Геометрические аспекты квантовой теории систем со связями тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

на правах рукописи

ГОЛОВНЕВ Алексей Валерьевич

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ

Специальность 01.04.02 — Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

^ахн

г. Санкт-Петербург 2006

Работа выполнена на кафедре физики высоких энергий и элементарных частиц Санкт-Петербургского государственного университета

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор физико-математических наук, профессор

Прохоров Лев Васильевич

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук, профессор

Азимов Яков Исаакович

доктор физико-математических наук, профессор

Суханов Александр Дмитриевич

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Лаборатория теоретической физики им. акад. H.H. Боголюбова

Объединенного Института Ядерных Исследований (Дубна).

Защита состоится 2 ноября 2006 г. в часов на заседании диссертаци-

онного совета Д 212.232.24 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при СПбГУ по адресу: 199034 Санкт-Петербург, Университетская набережная, д. 7/9, ауд. 85.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета

А&у^Г" 19 1006

Ученый секретарь

диссертационного совета, профессор Щекин А.К.

I. Общая характеристика работы.

1. Актуальность темы исследования.

Диссертация посвящена изучению квантовой теории механических систем со связями. Механические системы со связями лежат в основе таких важнейших разделов теоретической физики, как современные теории взаимодействий элементарных частиц, теория гравитации, теории струн и бран. Между тем, остаются крайне слабо изученными многие вопросы, лежащие в основах квантовой теории систем со связями. Одним из ярких примеров является квантование систем со связями второго рода, для которого существует много неэквивалентных подходов, и продолжают появляться новые предложения. В диссертации рассматриваются те подходы, которые не связаны с использованием континуального интеграла: квантование со скобками Дирака, метод абелевой конверсии связей, метод тонкого слоя, метод редукции. До сих пор свойства этих методов и их взаимные связи были очень плохо изучены; в частности, оставалась незамеченной важная неоднозначность метода Дирака (квантования систем со связями второго рода). Некоторые из имеющихся здесь проблем решены в диссертации. В случае свободного движения по поверхности коразмерности 1, рассматриваемого как система с двумя связями второго рода, дано геометрически естественное доопределение метода Дирака (п. 2.3 диссертации), предложена модификация метода Дирака (п. 2.3), исключающая влияние внешней геометрии связи в конфигурационном пространстве на квантовую динамику, доказана эквивалентность метода тонкого слоя методу редукции (п. 2.5). В случае старших размерностей и коразмерностей в диссертации с геометрической точки зрения рассмотрена известная проблема некорректности метода тонкого слоя, и показано отсутствие этой проблемы для метода редукции (п. 2.6).

После квантования (вне зависимости от примененной схемы) определенные трудности доставляет тот факт, что конфигурационное пространство многих систем со связями является компактным. В частности, уже давно известна проблема соотношения неопределенностей координата-импульс на окружности и любом другом компактном многообразии. А на сфере операторы импульса в сферических координатах и вовсе оказываются несамосопряженными. Решение первой проблемы в случае окружности также известно, в то время как на сфере можно использовать генераторы группы вращений, оказывающиеся самосопряженными, или другие подходящие операторы, или особым образом определенные меры неопределенности. Полной ясности здесь достигнуто не было, хотя поставлешгые вопросы являются фундаментальными для квантовой механики в искривленных пространствах, и им посвящены многие работы. В третьей главе соотношения неопределенностей для координат и канонически сопряженных им импульсов изучены детально для свободного движения частицы на широком классе многообразий; особое внимание уделено топологическим вопросам.

Наконец, интересной (но слабо изученной) особенностью обладают теории релятивистских частиц, струн и бран (с обобщенным действием Намбу-Гото), актуальность которых для современной теоретической физики очевидна. При переходе от лагранжева формализма к гамильтопову в этих теориях нельзя полностью исключить скорости из выражения для обобщенного гамильтониана, если не фиксировать "стрелу времени" на мировом листе браны (струны, частицы). В диссертации подробно освещен данный вопрос (п. 4.2), и, кроме того, получено дискретное представление действия Намбу-Гото любой размерности в виде совокупности релятивистских частиц с естественным образом модифицированным действием (п. 4.3).

2. Цель работы.

Основной целью работы является изучение особенностей динамики систем со связями: исследование свойств различных процедур квантования систем со связями второго рода; решение проблемы соотношения неопределенностей координата-импульс в искривленных пространствах, включая возможность определения соответствующих самосопряженных операторов; изучение динамики бозонных струн и бран как механических (заданных лагранжианом) систем со связями.

3. Научная новизна.

В диссертации впервые обнаружена зависимость метода квантования со скобками Дирака от выбора функции, определяющей поверхность связи, что делает его абсолютно не геометрическим; предложено естественное с геометрической точки зрения доопределение метода, в рамках которого вычислен квантовый потенциал для произвольной поверхности коразмерности 1 в евклидовом пространстве; а также дана модификация метода, использующая несамосопряженные импульсы и приводящая к нулевому квантовому потенциалу (п. 2.3). Квантования методом тонкого слоя и методом редукции рассмотрены в максимально общей постановке, доказана и объяснена их эквивалентность для движения по произвольной поверхности коразмерности 1 (пп. 2.4-2.6). Ранее было известно, что они совпадают в простейших случаях. Также в диссертации показано, что метод редукции, в отличие от метода тонкого слоя, хорошо работает и в случае старших коразмерностей (п. 2.6).

