Точечно-инвариантные классы дифференциальных уравнений, исследование проблемы эквивалентности для уравнений Пенлеве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Картак Вера Валерьевна

ТОЧЕЧНО-ИНВАРИАНТНЫЕ КЛАССЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОБЛЕМЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ

01.01.02. - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа-2003

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и геометрии Башкирского государственного университета.

Научный руководитель

кандидат физико-математических наук, доцент Шарипов Р. А.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Султанаев Я. Т.,

доктор физико-математических наук, Верещагин В.Л.

Ведущая организация

Институт математики СО РАН

Защита состоится 2003 года в У5 часов на

заседании Диссертационного Совета Д 003.59.01 при Государственном Научном Учреждении Институт Математики с ВЦ Уфимского Научного Центра РАН по адресу: 450000, г. Уфа, ул. Чернышевского, д. 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Гос. Науч. Учреждения Институт Математики с ВЦ УНЦ РАН.

Автореферат разослан 3 2003 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, к. ф.-м. н.

Попенов С.В.

¡¿oo?- ft

w

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ.

Актуальность темы исследования.

Проблема эквивалентности представляет собой одну из важнейших задач аналитической теории дифференциальных уравнений. Вот почему она привлекала к себе внимание многих ученых. Классические работы, посвященные исследованию проблемы эквивалентности, принадлежат Р.Лиувиллю, С.Ли, А.Трессе и относятся к концу XIX века.

Суть проблемы эквивалентности заключается в нахождении (или доказательстве существования) точечной замены переменных, переводящей одно дифференциальное уравнение в другое. Иногда ее понимают как описание класса эквивалентности некоторого заданного дифференциального уравнения относительно точечных преобразований

(0.1) х-х(х, у), у = у{х,у).

Основой решения этой проблемы часто является построение инвариантов преобразований, а для этого необходимо, чтобы вид уравнения не менялся при действии на него точечных преобразований (0.1). Такие уравнения назовем принадлежащим точечно-инвариантному (замкнутому) классу дифференциальных уравнений.

Наиболее простым замкнутым классом уравнений является следующий класс обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка:

(0.2) у" = Р{х, у) + 3 Q(x, у)у' + 3 R{x, у)у'2 + S(x, у)г/г.

Рассмотрим классификационную задачу: нужно определить, существуют ли уравнения вида

у" = F(x,y,y%

где функция F - рациональная относительно у', алгебраическая относительно у и аналитическая относительно ж, у которых все критические

' рос. НАЦИОНАЛЬНА*

библиотека

IУ'ЯСЙУ ;

точки (и точки разветвления и существенные особенности) фиксированы, т.е. не являются перемещающимися особенностями.

Эта задача была решена П.Пенлеве и его учеником Б.Гамбье в начале XX века. Решение этой классификационной задачи приводит к 50 видам уравнений. Все эти 50 видов, за исключением 6, интегрируются в известных функциях. Наиболее важными являются 6 неприводимых уравнений, которые являются источником новых трансцендентных функций. Новые трансцендентные функции, определяемые этими уравнениями, называются трансцендентными функциями Пенлеве, а сами уравнения носят названия уравнения Пенлеве. Причем последнее уравнение содержит первые пять уравнений, которые могут быть из него получены постепенным вырождением.

Уравнение Пенлеве I:

у" = 6у2 + х. '

Уравнение Пенлеве II:

у" = 2 у3 + ху + и.

Уравнение ПенЯевё III:

у" = -Ы)2 - -у' + -и2 + Ь) + су3 + -.

И Т. 1* и

У

1

X

с1

У

Уравнение Пенлеве IV:

у" = Г (у')2 + У + 4 Щ)2 + 2 (а;2 - а)у + ¿У 2 у

I/

У

Уравнение Пенлеве V:

Уравнение Пенлеве VI:

В настоящее время уравнения Пенлеве играют важную роль при решении ряда задач математической физики. Решение проблемы эквивалентности для уравнений Пенлеве является актуальным.

Эта задача привлекала к себе многих ученых. Н.Камран и др. в 1985 г. привели необходимые и достаточные условия эквивалентности уравнения

первым двум уравнениям Пенлеве PI и PII относительно точечных преобразований специального euàa

Л.А.Бордаг и М.В.Бабич в 1998 г. нашли необходимые и достаточные условия, при которых уравнения вида

сводятся точечными преобразованиями к уравнениям Пенлеве. Ими доказано, что уравнения Пенлеве можно записать в форме (0.3):

где к = 1, б - номер уравнения Пенлеве. Вид уравнений (0.3) сохраняют преобразования специального вида

у" = F{x,у,у')

х = ф(х),

у = ф(х,у).

(0.3)

У" = /{*, У)

(0.4)

у" = Рк(х, у),

(0.5)

где с, со-const,, с ф О, т(х), п(х) - некоторые функции от переменной ж, т{х) ф 0.

Согласно их работе, для того, чтобы проверить, эквивалентно ли некоторое уравнение (0.2) одному из уравнений Пенлеве, нужно: 1) привести исходное уравнение (0.2) к виду (0.3); 2) выполнить замену переменных (0.5) и приравнять функцию f(x,y) из правой части преобразованного уравнения (0.3) соответствующей функции из правой части уравнения Пенлеве (0.4); 3) определить неизвестные функции m(i'), п(х) и константы с, с0. Если такие функции существуют, то уравнения эквивалентны.

Однако непосредственно использовать предложенный способ проверки эквивалентности уравнений не всегда удобно. Во-первых, уже на первом этапе, когда исходное уравнение нужно привести к виду (0.3), возникают трудности. Например, для уравнения Пенлеве VI такая задача не тривиальна. Во-вторых, для каждого конкретного уравнения нужно решать дифференциальные уравнения на неизвестные функции т(ж), п(х) и константы с, со-

Способ проверки эквивалентности уравнений, предложенный нами в данной работе, универсален, и не требует дополнительного преобразования исходного уравнения (0.2). Он сводится к подстановке известных функций Г, Q, R, S из правой части уравнения (0.2) и их производных в ряд алгебраических равенств.

Цель работы.

Цель работы заключается в изучении точечно-инвариантных классов обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка: нахождение данных классов уравнений, построение классифицирующих параметров, выделение уравнений, обладающих максимальными алгебрами точечных симметрии; а также в исследовании проблемы эквивалентности для уравнений Пенлеве.

