Геометрические методы исследования интегрируемых и суперинтегрируемых систем в классической механике тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

¿¿¿Ру^—

005053819

Григорьев Юрий Александрович

Геометрические методы исследования интегрируемых и суперинтегрируемых систем в классической механике

01.04.02 - Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 5 ОКТ 2012

Санкт-Петербург - 2012

005053819

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государстгшенном университете.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор,

Цыганов Андрей Владимирович

Бабич Михаил Васильевич, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, Санкт-Петербургское отделение Матемаг ческого института им. В. А. Стеклова РА ведущий научный сотрудник;

Борисов Алексей Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, Удмуртский государственнъ ■университет, заведующий сектором

Федеральное государственное бюджеты учреждение науки Институт машиновео ния им. A.A. Благонравова Российской ак демии наук (ИМАШ РАН)

Защита состоится « » ^ ' ЯБРЯ 2012 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.232.24 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, Средний пр., д. 41/43, ауд. 304

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан СЕНТЯБРЯ 2012 г.

Ведущая организация:

Ученый секретарь диссертационного совета

Аксенова Е. В.

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Исследование интегрируемых систем с момента постановки задачи разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби и поиска интегралов движения систем классической механики являлось одной из самых сложных проблем теоретической физики. После первых успехов для множества известных к тому времени и некоторых вновь построенных интегрируемых систем прогресс в этой области замедлился, поскольку общего метода исследования заданной интегрируемой системы не было обнаружено, и нахождение переменных разделения превратилось в своего рода искусство, в котором каждый из исследователей должен был выбирать различные методы решения для различных систем, не имея возможности предвидеть результаты применения этих методов и очертить круг действий (-таких, как замены переменных, переход к промежуточным координатам), необходимых для успешности исследования.

Нахождение переменных разделения для конечномерных интегрируемых систем оставалось скорее искусством, чем научным методом па протяжении более века, хотя в течение этого времени были построены подробные классификации интегрируемых систем по виду интегралов движения, и выявлена связь теории интегрируемых систем с некоторыми классами нелинейных систем. Метод решения обратной задачи рассеяния, построенный во второй половине XX века, позволил найти явные решения для широкого класса нелинейных уравнений, а последующий перенос многих его положений на квантовый случай предоставил возможность его применения для построения точных решений большого количества интегрируемых систем, описывающих модели квантовой механики, квантовой теории поля и статистической физики.

Дальнейшее изучение возможностей переноса методов исследования интегрируемых систем с классических на квантовые случаи позволило выделить

основные элементы таких схем, вернуться к исследованным ранее классическим системам и сделать первые шаги к пониманию причин успеха или неудачи в разделении переменных для тех или иных систем. Внутренние симметрии систем и вообще методы задания систем и пространств, в которых интегрируемые системы определены, оказали определяющее влияние на развитие методов разделения переменных в 1980-е годы. Найденные инвариантные характеристики интегрируемых систем позволили создать новый математический аппарат для решения классической задачи, в котором оказались естественным образом взаимосвязаны функциональный анализ, теория функций, алгебраическая, дифференциальная и пуассопова геометрия, теория групп и алгебр Ли.

Быстрое развитие в конце XX и начале XXI века компьютерных средств, разработанных для решения различных математических задач, в частности, пакетов компьютерной алгебры общего назначения, позволило в полной мере использовать найденные связи между теорией интегрируемых систем и другими областями математической физики. Возможность использовать компьютеры для сложных и объёмных расчётов оказалась ключевой для применения формализованных методов исследования интегрируемых систем, позволив как применять их для уже изученных систем с интегралами высоких степеней по импульсам, так и с гораздо меньшими усилиями исследовать обширные классы в том числе и новых интегрируемых систем.

Таким образом, современные хорошо формализуемые методы исследования интегрируемых систем являются одним из актуальных направлений в теории квантовых и классических интегрируемых систем. Интерес к таким методам определяется не только практическим значением метода для разделения переменных в заданной системе классической механики, но и теоретическими возможностями построения новых интегрируемых систем и более полного понимания их организации, как для классического, так и для

квантового случая.

Цель диссертационной работы состоит в развитии геометрических методов исследования интегрируемых по Лиувиллю систем классической механики.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Реализован метод построения переменных разделения и интегралов движения для ¿-систем.

2. Разработай метод классификации интегрируемых систем типа Штеккеля.

3. Исследованы методы поиска новых интегрируемых систем.

4. Предложен метод классификации супсриптегрируемых систем типа Штеккеля, основанный па теоремах сложения.

5. Создан метод разделения переменных для широкого класса бигамильтоно-вых систем с интегралами движения старших степеней.

6. Данный метод применён к конкретным системам с интегралами высоких порядков по импульсам.

Научная новизна В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Создана практическая реализация алгоритма построения переменных разделения и интегралов движения для ¿-систем на основе методов бига-мильтоновой геометрии.

2. Построена классификация систем типа Эйлера на основе теорем сложения.

3. Предложен метод построения супсриптегрируемых систем типа Ришсло.

4. Осуществлено разделение переменных для обобщённой системы с потенциалом четвёртой степени и интегралом четвёртой степени по импульсам.

Практическая значимость Диссертация носит теоретический характер. В то же время прикладное программное обеспечение, иредставлсшюс в диссертации, может быть использовано для исследования интегрируемых и су-перинтегрирусмых систем с интегралами второго и более высоких порядков по импульсам. Метод классификации интегрируемых систем, основывающийся

на использовании теорем сложения, может быть применён для исследования существующих и построения новых суперинтегрируемых систем. Метод исследования, основанный на использовании оператора рекурсии, позволяет находить переменные разделения для широкого класса бигамильтоновых систем.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Практическая реализация алгоритма построения переменных разделения и интегралов движения для L-систем па основе методов бигамильтоновой геометрии.