В Главе 3 проблема соотношений неопределенностей решена для стандартных операторов координаты и импульса во всех случаях, когда их можно определить как самосопряженные операторы. Раньше в такой постановке задача была решена лишь для одномерного многообразия; кро-

ме того, предлагалось использование других операторов в качестве наблюдаемых. Для случая сфер в диссертации предложена новая система координат, имеющая только одну особую точку и обладающая, в отличии от сферических координат, самосопряженными операторами импульсов (п. 3.3).

В Главе 4 рассмотрена динамика бозонных струн и бран с более подробным анализом связей, чем имеющийся в литературе. Одну из связей (в случае струн р2 + у2х'2 — 0, где р — импульс, х' — производная координаты точки на струне по параметру а^ нумерующему точки струны, а 7 — константа, входящая в действие Намбу-Гото) получают возведением в квадрат. В диссертации показано, что без связанной с этим потери информации о знаке невозможно полностью исключить скорости из выражений для связей, и предложено построение оператора эволюции струн и бран с учетом этого факта.

Наконец, в диссертации доказано, что действие Намбу-Гото для бра-ны любой размерности является непрерывным пределом сумм модифицированных действий релятивистских частиц, расположенных в узлах решетки, определяющей поверхность браны в данный момент времени. Модификация действия релятивистской частицы состоит в замене квадрата скорости квадратом составляющей скорости, перпендикулярной поверхности браны. Ранее этот факт был известен только для струн и не слишком часто упоминался в литературе. Кроме того, в диссертации проанализирован переход от дискретного действия к непрерывному пределу, отмечается его нетривиальность, предложена соответствующая корректировка допредельного выражения.

На защиту выносятся следующие результаты:

1) явная операторная реализация квантования по Дираку свободного движения на сфере;

б

2) модификация квантования систем со связями второго рода по Дираку, имеющая дело с несамосопряженными операторами импульса и приводящая к нулевому квантовому потенциалу;

3) доказательство неоднозначности метода квантования систем со связями второго рода по Дираку (зависимость результата от конкретного выбора функции, задающей поверхность связи в конфигурационном пространстве);

4) геометрически естественное доопределение метода квантования систем со связями второго рода по Дираку и его явная операторная реализация в случае свободного движения по произвольной поверхности коразмерности 1;

5) обобщение метода редукции на поверхности любых размерностей и коразмерностей;

6) доказательство эквивалентности метода редукции и метода тонкого слоя в случае коразмерности 1;

7) подробное исследование соотношений неопределенностей координата-импульс в искривленных пространствах и обнаружение их инвариантности относительно гладких деформаций пространства вместе с системой координат;

8) введение новой системы координат на сфере с самосопряженными импульсами, удобной для изучения вопроса о соотношениях неопределенностей;

9) получение формального выражения для оператора развития бо-зонных струн и бран в виде континуального интеграла;

10) представление бозонных струн и бран любой размерности в виде непрерывного предела упорядоченного набора релятивистских частиц, в лагранжианах которых оставлены только поперечные составляющие скоростей.

4. Теоретическая и практическая ценность.

Результаты диссертации могут быть использованы при квантовании любых систем со связями второго рода, так как свойства соответствующих процедур исследованы с достаточной общностью и детальностью. В качестве примеров подобного рода систем можно указать нелинейные сигма-модели, всевозможные цепочки связанных осцилляторов, задачи наноэлектроники, квантование в искривленных пространствах в рамках подхода, рассматривающего общую теорию относительности на многообразиях, вложенных в плоское пространство, и многое другое.

Новая система координат на сфере может оказаться полезной в работах по квантовой механике па сфере, поскольку обладает самосопряженными операторами импульсов. А результаты, касающиеся соотношений неопределенностей, позволяют избежать недоумения и возможных ошибок, связанных с необычными свойствами этих соотношений на искривленных многообразиях.

Наконец, можно надеяться на прогресс в понимании динамики бо-зонных бран при использовании полученного в диссертации оператора эволюции и дискретного представления действия Намбу-Гото.

5. Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на научных семинарах лаборатории математических проблем физики Петербургского отделения Математического института им. В.А. Стеклова и отделения теоретической физики Петербургского института ядерной физики им. Б.П. Константинова, а также на International School of Subnuclear Physics, Эричи (Италия, 2006). По материалам диссертации опубликовано 5 научных работ. Список публикаций приведен в конце автореферата.

6. Структура и объем диссертации.

Диссертация объемом 101 стр. состоит из пяти глав (из них Глава 1

— Введение, Глава 5 — Заключение). Список литературы содержит 75 наименований.

II. Содержание работы.

Глава 1. Введение.

Первая глава является вводной и обосновывает актуальность исследования и научную новизну полученных в диссертации результатов. Также она содержит краткий обзор последующих глав.

Глава 2. Квантование систем со связями второго рода.

В данной главе рассматривается проблема квантового движения в искривленных пространствах, важная, как уже отмечалось выше, для многих физических задач. В 1928 году Подольский (Podolsky В. Phys. Rev. 32, 812 (1928)) предложил в случае движения в произвольных римано-вых пространствах использовать гамильтониан II — —Щ-Alb, где Дгв

— оператор Лапласа-Бельтрами, a h — приведенная постоянная Планка. Этот постулат является прямым и геометрически ясным обобщением динамики в евклидовых пространствах. Проблема возникает при попытке получить эту теорию посредством процедуры канонического квантования. Для любой данной классической теории существует бесконечно много квантовых теорий с подходящим h —► 0 пределом. Таким образом, квантование неоднозначно. В случае квантовой механики в плоском пространстве рецепт Дирака приводит к экспериментально наблюдаемым результатам, будучи примененным в декартовых координатах.