Используемый метод.

В 1997-98 гг. Р.А.Шарипов соединил методы дифференциальной геометрии и группового анализа для построения точечной классификации обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (0.2) относительно невырожденных точечных преобразований общего вида (0.1). В работе используется этат методология для исследования точечно-инвариантного класса обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка. Также используется сама точечная классификация при исследовании проблемы эквивалентности для уравнений Пенлеве.

Содержание основных результатов и их новизна.

В ходе работы получены следующие результаты.

Построен точечно-инвариантный класс обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка. В этом классе найдены 5 классифицирующих объектов, ведущих себя как псевдовекторные поля относительно точечных преобразований специального вида. Доказано, что в случае, когда все пять псевдовекторных полей тривиальны, уравнения обладают 7-мерной алгеброй точечных симметрий и точечной заменой переменных могут быть приведены к виду у'" — 0.

Классифицированы уравнения Пенлеве относительно классификационной схемы Шарипова P.A. Для уравнений Пенлеве I и II проблема эквивалентности решена. Найдены необходимые и достаточные условия, при котором произвольное уравнение (0.2) будет эквивалентно уравнениям Пенлеве I или II. Для остальных уравнений Пенлеве найдены необходимые условия эквивалентности. Проверить выполнение полученных условий для произвольного уравнения (0.2) достаточно просто: нужно подставить известные функции Р, Q, R, S и их производные в несколько алгебраических равенств.

Уравнение Пенлеве II зависит от параметра а, т.е. представляет собой однопараметрическое семейство уравнений. Доказано, что два уравнения Пенлеве II с параметрами и а2 эквивалентны между собой

тогда и только тогда, когда ai = ±«2-

Уравнение Пенлеве IV зависит от двух параметров а и Ь. Доказано, что два уравнения Пенлеве IV с несовпадающими параметрами fei и Ь2 не эквивалентны между собой.

Для уравнений Пенлеве IV и III (а=0) выписан ряд необходимых условий эквивалентности.

Теоретическая и практическая значимость.

Полученные в диссертации результаты носят теоретический харак- <

тер и дополняют исследования, проводимые ранее. Они могут быть использованы в вопросах аналитической теории дифференциальных урав- < нений и других разделах математики.

Апробация работы.

Основные результаты докладывались на Уфимском городском семинаре по дифференциальным уравнениям. '

Отдельные результаты докладывались на 2 зимней школе по диф-феотопии (Переславль-Залесский) и на семинаре "Geoinetry & Differential Equatious" (БашГУ, Уфа), а также на следующих конференциях:

Республиканская научная конференция студентов и аспирантов по физике и математике (Уфа, 1997);

XX конференция молодых ученых мехмата МГУ (Москва, 1998); '

Международная конференция "Дифференциальные и интегральные уравнения" (Челябинск, 1999); ^

Международная конференция "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Уфа, 2000);

Международный симпозиум по теории уравнений с частными производными и специальным вопросам теории дифференциальных уравнений, посвященный 150-летию со дня рождения С.В.Ковалевской (Санкт-Петербург, 2000);

Международная научная конференция "Актуальные проблемы математики и механики" (Казань, 2000);

Международный научный семинара-совещание "Методы функционального анализа и теории функций в различных задачах математической физики'' (Уфа, 2000);

International Conference "MOGRAN 2000: Modem Group Analysis for the New Millenium" (Ufa 2000);

Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике (Уфа 2001);

V Казанская международная летняя школа-конференция "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань 2001);

3rd International ISAAC Congress (Berlin 2001);

X Международная конференция "Математика. Экономика. Образование. II Международный симпозиум Ряды Фурье и их приложения" (Ростов-на-Дону 2002);

Международная конференция-школа по геометрии и анализу, посвященная памяти А.Д.Александрова, (Новосибирск 2002).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [4], [5], [7], примыкающие к теме диссертации результаты — в [1-3], [6]. [8].

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы и двух приложений. Общий объем диссертации ■— 114 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Содержание главы 1

Глава 1 настоящей диссертации посвящена исследованию точечно-инвариантных классов обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка, разрешенных относительно старшей производной. Мы ищем инвариантный класс уравнений с рациональной по //' и у" правой частью

Для этого первоначально преобразуем простейшее уравнение у'" = U. Вид преобразованного уравнения позволяет искать замкнутый класс таких уравнений в виде

В(х, у)у"2 + Р(х, y)i/V2 + Q(x, у)у" j/+

Г

(1.1)

Y(x,y)-X(x,y)y>

+R(x, у)у" + S(x, у)у'5 + +L(x, у)у'Ч Y(x}y)-X(x,y)y>

+К(х,у)у'3 + М(х, у)у'2 + N{x, + Т(х, у)

¥(х,у)~Х(х,у)у' Преобразуем произвольное уравнение (1.1). Модифицированное уравнение. вообще говоря не принадлежит классу уравнений (1.1). Для замкнутости этого класса уравнений необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты В и X уравнения были связаны следующим соотношением: В = ~ЪХ.

Теорема 1.1. Класс, уравнений вида

,„ = -ЗХ(х, у)у"2 + Р(х, + '<?(», у)у" у'+

У ¥(х,у)-Х(х,у)у>

2ч +Д(а», у)у" + у)у'5 + Цх, у)у'Ч

' ¥(х,у)-Х(х,у)у>

+К(х, у)т/3 4- М(х, у)у'2 + Щх, у)г? + Т(х, у) ¥{х,у)-Х(х,у)у'

являемся замкнутым классом относительно преобразований (0.1).

Будем считать, что функции Х(х,у) и У (ж, у), стоящие в знаменателе формулы (1.2), при замене переменных (0.1) изменяются по правилу преобразования векторного поля. Выберем систему координат таким образом, чтобы векторное поле (Х,У) стало единичным: X = 0, У = 1.

Уравнение (1.2) в новых координатах упростится. При специальном преобразовании координат

(1.3) х = Н(х), У = У + 9(х)

новый класс уравнений будет замкнутым классом. Тогда

есть псевдовекторные поля весов 0 и -1 соответственно.