2. Классификация систем типа Эйлера на основе теорем сложения.

3. Метод построения суперинтегрируемых систем типа Ришело.

4. Разделение переменных для обобщённой системы с потенциалом четвёртой степспи и интегралом четвёртой степени по импульсам.

Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. The third International Conference Superintegrable Systems in Classical and Quantum Mcchanics, Prague, 5-9 May, 2008;

2. XIII International Conference "Syinrrietry Methods in Physics", Dubna, Russia, July 6-9, 2009;

3. Sccond International Conference Gcomctry, Dynamics, Integrable Systems, Belgrade, 7-13 September 2010;

4. International Conference Geometry, Dynamics, Integrable Systems, Belgrade, 2-7 September 2008;

а также на семинарах в ОИЯИ, МГУ, СПбГУ и УдГУ.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 7 статьях в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендуемых ВАК для опубликования основных научных результатов диссертаций [Al, А2, АЗ, А4, А5, А6, А7].

Личный вклад автора Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 4 глав и библиографии. Общий объем диссертации 92 страницы. Библиография включает 103 наименования па 11 страницах.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

Обзор литературы описывает основные этапы развития теории интегрируемых систем и важнейшие полученные в данной области результаты.

В первой главе вводятся основные определения теории разделения переменных для систем классической механики. Приведены теоремы Лиувилля о полной интегрируемости системы и теорема Штекксля. Осуществляется постановка задачи разделения переменных для систем с гамильтонианом натурального вида и приводится критерий Леви-Чивита для таких систем.

Во второй главе обсуждается реализация метода разделения переменных, основанного на бигамильтоповом подходе к построению переменных разделения и интегралов движения для ¿-систем. Рассматриваются примеры использования разработанного автором программного обеспечения, реализующего этот метод в среде символьных вычислении Мар1е, для разделения переменных в системах Неймана и Холта.

При рассмотрении системы классической механики необходимо учитывать влияние метрики, задаваемой метрическим тензором С, на возможность разделения переменных. Введя через тензорное уравнение Киллинга

[К,С] = 0

тензор Киллинга К, можно построить конформный тензор Киллинга

Ь = К + /(д)С, .

где функцию / называют потенциалом, с нулевым кручением Ниейенхейса

тц = 2цд„Ц" - = 0,

который называется ¿-тензором или тензором Бененти. Важность ¿-тензора для задачи разделения переменных состоит в том, что он с помощью конструктивной процедуры, предложенной Беиенти, порождает пространство Киллинга-Штеккеля тензоров Кт, уравнения на которые сводятся к уравнениям Лсви-Чивита, и которые, с другой стороны, связаны с расслоением римапова пространства (2 на гиперповерхности, образующие веб Штеккеля.

Собственные значения тензора Беиенти являются переменными разделения для интегрируемой системы, а каноническое поднятие тензора Бененти на кокасательное расслоение Т'О, — оператор рекурсии — позволяет с помощью рекуррентной процедуры построить все интегралы движения системы.

Для нахождения ¿-тензора данной системы с гамильтонианом натурального вида Н = Т + V уравнения на его компоненты были сведены к виду

¿{±х^в - У<1а{) = 0,

где 0 = £;* .=1 Цр^ц* — ¿-деформация стандартной 1-формы Лиувилля, а <71 = (;г Ь. Эта система уравнений решается в системе символьных вычислений

Maple после преобразования к системе уравнений в частных производных на компоненты L-тснзора. В результате был реализован конструктивный алгоритм построения переменных разделения и соответствующих интегралов движения для данного гамильтониана натурального вида Н.

Созданное программное обеспечение было применено для нахождения переменных разделения для различных L-систем и показало свою эффективность, позволяя получить переменные разделения и интегралы движения за несколько минут в автоматическом режиме. В работе приведены более сложные примеры для системы Неймана и системы Холта, потребовавшей предварительной замены переменных, сводящей её к системе Штеккеля.

Результаты второй главы опубликованы в работах [А1, А2, А5, А6].

В третьей главе рассматривается метод построения и классификации суперинтегрируемых систем. После краткого обзора результатов Эйлера, впервые связавшего решение дифференциального уравнения с теоремой сложения, приводится классификация систем типа Эйлера, а затем обсуждается метод построения дополнительных интегралов движения для уравнений Абеля и построения соответствующих суперинтегрируемых систем классической механики.

Систематическое исследование суперинтегрируемых систем началось с результата Эйлера, который установил, что дифференциальное уравнение

dx dy ~r= + -7= = 0. у/Х у/?

где X = ax4 -I- 4ftx3 + 6ex2 + 4dx 4- e, и Y так же зависит от у, связано с интегралом движения

F(x, у) = ах2 у2 + 2Ьху(х + у) + с(х2 + 4ху + у2) + 2 d(x + у) + е = 0,

задающим классическую траекторию движения.

Для классификации суперинтегрируемых систем типа Эйлера рассмотрим

гиперэллиптическую кривую

/І2 = Р( А), где Р(х)=Х,

которая после замены переменных порождает заданные через матрицу Штек-келя Э разделённые уравнения для систем штеккелевского типа

к=1

Решения этих уравнений требуется ограничить, используя теоремы сложения Эйлера и получая в итоге уравнения

к^и^ = а2г^ + 4/32г>? + 672^ + 4<52г^- + е2, «1 = 1, к2 = ±1,

на функции и(д), «(д), задающие замену переменных в гиперэллиптической кривой, и коэффициенты а2, @2, - • •, с которыми в полученное уравнение входят интегралы движения Н\ и Я2.

