Суперинтегрируемые системы в пространствах постоянной кривизны тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

2-2003-77

На правах рукописи УДК 539.12.01; 530.145

погосян

Георгий Самвелович

СУПЕРИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Дубна 2003

Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики имени H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор

доктор физико-математических наук профессор

доктор физико-математических наук профессор

И.В. Комаров

В.П. Павлов

Н.А.Громов

Ведущее научно-исследовательское учреждение: Институт физйки высоких энергий, г. Протвино

_час. на заседании диссертационного Совета Д 720.001.01 при Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований по адресу: 141980, Московская обл., г.Дубна, ЛТФ ОИЯИ

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОИЯИ.

Автореферат разослан "_"_2003 г.

Защита состоится

2003 г. в

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

С.В. Голоскоков

^ ^ Общая характеристика работы

Актуальность темы

Истоком для исследований суперинтегрирумых систем на пространствах постоянной кривизны послужила теория квантовых систем со скрытой симметрией, идеи и методы которой родились при изучении поведения частиц в кулоновом и осциллятор-ном полях, а затем получили свое развитие в квантовой теории поля (Н.Н.Боголюбов, Д.В.Ширков) и теории поля с фундаментальной длиной (В.Г.Кадышевский), физике элементарных частиц (И.Т.Тодоров), теории лазеров (Р.Дикке), модели оболочек (Дж.Эллиот), коллективной модели ядер (В.Баргман, М.Мошинский) и суперсимметричной квантовой механике (Е.Виттен).

Суперинтегрируемые системы представляют собой подкласс интегрируемых систем, когда число й функционально независимых интегралов движения равно И = 2N — 1 (или О = 2Ы — 2 для минимально суперинтегрирумых систем), где N - число степеней свободы системы. В трехмерном евклидовом пространстве к наиболее известным и хорошо изученным системам такого типа относятся: движение частицы в кеплеровском поле и гармоничесий осциллятор. Наличие максимального числа интегралов движения для этих двух систем приводит ко многим интересным свойствам как замкнутость траекторий для финитного движения (теорема Бертрана), полное разделение переменных в нескольких системах координат в уравнения Гамильтона-Якоби и Шредингера, "случайное вырождение" энергетического спектра, и наконец, существование так называемой группы динамической симметрии.

Первый систематический поиск суперинтегрируемых систем в двух и трехмерном плоском пространстве был предпринят в работах Смородинского и Винтернитца с соавторами (1965) и затем продолжен Евансом (1990). Схема классификации суперинтегрируемых систем основана на известной теореме Бертран а,-Дарбу, согласно которой, в двумерном евклидовом пространстве дополнительный к энергии квадратичный интеграл движения существует, тогда и только тогда, когда потенциал допускает разделение переменных в эллиптической системе координат или в одной из ее вырожденных форм. Как оказалось, многие суперинтегрируемые системы (исключая чисто кулоновский и осциляторный потенциалы в плоском пространстве), обладающие квадратичными интегралами движения, не описываются динамической группой симметрии, а генерируют алгебраическую структуру, которую можно рассматривать как нелинейное расширение алгебры Ли (в классической механике алгебры Пуассона), а именно квадратичную алгебру (впервые такие алгебры были введены в работах Склянина). В настоящее время стало понятным, что концепция суперинтегрируемости является более общим понятием чем наличие максимальной

¡-ОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

группы симметрии или разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби и Шредингера. Отсюда сразу возникают несколько вопросов: всегда ли суперинтегрируемость ассоцируется с мульти-разделением то есть разделением переменных во многих системах координат? Всегда ли суперинтегрируемые системы генерируют квадратичную алгебру симметрии? Существует ли единая процедура поиска суперинтегрируемых потенциалов в пространствах постоянной кривизны, которая

*

обеспечивает их полную классификацию? В этом контексте необходимо исследовать связь между ортогональными системами координат, определенных на пространствах постоянной кривизны и в плоском пространстве и связанных при помощи контракций <

их групп изометрии.

Исследования суперинтегрируемых систем является актуальным по следующим причинам. Во-первых, полная классификация суперинтегрируемых систем на пространствах как положительной, так и отрицательной постоянной кривизны, существенно расширяет класс интегрирумых систем, которые образуют базис для построения современных физических теорий и моделей: квантовой теории поля с фундаментальной массой и электромагнитной длиной, космологии и квантовой гравитации, теории (супер)струн, уравнений Янга-Милса-Хиггса в (2+1) - мерном пространсве де-Ситтера и анти-де-Ситтера, в теории кваркониев и квантовых точек и квантовой оптики. Во-вторых, большинство специальных функций математической физики, которые так часто применяются, что даже затабулированы, возникают именно при изучении суперинтегрируемых систем.