В случае « = 0 и ¡3 — 0 мы построим другое псевдовекторное поле

В случае 7 = 0 сконструируем еще псевдовекторное поле £ веса 2:

Теорема 1.2.Уравнение (1.2) с X = 0, У = 1 обладает 7-мерной алгеброй точечных симметрий то.'да и только тогда, когда все псевдовекторные поля а, р, 7, £ и г/ равны нулю. Все. такие уравнения эквивалентны уравнению у'" ~ 0 при преобразованиях (1.3).

Содержание главы 2.

В главе 2 настоящей диссертации кратко изложена классификация обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (0.2), построенная в 1997-98 гг. Р.А.Шариповым.

Из коэффициентов Р, С,}, Д, 5 уравнения (0.2) и их производных по х. у до второго порядка образуем компоненты псевдовекторного поля а1 = В и «2 = —А

веса 1:

Здесь До.х = дН(х,у)/ду, Д1.0 = дН(х,у)/дх.

В случае £ = 0 построим псевдовекторное поле г/ веса 3:

Здесь Ми.1 = дЩх,у)/ду, Тол = дТ{х,у)/ду.

(2.1)

А =Р0.2 - 2^1.1 + Д2.о + 2РЯ1.о + 5Л.0-

- зрдол - здрол - здлх.0 + бд<у0.1,

В - 2Д1Л + д0.2 - 25Р0.1 - Р50.1 + + 35(21.0 + Зф^.о + ЗД<2о.1 - 6ДД!.0.

Используя найденные величины А я В построим компоненты второго псевдовекторного поля ¡З1 — С и ¡Зг — Н

в-- ВВ1 о - ЗАВ0 х + 4ВА0 1 + 35Л2 - б ЯВА + 3 <?Я3,

(2 2)

Я = - ААол - ЪВАХЛ + 4ЛВ1.о - 3РВ2 + 6ЦАВ - ЗЛА2. Скалярное произведение двух псевдовекторных полей а и /3 есть псевдоинвариант веса 5: З-Р5 = АС + ВН.

Возможны три основных случая: Случай максимального вырождения: А = 0 и В — 0, тогда Р = 0. Алгебра точечных симметрии уравнений 8-мерна и изоморфна 5£(3, В). Все уравнения этого случая эквивалентны уравнению у" — 0. Случай общего положения: ¥ ф 0. Уравнения могут иметь 2, 1 и 0-мерные алгебры точечных симметрии.

Случай промежуточного вырождения: ¥ — 0, но при этом А ф 0 или В ф 0. Возможные размерности алгебры симметрий - 3, 2, 1, 0.

Случай промежуточного вырождения расщепляется на 7 подслуча-ев. Далее вводится ряд классификационных параметров М, И, А, К, которые являются псевдоскалярами разных весов. Они получены в результате свертки различных псевдотензорных полей. Первый случай промежуточного вырождения: М ф 0. Размерности алгебры точечных симметрий 2, 1 или 0.

Второй случай промежуточного вырождения: М — 0, N ф 0, 12 ф 0. Размерности алгебры точечных симметрий 1 или 0. Третий случай промежуточного вырождения: М = 0, N ф 0, И = 0, Л ф 0. Размерности алгебры точечных симметрий 1 или 0. Четвертый случай промежуточного вырождения: М — 0, N ф 0, П = 0, Л = О, К ф — |. Размерности алгебры точечных симметрий 1 или 0.

Пятый случай промежуточного вырождения: М = 0, N ф 0,

$2 = 0, А = 0,-К" = —|. Все уравнения этого случая точечной заменой сводятся к уравнению у" = — ^у' + |ж2у'3. Алгебра точечных симметрий 3-мерна и изоморфна я1(2, Я), см. [19].

Шестой случай промежуточного вырождения: М — О, N = и,

ф 0. Размерности алгебры точечных симметрий 1 или 0. Седьмой случай промежуточного вырождения: М — 0, N — 0,

И = 0. Размерности алгебры точечных симметрий 2, 1 или 0.

Явные формулы для классификационных параметров содержатся в Главе 2 диссертации. Приведем здесь лишь те формулы, что понадобятся в Главе 3.

Формула для в случае А ф I) выглядит следующим образом: _2ВА1,0(ВР + А1,0) (2В1М +ЗВд)А1.0 ,

(2 4) {Аол - 2В1Л)ВР ВА2.о + Д'Л.р В2,0

+ А2 А2 А

. зв1ш0д + звд!.о - волр - врол

Н----1- Уол -

а в случае В ф 0 следующим образом:

„ _2АВолХА5-Вол) (2Лол - ЪАЩВ0Л

» - £3 д2 +

(2 5) + (Вх.о - 2Ло.х)А? _ ЛВ0.2 - А2£0л Л0.2

+ В2 В2 в +

ЗА0ЛД + ЗА Дол - - А^.р

Н--^--1- Л1.о — ¿подформула для М при А ф 0: м = _12

6 б 12 + ^№.0 + -ЛГАол - АЛГол - уАЛГД,

при В ф 0:

м =---_ АЛг0Л + АЫК-

(2.7) 5

; 6 6 12

- ?ЛГАол - т №.о + ВЫ 1.о - —ВЛГ<Э.

О О О

Формула для Л в случае А ф 0:

ю s^ л аЩВР + Аг.р) Nt.о 6NQ

(2.8) Л- — - ^--2«.

В случае В ф

(2 9) А _ _Вал) _ j^i + 6ЦД _ 2!1

Содержание главы 3.

Мы разделили первый случай промежуточного вырождения из классификации Главы 2: если О ф 0 этот случай назовем случаем 1а промежуточного вырождения, если 0 = 0 — случаем 1Ь промежуточного вырождения.

Утверждение 3.1. Первое уравнение Пенлеве относится к 7 случаю промежуточного вырождения. Остальные пять уравнений Пенлеве относятся к случаю 1Ь промежуточного вырождения. Все они имеют тривиальные алгебры точечных симметрий.

Утверждение 3.2. Уравнение (0.2), относящееся к случаю промежуточного вырождения, можно привести к виду г/' = Р(х,у) тогда и только тогда, когда 0 = 0.

Для уравнений Пенлеве выполнены условия Утверждения 3.2. Поэтому справедливо следующее утверждение.

Утверждение 3.3. Все уравнения Пенлеве точечной заменой переменных можно привести к виду у" = Р(х,у).

Последнее утверждение является известным, в 1997 г. оно было опубликовано в работе М.В.Бабича, Л.А.Бордаг.

Уравнение Пенлеве I.