Существует всего пять различных решений этого уравнения, и, накладывая дополнительные ограничения на метрику системы, например, требуя, чтобы кинетическая часть гамильтониана принимала вид

получим полную классификацию суперинтегрируемых систем типа Эйлера.

В качестве иллюстрации этого метода построены все суперинтегрируемые системы типа Эйлера на комплексном евклидовом пространстве Е2{С) с гамильтонианом

Н\ = РхРу + У(х, у) и вещественными потенциалами.

Обобщением результатов Эйлера можно считать теоремы сложения для

«

уравнений Абеля. Следуя Ришело, рассмотрим гиперэллиптическую кривую

у2 = /(х) = Л2пх2" + А2п-1Х2п-1 + • • ■ + Л1Х + А0 10

и систему из п — 1 дифференциального уравнения Абеля на этой кривой ¿х і (ІХ2 с/хп

: + '

^ÍJЫ

Хі<ІХі Х9С^Х2

: + ; , + ■

+... +

+

\/Ж)

Х^б/Хуі

ТтШ

= 0,

о,

хГ2<&1 хГ2^Х2

+ , . +'

I = п

уТМ ч/Ты ' ' \/7Ы

Переходя с помощью произвольных подстановок, аналогичных таковым для систем типа Эйлера, к координатам рассматриваем коэффициенты ги-

перэллцптических кривых как линейные функции интегралов системы. Решая полученные уравнения относительно интегралов движения, получаем интегралы типа Штеккеля, и, таким образом, определяем вид матрицы Штеккеля в переменных Л. Практическое применение данного метода осложнено тем, что конечным результатом должна быть система, выраженная в исходных физических переменных, а не в абстрактных переменных разделения.

Основные ортогональные системы криволинейных координат в евклидовом пространстве определяются функцией

пг=!(А - <ы _ ф(Х)

е(А) =

П£і(Л-е,) «(А)'

М = N,N±1,

где ф(А) = П*!^- Чз) и = П^гС^- ез) ~ полиномы. Если разделённые уравнения в таких координатах имеют вид

РЇ и(и)2 = ^

N

(А)- Нг\к + У Щ \п~{ -а( А)

і—2

А=9і

где а(А) = °Ч ^ ~ произвольный полином, и к = п, то соответствующий

максимально суперинтегрируемый гамильтониан

N

Н1 = Т + У=£

геэ

г=1

1

N

\=Яі

е(А)

-Е

геэ

*(А)

гг2(А)е(А)

представляется в натуральном виде в физических декартовых координатах на пространстве Е„

N М

а(Л)

Л=ЄІ

u2(A)е(Л)'

¿=1 ¿=о

таким образом, можно построить полную классификацию суперинтегрируемых систем типа Ришело в основных системах координат.

Для различных систем координат (параболической, эллиптической, вытянутой сфероидальной, параболоидалыюй, вырожденной эллиптической) можно легко построить суперинтегрируемую систему с потенциалом

_ /"W м

V = ^^ res

а(Х)

х=єі и2{Л)е(Л)'

і(А) = П(Л - -

определяемым через производящую функцию е(А) системы координат и произвольный полином а(А). При этом интегралы движения Нк системы и дополнительные интегралы движения Ришело являются полиномами, второй степени по импульсам

2

Ki =

UlPl _____ U„Pn

F'(v г)

F'(vn) J

- А2„-i(v! + ■■■ +vn) - A2n(v 1 + • • • + vn)

K2 =

UiP 1

vfF'fa)

+

+

UnPn

vlF'(vn).

2„,2

Ул V.

1 u2

Лі (— + ••• + — )- Л0 ( — + ■•• + —

\V1 V„J \vi іу

что позволяет найти суперинтегрируемые системы с гамильтонианом натурального вида на римановых многообразиях постоянной кривизны, используя теорию ортогональных систем координат и соответствующих тензоров Кил-линга, описанную во второй главе.

Результаты третьей главы опубликованы в работах [A3, А4].

В четвёртой главе рассматривается метод разделения переменных для более широкого класса интегрируемых систем, использующий общие для всех интегрируемых систем геометрические принципы и разные интегралы движения, отвечающие конкретным интегрируемым системам. Накладывая ограничения на форму бивектора Пуассона бигамильтоновой системы с гамильтонианом натурального вида, для системы Энона-Эйлеса и обобщённой системы с потенциалом четвёртой степени, с помощью данного метода оказалось возможным по двум заданным интегралам движения системы построить переменные разделения для системы и получить разделённые уравнения.

Рассматривая бигамильтоновы системы с двумя совместимыми скобками Пуассона {.,.} и {•,•}', можно заметить, что во многих случаях задающий вторую скобку бивектор Пуассона имеет натуральный вид, то есть представим в виде суммы геодезического бивектора Р'т и потенциального бивектора,

связанного с потенциалом V.

(

Р' = Рт +

О

Л,;

\

-Л

V

^ (а\ы

31 к V ^ ~

д(1г

Рк

/

Геодезический бивектор Пуассона Р? при этом определяется матрицей размерности п х п на Т*<2 и функциями х, у и т.\

/ " ЯП,,. ЯП,, \

Р>т =

к=1

дР]

\

-Плч

Е

А=1

П4

дПи 0П

к]

д<1] дт

2к(р)

/

Заданные условия на нахождение интегралов системы в инволюции относительно скобок Пуассона и нахождение бивекторов Пуассона в инволюции

относительно скобок Схоутена позволяют найти в явном виде бивекторы Пуассона системы.

Рассмотрим обобщённую систему Энона-Эйлеса с гамильтонианом

Н1 = РА + РI + |й(39? + щ1) + С2 ^ | + | .

