Интерполяционные шкалы банаховых пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

БЫКОВ Юрий Николаевич

Интерполяционные шкалы банаховых пространств

Специальность 01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ВОРОНЕЖ - 2006

Работа выполнена в Курском государственном университете

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор

Овчинников Владимир Иванович

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор

Защита состоится 3 октября 2006 г. в 15 часов 40 минут на заседании диссертационного совета К 212.038.05 в Воронежском государственном университете по адресу: 394693, Воронеж, Университетская пл., 1.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " " 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета К 212.038.05

Новиков Игорь Яковлевич

доктор физ.-мат. наук, профессор Гольдман Михаил Львович

Ведущая организация:

Самарский государственный университет

доктор физ.-мат. наук, профессор

Гликлих К). Е.

Общая характеристика работы

На раннем этапе развития теории интерполяции линейных операторов метод шкал банаховых пространств рассматривался как один из основных интерполяционных методов. Основоположником метода шкал является С.Г. Крейн. (Подробную библиографию и исторический обзор можно пайти в работе х. Поэтому мы не будем воспроизводить здесь богатую , и интересную историю, связанную с развитием теории шкал, роли комплексного метода и т.п.) Видимо, при создании теории шкал представлялось очень заманчивым воспользоваться комбинацией выпуклости нормы пространств шкалы и логарифмической выпуклостью по параметру шкалы для того, чтобы получить интерполяционные теоремы. В общем виде это удалось сделать в несколько ослабленной форме в виде теоремы о почти интерполяционном свойстве правильной шкалы 2. Было понятно, что в общем виде этот результат усилить нельзя. В данной диссертации сделана попытка все же получить теорему о реитерации для произвольных интерполяционных шкал, при некоторых ограничениях на исходную пару пространств. Класс пар, к которым применимы полученные результаты, включает в себя классические пары пространств Ьр с весами, и, в частности, результаты можно отнести к произвольным интерполяционным шкалам, соединяющим гильбертовы пространства.

Другим важным направлением в изучении шкал является построение новых шкал, которые дополняют классические шкалы Лионса-Петре и комплексную шкалу. Б.Д. Нурсултанов в 3 ввел в рассмотрение и изучил многопараметрические пространства, обобщающие конструкцию Лионса-Петре и обладающие инвариантностью по отношению к теоремам о реитерации при всех значениях параметров. Эта работа лежит в основе конструкции, которая изучается в настоящей работе, где мы рассматриваем пространства с бесконечной последовательностью параметров. Интерес к такого рода шкалам и соответствующим простран- . ствам связан с возможной нестандартной геометрией таких пространств, управляемой последовательностью вещественных параметров.

Цель работы. Изучить интерполяционные свойства шкал банаховых пространств. Построить и исследовать интерполяционные пространства

1Брудный Ю.А., Крейн С.Г., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов // ВИНИТИ. Итоги науки и техники. Математический анализ. — 1986. — Т. 24. — С. 3—163.

2Крейн С.Г., Петунии Ю.И. Шкалы банаховых пространств // Успехи математических наук. -1966. - Т.21 - С. 85-159

8Нурсултанов Е.Д. Многопараметрические интерполяционные функторы и пространства Лоренца // Функциональный анализ и его прил. - 1997. - т. 31, Вып. 2 - С. 79-82.

с бесконечным множеством параметров.

Методика исследования. Используются методы функционального анализа и теории функций действительного переменного. Применяются также методы теории интерполяции линейных операторов.

Научная новизна. Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Теоремы типа теорем о реитерации для произвольных интерполяционных шкал, соединяющих весовые пространства

2. Теорема Арази-Цвиксля об описании интерполяционных пространств между пространствами Lp переносится на произвольные интерполяционные шкалы, соединяющие весовые пространства Lp или пространства Лионса-Петре.

3. Определение новой операции между интерполяционными функторами - свертки. Вычисление свертки двух функторов Лионса-Петре с одинаковыми вторыми индексами.

4. Обобщение пространств с бесконечным множеством параметров на случай произвольных функциональных параметров.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты проясняют интерполяционные явления на шкалах, соединяющих весовые пространства Ьр или пространства Лионса-Петре, и структуру пространств с бесконечным множеством параметров. Особый интерес представляют теоремы типа теорем о реитерации для произвольных интерполяционных шкал.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Воронежских зимних математических школах (Воронеж, 2001, 2004), научной конференции "Современные проблемы функционального анализа "(Воронеж, 2003), Воронежской весенней математической школе (Воронеж, 2005), на семинаре кафедры математического моделирования Воронежского государственного университета.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в девяти работах [1] - [9]. Из совместных работ [2], [8] в диссертацию вошли лишь результаты, полученные лично автором диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 12 параграфов, и списка литературы. Объем диссертации — 105 страниц. Библиография содержит 43 наименования. Нумерация приводимых в автореферате определений, предложений, лемм, теорем, следствий и формул совпадает с нумерацией, принятой в диссертационной работе.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава посвящена интерполяционным свойствам шкал банаховых пространств. В параграфе 1.1 даются основные определения из теории интерполяционных пространств.

