Геометрические и топологические свойства множества комплексных чисел с заданными диофантовыми условиями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Специализированный Совет Д 01.94.27

На правах рукописи

АБДЫМАНАПОВ Усен Усубакунович

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МНОЖЕСТВА КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ С ЗАДАННЫМИ ДИОФАНТОВЫМИ УСЛОВИЯМИ

(01.01.04 — геометрия и топология), (01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел).

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Бишкек — 1997

а* .А

чГГ

Работа ышолнена в Институте математики Республики Беларусь и в Институте математики НАН Кыргызской.Республики.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук.профе сор Берник Насилий Иванович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,профессор Тавгень Олег Игнатьевич (ВПУ Республики Беларусь); канцицат физико-математических наук,доцент Ишмахаметов Нумарбай (КП1У).

Ведущая организация: Гродненский Государственный Университет им.Янки Купали Республики Беларусь.

Защита диссертации состоится "Лд " 0/0£S^€tJiA^ 1997г. в 14 часов на заседании Специализированного совета Д 01.94.27 по присуждению ученых степеней доктора и кандидата физико-математических наук в Институте математики HAH Кыргызской Республики С диссертацией можно ознакомиться в ЦНБ HAH Кыргызской Республики.

Автореферат разослан "¿0 " QmJL)(Ji\_1997г.

Отзыв на автореферат просим присылать по адресу:

720071,г.Билкек-71.Проспект Чуй 265-а,Институт математики HAH Кыргызской Республики,Специализированный совет Д 01.94.27

Ученый секретарь Специализированного совета, кандидат физико-математических наук, _

старший научный сотрудник Искандеров С.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

Актуальность темы. Метрическая теория диофантовнх приближений

алгебраических чисел рациональными,как самостоятельное напрявле-

1ие сформировалось после основопологвю'цих работ Е.Вореля'^и Л.Я. 2)

Кинчина . Существенную роль в развитии этой теории сыграла гипо-

о)

геза К.Малера . С усложнением задачи метрической теории циофан-

говых приближений независимых и зависимых величин и с развитием

/етоца в их решении существенную роль начали играть геометрико-

<*)

топологические свойства рассматриваемых множеств . Так при доказательстве комплексного случая гипотезы К.Малера,В.Г.Спринд-кук^установил следующее свойства множеств комплексных чисел.

О lâ-Ûtel è. -и* р.гдё/е^е- c/e

aux fuu-^tû/? g- ccite/?t/es. ^ Jlnn - /Ш - Bd. 7L -P.

I) y^li.lrtbi^it^e- Zut /v&ériiches?- ¿/%ее>ьсе det ¿■lof t-ib cJtes? cZfV/s. гох sn ¿сяе/? У^¿t^/y. Z&é&hz fUe-fcd.zï.-A

î) Я. iifa al ai Jùtit det Метг ai&z.

//ju# Ы. jfnti. - m*, -Ы.

I) Берник В.И. .Мельничук ¡0. В. Диофантовы приближения и размерность Хаусдорфа.-Минск: Наука и техника - 1930.144с.

5) Спринижук В.Г. Проблема Малера в метрической теории ч^сел. -Минск: Наука и техника.-196?.-194с.

Пусть

рс&) г а/жгя т, ¿ь €

- многочлен с целыми рациональными коэффициентами;

- высота РСЛ).

Обозначим через¿Г(Р^) множество комплексных чисел, *?б(С для которых пополняется неравенство

а через

о1(Р) и <ЫР)

соответственно диаметр и площадь мно-кество£7Т/?^) . Оказывается,что цля некоторой явно вычисляемой постоянной С(п) \\ -и) т ^верно неравенство

<&(Р> о!лСР).

Нетриииальность результата состоит в том,что априорно не ясен порядок убывания к' нулю величин

4СР) и ¿¡(Р)

при высоте

Н(Р) стремящийся к оесконечности равномерно по всем многочлен с данной высотой. Очевидно,что множество

не сильно отличается от круга,что оказывается решающим шагом при применении так называемого метода существенных и несущественных областей.

Основы метода существенных и несущественных областей система-

р-\ с \

тически изложены в работе В.Г.Спринцжука? *

б) Спринцжук В.Г. Метрическая теория дпофантовых приближений. -- М.: Наука. - 19*77. - 143 с.