и вторым интегралом движения четвёртого порядка по импульсам. Для разделения переменных в этой системе требуется неточечное преобразование, и конструктивного метода разделения переменных для этой системы не существовало. ' •

Решая уравнения относительно компонент бивекторов Пуассона для случая С4 — С5 = 0, можно найти два решения П, Л, х, у, г, порождающих бивекторы Пуассона Р[ и Р2 системы. Используя одно из этих' решений вместе с каноническим бивектором Пуассона, можно немедленно построить оператор рекурсии N, задающий переменные разделения и определяющий рекуррентные уравнения для вычисления интегралов движения.

В случае 04,5 ф 0 применим к бивекторам Пуассона, полученным для

предыдущего случая, каноническое преобразование —»• р\ 4- ч /-, по-

V ^

еле чего рассмотрим оператор рекурсии N2 — Рг/?-1, собственные значения которого являются корнями полинома

Р? С\Ч2 + с2 2У-2с5Р1 _ 2сЛ сЦ8д1 + д2) 11 4 + д*)Л+ 16

_ сх(4р?д2 ~ 291Р1Р2 ~ с2д\д2) _ С1\/-2с5(4р1д2 - дгр2) сгс5д2 169? + 2д\ '

и построим дополнительный полином А(А) = ахЛ + а о, являющийся решением

уравнений ■ ; .

..... ,, {¿2ц2 + + ¿о) В(А) - (¿2А2 + + ¿о)

=--. •-—-:->

{Л(А),ЛМ} = 0

относительно неизвестных функций £11,0, <¿1,2 И <¿0- После того, как полином Л (Л) найден, легко вычислить сопряжённые импульсы и построить обратное каноническое преобразование от переменных разделения к исходным переменным. Разделённые уравнения для системы Энона-Эйлеса имеют вид

Ф(ик,рик) = Ф +(ик,рик)Ф^ик,рик)-С*{С2 - = о, к — 1,2,

где

Этот метод также применён для обобщённой системы с потенциалом четвёртого порядка, для которой заданы гамильтониан

р\ +р1 , С! , 4 2 2 С2 , 2 2с3 С4 С5

Я1 = ---+ -г{я1 + 6^92 + 892) + ^Г (.91 + 4?2) +-Т + -2+-6

/ Ч2 Ч\ Ч\

и второй интеграл движения четвёртого порядка по импульсам. Для этой

системы существуют разделённые уравнения; в зависимости от значений

параметров с\ и С5 разделённые уравнения имеют штеккелевский или нештек-

келевский вид. Далее в главе воспроизведён в рамках бигамильтонова подхода

известный результат для случая С4 = С5 = 0

т , ч „ 1 ггг 9 2ы? 2с2щ 2схсз

Ф_ (щ,рщ )=Н1--^Н2 + 2с1и1р2щ--^ + + —— = 0,

2 С1 С1 Щ

т , 1 гтг 9 2с2и2 2с\сз

Ф+ (и2,Рп2) = #1 + -^Н2 + 2С1и2р12--* + -И + —^ = 0.

2 С1 С\ и2

а затем для случая 04,5 ф 0 получены новые нештеккелевские разделённые

уравнения

Ф {ик,Рик) = Ф+ (ик,Рик) Ф_ (ик,рик) + с4 (2щ - с2) - 2\/-2сърикикс1 = 0 ,

I

где

л I \ и 1 ПГ , о 2 2и1 , 2с2м)Ь , 2с1с3 п

ф± {Щ,Рик) = нх±-у/Н2 + 2с\икр^--£ +-+-= 0

2 С! С\ ик ■ .

Результаты четвёртой главы опубликованы в работе [А7].

Список публикаций

А1. Григорьев Ю. А. Программное обеспечение для построения переменных разделения в уравнении Гамильтопа-Якоби // Вестпик Санкт-Петербургского университета. Серия 4: Физика. Химия. 2010. № 2. С. 107-112.

А2. Григорьев Ю. А., Цыганов А. В. О вычислении переменных разделения в уравнении Гамильтона-Якоби на компьютере // Нелинейная динамика. 2005. Т. 1, № 2. С. 163-179.

A3. Григорьев Ю. А., Цыганов А. В. Об уравнениях Абеля и интегралах Ришело // Нелинейная динамика. 2009. Т. 5, № 4. С. 463-478.

А4- Grigoryev Yu. A., Khudobakhshov V. A., Tsiganov А. V. On the Euler superintegrable systems // J. Phys. A: Math. Theor. 2009. Vol. 42, no. 7, 075202. 11 pp.

A5. Grigoryev Yu. A., Tsiganov A. V. Symbolic software for separation of variables in the Hamilton-Jacobi equation for the L-systeins // Regular and Chaotic Dynamics. 2005. Vol. 10, no. 4. Pp. 413-422.

A6. Grigoryev Yu. A., Tsiganov A. V. On the Darboux-Nijenhuis variables for the open Toda lattice // Symmetry, Integrability and Geometry - Methods and Applications. 2006. Vol. 2, 097. 15 pp.

A7. Grigoryev Yu. A., Tsiganov A. V. Separation of variables for the generalized Henon-Heiles system and system with quartic potential // J. Phys. A: Math. Theor. 2011. Vol. 44, no. 25, 255202. 9 pp.

Подписано к печати 20.06.12. Формат 60 х 84 'А. Бумага офсетная Печать цифровая Печ л. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ 5480.

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-4043, 428-0919

Введение

Обзор литературы

Глава 1. Основные определения.

Глава 2. Разделение переменных для Ь-систем.

2.1. Метод построения переменных разделения.

2.2. Результаты применения бигамильтонова подхода к интегрируемым системам.

Глава 3. Построение суперинтегрируемых систем с использованием теорем сложения.