"Утверждение 3.4 Любое уравнение (0.2), относящееся к седьмому случаю промежуточного вырождения, заменой переменных (0.1) может быть приведено к виду

(3.1) = +

Уравнение PI после приведения выглядит следующим образом: (3.2) у" = (±х2+12у)у>3.

Теорема 3.1. Пусть уравнение (0.2) записано в виде (3.1). Тогда оно эквивалентно уравнению Пенлеве I (S.2) тогда и только тогда, когда я (у) ф const есть линейная функция.

Воспользуемся теорией, изложенной в Главе 2 настоящей диссертации для построения инвариантов уравнения Пенлеве I.

Введем псевдоковекторное поле и веса -1. Явные формулы для компонент этого поля в случае А ф 0 имеют вид: 12PR 54 g2 Рол GQi.o

ш 1 _

ЪА 2Ъ А А 5А PAo.i + -BPi.o + А2. о 2В1ЛР

5 А2 5 А2 3QAi,o - 12PBQ 6В2Р2 + ПВРАг.о + 6Aj0 25 Á2, 25 А3 ' 6A + 3Í2 —ЬВРо i + GBQo.i + Í2RBP ш2 =—п— +-m--

5 А ЬА2

_ 54 В^2 _ 2ВВ1МР + ВА0ЛР + B2Pi,0 + ВЛ2,0

25 А2 5А3

_ 12 B2PQ 3BQAJ..Q 6ВА20 + 6 В3Р2 + 12В2А1.0Р

25 А3 + 25А3 + 25 А4

В случае В ф 0 имеют вид:

6Л + 30 5ASt о - 6ARo i + 12QAS

w i =----1--—--

5 В ЬВ2

_ 54 AR?_ 2АА0ЛБ + AB1MS + A2S0.i - АВ0.2

25 В2 + ЬВ3

_ 12A2SR ZARBq,i 6АВ2Л + 6Л352 - 12A2BoaS

25 В3 + 25В3 + 25 В*

_ 12 SQ 54 R2 Si.o 6Д0.1

Ш2 ЬВ 25 В + В ЬВ +

SBi.о + ASo.í - Во.2 2AoaS _ ЗД-Bp.i + 12SAR

ЬВ2 + ЬВ2 25В2 +

6A2S2 - 12Bq.IAS + 6Bgtl

25 В3

Потом вводим коэффициент 0: в = ш\) А или В = ш2/В. И образуем псевдоковекторное поле в = У0 с компонентами

Ог = «1.о - 2^10, 9г = вол ~

Здесь в случае А ф 0:

ВР + Аг.0 3

V1 = -3-5а- 5

0 ВР+Аг.0 оВ1.0 + Л0л + ЗВд , 6„ =35 5А* ~ 3-5Л-+ 5й-

В случае В ф О,

„.АБ-Вм Аол + Вгд-ЪАН б

= ~ 5Д2 -^--

^АЯ-Вол 3 =3 55 ~ 5 й-

Обозначим 01 = /92 = С, 02 = —01 = I), тогда соответствующая компонента связности, соотнесенной к реперу из векторных полей 9 на (2.1), равна

=С2)(С1.о - Дол) + 02Сол - С2£>1.о-- РС3 - 3 ЦС^-О - ЗДС£>2 - в Б3.

Псевдоскалярное поле Ь веса -4 и искомый инвариант равны:

В специальной системе координат, в которой выполнены условия А — О, В = 1 псевдоскаляр £ — я(у). Построим инвариант 1\ — .ч'4(у)/.ч°(у), а также новый псевдоинвариант /2 = »"(у), который не был построен в Главе 2, потом пересчитаем их в произвольной системе координат. Формула для инварианта /2:

_ (V ввЬУ ^ = —ьз—•

Теорема 3.2. Уравнение вида (0.2) эквивалентно уравнению Пен-леве I тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия 1) F = 0, но АфО или ВфО; 2) М = 0; 3) N = 0; 4) il = 0; 5) L ф const; б) h ф const; 7) /2 = 0.

Уравнение Пенлеве II.

Запишем уравнение Пенлеве II в специальной системе координат, в которой А = 0, В = 1:

(3.3) у" = -i-if + (|х2 - 2ху ~ 2iV6ia)&3

Сосчитаем инварианты /з, 16, 1$:

Г1

г 1 22

Г1 _СР{С1Л - Рол) , Р2С0Л - C2Di.o , Гз2 - м + м +

явная формула для Г22: Р

РС3 + ЩС2Р + ЪВ,СР2 + 5Д3

+ м

В последнем равенстве величины С и Р определяются согласно формулам при А ф 0:

! „ бВЫ{ВР + Ах.о) , 18ЫВЯ , 7 =С =---+ 5А +

7 = D =--v ' + JVx.0 + ^Q + 2iM,

при В ф 0:

5Д 5

2_ _ 6АЛГ(Л5-Дол) 18АГЛД 7 5Д2 + 5Д

оВ 5

Другие два инварианта поручены из инварианта /з дифференцированием вдоль векторных полей а (2.1) и 7:

/б - "лГ' 19 ~

Пистроим новый инвариант <7:

(3.4) 7 = ±¿^(4+10/6-60/3),

50

а также дополнительный инвариант V:

V =Г;2 = —4:(55Х>2 + ЪССг „ + 12С2С) 4- 5£>С0 1 + 24СЯД)-5Л7

1 {-ЧСИВх.о - 7СБА0Л - 24СОВд + 9В02Я+

2ЪМ

+ bBCDi.o + bBDDo.i - 7С2Аио - 12С2ВР) 1

ЪМА

(-7ВО*В1Л - IBD'Aoa - 2ЮгВ1С})-

1 ;{7D2B3P + 7D2B2A1.q).

MA2

Утверждение 3.4. Инвариант J из (3.4) с точностью до знака представляет собой константу, совпадающую с параметром а уравнения PII J = ±ы.

Следствие 3.1. Два уравнения PII однопараметрического семейства с параметрами а и ä эквивалентны тогда и только тогда когда а = ±«.

Теорема 3.3. Уравнение (0.2) эквивалентно уравнению PII одно-параматрического семейства с параметром а тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия: 1) F — U, по А ф 0 или В ф 0; 2) M ф 0: 3) П = 0; 4) h = 18/5; 5) J = const - ±а; 6) V = 0.

Уравнения Пенлеве III-VI.