Определение 1.1.2. Банаховой парой X = {Хо, А'х} называется два банаховых пространства А'о и Х±, алгебраически и топологически вложенные в некоторое, отделимое топологическое линейное пространство X.

Определение 1.1.3. Суммой пространств банаховой пары называется банахово пространство £(Х) = Хо + Х\, состоящее из всех х € X, предст&вимых в виде х = хо + 11, где хо е Хо и Хх € Хг, с нормой

Ые(Х) = Ых„ + 1Ы1х.-

«С—Д5отХ 1

Определение 1.1.4. Пересечением пространств банаховой пары называется банахово пространство Д(Х) — Хо П Х1 с нормой

1М1дрГ) = тах(||х|и0, ЦжЦл-,).

Пусть X = {Х0, Х1} - банахова пара. Как обычно, через К {в, х; X), где 1ёХо + Х1И5,4>0, обозначим К- функционал Петре

К(в,Ь,х;{Хо,Х1})^ М вЦжоНхо + ^ЦаяН^.

Функционал К(1,Ь, х\ {Х0,Х1}) в дальнейшем будет обозначаться {Хо,Хх}) или просто /£"(£, х).

Определение 1.1.5. Пусть X - банахова пара. Банахово пространство X будем называть промежуточным пространством между Хо и Хх, если верны вложения Д(Х) С X С £(Х).

Если пространство X является промежуточным между Хо и Х\, то через Х° обозначим замыкание пересечения Хо П Х% в X.

Определение 1.1.6. Говорят, что линейный оператор Т ограниченно действует из лары X в пару У, если он ограниченно действует из £(Х) в Е(У) я имеет ограниченные сужения из X* в У^ (г = 0,1). При этом будем писать Т : X —► У. В частности, если Хо = Уо и Х1 = У1, то говорят, что лилейный ограниченный оператор Т действует в паре X.

Определение 1.1.7. Промежуточное между Хо и Хх пространство X называется интерполяционным между Хо и Хг, если из того, что в

паре X действует линейный ограниченный оператор Т, следует, что он действует ограниченно и в X.

Определение 1.1.9. Пусть {Хо.Х]} - банахова пара, и Ха - семейство промежуточных пространств этой пары, где 0 < а < 1. Будем называть это семейство интерполяционной шкалой, соединяющей Хо и Х\, если при каждом а € (0,1) пространство Ха интерполяционно между

\\т\\х^х„ < с«Наг-ЦЗй^лго

для любого линейного оператора Т, действующего в паре {Хо, XI}.

Определение 1.1.10. Пусть X = {Хо, X}} - банахова пара, 0 < 9 < 1 л 1 < р < оо. Тогда пространства Лионса-Петре определяются следующим образом:

< ОО

у*

При р = оо

с нормой

Ч)

\ 1/р т—) 7 ■

Хв.оо = 6 Хо + X! : вир <

к (1,1:;Х)

Ж|1«,оо = эир^

ОО с"

Определение 1.1.11. Пространство Хе,оо называется обобщённым пространством Марцинкевича и будет обозначаться Ме(Х0,Х1).

Определение 1.1.12. Пространство Ад(Х0, Х{) всех х е Хо + Хх,

00

представимых в виде х = хп 6 Хо Л Х\ и сходимость в Xо + Х\),

п=1

для которых

с нормой

П=1

оо

б

называется обобщённым пространством Лоренца,.

Определение 1.1.13. Соответствие 0-, ставящее любой банаховой ларе {Х0, Х\} промежуточное пространство Хх), называется ин-

терполяционным функтором, если для любой другой пары {Уо, Ух} я любого оператора Т : X У сужение оператора Т ограниченно действует из Т(Ха, Хх) ,в Т(У0, .

Определение 1.1.14. Интерполяционным функтором типа а, где О < а < 1, называется такой интерполяционный функтор Та, что для любых банаховых пар {Хо, Хх}, {Ус, Ух} и любого линейного оператора Т, действующего из пары {Хо, Хх} в пару {Уо, Ух}, справедлива оценка

Рассмотрим интерполяционную шкалу Ха, соединяющую Хо и Хх. Зафиксировав ад и ах между 0 и 1, мы получаем новую пару пространств {Хао, Ха,}. Будет ли семейство Ха по-прежнему интерполяционной шкалой? Ответ можно найти в параграфе 1.2.

Предложение 1.2.1. Пусть Ха - интерполяционная шкала, соединяющая Х0 и Хх. Если 0 < ао < а < а\ < 1, то пространство Ха -является промежуточным между Хао и Ха1.

Далее приведен пример интерполяционной шкалы, для которой пространство Ха может и не быть интерполяционным между Хао и Ха,.

Параграф 1.3 посвящен операторам в шкалах весовых пространств последовательностей.

Определение 1.3.1. Банахово пространство Е скалярных последовательностей {£п}пс2 называется идеальным пространством последовательностей или банаховой решеткой, если из |£п| < при всех пе2н г] € Е вытекает, что £ € Е и ||£||.в < Ц^Цв.

