Геометрическая эквивалентность групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правахрукописи

ГУСЕВ БОРИС ВЛАДИМИРОВИЧ

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ГРУПП

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иркутск

Работа выполнена на кафедре математики и методики преподавания математики Иркутского государственного педагогического университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук.

профессор В.В. Блудов

Официальные оппоненты:

член-корреспондент РАН.

доктор физико-математических наук.

профессор В.Д. Мазуров,

кандидат физико-математических наук

РС. Сулейманова

Ведущая организация: Институт математики и механики

УрО РАН. г. Екатеринбург

Защита состоится 10 ноября 2007 г. в 900 часов на заседании диссертационного совета Д 212.099.02 в Сибирском федеральном университете по адресу: 630090, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета.

Автореферат разослан 9 октября 2007 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.099.02. кандидат физико-математических наук

М.Н. Голованов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ1

Актуальность темы. Диссертация посвящена вопросам связанным с геометрической эквивалентностью гр\ пп понятие которой было введено в работах Б II Плоткина В диссертации определен новый ктасс групп — геометрическое многообразие гр\пп связанное с данным понятием и рассмотрены его свойства и связь с другими классами гр\пп Рассмотрен вопрос о геометрической эквивалентности нильпотентных групп без кручения своим минимальным пополнениям

В серии работ Б II Плоткина [5] - [7] и Г Б а) мслага А Мясникова В Ремесленникова В Романькова [2] - [4] были заложены основы алгебраической геометрии над группами В этих работах наряд}7 с общими вопросами, было введено понятие геометрической эквивалентности рассмотрены основные свойства этого понятия и поставлены открытые вопросы

В настоящей диссертации изучаются свойства геометрической эквивалентности и вводится новый ктасс — геометрическое многообразие групп Этот класс грлпп замкн\т относительно подгр\пп и относительно геометрической эквивалентности и обладает другими интересными свойствами В частности, классы нильпотентных и разрешимых групп являются геометрическими многообразиями

Дрлгой аспект рассматриваемых вопросов - это вопрос, поставленный Б II Плоткиньш на Междгнародной алгебраической конференции памяти ДК Фаддеева в С'-Петерб\рге в 1997 год\ б\дет ти 1еомелрически эквивсиенгна конечнопо-рожденная нильпогентная гр\ппа без кр\чения своем\ минимальном \ пополнению В диссертации прнвошгея пример ко-

1 Работа выполнена при финансовой исидержь.е РФФИ 1{мнг V 03-01-

00320

нечно порожденной нильпотентной группы без крз чения ступени три минимальное пополнение которой геометрически не эквивалентно исходной группе, а также доказывается, что всякая нильпотентная группа без кручения ранга 2 и ступени нильпотентности < 4 геометрически эквивалентна своему минимальному пополнению. Сформулирован и доказан критерий геометрической эквивалентности нильпотентных групп без кручения и их минимальных пополнений и, как следствие, получена теорема о геометрической эквивалентности двуступенно нильпотентных групп и их минимальных пополнений

Обе темы исследований — геометрическое многообразие групп и вопрос о геометрическрй эквивалентности нильпотентных групп без кручения своим минимальным пополнениям — связаны единым объектом исследований понятием геометрической эквивалентности групп.

Цели работы:

• исследование свойств геометрического многообразия групп и нахождение его связей с другими классами групп,

• исследование вопроса о геометрической эквивалентности нильпотентных групп без кручения своим минимальным пополнениям,

Методика исследования. Использованы методы общей алгебры и комбинаторной теории групп

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и снабжены доказательствами

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер Пол\ченные результаты мог\т

быть использованы в дальнейших исследованиях по теории групп, при чтении специальных курсов лекций по алгебре и при написании монографий

Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены на на Международной конференции по теории групп (Екатеринбург, 2001), Международных конференциях "Алгебра и ее приложения" (Красноярск, 2002, 2007), Международной конференции "Алгебра, логика и кибернетика" (Иркутск, 2004), Международном российско-китайском семинаре "Алгебра и логика" (Иркутск, 2007) а также неоднократно докладывались на семинарах Иркутского государственного университета и Иркутского государственного педагогического университета

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [8] — [13].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на 9 параграфов, заключения и списка литературы (26 названий), занимает 62 страниц текста, набранного в программе ЖЩХ Нумерация теорем, лемм, следствий и примеров в диссертации двойная первое число — номер главы, второе — номер теоремы, леммы, следствия или примера

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

К основным результатам диссертации относятся теоремы 21 3 1,32 35 и 41 следствия 2 2, 2 3, 2 о и 2 6

Во введении дается обоснование актуальности темы исследований

Первая глава является вводной В первом параграфе

поясняется терминология и основные обозначения, принятые в работе Во втором параграфе дается определение геометрической эквивалентности групп Третий параграф посвящен изложению понятия геометрической эквивалентности групп с точки зрения решения систем уравнений в группе В четвертом параграфе даются определения основным классам групп (многообразия квазимногообразия и предмногообразия) и приводятся ряд результатов по ним, используемых во второй главе Пятый параграф посвящен изложению известных результатов по пополнению нильпотентных групп, которые используются в третьей главе

Во второй главе определяется новый класс групп — геометрическое многообразие, изучаются его свойства и указываются его связи с другими классами групп, в частности с пред-многообразием В первом параграфе с помощью отношения, которое естественным образом связано с геометрической эквивалентностью, вводится определение геометрического многообразия грз'пп Доказываются некоторые свойства этого класса групп, такие как, замкнутость относитетьно геометрической эквивалентности относительно подгрупп, декартовых степеней и локальная замкнутость Во втором параграфе исследуется то как соотносится геометрическое многообразие с другими из-весхными классами гр\пп Основным рсзутьтагом параграфа явтяется

Теорема 2.1 Если геометрическое многообразие, порожденное классом, групп Я замкнуто относительно декартовых произведений то gvar Я = 1_руаг Я

Из «ой теоремы и из ранее доказанных результатов вытекают следующие следствия

Следствие 2.2 Если класс групп X замкнут относительно декартовых произведений, то ¿маг Ж = 1_руаг X

Следствие 2.3 Геометрическое многообразие порожденное одной группой, совпадает с локальным замыканием пред-многообразия, порожденного этой группой

Следствие 2.5Многообразие (квазимногообразие) групп образует геометрическое многообразие Предмногообразие групп образует геометрическое многообразие тогда и только тогда, когда оно локально замкнуто

Следствие 2.6Класс нильпотентных групп и класс разрешимых групп образуют геометрические многообразия

В третьей главе рассматриваются условия, при которых нильпотентные группы без кручения геометрически эквивалентны своим минимальным пополнениям и приводятся примеры нильпотентных групп геометрически неэквивалентных своим минимальным пополнениям (примеры 3 1-33) В первом параграфе приводится критерий геометрической эквивалентности нилыютентной группы без кручения и ее минимального пополнения

Теорема 3.1 Пусть С - нильпотентная группа без кручения и С?" ее минимальное пополнение Для геометрической эквивалентности групп С и С" необходима и достаточна геометрическая эквивалентность группы С подгруппам Сп при каждом натуральном п

С помощью данной теоремы доказывается еще один важный резутьтат

Теорема 3.2 Двуступенно нильпотентные группы без кручения геометрически эквивалентны своим минимальным

пополнениям

Второй параграф посвящен разбору примера трехступен-но нильпотентной группы без кручения от четырех порождающих геометрически неэквивалентной своему минимальному пополнению В конце главы доказывается

Теорема 3.5 Нильпотентная группа без кручения с двумя порождающими ступени меньшей или равной четырем геометрически эквивалентна своему минимальному пополнению В четвертой главе рассматривается связь квазимногообразий с геометрическими многообразиями, в частности порожденными геометрически нетеровыми группами А также рассматривается связь между квазимногообразиями, порожденными нильпотентной группой без кручения и ее минимальным пополнением По теореме Г. Баумслага [1], многообразие, порожденное нильпотентной группой без кручения, совпадает с многообразием, порожденйым минимальным пополнением этой группы. Как показывает приведенная ниже теорема, этот результат не распространяется на квазимногообразия нильпотентных групп.

