//Geophys. Astrophys. Fluid. Dyn. 1989. Vol. 47. P. 251-277.

20. Farmer J.D. and Sidorowich J.J. Phys.Rev.Lett. Predicting chaotic time series. N 59, P. 845, 1987.

21. Farmer J.D., Ott E., Yorke J.A. The dimension of the chaotic attractors.//Physica D. Vol. 7, 1/3. P. 153-180, 1983.

22. Fraser A.M., Swinney H.L., Independent coordinates for strange attractors from mutual information.// Phys.Rev. A. N 33 ,p 1131, 1986.

23. Fraser A.M., Reconstructing attractors from scalar time series: a comparison of singular systems and redundancy criteria. Physica D 34, p. 391, 1989.

24. Gibson J.F., Farmer J.D. et all, An analitic approach to practical state space reconstruction. Physica D Vol.57, N1, 1992.

25. Gnevyshev M.N., //Solar Phys., N 1, p. 107, 1967.

26. Gouesbet G., Letellier C., Global vector-field reconstruction by using a multivariate polynomial L2 approximation on nets., Physical Review E, 1994 v.49, N 6 p.4955-4972

27. Grassberger P. Do the climatic attractors exist? // Nature. 1986. V.323. P.609 612.

28. Grassberger P. Generalised dimension of strange attractors. // Phys. Lett. 1983. V.97A, N6. P 227-223.

29. Grassberger P., Procaccia J. Dimensions and entropies of strange attractors from a fluctuating dynamics approach. Physica 13D. 1984 N 1-2, 34.

30. Grassberger P., Procaccia J. Measuring the strangenes of strange attractors // Physica 1983. V.90. P. 189-208.

31. Grassberger P.,Procaccia I., Characterization of strange attractors //Phys.Rev.Lett.,v.50,p.346-349,1983.

32. Halsey T.G., Jensen M.H. et all. Fractal measures and their singularities: the characterisation of stranga set. // Phys. Rev. A. 1986, v.33, N 2, 1141

33. Hentschel H.J.E., Procaccia I. The infinit number of generalized dimensions of fractals and strange attractors. Physica 1983. V 8D P. 435-444.

34. Huang W., Ding W.X., Feng D.L., Yu C.X., Estimation of a Lyapunov-exponent spectrum of plasma chaos. // Physical Review E, 1994 , v. 50, N2, p. 1062-1069.

35. Janson N.B., Pavlov A.N., Anishchenko V.S. One method for restoring inhomogeneous attractors. // Int. J. Of Bifurc. And chaos. V.8, No4, 1998,p.825-833.

36. Jinno, K. et al, Prediction of sunsports using reconstructed chaotic system equations, J. G.R., vol.100,No. A8, P 14773-14781, 1995.

37. Jose P.D. Sun's Motion and Sunspots. // The Astronomical Journal, v. 70, N3. 1965.

38. Kiselev B.V., Volobuev D.M. Equation of motion from a geophysical data series. International conference "Control of Oscillations and Chaos", August 27-29, 1997B, St.Petersburg, Russia , p.246-251

39. Kiselev B.V., Kozlovskii A.J., Pilipenko V.A.Non-linear distortion of the ULF wave form , Planet. Space Sci., 1991, N8, p 1119.

40. Klimas A.J. Baker D.N., Roberts D.A, et all. A nonlinear dynamical analogue model of geomagnetic activity. J.G.R. N 97, 1992, p. 12253.

41. Lawrence J.K., Ruzmaikin A.A. Transient solar influence on terrestrial temperature fluctuations. // Geophysical Research, vol.25,No.2,P 159-162, 1998.

42. Le Sceller L., Letellier C., Gouesbet G. Global vector field reconstruction including a control parameter dependenceV/Physics Letters A 211 (1996) P.211-216.

43. Leighton R. B. A magneto-kinematic model of solar cycle. //Astrophys.J., 1969,156,N1, part l,p. 1-26.

44. Lighthill J. The recently recognized failure of predictability in Newtonian dynamics II Proc. Roy. Soc. London A. 1986. Vol. 407 No 1832. P.35-50.

45. Lorenz E.N. Deterministic Nonperiodic Flow. // Journal of Atmospheric Sciences, N 20, 1963, P. 130.

46. Lorenz E.N. Irregularity: a fundamental property of the atmosphere. // Tellus. 1984. V.36A, N2. P. 98-111.

47. Malburet F. Sur la cause de la periodicite des taches solaires. L'Astronomie. Vol. 39. P. 503 .1925.

48. Malinetskii G.G., Potapov A.B., Gizatulina S.M. et al. Dimension of geomagnetic attractor from data on length of day variation // Phys. Earth and Planet Interior. 1990. Vol. 59. P.l70-181.