Определение 1.3.2. Банахово пространство Е двусторонних последовательностей называется инвариантным относительно сдвига, если для любой € Е и любого т € Ъ справедливо {^-тп) £ Е и

Лемма 1.3.4. Если линейный оператор Т ограниченно действует в паре пространств {Ео(2~ка), Ех{2~к0)}, где а < (3 и Е0, Ех - инвариантные относительно сдвига, идеальные пространства последовательностей, то Т ограниченно действует в любом пространстве Р(2~к1), где а < 7 < /?, а

- любое инвариантное относительно сдвига идеальное пространство

последовательностей. При этом

где 0 < в < 1 и 7 = (1 - 0)а + 6(3.

Заметим, что близкие интерполяционные результаты были получены ранее в работе С.В. Асташкина 4.

Из леммы 1.3.4 моментально следует, что семейство пространств Еа{2~ка) образует

интерполяционную шкэлу, соединяющую и Е1(2~к), для произвольного семейства Еа инвариантных относительно сдвига идеальных пространств последовательностей.

Лемма 1.3.5. Пусть {Е0(2~ка), Е\{2~к^)} - такая же пара пространств последовательностей, что и в предыдущей лемме, а линейный оператор Т ограниченно действует в паре {Ео(2~ка), /?1(2~к/3)}. Пусть Е(2~к"1) - интерполяционное пространство между Ео(2~ка) и Е1{2~к/3), удовлетворяющее условию

где О<0<1и7=(1 — в) а + вр. Тогда пространство Г после эквивалентной перенормировки становится инвариантным относительно сдвига идеальным пространством последовательностей.

В параграфе 1.4 доказан ряд интерполяционных теорем.

Теорема 1.4.1. Пусть Х0 = Е0{2~кп) и Хг = Ех{2-^), где-Е) - ин-. вариантное относительно сдвига идеальное пространство последовательностей (] = 0,1). Пусть Ха - произвольная интерполяционная шкала, соединяющая Хд и Хг. Тогда для любых 0<ао<а<а1<1 пространство Ха интерполяционно между Хао и Ха1, и при этом семейство Ха образует интерполяционную шкалу между Хао и Ха1, то есть для любого линейного оператора Г, действующего в паре {Хао, -ЛТа1}, справедлива оценка

\\Т\\х^хя < СЦГЦ^^ЦЩ^^,

где 0 < 9 < 1 и а - (1 - в)а0 + вах.

Теорема 1.4.3. Если пространства пары имеют вид Ха =

Ео(2~ка) я Х1 = Е\{2~к^), где Ео и Е\ - инвариантные относительно сдвига идеальные пространства последовательностей, то для любых 0 < а;о < »1 < 1

_Ы({А%, Ха1}) = Ы({ЛГ0, Х«Л) П 1п1({А%, Хг}).

4Асташкин С.В. Описание интерполяционных пространств между (^(и0), а

('«(ш0).'.»^1)) // Математические заметки. 1984. Т.35. С.497-503.

Теорема 1.4.4, Пусть Ха - интерполяционная шкала, соединяющая пространства Хо — L^Wq) и Xi = LPl(W{), где 1 < pu,Pi < оо, а Wbi Wi - какие-то веса. Тогда для любых О < ao < a < сц <1 пространство Ха интерполяционно между Хао и Xai, и

ll^lk^ < са\\т\\^Ха9\\T\\eXa^Xai,

где 0 < 0 < 1 и а = (1 — 6)qq + 0о\, для любого линейного оператора Т, действующего в паре {-Х^, А'П1}.

Теорема 1.4.6. Пусть пространства пары {ЛГо, Х\} имеют вид Х0 — ¿PoW>), A'i = LVl(W\), где 1 < po.Pi < 00, a Wb, W\ - какие-то веса. Тогда для любой интерполяционной шкалы, соединяющей .Хо и Xi, справедливо равенство

ЫЦХо,, xai}) = Int({X0, Xai}) Л Int({Xao,

для любых 0 < a0 < ai < 1.

Если взять, в частности комплексную шкалу, соединяющую Lx и L\, то получится теорема Арази-Цвикеля 5. Более того, справедливо некоторое усиление теоремы 1.4.6.

Теорема 1.4.7. Пусть Ха - произвольная интерполяционная шкала, соединяющая весовые пространства Lp. Тогда, для любых отрезков [aoi£*i] С [/?o,/3i] с: [0,1] справедливо равенство

Int({Xao, XaJ) = Int({*A, Xai})nInt({Xao, ХЛ}).

Утверждение, подобное теореме 1.4.7, может быть перенесено и на пары более сложной природы.

Теорема 1.4.9. Пусть Ха - интерполяционная шкала, соединяющая пространства Хо = (А0, A\)aaJ,a и Xi — (А0, A{]UlJll. Тогда для любых отрезков [ao, ai] С [А, А] С [0,1] справедливо равенство

Int«*«,, XQl}) = Int({XA, XaJ) П Int({XQo,XA}).