3.1. Алгебраические интегралы для уравнений Абеля.

3.2. Классификация суперинтегрируемых систем типа Эйлера

3.3. Суперинтегрируемые системы типа Ришело.

3.4. Системы Ришело. интегрируемые в одной из ортогональных систем координат.

Глава 4. Разделение переменных для более широкого класса бигамильтоновых систем.

4.1. Обобщённая система Энона-Эйлеса.

4.2. Обобщённая система с потенциалом четвёртой степени.

Актуальность работы

Исследование интегрируемых систем с момента постановки задачи разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби и поиска интегралов движения систем классической механики являлось одной из самых сложных проблем теоретической физики. После первых успехов для множества известных к тому времени и некоторых вновь построенных интегрируемых систем прогресс в этой области замедлился, поскольку общего метода исследования заданной интегрируемой системы не было обнаружено, и нахождение переменных разделения превратилось в своего рода искусство, в котором каждый из исследователей должен был выбирать различные методы решения для различных систем, не имея возможности предвидеть результаты применения этих методов и очертить круг действий (таких, как замены переменных, переход к промежуточным координатам), необходимых для успешности исследования.

Нахождение переменных разделения для конечномерных интегрируемых систем оставалось скорее искусством, чем научным методом на протяжении более века, хотя в течение этого времени были построены подробные классификации интегрируемых систем по виду интегралов движения, и выявлена связь теории интегрируемых систем с некоторыми классами нелинейных систем. Метод решения обратной задачи рассеяния, построенный во второй половине XX века, позволил найти явные решения для широкого класса нелинейных уравнений, а последующий перенос многих его положений на квантовый случай предоставил возможность его применения для построения точных решений большого количества интегрируемых систем, описывающих модели квантовой механики, квантовой теории поля и статистической физики.

Дальнейшее изучение возможностей переноса методов исследования интегрируемых систем с классических на квантовые случаи позволило выделить основные элементы таких схем, вернуться к исследованным ранее классическим системам и сделать первые шаги к пониманию причин успеха или неудачи в разделении переменных для тех или иных систем. Внутренние симметрии систем и вообще методы задания систем и пространств, в которых интегрируемые системы определены, оказали определяющее влияние на развитие методов разделения переменных в 1980-е годы. Найденные инвариантные характеристики интегрируемых систем позволили создать новый математический аппарат для решения классической задачи, в котором оказались естественным образом взаимосвязаны функциональный анализ, теория функций, алгебраическая, дифференциальная и пуассонова геометрия, теория групп и алгебр Ли.

Быстрое развитие в конце XX и начале XXI века компьютерных средств, разработанных для решения различных математических задач, в частности, пакетов компьютерной алгебры общего назначения, позволило в полной мере использовать найденные связи между теорией интегрируемых систем и другими областями математической физики. Возможность использовать компьютеры для сложных и объёмных расчётов оказалась ключевой для применения формализованных методов исследования интегрируемых систем, позволив как применять их для уже изученных систем с интегралами высоких степеней по импульсам, так и с гораздо меньшими усилиями исследовать обширные классы в том числе и новых интегрируемых систем.

Таким образом, современные хорошо формализуемые методы исследования интегрируемых систем являются одним из актуальных направлений в теории квантовых и классических интегрируемых систем. Интерес к таким методам определяется не только практическим значением метода для разделения переменных в заданной системе классической механики, но и теоретическими возможностями построения новых интегрируемых систем и более полного понимания их организации, как для классического, так и для квантового случая.

Цель диссертационной работы состоит в развитии геометрических методов исследования интегрируемых по Лиувиллю систем классической механики.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Реализован метод построения переменных разделения и интегралов движения ДЛЯ //-систем.

2. Разработан метод классификации интегрируемых систем типа Штеккеля.

3. Исследованы методы поиска новых интегрируемых систем.

4. Предложен метод классификации суперинтегрируемых систем типа Штеккеля, основанный на теоремах сложения.

5. Создан метод разделения переменных для широкого класса бигамильто-новых систем с интегралами движения старших степеней.

6. Данный метод применён к конкретным системам с интегралами высоких порядков по импульсам.

Научная новизна В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Создана практическая реализация алгоритма построения переменных разделения и интегралов движения для //-систем на основе методов бигамильтоновой геометрии.

2. Построена классификация систем типа Эйлера на основе теорем сложения.

3. Предложен метод построения суперинтегрируемых систем типа Ришело.

1. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1991.

2. Бабич М. В., Бобенко А. И., Матвеев В. Б. Решения нелинейных уравнений, интегрируемых методом обратной задачи, в тэта-функциях Якоби и симметрии алгебраических кривых // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1985. Т. 49. С. 511-529.

3. Болсинов А. В., Борисов А. В. Представление Лакса и согласованные скобки Пуассона на алгебрах Ли // Мат. Замет. 2002. Т. 72. С. 11-34.

4. Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика твёрдого тела. Гамильтоновы методы, интегригуемость, хаос. Москва-Ижевск: ИКИ, 2005.

5. Григорьев Ю. А. Программное обеспечение для построения переменных разделения в уравнении Гамильтона-Якоби // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 4: Физика. Химия. 2010. № 2. С. 107-112.

6. Григорьев Ю. А., Цыганов А. В. О вычислении переменных разделения в уравнении Гамильтона-Якоби на компьютере // Нелинейная динамика. 2005. Т. 1, № 2. С. 163-179.

7. Григорьев Ю. А., Цыганов А. В. Об уравнениях Абеля и интегралах Ришело // Нелинейная динамика. 2009. Т. 5, № 4. С. 463-478.