В искривленных пространствах понятия декартовых координат не существует. Обойти эту проблему можно, погрузив рассматриваемое пространство в евклидово и проквантовав движение частицы как систему со связями второго рода с помощью скобок Дирака или методом абелевой конверсии. Другая возможность в рамках такого подхода — квантование методом тонкого слоя. Вышеуказанные рецепты приводят к различным результатам, зависящим также и от способа погружения в евклидово пространство.

Известно, в частности, что метод абелевой конверсии приводит к нулевому квантовому потенциалу (Н — — Д^д + Vq (х), где квантовый потенциал V^(rr) = 0) в случае движения по поверхности сферы, воспроизводя тем самым теорию Подольского. В п. 2.2 диссертации мы показываем, что в общем случае это не верно, и применение данного метода встречается с принципиальными трудностями. Квадратичный физический гамильтониан в рамках метода абелевой конверсии возможен лишь в случае специального выбора функции координат f(x), задающей поверхность связи в конфигурационном пространстве уравнением f(x) = 0 (в пункте 2.3 показано, что и в методе Дирака этот момент играет важную роль), но даже при таком условии нулевой квантовый потенциал для произвольной поверхности не воспроизводится.

В п. 2.3 представлены результаты исследования той же задачи в рамках метода скобок Дирака. Алгебра операторов, получаемая квантованием скобок Дирака, реализована явно. В случае сфер наш метод воспроизводит ранее известный результаты Шабанова и соавторов (Kleinert Н., Shabanov S.V. Phys. Lett. А 232, 327 (1997); Klauder J.R., Shabanov S.V. Nucí. Phys. В 511, 713 (1998)). Однако в общем случае и квантовый потенциал, и кинетический член в операторе Гамильтона зависят от выбора уравнения поверхности связи. В связи с этим в диссертации предложено геометрически естественное доопределение метода Дирака,

смысл которого в том, что "поверхности уровня" функции, задающей связь, f(x) — const, должны быть параллельны друг другу. Тем самым локально пространство расслаивается в ортогональную сумму физического многообразия и нефизических смещений. Также в Главе 2 предложена модификация метода Дирака, имеющая дело с несамосопряженными импульсами (зато они удовлетворяют правилу Лейбница; как показано в диссертации, эти два условия несовместимы), но приводящая к теории с нулевым квантовым потенциалом, теории Подольского, "чувствующей" лишь внутреннюю, но не внешнюю, геометрию физического многообразия. В такой теории нефизические переменные остаются воистину нефизическими даже на квантовом уровне, они вообще не влияют на физическую динамику.

В п. 2.4 рассматривается метод тонкого слоя. При этом природа низкоразмерного движения связывается с действием ограничивающего потенциала. Помимо (п — 1)-мерной гладкой поверхности в n-мерном пространстве рассматривают два бесконечных потенциальных барьера на расстоянии 6 —► 0 от поверхности каждый. Свободная квантовая частица движется в слое толщины 26 между барьерами (впрочем, вместо барьеров можно рассмотреть любой другой ограничивающий потенциал). В пределе <5 —► 0 после переопределения волновой функции и вычитания бесконечной энергии наинизшей поперечной моды получают теорию с ненулевым квантовым потенциалом. В п. 2.5 доказана эквивалентность этого метода методу редукции в случае коразмерности 1. В методе редукции движение частицы по поверхности рассматривается как система со связями второго рода, но на физический сектор накладывается только половина условий (в случае коразмерности 1 — одно): Pn^phya — 0, где Рп — оператор поперечного импульса, ^рнуа ~ волновая функция, принадлежащая физическому сектору. Координатное условие учитывается лишь в конечных результатах, после выполнения всех дифференциро-

ваний. В условиях нормировки интегрирование производится только по физическим переменным. Эквивалентность методов редукции и тонкого слоя, по сути дела, сводится к тому факту, что ровно посередине между двумя узлами лежит пучность; действие оператора поперечного импульса обращает в этой точке волновую функцию в ноль. Наконец, в п. 2.6 рассмотрены проблемы, с которыми сталкивается метод тонкого слоя в случае старших коразмерностей, и показано, что эти проблемы не распространяются на метод редукции.

Глава 3. Соотношения неопределенностей в искривленных пространствах.

Уже в случае свободного квантового движения по окружности возникают проблемы. Стандартные соотношения неопределенностей Гейзен-берга не могут быть справедливы, поскольку дисперсия угловой переменной конечна. Проблема существует для любого компактного многообразия. В диссертации предлагается решение, пригодное для любых координат с замкнутыми координатными линиями.