Вторая глава посвящена новому интерполяционному функтору -функтору свертки. Обозначим через ^Хд"'9''™, Xj€'9l,n| пару, которая получается в результате п итераций перехода от {Jfo, Xi} к Wo (Хо, Xi) , (Хо, -Xi)}-

5Ага2у У., Cwikel М. On the description of interpolation врасев between Lp and Lq // Ark. Mat -

1984.- Vol. 55 - P. 253-270.

Теорема 2.1.1. Если нормы в паре пространств {Х0, Х\} эквивалентны и нормально вложенные функторы имеют тип,во, соответственно, то

п1™, < Нт ЦжЦ^А.п^А.«

< £1/(1-") Цт ||х|| в0>в1,

П-ЮО Л0

гдеЕ = КМ,а = ео{1-01) + в1(1-во).

Теорема 2.1.1 позволяет на подкатегории пар с эквивалентными нормами корректно определить предельный функтор следующим образом.

Определение 2.1.1. Сверткой двух нормально вложенных интерполяционных функторов Тъй, типов во, 0\ соответственно называется функтор 3-д0 * который каждой паре {ЛТо, Х1} с эквивалентными нормами ставит в соответствие пространство Тва * Тд1 Х\), определяемое одной из двух эквивалентных норм

ИзИ^.^о.ад = Их^-Ч-Х?1*-"' М^^Хо.лго = Ит ЦхЦ^ол^о.^.»-

Параграф 2.2 посвящен основным свойствам функтора свертки.

Теорема 2.2.1. Функтор свертки в случае во < в\ имеет тип

' 1 + в0-$1

Следующим результатом этого параграфа является теорема двойственности для свертки. Поэтому на подкатегории банаховых пар с эквивалентными нормами наряду с парой функторов и будем рассматривать двойственные к ним функторы и то есть функторы, которые каждой паре {Хо, Х±} ставят в соответствие пространства {Теа(Х0, Х1))* и (Тв^Хо, Хх)У соответственно.

Теорема 2.2.2. Пусть нормы в пространствах Хо и Х} эквивалентны и Х0ПХ1 плотно в Хо и Х\. Тогда, справедливо равенство

* Зго1 {Хо, Х{])* = * 1 (Хо, XI),

причём соответствующие нормы эквивалентны и константы эквивалентности не зависят от констант эквивалентности исходных пространств.

ю

До сих пор мы определяли свертку только для пар пространств с эквивалентными нормами. Естественным выглядит стремление перенести это определение на произвольную пару.

Определение 2.2.1. Минимальное в смысле Ароншайна-Гальярдо расширение функтора Tga * Jrgi с подкатегории конечномерных регулярных пар (то есть таких пар {XD, Xi}, что пересечение Xq П Х\ плотно в Xq и Xi) на категорию всех банаховых пар называется сверткой функторов Тц^ и .Т^.

В этом виде определение свертки применимо к любой банаховой паре. В параграфе 2.3 описывается свертка двух функторов Лиопса-Петре с одинаковыми вторыми индексами:

Теорема 2.3.1. Пусть Tgj, - функтор Лионса-Петре и 1 < р < оо. Тогда па категории всех банаховых пар имеет место равенство функторов

* ^.р = Ге,р,

где 0 < в0 < 01 < 1, в в =

Заметим, что в предельном случае при р = оо для любой банаховой пары {Хо, Х\} имеет место изометрическое равенство

^0,ос * ^виоо(Хо, Xi) = (Хо, Хг)^.

Третья глава посвящена построению пространств с бесконечным множеством параметров. Если задана произвольная последовательность где 0 < вп < 1, то для пары X = {А"о, Хх} определим многопараметрические пространства Лоренца AsB^u...fin(Xo, Хх) и Марцинкевича .....e„(Xo,Xi) индуктивно:

.....<?„ (Х0> Xi) = AgJ^Ae^.....(Х0, Xi), М^,... д,_, (X0, Xi)),

MffoA.....<l(XO, Xi) = M0n(A9Oiill...iSn_l(Xo, Xi), MWir..|in4 (X0, Xi)).

Определение 3.1.1. Пусть {Xo, Xi} - банахова пара и 0 —

(Оо, ...,#„,.,.), где О < 9n < 1. Тогда бесконечное банахово пересечение

пространств M<jo,01,...l0„(Xo,Xi) называется пространством Марцинкевича

с бесконечным множеством параметров и обозначается через М^(Хо, Xj).

00

Иными словами, х € М^Хо.Хх) = й^М^д.....e„{X0,Xi), если

^Р .....f. < 00 '

и

INIM, = SUP Ы .............= lim 1И1 Мв0,в1.....„„■

Ш n>Q П—»ОО

Определение 3.1.2. Пусть {Хо, X}} - банахова, пара и

в = (во.....в„,...) . Тогда бесконечная банахова сумма пространств

Х1) называется пространством Лоренца с бесконечным множеством параметров и обозначается через Л^Хо, Хх). То есть

со °°

х е ААХо,Хг) — Ш Ае0[еи...,в„(Хо,Х1), если х = £х„ (сходимость в

"=° 71=0

Х0 + Х1 ), хп е Л^д.....в„(Х0, Х{) и

00

Х^и^ил.^.....»„<со-

71=0

Причём

оо

Мд,= ^ £н*»1кА......„•

1= Ё п-0

Предложение 3.1.3. Если х € Л0О10ь„.д,(Хо,Х1), то

М1л, = И™, 1М1 л**.....