Цель и задачи работы формулируются следующим образом:

1. Исследование поведения ортогональных систем координат (допускающих полное разделение переменных в уравнении Гельмгольца), определенных на однородных пространствах, полного набора коммутирующих операторов, соответствующих собственных значений и собственных функций, а также межбазисных разложений при контракциях их групп изометрии.

2. Классификация и поиск новых суперинтегрируемых систем на двумерной комплексной сфере Sic, включающей реальную сферу и двухполосый гиперболоид, и в двумерном комплексном евклидовом пространстве Е^с, включающем реальное евклидово пространство и пространство Минковского.

3. Развитие методов квантования суперинтегрируемых систем на пространствах постоянной кривизны во всех системах координат допускающих разделение переменных. Исследование межбазисных переходов в многомерных суперинтегрируемых системах.

4. Обобщение на случай пространств постоянной кривизны известных из евклидовой геометрии преобразований дуальности Леви-Чивиты и Кустанхеймо-Штифеля.

Научная новизна и практическая ценность работы

В диссертации представлен новый аспект теории контракций групп и алгебр Ли: а именно связь между ортогональными системами координат (допускающих полное разделение переменных в уравнении Гельмгольца), определенных на пространствах постоянной кривизны и в плоском пространстве и связанных при помощи контракций их групп изометрии. В рамках метода Иноню-Вигнера введена концепция аналитических контракций, когда параметр контракции - радиус сферы II - встраивается в инфинитиземальные операторы и полный набор коммутирующих операторов, а не только в структурные константы. Используя данный метод удается проследить контракции при Я —» оо на всех уровнях: алгебры Ли, представленной векторными полями, оператора Лапласа-Бельтрами, операторов второго порядка в обертывающей алгебре, характеризующих системы координат, в самих системах координат допускающих разделение переменных, в обычных дифференциальных уравнениях, в собственных значениях инвариантных операторов, а также в коэффициентах перекрытия и межбазисных разложениях.

Впервые введены "кластерные диаграммы" определяющие правило записи под-групповых систем координат, полного набора коммутирующих операторов, их собственных значений и решений уравнения Гельмгольца на Ещ . Развит графический метод перехода от формализма "деревьев" Виленкина-Кузнецова-Смородинского на ,5м к "кластерам" на Ец при контракции группы 50(/V + 1) к группе Е(М). Получены новые асимптотические формулы для Б-функций Вигнера, коэффициентов Клебша-Гордана и Рака.

Для уравнения Гельмгольца на трехмерной сфере впервые исследованы переходы между эллиптическими и более простыми - гиперсферическим и цилиндрическим базисами, которые устанавливают дополнительные, ранее неизвестные, связи между специальными функциями; построен эллипсоидальный базис и определено условие квантования эллипсоидальных констант разделения.

Предложен новый метод классификации невырожденных суперинтегрирумых систем второго рода на двухмерной комплексной плоскости Ею • Требование, что система допускает два интеграла движения второго порядка приводит к необходимости разрешения пары многопараметрических уравнений в частных производных второго порядка, что представляет объективно трудную математическую задачу. Вместо этого предлагается сначала найти все решения так называемых условий интегриру-

емости, которые носят линейный характер и, далее пользуясь этой подсказкой, уже преступить к разрешению самой системы уравнений в частных производных. В рамках предложенной схемы удается наиболее полным образом проклассифицировать невырожденные суперинтегрируемые потенциалы, допускающие наряду с энергией пару независимых интегралов движения второго порядка.

При классификации суперинтегрированных систем второго рода на двумерной комплексной сфере 5гс в диссертации приводится немного видоизмененный метод существенно опирающийся на факте разделения перменных в одной из систем координат и в идейном плане перекликающийся с известным подходом Бертрана-Дарбу. В таком подходе требование наличия дополнительного интеграла движения приводит к некоему функциональному уравнению, решение которого определяет явный вид суперинтегрируемого потенциала.

Впервые проведен полный анализ всех известных суперинтегрируемых систем в двухмерном и трехмерном плоском пространстве, на двухмерной сфере и двухмерном гиперболоиде. В качестве единого подхода к квантованию таких потенциалов выбран метод Нивена, адаптированный как на многие точно решаемые случаи, когда в качестве собственных функций выступают классические полиномы, так и для случаев, когда решение не может быть записано в замкнутой форме. Показано, что все специальные функции возникающие в результате разделения переменных обладают определенными свойствами, которые описываются нулями самих функций. Сформулирован диаграммный метод построения матрицы перехода от гиперсферического базиса многомерного сингулярного осциллятора к декартовому.

