Геометрические и топологические аспекты интерполяционных пространств К-метода Петре тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Седаев, Александр Андреевич
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Воронеж
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2010
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
СЕДАЕВ АЛЕКСАНДР АНДРЕЕВИЧ
0046УУ375
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПРОСТРАНСТВ К-МЕТОДА
ПЕТРЕ
Специальность 01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ
Автореферат
диссертации на соискаиие ученой степени доктора физико-математических наук
з О СЕН 2010
Воронеж 2010
004609375
Работа выполнена в Воронежском государственном архитектурно-строительном университете.
Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН,
доктор физико-математических наук, профессор Степанов Владимир Дмитриевич;
доктор физико-математических наук, профессор Александров Алексей Борисович;
доктор физико-математических наук, профессор Овчинников Владимир Иванович.
Ведущая организация: Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН.
Защита состоится 12 октября 2010 г. в 15 часов 10 минут на заседании совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл. 1, ауд. 314.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.
Автореферат разослан 2- . 0$ ч 2010 года.
Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ-мат наук, профессор
Гликлих Ю.Е.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Диссертация посвящена рассмотрению геометрических и топологических свойств пространств, норма которых монотонна относительно частичного порядка, порожденного ЛГ-функционалом Я. Петре. Такие пространства являются интерполяционными для некоторой пары (Eo,Ei) банаховых пространств. Актуальность работы.
Часть I. Свойства Кадеца-Кли и локальной равномерной выпуклости. Свойства Кадеца-Кли (КК) и локальной равномерной выпуклости (LUR) относятся к многочисленному семейству геометрических свойств нормированных пространств, характеризующих округлость и гладкость его единичной сферы. На протяжении своей почти вековой истории они и близкие к ним свойства неизменно привлекают к себе внимание многих исследователей. Так, в серии работ конца 50-х и середины 60-х гг. 20 века М. И. Кадец доказал ряд классических теорем об эквивалентных перенормировках сепарабельных банаховых пространств, порождающих свойства {К К) и (LUR). С помощью этих результатов ему удалось положительно решить проблему С. Банаха о гомеоморфизме всех сепарабельных банаховых пространств и получить изящное доказательство существования среднего значения абстрактных почти периодических функций.
В этапной работе W.J. Davis, N. Ghoussoub, J. Lindenstrauss, A lattice renorming theorem and applications to vector-valued processes, Trans. Amer. Math. Soc. 263 (1981) для банаховой решетки с абсолютно непрерывной нормой была построена эквивалентная решеточная норма, обладающая свойством {LUЯ). Там же было дано применение этого результата. В работах автора [1,16,9,10] было показано, что предыдущие результаты и сама теорема Кадеца являются следствием более общего подхода, основанного на применении интерполяционного /{"-метода Я. Петре. В работах Д. ван Дулста и В. Симса, а затем Н. Каротеса, С. Дилворта, С. Леннарда, Д. Траутмана и других авторов было показано, что банаховы пространства, обладающие в некоторой топологии более сильным — равномерным свойством {КК), обладают и важным для приложений свойством неподвижной точки (FP).
Говоря об актуальности первой части диссертации, нельзя не отметить особый вклад, внесенный в эту область польскими математиками X. Худ-зиком, А. Каминской и их соавторами. Ими получен широкий спектр первоклассных результатов о свойствах типа {UR), (LUR), {КК), а также
о других, связанных с ними свойствах (например, о свойствах строгой и равномерно строгой монотонности) в банаховых решетках, в пространствах Орлича, Муселака-Орлича, Лоренца и Кальдерона-Лозановского. Отметим, наконец, важное для приложений современного функционального анализа направление, представляемое П. Доддсом, Ф. Сукочевым и В. Чилиным. Ими и их учениками получен целый ряд теорем о свойствах типа Кадеца-Кли и локальной равномерной выпуклости в некоммутативных (операторных) симметричных пространствах. В соавторстве с этими математиками были опубликованы результаты автора, относящиеся к проблеме интерполяции свойств {КК), (LUR) и критериям слабой компактности в симметричных пространствах измеримых функций [1,2,9,10,17].
Часть II. Обобщенные пределы и сингулярные симметричные функционалы. Предмет исследования второй части диссертации возник из задач и гипотез, сформулированных А. Конном в его книге "Non-commutative geometry", Academic Press, San Diego, 1994, и из основополагающей работы P. Dodds, В. de Pagter, E. Semenov, F. Sukochev, Symmetric Junctionals and singular traces, Positivity 2 (1998), no. 1, в которой показано, как решение некоторых некоммутативных задач из теории А. Конна сводится к решению их коммутативных аналогов. Напомним, что одной из отправных точек теории А. Конна, развитой им в конце 80-х и начале 90-х, явилось применение ненулевого следа, построенного в 1966 году Ж. Диксмье на идеале компактных операторов в гильбертовом пространстве, носящем имя Мацаева-Диксмье. Этот след равен нулю на идеале ядерных операторов, что кардинально отличает его от обычного операторного следа и, тем самым, обусловливает его сингулярность. В своих основополагающих работах А. Конну удалось обосновать применение следа Диксмье к ряду задач математической физики — теории гравитации, классической теории поля и физике элементарных частиц. Все это обусловило огромный интерес многих выдающихся современных математиков к этой новой и бурно развивающейся теории, в чем легко убедиться, пролистав библиографию к обзору А. Кери и Ф. Сукочева "Следы Диксмье и некоторые приложения к некоммутативной геомет-рии"в журнале УМН (2006), т. 61, в. 6(372). В основе этого обзора лежит материал статьи А. Кери, Дж. Филипса и Ф. Сукочева "Spectral flow and Dixmier traces", Adv. Math., 173:1 (2003), а также некоторые результаты, полученные автором в совместных статьях [8,11,13]. В недавних работах [14,15] автору удалось существенно продвинуться вперед в ряде направлений, обсуждаемых в обзоре, что во многом изменило их понимание и
открыло новые пути для дальнейших исследований. Цель работы. Целью диссертации является разработка метода интерполяции свойств типа Кадеца-Кли и локальной равномерной выпуклости в рамках интерполяционного Л'-меода Я. Петре. Доказательство теорем об эквивалентных перенормировках, порождающих свойства (КК) и (ШВ.) в интерполяционных пространствах К-метода без нарушения их интерполяционности. Получение критериев существования свойств типа Кадеца-Кли в пространствах Лоренца, Орлича и общих симметричных пространствах на отрезке или полуоси. Получение и применение критериев компактности в слабой топологии, порожденной некоторым множеством функционалов из сопряженного пространства. Разработка и исследование методов построения сингулярных симметричных функционалов — ССФ как на пространствах Марцинкевича, так и на других симметричных пространствах. Исследование свойств таких функционалов и свойств обобщенных пределов, их порождающих. Решение задачи описания измеримых (по А. Конну) элементов симметричного пространства для различных классов ССФ. Доказательство альтернативных формул задания ССФ.
Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем списке.
1. Разработан метод интерполяции свойств Кадеца-Кли (КК) и локальной равномерной выпуклости (ИЖ). Выделены свойства банаховой пары и интерполяционного функционала (параметра К-метода), отвечающие за наличие свойств Кадеца-Кли и локальной равномерной выпуклости соответствующего интерполяционного пространства.
2. Для важнейших классов симметричных пространств измеримых функций получены критерии существования свойств Кадеца-Кли относительно различных топологий.
3. Доказаны теоремы об эквивалентных перенормировках, порождающих свойства {КК) и {Ы1Щ без нарушения свойства интерполяционности пространства.
4. Для пространств Лоренца Л (<р) получен критерий компактности в слабой топологии, обобщающий критерий Данфорда-Петтиса для пространства Ь\.
5. Доказана теорема о совпадении классов сингулярных симметричных функционалов и сингулярных следов Диксмье на пространствах Марцинкевича. Положительно решен вопрос существования сингулярных сим-
метричиых функционалов на пространствах, отличных от пространств Марцинкевича.
6. Установлена и исследована связь между измеримыми по А. Конну и стабильными элементами пространства Марцинкевича.
7. Доказан аналог теоремы Л. Сачестона для обобщенных пределов на пространствах ограниченных функций. Решена проблема Аппеля-де Па-скале-Забрейко об аппроксимации пределов Банаха элементами пространства (¡1. Доказаны теоремы о существовании банаховых пределов, обладающих дополнительными свойствами инвариантности.
8. Введено понятие Б-стабил из ирующего подпространства и изучены свойства максимального Б-стабилизирующего подпространства.
9. В терминах обобщенных пределов, обладающих свойством чезаровско-го предела, описаны классы сингулярных симметричных функционалов, обладающие нормирующим свойством.
10. Доказаны новые неулучшаемые теоремы об альтернативных формулах вычисления сингулярных симметричных функционалов. Методы исследования. В работе использованы результаты теории топологических векторных пространств, теории интерполяции линейных операторов, теории банаховых идеальных и симметричных пространств измеримых функций, теоремы тауберова типа.
Теоретическая и практическая ценность. Предлагаемая работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем исследовании и применении свойств округлости и гладкости единичной сферы банахова пространства, при исследовании и применении сингулярных симметричных функционалов (следов) как в коммутативной, так и в некоммутативной постановке, а также при исследовании свойств интерполяционных, в частности, симметричных пространств и действующих в них операторов и функционалов. Доказанные в диссертации теоремы могут быть включены в спецкурсы, читаемые студентам и аспирантам.
Апробация. Результаты диссертации докладывались на семинаре проф. П. Доддса во Флиндерском университете г. Аделаида, Австралия в 1999 году. В Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейна в .2008 году. На международной конференции, посвященных 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева, г. Новосибирск, Институт математики СО РАН в 2008 году и на международной конференции, посвященной 70-летию Ректора МГУ, проф. В.А. Садовничего, г. Москва, МГУ, 2009 год. В 2010 году результаты диссертации докладывались на научных семинарах про-
фессоров А.Г. Баскакова и И.Я. Новикова в Воронежском госуниверситете; в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А. Стеклова РАН, на семинаре профессоров C.B. Кислякова и В.П. Ха-вина.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 21 статьях. Список этих работ приведен в автореферате. Из этих работ статьи 1-15 опубликованы в журналах из списка ВАК. Из совместных работ [1-5,8-11,13,17] в диссертацию включены только результаты автора. Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 270 страницах и состоит из введения и двух частей, разбитых на 13 глав. Список литературы содержит 96 наименований. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Часть 1. Свойства Кадеца-Кли и локальной равномерной выпуклости.