В параграфе 3.2 сделана попытка сравнить пространства М^Хо.Хх) иЛ,ЧХ01Х,). _

Теорема 3.2.1. Если нормы в паре пространств X — {Хо, Х1} эквивалентны, то

Мл,= М1м,-

Теорема 3.2.2. Для любой банаховой пары X = {Хо, Х1} и любых 0 < &п < 1 пространство Л^ (Хо, Х1) совпадает с замыканием пересечения Х0 П Х1 в Щ (Х0, Х1).

В параграфе 3.3 как пример рассмотрены двумерные многопараметрические пространства Лоренца и Марципкевича.

Параграф 3.4 посвящен теореме двойственности для пространств с бесконечным множеством параметров.

Теорема 3.4.1. Для любых 0 < 9П < 1 и любой банаховой пары {Хо, Х1} , такой, что Хо П XI плотно в Хо я Х1 справедливо равенство

(Ав0,в,.....(Хо,Хг))* — Мх_в()д_91.....1_0„,...(Х*,Хо),

причём соответствующие нормы равны.

Следствием предыдущей теоремы является изометрическое равенство ((М«ЬА.....= Ai-^.i-ft.....^«„„..Р^.Х^).

В параграфе 3.5 конструкция пространств с бесконечным множеством параметров обобщается на случай функциональных параметров. Обозначим через Ф класс положительных функций <p(s,t), удовлетворяющих при s, t > 0 условиям:

1) y(s,i) однородна первой степени, то есть ip(ks,kt) = k<p(s,t) для всех к > 0;

2) (p{s, t) не убывает по каждой переменной;

3)^(1,1) = 1.

Очевидно, что для любой v? € Ф функция 1/<р{1/$, 1/1) также принадлежит классу Ф. Такую функцию будем обозначать через ip*(s,t).

Определение 3.5.1. Пусть X = {А'о, Xi} - банахова пара и tp(s, t) е Ф. Пространство

MV{X0,Х1) = {х 6 Х0 + Xi : sup < «Д

с нормой

K(s,t,x\X)

Им„ = зир-

а,г>0 УЧМ)

называется обобщённым пространством Марцинксвича.

Определение 3.5.2. Пусть X = {Хо, Хх} - банахова пара и <£>(«, е Ф. Пространство Л¥,(Х0, Хх) всех х е Хо + представимых в виде х =

оэ оо

X) хп (сходимость в Х0 + Х1), где х„ € Х0ПХ1 и £ ^(||хп||х0, II®«!!*.) <

п=1 п—1

оо с нормой

оо

х = £ *» П=1

П=1

называется обобщённым пространством Лоренца.

Если задана произвольная последовательность функций где € Ф, то для пары X = {Хо, Хх} определим многопараметрические пространства Лоренца Х1) и Марцинкевича .....^.(А'о, А']) индуктивно:

(Хо.Хх)^......^(ХсХг)),

Xj) = М^Лур.....^(Xo.XO.M^.....

Определение 3.5.3. Пусть {Хо, Xi} - банахова пара и ф* ~ ..., ...) , где ipn € ф. Тогда бесконечное банахово пересечение пространств Mpj^j,,..^- (Хо, Х{) будем называть простралством М&р-цинкевича с бесконечным множеством функциональных параметров и обозначать через M^(Xo,Xi). Иными словами, х € M^-(X0,Xi) — .....<pz(Xq,Xi), если

.....

и

llzlliu = sup |Ы| м . . . = lim IMI м « . ' ••

** n>0 "a'»!.....Л п->оо " " м»'о'»,1.....

Определение 3.5.4. Пусть {Хо, Xi} - банахова пара- и ¡р — (if о,..., <рп, • • •)■ гДе Vn в Ф. Тогда бесконечную банахову сумму пространств AVom.....^„(XojXi) будем называть пространством Лоренца с

бесконечным множеством функциональных параметров и обозначать через A^(X0,Xi). То есть х е Лд(Х0,Х1) = К A„0ifl.....vJX0,Xi), если

п=О

оо

X = J2 хп (сходимость в Хо + Хх ), хп € -Xi) li

n=О

оо

Е1Мл <

п=0

Причём

оо

= Ы XlilsnlU^.....

J2 хп п=о

п=0

Теорема 3.5.1. Если <рп € Ф л нормы в банаховой паре X = {Хо, Xi} эквивалентны, то

IMIa, = 11® II iv •

Теорема 3.5.2. Для любой банаховой пары X = {Xo,Xi} и любых <pn S Ф пространство Л^(Хо,Хх) совпадает с замыканием Х0 П Xi в

KV (x0,xi).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору В.И. Овчинникову за помощь и постоянное внимание к работе.

Публикации по теме диссертации.