8. Захаров В. Е., Фаддеев Л. Д. Уравнение Кортевега-де Фриза вполне интегрируемая система // Функц. анализ и его прил. 1971. Т. 5. С. 18-27.

9. Козлов В. В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во Удм. ун-та, 1995. 432 с.

10. Рейман А. Г., Семенов-Тян-Шанский М. А. Интегрируемые системы. Москва-Ижевск: ИКИ, 2003.

11. Тахтаджян JI. А., Фаддеев JI. Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука, 1986.

12. Abenda S. Reciprocal transformations and local Hamiltonian structures of hydrodynamic type systems //J. Phys. A: Math. Theor. 2009. Vol. 42, no. 095208. 20 pp.

13. Adler M. Completely integrable systems, Euclidean Lie algebras, and curves // Adv. Math. 1980.

14. Babich M. V., Bordag L. A. Projective Differential Geometrical Structure of the Painlevé Equations // Journal of Differential Equations. 1999. Vol. 157, no. 2. Pp. 452 485.

15. Baker H. F. Abel's theorem and the allied theory including the theory of the theta functions. Cambridge: University Press, 1897.

16. Ballesteros A., Herranz F. J. Universal integrals for superintegrable systems on N-dimensional spaces of constant curvature //J. Phys. A: Math. Theor. 2007. Vol. 40. Pp. F51-F59.

17. Bartocci C., Falqui G., Pedroni M. A geometric approach to the separability of the Neumann-Rosochatius system // Differential Geom. Appl. 2004. Vol. 21, no. 3. Pp. 349-360.

18. Benenti S. Orthogonal separable dynamical systems // Differential Geometry and Its Applications. 1993. Vol. 1. Pp. 163-184.

19. Benenti S., Chanu C., Rastelli G. Remarks on the connection between the additive separation of the Hamilton-Jacobi equation and the multiplicativeseparation of the Schrôdinger equation //J. Math. Phys. 2002. Vol. 43. Pp. 5183-5253.

20. Bertrand J. Théorème relatif au mouvement d'un point attirévers un centre fixe // Comptes Rendus. Acad. Sci. Paris. 1873. Vol. LXXVII. Pp. 849-853.

21. Bolsinov A. V., Matveev V. S. Geometrical interpretation of Benenti systems //J. Geom. Phys. 2003. Vol. 44. Pp. 489-506.

22. Borisov A. V., Kilin A. A., Mamaev I. S. Superintegrable system on a sphere with the integral of higher degree // Regular and Chaotic Dynamics. 2009. Vol. 14, no. 6. Pp. 615-620.

23. Boyer C. P., Kalnins E. G., Miller W., Jr. Stáckel-equivalent integrable Hamiltonian systems // SIAMJ. Math. Anal. 1986. Vol. 17. Pp. 778-797.

24. Caley A. An Elementary Treatise on Elliptic Functions. London: Constable and Company Ltd, 1876.

25. Crampin M., Sarlet W., Thompson G. Bi-differential calculi, bi-Hamiltoni-an systems and conformai Killing tensors. //J. Phys. F. 2000. Vol. 33. Pp. 8755-8770.

26. Darboux G. Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal. Paris: Gauthier-Villars, 1887-89. Vol. 1-4. Pp. 1-4.

27. Daskaloyannis C., Ypsilantis K. Unified treatment and classification of superintegrable systems with integrals quadratic in momenta on a two-dimensional manifold //J. Math. Phys. 2006. Vol. 47, no. 042904.

28. Drach J. Sur l'intégration logique des équations de la dynamique à deuxvariables: Forces conservatives. Intégrales cubiques. Mouvements dans le plan. // Comptes Rendus. 1935. Vol. 200. Pp. 22-26.

29. Dubrovin B. A., Matveev V. B., Novikov S. P. Non-linear equations of Korteweg-de Vries type, finite-zone linear operators, and Abelian varieties // Russ. Math. Surv. 1976. Vol. 31, no. 59.

30. Eisenhart L. P. Separable systems of Stàckel // Ann.Math. 1934. Vol. 35. Pp. 284-305.

31. Enolskii V. Z., Salerno M. Lax Representation for two particle dynamics splitting on two ton //J. Phys. A: Math. Theor. 1996. Vol. 29. Pp. L425-31.

32. Euler L. Calculi integralis // Ac. Sc. Petropoli. 1768. Vol. 1-3. Pp. 1-3.

33. Evans N. W. Superintegrability in classical mechanics // Phys. Rev. A. 1990. Vol. 41. Pp. 5666-5676.

34. Falqui G., Pedroni M. Separation of variables for bi-Hamiltonian systems // Math. Phys. Anal. Geom. 2003. Vol. 6. Pp. 139-179.

35. Fermi E., Pasta J., Ulam S. Studies of nonlinear problems. I. Los Alamos report LA-1940, Ed. by E. Segré. University of Chicago Press, 1965.

36. Fris J., Mandrosov V., Smorodinsky Y. A. et al. On higher symmetries in quantum mechanics // Phys. Lett. 1965. Vol. 16. Pp. 354-356.

37. Gardner C. S., Greene J. M., Miura R. M., Kruskal M. D. Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Phys. Rev. Lett. 1967. Vol. 19. Pp. 1095-1097.

38. Gamier R. Sur des équations différentielles du troisième ordre dont l'intégrale est uniform et sur une classe d'équations nouvelles d'ordre supérieur dontl'intégrale générale a ses point critiques fixés. // Ann. Sci. de l'ENS. 1912. Vol. 29. Pp. 1-126.

39. Grammaticos B., Dorizzi B., Ramani A. Hamiltonians with high-order integrals and the weak-Painlevé concept //J. Math. Phys. 1984. Vol. 25. P. 3470.