Для уравнений Пенлеве III-VI считаем инварианты Д, /4, /10. т - М т - г V«J-t

^ - tfä' ^ - -jv". J10 = -Trie

Все ини есть рациональные функции от переменных (ж, у) высоких порядков.

Обозначим инварианты Д, Д, До как новые параметры и введем полиномы: ^(ж, (/, Д) = 0, ^(ж, У, Д) = 0 из Д и Т>з{х,у,1ю) - О, полученные из формул для инвариантов Д, Д, /ю умножением на их знаменатель.

Редуцируем полученные полиномы сначала по переменной х, используя алгоритм Бухбергера. Получим полином 61(2/, Д,Д) — 0 из полиномов Т>1(х,!/, Д) и Т2{х, у, /4) и полином 2з(?Л /4, Да) = 0 из полиномов ?А Д) и ^(ж, У, До).

Теперь применим алгоритм Бухбергера к полиномам 61(2,Д, До) и Й2(я ,Д> До)- Получился полином нулевой степени по а- и у и с коэффициентами, зависящими от Д, Д, До. Обозначим его

(3.5) . П = Щ11,14,1ю) = 0.

Теорема 3.4. Полином (3.5) представляет собой инвариант преобразований (0.1).

Обозначим этот инвариант для уравнения Пенлеве III как 72,3, для Пенлеве IV как Т?4, для Пенлеве V — '72.5, для Пенлеве VI — '/2е.

Теорема 3.в.Если уравнение (0.2) эквивалентно уравнению Пенлеве III-VI относительно точечных преобразований (0.1), тогда для него верны следующие условия: 1) Г — 0, но А ф 0 или В ф 0; 2) М ф I); 3) = 0; 4) инварианты Д, Д, До зависят от дну г, переменных (х, у) и функционально не зависимы; 5) 7г* = 0 из (3.5), где к = 3, 4, 5, 6 соответствует номеру уравнения Пенлеве.

Уравнение Пенлеве IV с параметром Ъ = 0.

Предположим, что параметр Ъ уравнения Пенлеве IV равен нулю. Из известных инвариантов Д и Д построим инвариант ./:

.1 = 2500/* - 25375/? + 2500Д2Д + 90900Д2

(3.6) — 12375ДД - 134460Д + 69984 + 12150Д + 625/| = 0.

Теорема 3.7. Если уравнение (0.2) эквивалентно уравнению Р1У с параметром Ь — 0, тогда тривиален дополнительный инвариант ил (3.6) .7 = 0.

Уравнение Пенлеве IV с параметром Ь ф 0.

Считаем известные инварианты 1\ и 14 новыми параметрами. Тогда их формулы можно переписать, умножая на знаменатель, в виде полиномов 'Р\ и Т}2- Будем редуцировать степени полиномов по х, применяя алгоритм Бухбергера. Сконструируем полином степени 3 по х V3, потом полином 'Р4 - квадратичный по х.

Введем новую переменную г = у4 и разрешим последнее выражение для относительно ху3:

з 5 Аг4 + ЬВг3 + Ь2Сг2 + Ь3Ог + Ь*Е

(3.7) хуЛ = -

4 Ег3 + ЪСг2 + Ъ2Кг + РЬ

В формуле (3.7) коэффициенты А,...,Ь зависят только от /| и 74 и не зависят от х, у и Ь. Поэтому они являются инвариантами преобразований (0.1).

Подставим выражение ху3 (3.7) в полином Тх, он примет вид (3.8) Мг3 + ЬЫг2 + Ь2Рг + Ь3С2 = 0.

В формуле (3.8) величины М, ТУ, Р, С} есть инварианты. Решим кубическое уравнение (3.8) относительно г. Запишем решение в виде г = ,//), где ./ - инвариант, найдем инвариантную запись для (3.7) и подставим в выражение для известного инварианта Перепишем последнее выражение, вводя новый инвариант IV:

Па) ' 331776 Р + + +

1 ' ' 3125 /7

Утверждение 3.5. Инвариант Ш из (3.9) представляет собой константу, равную параметру Ь уравнения Пенлеве IV IV = Ь.

Утверждение 3.6. Любые два уравнения Пенлеве IV двупара-метрического семейства с различными параметрами Ь и Ь (Ь ф Ь) не эквивалентны.

Теорема 3.8. Если уравнение (0.2) эквивалентно уравнению Р1У г параметром Ь ф 0 относительно преобразований (0.1), то верно равенство IV = Ь.

Уравнение Пенлеве III с параметром а = 0.

Разберем два случая а = 0 и одновременно и =: 0, с = 0.

Аналогично рассмотренному выше случаю полином Т>\ степени 2 по переменной х и степени 8 по переменной у образован из инварианта Д, полином ~Р2 степени 4 по ж и степени 16 по у - из инварианта Д.

Редуцируем полиномы Т\ и Т2 по х, пока не получим линейное выражение. Введем новую переменную г — у1 и подставим в полученное выражение. После-редукции х выразится через у и г следующим образом:

2» — —ц!) ., _________________ ... . .,

4 Кц^г7 + К2с6гЬ6 + • • • + К7а1сг + К&<Г'

В чтой формуле ,Д, Д, ■ • ■, Д и К\, К2, .... К& - новые инварианты преобразований (0.1), которые выражаются только через инварианты /1 и /4 и не зависят от параметров а, Ь, с, сI.

Подставим вместо х найденную формулу в полиномы Ту и "Рз- Получим новые полиномы И^ и И^, которые имеют следующую структуру:

= ¿к:14*;14 + £2с13^13 + • • • + £ыс(113г + 115(114, И>2 = Мхс2*г2& + М2с27(1г27 + ■ ■ ■ + М2&сд27г + М29с12а.

Полиномы и УУо зависят только от переменной г и имеют порядки 14 и 28 соответственно. Коэффициенты Ь2, ..., £15 и ЛД, М2, ..., М2э - инварианты, зависящие от Д и Д и не зависящие от параметров а, 6, с, й.

Редуцируем полиномы Wi и W2 по переменной z. Полученное большое выражение .7 = 0 есть инвариант преобразований (0.1).

Теорема 3.9. Если уравнение (0.2) эквивалентно уравнению Pill с параметром а = 0, то верно равенство J = 0.

Уравнение Пенлеве III с параметрами а = 0, с = 0.