1. Быков Ю.Н. Описание единичных шаров в двумерных многопараметрических пространствах Лоренца и Марцинкевича / Ю.Н. Быков // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета ВГУ. - Воронеж, 2000. - С. 4-8.

2. Быков Ю.Н. О пространствах с бесконечным числом параметров / Ю.Н. Быков, В.И. Овчинников, A.C. Титенков // Труды математического факультета. ВГУ. - Воронеж, 2001. - № 6 (новая серия). - С. 8-25.

3. Быков Ю.Н. О пространствах с бесконечным числом функциональных параметров / Ю.Н. Быков // "Труды молодых ученых физико-математического факультета". Межвузовский сборник трудов. - Курск, 2001. - С. 30-37.

4. Быков Ю.Н. Двумерные многопараметрические пространства Лоренца и Марцинкевича / Ю.Н. Быков // Воронежская зимняя математическая школа. Тезисы докладов. - Воронеж, 2001. - С. 46.

5. Быков Ю.Н. О фрактальных пространствах вещественного метода интерполяции / Ю.Н. Быков // Научная конференция "Современные проблемы функционального анализа ". Тезисы докладов. - Воронеж, 2003. -С. 60-61.

6. Быков Ю.Н. Теорема двойственности для пространств Лионса-Петре с бесконечным числом параметров / Ю.Н. Быков // Воронежская зимняя математическая школа. Тезисы докладов. - Воронеж, 2004. - С. 30.

7. Быков Ю.Н. Теорема двойственности для пространств Лионса-Петре с бесконечным числом параметров / Ю.Н. Быков // Труды математического факультета ВГУ. - Воронеж, 2004. - Na 8 (новая серия). - С. 13-18.

8. Быков Ю.Н. Об интерполяционных свойствах шкал банаховых пространств / JO.H. Быков, В.И. Овчинников // Материалы Воронежской весенней математической школы (дополнительный выпуск). - Воронеж, 2005. - С. 4.

9. Быков Ю.Н. О свертке двух интерполяционных функторов / Ю.Н. Быков // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Материалы Седьмой Казанской летней школы-конференции. - Казань, 2005. - Т. 30. - С. 26-27.

Введение

I. Интерполяционные свойства шкал банаховых пространств

1.1. Вспомогательные определения.

1.2. Интерполяционные шкалы

1.3. Треугольные операторы в шкалах весовых пространств последовательностей

1.4. Интерполяционные теоремы.

II. Свёртка двух интерполяционных функторов

2.1. Некоторые свойства интерполяционных функторов

2.2. Основные свойства функтора свёртки.

2.3. Свёртка двух функторов Лионса-Петре.

ШПространства с бесконечным множеством параметров

3.1. Общее определение многопараметрических пространств Лоренца и Марцинкевича.

3.2. Сравнение пространств и ЛДХо,^)

3.3. Двумерные многопараметрические пространства Лоренца и Марцинкевича.

3.4. Теорема двойственности для пространств с бесконечным множеством параметров.

3.5. Пространства с бесконечным множеством функциональных параметров.

Метод шкал банаховых пространств, основы которого были заложены в работах С.Г. Крейна [20, 21], является одним из вариантов развития интерполяционной теории. Правильные шкалы были исследованы в работе С.Г. Крейна и Ю.И. Петунина [22]. Подробно их свойства изложены в [23]. Метод шкал тесно связан с вещественным методом интерполяции [14]. Отметим также интересную теорему Вольфа [43] о четырёх пространствах, примыкающую к теореме о реитерации для пространств Лионса-Петре.

Метод вещественной интерполяции, имеющий своим истоком фундаментальную теорему Марцинкевича, введён Лионсом и Петре в [38], [39]. Этот метод описывается функтором, зависящим от двух параметров. В работах В.И. Дмитриева и В.И. Овчинникова [18], Ю.А. Брудного и Н.Я. Кругляка [35] построена общая теория пространств вещественного метода. Обобщённые пространства Лоренца и Марцинкевича впервые возникли в работе A.A. Дмитриева [16]. В дальнейшем некоторые задачи анализа привели к необходимости увеличения числа параметров. Впервые функтор многопараметрической интерполяции появился в работе Е.Д. Нурсултано-ва [26], одним из центральных результатов которой была теорема о реитерации для многопараметрических пространств. В 1999 году В.И. Овчинников и А.С. Титенков [41] построили пространства с бесконечным множеством параметров. Для этого им пришлось модифицировать норму в классических пространствах Лионса-Петре.

Эти соображения и послужили отправной точкой для данной работы.

Работа состоит из двенадцати параграфов, которые объединены в три главы. В первой главе даются основные определения и изучаются свойства интерполяционных шкал Ха, где 0 < а < 1. Как показано в параграфе 1.2 они являются правильными шкалами. В этом же параграфе приведён пример шкалы, внутри которой не выполняется интерполяционное свойство. Следующие параграфы посвящены доказательству того, что для произвольных шкал интерполяционное свойство всё же имеет место внутри шкалы, если исходная пара как-то связана с весовыми пространствами Ьр. Из этого результата в свою очередь вытекает классическая теорема Арази-Цвикеля об описании интерполяционных пространств между Ьр и Ьд (см. [33]), которая долгое время выглядела обособленным результатом.