В п. 3.1 рассмотрено движение по окружности. В этом случае соотношение неопределенностей (с константой в правой части) не может быть сильнее, чем Аср ■ Ар^ > 0, где А(р — дисперсия угловой переменной (р, а Ар^ — дисперсия канонически сопряженного импульса. Но, если использовать координату из "стереографической" проекции, х — 2II tg где Я — параметр, имеющий смысл радиуса окружности, то получается стандартное соотношение неопределенностей Гейзенберга (п. 3.2). Рассмотрим обобщение стереографической проекции, х = Р* ~ Ш соэ 005 с произвольным параметром а 6 [0,1] (при а —► 0 воспроизводится обычная квантовая механика на окружности). Для любого а < 1 соотношение неопределенностей принимает вид: Ах • Ар^ > 0. Но при а ~ 1 имеем соотношение неопределенностей Гейзенберга. Это

происходит потому, что создающая проблему точка ср — —7т удалена на бесконечность, и дисперсия х может достигать бесконечности. Для одной точки <р — — 7г нет отвечающего ей значения х. Выкалывание этой точки эквивалентно изменению топологии многообразия, а с ней — и соотношения неопределенностей.

Интересен вопрос об областях определения рассматриваемых операторов. Если а < 1, все функции определены на конечном промежутке. Если потребовать равенства нулю функций на концах области определения, то оператор импульса будет симметрическим, но не самосопряженным. Он имеет совпадающие (равные единице) индексы дефекта и допускает континуум различных самосопряженных расширений (Ф(—7г) = сФ(7г), где с — комплексное число и |с| = 1); мы воспользовались одним из них, Ф(—7г) = Ф(тг), которое является естественным при рассмотрении движения на окружности и обеспечивает конечность энергии.

В пределе а = 1 оператор р£ самосопряжен, но допускает состояния с бесконечной энергией (с разрывом при ср — ±7г). Впрочем, это может привести лишь к дополнительным нефизическим состояниям, для которых справедливы соотношения неопределенностей. Важнее, что х при а — 1 не определен на некоторых физических состояниях (таких, что

7Г 2

/ |Ф(^)| ^^с^? = сю)- Это не приводит к серьезным проблемам (см.

—ж

п. 3.2), но тем не менее, проблема существует, поэтому для компактных многообразий предпочтительны координаты с конечной областью значений.

В случае сфер такие координаты предложены в п. 3.3. Они получены "сворачиванием" координатных линий из плоскости стереографической проекции на сферу. В этих координатах получены соотношения неопределенностей с нулевой правой частью, в то время как в стереографических координатах справедливы обычные соотношения неопределенио-

стей Гейзенберга. В п. 3.4 обсуждаются соотношения неопределенностей координата-импульс для произвольных многообразий.

Глава 4. Динамика бозонных струн и бран.

Мы рассматриваем теорию бозонных струн и бран в наиболее геометрической формулировке — посредством действия Намбу-Гото. Изложение начинается со случая точечной частицы, 0-браны. Релятивистски инвариантное действие частицы репараметризационно инвариантно, и при переходе к Гамильтонову формализму обнаруживается связь, обычно записываемая в квадратичной форме с потерей информации о знаке. В п. 4.1 мы описываем динамику свободной релятивистской частицы, пользуясь альтернативным способом учета этой связи. В рамках обсуждаемого метода используется соотношение ро + Ер = 0 с энергией Ер(1р) — у М2 + 1?2. Строго говоря, оно не является гамильтоновой связью, поскольку зависит от скорости, но тот факт, что зависимость проявляется лишь в знаке нулевой компоненты скорости, позволяет построить квантовую теорию, выбрав на физическом секторе определенное направление внутреннего времени: > 0.

В п. 4.2 показано, что этот подход работает и в случае струн и бран произвольной размерности. При построении оператора развития бозон-ной браны в виде формального континуального интеграла достаточно фиксировать физический сектор условием > 0.

Наконец, в п. 4.3 обнаружено, что действие Намбу-Гото браны любой размерности может быть представлено как непрерывный предел суммы действий точечных релятивистских частиц, в которых фигурирует только перпендикулярная к поверхности браны составляющая скорости. Ключевым моментом является пропорциональность канонического импульса браны перпендикулярной составляющей скорости.

В Заключении (Глава 5) перечислены основные положения, выносящиеся на защиту.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих рабо-к:

1. Головнев А.В., Прохоров JT.B. Континуальный интеграл в теории бозонных струн и бран, Вестник СПб университета, сер. 4, вып. 2 (12), с. 86-91 (2003).

2. Golovnev A.V., Prokhorov L.V. Uncertainty relations in curved spaces, J. Phys. A 37, 2765-2775 (2004).

3. Golovnev A.V., Prokhorov L.V. Dynamics of strings and branes, Int. J. Theor. Phys. 45 (5), 942-951 (2006).

4. Golovnev A.V. Dirac quantization of free motion on curved surfaces, Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 3 (4), 655-666 (2006).

5. Golovnev A.V. Thin layer quantization in higher dimensions and codimensions, J. Math. Phys. 47 (8), 082105 (2006).

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 20.09.06 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 1 Тираж 100 экз., Заказ № 418/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 428-43-00.

1 Введение

2 Квантование систем со связями второго рода

2.1 Квантование систем со связями.

2.2 Метод абелевой конверсии.

2.3 Квантование со скобками Дирака

2.4 Метод тонкого слоя в коразмерности 1.

2.5 Квантование по методу редукции.

2.6 Квантование методом тонкого слоя в старших коразмерностях

3 Соотношения неопределенностей в искривленных пространствах

3.1 Постановка проблемы, одномерный случай.

3.2 Дополнительный анализ в случае окружности.

3.3 Соотношения неопределенностей на сфере

3.4 Соотношения неопределенностей на произвольных многообразиях

4 Динамика бозонных струн и бран

4.1 Динамика релятивистской частицы

4.2 Динамика струн и бран.