Глава 1 посвящена решению проблемы "интерполяции"свойств Кадеца-Кли и локальной равномерной выпуклости. Она состоит из 5 разделов. В первом разделе приводятся определения ряда свойств, в терминах которых будет дано решение поставленной проблемы. Банахово пространство (Е, || • ||) называется локально равномерно выпуклым (обладающим свойством (LUR)), если для хп,х 6 Е,п = 1,2,..., из ||хп|| -+ ЦжЦ и ||х„ + х|| —» 2||з:|| следует, что хп —>е х (по норме)..
Пусть т — отделимая топология линейного пространства Е, более слабая, чем топология сходимости по норме || • Цд. Обозначим через хп —>т х сходимость последовательности С Е к х 6 Е в топологии т. Нормированное пространство Е обладает свойством Кадеца-Кли на Le Е относительно топологии г (коротко Е £ (KKr)\L), если для любых х,хп е L из хп —»т х и ||хп||ё IWU следует, что хп —>е х. Если т есть слабая топология а(Е,Е*), то свойство (КК)Т\Е принято обозначать просто (КК).
Нормированное пространство Е обладает свойством (Ст) полунепрерывности (снизу) нормы Е на L С Е относительно топологии т (коротко Е G (Cr)\L), если для любых х,хп € L из хп —+т х следует, что IMI.E < liminf ||а;п||£. Заметим, что (CT)\L означает замкнутость в L единичного шара Е относительно секвенциальной сходимости в топологии т.
Пусть F — банахова решетка. Говорят, что F обладает свойством (А) абсолютной непрерывности нормы (относительно порядка), если Vx„ е
Р, хп | 0 влечет —1• 0; свойством (С) — порядковой полунепре-
рывное™ нормы Р, если из хп —> х по порядку следует, что ||ж||/- < ИтМ Ц^пЦ^ и свойством (ЬивМ) — локальной строгой монотонности нормы, если для всех 0 < хп < х € Р из условия ||хп||г —> ¡|1||/7 следует, что ||а:п - 0.
Связь перечисленных выше свойств со свойствами Кадеца-Кли и (ЬиЯ) отражена в следующей теореме, суммирующей основные результаты первого раздела главы 1.
Теорема А ¡) Если нормированное пространство Е е (ККТ)\Ь, то Ее(Ст)\Ь.
ц) Если нормированное пространство Е 6 (ШЯ)\Ь и £ € (СТ)\Ь, то Е <? {ККТ)\Ь.
ш) Пусть Р — банахова решетка, тогда:
а) если F € (ШЯ), то Р обладает свойствами (А), (С) и (Ш5'М);
б) если Г € (ККт), где т — топология слабой или »-слабой сходимости, то Р обладает свойствами (А) и (С).
¡у) Пусть Р есть банахово идеальное пространство на (Т, Е, ц), тогда
в), если Р е {ШЯ), то кроме свойств из а) Р обладает (С,,), (С1!,,) и (ККгде ц (1ц) — топология сходимости по мере (локально по мере).
В разделе 2 главы 1 исследуются свойства банаховой пары Е = (Ео, Е{], которые отвечают за наличие свойств (ЫШ) и (КК) в интерполяционных пространствах этой пары, полученных с помощью /Г-метода Я. Петре. Положим || • — || • Ць;, г = 0,1, и пусть 5(Е) и /(Е) означают сумму Ео + и пересечение Е0Г\ Е1, снабженные обычными нормами. Тогда /^-функционал К(Ь,х) = К(1, х\ Е) Я. Петре для х € 5'(Е) и < > 0 определяется формулой:
К(1,х-,Е) = К(1,х-,Ей,Е1) = ш£{||®0||0 + «||®1||1 : х = а;0 + а:1, х1 € £;}.
Обозначим через <3 конус неотрицательных вогнутых неубывающих функций f(t),t > 0, /(0) = 0 вместе с отношением естественного порядка, и пусть конус С}оС1С} состоит из непрерывных в нуле функций. Для каждого х 6 5(Е) функция К(-,х) принадлежит <2, и для каждого £ > 0 функционал /<Т(£, •) является нормой на 5(Е), эквивалентной исходной. Если при каждом Ь > 0 ¡п£ в формуле К(Ь, х) достигается на некоторых € х = Хо + XI, то пара Е называется точной.
Далее через т будем обозначать отделимую линейную топологию на 5(Е), более слабую, чем топология, порожденная нормой.
Пусть Е — линейное подпространство 5(E) и пусть 0 ф Т С (0, оо). Говорят, что банахова пара Е имеет свойство (Сг) на линейном подпространстве Е (обозначается Е € (СТ\Е)) относительно Т, если для любых хп,х е Е, хп —*т х, справедливо неравенство K(t,x) < UrnnK(t,xn) для всех t е Т.
Говорят, что банахова пара Е имеет свойство DT на подпространстве Е, записывается Е 6 (DT\E), относительно Т, если из условий хп,х е Е, хп ~+т х и K(t,xn) —> K(t,x) для всех t еТ следует, что хп —>s(E) х-Теорема 1.2.1. Пусть Е = (Eq, Е{) — банахова пара, единичные шары пространств Eq, Е\ г-замкнуты и хотя бы один из них г-компактен. Тогда пара Е точная, Е е (СГ|5'(Е)) и справедливы следующие утверждения.
(i) Если Eq, Ei имеют свойство (ККТ), то Е 6 (Д-|5(Е)) относительно любого непустого подмножества Т С (0, оо).
(ii) Если Е0 имеет свойство (ККТ), то Е е (Dr\Eo), относительно любого непустого подмножества Т С (0, оо), имеющего оо в качестве предельной точки.
(iii) Если Ei имеет свойство (ККТ), то Е € (DT\Ei), относительно любого непустого подмножества Т С (0, оо), имеющего 0 в качестве предельной точки, (Здесь Ei есть замыкание Ei в норме 5(E)). Определение 1.2.3. Пусть Е — линейное подпространство 5(E) и 0 ф Т С (0, оо). Говорят, что банахова пара Е имеет свойство (DGL) на подпространстве Е, обозначается Е £ (DGL\E), относительно Т, если из условий х, хп 6 Е,п = 1,2,..., K(t, хп) —Ы K(t, х), K(t,x + хп) —>„ 2K{t,x) для всех t е Т, следует, что хп —» х в 5(E).
Если (П, Р) — вероятностное пространство, то в упомянутой выше работе В. Дэвиса, Н. Госсоба и Й. Линденштраусса, предложение 1.1, неявно было доказано, что банахова пара (Li(Q, Р), Ь^П, Р)) обладает свойством (DGL\Li(Q, Р)) относительно (0,1), что и послужило причиной такого названия введенного выше свойства.
Теорема 1.2.2. Если банахова пара Е = {Eq, Е\) является точной, то справедливы следующие утверждения.
(i) Если Eq,Ei локально равномерно выпуклые, то Е € (DGL\S(E)) относительно (0,оо),
(ii) Если Eq локально равномерно выпукло, то Е € (DGL\Eq) относительно любого множества вида (а, оо), где а > 0.
(iii) Если Ei локально равномерно выпукло, то Е € (DGL\Ei) относительно любого множества вида (0,а), где а > 0.
Предыдущая теорема показывает, что если одно или оба пространства банаховой пары обладают свойством (Ы7Я), то сама банахова пара автоматически обладает определенным свойством (ИСЬ). Однако, существуют точные банаховы пары, обладающие свойством {1)СЬ), и, в то же время, ни одно из пространств пары не имеет свойства (Ы111). Например, ни одно из пространств Ео = ЬЦО, 1), Е\ = А^О, 1) не является локально равномерно выпуклым, но, как было сказано выше, эта точная пара имеет свойство (ОСЬ) на /?о относительно (0,1). Ниже будет показано, что пары пространств Лоренца также обладают этим свойством. Свойство (ОСЬ) банаховой пары Б является ключевым в вопросе построения эквивалентных локально равномерно выпуклых норм. Так, следующее предложение обобщает результат В. Дэвиса, Н. Госсоба и Й. Линденштраусса, полученный ими для лебеговой пары Ь[0,1].
Предложение 1.2.4. Пусть Ь С £(Е) — линейное подпространство, 0 Ф Т С (0, оо) и Е € (ОСЦЬ) относительно Т. Тогда на Ь существует локально равномерно выпуклая норма, эквивалентная норме суммы 5(Е).
Пусть С — пространство непрерывных на [0,1] функций, а И^1 С С пространство Соболева. Тогда, рассмотрев пару (С, И^1), получаем Следствие 1.2.1. (Теорема Кадеца) Каждое сепарабельное банахово пространство допускает эквивалентную локально равномерно выпуклую норму.
В разделе 3 главы 1 мы развиваем общий метод интерполяции свойств локальной равномерной выпуклости и Кадеца-Кли. Пусть (¿о, <? — конусы вогнутых функций, определенные выше, и пусть О. означает один из них или более широкий конус функций, заданных на [0, оо), и снабженный естественным частичным порядком.
Пусть Ф.: <2 —► [0, +оо] — функционал такой, что (а) Ф полуаддитивен и положительно однороден на 2; (Ь) Ф является монотонным на <2, то есть Ф(д) < Ф(/) для любых д, / € О. таких, что дЦ) < /(£) при всех 4 > 0; (с) Ф нетривиален: 0 < Ф(Д) < оо, где Д(<) = тт(1, ¡),(>0.
