Геометрические инварианты трехмерных многообразий, узлов и зацеплений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Мартюшев Евгений Владимирович

J

д '

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ ТРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ, УЗЛОВ И ЗАЦЕПЛЕНИЙ

01.01.04 - «Геометрия и топология*

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

и030В1420

Челябинск 2007

003061420

Работа выполнена в Южно-Уральском государственном университете.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор Корепанов Игорь Германович

Официальные оппоненты, доктор физико-математических наук,

профессор Катаев Ринат Мавлявиевич, кандидат физико-математических наук Коптева Наталья Викторовна

Ведущая организация — Челябинский государственный университет

Защита состоится 3 сентября 2007 г.г в 11 часов, на заседании Диссертационного совета Д 003.015.03 при Институте математики им С.Л Соболева СО РАН по адресу: 630090, г Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН

Автореферат разослав 2007 г.

Ученый секретарь. Диссертационного совета

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена одной из наиболее актуальных областей современной математики — инвариантам трехмерных многообразий, узлов и зацеплений Инварианты многообразий — это специальным образом построенные величины, значения которых определяются лишь топологическими свойствами каждого конкретного многообразия и не зависят от деталей построения Например, эйлерова характеристика, инварианты Тураеса-Виро, Черна-Саймонса, кручения Райдемайстера, Уайтхеда и т д

В диссертации изучается один метод построения инвариантов 3-многообра-зий, разработка которого была начата в работах И Г Корепанова в 2001-2004 гг Метод основан на приписывании различным элементам триангуляции многообразия евклидовых геометрических величин — длин ребер, двугранных углов, объемов тетраэдров и т д Рассмотрение бесконечно малых деформаций этих величин в комбинации с алгебраическими конструкциями в духе стандартной теории кручений приводит к некоторому конечному алгебраическому комплексу — основному объекта исследования данной диссертации — который оказывается ациклическим, и его кручение является основным ингредиентом в формуле для инварианта Такого рода инварианты в работе называются геометрическими ввиду того, что при их построении ключевую роль играет геометрия 3-мерного евклидова пространства.

Геометрические инварианты допускают многочисленные обобщения и модификации Например, взамен трехмерного евклидова пространства можно использовать трехмерную сферу и рассматривать представления фундаментальной группы в группе SO(4). Начало такой деятельности положено в работе Ю Тэйлор и К Вудворда1 Помимо евклидовой и сферической геометрий, оказывается возможным построить инвариант 3-мерных многообразий для двумерной аффинной геометрии плоскости с группой нзометрнй SL{2, R) ¡1] Кроме того, можно дополнительно "подкрутить" инвариант, введя в рассмотрение представления фундаментальной группы в группе автоморфизмов линейных пространств, входящих в ациклический комплекс. Для линзовых пространств эта возможность исследована в работе (3].

Также стбит отметить, что некоторые формулы, используемые при построении инвариантов, весьма напоминают квазиклассический предел соотношений

1 Taylor Y Woodward С Spherical tetrahedra and invariant« of 3-manifaM» // Preprint-arXjvmath GT/0406228 - 2004.

для квантовых объектов Поэтому, вполне вероятно, что геометрические инварианты могут оказаться лишь пределами каких-то более общих квантовых структур2

Задача различения 3-многообразий с помощью инвариантов является составной частью важнейшей задачи маломерной топологии — полной классификации трехмерных многообразий Кроме того, рассмотрение относительной версии инварианта пары — 3-многообразие и оснащенное зацепление в нем — позволяет строить топологические теории поля с помощью аксиом М. Атьи3

Таким образом, все вышеизложенное позволяет считать тему диссертационной работы актуальной, полезной для развития теории п использования в приложениях

Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование различных свойств геометрических инвариантов, вычисление их для конкретных примеров, а также сравнение с другими известными инвариантами

Научная новизна. Все основные результаты исследования являются новыми К основным результатам можно отнести следующие

в Доказана ацикличность геометрического комплекса, кручение которого является наиболее существенным множителем в формуле для инварианта

• Показано, что при некоторых условиях геометрический инвариант обладает свойством мультипликативности относительно операции связного суммирования многообразий

• Получена общая формула значений геометрического инварианта для трехмерных линзовых пространств

• Предложен метод построения "скрученной" версии геометрического инварианта трехмерных многообразий и зацеплений

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты имеют теоретическое значение Они могут быть использованы как

JKorepanov 1G Invariants of three-dimensional inanifolds from four-dmiensional Euclidean geometry // Prepnnt - arXiv math GT/06I1325 - 2006

3Atiyah M F Topological quantum field theory // Publications Mathématiques de I7HÉS - 1988 - Vo] 68 -P175-186

в чистой математике для различения 3-многообразий и узлов, так и в математической физике, к примеру, б квантовой гравитации, теории исчисления Редже и при построении новых топологических теорий поля. Кроме того, результаты диссертации могут стать основой для развития теории геометрических инвариантов в различных направлениях, например, для обобщения на случай п- мерных многообразий, д а я построения неевклидовых/квайтовых версий инварианта и т д

Апробация работы. Основные положения, представленные в диссертационной работе, докладывались и обе} ждались на .международной конференции '"Геометрическая топология, дискретная геометрия и теория множеств', посвященной столетию Л В Келдыш (Москва, 2004 г); на региональной молодежной школе-конференции ' Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2005 г, 2007 г), на семинарах кафедры компьютерной топологии и алгебры Челябинского государственного университета под руководством профессора, чл -корр. РАН С В. Матвеева (Челябинск, 2003-2005 гг) и на ежегодных на}чно-техннческих конференциях Южно-Уральского государственного университета (Челябинск, 2003-2006 гг.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано пять работ Список публикаций [1-5] приведен в конце автореферата Из работ [1, 2], выполненных совместно с научным руководителем, на защиту выносятся только результаты, полученные автором лично

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на 9 параграфов, и списка литературы Полный объем диссертации составляет 103 страницы, Библиография включает 73 наименования

Содержание диссертации

Во введении дан краткий обзор работ по теме диссертации, поставлена цель работы и кратко излржено ее содержание

В первой главе мы занимаемся построением и вычислением геометрического инварианта для трехмерных многообразий.