4.3 Дискретизация струн и бран.

1. Постановка и актуальность проблемы. Диссертация посвящена изучению механических систем со связями. Это важнейший класс теорий [1, 2, 3], включающий в себя все современные теории взаимодействий элементарных частиц [4, 5], теорию гравитации [6], теории струн [7, 8] и бран [9]. Между тем, остаются крайне слабо изученными многие вопросы, лежащие в основах квантовой теории систем со связями. Одним из ярких примеров является квантование систем со связями второго рода, для которого существует много неэквивалентных рецептов, и продолжают появляться новые предложения [10, 11]. В диссертации рассматриваются те рецепты, которые не связаны с использованием континуального интеграла: квантование со скобками Дирака [1, 12], метод абелевой конверсии связей [13,14], метод тонкого слоя [15,16], метод редукции [17,18]. До сих пор свойства этих методов и их взаимные связи были очень плохо изучены; в частности, оставалась незамеченной важная неоднозначность метода Дирака (квантования систем со связями второго рода) [20]. Некоторые из имеющихся проблем решены в диссертации. В случае свободного движения по поверхности коразмерности 1, рассматриваемого как система с двумя связями второго рода [19], дано геометрически естественное доопределение метода Дирака [20], предложена модификация метода Дирака [20], исключающая влияние внешней геометрии связи в конфигурационном пространстве на квантовую динамику, доказана эквивалентность [21] метода тонкого слоя методу редукции. В случае старших размерностей и коразмерностей в диссертации с геометрической точки зрения рассмотрена известная проблема некорректности [22] метода тонкого слоя, и показано ее отсутствие [21] для метода редукции.

После квантования (вне зависимости от примененной схемы) определенные трудности доставляет тот факт, что конфигурационное пространство многих систем со связями является компактным. В частности, уже давно известна проблема соотношения неопределенностей координата-импульс на окружности [23, 24] и любом другом компактном многообразии. А на сфере операторы импульса в сферических координатах и вовсе оказываются несамосопряженными. Решение первой проблемы в случае окружности также известно [25], в то время как на сфере можно использовать генераторы группы вращений, оказывающиеся самосопряженными, или другие подходящие операторы, или особым образом определенные меры неопределенности [26]. Полной ясности здесь достигнуто не было, хотя поставленные вопросы являются фундаментальными для квантовой механики в искривленных пространствах, и им посвящена обширная литература [23, 24, 27, 28, 25, 29]. В третьей главе соотношения неопределенностей для координат и канонически сопряженных им импульсов изучены детально для свободного движения частицы на широком классе многообразий [30]; особое внимание уделено топологическим вопросам.

Наконец, интересной особенностью обладают теории релятивистских частиц, струн и бран (с обобщенным действием Намбу-Гото) [31, 32, 9]. При переходе от Лагранжева формализма к Гамильтонову в этих теориях нельзя полностью исключить скорости из выражения для обобщенного Гамильтониана, если не фиксировать "стрелу времени" на мировом листе браны (струны, частицы) [33, 34]. В диссертации подробно освещен данный вопрос [34, 35], и, кроме того, получено дискретное представление [35] действия Намбу-Гото любой размерности в виде совокупности релятивистских частиц с естественным образом модифицированным действием.

2. Основной целью работы является изучение особенностей динамики систем со связями: исследование свойств различных процедур квантования систем со связями второго рода; решение проблемы соотношения неопределенностей координата-импульс в искривленных пространствах, включая возможность определения соответствующих самосопряженных операторов; изучение динамики бозонных струн и бран как механических систем со связями.

3. Научная новизна. В диссертации впервые обнаружена [20] зависимость метода квантования со скобками Дирака от выбора функции, определяющей поверхность связи, что делает его абсолютно не геометрическим; предложено естественное с геометрической точки зрения доопределение метода, в рамках которого вычислен квантовый потенциал для произвольной поверхности коразмерности 1 в Евклидовом пространстве; а также дана модификация метода, использующая несамосопряженные импульсы и приводящая к нулевому квантовому потенциалу [20]. Квантования методом тонкого слоя и методом редукции рассмотрены в максимально общей постановке, доказана и объяснена их эквивалентность для движения по произвольной поверхности коразмерности 1 [21]. Ранее было известно, что они совпадают в простейших случаях [17]. Также в диссертации показано, что метод редукции, в отличие от метода тонкого слоя, хорошо работает и в случае старших коразмерностей [21].

В Главе 3 проблема соотношений неопределенностей решена для стандартных операторов координаты и импульса во всех случаях, когда их можно определить как самосопряженные операторы [30]. Раньше в такой постановке задача была решена лишь для одномерного многообразия [25]; кроме того, предлагалось использование других операторов в качестве наблюдаемых (например, cos (р и sin ip вместо координаты ip на окружности [24]). Для случая сфер в диссертации предложена новая система координат, имеющая только одну особую точку и обладающая, в отличии от сферических координат, самосопряженными операторами импульсов.

В Главе 4 рассмотрена динамика бозонных струн и бран [34, 35j с более подробным анализом связей, чем имеющийся в литературе. Одну из связей (в случае струн р2+^2х'2 = 0) получают возведением в квадрат. В диссертации показано, что без связанной с этим потери информации о знаке невозможно полностью исключить скорости из выражений для связей, и предложено построение оператора эволюции струн и бран с учетом этого факта [34, 35].