Каждый такой функционал Ф будет называться К- интерполяционным функционалом на О,. Обычно Ф есть норма идеального пространства, определенного на функциях из <5. Пусть Е = (Ео, Е\) — банахова пара. Положим
ЕФ = {х е 5(Е) : Ф(К(-,х)) < оо}. Снабженное нормой ||:с||ф = Ф(К(-,х)), х € Еф, пространство Еф
является интерполяционным пространством пары Е с интерполяционной константой 1. Напомним, что нормированное пространство Е, 1(E) с Е С 5(E), называется интерполяционным пространством пары Е с интерполяционной константой С, если каждый оператор А : 5(E) 5(E), сужение которого на Et непрерывно переводит Et в себя, г = 0,1, действует ограниченно в Е и |И||£_£; < Стах(||Л||£0_£0, ЦЛЦ^-»^). /•¡Г-интерполяционный функционал Ф называется
(a) порядковонепрерывным на Q, обозначается Ф € (А), если
/, in е Q, fn(t) - 0, для всех t > О, Ф(/) < со Ф(пнп(/, /„)) 0;
(b) полунепрерывным снизу на Q, обозначается Ф 6 (С), если
U,f е QJn(t) -* f(t) для всех t > 0, Ф(/) < оо ==► Ф(/) < ИшпФ(/п);
(c) строго монотонным на непустом множестве Т С Е+, обозначается Ф е (SM\T), если
f,9 eQ, J <g и fyig на Т, Ф(д) < оо Ф(/) < Ф(<?).
Говорят, что функционал Ф имеет свойство (Но) на Q, обозначается Ф 6 (Йо), тогда и только тогда, когда
in, f€Q, fn{t) - f{t), для всех t > 0, Ф(/) < оо,
Ф(/п) ^П Ф(Л Ф(|/„ - /Г) -» 0,
где hл обозначает наименьшую вогнутую мажоранту h.
Если область определения функционала Ф содержит все функции вида I/—д\, где f,g € Q, то говорят, что Ф имеет свойство (Hi), обозначается Ф € (Hi), тогда и только тогда, когда
/п, / € Q, fn(t) - /(t), для всех t > 0, Ф(/) < оо,
Ф(/„) -»*(/) =>Ф(|/»-/|)-» 0.
Теорема 1.3.1. Пусть Е = (Eo,Ei) — банахова пара, т — отделимая векторная топология на 5(E), более слабая чем нормированная топология, и пусть Ф — /^-интерполяционный функционал на конусе Q 2 Q. Если 0 Г С (0, оо) и
(i) Е € (Dr|E$) относительно Т, Е е (Ст|Еф) относительно (0, оо);
(ii) Ф С (Л), (С) и (SM\T);
(iii) Ф € (tfo) ИЛИ Ф € (Hi),.
то Еф обладает свойством Кадеца-Кли относительно т. Следствие 1.3.1. Пусть Ф — К-интерполяционный функционал на конусе <2 2 Qi обладающий свойствами (i),(ii),(iii) из теоремы 1.3.1. Допустим, что единичные шары Eq, Е\ секвенциально r-замкнуты в 5(E) и хотя бы один из них секвенциально т-компактсн. Если оба пространства Eq, Ei имеют свойства Кадеца-Кли относительно г, то то же верно для интерполяционного пространства (Е$, || • ||ф).
Перейдем теперь к рассмотрению свойства (LUR) локальной равномерной выпуклости. Говорят, что Л'-интерполяционный функционал Ф на конусе Я обладает свойством (LURo) относительно непустого множества Т С (0, оо), обозначается Ф € (LURq\T), если для любых f„, / € Q из условий
Ф(/»)-»Ф(/),' Щ/п + /)-„ 2Ф(/)<оо ;
следует, что Ф((/п — f[A) —*n 0, и U(t) -> f(t) для всех t 6 Т. Если область определения функционала Ф содержит все функции вида 1/ ~ где f,g € Q, то говорят, что Ф имеет (LURi) относительно непустого множества Т С {0, оо), обозначается Ф € (LURi\T), тогда и только тогда, когда /„, / € Q из условий
Ф(/п) -» ф(/), Hin + /) -„ 2Ф(Л < оо,
следует, Что Ф(|/„ - /I) ~*п 0, и /„(£) -> f(t) для всех t е Т. Теорема 1.3.2. Пусть Ф — ^-интерполяционный функционал на конусе Q 2 Q, и Е = (Ео, Ei) — банахова пара. Тогда, если 0 Ф Т С (0, оо) и
(i) Ee(DGL|E$) относительно Т,
(ii) Ф € (Л) и Ф 6 (SM\T),
(iii) Ф 6 \LURo\T) или Ф е (LURi\T), то Е<р локально равномерно выпукло.
В разделе 4 главы 1 рассмотрены два основных способа определения ЙГ-интерполяционных функционалов, встречающиеся в приложениях, и уточнены формулировки основных теорем об интерполяции свойств (КК) и (LUR), доказанные в предыдущем разделе.
I. Пусть сначала F = (F, || • — банахово идеальное пространство на пространстве с мерой (Г, ц) и р — строго положительный вес на Т. Здесь Т С ®+ представляет собой либо интервал (0, а), 0 < а < оо,
а ц — мера Лебега т, либо Т — счетное множество {¿п}пек С и = 1, п = 1,2,....
Возьмем в качестве <2 конус, порожденный всеми функциями вида /г = |/ — д|, где 6 <2 и определим на 2 функционал полагая
где Хо ~ характеристическая функция множества £>. Пусть Д = тш(ь, 1) и Е — произвольная банахова пара. Если 0 < IIД Р ХТ11^ < оо, то есть А'-интерполяционный функционал на 2, порождающий /^-интерполяционное пространство Е^г, состоящее из всех х £ 5(Е), для которых |М|Ф := Фр,р(К(-,х)) < оо. Известно, что в этом случая Е— банахово пространство. В частности, таковыми являются важные интерполяционные пространства Е0 < 0<1,1<р<оо, состоящие из х е £>(Е), для которых конечен функционал
II. Рассмотрим второй метод построения интерполяционных функционалов Ф. Пусть С — симметричное пространство измеримых функций (С.Г. Крейн, Ю.И. Петунин, Е.М. Семенов "Интерполяция линейных операторов". М.: Наука. 1978) на интервале I = [0, а), а < оо, снабженном обычной мерой Лебега. По определению, таковым является идеальное, нормированное пространство С? вещественных, измеримых на I функций, норма которого на всех равноизмеримых функциях одинакова. Пространство (7 называется вполне симметричным, если для него выполнено следующее свойство мажорантности Харди-Литтлвуда: для любых х, у из условия
которое коротко обозначается х -< у, следует, что ||а:|| < ||у||. Как обычно, х* — невозрастающая перестановка функции |х|. Вполне симметричное пространство 1-интерполяционно для пары (¿1(/),Ь00(7)). Если из х -< у, у Ф х всегда следует, что ||а:||с < 1Ы1с, то С называется строго К-монотонным.
Пусть С? — вполне симметричное пространство на [0,а), 0 < а < оо. Определим функционал Фа равенством Фс(/) = ||/'||с, для всех / 6 о.
фpAf) = II/ Р xrllf, / е Q,
Здесь Т = [О, оо), F = L"([0,oo)) и p(t) = i_9_1/p длЯ всех t > 0.
(1.1)
Легко видеть, что Фс есть /('-интерполяционный функционал. Стоит отметить, что любой К-интерполяционный функционал Ф на конусе Qo совпадает с Фg для некоторого вполне симметричного простран-cviea G на R+. Действительно, в качестве G надо взять пространство G = где L = (Li, Lx) на [0, оо).
В дальнейшем, ради краткости, будем обозначать пространство Ефс через Eg, а его норму через || • ||ес-Теорема 1.4.1.
(i) Пусть (F, II • ||/г) — банахово идеальное пространство на измеримом пространстве (Т, ц), и пусть р — строго положительный вес на Т.
(a) Если F имеет порядково непрерывную норму, то Фpif £ (А).
(b) Если норма F порядково полунепрерывна, то Фр<г € (С).
(c) Если норма F строго монотонна, то Фр,р £ (SM\T).
(d) Если F имеет свойство Кадеца-Кли для локальной сходимости по мере, то ФPyF £ (#1).
(e). Если F локально равномерно выпукло, то ФР:р £ (LUR¡\T).
(ii) Пусть G — волне симметричное банахово функциональное пространство на Г = (0,а), 0 < а < оо с мерой Лебега т.
(a) Если норма G порядково полунепрерывна, то Фв £ {С).
(b) Если норма G строго К-монотонна, то Фс € (SM\T).
(c) Если G имеет свойство Кадеца-Кли относительно локальной сходимости по мере, то Фс € (Но).
(d) Если G локально равномерно выпукло, то Фс £ (LURç>\T).
Если G — симметричное функциональное пространство с порядково непрерывной нормой, то, в отличие от утверждения (i)(a) предыдущей теоремы, отсюда не следует, что Фс £ (А). Однако, имеет место следующая Теорема 1.4.2 Пусть G вполне симметричное банахово функциональное пространство на [0,а), 0 < а < оо, с порядково непрерывной нормой.
(i) Если а < оо, то Фс е (Л).
(ii) Если а = оо и G £ £i[0, оо), то Фс € (А).
Эти результаты позволяют легко переформулировать доказанные в предыдущем разделе теоремы для случая пространств вида Ep,f и Ее- Для примера приведем здесь три коротких утверждения. Теорема 1.4.5. Пусть (F, || ■ ||^) — банахово идеальное пространство
на (Т, ц) и р — строго положительный вес на Т. Если F — локально равномерно выпукло и Е е (DGL\EP¡F) относительно Т, то пространство Ер р локально равномерно выпукло.
Следствие 1.4.7 Каждое локально равномерно выпуклое пространство Банаха с безусловным базисом изометрически и дополняемо вкладывается в локально равномерно выпуклое пространство с 1-симмет-ричным базисом.
Следствие 1.4.9 Пусть G — вполне симметричное функциональное банахово пространство на [0, оо). Предположим, что G локально равномерно выпукло и что банахова пара Е является точной. Если Е0, Е\ локально равномерно выпуклы и если: (i) G % L\, или (ii) Е\ С E0¡ или (iii) Е € (D00), то Eg локально равномерно выпукло. Здесь (D°°) означает свойство Кадеца-Кли пространства Ео + ооЕу с нормой К(оо, х) относительно сходимости в норме ж). Если Ео = Ео + ooEi, то говорят, что пространство Е0 полно по Е. Гальярдо относительно пары Е = (Е0, E¡).
В разделе 5 главы 1 показано, как применяется развитая теория для конкретных пар банаховых пространств, встречающихся на практике. Такими являются пространство типа С.Л. Соболева и лебеговы пространства с весом. Показано, что для большинства из них ключевые свойства [DGL) и DT легко проверяются. Показано, что для пар (L¿,o, L^J и свойства (DGL) и DT не выполнены, а их интерполяционные пространства Ej, не обладают свойствами (LUR) и КК. Это означает, что введенные нами свойства (DGL).vl Dt, отвечающие за наличие свойств (LUR) и К К, не могут быть ослаблены.