Пусть М ~ связное замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие, Т — его триангуляция Будем говорить, что на Т задана допустимая расцветка, если каждому ребру ец 6 Т сопоставлено число Ау так, что определитель Кэли-Менгера для каждого тетраэдра из Т строго больше нуля, и всем тетраэдрам

из Т знаки сопоставлены таким образом, что при каждом ребре угол дефекта т е алгебраическая сумма двугранных углов по модулю 2тг, тождественно равен нулю

Построение геометрического инварианта естественно разбивается на несколько шагов

Сначала (§ 1 1), по заданной допустимой расцветке триангуляции многообразия М строится класс [р] эквивалентных представлений р Ъ\{М) —» Е(3) фундаментальной группы многообразия в группе сохраняющих ориентацию изометрий трехмерного евклидова пространства, а также регулярное накрытие многообразия М, соответствующее ядру представления р € [р]

Далее, накрывающее пространство отображается в трехмерное евклидово пространство в соответствии с действием группы Imp Под этим понимается следующее вершины накрывающего пространства, принадлежащие одной орбите, переходят друг в друга под действием элементов группы Im р, симплексы же ненулевой размерности переходят в выпуклые линейные оболочки образов соответствующих вершин Следующая теорема по сути утверждает, что такое отображение согласовывается с допустимой расцветкой, заданной изначально.

Теорема 1- Пусть Т — симплициальный комплекс для универсального накрывающего пространства М с индуцированной на нем допустимой расцветкой Тогда, существует непрерывное отображение Г • Т —► R3 такое, что » Aij, Уг, j, где 1у — длина ребра Г(еч) Любое другое отображение Г': Т —* IRS для той же салюй допустимой расцветки получается из Г сохраняющей ориентацию изанетрией пространства R3.

В § 1.2 определяется комплекс конечномерных векторных пространств с фиксированными базисами.

• Пространство

е(3)р = {и € «(3) | Ad^fe) и = «, Vfc € Я1 (М)} s Я°(Л/; Adp), где Ad,, = Ad op: щ (М) Aut(e(3))

• Пространство (dg) = ТЫЯ(М, Е(3)) S tf^MjAd,}, где ЩМ, Е(3)) -пространство представлений группы Xi(M) в Е(3)

• Пространство (dx) = где — пространство всех отображений множества вершин из JF в Е3-

• Пространство (еМ) = ТгШ^1, где Е^1 — пространство всех отображений множества ребер из Т в К с базисом (¿1, , /лг,), к ~ евклидова длина г-го ребра

• Пространство {<Ы) = ТрК^1, где Ж^1 — пространство всех отображений множества ребер из^вКс базисом и>1 — угол дефекта в г-ом ребре

• Пространства е(3)*, {йх)" и (¿д)* с двойственными базисами к е(3)^, (¿х) и (<1д) соответственно

Здесь Т — фундаментальное семейство симплексов триангуляции Т накрывающего пространства, т. е- такое семейство симплексов из Т, что над каждым симплексом го Т лежит в точности один симплекс из этого семейства Кроме того, мы используем обозначение ТХМ для касательного пространства к М в точке х

Теорема 2- Последовательность вектор? их пространств и отображений О - е(3)р & {йх)@{йд) Л (Д) {¡¡¡и) (<ьу®(с1ду е(3); - 0 (1)

является ациклическим комплексом, т е образ каждого отображения в нем совпадает с ядром последующего

Ациклический комплекс (1) мы называем геометрическим Обозначим его кручение через г и определим геометрический инвариант многообразия М по формуле

7'(м) - пЫ' (2)

где V обозначает ушестеренный объем тетраэдра и произведение распространяется на все тетраэдры из фундаментального семейства Т.

Разумеется, построенный таким способом инвариант, существенным образом зависит от представления р или точнее, от класса эквивалентных представлений [р] К примеру, для тривиального представления компьютерные вычисления указывают на то, что наш инвариант выражается через первую группу го-мологий многообразия Н\ В то же время, для абелевых (нетривиальных) представлений, по крайней мере для линзовых пространств и пространства 52 х 51, инвариант выражается через П\ и кручение Райделшйстера (ср формулы (3) и (5) ниже)

В § 1.3 показано, что геометрические инварианты обладают свойством мультипликативности относительно операции связного суммирования многообразий

Пусть М\, М2 — ориентироьавяые замкнутые 3-многообразпя, р,: щ (Л/,) —> Е(3) — представление фундаментальной группы многообразия А/, в Е(3) Обозначим 7Г 1(М\) * 7Г1 (М2) —» Е(3) представление свободного произведения групп 7Г1(М1) и к\(Л£2) такое, что |»1(М) = А