В случае равенства нулю сразу двух параметров уравнения Pill а = 0 и с = 0, формулы упростятся. Формула для переменной

1 Ь J7 *=4 УШ

Параметры Ь и d в уравнении Pill не равны нулю, поэтому это равенство имеет смысл.

Инвариант ./7 равен

J7 = -(5h - 3)(50i| + 15/1 - 27 - 50/4).

Инвариант Ks равен

Ks = -(1000/i/4 + 150/4 + 500/i - 243 - 3150/j2 + 2115/j).

Равенство нулю полинома Wi будет равносильно равенству нулю инварианта ¿is, явная формула для которого имеет вид:

(3.10) ¿15 = ЫгК1 - 12 Jf - Ш1 + 20/1/7X3 + 3J7Ka + 20/i J| = 0.

Теорема 3.10. Если уравнение (0.2) эквивалентно уравнению Pill с параметрами а = 0 и с = 0, то верно равенст.во L15 = 0 ил (3.10).

Основные результаты опубликованы в открытой печати:

1.Drnitrieva V.V., Sharipov R.A. "On the point transformations for the second order differential equations. Iя// Electronic Archive at, LANL solv-int#9703003, p.1-14.

2. Дмитриева B.B. "О классификации уравнений Пенлеве-I и Пенлеве-II относительно точечных преобразований общего вида" // Вестник БашГУ, 1998, N 1(1), с.9-11.

3. Дмитриева В.В. "Критерий эквивалентности ОДУ второго порядка уравнениям Пенлеве I и И" // труды международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы", II "Дифференциальные уравнения", Уфа 2000, с. 58-63.

4. Дмитриева В.В. "Точечно-инвариантные классы обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка" // Матем. заметки, т. 70, N 2 август 2001, с. 195-200.

5. Дмитриева В.В. "Критерий эквивалентности обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка уравнениям Пенлеве I и Пенлеве II" // Электронный журнал "Исследовано в России", 095, 1298-1317, 2000, http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2000/095.pdf

6. Дмитриева В.В. "Точечная классификация уравнения Пенлеве III" // Научная конференция по научно-техническим программам Минобразования России: сборник статей и тезисов. Часть 1. Издание Башкирского университета, Уфа, 2000, с.20-24.

7. Дмитриева В.В. "Точечные преобразования и уравнение Пенлеве IV" // сборник трудов региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Часть 1. Математика, с.86-97, Уфа, БГУ, 2001.

8.Дмитриева В.В. "Точечно-инвариантный класс ОДУ третьего порядка, содержащий уравнения Шази" // труды международного научного семинара-совещания "Методы функционального анализа и теории функций в различных задачах математической физики", Уфа. БашГУ, ИМВЦ УНЦ РАН, 2002

Картак Вера Валерьевна

ТОЧЕЧНО-ИНВАРИАНТНЫЕ КЛАССЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОБЛЕМЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР№ 021319 от 05.01.99 г.

Подписано в печать 04.09.2003 г. Бумага офсетная. Формат 60x84/16. Гарнитура Times. Отпечатано на ризографе. Усл.печ. л. 1,38. Уч.-изд.л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 569.

Редакционно-издательский отдел Башкирского государственного университета 450074, РБ, г. Уфа, ул. Фрунзе, 32.

Отпечатано на множительном участке Башкирского государственного университета 450074, РБ, г.Уфа, ул.Фрунзе, 32.

г

с

ZoO) - M

M3 957W

0.1 Проблема эквивалентности. Точечно-инвариантные классы дифференциальных уравнений.

0.2 Уравнения Пенлеве.

0.3 Содержание главы

0.4 Содержание главы

0.5 Содержание главы

1 Точечно-инвариантные классы обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка

1.1 Преобразования производных.

1.2 Точечно-инвариантный класс.

1.3 Канонический вид уравнений (43).

1.4 Псевдотензорные поля.

1.5 Правила преобразования коэффициентов.

1.6 Вычисление точечных симметрий уравнения (59).

1.7 Уравнения (45), имеющие максимальную алгебру точечных симметрий.

2 Точечная классификация уравнений второго порядка вида у" = Р(х, у) + 3 Q(x, у)у' + 3 R(x, у)у'2 + S{x, у)у'3.

2.1 Основные классификационные параметры.

2.2 Случай общего положения.

2.3 Семь случаев промежуточного вырождения.

2.3.1 Первый случай

2.3.2 Второй случай.

2.3.3 Третий случай.

2.3.4 Четвертый случай.

2.3.5 Пятый случай.

2.3.6 Шестой случай.

2.3.7 Седьмой случай.

2.4 Случай максимального вырождения.

Проблема эквивалентности для уравнений Пенлеве

3.1 Уравнение Пенлеве 1.

3.2 Уравнение Пенлеве II.

3.3 Уравнения Пенлеве III-VI.

3.4 Уравнение Пенлеве IV.

3.4.1 Параметр 6=0.

3.4.2 Параметр 6^0.

3.5 Уравнение Пенлеве III.

3.5.1 Параметр а = 0.

3.5.2 Параметры а = 0 и с =

0.1 Проблема эквивалентности. Точечно-инвариантные классы дифференциальных уравнений

Проблема эквивалентности представляет собой одну из важнейших задач аналитической теории дифференциальных уравнений. Вот почему она привлекала к себе внимание многих ученых [1]-[25], [47]-[49]. Классические работы, посвященные исследованию проблемы эквивалентности, принадлежат Р.Лиувиллю [1], С.Ли [2]-[3], А.Трессе [4]-[5] и относятся к концу XIX века.

Суть проблемы эквивалентности заключается в нахождении (или доказательстве существования) точечной замены переменных, переводящей одно дифференциальное уравнение в другое. Иногда ее понимают как описание класса эквивалентности некоторого дифференциального уравнения относительно точечных преобразований. Основой решения этой проблемы часто является построение инвариантов преобразований, а для этого необходимо, чтобы вид уравнения не менялся при действии на него точечных преобразований. Такие уравнения назовем принадлежащим точечно-инвариантному (замкнутому) классу дифференциальных уравнений.