Здесь же формулируется один из главных результатов, доказанных в работе [10]. Пусть Qo - множество всех вогнутых непрерывных неубывающих функций <р на [0,1), I < оо, для которых <р(0) = 0. Для каждого <Р 6 <Зо рассмотрим симметричное пространство Лоренца:
А,, = |х € ¿i + А» : = J^ x*(s)y'(s)ds < оо
Дуальным к пространством является пространство Марцинкевича:
My, = (х е Li + Loo •• 1Ы1м„ = sup / x*(s)ds < оо L o<«¡ <P{t) Jo
Очевидно, что ¡p' € Пространства Alfi и Mv являются интерполяционными для пары (Li, Loa) с интерполяционной константой единица. Теорема 1.5.1. Пусть <po(s) и (¿>i(s) — неубывающие вогнутые функции, чье отношение ipa(s)/vi(s), строго возрастая, принимает все значения от
■
О до оо. Пусть Ьо — множество функций, на (0, оо), стремящихся к нулю на бесконечности. Тогда пространства Л(<^>;), ¿ = 0,1, являются полными по Гальярдо относительно пары пространств Лоренца (Л(<ро), )) на [0,оо), сама эта пара обладает свойством [ОСЬ) на Ь0 относительно множества Т = (0, оо) и свойством ГУ30.
Теорема справедлива также для операторных аналогов — некоммутативных пространств Лоренца. Эта теорема является широким обобщением результатов, полученных В. Дэвисом, Н. Госсобом и Й. Линденштраус-сом, а также В. Чилиным, А. Крыгиным и Ф. Сукочевым. Глава 2 посвящена доказательству теорем об эквивалентных перенормировках интерполяционных пространств, которые порождают свойства (Ы1Я) и (КК) и при этом не нарушают 1-интерполяционность. /^-интерполяционные функционалы Ф, Ф называются эквивалентными, если существуют константы 0 < с\ < сг < оо такие, что с 1Ф(/) < Ф(/) < с2Ф(/) для всех / € <2.
Теорема 2.2.1 Пусть Е — банахова пара, и пусть Ф есть Л"-интерполя-ционный функционал, определенный на СЭ. Если 0 Ф Т С (0,оо) и (1) Е е (Г>С£|Ёф) относительно Т, (11) Ф является порядково непрерывным и порядково полунепрерывным снизу на <2, то существует интерполяционный функционал Ф, эквивалентный Ф и такой, что Е.^ локально равномерно выпукло.
Следует подчеркнуть, что теорема 2.2.1 не дает положительный результат для случая интерполяционного функционала вида Фс, где С — се-парабельное вполне симметричное пространство на [0, оо). Как было отмечено выше, такой функционал, вообще говоря, не является порядково непрерывным. Проблема доказательства существования эквивалентной (ЬЦД)-нормы для сепарабельных Симметричных пространств на полуоси оказалась достаточно трудной. Тем не менее, эта проблема полностью положительно решена. В качестве первого шага в этом направлении мы отметим следующее утверждение.
Предложение 2.2.1. Пусть Е — банахова пара такая, что Е б и Е € (ОСЦЕ0) относительно Т, где 0 ф Т С (0, оо). Если Е0 является полным по Гальярдо относительно Е, то есть Ео — Ео + ссЕ\ (с точностью до эквивалентных норм), то Е0 допускает эквивалентную локально равномерно выпуклую норму.
Отсюда удается вывести следующий окончательный результат и важное следствие.
Теорема 2.2.3. Симметричное банахово пространство (3 на (0, а), а <
оо допускает эквивалентную локально равномерно выпуклую норму в том и только том случае, если это пространство сепарабельно. То есть в том и только том случае, если норма G порядково непрерывна. Отсюда и следствия 1.4.9 вытекает
Следствие 2.2.3. Пусть G — сепарабелыюе симметричное банахово пространство на [0, а), 0 < а < оо и пусть Е — банахова пара, Е € (DGL\Ea) относительно Т = (0, а). Тогда при выполнении одного из следующих условий:
(i) а < оо, или, если а — оо, то G % L\\
(ii) а = оо и Ei С Eq\
(iii) а = оо и Е 6 (£>°°);
интерполяционное пространство Ес имеет эквивалентную локально равномерно выпуклую норму.
Глава 3 посвящена критерию слабой компактности в пространствах Лоренца. М. Кадец заметил, что теоремы о наличии свойства Кадеца-Кли обычно оказываются связаны с некоторым признаком компактности. Поэтому в диссертацию включен критерий слабой компактности в пространствах Лоренца [17], обобщающий критерий слабой компактности Данфорда-Петтиса для Li. Приложения этих результатов приводятся в следующей главе.
Теорема 3.2.1. Пусть <р Е Ф п Е — замкнутый симметричный идеал в Mv, содержащий yJ. Тогда справедливы утверждения.
1. Если I < оо или I = оо и <р(оо) < оо, то множество Н С А9 относительно а{Ач,,Е) - компактно тогда и только тогда, когда ||£Xq„IU„
О равномерно по я е Я для любой последовательности {Qn} С m(Qn) 0.
2. Если I — оо и lim > 0, то множество Н С относительно a(Alfi,E) - компактно тогда и только тогда, когда ||ях<?„|1л„ —1' 0 равномерно по ж 6 Я для любой последовательности стягивающихся множеств
Qn € £.
3. Если I < оо или I — оо, <р(оо) — оо и lim ^^ = 0, то множество
I—> 00 t
Н С Av относительно о{кч>) Е) - компактно тогда и только тогда, когда ||x*A;qJa„ —> 0 равномерно по х е Н для любой последовательности стягивающихся множеств Qn £ Е.
Последовательность множеств Qn € Q„+i С Q„, п— 1,2,... называ-
ется стягивающейся, если П Qn — 0.
П=1
Замечание 3.2.1. Свойство 1. равносильно тому, что для любого е > О найдется такое S > 0, что ||x*X[o,ä)IUv < £ для всех х б Н.
Замечание 3.2.2. Если I = оо, lim > 0 и Н — ÍXfnn+i)}, то для Я
Í—>00 t I \
выполнено свойство 3., но не выполнено 2. при Qn — [ni оо), п = 1,2,....
Из сделанных замечаний и теоремы 3.2.1 непосредственно вытекает
Следствие 3.2.1. В условиях теоремы 1 во всех случаях, кроме I =
оо, lim > 0 множество ЯсЛ» относительно сг(А^, Е) компактно
тогда й только тогда, когда таковым является множество Я* = {ж*, х €
Я}. В случае I = оо, lim f^l > о, это условие является необходимым, 1—00 t
но не достаточным.
Первые разделы главы 4 посвящены выяснению необходимых и достаточных условий существования свойств Кадеца-Кли относительно различных топологий в симметричных пространствах измеримых функций на {0, а), а < оо. В частности, из ее результатов следует, что условия, наложенные на К- интерполяционный функционал Ф в интерполяционных теоремах первой главы нельзя ослабить. Здесь упомянем следующие результаты.
Следствие 4.1.1. Для любого у € Ф, пространство Лоренца hv обладает (равномерным) свойством Кадеца-Кли относительно сходимости по мере.
В качестве применения следствия 4.1.1 дана следующая характеризация сходимости по норме в произвольном пространстве Лоренца. Следствие 4.1.2. Пусть Av — пространство Лоренца на [0, а) и пусть х е Av, {х„} С Л: i Тогда следующие утверждения эквивалентны:
0)
(ii) {аг„} сходится к х по мере и в слабой топологии а (Л^Л^).
Пусть А» = L\ Г) Loo. Сформулируем основной результат этого раздела. Теорема 4.2.1. Если (Е, || • ||Е) — сепарабельное симметричное пространство на ({0, а),т), то следующие утверждения эквивалентны:
(i) (Е,|| ■ ||Е) обладает свойством Кадеца-Кли
относительно оо \
(ii) норма || • ||в на Е строго ^-монотонна и (Е, || -1|£) обладает свойством Кадеца-Кли относительно сходимости по мере; .
(iii) норма || -1|£ на Е строго А'-монотонна и (Е, || • ||£) обладает свой-
ством Кадеца-Кли относительно сходимости локально по мере;
(¡у). норма |[ • ||Е на Е является локально равномерно строго К-
монотонной.
Теперь мы готовы охарактеризовать свойство Кадеца-Кли (относительно слабой сходимости) в сепарабельном пространстве Лоренца, снабженном эквивалентной симметричной нормой.
Теорема 4.2.3. Пусть Л^ — сепарабельное пространство Лоренца на [О, а). Если || • |{ есть некоторая симметричная норма на Л^, эквивалентная исходной норме || • ||Л^, то следующие свойства эквивалентны: (¡) норма || • || на Л^ строго А'-монотонна; (11) (Л^,, || • ||) имеет свойство Кадеца-Кли.
Легко построить пример эквивалентной строго /^-монотонной нормы в пространстве Лоренца, которая не обладает свойством (КК) относительно сходимости по мере и, значит, не обладает свойством (КК) относительно Лоо. Но, согласно предыдущей теореме, в таком пространстве выполнено свойство (КК). Таким образом свойство Кадеца-Кли не совпадает со свойством Кадеца-Кли относительно Лоо даже в классе сепа-рабельных симметричных пространств со строго ЙТ-монотонной нормой. Последний раздел главы 4 посвящен типам представимости в пространствах Орлича на произвольном пространстве с мерой и свойству Кадеца-Кли относительно сходимости по мере.
Функцией Орлича называется любая четная, неотрицательная выпуклая функция М(и) ф 0 на числовой оси /?, непрерывная слева на Я+ и равная нулю в нуле.
Пусть а м = вир {и, М (и) = 0}, Ьм — т£{г! > 0, М(и) = оо}. Определение 4.3.1. Функция Орлича удовлетворяет Дг-условию, если ам = 0, Ьм — оо и существует К < оо такое, что для всех и, 0 < и < оо,
М(2и) < КМ (и). (*)
Функция Орлича удовлетворяет Д2(оо)-условию, если Ьм = оо и суще-стует щ < оо такое, что неравенство (*) выполнено для всех и > щ. Функция Орлича удовлетворяет Д2(0)-условию, если ам = 0 и существует щ > 0 такое, что неравенство (*) выполнено для всех 0 < и < щ. Мы будем различать три типа пространств с мерой. I. Мера ц конечна. При этом, если мера чисто атомная, то число атомов предполагается бесконечным и, следовательно, среди них найдутся атомы со сколь угодно малой мерой.