,'го дальнейшее развитие и выявление новых возможностей произошло хоце решения некоторых метрических задач с применением раомер-;ости Хаусцор^я^

Цель работы. При помощью метода существенных и несущественных 'бластей,обобщения классических результатов метрической теории .иофантовых приближений зависимых величин в вещественном случае 1а случай комплексных чисел.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми, юдтверчсдены строгими доказательствами. (Методом существенных и [есущественных областей:

о

■ доказана экстремальность поверхности в области малой меры в С , ■це в качестве кривых фигурируется целочисленные полиномы с ком-1лексными переменными;

■ доказана метрические характеристики ммочеств' комплексных чисел, :оторые допускают заданный порядок аппроксимаций значениями иело-1исленных многочленов).

• исследована геометрические свойства множеств односвязной.погшрно 1епересекающихся областей связанный с малой мерой в С;

■ исследована циофантопн свойства аналитических кривых и устано-шено его размерность Хэусдорфз;

■ доказана теорема об эффективности по правой части неравенства щенки мер комплексных чисел с заданной мерой трансцендентности;

• доказана аналог теоремы Е.Вирзннга па случай комплексного числа;

• обоб'цена теорема Е.Вирзинга на пары комплексного числа,цопускою-1ие приближения корнями одного и того же многочлена.

Теоретическая и практическая ценность работы, состоит в том, 1Т0 в ней полученные новые результаты вносят определенный вклад ) теории чисел й геометрической теории функций комплексного пере-!енного.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались ;

- на республиканской научно-практической конференции "Теория чисел и ее приложения" (сентябрь 1990г.,г Ташкент);

- на международной математической конференции,посвященная ■200Э летим со дня рождения Н.И.Лобачевского,Ч.Г. (декабрь,1992г.

г.Минск); • '

- на международной научно-практической конференции "Аналитические и экспериментальные методы математической физики и проблемы их преподавания" (декабрь,1994г.,г.Ош);

- на семинаре Института математики ПАИ №.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах (1-10).,список которых приведен в конце автореферата. В совместных работах с Берником В. И.

Бернику В.И. принадлежит общая постановка задач и обсуждение результатов.

Б совместных работах с Вильчинским В.Т. Внльчинскому В.Т. принадлежит постановка задачи. Структура диссертации. Диссертация состоит из введения,четыре: глав и списка литературы.Она содержит 129 страниц машинописного текста,включая библиографический список из 81 наименований.Нумерация математических соотношений и формул производится по главам и параграфам в виде ( ),где номер главы, ^Ь - номер

параграфа, ^ - номер формулы в данном параграфе.Нумерация теорем и лемм аналогична.

Содержание и основные результаты диссертации. Во введении даетгп обзор литературы по затронутым в диссертации проблемам задач и основные полученные результаты.

На всей протяжении диссертации будут использоваться следующие обозначения: Ц)г11 - расстояние от числа по блитайшего

к нему целого числа; |Р| - максимальная из абсолютных величин коэффициентов многочлена Р ; Запись ^ (X) означает, что

выполняется неравенство некоторой постоянной С

Запись <? ^ означает,что оцновременно выполняются оценки

и ; / Д1 - мера Лебега множества ;

- диаметр множества 3 ; внешняя £ - мера

Хаусдорфа; ¿¡Ш М - размерность Хаусдорфа.

В главе I доказывается комплексный аналог теоремы Е.Вирзинга. Основные результаты содержатся в следующих двух теоремах.

ТЕОРЕМА 1.2.1. Для натурального числа /7&А1/ и любого комплексного числа (С не являющегося комплексным алгебраическим числом с/с^ существует бесконечно много алгебраических чисел

<з6 таких,что выполняется неравенство

_ п~9

Гт-<Л (ни.)) *

СЪ*)

ТЕОРЕМА 1.3.1. Для любой пари комплексных чисел £

существует бесконечно много пар алгебраических чисел ¿/й^ таких,что выполняется неравенство

СГ1>») ' : •

Теорема 1.3.1 является обобщением теоремы 1.2.1 на пары комплексных чисел .которые допускают приближения с корнями одного и того же многочлена.-

Во второй главе рассмотрено,обобщение теоремы В.Г.Спринджука о структуре множества

,то есть доказывается следующая

утверждения.