49. Mandelbrot B.B. Fractals: form, chance and dimension . //San Francisco: W.H. Freeman and company. 1977. 365p.

50. Mandelbrot B.B. Multifractal measures, especially for the geophysicist.// Pageoph, Vol. 131 Nos. Vz, 1989.

51. Mane R, in Dynamical Systems and Turbulence (Warwick, 1980), edited by D.A.Rand and L.S.Young, Lecture Notes in Mathematics Vol.898 (Springer-Verlag, Berlin, 1981), pp 230-242.

52. Martien P., Pope S.C., Scott P.L., Shaw R.S., The chaotic behavior of leaky faucet, Phys. Lett. A, N 110,1985, p.399.

53. Mundt M.D., Maguire W.B., Chase R.R.P. Chaos in the sunspot cycle: analysis and prediction. //J. Geophys. Res. 1991. V.96. N1. P.1705-1716.

54. Packard N.H., Crutchfield J.P. , Farmer J.D., Shaw R.S. Geometry from a time series. // Phys.Rev. Lett. N 45, P 712, 1980.

55. Palus M, Dvorak I, // Physica D N 56, P. 221, 1992.

56. Pavlos G.P. et all. Evidence for strange attractor structures in space plasmas, Ann. Geophysics. N 10, 1992, p.309.

57. Perdang J., Astrophysical Fractals: an Overview and Prospects. // Vistas in Astronomy, Vol. 33, pp. 249-294, 1990.

58. Prichard D., and Price C.P. , Spurious dimension estimates from time series of geomagnetic indexes.// Geophys. Res. Letters, N 19,1992, p.1623.

59. Richardson L.F. The problem of contiguity: an appendix of statistics of deadly quarrels // General Systems Yearbooks 1961. V.6. P.139-187.

60. Roberts D. A., Is there a strange attractor in the magnetosphere?// J. Geophys. Res., vol.96, no.A9, pp.16031--16046, 1991,

61. Rosenstein, M.T. et al. Reconstruction expansion as a geometry-based framework for choosing proper delay times., Physica D 73, p. 82-98, 1994.

62. Rosenstein, M.T. et al. A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets. Physica D 65, p. 117-134, 1992.

63. Ruelle D. Deterministic chaos: the science and the fiction. //Proc.Roy.Soc. London A. 1990. Vol.427. P. 241-248.

64. Ruzmaikin A.A. The Solar Cycle as a Strange attractor. //Comments Astrophys.-v.9.N 2. P. 85-93. 1981.

65. Sano M., Sawada Y., Measuring of the Lyapunov spectrum from chaotic time series. // Phys.Rew. Lett. No 55, 1985, p. 1082.

66. Schatten K., Myers D. J., //1996. Geophys. Res. Lett. V.23. No 6, p. 605 608.

67. Schouten J.C., Takens F., Cor M. van den Bleek. Estimation of the dimension of a noisy attraktor, Phys. Rev E.v. 50, No З.Д994.

68. Schuster H.G. Information Content of Chaotic Signals. // Physica Scripta. Vol. 40. 367-372, 1989.

69. Shaw R. Strange attractors, chaotic behavior and information flow.// Zs. Naturforschung. 1981. Bd. 36a. S. 80.

70. Sneyers R., Cugnon P. On the predictability of the Wolf sunspot number .//Ann. Geophys. V.4 N1, p.81-86, 1986.

71. Spott J.C. Some simple chaotic flows. // Physical Review E. V. 50 N 3. 1994. P. R647-R650.

72. Takalo J., Timonen J., Koskinen, Correlation dimension and affinity of AE -data and bicolored noise, GRL, N 20, 1993. P. 1527.

73. Takens F. Distinguishing deterministic and random systems // Nonlinear dynamics and turbulence. Boston etc., 1983. P.366-381.

74. Takens F. in Dynamical Systems and Turbulence, edited by G.I.Barenblatt, G.Iooss and D.D. Joseph (Pitman, New York, 1983) p.314.

75. Theiler J. Spurious dimensions from correlation algorithm applied to limited time-series data.// Phys. Rev. A.- Gen. Phys. 1986. Vol.34, N 3,P. 2427-2432.

76. Trellis M. Marches solaires d' origine plane'tair. -C.R. Acad. Sci. Paris, 1966, AB262, № 3 , B221-B224.

77. Vastano J.A. Vastelich E.J. Comparison of algorithms for determining Lyapunov exponents from experimental data. // Dimensions and entropies in chaotic systems. Berlin, Springer Verlag, p.100-107, 1986.