II. Мера fi чисто атомная и бесконечная, меры атомов отделены от нуля.
III. Мера /х бесконечна, и либо содержит непрерывную компоненту Тс € Е, либо среди атомов можно найти последовательность {tn}%Li С £ та-
оо
кую, что YtKtn) < 1
Определение 4.3.2. Последовательность [zn}f элементов банахова идеального пространства (Е, || • ||я) назовем ¿""-последовательностью, если ее элементы попарно дизъюнктны, нормы отделены от 0 и г = sup г„
п
принадлежит Е.
Легко видеть, что всякая ^-последовательность сходится к нулю слабо и локально по мере. Кроме того ясно, что в этом случае порядково полное идеальное подпространство, порожденное {z„} в Е, порядково изоморфно и, следовательно, Е не обладает свойством (А). В подразделе 2 этого раздела проведена полная классификация условий и типов представимости 1°° в пространствах Орлича, учитывающая особенности пространства с мерой, функции Орлича и характер самой 1°°-последовательности. Ввиду громоздкости ответа и ради экономии места эта классификация здесь не приводится.
С ее помощью в последнем подразделе дается полное исследование свойства Кадеца- Кли относительно сходимости по мере в пространствах Орлича, снабженных нормой Орлича или нормой Люксембурга. Теорема 4.3.6. Пусть Ьм снабжено нормой Люксембурга или Орлича. Если мера ц 1-го типа, то Ьм обладает свойством (KK¿) тогда и только тогда, когда М удовлетворяет Д2(оо).
Если мера ¡л Н-го типа, то Ьм обладает свойством (КК^) тогда и только тогда, когда М удовлетворяет Аг(0), или когда аи > О-Если мера ц Ш-го типа, то в норме Люксембурга Ьм обладает свойством (ККц) тогда и только тогда, когда М удовлетворяет Ai, а в норме Орлича тогда и только тогда, когда М удовлетворяет Дг, или когда а'м > О и М удовлетворяет Дг(0о).
Последний результат дает положительный ответ на вопрос, поставленный в работе Т. Domínguez, Н. Hudzick, G. López, В. Sims, "Characterization of Kadec-Klee properties in Orlicz space, 2005, препринт. Часть 2. Обобщенные пределы и сингулярные симметричные функционалы состоит из 9 глав.
В главе 5 дается определение сингулярных симметричных функционалов на симметричных пространствах, описываются их основные свойства
и выясняется связь с обобщенными пределами.
Пусть Е — вполне симметричное пространство измеримых функций на полуоси R+ (см. изложение содержания 4-го раздела первой главы и формулу (1.1) выше).
Определение 5.1.1. Линейный функционал 0 < ip е Е* называется (вполне) симметричным тогда и только тогда, когда для любых 0 < х,у 6 Е из условия (1.1) следует, что >р(х) < ф(у).
В частности, такой функционал принимает одинаковые значения на рав-ноизмеримых функциях.
Симметричный функционал называется сингулярным (коротко ССФ), если он равен нулю на Li Л Lc0 С М(ф).
Если он равен нулю на Ь^ОЕ (соответственно, на LiC\E), то такой ССФ называется сосредоточенным в нуле (соответственно, в бесконечности).
Из определения следует, что всякий ССФ полностью определен своими значениями на конусе Ке — {ж € Е,х = х*}.
При этом значение любого ССФ на х = х* е КЕ не зависит от z*X[a,6|i 0 < а < b < оо, а зависит от значений х в окрестности нуля и бесконечности.
Определение 5.3.1. Пусть Сь — пространство непрерывных ограниченных на открытой полуоси К+ функций /(£), О < t < оо. Обобщенным пределом (ОП) на Сь в и = 0 или оо называется любой положительный линейный функционал L, удовлетворяющий неравенству
liminf f(t) < L(f) < limsup/(i). t->v t-n>
Пусть E = М(ф) — пространство Марцинкевича, функция ф удовлетворяет условию
а обобщенный предел ш инвариантен относительно оператора растяжения: u(Daf) = ы(/), где (Daf)(t) = f(t/a), f е С», тогда
ти(х) = и jf x*(s)ds^ , 0 <хе М(ф), (2.2)
есть линейный, нормированный ССФ на М(ф), называемый ССФ Диксмье. Множество таких функционалов обозначим D(v). Основной результат главы 5
Теорема 5.3.1. Пусть для v = О или оо выполнено (2.1). Тогда множество всех нормированных ССФ, сосредоточенных в v, совпадает с
множеством D(í/) функционалов Диксмье.
В разделе 1 главы 6, посвященной результатам автора в теории обобщенных пределов, кроме'ОП, инвариантных относительно растяжения, рассматриваются ОП, инвариантные относительно сдвига. Первые называют мультипликативными, а вторые — аддитивными пределами Банаха. Показано, что одни переходят в другие при экспоненциальной замене аргумента функции. Основными являются следующие теоремы. Теорема 6.1.2 Для аддитивного в и — ±оо предела Банаха L на пространстве Си(R) равномерно непрерывных функций имеют место тонные неравенства
! ft+т г ft+T
lim liminf — I f(s)ds < L(f) < lim limsup- / f{s)ds. (2.3)
Г—»00 t-> v TJt T—*oo I Jt
Если f не равномерно непрерывная, а произвольная функция из C¡,(R), то промежуток возможных значений аддитивных банаховых пределов па функции f не уже отрезка, задаваемого неравенством (2.3). Теорема 6.1.3 Для функции f € C¡,(R+) промежуток возможных значений, принимаемых на f мультипликативными в р = 0, оо пределами Банаха и>, не уже промежутка, указанного следующими неравенствами-.
^ raT __^ raT
ЙЬ^ьгЛ ьтХ '«7"
Эти теоремы являются аналогами для ОП на C¡,(R+) теоремы Сачестона Sucheston L. Banach limits// Amer. Math. Monthly. 1967. 74. P. 308-311. для ОП на 4o-
В разделе 2 главы 6 строятся важные подмножества аддитивных и мультипликативных пределов Банаха. Следующий результат усиливает теорему 1.5 и следствие 1.6 из статьи Carey A., Phillips J., Sukochev F. Spectral flow and Dixmier traces, Adv. Math. 173 (2003), no. 1, которые сами были получены на основе метода автора, впервые изложенного в [5]. Теорема 6.2.2. Для v — оо на Сь существует обобщенный предел, uneapuanmtcbiü отмосителшо действия операторов растяжения Da,
1 f*
сдвига Ть и Харди Hf(t) = - / /(s) ds.
t Jo
Для v — оо на Сь существует обобщенный предел, инвариантный относительно действия операторов степенного преобразования аргумента Ecf(t) = f(tc), растяжения Da, сдвига Ть и Чезаро Mf(t) —
В разделе 3 главы 6 классические аддитивные пределы Банаха, определенные на 4с, аппроксимируются специальными последовательностями элементов пространства в топологии что решает проблему, поставленную в статье Appel J., De Pascale В., Zabrejko P. P. Some remarks on Banach limits // Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena, — 1994, XLII, дает альтернативное теореме M. Джериссона Jerison M. The set of all generalized limits of bounded sequences // Cañad. J. Math. — 1957, 9, P. 79-89, описание множества крайних точек совокупности пределов Банаха и отвечает на вопросы, поставленные С. Конягиным и Е. Семеновым. Важность полученных результатов заключается также и в том, что с помощью предложенного метода аппроксимации можно доказывать существование пределов банаха, а с их помощью и ССФ, обладающих заранее определенными свойствами.
В первом и втором разделах главы 7 сравниваются секвенциальный (дискретный) метод построения ССФ на пространстве Марцинкевича, предложенный Е.М. Семеновым в [4,5], и функциональный (непрерывный), обсуждаемый в [8,11]. В первом используются банаховы пределы на ¿оо, а во втором — на Сь([0, оо)). Сами эти ОП сильно отличаются друг от друга. Тем не менее, оказалось, что их сужения на пространства последовательностей и функций, возникающие при построении ССФ, приводят к одинаковым наборам ССФ. Попутно выясняются необходимые и достаточные условия применимости функционального метода построения ССФ, развитого в [11]. Пусть ф удовлетворяет (2.1) и пусть функция k(t), t > О — такая непрерывная возрастающая от нуля до бесконечности функция, что a) k(t + m) > 2k(t) для некоторого m > 0 и б) последо-ф(к(п 4-1))
вателыюсть {—^ц Jj—} почти сходится к 1 (см. главу 8). Тогда, как ■доказано в разделе 2 главы 7, для любого аддитивного предела Банаха Lb оо, заданного на C¡,([0, оо)), формула Tk,i{x) = LfaxAt)) определяет
I гЩ
ССФ на пространстве М(ф). Здесь ipxk(t) = .,,, I x*(s)ds.
V[k(t)) Jо
В разделе 3 главы 7 показано, что при выполнении условия (2.1) множество ССФ восстанавливает полунорму р(х) расстояния от элемента X пространства Марцинкевича до его сепарабельной части, на которой все ССФ равны нулю, что демонстрирует массивность множества ССФ. При этом, если (2.1) заменить на более слабое условие, то множество ССФ становится более узким [4].
В разделе 4 главы 7 решается долго остававшийся открытым вопрос существования ССФ на пространствах, отличных от пространств
или подпространств Марцинкевича. С помощью разработанного автором приема сложения двух пространств, удается построить массив симметричных пространств, каждое из которых допускает непустое множество ССФ и может иметь заранее заданную фундаментальную функцию
Ы<) = IIX[o,t]l|e-
Теорема 7.4.2. Для того, чтобы среди симметричных пространств с данной фундаментальной функцией <p(t) существовали такие Е, для которых множество ССФ было не пусто, необходимо и достаточно, чтобы либо в нуле, либо в бесконечности <p(t) не была эквивалентна ни t, ш сonst.
Попутно построен простой пример симметричного пространства типа Т. Шимогаки, в котором норма оператора растяжения не достигается на характеристических функциях.