Теорема 3. Пусть представление Рг — в тривиально. Тогда, для многообразия Л/1#М2 и представления р# геометрический инвариант равен

Наконец, в § 1 4 проводятся подробные вычисления инварианта для следующих многообразий

• Линзовые пространства £(р, д)

Теорема 4. Инвариант 1к(Ь(р, д)) для линзового пространства Ь(р, д) « нетривиального представления рк фундаментальной-группы Ър имеет вид

гдек = 1,...,р—1

• Октаэдрическое многообразие S3/P24 и неабелево представление pero фундаментальной группы Инвариант в данном случае

• Пространство Б2 х 51 и нетривиальное представление его бесконечной фундаментальной группы. Параметризуем представление р Ъ —* Е(3) переменными Л и 7 — сдвигом и поворотом вокруг фиксированной оси соответственно. Тогда

1Р#{МФМ2) = -мм,) • /Л(М2).

(3)

Ip(Ss/P2i) = 4

(4)

/7,л(52 х5г) = (2-2cos7)4.

(5)

Вторая глава посвящена теории геометрических инвариантов для узлов и зацеплений Здесь также можно выделить несколько основных этапов построения инварианта

В § 2 1 по заданному ориентированному зацеплению Ь строится триангуляция трехмерной сферы 53, удовлетворяющая следующим условиям

1) все зацепление Ь лежит на некоторых ребрах триангуляции,

2) не более чем две вершины любого тетраэдра триангуляции принадлежат Ь,

3) вершины любого ребра е триангуляции либо различны, либо совпадают, причем в последнем случае е представляет меридиан соответствующей компоненты зацепления

Ребра с совпадающими вершинами из условия 3) необходимы для описания локальных преобразований триангуляции 1 2, которых в совокупности с движениями Пахнера достаточно для того, чтобы преобразовать одну триангуляцию сферы со свойствами 1) - 3) в любую другую с теми же свойствами4.

Здесь же, в § 2 1, формулируется общий алгоритм построения описанного разбиения для произвольного Ь

Далее, по заданному представлению р- жЬ —> ЭО(3) группы зацепления в группе БО(3) строится разветвленное вдоль Ь накрытие трехмерной сферы, соответствующее ядру представления После этого, в полной аналогии со случаем 3-многообразий накрывающее пространство отображается в трехмерное евклидово пространство в соответствии с действием группы 1т р

В § 2 2 строится алгебраический комплекс, аналогичный (1) Фиксированные базисы линейных пространств в нем состоят из дифференциалов евклидовых величинкоординат вершин, длин ребер и т д Наконец, в предположении ацикличности этого комплекса определяется его кручение т и далее геометрический инвариант зацепления

N

П(2-2соз<^УЬ

4Корепанов И.Г Геометрия евклидовых тетраэдров в инварианты узлов // Фундаментальная и прнмад-вая математика-2005 -Т11, № 4 - С 105-11?

Здесь N — число компонент зацепления, п_, — количество вершин в триангуляции сферы З3, принадлежащих /-ой компоненте зацепления, <р3 — параметры представления р (поворот на угол вокруг перехода, принадлежащего ]-ой компоненте, определяет обр;оующую группы зацепления в копредставлении Виртингсра) В знаменателе, произведение квадратов длин ребер распространяется только на те ребра из фундаментального семейства Т, через которые проходит зацепление. Произведение ушестеренных объемов V распространяется на все тетраэдры из Т

В § 2 3 проводятся подробные вычисления инварианта для трилистника в случае абелева и неабелева представлений его группы в 80(3) Здесь же формулируется гипотеза о том, что для абелевых представлений группы зацепления наш инвариант выражается через полином Александера

Гипотеза 1. Пусть Ь — зацепление с N компонентами, Дх,(<ь... ,<лг) — его полином Александера Если представление р- тгЬ 80(3) абелево, то

j (L) = Г-|Дь(е^)Г4" (2 ~ 2cos¥>1 )2' N = 1 f7)

l-IA^e"^....^^)!-4, JV > 1.

Третья глава посвящена обобщению нашего инварианта, которое можно назвать ''скрученным" геометрическим инвариантом, тк идея построения здесь во многом схожа с идеей построения скрученного полинома Александера

В § 3 1 проведено построение "скрученной" версии инварианта для 3-много-образий

Пусть М — связное замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие, Т — его триангуляция, tti(M) — фундаментальная группа Сначала мы берем представление р. тг\(М) —> Е(3) и соответствующее ему регулярное накрытие рр. М —> М с индуцированной симплициальной структурой Т Затем выделяем из Т фундаментальное семейство симплексов Т и строим непрерывное отображение Г. Т —* Ж3

Таким образом, до этого момента построение "скрученного" геометрического инварианта ничем не отличается от построения обычного инварианта, описанного в главе 1 Различия начинаются на этапе построения алгебраического комплекса. Можно сказать, что идея обобщения инварианта заключается в замене на этом этапе представления р тензорным произведением а® р, где

а- ММ) — Нх{М)/TorsHi(M) a (ii, .. ,iA | t%t3 = i,*,,Vm). (8)

В предположении ацикличности "скрученного" геометрического комплекса можно определить его кручение г и затем инвариант

т

(9)

где V — ушестеренный объем тетраэдра и произведение распространяется на все тетраэдры из Т