ТЕОРША 2.2. Т. Пусть Т| (£{?)- {а?&(С : | Р(и>)\ & для

- произвольная область.И,пустьс1иЛМ

СГ .Тогда,имеет место следующая оценка

п Сл)

В этой же главе 2,также доказано гипотеза В.И.Берника высказанный в 1986 году.Полученный результат сформулировано как теорема 2.3.1.

ТЕОРЕМА 2.3.1. Неравенство

имеет для почти всех комплексных чисел С лишь конечное число решений в полиномах Р(3) , где

ФСХ) -

монотонно убывающая функция

и ряд ¿Е^ с/*^) сходится.

Глава 3 посвящена диофантовым приближениям на топологическом произведении двух многообразий.В частности доказано.

ТЕОРЕМА 3.2.1. Поверхность "

- экстремальна,то есть для У&^О почти для всех <?) и

Н справедливо неравенство

^ ! I гП+Я с . „ . т-< л и-1 I ,,--=--аз

л., л

1 м Ч т п-1 *о

А также в атой главе рассмотрено,обобщение известной теоремы В.Шмидта в метрической теории диофантовнх приближений зависимых величин и установлено сверху оценка размерности Хаусдорфа. Доказана ТЕОРЕМА 3.3.1. Цусть - некоторая ограниченная область комплексной плоскости.И.дусть - аналитическая функция,которая удовлетворяет условию ¡функция +#у £ (, (й-^й^Ь Ж имеет конечное число не зависящее от {Ц и Йо интервалов в любом направлении при Z&S}- .Тогда,для почти всех С при Д неравенство

¡кАртта^+йъ |<Н7Х

имеет не более конечного числа решений в целых ччалах(^^(}10о)вЖ. Заметим,что уже при А = -£ теорема перестает быть верной,так как с помощью,например,принципа ящиков Л.Дирихле можно докозать.что неравенство имеет бесконечное число решений в целых числах/Й^Й^ Полученое при этом опенка размерности Хаусдор$а

скил

в

Теоремы глав 1-3 являлись не эффективными в том смысле,что в них не было скорости стремление к нулю с ростом высоты меры множеств комплексных чисел с заданной аппроксимацией.

В главе 4 доказывается теорема,устанавливающий такую опенку.

ТЕОРЕМА 4.2.1. Пусть Н*Н0(П)

достаточно большое действительное число. - целочисленный полином с комплексными

переменными ¿¡¡¿0РСЛ)±/1 , где ^^Х" А ' ^ + ^ ^ .И,пусть

- множество комплексных чиеелсО&(Г из интервала Л"

X.

ж

,для которых неравенство

имеет хотя бы одно решение в полтю№х/2}(2)€Ж£2]/зК?(й(Р)—Н. Тогда,при любом $~>0 справедливо оценка

■Аил) ^

В этой же главе 4 также доказано

ТВОРЕНА 4.3.1. Пусть^ Щ , к^А/, Ы , 1(П)-

монотонно убывающая функция натурального аргумента П&А/ .Тогда,расходимость ряда

(где суммирование ведется по всем свободным от квадратов натуральным числом является необходимым и достаточным условием того, что для почти всех по {< - мерной мере Лебега система неравенств

уи&ос ^ \сс. \-.iirii k} < ken)

имеет бесконечно много решений в свободных от квадратов целых числах )G н rjtAV .

Автор вырастает искреннюю благодарность своему научному руководителю- ц.ф.-м.н..профессору ПАИ Республики Беларусь Бернику Василию Ивановичу за постановку задач и постоянное внимание к работе,а также к.ф.-м.н. Вильчинскому Владимиру Тадиевичу за совместную работу и ценные советы.

Основное содержание диссертации изложено в работах:

1. Абцнманвпов У.У..Вильчинский В.Т. О совместных приближениях со свободными от квадратов числами//Тез.цокл.респ.на^чно-технич. конф,"Теория чисел и ее приложения",Ташкент,сент.1990г.-Ташкент: ТПИ им.Низами.-1990.-СЛ40.