В главе 8 исследуется связанное с функционалами ССФ понятие измеримости, введенное А. Конном. Поскольку ССФ описывают поведение элемента х на бесконечности или в нуле, интересно рассмотреть такие элементы х, на которых все ССФ (из некоторого класса) принимают одинаковые значения. Такие элементы называются измеримыми по А. Кон-ну. Аналогичное понятие имеет место для функций или ограниченных последовательностей. Так, Г. Лоренц описал множество последовательностей, названных им почти сходящимися, на каждой из которых все пределы Банаха принимают одно и то же значение. Элемент 0 < х G М(ф) назовем
1) измеримым по Чезаро в оо, если функция <fx,k(t) (см. определение выше) сходится по Чезаро к пределу на бесконечности;
2) измеримым по А. Конну, если т^(х) не зависит от банахова ОП L;
3) стабильным, если px,k(t) сходится на бесконечности.
Из теоремы Г.Г. Лоренца: Lorentz G.G. A contribution to the theory of divergent sequences//Acta Math. 1948. 80 следует, что 3)=Ф- 2) 1). Определение 8,1.3. Будем говорить, что к имеет в) доминированную скорость роста относительно ф, если 3С > 0 такое, что Vt > О
(фс k)'(t) С
(ipo k)(t) t '
Обозначим через D(ф) множество всех к, удовлетворяющих этому условию при данном ф.
Основной результат главы можно сформулировать так:
Пусть к и ф удовлетворяют перечисленным выше условиям а),б),в).
Тогда для любого неотрицательного х 6 М(ф) условия 1), 2), 3) эквивалентны.
Пример. При rp(t) = In (1 -I- i) и k(t) = е' все предыдущие условия выполнены, и, значит, положительные элементы пространства Диксмье ¿1,00 = Af (In (1 + £)) измеримы по А. Конну тогда и только тогда, когда существует предел
1 /"'
lim —т-г I x*(s)ds,
что существенно усилило предшествующие результаты А. Конна. Естественный вопрос о существовании таких ф и к, для которых оказываются выполненными упомянутые выше условия, решен в теореме 8.2.2. В частности,
для того, чтобы множество функций к из Т)(ф), удовлетворяющих условиям а), б), в), было не пусто, необходимо и достаточно, чтобы,
- 1 = 0(^(t)~l/c) для некоторого С > 0.
W)
В главе 9 рассматривается более узкий, чем множество всех ССФ Диксмье, но также достаточно представительный класс сингулярных симметричных функционалов, которые получаются из формулы (2.2) не с помощью произвольного инвариантного относительно действия оператора растяжения ОП ш, ас помощью и> вида
Соответствующее множество ССФ т7м{я) называется нами {8,11] множеством сингулярных симметричных функционалов (следов) Конна-Диксмье CD(f), и — 0,оо.
Показано, что множество таких функционалов совпадает с множеством функционалов вида т^Дж), где k(t) — ег, а ОП L имеет вид
L(f) = 7(Я(/)), где Я (/) = 0 J* f{s)ds) .
Рассмотрено обобщение этого подхода на случай, когда In (i) заменяется на произвольную возрастающую функцию k(t). Доказано, что такое обобщение действительно приводит к ССФ, если Аг1 имеет доминированную относительно ф скорость роста, и для некоторого С > 0 удовлетворяет условию fc_1(< + С) > 2k~l{t).
Определение 9.2.1. Пусть Л — подмножество множества всех пределов Банаха на С(,([0,оо)). Будем говорить, что Л обладает свой-'
ством чезаровского предела, если для каждого g € Сь([0, оо)), а - lim inft^«, H(g)(t), b = limsup,.^ H{g)(t) e {L{g), L € Л}. Показано: если для Л выполнено это условие, то функционалы вида i~k,L, £ £ Л восстанавливают (с точностью до эквивалентности) полунорму р(х) (см. выше), а все 0 < х е М(ф), на которых t^l принимают постоянное значение независимо от L € Л, являются стабильными. В частности, множество обобщенных пределов, порождающих классические функционалы Конна-Диксмье, обладает свойством чезаровского предела.
В главе 10 рассматриваются стабилизирующие подпространства пространства Марцинкевича.
Определение 10.1.1. Пусть S — подмножество множества всех сингулярных симметричных функционалов на М(ф), сосредоточенных в и. Следуя А. Конну, элемент х 6 М(ф) назовем S-измеримъш, если ip(x) не зависит от <р 6 S.
Определение 10.1.2. Элемент х е М(ф) назовем стабильным в v, и —
1 [1
О или оо, если существует предел lim -~т— I x*(s)ds. Множество та-
фЩ J0
ких элементов обозначим Т„(ф).
Очевидно, что множество БМ(ф) всех S-измеримых элементов есть линейное, симметричное по составу (х 6 ЭМ(ф) <==> у € SM (ф) для всех у, равноизмеримых с х) множество. Однако, оно не является идеальным (солидным).
Предложение 10.1.1. Для любого подмножества S множества всех нормированных ССФ на М(ф) стабильность элемента х влечет его S-измеримость.
Как уже отмечалось если ф удовлетворяет (2.1) при v — оо, то положительный х € М(ф) стабильный в оо тогда и только тогда, когда он CT) (со)-измерим.
Здесь мы решаем следующую проблему. Для каких линейных симметричных U С М(ф) множество их S-измеримых элементов совпадает с множеством их стабильных элементов ? Такое подпространство мы будем называть S-стабилизирующим. Для данного и основную роль в этом вопросе будет играть специальное симметричное пространство
= {х € М(ф), lim-^r Г x*(s)ds = 0}. t-w ф(Ц Jt
Доказаны [15] следующие утверждения:
1. Для любого S, сосредоточенного в v, ¿'-стабилизирующее подпространство U С М(ф) должно содержаться в Уи{ф).
2. У„{ф) — замкнутое идеальное симметричное подпространство М(ф).
3. Все вложенния Мш{ф) С У„(ф) С М{ф) строгие.
4. Для любого S существует х € М(ф), который является S-измеримым, но не является стабильным.
5. Для любого обобщенного предела 7 (инвариантность относительно растяжения не предполагается) равенство
ту(х) = l(a{x,t)) = 7 J (x+'(s)-x-*(s))ds^ , х 6 У„{ф),
корректно определяет ССФ Диксмье на У„(ф).
6. Каждый такой функционал может быть продолжен до функционала Диксмье на все М(ф).
7. Пространство У„(ф) есть максимальное В(^)-стабилизирующее подпространство пространства М(ф).
8. Слабое Мю{ф) является СО(1/)-стабилизирующим.
Кроме того, на V^o = К»(In (1 +1)) приведены примеры двух множеств Р{оо), Я(оо), которые состоят из таких ССФ, что между Р(оо), CD(oo), II(00) есть взаимно однозначное соответствие и Vx является #(оо)-стабилизирующим, но не является Р(оо)- стабилизирующим. Является ли Vu СО(1/)-стабилизирующим — пока не ясно. В трех последних главах доказываются формулы нахождения ССФ, альтернативные формуле (2.2). Глава 11. Формула Лидского.
Известная теорема В.Б. Лидского о спектральной природе следа оператора утверждает: если компактный оператор Т, определенный на гильбертовом пространстве, является ядерным, то его след выражается суммированием по его спектру <?{Т):
Tr(T)= J2
<т(Г)\{0}
Следующая теорема есть глубокое обобщение результата из Azamov N., Sukochev F. A Lidskii type formula for Dixmier traces, C.R. Math. Acad. Sei. Paris 340 (2005), no. 2, 107-112.
Теорема 11.1.1. Для ш(-) = 7(ЛЛ(-), 7 — произвольный ОП в бесконечности, и ф, удовлетворяв условию Вш = 1, сп^ейд« аналог предыдущей формулы
где 1/\(х) есть функция распределения элемента'х. Здесь вместо оператора Т выступает измеримая ограниченная функция на х(£') е М(ф).
При х из слабого М(ф) формула верна для любого ОП и>. Однако, для произвольных функционалов (следов) Диксмье эта формула не справедлива даже для ф(Ь) = 1п (1 + £).
Глава 12 посвящена выводу формул нахождения ССФ, основанных на новой версии [14] теоремы Й. Караматы [13].
Рассмотрим интегральное преобразование, определенное для х 6 Ьх>00 и а > 0 формулой, связанной с эволюционным процессом распространения тепла:
/•СО
НКТах = \/t I ¿-'/С*^))"^ Где с _ некоторое положительное число.
3 с
Для функции х из слабого Ь1} НКТах есть ограниченная непрерывная функция на [1, оо), в то время как для функции из ¿1,00 НКТах, вообще говоря, не ограничена. При этом В. Гайярд доказал, что функция М(НКТах)
для х € -^1,00 всегда ограничена. Теорема.[14] Пусть х — неотрицательный элемент из и а > 0.
1) Если и инвариантен относительно М : ы(/) = ш{М/), V/ 6 Съ, то
г.Лх) = -^-у(НКТах) = ^~-и(М(НКТах)).
2) Для любого обобщенного предела 7 6 С,' и = 7(М) справедлива формула
тф) = (М2(НКТа(х))).
3) Для неотрицательных функций х из слабого Ь\ и любого обобщенного предела 7 корректно определен след т7(х) и справедлива формула
т,(х) = 7(а(*, *)) = (М(НКТа{х))).
4) Если для неотрицательной /(в)., существует Итх->ао(ПКТа/)(Х), то / € Ьш, все написанные ниже обычные, пределы существуют и для
любого и> справедливо равенство: тМ) = Jim {HKTaf){\) = lim -i- [ f {s)da = lim /*(ф.
I (1/a) A-.ro r—oo InrJi s—со
Ясли б 2) результат не зависит от "у, то 7М следует заменить на обычный lim.