В конце § 3 1 в качестве примера проводятся вычисления "скрученного1' инварианта для многообразия S2 х S1 При этом мы используем ту же самую триангуляцию и то же самое представление р, что и при вычислениях "нескру-ченной" версии инварианта Результат вычислений имеет вид

/авр(52 xS')=^8 sin | sin sin , (10)

где мы использовали представление 2 —» U(l) ■ t е** для того, чтобы перейти от элемента группы t к вещественной переменной <р

В § 3 2 строится "скрученный" геометрический инвариант для зацеплений Пусть L — снабженное ориентацией зацепление с N компонентами. Как и при построении "нескручеиной" версии инварианта пз главы 2, сначала берется триангуляция 3-сферы, по ребрам которой проходит зацепление Затем, по заданному представлению р тгЬ -* SO(3) строится разветвленное вдоль L накрытие сферы с индуцированной снмплицнальной структурой, и в нем выделяется фундаментальное семейство симплексов Т. После этого, накрывающее пространство отображается в трехмерное евклидово пространство в соответствии с действием группы Im р.

На этапе построения алгебраического комплекса представление р, в полной аналогии со случаем 3-многообразий, заменяется тензорным произведением представлений а ® р, где

а. nL -> Z* 3 (tu. .,tN | t,tj = tjt,,Vt,j) (11)

— представление абелизацин. Тогда, "скрученный" геометрический инвариант определяется по формуле

П(2соб^ -t3 -tjl)n¡ UP(L) = т • ^---(12)

Здесь, г — кручение "скрученного" геометрического комплекса, п3 — количество вершин в триангуляции сферы, принадлежащих _?-ой компоненте зацепления, —- углы, параметризующие представление р, ^ — образ меридиана .7-0Й компоненты относительно а В знаменателе, произведение ушестеренных объемов V распространяется на все тетраэдры из Т.

В конце § 3 2 проводятся вычисления "скрученного" инварианта для трилистника Зх и неабслева представления р Результат вычислений имеет вид

г3

ЛваДЗО = _ ^2 (13)

Напомним, что скрученный полипом Алсксапдера для трилистника и г (сабе лева представлешш р. ттЗ^ —> ЭО(3) равен

Дз,^)^!-«3. Сравнивая это с (13), получаем

Проведенные вычисления показали, что аналогичный результат верен и для других узлов и зацеплений, в частности, для восьмерки и зацепления Уайтхеда

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору И Г Корепанову, за постановку задач, постоянное внимание и помощь в работе

Работы автора по теме диссертации

1 Корепанов И Г, Мартюшев Е.В Классическое решение уравнения Пентагона, связанное с группой SL(2) // ТМФ - 2001 - Т129, № 1 - С 1320-1324

2 Korepanov I G., Martyushev Е V Distinguishing three-dimensional lens spaces L(7,1) and 1,(7,2) by means of classical pentagon equation // J Nonhn Math Phys - 2002 - Vol.9 , No 1- P 86-98

3 Martyushev EV Euclidcan simplices and invariants of three-manifolds a modification of the invariant for lens spaces // Известия Челябинского научного центра - 2003 - Vol Л 9 , No.2 - P1-5

4. Martyushev E V. Euclidean geometric invariants of links m 3-sphere // Известия Челябинского научного центра - 2004 - Vol.26 , No 4 - РЛ-5

5 Мартюшев Е В. Геометрические инварианты триангулированных накрытий, ветвящихся вдоль зацеплений // Труды 36-й Региональной молодежной конференции - Екатеринбург. Изд-во Института математики и механики УрО РАН, 2005 - С.47-51

Мартюшев Евгений Владимирович

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ ТРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ, УЗЛОВ И ЗАЦЕПЛЕНИЙ

01.01.04 - «Геометрия и топология»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Издательство Южно-Уральского государственного университета

Подписано в печать 19 07 2007 Формат 60 х 84 1/16 Печать офсетная Услпечл 0,70 Уч-изд л. 0,78. Тираж 60 экз Заказ 279/290

Отпечатано в типографии Издательства ЮУрГУ. 454080, г. Челябинск, пр им В И Ленина, 76.

Введение.

Глава 1. Геометрические инварианты трехмерных многообразий.

§1.1. Допустимая расцветка и отображение Г: Т —> М3.

§ 1.2. Ациклический комплекс и инвариант 3-многообразия.

§ 1.3. Мультипликативность инварианта относительно связной суммы.

§ 1.4. Примеры вычислений.

Глава 2. Модификация инварианта для зацеплений.

§2.1. Триангуляции разветвленных накрытий 3-сферы.

§ 2.2. Ациклический комплекс и инвариант зацепления.

§ 2.3. Вычисления для трилистника.

Глава 3. "Скрученная" версия геометрического инварианта.

§ 3.1. Построение для 3-многообразий.

§3.2. Построение для зацеплений.

Настоящая диссертация посвящена одной из наиболее актуальных областей современной математики — инвариантам трехмерных многообразий, узлов и зацеплений. Инварианты многообразий — это специальным образом построенные величины, значения которых определяются лишь топологическими свойствами каждого конкретного многообразия и не зависят от деталей построения. Задача различения З-многообразий с помощью инвариантов является составной частью важнейшей задачи маломерной топологии — полной классификации трехмерных многообразий.