2. Абдыманапов У.У..Вильчинский В.Т. Совместные приближения со свободными от квадратов «ислами//Изв.All KP.Сер.физ.-техн. и матем. науки.-1991 ,-.Ч»ТЗ.-С. 3-10.

3. Абцыманапов У.У.,Берник В.И. Диофантовы приближения зависимых величин в поле комплексных чисел//Теэ.цокл.Межцунар.матем.конф., поев.200-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского.-Минск.-7993.-Ч.I. -С.99.

4. Абдыманапов У,У. Приближения комплексных чисел алгебраическими числами ограниченной степени//Мат-лы исслея.молодых ученых по актуальным проблемам обучения и воспитания.-Могилев:МГПИ им.

A.A. Кулешова Д993. -С. 76-79.

,5. Абдыманапов У.У. Экстремальные поверхности в С'Т'/Ред.журн. "Изв.HAH KP.Сер.«Jus.-техн. и матем.науки".-Бишкек, 1995.-13с.-Деп.

в ВИНИТИ ОТ Г4.0о.95,М750-В95.

6. Абдыманапов У.У. Диофантови свойства аналитических кривых с ненулевой кривизной и размерность Хаусцорфа//Ред.журн."Изв.НАН КР. Сер.физ.-техн. и матем.науки".-Бишкек,1995.-7с.-Деп. в ВИНИТИ от 14.06.95,14748-В95.

7. Абдыманапов У.У. 0 геометрических свойствах множеств одно-связных, попарно непересекающихся областей (Р,Ь>) связанных с малой мерой в С//Теэ.докл.Междунар.научно-практ.конф.,0ш,дек. Г994г.-0ш:0шск.техн.лицей,I994.-C.I3I.

8. Абдыманапов У.У. Приближения комплексных чисел алгебраичес-

о

кими числами ограниченной степени в областях малой меры в С //Ред. журн."Изв.НАН КР.Сер.физ.-техн. и матем.науки".-Бишкек,1994.-9с. -Деп. в ВИНИТИ от 05.09.94,»'2149-094.

9. Абдыманапов У.У. Эффективные по правой части неравенства, оценки мер комплексных чисел с заданной мерой трансцендентности //Ред.журн."Изв.НАН КР.Сер.физ.-техн. и матем.науки".-Бишкек,1995. -16с.-Деп. в ВИНИТИ от 14.06.95,№1749-ВЭ5.

10. Абдыманапов У.У. Метрические характериртики множеств в комплексных числах,которые допускают заданный порядок аппроксимаций значениями целочисленных многочленов//Ред.журн. "Изв.НАН КР.Сер.

физ.-техн. и матем.науки".-Бишкек,1994.-13с.-Деп. в'ВИНИТИ от 05.09.94, )<42140- В94.

- Г2 -

Абцыманапов Усеп Усубакунович

Берилген диофанттык шарттагы комплексгуу сандарынын кептугунун геометриялык жана топологиялык касиеттери.

Аннотация

о

Нукура аз олчомцуу аймактын комплекстуу С мейкиндигиндеги берилген беттин экстремалдуулугу далилденет.Комплекстуу С мей-кинцигинцеги бир туйундеш тугей-тугеу менен кесилишпеечу аймак-тардын кэптугунун нукура аз елчвм менен байланылкан геометриялык .топологиялык жана метрикалнк касиеттери изилценет.

cflidy/nanoipo-d' Hies? ttbi/iaiunod-l¿ok

Л ^W/rieiztcaS e,/7cl ■fojjo&qtea I fttopet&c^

& of cc^yrtfi-SeX rlusvivi f. tJ-c-rh -fre

d-iopbasitirte ¿>/ ccntf^-cc*:

г* а

ex '¿te/rrtft/¿¿p ■uct-jfeice £t

/neA^u'ce ■€.-*> ptfftJecl -on ce*?/1 fax A.yi$e4t*6tff£e-ci et- <se^^etx *ca /„.

-frpp&Q-tea £ еле/^¿t £ /кч-смег ti'&i

оЦ а Ж*, of <?/ie-¿¿»f'ee-i&d tfe

¿}f Msir/ec fexi iJ^lt

d IrfrfCiiC ate -¿я се^я^^еос €■