Первоначально утверждение 1) было доказано А. Конном для элементов из слабого Li. Позже в статье A.L. Carey, J. Phillips, F.A. Sukochev, "Spectral Flow and Dixmier Traces", Advances in Math., 173 (2003), 68113; и затем в [13] это утверждение было доказано в предположении, что ш кроме инвариантности относительно М дополнительно инвариантен относительно степенного преобразования аргумента функции. Таким образом 1) обобщает этот результат, а 2) ослабляет условие М-инвариантности и>. Остальные утверждения теоремы новые. Глава 13 посвящена формуле нахождения ССФ, основанной на асимптотике зета-функции элемента пространства Диксмье. По определению зета-функцией ограниченной функции х > 0 на К+ называется (x(s) = /0°° xs(u)du, где s > so ~ множество степеней, при которых данный интеграл существует. Ниже мы будем предполагать, что so = 1, и нас будет интересовать асимптотическое поведение Cz(s) ПРИ s —► 1. Определим пространство
Zi = {я е ¿oo : (Miz, = limsup(s - l)Cx(s) <
41
Теорема 13.1.1 Пространства Zi u Ll oo совпадают. Для х € Zi ||i||z, < dist ¿..„(х, О = lim sup —- f x"(t)dt < e\\x\\Zl.
U-.00 in " jo
Следуя H. Кальтону, для x e Zi введем в рассмотрение
ГОО
Fx(p) = V / x\x\pds, p> 0. Ja
Очевидно llilU, = hntisupp^oF^iOj) и, если x -< у в смысле полуупорядоченности Харди-Литтлвуда, то £|х|(р) < -^((р). Последнее немедленно следует из полной симмеричности пространств Lp, 1 < р < оо. Доказано: функция Fx{p), 0 < р, связанная с зета-функция (х(р + 1), является ограниченной на полуоси (0, оо) тогда и только тогда, когда х принадлежит пространству Диксмье Li,tx> = Z\ ■ Применяя к Fx(s) обобщенный предел ш в нуле, мы получаем некоторый функционал от элемента х:
L{x) = bj{Fx(p)).
Множество функционалов когда ш пробегает все множество ОП в нуле, обозначим через в. Основным является следующий результат. Теорема 13.3.1. Функционалы /ш € © являются сингулярными (вполне) симметричными линейными функционалами, определенными на Lit00 и равными нулю на L\C\Z\. То есть, они являются сингулярными симметричными функционалами на пространстве Диксмье, сосредоточенными в бесконечности.
Из свойств обобщенных пределов следует, что функционалы из 0 принимают все возможные значения из интервала
lim inf Fx(p) < fu(x) < lim sup Fx(p) - \\x\\Zl. p—*0 p—»0
Последнее свидетельствует о том, что таких ССФ достаточно много, ибо они восстанавливают (с точностью до эквивалентности) полунорму расстояния от х до Li: \\x\\zl > e-1distLli00(a;, £?)00). Кроме того ясно, что элемент х будет измерим относительно множества © тогда и только тогда, когда liminfp_»o Fx(p) = limsupp_,0 Fx(p). To есть тогда, когда существует lim^o Fx(p).
В [13] имеется только частичное описание функционалов из © как подмножества обычных функционалов Диксмье, задаваемых формулой (2.2). Поэтому класс 0 — это новый объект, требующий дальнейшего изучения.
Часть результатов диссертации получена при финансовой поддержке программы МОиН РФ "Университеты России"и РФФИ — гранты 98-01-00044а, 02-01-00146а, 05-01-00639а, 08-01-00226а.
Список основных публикаций по теме диссертации Статьи в рецензируемых научных журналах, включенных в реестр ВАК МОиН РФ.
1. Седаев A.A. Свойство Кадеца-Кли и локальной равномерной выпуклости в интерполяционных пространствах К-метода/ A.A. Седаев, Ф.А. Сукочев // Докл. РАН. - 1994. - т. 338 No!6. - С. 736 - 739.
2. Sedaev A.A. Characterization of Kadec-Klee properties in symmetric spaces of measurable functions/V.1. Chilin, P.G. Dodds, A.A. Sedaev, F.A. Sukochev // Trans. Amer. Math. Soc. - 1996. - 348. - pp. 4895 -4918.
3. Седаев A.A. Оценки возмущений операторной функции D(1 + основанные на нелинейном функционале в симметричных простран-ствах/А.А. Седаев, Е.М. Семенов, Ф.А. Сукочев // Доклады РАН. -
1999. - 369(3). - С. 316-319.
4. Седаев А.А. Сингулярные симметричные функционалы/ П.Г. Доддс, Б. де Пагтер, А.А. Седаев, Е.М. Семенов, Ф.А. Сукочев // Зап. Науч. сем. ПОМИ. Исслед. по лин. операт. и теор. функций 30. - 2002. - т.290.
- С. 42 - 71.
5. Седаев А.А. Сингулярные симметричные функционалы и банаховы пределы с дополнительными свойствами инвариантности/И.Г. Доддс, Б. де Пагтер, А.А. Седаев, Е.М. Семенов, Ф.А. Сукочев // Известия АН РФ. Сер. Математическая. - 2003. - т.67, No.6. - С. Ill - 136.
6. Седаев А.А. Об одной теореме тауберова типа, возникающей в теории сингулярных симметричных функционалов/А.А. Седаев // Вестник Воронежского госуниверситета. Серия: Физика. Математика. - 2004.
- No.l. - С. 146 - 148
7. Седаев А.А. О гиперподпространствах, порожденных сингулярными симметричными функционалами/А.А. Седаев // Вестник Воронежского госуниверситета. Серия: Физика. Математика. - 2004. - No.l. - С. 149
- 152
8. Седаев А.А. Следы Конна-Диксмъе, сингулярные симметричные функционалы и понятие измеримых по Конну элементов/ С. Лорд, А.А. Седаев, Ф.А. Сукочев // Матем. замет. - 2004. - т.76, в.6. - С. 948 - 953.
9. Sedaev А.А. Local uniform convexity and Kadec-Klee type properties in K-interpolation spaces I : General Theory/ P.G. Dodds, Т.К. Dodds, A.A. Sedaev, F.A. Sukochev // Journal of function spaces and applications.
- 2004. - v.2, No.2. - pp. 125 - 173.
10. Sedaev A.A. Local uniform convexity and Kadec-Klee type properties in K-interpolation spaces II/ P.G. Dodds, Т.К. Dodds, A.A. Sedaev, F.A. Sukochev // Journal of function spaces and applications. - 2004. - v.2, No.3. -pp. 323 - 356.
11. Sedaev A.A. Dixmier traces as singular symmetric functional and applications to measurable operators/ S. Lord, A.A. Sedaev, F.A. Sukochev // J. Funct. Anal. - 2005. - 224. - pp. 72 - 106.
12. Седаев A.A. Об аппроксимации пределов Банаха элементами пространства i\/ А.А. Седаев // Вестник Воронежского госуниверситета. Серия: Физика. Математика. - 2006. - No.l. - С. 186 - 192.
13. Sedaev А.А. The Dixmier trace and asymptotics of zeta functions/ A.L. Carey, A. Rennie, A.A. Sedaev, F.A. Sukochev //J. Funct. Anal. -2007. - 249 - No.2. - pp. 253 - 283
14. Седаев A.A. Обобщенные пределы и связанные с ними асимптотические формулы/ A.A. Седаев // Матем. заметки. - 2009. - 86:4. - С. 612 - 627.
15. Седаев A.A. Сингулярные симметричные функционалы и стабилизирующие подпространства пространства Марцинкевича/ A.A. Седаев // Известия вузов. Математика. - 2009. - No.12. - С. 90 - 94. Публикации в других изданиях
16. Седаев A.A. О слабой и сильной сходимости в интерполяционных пространствах/ A.A. Седаев // Сборн. Тр. VI Зимн. мат. школы по мат. программ, и смеж. вопр. Функц анализ и его прилож., ЦЭМИ, Москва.
- 1977. - С. 245 - 267.
17. Седаев A.A. Слабая компактность в пространствах Лоренца/ A.A. Седаев, Ф.А. Сукочев, В.И. Чилин // Узб. мат. Журнал. - 1993.
- No.l. - С. 84 - 93.
18. Седаев A.A. Свойства локальной равномерной выпуклости и Кадеца-Кли, необходимые условия/A.A. Седаев // Труды матем. факультета. Из-во ВорГУ, Воронеж. - 1999. - т.4. - С. 108 - 113.
19. Седаев A.A. Типы представимости 4о в пространствах Орлича и свойство Кадеца-Кли относительно сходимости по мере/ A.A. Седаев // Труды матем. факультета. Из-во ВорГУ, Воронеж. - 2002. - в. 5 (нов. сер.). - С. 186 - 201.
20. Седаев A.A. Альтернативные формулы вычисления следов Конна-Диксмье/ A.A. Седаев // Дифф. Уравн. функц., пр-ва, теор. Приближ, Междунар. конф., посвящ. 100-летию со дня рождения Сергея Львовича Соболева, Новосибирск, Россия, 5-12 октября. - 2008. - С. 356.
21. Седаев A.A. Сингулярные следы и измеримые по А. Конну элементы/ A.A. Седаев // Международная конференция "Современные проблемы математики, механики и их приложений" посвященная 70 - летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего, Москва, МГУ 30.03 - 02.4. -2009. - С. 46 - 47.
Подписано в печать 16.08.2010 г. Формат 60x84 1/16. Уч.-изд. л. 1,9. Усл.-печ. л. 2. Бумага писчая. Тираж 100 экз. Заказ №379
Отпечатано: отдел оперативной полиграфии Воронежского государственного архитектурно-строительного университета 394006, Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
1. Седаев A.A. Описание интерполяционных пространств пары (L^,!/^) и некоторые родственные вопросы // ДАН СССР.- 1973.т. 209 No. 4.-С. 538-541.
2. Брыскин И.Б., Седаев A.A. О геометрических свойствах единичного шара в пространствах типа классов Харди // Зап. Науч. Сем. ЛОМИ, т. 39, Исслед. по лип. опер, и теор. функц. IV, Ленинград, 1974, С.7-16.
3. Седаев A.A., Сукочев Ф.А. Свойство Кадеца-Кли и локальной равномерной выпуклости в интерполяционных пространствах К-метода // Докл. РАН.- 1994,-т. 338 N0.6.-C. 736-739.
4. Chilin V.l., Dodds P.G., Sedaev A.A., Sukochev F.A. Characterization of Kadec-Klee properties in symmetric spaces of measurable functions // Trans. Amer. Math. Soc.-1996.-348.-pp. 4895-4918.
5. Седаев A.A., Семенов E.M., Сукочев Ф.А. Оценки возмущений операторной функции jD(1 + jD2)"? основанные на нелинейном функционале в симметричных пространствах // Доклады РАН.-1999.-369(3).-С. 316-319.