Во второй главе вводится понятие свёртки двух интерполяционных функторов и показана корректность такого определения. Основными результатами этой главы являются теорема двойственности для свёртки и теорема о месте свёртки в шкале. В параграфе 2.3 как пример рассматривается свёртка двух функторов Лионса-Петре с одинаковыми вторыми индексами. При этом норму в пространствах Лионса-Петре снова приходится модифицировать.

В третьей главе рассматриваются пространства Лоренца и Мар-цинкевича с бесконечным множеством параметров. Параграфы 3.1 и 3.2 посвящены определениям и сравнительному анализу этих пространств. В параграфе 3.3 общее определение пространств с бесконечным множеством параметров проиллюстрировано на примере двумерного случая. Результаты первых трёх параграфов третьей главы аналогичны результатам из [41], но отличаются от них тем, что при использовании обобщённых пространств Лоренца рассматривается иная норма. Далее приводится теорема двойственности для рассматриваемых пространств. Последний параграф посвящён обобщению пространств Лионса-Петре с бесконечным множеством параметров на случай функциональных параметров.

Заметим, что нумерация параграфов в работе двойная, где, как обычно, сначала указывается номер главы, затем номер параграфа. Внутри каждого параграфа все определения, теоремы и т.п. нумеруются заново и получают тройную нумерацию: номер главы, номер параграфа, номер теоремы и т.п. Формулы имеют такую же тройную нумерацию.

1. Айзенштейн М.Х. Вычислимые интерполяционные функторы / М.Х. Айзенштейн, Ю.А. Брудный // Исслед. по теории функций многих вещественных переменных - Ярославль, 1986 - С. 12-36.

2. Асташкин C.B. Описание интерполяционных пространств межДУ {h(oJQ),h{üJ1)) и (/оо(^0),/оо(а;1)). / C.B. Асташкин // Мат. заметки,- 1984.- Т. 35, Вып. 4.- С. 497-503.

3. Асташкин C.B. Об устойчивых интерполяционных функторах / C.B. Асташкин // Функц. анализ и его нрил 1985 - Т. 19, Вып. 2,- С. 63-64.

4. Берг Й. Интерполяционные пространства. Введение / И. Берг, Й. Лёфстрём. М.: Мир, 1980.- 264 с.

5. Быков Ю.Н. Теорема двойственности для пространств Лионса-Петре с бесконечным числом параметров / Ю.Н. Быков // Труды математического факультета В ГУ.- Воронеж, 2004.- №- 8 (новая серия).- С. 13-18.

6. Быков Ю.Н. О пространствах с бесконечным числом параметров / Ю.Н. Быков, В.И. Овчинников, A.C. Титенков // Трудыматематического факультета ВГУ.- Воронеж, 2001- №- 6 (новая серия).- С. 8-25.

7. Быков Ю.Н. Двумерные многопараметрические пространства Лоренца и Марцинкевича / Ю.Н. Быков // Воронежская зимняя математическая школа (ВЗМШ 2001). Тезисы докладов.-Воронеж, 2001.- С. 46.

8. Быков Ю.Н. Теорема двойственности для пространств Лионса-Петре с бесконечным числом параметров / Ю.Н. Быков // Воронежская зимняя математическая школа (ВЗМШ 2004). Тезисы докладов. - Воронеж, 2004 - С. 30.

9. Быков Ю.Н. Описание единичных шаров в двумерных многопараметрических пространствах Лоренца и Марцинкевича / Ю.Н. Быков // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета ВГУ- Воронеж, 2000 С. 4-8.

10. Быков Ю.Н. О фрактальных пространствах вещественного метода интерполяции / Ю.Н. Быков // Научная конференция "Современные проблемы функционального анализа ". Тезисы докладов Воронеж, 2003 - С. 60-61.

11. Быков Ю.Н. О пространствах с бесконечным числом функциональных параметров / Ю.Н. Быков // "Труды молодых ученых физико-математического факультета". Межвузовский сборник трудов Курск, 2001- С. 30-37.

12. Быков Ю.Н. Об интерполяционных свойствах шкал банаховых пространств / Ю.Н. Быков, В.И. Овчинников // Материалы Воронежской весенней математической школы ( дополнительный выпуск ).- Воронеж, 2005- С. 4.

13. Быков Ю.Н. О свёртке двух интерполяционных функторов / Ю.Н. Быков // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Материалы Седьмой Казанской летней школы-конференции- Казань, 2005 Т. 30 - С. 26-27.

14. Водопьянов В.В. О связи минимальных шкал и i^-метода интерполяции / В.В. Водопьянов // Мат. заметки 1981- Т. 30, Вып. 5.- С. 679-684.

15. ДанфордН. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж. Шварц М.: ИЛ, 1962.- 563 с.

16. Дмитриев A.A. Об интерполяции одномерных операторов / A.A. Дмитриев // Тр. НИИ Мат Воронеж, ун-та 1973 - Выи. 11 - С. 31-43.