Теорема 4.1 Квазимногообразие, порожденное нильпотентной группой без кручения, не обязательно совпадает с квазимногообразием, порожденным минимальным пополнением этой группы

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1 Определяется новый класс групп — геометрическое многообразие, и доказываются его свойства замкнутость относительно геометрической эквивалентности, относительно подгрупп, декартовых степеней и локальная замкнутость

2 Указывается связь геометрических многообразий с пред-многообразиями и другими классами групп

3 Приводится критерий геометрической эквивалентности нильпотентных групп без кручения своим минимальным пополнениям и, как следствие, доказана геометрическая эквивалентность двуступенно нильпотентных групп без кручения и их минимальных пополнений

4 Приведен пример нильпотентной группы без кручения ступени три геометрически неэквивалентной своему минимальному пополнению и доказано, что квазимногообразие, порожденное нильпотентной группой без кручения, не обязательно совпадает с квазимногообразием, порожденным минимальным пополнением этой группы

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] G Baumslag On the itudual mlpoterue of ьоте varietal products Traill Amei Math Soc 109 (1963) 357-365

[2] G Batimslag A Miasmkov V Remeslennikov Algebiaic geometry over groups I Algebraic sets and ideal theory J Algebia 219 (1999) 16-79

[3] G Baumslag A Miasnikov and Y Roman kov Two theorems about equationally Noetherian groups J Algebra 194 (1997), 654-664

[4] A Miasnikov V Remeslennikov Algebraic geometry over groups II Logical Foundations J Algebra 234 (2000) 225-276

[5] В Plotkm Varieties of algebras and algebraic varieties Israel J of Math . 96 (1996), 511-522

[6] В Plotkm Seven Lectures on Universal Algebraic Geometry Institute of Mathematics, Hebrew University Jerusalem, Israel Preprint No 1 . 2000/2001

[7] В Plotkm Some problems m nonclassical algebraic geometry Ukrainian Mathematical Journal 54 6 (2002) 10191026

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[8] В В Б 1удов Б В Гусев Геометрическая эквивалентность нильпотентных групп Комбинаторные и вычиспетельные методы в математике Тез док межд конф Омск 1998 31-32

[9] В В Б плов Б В Г\сев О геометрической эквивалентности групп "Ачгебраи танейная оптимизация" Тр\-ды международного семинара посвященною 90-ieuno со дня рожд СН Черникова Екатеринб\р1 2002 с 59-65

[10] В В Б дав Б В Гиев О геометричесыи многообразия i групп Межл\н конф "А иебра а ее приложения" Те иксы локт Красноярск KFV 2002 с 18 19

|11] В.В. Блудов. Б.В. Гусев. Геометрическая эквивалентность групп. Труды Института Математики и Механики УрО РАН. 2007. Том 13. ДМ. с. 56 77.

¡12] Б.В. Гусев. О геометрической эквивалентности в 3-х и 2-х ступенио нилъпотентных группах без кручения. Математика в восточных регионах Сибири: Материалы международной конференции. Улан-Удэ. 2000. с. 140-141.

[13] Б.В. Гусев. О геометрической эквивалентности нилъпотентных групп без кручения ранга два. Математические системы. 6 (2007). Красноярск,

Формат бумаги 60 х 84 1/16. Объем 0.7 п.л.

Заказ 10. Тираж 100 экз. Отпечатано в ОКИС ЦНИТ ИГУ 664003, Иркутск, б. Гагарина, 20

Введение

Глава 1. Предварительные сведения.