6. Доддс П.Г., де Пагтер Б., Седаев A.A., Семенов Е.М., Сукочев Ф.А. Сингулярные симметричные функционалы // Зап. Науч. сем. ПО-МИ. Исслед. по лип. операт. и теор. функций 30.-2002.-t.290.-C. 4271.
7. Додцс П.Г., де Пагтер Б., Седасв A.A., Семенов Е.М., Сукочев Ф.А. Сингулярные симметричные функционалы и банаховы пределы с дополнительными свойствами инвариантности // Известия АН P<E>.-2003.-t.67,No.6.-C. 11-136.
8. Dodds P.G., Dodds Т.К., Sedaev A.A., Sukochev F.A. Local uniform convexity and Kadec-Klee type properties in K-interpolation spaces I: General Theory j j Journal of function spaces and applications.-2004.-v.2,No.2.-pp. 125-173.
9. Dodds P.G., Dodds Т.К., Sedaev A.A., Sukochev F.A. Local uniform convexity and Kadec-Klee type properties in K-interpolation spaces II // Journal of function spaces and applications.-2004.-v.2,No.3.-pp. 323-356.
10. Седаев A.A. Альтернативные формулы вычисления следов Конна-Диксмье // Дифф. Уравн. функц., пр-ва, теор. Приближ, Между-нар. конф., посвящ. 100-летию со дня рождения Сергея Львовича Соболева, Новосибирск, Россия, 5-12 октября.-2008.- С. 356.
11. Седаев A.A. Сингулярные следы и измеримые по А. Конну элементы // Международная конференция "Современные проблемы математики, механики и их приложений"посвященная 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего, Москва, МГУ 30.03-02.4.2009.- С. 46-47.
12. Седаев A.A. Об одной теореме тауберова типа, возникающей в теории сингулярных симметричных функционалов // Вестник Воронежского госуниверситета. Серия: Физика. Математика.-2004.-No.l.-C. 146-148
13. Седаев A.A. Обобщенные пределы и связанные с ними асимптотические формулы, Матем. заметки. 86:4 (2009), 612-627.
14. Седаев A.A. О гиперподпространствах, порожденных сингулярными симметричными функционалами // Вестник Воронежского госуниверситета. Серия: Физика. Математика.-2004.-1Мо.1.-С. 149-152
15. Лорд С., Седаев A.A., Сукочев Ф.А. Следы Конна-Диксмье, сингулярные симметричные функционалы и понятие измеримых по Конну элементов // Матем. замет.-2004.- т.76, в.б.-С. 948-953.
16. Lord S-, Sedaev A.A., Sukochev F.A. Dixmier traces as singular symmetric junctionals and applications to measurable operators //J. Funct. Anal.-2005.-224.-pp. 72-106.
17. Седаев A.A. Об аппроксимации пределов Банаха элементами пространства ii // Вестник Воронежского госуниверситета. Серия: Физика. Математика.-2006.-]Мо.1.-С. 186-192.
18. Carey A.L., Rennie A., Sedaev A.A., Sukochev F.A. The Dixmier trace and asymptotics of zeta functions j j J. Funct. Anal.-2007.-249-No.2.-pp. 253-283
19. Седаев А. А. Сингулярные симметричные функционалы и стабилизирующие подпространства пространства Марцинкевича // Известия вузов. Математика.-2009.-]Мо.12.-С. 90-94.
20. Седаев A.A., О слабой и сильной сходимости в интерполяционных пространствах // Сборн. Тр. VI Зимн. мат. школы по мат. программ, и смеж. вопр. Функц анализ и его прилож., ЦЭМИ, Москва.-1977.- С. 245-267.
21. Седаев A.A., Сукочев Ф.А., Чилин В.И. Слабая компактность в пространствах Лоренца // Узб. мат. Журнал.-1993.- No.l.-C. 8493.
22. Седаев A.A., Свойства локальной равномерной выпуклости и Кадеца-Кли, необходимые условия // Труды матем. факультета. Из-во ВорГУ, Воронеж.-1999.- Т.4.-С. 108- 113.
23. Седаев A.A., Типы представимости в пространствах Орли-ча и свойство Кадеца-Кли относительно сходимости по мере // Труды матем. факультета. Из-во ВорГУ, Воронеж.-2002.- в. 5 (нов. сер.).-С. 186-201.
24. Седаев A.A. Об (Н)-свойстве в симметричных пространствах// Теор. функц. функ. анал. и их прилож., 11, 1970, 67-80.
25. Седаев A.A. Симметричное неинтерполяционное пространство пары {Lкоторое не является подпространством интерполяционного/ / Исследования по теории функций многих вещественных переменных: Сб. науч. тр. / Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 1990, 134-139.
26. Данфорд H. и Шварц Дж. Линейные операторы общая теория М.: ИЛ, 1962. 895 с.
27. Appel J., De Pascale E., Zabrejko P. P. Some remarks on Banach limits Il Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena, — 1994, XLII, P. 273-278.
28. Jerison M. The set of all generalized limits of bounded sequences // Canad. J. Math. 1957, 9, P. 79-89.
29. Александров Г.А. Эквивалентные локально равномерно выпуклые нормы в несепарабелъных пространствах Банаха// Диссертация, Харьков, 1980.
30. Anderson K.W. Midpoint Local Uniform Convexity// Dissertation, University of Illinois (1960).
31. Arazy J. More on convergence in unitary matrix spaces// Proc.Amer.Math. Soc. 83 (1981), 44-48.
32. Arazy J. On the geometry of the unit ball of unitary matrix spaces j/ Integral Eq.Oper.Th 4 (1981), 151-171.
33. Besbes M., Dilworth S.J., Dowling P.N., Lennard C.J., New convexity and fixed point properties in Hardy and Lebesgue-Bochner spaces// J.Funct.Anal. 119 (1994), 340-357.
34. Birkhoff G.,Lattice theory, A. M. S. Colloquium Publications, XXV, 3rd. ed., 1967
35. Beauzamy B. Propriétés geometriques des Espaces d'Interpolation// Seminaire Maurey Schwartz 1975-1975, Expose 14, Ecole Polytechnique, Paris.
36. Bennett C. and Sharpley R. Interpolation of Operators, Academic Press, 1988
37. Bergh J. and Lofstrom J. Interpolation Spaces vol 223, Springer, Berlin-Heidelberg-New York,1976.
38. Abakumov E.V. and Mekler A.A. A concave regularly varying leader for equiconcave functions// J. Math. Anal. Appl., (1994) 187, 943-951.
39. Godefroy G. Seminaire Initiation a l'Analyse, 23 Annee, 1-6 (1982/83).
40. Grothendieck A. Topological Vector Spaces,(Gordon and Breach,1973).
41. Haydon R. Trees in renorming theory, Banach Space Bulletin Board, 1995, preprint.
42. Holmstedt T. and Peetre J. On certain Junctionals arising in the theory of interpolation spaces// J. Functional Analysis 4 (1968) 88-94.
43. Kadec M.I. On strong and weak convergence// Dokl. Akad. Nauk SSSR 122 (1958) 13-16. (Russian)
44. Kadec M.I. Spaces isomorphic to a locally uniformly convex space// Izv. Vyss.Ucebn.Zaved. Matematika 13 no.6 (1959) 51-57. (Russian)
45. Kadec M.I. Letter to the Editor,// Izv. Vyss.Ucebn.Zaved. Matematika 25 no.6 (1961) 186-187. (Russian) .
46. Кадец М.И. Доказательство топологической эквивалентности всех сепарабельных бесконечномерных пространств Банаха// Функц. анал. и его прил. 1, N 1, 1967, 61-70.
47. Кадец М.И. Метод эквивалентных норм в теории почти периодических Функций// Stud. Math. 31, 1968, 89-94.
48. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ, М. 1977. 744 с.
49. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука. 1978. 400 с.
50. М.А. Красносельский, Я.Б. Рутицкий, Выпуклые функции и пространства Орлича, Москва, 1958.
51. Lindenstrauss J. and Tzafriri L. Classical Banach Spaces I, SpringerVerlag, 1977.
52. Lindenstrauss . and Tzafriri L. Classical Banach Spaces II, SpringerVerlag, 1979.
53. Connes A. Noncommutative Geometry// Academic Press, San Diego, 1994.
54. Connes A. and Moscovici H. The local index formula in noncommutative geometry/J Geom. Funct. Anal. 5:2 (1995), 174-243.
55. Dixmier J. Existence de traces поп normales, C. R. Acad. Sci. Paris, 262 (1966).
56. Dodds P., de Pagter В., Semenov E., Sukochev F. Symmetric functionals and singular traces// Positivity 2 (1998), no. 1, 47-75.
57. Kaiton N. Sukochev F. Rearrangement-invariant functionals with applications to traces on symmetrically normed ideals// Canad. Math. Bull. Vol. 51 (1), 2008 pp. 67-80.
58. Lorentz G.G. A contribution to the theory of divergent sequences//Acta Math. 1948. 80. P. 167-190.
59. Лозановский Г.Я. О пространствах антинормальных функционалов// Матем. замет. Т. 26 (1977),N 3, 427-434.
60. Sucheston L. Banach limits// Атег. Math. Monthly. 1967. 74. P. 308311.
61. Yu.A. Brudnyi and N.Ya. Kruglyak. Interpolation Functors and Interpolation Spaces. V.l. North Holland, Amsterdam, 1991.
62. Рид M., Саймон В. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ. Москва: "Мир", 1977.
63. Gohberg I., Krein М. Introduction to the theory of linear nonselfadjoint operatorsTranslations of Mathematical Monographs, Vol. 18 American Mathematical Society, Providence, R.I. 1969
64. Kaiton N. Spectral characterization of sums of commutators. /// J. Reine Angew. Math. 504 (1998), 115-125.
65. Pietsch A. About the Banach Envelope of /ij00// Rev. Mat. Complut. 22 (1) (2009) 209-226.
66. Ringrose J. Super-diagonal forms for compact linear operators// Proc. London Math. Soc. (3) 12 (1962) 367-384.
67. Салехов Д.В., Семенов Е.М., О сходимости некоторого семейства функционалов в пространстве Орлича// Studia Math. 32 (1969), 285-293 .
68. Харди Г. Расходящиеся ряды// Серия "XX век. Математика и механика"Из-во "Факториал Пресс", Выпуск 12, 504с. 2006.