Все трехмерные многообразия, рассматриваемые в диссертации, принадлежат кусочно-линейной категории. Напомним, что но определению топологического n-мерного многообразия М, каждая его точка имеет окрестность гомео-морфную евклидовому пространству Rn. Конкретный гомеоморфизм ф: R" —> М назовем картой, совокупность карт, покрывающих М — атласом. Если ф,ф: R" —> М — две карты, то определен гомеоморфизм перехода ф~1ф, отображающий одну область в Rra на другую. Если ф~1ф принадлежит классу кусочно-линейных гомеоморфизмов, то карты ф и ф называются PL согласованными. Многообразие М называется кусочно-линейным или PL n-многообразием, если его атлас состоит из PL согласованных карт. В случае если все ф~1ф являются диффеоморфизмами, многообразие М называется гладким.1

Согласно результату Э. Мойса [55], в размерности 3 на любом топологическом многообразии М можно ввести как гладкую, так и кусочно-линейную структуру. При этом такая структура единственна в смысле существования диффеоморфизма или кусочно-линейного гомеоморфизма меж^1у любыми двумя гладкими или кусочно-линейными многообразиями, шмеоморфными многообразию М. Таким образом, в размерности

3 категории топологических, кусочно-линейных и гладких многообразий практически совпадаю!.

Кусочно-линейное многообразие всегда можно триангулировать. Подчеркнем, что в диссертации мы будем иметь дело с триангуляциями в широком (некомбинаторном) смысле: симплекс некоторой размерности в нашей триангуляции может не определяться однозначно множеством своих вершин.2 Например, триангуляция n-мерной сферы может состоять из двух п-симплексов, грани которых попарно склеиваются по тождественному гомеоморфизму.

Разумеется, одно и то же PL n-многообразие можно триангулировать многими различными способами. В связи с этим возникает вопрос о том, каким образом связаны две триангуляции одного и того же PL n-многообразия. В начале 1930-х годов Дж. Александер [24] и М. Ньюман [58] показали, что любое подразделение симплициального комплекса может быть получено из исходного посредством конечной последовательности комбинаторных преобразований комплекса — так называемых звездных движений. Однако, количество таких движений бесконечно даже для размерности 3. Значительно позднее, в 1991 году, немецкий математик У. Пахнер [59] выделил конечное, множество комбинаторных движений, достаточных для того, чтобы перейти от одной триангуляции кусочно-линейного многообразия к любой другой.

Теорема 0.1 ([57, 59]). Любые две триангуляции одного PL п-многообразия связаны конечной последовательностью движений Пахнера.

Движения Пахнера, фигурирующие в теореме, — это локальные преобразования триангуляции многообразия (аналоги движений Райдемайстера в теории узлов). В каждой размерности количество таких движений конечно. Например, в размерности 3 существует только четыре типа движений Пахнера:

2В литературе часто можно встретить термин псевдотриангуляция. d d E E a) 2 <-> 3 d d A С В В b) 1«-+ 4

Рис. 1. Движения Пахнера

2 —» 3, 1 —> 4 и обратные к ним. Определяются они следующим образом. Выделим в триангуляции PL 3-многообразия два смежных тетраэдра ABCD и ЕАВС. При движении 2 —»• 3 мы добавляем новое ребро DE к триангуляции и тем самым заменяем два исходных тетраэдра на три новых — ABED, ВС ED и CAED (рис. 1(a)). При движении 1 —» 4 в исходный тетраэдр ABCD добавляется новая вершина Е и четыре новых ребра АЕ, BE, СЕ и DE. При этом, взамен тетраэдра ABCD появляется четыре новых тетраэдра АВСЕ, ABED, BCED и CAED (рис. 1(b)). Таким образом, из теоремы Пахнера сле/^ет, что если у нас есть две триангуляции одного кусочно-линейного трехмерного многообразия, то с помощью конечной последовательности четырех описанных движений можно перейти от одной триангуляции к другой.

Теперь, если какая-либо величина, сопоставленная триангуляции много образия, не меняется при движениях Пахнера, то, согласно теореме 0.1, эта величина не зависит и от конкретного способа триангуляции. Значит она зависит только от топологических свойств самого многообразия — является топологическим инвариантом данного многообразия. Примеры подобного рода инвариантов — эйлерова характеристика х = ]CLo(—-О1 #{^-симплексы},3 инварианты Тураева-Виро [70j.

В настоящей работе мы развиваем теорию новых топологических инвариантов трехмерных многообразий, узлов и зацеплений, построенных в работах И.Г. Корепанова [43, 8, 9, 10, 44] в 2001-2004 гг. Мы называем эти инварианты геометрическими, поскольку их построение существенным образом опирается на геометрию трехмерного евклидова пространства. Идея построения инвариантов вкратце заключается в следующем.

Мы используем, с одной стороны, обобщение известной из теории струн в теоретической физике s t дуальности [5], ас другой — кручение ациклических комплексов, что берет начало из работ К. Райдемайстера и В. Франца 1930-х годов [62, 32].