1.1 Общие понятия.

1.2 Геометрическая эквивалентность.

1.3 Уравнения в группах.

1.4 Квазимногообразия.

1.5 Пополнения нильпотентных групп.

Глава 2. Геометрические многообразия групп.

2.1 Определения и вспомогательные результаты.

2.2 Геометрические многообразия групп и предмногообра-зия.

Глава 3. Пополнения нильпотентных групп.

3.1 Геометрическая эквивалентность нильпотентных групп и их пополнений.

3.2 Примеры.

Глава 4. Геометрическая эквивалентность и квазимногообразия.

Диссертация посвящена исследованию свойств геометрической эквивалентности групп. С этой целью был определен новый класс групп — геометрическое многообразие, и изучены его свойства. При этом был рассмотрен вопрос Б.И. Плоткина о геометрической эквивалентности конечнопорожденных нильпо-тентньтх групп без кручения и их минимальных пополнений.

В серии работ Б.И. Плоткина [23] - [26] и Г. Баумслага, А. Мясникова, В. Ремесленникова, В. Романькова [2], [3]. [21] были заложены основы алгебраической геометрии над группами. В этих работах, наряду с общими вопросами, было введено понятие геометрической эквивалентности, рассмотрены основные свойства этого понятия и поставлены открытые вопросы.

В настоящей диссертации изучаются свойства геометрической эквивалентности и вводится новый класс — геометрическое многообразие групп. Этот класс групп замкнут относительно подгрупп и относительтго геометрической эквивалентности, и обладает другими интересными свойствами. В частности, классы нильпотентньтх и разрешимых групп являются геометрическими многообразиями.

Другой аспект рассматриваемых вопросов — это вопрос, поставленный Б.И. Плоткиным на Международной алгебраической конференции памяти Д.К. Фаддеева в С-Петербурге в 1997 году: будет ли геометрически эквивалентна конечнопорожден-ная нильпотентная группа без кручения своему минимальному пополнению. В диссертации приводится пример конечно порожденной нильпотентной группы без кручения ступени три, минимальное пополнение которой геометрически не эквивалентно исходной группе, а также рассматривается вопрос о геометрической эквивалентности нильпотентных групп без кручения ранга 2 и их минимальных пополнений. Там же сформулирован и доказан критерий геометрической эквивалентности нильпотентных групп без кручения и их минимальных пополнений и, как следствие, получена теорема о геометрической эквивалентности двуступенно нильпотентных групп и их минимальных пополнений.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на 9 параграфов, заключения и списка литературы.

Заключение

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Определяется новый класс групп — геометрическое многообразие, и доказываются его свойства: замкнутость относительно геометрической эквивалентности, относительно подгрупп, декартовых степеней и локальная замкнутость.

2. Указывается связь геометрических многообразий с пред-многообразиями и другими классами групп.

3. Приводится критерий геометрической эквивалентности нильпотентных группы без кручения своим минимальным пополнениям и как следствие доказана геометрическая эквивалентность двухступенно нильпотентных групп без кручения и их минимальных пополнений.

4. Приведен пример нильпотентныой группы без кручения ступени три геометрически не эквивалентной своему минимальному пополнению и доказано, что квазимногообразие, порожденное нильпотентной группой без кручения, не обязательно совпадает с квазимногообразием, порожденным минимальным пополнением этой группы.

1. G. Baumslag. On the residual nilpotence of some varietal products. Trans. Airier. Math. Soc., 109 (1963), p. 357-365.

2. G. Baumslag, A. Miasnikov, V. Remeslennikov. Algebraic geometry over groups I: Algebraic sets and ideal theory. J. Algebra, 219 (1999), p. 16-79.

3. G. Baumslag, A. Miasnikov and V. Roinan'kov. Two theorems about equationally Noetherian groups. J. Algebra, 194 (1997), p. 654-664.