Наконец, в диссертации доказано, что действие Намбу-Гото для бра-ны любой размерности является непрерывным пределом сумм модифицированных действий релятивистских частиц, расположенных в узлах решетки, определяющей поверхность браны в данный момент времени [35]. Модификация действия релятивистской частицы состоит в замене квадрата скорости квадратом составляющей скорости, перпендикулярной поверхности браны. Ранее этот факт был известен только для струн [7] и не слишком часто упоминался в литературе. Кроме того, в диссертации проанализирован переход от дискретного действия к непрерывному пределу, отмечается его нетривиальность, предложена соответствующая корректировка допредельного выражения.

4. Практическая значимость работы. Результаты диссертации могут быть использованы при квантовании любых систем со связями второго рода, так как свойства соответствующих процедур исследованы с достаточной общностью и детальностью [20, 21]. В качестве примеров подобного рода систем можно указать нелинейные сигма-модели [36, 37], всевозможные цепочки связанных осцилляторов [38], задачи на-ноэлектроники [39, 40, 41], квантование в искривленных пространствах в рамках подхода, рассматривающего общую теорию относительности на многообразиях, вложенных в плоское пространство [42, 43], и многое другое.

Новая система координат на сфере [30] может оказаться полезной в работах по квантовой механике на сфере, поскольку обладает самосопряженными операторами импульсов. А результаты, касающиеся соотношений неопределенностей [30], позволяют избежать недоумения и возможных ошибок, связанных с необычными свойствами этих соотношений на искривленных многообразиях. Кроме того, обращает на себя внимание доказанная в [30] топологическая инвариантность соотношений неопределенностей [44].

Наконец, можно надеяться на прогресс в понимании динамики бо-зонных бран при использовании полученного в [34] оператора эволюции и дискретного представления действия Намбу-Гото [35]. Дискретное представление также может быть полезно для программы установления связей между динамикой струн и частиц на основе анализа пространственно-временных симметрии [45, 46]

5. Краткое содержание диссертации. Предметом второй главы является квантование систем со связями второго рода методами, не связанными с континуальным интегрированием. После общего обзора и указания на трудности метода абелевой конверсии, подробно изучается квантование методом скобок Дирака, дана явная операторная реализация известного результата квантования движения свободной частицы по поверхности сферы. При обобщении на произвольные поверхности коразмерности 1 обнаружена неоднозначность метода Дирака: квантовый потенциал зависит от конкретного аналитического задания поверхности связи в конфигурационном пространстве (на самом деле, это верно и для сфер). Предложено доопределение рецепта Дирака и вычислен квантовый потенциал в рамках уточненного метода. Смысл доопределения в том, что "поверхности уровня" функции, задающей связь, f(x) = const, параллельны друг другу. Тем самым локально пространство расслаивается в ортогональную сумму физического многообразия и нефизических смещений.

Также в Главе 2 предложена модификация метода Дирака, имеющая дело с несамосопряженными импульсами, но приводящая к теории с нулевым квантовым потенциалом, теории, "чувствующей" лишь внутреннюю, но не внешнюю, геометрию физического многообразия. В такой теории нефизические переменные остаются воистину нефизическими даже на квантовом уровне, они вообще не влияют на физическую динамику.

Метод тонкого слоя и метод редукции исследованы в максимальной общности, без ограничений на размерность физического многообразия и объемлющего пространства. Показана эквивалентность этих методов в случае коразмерности 1. Впрочем, причина здесь проста. В методе тонкого слоя поперечное движение ограничено бесконечно малым отрезком, и заполняет последний одной полуволной. Эквивалентность методу редукции, по сути дела, сводится к тому факту, что ровно посередине между двумя узлами лежит пучность; действие оператора поперечного импульса обращает в этой точке волновую функцию в ноль. Наконец, в параграфе 2.6 методом редукции проквантовано свободное движение по поверхности произвольной размерности и коразмерности.

Далее (в Главе 3) рассмотрена интригующая проблема соотношения неопределенностей координата-импульс на окружности и других компактных многообразиях. Кажущееся противоречие между коммутационным соотношением [ф— ih и тем фактом, что для некоторых состояний Aip • Ар^ = 0, разрешается при внимательном анализе областей определения операторов. В диссертации этот вопрос изучается в самой общей постановке. Подробно рассмотрен случай сферы, для которой предложена новая система координат с одной особой точкой и самосопряженными импульсами. Обсуждается использование как координат с ограниченными значениями, так и координат в стереографической проекции, стремящихся к бесконечности при приближении к "северному полюсу" сферы.

В Главе 4 проанализированы некоторые тонкости теории релятивистских точечных частиц, бозонных струн и бран. Параграф 4.1 посвящен изложению теории точечных частиц. В параграфе 4.2 выписаны связи и построены операторы эволюции для струн и бран в виде формальных континуальных интегралов. В параграфе 4.3 обнаружено, что действие Намбу-Гото браны любой размерности может быть представлено как непрерывный предел суммы действий точечных релятивистских частиц, в которых фигурирует только перпендикулярная к поверхности браны составляющая скорости. Ключевым моментом является пропорциональность канонического импульса браны перпендикулярной составляющей скорости. Примечательный, хотя и не слишком удивительный факт!