Наиболее простым таким уравнением является следующее обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка: у" = Р(х, у) + 3 Q(x, у)у' + 3 R(x, у)у'2 + S(x, у)у'\ (1)

Э.Картан ассоциировал уравнения (1) с уравнениями геодезических в пространствах проективной связности ([9]). Замкнутость класса уравнений (1) относительно невырожденных преобразований

X = х(х, у), у = у(х, у) (2) была отмечена в целом ряде работ, в том числе Дж. Томсена [10],

Г.Гриссома и др. [11], Н. X. Ибрагимова [12], В. С. Дрюма [13]

15], JI. А. Бордаг и В. С. Дрюма [16], JI. А. Бордаг и М.В.Бабича

17]-[18], Ю. Р. Романовского [19], С. Баско и М. Матсумото [20],

В. Н. Гусятниковой и В. А. Юмагужина [21], Р. А. Шарипова и

В. В. Дмитриевой [22]-[24].

В [25] Р. А. Шарипов и О. Н. Михайлов рассмотрели другой замкнутый класс уравнений второго порядка: = Р(х, у) + 4 Q(x, у) у' + 6 R(x, у) (у')2+ Y(x,y) - Х{х,у)у'

4S(x,y) {у'? + L{x,y){y'Y Y(x,y)-X(x,y)y> ' Он получил название точечного расширения класса (1).

Более сложный замкнутый класс обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка содержится в [17]: функция Рг0 есть полином пятого порядка по производной у'.

В работе [51], а также в Главе 1 настоящей диссертации найден точечно-инвариантный класс обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка. = -SX(x, у)у"2 + P(xt у)у"у'2 + Q(x, у)у" у'+ У Y(x,y)-X(x,y)y'

R(x,y)y" + +S(x,y)y'5 + L(x,y)y'4 Y(x,y) - X(x,y)yf

K(x, y)y,3 + +Af (a, y)y'2 + N(x, y)y' + T{x, y) Y{x,y) - X(x,y)y'

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений, задаваемую некоторой матрицей А = А(ух,., уп) с ненулевым детерминантом, а также индексированным массивом Г: f Ai , f f pi W dt j\dx2 hh " дх dx)'

Эта система представляет собой расширение системы дифференциальных уравнений, описывающих явление диффузии гд ег-х „ at 'he* V ' d*J' t-1'---'nи является инвариантной относительно точечных замен переменных следующего вида (см. [53]): у1=у\у\.,у% r = v\v\~;vn).

0.2 Уравнения Пенлеве

Рассмотрим следующюю классификационную задачу: нужно определить, существуют ли уравнения вида у" = F(x, у, у'), где функция F - рациональная относительно г/, алгебраическая относительно у и аналитическая относительно х, у которых все критические точки (и точки разветвления и существенные особенности) фиксированы, т.е. не являются перемещающимися особенностями.

Эта задача была решена П.Пенлеве и его учеником Б.Гамбье в начале XX века. Решение этой классификационной задачи приводит к 50 видам уравнений. Все эти 50 видов, за исключением б, интегрируются в известных функциях. Наиболее важными являются б неприводимых уравнений, которые являются источником новых трансцендентных функций. Новые трансцендентные функции, определяемые этими уравнениями, называются трансцендентными функциями Пенлеве, а сами уравнения носят названия уравнения Пенлеве. Причем последнее уравнение содержит первые пять уравнений, которые могут быть из него получены постепенным вырождением (см. [26]).

В настоящее время уравнения Пенлеве играют важную роль при решении ряда задач математической физики (см. [26], [30], [31], [50]). Решение проблемы эквивалентности для уравнений Пенлеве является актуальным.

Эта задача привлекала к себе многих ученых. В работе [49] Н.Камран и др. привели необходимые и достаточные условия эквивалентности уравнения у" = F(x, у, у') первым двум уравнениям Пенлеве PI и PII относительно точечных преобразований специального вида х = ф(х), у = ф(х,у).

Проективные структуры, порожденные уравнениями класса (1), в том числе и уравнениями Пенлеве, исследованы в серии работ В.С.Дрюма, JI.А.Бордаг и М.В.Бабич [13]—[18]. В работе [18] найдены необходимые и достаточные условия, при которых уравнения вида у" = f{xi у) (3) сводятся точечными преобразованиями к уравнениям Пенлеве. Доказано, что уравнения Пенлеве можно записать в форме (3): у" = Рк(х,у), (4) где к = 1, .,6 - номер уравнения Пенлеве. Вид уравнений (3) сохраняют преобразования специального вида х = с J т2(x)dx + со, у — т(х)у + п(х), (5) где с, co-const, с ф 0, ш(ж), п(х) - некоторые функции от переменной ж, т(х) ф 0.

Согласно работе [18], для того, чтобы проверить, эквивалентно ли некоторое уравнение (1) одному из уравнений Пенлеве, нужно: 1) привести исходное уравнение (1) к виду (3); 2) выполнить замену переменных (5) и приравнять функцию f(x,y) из правой части преобразованного уравнения (3) соответствующей функции из правой части уравнения Пенлеве (4); 3) определить неизвестные функции т(ж), п(х) и константы с, с0. Если такие функции существуют, то уравнения эквивалентны.

Однако непосредственно использовать предложенный способ проверки эквивалентности уравнений не всегда удобно. Во-первых, уже на первом этапе, когда исходное уравнение нужно привести к виду (3), возникают трудности. Например, для уравнения Пенлеве VI такая задача не тривиальна. Во-вторых, для каждого конкретного уравнения нужно решать дифференциальные уравнения на неизвестные функции т(х), п(х) и константы с, с».

Способ проверки эквивалентности уравнений, предложенный нами в данной работе, универсален, и не требует дополнительного преобразования исходного уравнения (1). Он сводится к подстановке известных функций Р, Q, R, S из правой части уравнения (1) и их производных в ряд алгебраических равенств.