4. V. Bludov. Ordered groups in which every automorphism preserves the order. Ordered Algebraic Structures, W.C. Holland, ed:, Nanjing, 1998, Gordon and Breach, 2000, p. 2328.

5. V. Bludov. Геометрическая эквивалентность групп и квазимногообразия. Логика и приложения. Тезисы межд. конф. Новосибирск, 2000, с. 18.

6. В.В. Блудов, Б.В. Гусев. Геометрическая эквивалентность нильпотентных групп. Комбинаторные и вычислительные методы в математике. Тез. док. межд. конф., Омск, 1998, с. 31-32.

7. В.В. Блудов, Б.В. Гусев. О геометрической эквивалентности групп. "Алгебра и линейная оптимизация". Труды международного семинара, посвященного 90-летию со дня рожд. С.Н. Черникова, Екатеринбург. 2002, с. 59-65.

8. В.В. Блудом, Б.В. Гусев. О геометрических многообразиях групп. Междун. конф. "Алгебра и ее приложения". Тезисы докл. Красноярск, КГУ, 2002, с. 18-19.

9. В.В. Блудов, Б.В. Гусев. Геометрическая эквивалентность групп. Труды Института Математики и Механики УрО РАН, 2007, Том 13, № 1, с. 56-77. (Английский перевод: Ргос. Steklov Institute of Math., 2007, Suppl. 1, p. S61-S62.)

10. Б.В. Гусев. О геометрической эквивалентности в 3-х и %-х ступенно нильпотентных группах без кручения. Математика в восточных регионах Сибири: Материалы международной конференции. Улан-Удэ, 2000, с. 140-141.

11. Б.В. Гусев. О геометрической эквивалентности нильпотентных групп без кручения ранга два. Математические системы, 6 (2007), Красноярск,

12. R. Gobel and S. Shelah. Radicals and Plotkin's prvblem concerning geometrically equivalent groups. Proc. Amer. Math. Soc., 130, 3 (2002), p. 673-674.

13. А.И. Каргаполов, Ю.И. Мерзляков. Основы теории групп. М., Наука 1996.

14. П. Кон. Универсальная алгебра. Пер. с англ., М., 1968.

15. Кокорин А.И., Копытов В.М. Линейно упорядоченные группы. — М.: Наука, 1972.

16. А.Г. Куротп. Теория групп. М., Наука, 1967.

17. А.И. Мальцев. Об одном классе однородных пространств. Изв. АН СССР, сер. мат., 13 (1949), 1, с. 9-32 (см. также Избранные труды, Т. 1, М., Наука, 1976, с. 220-240).

18. А.И. Мальцев. Нилъпотентные группы без кручения. Изв. АН СССР, сер. мат., 13 (1949), 3, с. 201-212 (см. также Избранные труды, Т. 1, М., Наука, 1976, с. 241-251).

19. А.И. Мальцев. Алгебраические системы. М., 1970.

20. О.В. Мельников, В.Н. Ремесленников, В.А. Романьков и др. Общая алгебра Т. 1, М., Наука, 1990.

21. A. Miasnikov, V. Remeslemiikov. Algebraic geometry over groups II: Logical Foundations. J. Algebra, 234 (2000), p. 225276.

22. Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь. Новосибирск, 2002.

23. В. Plotkin. Varieties of algebras and algebraic varieties. Israel J. of Math. 96 (1996), p. 511-522.

24. B. Plotkin. Algebraic geometry in universal algebra. Межд. алг. конф. памяти Д.К. Фаддеева, С-Петербург, 1997, с. 99100.

25. В. Plotkin. Seven Lectures on JJn iversal Algebraic Geometry. Institute of Mathematics, Hebrew University Jerusalem, Israel., Preprint No. 1., 2000/2001.

26. B. Plotkin. Some problems in nonclassical algebmic geometry. Ukrainian Mathematical Journal, 54, 6 (2002), p. 1019-1026.