Как известно, в теории струн элементарная частица считается не точкой, а линией; соответственно, при движении во времени она заметает мировую поверхность — с математической точки зрения, двумерное многообразие. Сами по себе двумерные многообразия давно классифицированы, но для нас важно, что s t дуальность может быть обобщена на большие размерности. В частности, обобщение s t дуальности на трехмерный случай — это так называемое классическое уравнение Пентагона. Уравнением Пентагона мы называем всякое алгебраическое соотношение, в естественном смысле соответствующее движе

З3десь и ниже, символ # означает число элементов в каком-либо конечном множестве, в данном случае, множестве г-мерных симплексов. нию Пахнера 2 <-> 3 (см. рис. 1(a)), например следующее:

VabcdVeabc = -VabedVbcedVcaed ■ 79—(1) lde ulde

Здесь Vabcd ~ ушестеренный объем ориентированного тетраэдра ABCD в трехмерном евклидовом пространстве: Vabcd = {?ав х г ас) • Ide — евклидова длина ребра DE: Ide = л/fbs • ^de и а;^^ — угол дефекта в ребре DE, который определяется как минус сумма двугранных углов, сосредоточенных в ребре DE, по модулю 27г.

Производную в формуле (1) нужно понимать так. Вокруг ребра DE на рисунке 1(a) сосредоточено три тетраэдра. Обозначим соответствующие двугранные углы как а, (5 и 7. Каждый из этих углов является функцией от Ide при фиксированных длинах остальных девяти ребер. Тогда, мы полагаем duDE да д(3 д-у OIDE 91DE dloE 91DE ' где каждая из производных в правой части берется при значении Ide, при котором ude — 0.

Мы не формализуем здесь понятий "квантовое" и "классическое". Соотношение (1) мы называем классическим, поскольку величины, которые оно связывает, не имеют квантового характера. В то же время, соотношение (1) заслуживает названия "квазиклассическое", т.к. с помощью квазиклассического предельного перехода (используя формулу Понцано-Редже-Робертса [60, 64] и метод стационарной фазы) оно может быть получено из аналогичного соотношения для так называемых б^'-символов.

Понятие б^'-символа впервые появилось в работе Г. Рака [61], который определил их для упрощения вычислений в атомной спектроскопии. Примерно и это же время Ю. Вигнер [73] дал более строгое определение 6 7-символа через разложение на неприводимые составляющие тензорного произведения представлений группы SU(2). По сути, Gj-символ — это скалярная функция от шести переменных, принимающих целые или полуцелые положительные значения. 6/-символ обладает множеством симметрии, которые естественно связаны с симметриями обычного евклидового тетраэдра. Кроме того, 6j-сим вол удовлетворяет уравнению Пентагона (Биденгарна-Эллиотта).

В 1989 году А. Кириллов и Н. Решетихин [38] определили квантовый аналог б^'-символа, используя представления квантовой обертывающей алгебры Uq(s\(2)) взамен группы SU(2), а в 1992 году В. Тураев и О. Виро [70] на основе квантового б^'-символа определили инвариант 3-мерного многообразия, используя квантовый аналог уравнения Пентагона.

Аналогично тому, как из уравнения Пентагона для квантовых Gj-cmmbojiob получаются инварианты Тураева-Виро, геометрические инварианты можно построить на основе "квазиклассического" соотношения (1). Однако, в отличие от инвариантов Тураева-Виро, построение наших инвариантов естественно вести на языке накрытий и кручений ациклических комплексов, сопоставленных этим накрытиям.

Геометрические инварианты допускают многочисленные обобщения и модификации. Например, взамен трехмерного евклидова пространства можно использовать трехмерную сферу и рассматривать представления фундаментальной группы в группе SO(4). Начало такой деятельности положено в работе Ю. Тэйлор и К. Вудворда [66]. Помимо евклидовой и сферической геометрий, оказывается возможным получить аналог уравнения Пентагона (1) для двумерной аффинной геометрии плоскости с группой изометрий SL(2,R) и затем, через "глобализацию" этой формулы, построить инвариант 3-мерных многообразий, см. работы [И, 13].

Кроме того, можно дополнительно "подкрутить" инвариант, введя в рассмотрение представления фундаментальной группы в группе автоморфизмов линейных пространств, возникающих при построении инварианта. Для линзовых пространств эта возможность исследована в работе [50].

Также стоит отметить, что некоторые формулы, используемые при построении инвариантов, весьма напоминают квазиклассический предел соотношений для квантовых объектов. Например, как уже отмечалось, соотношение (1) есть квазиклассическая асимптотика уравнения Пентагона для Gj-сим-волов. Поэтому, вполне вероятно, что геометрические инварианты могут оказаться лишь пределами каких-то более общих квантовых структур. Более подробную информацию об этом можно найти в работе [45].

Основной целыо настоящей работы является развитие теории геометрических инвариантов для многообразий, узлов и зацеплений, изучение их некоторых свойств и вычисление этих инвариантов для конкретных примеров.

Полученные в работе теоретические результаты являются новыми и могут быть использованы как в чистой математике для различения 3-многообразий и узлов, так и в математической физике, а именно, при построении новых топологических квантовых теорий поля.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на девять параграфов и списка литературы.

1. Барут, А. Теория представлений групп и ее приложения, том 1 / А. Барут, Р. Рончка- М.: Мир, 1980 - 455 с.

2. Берже, М. Геометрия, том 1 / М. Верже,- М.: Мир, 1984 560 с.

3. Виро О.Я. Двулистные разветвленные накрытия трехмерной сферы / О.Я. Виро // Записки научных семинаров ЛОМИ 1973 - Т.36- С.6-39.

4. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер- М.: Наука, 1966 576 с.

5. Грин, М. Теория суперструн, том 1 / М. Грин, Дж. Шварц, Э. Виттен-М.: Мир, 1990.- 518 с.