0.3 Содержание главы 1

1. r. llouville Sur les invariants de certaines equations differentielles et sur leurs applications, J. de L'Ecole Polytechnique, V. 59, 1889, Pp. 7-76

2. S.lle Vorlesungen liber continuierliche Gruppen, Teubner Verlag, Leipzig, 1893

3. S.lle Theorie der Transformationsgruppen III, Teubner Verlag, Leipzig, 19304.a. tresse Sur les invariants differenties des groupes continus de transformations, Acta Math., V. 18 Pp. 1-88, 1894

4. Э. К apt ан Пространства аффинной, проективной и конформной связности, Платон, Волгоград, 1997

5. G. thomsen Uber die topologischen Invarianten der Differen-tialgleichung y" = f(x,y)y'3+g(x,y)y'2+h(x,y)y'+k(x,y),AhhsLnd\un-gen aus dem mathematischen Seminar der Hamburgischen Universitat, V. 7, 1930, Pp. 301-328

6. C.Grissom, G.Thompson and G.Wilkens Linearisation of Second Order Ordinary Differential Equations via Cartan's Equivalence Method, Diff. Equations, V. 77Pp. 1-15, 1989

7. N. Кн. ibragimov Elementary Lie group analisis and ordinary differential equations, Wiley series in mathematical methods in practice; Vol.4, John Wiley & Sons Ltd, England, 1999

8. B.C. ДРЮМА Геометрическая теория нелинейных динамических систем, препринт Института математики с ВЦ АН Молдавской ССР, Кишинев, 1986

9. В.С. дрюма О теории подмногообразий проективных пространств, определяемых дифференциальными уравнениями, Сборник статей, Институт математики с ВЦ АН Молдавской ССР, Кишинев, 1989, Pp. 75-87

10. В.С. дрюма Геометрические свойства многомерных нелинейных дифференциальных уравнений и фазовое пространство динамических систем с финслеровой метрикой, Теор. и Матем. Физика, V. 99(2), 1994, Pp. 241-249

11. M.V. Babich and L.A. Bordag Projective Differential Geometrical Structure ot the Painleve Equations, J. of Diff.Equations, V. 157 (2), September, 1999, Pp. 452-485

12. Ю.Р. Романовский Вычисление локальных симметрий обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка методом эквивалентности Картана, рукопись, Pp. 1-20

13. S.Bacso and M.Matsumoto On Finsler spaces of Douglas type. A generalisation of the notion of Berwald space, Publ. Math. Debrecen, V. 51 (3-4), 1997, Pp. 385-406

14. B.H. Гусятникова и В.А. Юмагужин Точечные преобразования и линеаризуемость обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, Матем. Заметки, V. 49 (1), 1991, Pp. 146-148

15. Dmitrieva V. V., Sharipov R. A. On the point transformations for the second order differential equations, Electronic archive at LANL (1997), solv-int #9703003, Pp. 1-14

16. Sharipov R. A. On the point transformations for the equation у" = P + 3Qy' + 3Ry'2 + Sy'3, Electronic archive at LANL (1997), solv-int #9706003, Pp. 1-35

17. Э.Л.айнс Обыкновенные дифференциальные уравнения, Научно-техническое издательство Украины, Харьков, 1939

18. Э.Камке Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, Москва, Наука, 1976

19. Дмитриева В. В. О классификации уравнений Пенлеве-1 и Пенлеве-Н относительно точечных преобразований общего вида, Вестник Башкирского университета, V. 1 (I), Pp. 9-11, 1998

20. Дмитриева В. В. Критерий эквивалентности ОДУ второго порядка уравнениям Пенлеве I и II., Труды международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы". Вып.II. Дифференциальные уравнения, Pp. 58 -63, Уфа, 2000.

21. М. Абловиц, x. сигур, Солитоны и метод обратной задачи, Мир, Москва, 1987

22. А. R. Its and V. Yu. novokshenov The Isomonodromic Deformation Method in the Theory of Painleve Equations Lecture Notesin Mathematics, Vol. 1191, Springer-Verlag, New York/Berlin, 1986

23. А. П. НОРДЕН Пространства аффинной связности, Государственное издательство теоретической литературы, Москва-JIe-нинград, 1950

24. И. А. Схоутен и Д. Дж. СтроЙК Введение в новые методы дифференциальной геометрии, т.1, И. А. Схоутен Алгебра и учение о перенесении под ред. проф. Г. М. Шапиро, ОНТИ, Москва-Ленинград, 1939

25. Ю.И. МАНИН Рациональные кривые, эллиптические кривые и уравнение Пенлеве, МЦНМО МК НМУ, 1998

26. П. ОЛВЕР Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, Мир, Москва, 1989

27. М. В. ФЕДОРЮК Обыкновенные дифференциальные уравнения, Наука, Москва, 1985

28. Christopher M.Cosgrove Chazy classes IX-XII of third order differential equations, Research Report 98-23, 24 June 1998

29. Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко Современная геометрия, Наука, Москва, 1976

30. Р.А.Шарипов Дифференциальная геометрия, Издание БашГУ, Уфа, 1996

31. Л.в.овсянников Групповой анализ дифференциальных уравнений, Наука, Москва, 1978

32. Н.х.ибрагимов Группы преобразований в математической физике, Наука, Москва, 1983

33. А.В.Бочаров, А.М.Вербовецкий, А.М.Виноградов и др. (под ред. А.М.Виноградова и И.С.Красильщика), Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики, Факториал, Москва, 199744.с.стенберг Лекции по дифференциальной геометрии, Мир, Москва, 1970

34. Ш.Кобаяси и К.Номидзу Основы дифференциальной геометрии, т.1, Наука, Москва, 1981

35. Ш.Кобаяси и К.Номидзу Основы дифференциальной геометрии, т.Н, Наука, Москва, 1981

36. G. Grebot The Characterization of Third Order Ordinary Differential Equations Addmitting a Transitive Fiber-Preserving Point Symmtry Group, J. of Math. Analisis and Appl., V. 206, 1997, Pp. 364-388

37. V.A. Yumaguzhin Classification of 3rd order linear ODE up to equivalence, Differential Geometry and its Applications, V. 6, 1996, Pp. 343-350

38. N.Kamran, K.G.Lamb, W.F.Shadwick The local equivalence problem for d2y/dx2 = F(x,y,dy/dx and the Painleve trancen-dents, Journ. of Diff. Geometry, Vol.22, 1985, Pp.139-150.

39. Гладков А.В., Дмитриева В.В., Шарипов Р.А. О некоторых нелинейных уравнениях, сводящихся к уравнениям диффузионного типа, Теоретическая и математическая физика, Vol.123, No 1, 2000, Pp.26-37.

40. Дмитриева В.В. Точечные преобразования и уравнение Пенлеве IV, сборник трудов участников региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых поматематике и физике, Уфа, 2001, С.86-97.

41. Дмитриева В.В. Точечно-инвариантный класс ОДУ третьего порядка, содержащий уравнения Шази, Труды международного семинара-совещания "Методы функционального анализа и теории функций в различных задачах математической физики" Уфа, 2002, С.78-83.