40. Greenhill A. G. The applications of elliptic functions. London: Macmillan and Co, 1892.

41. Grigoryev Yu. A., Khudobakhshov V. A., Tsiganov A. V. On the Euler superintegrable systems //J. Phys. A: Math. Theor. 2009. Vol. 42, no. 7, 075202. 11 pp.

42. Grigoryev Yu. A., Tsiganov A. V. Symbolic software for separation of variables in the Hamilton-Jacobi equation for the L-systems // Regular and Chaotic Dynamics. 2005. Vol. 10, no. 4. Pp. 413-422.

43. Grigoryev Yu. A., Tsiganov A. V. On the Darboux-Nijenhuis variables for the open Toda lattice // Symmetry, Integrability and Geometry Methods and Applications. 2006. Vol. 2, 097. 15 pp.

44. Grigoryev Yu. A., Tsiganov A. V. Separation of variables for the generalized Henon-Heiles system and system with quartic potential //J. Phys. A: Math. Theor. 2011. Vol. 44, no. 25, 255202. 9 pp.

45. Hamilton W. R. On a general method in dynamics // Philosophical Transactions of the Royal Society, part II for 1834. 1834. Vol. 17. Pp. 247-308.

46. Hietarinta J. Integrable families of Hénon-Heiles-type Hamiltonians and a new duality // Phys. Rev. A. 1983. Vol. 28. Pp. 3670-3672.

47. Hietarinta J. Direct methods for the search of the second invariant // Physics Reports. 1987. Vol. 147. Pp. 87-154.

48. Hietarinta J., Grammaticos В., Dorizzi В., Ramani A. A. Coupling-constant metamorphosis and duality between integrable Hamiltonian systems // Phys. Rev. Lett. 1984. Vol. 53. Pp. 1707-1710.

49. Hirota R. Exact solution of the Korteweg—de Vries equation for multiple collisions of solitons // Physical Review Letters. 1971.

50. Holt C. R. Construction of new integrable Hamiltonians in two degrees of freedom //J. Math. Phys. 1982. Vol. 23, no. 1037. 10 pp.

51. Horwood R. T., McLenaghan R. G., Smirnov R. G. Invariant classification of orthogonally separable Hamiltonian systems in Euclidean space // Commun. Math. Phys. 2005. Vol. 259. Pp. 679-709.

52. Ibort A., Magri F., Marmo G. Bihamiltonian structures and Stäckel separability //J. Geometry and Physics. 2000. Vol. 33. Pp. 210-228.

53. Jacobi C. G. J. Sur le movement d'un point et sur un cas particulier du problème des trois corps // Comptes Rendus de lAcadémie des Sciences de Paris. 1836. Vol. 3. Pp. 59-61.

54. Jacobi C. G. J. Uber eine neue Methode zur Integration der hyperelliptischen Differentialgleichungen und über die rationale Form ihrer vollständigenalgebraischen Integralgleichungen //J. Reine Angew. Math. 1846. Vol. 32. Pp. 220-227.

55. Jacobi C. G. J. Vorlesungen über Dynamik, Ed. by A. Clebsch. Chelsea, 1866.

56. Kalnins E., Kress J. M., Pogosyan G. S., Miller W. Completeness of superin-tegrability in two-dimensional constant-curvature spaces //J. Phys. A: Math. Gen. 2001. Vol. 34. P. 4705.

57. Kalnins E. G., Kress J. M., Miller W., Jr. Second-order superintegrable systems in conformally flat spaces. I,II,III // J.Math.Phys. 2005. Vol. 46, no. 053509. 28 pp.

58. Kalnins E. G., Kress J. M., Miller W., Jr. Nondegenerate 2D complex Euclidean superintegrable systems and algebraic varieties //J. Phys. A: Math. Theor. 2007. Vol. 40. Pp. 3399-3411.

59. Kalnins E. G., Miller W., Jr. Killing tensors and variable separation for Hamilton-Jacobi and Helmholtz equations // SIAM J. Math. Anal. 1980. Vol. 11. Pp. 1011-1026.

60. Kalnins E. G., Miller W., Jr. Separation of variables on n-dimensional Rie-mannian manifolds. I. The n-sphere Sn and Euclidean n-space Rn //J. Math. Phys. 1986. Vol. 27. Pp. 1721-1736.

61. Kazhdan D., Kostant B., Sternberg S. Hamiltonian group actions and dynamical systems of calogero type. // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1978. Vol. 31. Pp. 481-507.

62. Koenigs M. G. Sur les géodésiques a intégrales quadratiques. Note II // G. Darboux, Leçons sur la Théorie Générale des Surfaces. 1898.

63. Komarov I. V. Goryachev-Chaplygin top in quantum mechanics // Theor. Math. Phys. 1982. Vol. 50. Pp. 265-270.

64. Korteweg D. J., de Vries G. On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal and on a new type of long stationary waves // Phil. Mag. 1895. Vol. 39. Pp. 422-443.

65. Kowalevski S. Sur le problème de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe // Acta Mathematica. 1889. Vol. 12, no. 2.

66. Krazer A. Lehrbuch der Thetafunctionen. New York: Chelsea, 1970.

67. Kuznetsov V. B., Tsiganov A. V. Separation of variables for the quantum relativistic Toda lattices: Tech. Rep. 94-07: University of Amsterdam, 1994.

68. Lagrange J. L. Théorie des fonctions analytiques. Chapter 2. 1797.

69. Lax P. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Comm. Pure Applied Math. 1968. Vol. 21. Pp. 467-490.

70. Levi-Civita T. Integrazione delle equazione di Hamilton-Jacobi per sepa-razione di variabili // Math. Ann. 1904. Vol. 24. Pp. 383-397.