6. Зейферт, Г. Топология / Г. Зейферт, В. Трельфалль Ижевск: РХД, 2001,- 448 с.7j Дубровин, В.А. Современная геометрия: Методы и приложения / Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко М.: Наука, 1986 - 760 с.

7. Корепанов, И.Г. Геометрия евклидовых тетраэдров и инварианты узлов / И.Г. Корепанов // Фундаментальная и прикладная математика 2005-Т.11, № 4.- С.105-117.

8. Корепанов, И.Г. Классическое решение уравнения Пентагона, связанное с группой SL(2) / И.Г. Корепанов, Е.В. Мартюшев // ТМФ,- 2001. Т.129, № 1.- С.1320-1324.

9. Матвеев, С.В. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии / С.В. Матвеев, А.Т. Фоменко М.: Изд-во МГУ, 1991 - 301 с.

10. Прасолов В.В. Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия / В.В. Прасолов, А.Б. Сосинский М.: МЦНМО, 1997.- 360 с.

11. Рурк, К. Введение в кусочно линейную топологию / К. Рурк, Б. Сандерсон.- М.: Мир, 1974,- 208 с.

12. Савельев, Н.Н. Лекции по топологии трехмерных многообразий. Введение в инвариант Кассона / Н.Н. Савельев М.: МЦНМО, 2004 - 216 с.

13. Тёрстон, У. Трехмерная топология и геометрия / У. Тёрстон.- М.: МЦНМО, 2001.- 312 с.

14. Тураев, В.Г. Введение в комбинаторные кручения / В.Г. Тураев- М: МЦ-НМО, 2004.- 136 с.

15. Халмош, П. Конечномерные векторные пространства / П. Халмош.- М.: Физматгиз, 1963.- 264 с.

16. Шафаревич, И.Р. Основы алгебраической геометрии, том. 1 / И.Р. Шафаревич.- М.: Наука, 1988.- 348 с.

17. Adams, С.С. The knot book / С.С. Adams.- Providence: American Mathematical Society, 2004 P.307.

18. Alexander, J.W. Topological invariants of knots and links / J.W. Alexander // Trans. Amer. Math. Soc.- 1928,- Vol.30.- P.275-306.

19. Alexander, J.W. The combinatorial theory of complexes / J.W. Alexander // Ann. of Math.- 1930.- Vol.31.- P.292-320.

20. Barrett, J.W. Invariants of piecewise-linear 3-manifolds / J.W. Barrett, B.W. Westbury // Trans. Amer. Math. Soc.- 1996.- Vol.348.- P.3997-4022.

21. Bott R. Differential forms in algebraic topology (Graduate texts in mathematics) / R. Bott, L.W. Tu New York: Springer-Verlag, 1982,- P.331.

22. Chapman, T. Topological invariance of Whitehead torsion / T. Chapman // Amer. J. Math 1974.- Vol.96.- P.488-497.

23. Cohen, M. A course in simple homotopy theory (Graduate texts in mathematics) / M. Cohen New York: Springer-Verlag, 1973 - P.114.

24. Franz, W. Uber die torsion einer iiberdeckung / W. Franz // J. R,eine Angew. Math.- 1935,- Vol.173.- P.245-254.

25. Fox, R.H. Covering spaces with singularities / R.H. Fox // Algebraic Geometry and Topology: A symposium in honor of S.Lefschetz. Princeton Math. Series-1957,- Vol.12.- P.243-257.

26. Goda H. Reidemeister torsion, twisted Alexander polynomials and fibered knots / H. Goda, T. Kitano, T. Morifuji // Comment. Math. Helv.- 2005.-Vol.80, No. 1,- P.51-61.

27. Heusener, M. SO(3)-representation curves for two-bridge knot groups / M. Heusener // Math. Ann.- 1994.- Vol.298.- P.327-348.

28. Heusener, M. An orientation for the SU(2)-representation space of knot groups / M. Heusener // Topology and its Applications.- 2003 Vol.127.- P.175-197.

29. Heusener, M. Deformations of reducible representations of 3-manifold groupsinto PSL2(C) / M. Heusener, J. Porti j j Algebraic and Geometric Topology -2005,- Vol.5 P.965-997.

30. Kirillov, A.N. Representations of the algebra Uq(sl(2)), g-orthogonal polynomials and invariants of links / A.N. Kirillov, N.Yu. Reshetikhin // Infinite-dimensional Lie algebras and groups Teaneck: World Sci. Publ. Co., 1989.- P.285-339.

31. Kirk, P. Twisted Alexander invariants, Reidemeister torsion, and Casson-Gordon invariants / P. Kirk, C. Livingston // Topology.- 1999.- Vol.38 -P.635-661.

32. Kitano, T. Twisted Alexander polynomial and Reidemeister torsion / T. Kitano // Pacific J. Math.- 1996.- Vol.174, No.2.- P.431-442.

33. Kitano, T. Twisted Alexander polynomial and surjectivity of a group homomorphism / T. Kitano, M. Suzuki, M. Wada // Algebr. Georn. Topol-2005,- Vol.5.- P.1315-1324.

34. Klassen, E. Representations of knot groups in SU(2) / E. Klassen // Trans. Ainer. Math. Soc 1991,- Vol.326.- P.795-828.

35. Korepanov, I.G. Invariants of PL manifolds from inetrized simplicial complexes / I.G. Korepanov // J. Nonlin. Math. Phys 2001,- Vol.8., No.2.- P.196-210.