Глава 2

Квантование систем со связями второго рода

В данной главе рассматривается проблема квантового движения в искривленных пространствах, важная для многих физических задач [37, 38, 43]. Хорошо известно, что в случае Евклидовых пространств нерелятивистские квантовые частицы описываются Гамильтонианом Н = —уД. В 1928 году Подольский [47] предложил в случае движения в произвольных Римановых пространствах использовать Гамильтониан Н = —y^-lb, где Alb — оператор Лапласа-Бельтрами. Этот постулат является прямым и геометрически ясным обобщением динамики в Евклидовых пространствах.

Проблема возникает при попытке получить эту теорию посредством процедуры канонического квантования. Для любой данной классической теории существует бесконечно много квантовых теорий с подходящим h —у 0 пределом. Квантование неоднозначно [48]. В случае квантовой механики в Ж3 рецепт Дирака приводит к экспериментально наблюдаемым результатам, будучи примененным в Декартовых координатах. В искривленных пространствах понятия Декартовых координат не существует. Обойти эту проблему можно, погрузив рассматриваемое пространство в Евклидово и проквантовав теорию как систему со связями второго рода с помощью скобок Дирака [1] или методом абелевой конверсии [13, 14]. Другая возможность в рамках такого подхода — квантование методом тонкого слоя [15, 16]. Вышеуказанные рецепты приводят к различным результатам, зависящим также и от способа погружения в Евклидово пространство. Рассмотрев все перечисленные методы квантования, мы показываем, что метод Дирака определен неоднозначно и предлагаем геометрически естественный способ доопределения, а также убеждаемся в эквивалентности метода тонкого слоя недавно опубликованному [17,18] методу редукции для поверхностей коразмерности 1. Кроме того, предложена новая модификация метода Дирака, которая для любой поверхности коразмерности 1 приводит к теории Подольского, и, следовательно, не зависит от выбранного изометрического вложения.

В заключение кратко сформулируем основные результаты и выводы. В диссертации:

1) получена явная операторная реализация квантования по Дираку свободного движения на сфере;

2) предложена модификация квантования систем со связями второго рода по Дираку, имеющая дело с несамосопряженными операторами импульса и приводящая к нулевому квантовому потенциалу;

3) показана неоднозначность метода квантования систем со связями второго рода по Дираку;

4) предложено геометрически естественное доопределение метода квантования систем со связями второго рода по Дираку и получена его явная операторная реализация в случае свободного движения по произвольной поверхности коразмерности 1;

5) получено обобщение метода редукции на поверхности любых размерностей и коразмерностей;

6) в случае коразмерности 1 показана эквивалентность метода редукции и метода тонкого слоя;

7) изучены соотношения неопределенностей координата-импульс в искривленных пространствах и показана их инвариантность относительно гладких деформаций пространства вместе с системой координат;

8) предложена новая система координат на сфере с самосопряженными импульсами, удобная для изучения вопроса о соотношениях неопределенностей;

9) получено формальное выражение для оператора развития бозон-ных струн и бран в виде континуального интеграла;

10) показано, что бозонные струны и браны любой размерности могут быть представлены в виде непрерывного предела упорядоченного набора релятивистских частиц, в лагранжианах которых оставлены только поперечные составляющие скоростей.

Содержание диссертации основано на работах [20, 21, 30, 34, 35].

1. Dirac P.A.M. Proc. Roy. Soc. bond. A246, 326 (1958).

2. Гитман Д.М., Тютин И.В. Каноническое квантование полей со связями. М.: Наука, 1986.

3. Прохоров JI.B., Шабанов С.В. Гамильтонова механика калибровочных систем. СПб.: Издат. СПб университета, 1997.

4. Yang C.N., Mills R.L. Phys. Rev. 96, 191 (1954).

5. Славнов А.А., Фаддеев JI.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. М.: Наука, 1978.

6. Dirac Р.А.М. Proc. Roy. Soc. Lond. А246, 333 (1958).

7. Барбашов Б.М., Нестеренко В.В. Модель релятивистской струны в физике адронов. М.: Энергоатомиздат, 1987.

8. Грин М., Шварц Дж., Виттен Е. Теория суперструн, пер. с англ., в 2-х томах. М.: Мир, 1990.10 И1213 14 [15 [16 [1718 19

9. Collins Р.А, Tucker R.W. Nucl Phys. В 112, 150 (1976). Encinosa M. препринт, quant-ph/0508104.

10. Grundling H., Hurst C.A. J. Math. Phys. 39, 3091 (1998); препринт hep-th/9712052.

11. Дирак П.A.M. Лекции по квантовой механике, пер. с англ. М.: Мир, 1968.

12. Faddeev L.D., Shatashvili S.L. Phys. Lett. В 167, 255 (1986).

13. Batalin I.A., Fradkin E.S. Nucl Phys. В 279, 514 (1987).

14. Jensen H., Koppe H. Ann. Phys. 63, 586 (1971).da Costa R.C.T. Phys. Rev. A 23, 1982 (1981).

15. Prokhorov L.V. в Proc. of VI int. conf. on Path Integrals (1998, Florence), p. 249. London, World Scientific, 1999.

16. Nuramatov A.G., Prokhorov L.V. препринт quant-ph/0507038.

17. Klauder J.R., Shabanov S.V. Nucl. Phys. В 511, 713 (1998); препринт hep-th/9702102.

18. Golovnev A.V. Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 3 i.4 (2006); препринт quant-ph/0508044.

19. Golovnev A.V. J. Math. Phys. 47 i.7 (2006); препринт quant-ph/0508111.22. da Costa R.C.T. Phys. Rev. A 25, 2893 (1982).