71. Liouville J. Note sur l'intégration des équations différentielles de la dynamique // J. Math. Pures Appl. 1855.

72. Nekhoroshev N. N. Action-angle variables and their generalization // Trans. Moscow Math. Soc. 1972. Vol. 26. Pp. 180-198.

73. Neumann C. De problemate quodam mechanico, quod ad primam integralium ultraellipticorum classem revocatur //J. Reine Angew. Math. 1859. Vol. 56. Pp. 46-63.

74. Painlevé P. Sur les équations différentielles du second ordre et d'ordre supérieur dont l'intégrale générale est uniforme // Acta Mathematica. 1902.

75. Pasquier V., Gaudin M. The periodic Toda chain and a matrix generalization of the Bessel function recursion relations //J. Phys. A: Math. Gen. 1992. Vol. 25. Pp. 5243-5252.

76. Ramani A., Grammaticos B., Bountis T. The Painlevé property and singularity analysis of integrable and non-integrable systems // Phys. Rep. 1989. Vol. 180. Pp. 159-245.

77. Rauch-Wojciechowski S., Tsiganov A. V. Quasi-point separation of variables for Henon-Heiles system and system with quartic potential //J. Phys. A: Math. Theor. 1996. Vol. 29. Pp. 7769-78.

78. Rauch-Wojciechowski S., Waksjö C. How to find separation coordinates for the Hamilton-Jacobi equation: a criterion of separability for natural Hamiltonian systems // Math. Phys. Anal. Geom. 2003. Vol. 6, no. 4. Pp. 301-348.

79. Ravoson V., Ramani A., Grammaticos B. Generalized separability for a Hamiltonian with nonseparable quartic potential // Phys. Lett. A. 1994. Vol. 191. Pp. 91-5.

80. Reiman A. G. Integrable Hamiltonian systems connected with graded Lie algebras. Differential geometry, Lie groups and mechanics. Part III // Zap. Nauchn. Sem. LOMI. 1980. Vol. 95. Pp. 3-54.

81. Richelot F. Uber die Integration eines merkwürdigen Systems von Differentialgleichungen // J. Reine Angew. Math. 1842. Vol. 23. Pp. 354-369.

82. Rodríguez M. A., Tempesta P., Winternitz P. Reduction of superintegrablesystems: the anisotropic harmonic oscillator // Phys. R.ev. E. 2008. Vol. 78, no. 046608. 6 pp.

83. Schouten J. A. Ricci Calculus. Berlin: Springer, 1954.

84. Semenov-Tian-Shansky M. A. What is a classical r-matrix? // Funct. Anal. Appl. 1983. Vol. 17, no. 4. Pp. 259-272.

85. Sklyanin E. K. The quantum Toda chain // Non-linear equations in classical and quantum field theory / Ed. by N. Sanchez. Springer, 1985. Vol. 226 of Lecture Notes in Physics. P. 196-233.

86. Sklyanin E. K. Functional Bethe ansatz // Integrable and superintegrable systems / Ed. by B. A. Kupershmidt. World Scientific, 1990. Pp. 8-33.

87. Sklyanin E. K. Separation of variables — new trends // Progr. Theor. Phys. Suppl. 1995. Vol. 118. P. 35.

88. Stäckel P. Uber die Integration der Hamilton-Jacobischen Differential Gleichung Mittelst Separation der Variabel. Halle: Habilitationsschrift, 1891.

89. Toda M. Vibration of a chain with nonlinear interaction //J. Phys. Soc. Japan 22. 1967. Pp. 431-436.

90. Toda M. Wave propagation in anharmonic lattice //J. Phys. Soc. Japan. 1967. Pp. 501-596.

91. Tsiganov A. V. Duality between integrable Stäckel systems //J. Phys.A: Math. Gen. 1999. Vol. 32. Pp. 7965-7982.

92. Tsiganov A. V. The Lax representation for the Holt system //J. Phys. A: Math. Gen. 1999. Vol. 32. Pp. 7983-7987.

93. Tsiganov A. V. The Stackel systems and algebraic curves //J. Math. Phys. 1999. Vol. 40. Pp. 279-298.

94. Tsiganov A. V. On the two different bi-Hamiltonian structures for the Toda lattice //J. Phys. A: Math. Theor. 2007. Vol. 40. Pp. 6395-406.

95. Tsiganov A. V. Addition theorem and the Drach superintegrable systems // J. Phys. A: Math. Theor. 2008. Vol. 41(33), no. 335204. 16 pp.

96. Tsiganov A. V. Leonard Euler: addition theorems and superintegrable systems // Regular and Chaotic Dynamics. 2009. Vol. 14, no. 3. Pp. 389-406.

97. Tsiganov A. V. New variables of separation for particular case of the Kowalevs-ki top // Regular and Chaotic Dynamics. 2010. Vol. 15, no. 6. Pp. 657-67.

98. Tsiganov A. V. On bi-integrable natural Hamiltonian systems on the Rieman-nian manifolds // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. 2010. Vol. 18, no. 2. P. 245.

99. Tsiganov A. V. On natural Poisson bivectors on the sphere //J. Phys. A: Math. Theor. 2010. Vol. 44, no. 105203.

100. Tsiganov A. V. On the generalized Chaplygin system // Journal of Mathematical Sciences. 2010. Vol. 168, no. 8. Pp. 901-11.

101. Weierstrass K. Bemekungen iiber die integration der hyperelliptischen differential-gleichungen // Math. Werke. 1895. Vol. I. 267 pp.

102. Zabuski N. J., Kruskal M. D. Interaction of "solitons" in a collisionless plasma and the re-currence of initial states // Phys. Rev. Lett. 1965. Vol. 15. Pp. 240-243.