78. Waldmeier, M., Solar Phys., N 20, P. 332, 1971.

79. Whitney H., The self-intersections of a smooth N-manifold in 2N space. //Annals of Mathematics, No 45, 1944,P.220.

80. Wolf A., Swift J.B., Swinney H.L., Vastano J.A. Determinning Lyapunov exponents exponents from a time series // Physica D. 1985. Vol. 16. N3. P. 285-317.

81. Авакян C.B., Вдовин А.И., Пустарнаков В.Ф. Ионизирующие ипроникающие излучения в околоземном космическом пространстве. // С.-Петербург, Гидрометеоиздат, 1994.

82. Акасофу С.И., Чепмен С. Солнечно-земная физика. М.: Мир, 1975.

83. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний.// М.: Физматгиз, 1959, 915с.

84. Беляшов Д.Н., Емельянова И.В., Тищенко А.В., Макаренко Н.Г., Каримова JI.M., Опыт применения нейросетевого имитатора «MULTINEURON» в гео- и гелиофизике.// Труды конф. «Нейроинформатика 99», Москва, 1999, с.31-38.

85. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. М.: Мир, 1991.

86. Борискевич А.А. Дайлюленко В.Ф. , Крот A.M. Методы реконструкции фазового пространства по результатам эксперимента для диагностики и прогнозирования состояния систем со сложным поведением. Минск.: 1994. 50с. (Препр. Ин-та кибернетики АН Беларуси № 24).

87. Борн М. Непрерывность, детерминизм, реальность.// М.: Наука. 1977.

88. Брей Р., Лоухед Р. Солнечные пятна. М.: Мир,1967, 383с.

89. Ваврив Д.М., Рябов В.Б., Третьяков О.А. Фрактальная размерность самоподобных и несамоподобных аттракторов. Препринт РИ АН УССР, № 17.-Харьков, 1988.

90. Витинский Ю.И. , Оль А.И., Сазонов Б.И. Солнце и атмосфера Земли.//Л. 1976.

91. Витинский Ю.И. Цикличность и прогнозы солнечной активности. //Л.: "Наука", 1973.

92. Витинский Ю.И., Копецкий М., Куклин Г.В. Статистика пятнообразовательной деятельности Солнца. //М.: «Наука», 1986.

93. Гизатулина С.М. и др. Размерность геодинамического аттрактора по данным о вариации длины суток. М., 1988.

94. Гизатулина С.М., Рукавишников В.Д., Рузмайкин К.С. Радиоуглеродное свидетельство глобальной стохастичности солнечной активности, //препр. ИЗМИР АН № 40, М.: 1988.

95. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф.М.: Мир, 1984.

96. Грибков О.А., Грибкова В.В., Кравцов Ю.А., Кузнецов Ю.И. и др. Восстановление структуры динамической системы по временному ряду. // Радиотехника и электроника, 1994, т.39, №2, 269-277.

97. Гудзенко Л.И., Схема механизма циклической активности Солнца. Препр. ФИАН, 1967, №24, 19с.

98. Гудзенко Л. И . Статистистический метод определения характеристик нерегулироемой автоколебательной системы. Изв. вузов, Радиофизика 1962 т 5 N 3, с. 572-586.

99. Гудзенко Jl. И., Евсгегнеев В. В . Лакоба И. С. и др. Кинетика простых моделей теории колебаний .Труды ФИАН. М., Наука 1976

100. Гульельми А.В. МГД-волны в околоземной плазме.// М.: Наука, 1979.

101. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. // М.: Наука, 1984. 272 с.

102. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса. // М.: Наука, 1988. 368 с.

103. Зельдович Я.Б., Соколов Д.Д. Фракталы, подобие, промежуточная размерность. // УФН. Т. 146 . N 3. С. 493-506.

104. Илькова Л.Ш., Кравцов Ю.А., Мергелян О.С., Эткин B.C. Степень частичной детерминированности динамического хаоса.// Изв. Вузов. Радиофизика. 1985. Т. 28, № 7. С.929-932.

105. Илькова Л.Ш., Кравцов Ю.А., Пиковский А.С. Определение степени детерминированности экспериментально наблюдаемых хаотических режимов.// Кратк. Сообщ. по физике ФИАН. 1986. № 11, с. 7-9.

106. Киселев Б.В., Волобуев Д.М. Сопоставление динамических характеристик солнечной и геомагнитной активности. Геомагнетизм и аэрономия, т. 37 N 5, 1997А. с. 152-154.

107. Киселев Б.В., Волобуев Д.М. Цикличность солнечной активности: моделирование и прогноз. Труды конференции "Современные проблемы солнечной цикличности", 26-30 мая 1997Б, ГАО, Пулково, Санкт-Петербург стр. 42-47.