20. Trifonov D.A. J. Phys. A 36, 11873 (2003); препринт, quant-ph/0307137.

21. Kowalski K., Rembielinski J. J. Phys. A 35, 1405 (2002); препринт quant-ph/0202070.

22. Chisolm E.D. Am. J. Phys. 69, 368 (2001); препринт quant-ph/0011115.

23. Холево A.C. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. Москва&Ижевск, 2003.

24. Trifonov D.А. препринт quant-ph/0404087.

25. Kowalski К., Rembielinski J. J. Math. Phys. 42, 4138 (2001); препринт quant-ph/0011070.

26. Bonneau G., Faraut J., Valent G. Am. J. Phys. 69 (3), 322 (2001); препринт quant-ph/0103153.

27. Golovnev A.V., Prokhorov L.V. J. Phys. A 37, 2765 (2004); препринт quant-ph/0306080.

28. Nambu Y. Lectures at the Copenhagen Summer Symposium (1970).

29. Goto Т. Prog. Theor. Phys. 46, 1560 (1971).

30. Нураматов А.Г., Прохоров JI.В. Вестник СПб университета, сер. 4, вып. 3 (18), с. 86 (1991).34J Головиев А.В., Прохоров Л.В. Вестник СПб университета, сер. 4, вып. 2 (12), с. 86 (2003).

31. Golovnev A.V., Prokhorov L.V. Int. J. Theor. Phys. 45 (2006), DOI: 10.1007/sl0773-006-9087-2; препринт hep-th/0504227.

32. Machin W. препринт hep-th/0311126 (Phd thesis, University of London).

33. Krivoruchenko M.I., Faessler A., Raduta A.A., Fuchs С. препринт hep-th/0506178.

34. Christiansen P.L., Gaididei Y.B., Mingaleev S.F. J. Phys.: Cond. Matter 13, 1181 (2001); препринт cond-mat/0003146.

35. Encinosa M., Mott L., Etemadi B. Phys. Scr. 72, 13 (2005); препринт quant-ph/0409141.

36. Gravesen J., Willatzen M., Lew Yan Voon L.C. J. Math. Phys. 46, 012107 (2005).

37. Encinosa M. препринт quant-ph/0510103.4349

38. Bustamante M.D., Debbasch F., Brachet M.E. препринт gr-qc/0509090.

39. Feng Y. Electronic J. Theor. Phys. 1, i.4, 29 (2004); препринт, quant-ph/0505215.

40. Chagas-Filho W.F. препринт hep-th/0309219. Chagas-Filho W. препринт hep-th/0505183. Podolsky B. Phys. Rev. 32, 812 (1928).

41. Twareque Ali S., Englis M. Rev. Mod. Phys. 17, 391 (2005); препринт math-ph/0405065.

42. Голдстейн Г. Классическая механика, пер. с англ. М.:ГИТТЛ, 1957.

43. Grundling Н., Hurst С.А. Lett. Math. Phys. 15, 205 (1988).

44. Рейман А.Г., Семенов-Тян-Шанский М.А. Интегрируемые системы. Москва&Ижевск, 2003.

45. Bratchikov A.V. Lett. Math. Phys. 61, 107 (2002); препринт hep-th/0204019.

46. Bratchikov A.V. J. Geom. Phys., в печати; препринт hep-th/0312240.

47. Kleinert H., Shabanov S.V. Phys. Lett. A 232, 327 (1997); препринт quant-ph /9702006.

48. Maskawa Т., Nakajima H. Prog. Theor. Phys. 56, 1295 (1976).

49. Болсинов A.B., Фоменко A.T. Интегрируемые гамильтоновы системы, т.1. Ижевск, 1999.

50. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М.: МГУ, 1980.

51. Schuster Р.С., Jaffe R.L. Ann. Phys. 307, 132 (2003); препринт hep-th/0302216.

52. Менский М.Б. УФЕ 170, 631 (2000).

53. Prokhorov L.V. препринт quant-ph/0406079.

54. Markopoulou F., Smolin L. Phys. Rev. D 70, 124029 (2004); препринт gr-qc/0311059.62. 't Hooft G. препринт quant-ph/0212095.63. 't Hooft G. Class. Quant. Grav. 16, 3263 (1999); препринт gr-qc/9903084.

55. Uffink J.B.M., Hilgevoord J. Found. Phys. 15, 927 (1985).

56. Суханов А.Д. ЭЧАЯ32, 1177 (2001).66J Воронцов Ю.И. УФЕ 172, 907 (2002).

57. Ozawa М. J. Opt. В 7, S672 (2005); препринт quant-ph/0510083.

58. Schroedinger Е. Sitzungber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 296 (1930).

59. Люстерпик Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.

60. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли, пер. с англ. М.: Мир, 1987.

61. Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. Введение в топологию. М.: Физматлит, 1995.

62. Нага О. Prog. Theor. Phys. 46, 1549 (1971).

63. Gavrilov S.P., Gitman D.M. Int. J. Mod. Phys. A 15, 4499 (2000); препринт hep-th/0003112.

64. Физиев П.П. ТМФ 62, 186 (1985).

65. Как у M. Введение в теорию суперструн, пер. с англ. М.: Мир, 1999.