36. Korepanov, I.G. Euclidean tetrahedra and knot invariants / I.G. Korepanov // Известия Челябинского научного центра.- 2004 Vol.24., No.3 - P.l-5.

37. Korepanov, I.G. Invariants of three-dimensional manifolds from fourdimensional Euclidean geometry / I.G. Korepanov // preprint-arXiv:math.GT/0611325 2006.

38. Korepanov, I.G. Distinguishing three-dimensional lens spaces L(7,1) and L(7,2) by means of classical pentagon equation / I.G. Korepanov, E.V. Martyushev // J. Nonlin. Math. Phys.- 2002.- Vol.9., No.l- P.86-98.

39. Lickorish, W.B.R. Siinplicial moves on complexes and manifolds / W.B.R. Lickorish // Geometry and Topology Monographs 1989 - Vol.2-P.299-320.

40. Lickorish, W.B.R. An introduction to knot theory (Graduate texts in mathematics) / W.B.R. Lickorish New York: Springer-Verlag, 1997 - P.220.

41. Lin, X.S. Representations of knot groups and twisted Alexander polynomials / X.S. Lin // Acta Math. Sin.- 2001.- Vol.17, No.3 P.361-380.

42. Martyushev, E.V. Euclidean sirnplices and invariants of three-manifolds: a modification of the invariant for lens spaces / E.V. Martyushev // Известия Челябинского научного центра 2003 - Vol.19., No.2- P.l-5.

43. Martyushev, E.V. Euclidean geometric invariants of links in 3-sphere / E.V. Martyushev // Известия Челябинского научного центра- 2004-Vol.26., No.4.- P.l-5.

44. Milnor, J.W. A duality theorem for Reidemeister torsion / J.W. Milnor // Ann. of Math.- 1962.- Vol.76.- P.134-147.

45. Milnor, J.W. Whitehead torsion / J.W. Milnor // Bull. Arner. Math. Soc-1966.- Vol.72.- P.358-426.

46. Milnor, J.W. Collected papers, Vol. l:Geometry / J.W. Milnor.- Houston: Publish or Perish, Inc., 1994.- P.295.

47. Moise, E.E. Affine structures in 3-manifolds: V. The triangulation theorem and Hauptvermutung / E.E. Moise // Ann. of Math 1952.- Vol.56.- P.96-114.

48. Mulazzani, M. The many faces of cyclic branched coverings of 2-bridge knots and links / M. Mulazzani, A. Vesnin // preprint arXiv:math.GT/0106164-2005.

49. Newman, M.H.A. On the foundations of combinatorial analysis situs / M.H.A. Newman // Proc. Royal Acad. Amsterdam 1926 - Vol.29.- P.610-641.

50. Newman, M.H.A. A theorem in combinatorial topology / M.H.A. Newman // J. London Math. Soc 1931.- Vol.6.- P.186-192.

51. Pachner, U. PL homeornorphic manifolds are equivalent by elementary shellings / U. Pachner // Europ. J. Combinatorics 1991- Vol.12.- P.129-145.

52. Ponzano, G. Semiclassical limit of Raeah coefficients / G. Ponzano, T. Regge // Spectropic and Group Theoretical Methods in Physics 1968 - P.l-58.

53. Racah, G. Theory of complex spectra II / G. Racah // Phys. Rev 1942-Vol.62.- P.438-462.

54. Reidemeister, K. Homotopieringe und linsenrauirie / K. Reidemeister // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 1935.- Vol.11.- P.102-109.

55. Riley, R. Nonabelian representations of 2-bridge knot groups / R. Riley j j Quart. J. Math. Oxf.- 1984.- Vol.35.- P.191-208.

56. Roberts, J. Classical 6j-symbols and the tetrahedron / J. Roberts // Geometry and Topology.- 1999.- Vol.3.- P.21-66.

57. Rolfsen D. Knots and links, Mathematics lecture series, Vol. 7 / D. Rolfsen-Houston: Publish or Perish, Inc., 1976,- P.439.

58. Taylor, Y. Spherical tetrahedra and invariants of 3-manifolds / Y. Taylor, C. Woodward // preprint.- arXiv:math.GT/0406228.- 2004.

59. Taylor, Y. 6j symbols for Uq(sI2) and non-Euclidean tetrahedra / Y. Taylor, C. Woodward // Selecta Math.- 2005,- Vol.11, No.3-4.- P.539-571.

60. Turaev, V.G. Reidemeister torsion and the Alexander polynomial / V.G. Turaev // Math. USSR Sb.- 1976.- Vol.30, No.2.- P.221-237.

61. Turaev, V.G. Reidemeister torsion in knot theory / V.G. Turaev // Russian Math. Surveys.- 1986.- Vol.41., No.l.- P.119-182.

62. Turaev, V.G. State sum invariants of 3-manifolds and quantum 6j-syinbols / V.G. Turaev, O.Ya. Viro // Topology.- 1992.- Vol.31.- P.865-902.

63. Wada, M. Twisted Alexander polynomial for finitely presentable groups / M. Wada // Topology.- 1994.- Vol.33, No.2.- P.241-256.

64. Waldhausen, F. Algebraic K-theory of generalized free products. Part I / F. Waldhausen // Ann. of Math 1978.- Vol.108.- P.135-204.

65. Wigner, E.P. On the matrices which reduce the Kronecker products of representations of S.R. groups, manuscript (1940) / E.P. Wigner // Quantum Theory of Angular Momentum New York: Academic Press, 1965 - P.87-133.