17. Дмитриев В.И. Основы теории интерполяции линейных операторов /В.И. Дмитриев, С.Г. Крейн, В.И. Овчинников // Геометрия линейных пространств и теория операторов Ярославль, 1977 - С. 31-74.

18. Дмитриев В.И. Об интерполяции в пространствах вещественного метода / В.И. Дмитриев, В.И. Овчинников // Докл. АН СССР.- 1979.- Т. 246, Вып. 4.- С. 794-797.

19. Канторович JI.B. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П. Акилов М: Наука, 1977.

20. Крейн С.Г. Об одной интерполяционной теореме в теории операторов / С.Г. Крейн // Докл. АН СССР.- I960 Т. 130, Вып. 3 - С. 491-494.

21. Крейн С.Г. О понятии нормальной шкалы пространств / С.Г. Крейн // Докл. АН СССР- I960.- Т. 132, Вып. 3.- С. 510513.

22. Крейн С.Г. О нонятии минимальной шкалы пространств / С.Г. Крейн, Ю.И. Петунии // Докл. АН СССР- 1964,- Т. 154, Вып. 1,- С. 30-33.

23. Крейн С.Г. Шкалы банаховых пространств / С.Г. Крейн, Ю.И. Петунии // Успехи математических наук- 1966 Т. 21, Вып. 2,- С. 89-168.

24. Крейн С.Г. Интерполяция линейных операторов / С.Г. Крейн, Ю.И. Петунии, Е.М. Семёнов.- М.: Наука, 1978.- 400 с.

25. Митягин Б. С. Интерполяционная теорема для модулярных пространств / B.C. Митягин // Математический сборник 1965. -Т. 66.- С. 473-482.

26. Нурсултанов Е.Д. Многопараметрические интерполяционные функторы и пространства Лоренца LPjq,q = (gi,., qn) / Е.Д. Нурсултанов // Функциональный анализ и его приложения.- 1997.- Т.31, Вып. 2 С. 79-82.

27. Овчинников В.И. Об описании интерполяционных орбит / В.И. Овчинников // Функц. анализ и его прил 1979 - Т. 13, Вып. 4.- С. 85-86.

28. Овчинников В.И. Об оценках интерполяционных орбит / В.И. Овчинников // Мат. сб.- 1981.- Т. 115, Вып. 4- С. 642652.

29. Овчинников В.И. Об одной гипотезе для комплексного метода интерполяции / В.И. Овчинников // "Труды молодых учёных физико-математического факультета". Межвузовский сборник трудов Курск, 2001- С. 5-9.

30. Семёнов Е.М. Об одной шкале пространств с интерполяционным свойством / Е.М. Семёнов // Доклады АН СССР 1963-Т.148 - С. 1038-1041.

31. Турищева Д.Н. О модификации нормы в пространствах Лионса-Петре / Д.Н. Турищева // "Труды молодых учёных физико-математического факультета". Межвузовский сборник трудов,- Курск, 2001,- С. 49-51.

32. Хёрмандер Л. Оценки для операторов, инвариантных относительно сдвига / Л. Хёрмандер М.: ИЛ, 1962.

33. Arazy Y. On the description of interpolation spaces between Lp and Lq / Y. Arazy, M. Cwikel // Ark. Mat.- 1984.- Vol. 55.- P. 253-270.

34. Aronszajn N. Interpolation Spaces and Interpolation Methods / N. Aronszajn, E. Gagliardo // Ann.Mat. Рига Appl 1965 - Vol. 68.- P. 51-117.

35. Brudnyi Ju.A. Interpolation spaces and interpolation functors. / Ju.A. Brudnyi, N. Krugliak. Amsterdam: North Holland, 1991.

36. Cwikel M. Monotonicity properties of interpolation spaces, II / M. Cwikel // Ark. Mat.- 1981.- Vol. 19.- N. 1.- P. 123-136.

37. Janson S. Minimal and maximal methods in interpolation / S. Janson // J. Functional Analysis 1981- Vol. 44 - P 50-73.

38. Lions J.-L. Sur une classe d'espaces d'interpolation / J.-L. Lions, J. Peetre // Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math.- 1964 Vol. 19-P. 5-68.

39. Ovchinnikov V.I. The Method of Orbits in Interpolation Theory / V.I. Ovchinnikov // Mathematical Reports. Vol. 1. Part 2. Chur: -Paris-London-New York: Harwood Acad. Pbl., 1984,- P. 167.

40. Ovchinnikov V.I. Pure scales of Banach spaces / V.I. Ovchinnikov, A.S. Titenkov // Международная конференция по анализу и геометрии, посвящённая 70-летию Ю.Г. Решетняка. Тезисы докладов Новосибирск, 1999 - С. 86-87.

41. Sparr G. Interpolation of weighted Lv spaccs / G. Sparr // Studia Math.- 1978.- Vol. 62,- P. 229-271.

42. Wolff Т.Н. A note on interpolation spaces. / Т.Н. Wolff 11 Lect. Notes Math.- 1982.- Vol. 908.- P. 199-204.