108. Киселев Б.В., Волобуев Д.М. Реконструкция аттракторов в трёхмерном пространстве и моделирование геомагнитных пульсаций. Вопросы геофизики, вып. 35. Спб., 1998, с.338-348.

109. Киселев Б.В. Козловский А.Е. Квазигармонический характер геомагнитных пульсаций Рс-1 Геомагнетизм и аэрономия 1989 N 5 с. 748.

110. Киселев Б.В., Козловский А.Е. Фазовый портрет солнечного цикла (приближение дифференциальным уравнением). // Магнитосферные исследования 1989 13 с 92-95

111. Киселев Б.В., Козловский А.Е. Фазовый портрет солнечного цикла (качественное рассмотрение). // Магнитосферные исследования 1989, N 13, с 92-95.

112. Кравцов Ю.А., Случайность, детерминированность, предсказуемость. У.Ф.Н., т. 158, вып.1, 1989г.

113. Кремлевский М.Н., Блинов А.В. Рекуррентная модель динамики 11-летних циклов солнечной активности. // Письма в астрономический журнал, т. 20 . №2, 1994, с. 150-154.

114. Ланда П.С., Неймарк Ю.И. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука. 1987.

115. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. // М.: Мир, 1985. 529с.

116. Макаренко Н.Г., Айманова Г.К. Геометрия солнечных циклов.// препр. ИТПМ МН- АН РК, Алма-Ата, 1989.

117. Макаренко Н.Г., Тищенко А.В., Прогноз солнечных циклов и нейронные сети. //Тез. Конф. «Новый цикл солнечной активности», С.-Петербург, 24-29 июня 1998, с. 47-49.

118. Макаренко Н.Г., Каримова Л.М., Нагай Т.В. и др., Эмбедология, солнечные циклы и прогноз динамики Каспия.// Труды конф. «Современные проблемы солнечной цикличности», С.-Петербург, 26-30 мая 1997.

119. Макарова Л.Н., Широчков А.В., Григорьева А.Ю., Волобуев Д.М. Связь вариаций теплового режима средней атмосферывысоких широт с процессами в солнечном ветре. Геомагнетизм и аэрономия. No 3, стр. 58. 1997г.

120. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б., Рахманов А.И. Ограничения возможности реконструкции аттрактора для хаотических динамических систем. // Препр. ИПМ им. Келдыша РАН., М. 1993.

121. Малинецкий Г.Г., Рузмайкин А.А., Самарский А.А. Модель долговременных вариаций солнечной активности. М. 1986. 28с. (препр. ИПМ им. Келдыша АН СССР, № 170).

122. Наговицин Ю.А. Нелинейная математическая модель процесса солнечной активности и возможности для реконструкции в прошлом. // Письма в Астрономический журнал. Т.23, № 11, 1997.

123. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979.

124. Оль А.И. Циклические вариации авроральных явлений. //

125. Высокоширотные геофизические явления. Л.: 1974, с.7-21.

126. Остряков В.Н.,Усоскин И.Г., в сб. Космическое излучение высокой энергии,Ленинград,1989,с 120-129.

127. Оселедец В.И. Докл. Моск. Мат. Общества, №19, стр. 197 М.1968,

128. Пригожин И., Стенгерс И., Порядок из хаоса. М.: Прогресс, 1986.

129. Пуанкаре, А., О науке, М., " Наука", 1990.

130. Пудовкин М.И. и др. Физические основы прогнозирования магнитосферных возмущений. Л, "Наука", 1977.

131. Пудовкин М.И., Морозова А.Л., Черных Ю.В. Черты эволюции циклов солнечной активности.// Геомагнетизм и Аэрономия, т.39, №2, стр. 40-44, 1999.

132. Рикитаки Т.Электромагнетизм и внутреннее строение Земли. Л.: Недра, 1968.

133. Романчук П.Р. Метод сверхдолгосрочного прогнозирования сглаженных месячных чисел Вольфа (метод резонансных кривых). // Вестник Киевского университета, серия астрон., 1974, №16, с. 17-20.

134. Романчук П.Р. Редюк Т.И. Прогноз 22-26 циклов солнечной активности. // Препр. № 6, АО КГУ, 1974.

135. Рубашев Б.М. Проблемы солнечной активности. М.: Наука, 1964.

136. Синай Я.Г. и др. Эргодическая теория. М.: Наука, 1980. 383с.

137. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980.

138. Чижевский А.Л. Земное эхо солнечных бурь.// М.: Мысль, 1972, 650с.

139. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988.