Впервые представлена серия небиективных преобразований, обобщающих в случае пространства постоянной кривизны хорошо известные для евклидового пространства преобразования дуальности типа Леви-Чивиты и Кустанхеймо-Штифеля.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались на семинарах в Лаборатории теоретической физики им. Н.Н.Боголюбова Объединенного института ядерных исследований (Дубна), в Институте физики высоких энергий (Протвино), в Ереванском университете (Ереван), в Центре физических исследований (Куэрнавака) и Институте прикладной математики Национального университета Мексики (Мехико), в Центре математических исследований Монреальского университета, в Институте ядерной физики (Лион, Франция), в Люблинском университете им. Марии Складовской-Кюри (Люблин, Польша), в Университете г. Гамильтона (Новая Зеландия), а также на Международных коллоквиумах по теоретико-групповым методам в физике (Гозлар 1996, Дубна 2000, Париж 2002), на симпозиуме

по квантовым теориям и симметриям (Гозлар 1999, Краков 2001), на международных конференциях по методам симметрии в физике (Дубна 1993, 1995, 1997, Ереван 2001), на международных совещаниях по классическим и квантовым интегрируемым системам (Дубна 1994, 1996, Ереван 1998, Куэрнавака 2002), международное совещание по физике (Монтеродуни, 1995), Барутовская мемориальная конференция "Теория групп в физики" (Эдерне, 1995), Симпозиум по приложению теории Ли в физике, (Клаусталь, 1997), Международная конференция по квантовым группам, деформациям и контракциям (Стамбул, 1997), Вигнеровский симпозиум (Стамбул 1999), Всероссийский семинар "Классические и квантовые интегрируемые системы" (Протвино, 2001), конференция по математическим результатам в квантовой механике (Таско, 2001), рабочее совещание по суперинтегрируемости в классических и квантовых системых (Монреаль, 2002).

Публикации. По материалам исследований, представленных в диссертации, опубликовано 25 работ.

Структура И объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения, приложения и списка литературы. Она содержит 240 страниц текста, 17 таблиц, 9 рисунков и список литературы из 220 наименований.

На защиту выдвигаются следующие результаты

1. В рамках метода контракций Иноню-Вигнера разработана концепсия аналитических контракций. Установлена связь между различными ортогональными системами координат определенными на двухмерных пространствах постоянной кривизны (сфере 5*2 ~ 0(3)/0(2) и гиперболоиде Н2 ~ 0(2,1)/0(2)) и в евклидовой и псевдоевклидовой плоскостях, и связанных при помощи контракций их групп изометрии. Получены различные асимптотические формулы для (псевдо)сферических функций и полиномов Ламе.

2. Вычислена матрица перехода между эллиптическими базисами и более простыми - гиперсферическим и цилиндрическим для уравнения Гельмгольца на 5з. Получено полиномиальные решение обобщенного уравнения Ламэ и найдено условие квантования эллипсоидальных констант разделения.

3. Проанализированы всевозможные переходы для подгрупповых типов координат и базисов на в подгрупповые типы координат в Ец при контракции группы 50(Л^ + 1) к группе £(ЛГ). Развит графический метод иллюстрирующий эти переходы. Найдены асимптотические формулы для Д-функций Вигнера от аргумента

7г/2, коэффициентов Клебша-Гордана и Рака, реализующих взаимные разложения подгрупповых базисов. Прослежены предельные переходы в самих межбазисных разложениях.

4. Проклассифицированы все невырожденные суперинтегрируемые системы второго рода на комплексной плоскости Ею, включающей в себя как реальное евклидово пространство так и пространство Минковского. Построена алгебра симметрии и показано, что суперинтегрируемость второго рода приводит к мульти-разделяемости, то есть разделению переменных в более чем одной системе координат.

5. Построены полиномиальные базисы как для всех суперинтегрируемых систем на двухмерных сфере и гиперболоиде, так и в трехмерном евклидовом пространстве. Вычислена матрица перехода между декартовым и гиперсферическим базисами для многомерного сингулярного осциллятора и сформулирована диаграмная техника вычисления этих матриц.

6. На двумерной комплексной сфере Яге найдены все суперинтегрируемые системы, допускающие три функционально независимых интеграла движения второго порядка и генерирующих квадратичную алгебру симметрии.

7. Построена серия комплексных преобразований Бгс ——обобщающая в случай сферической геометрии хорошо известные в евклидовом пространстве преобразования Леви-Чивиты и Кустанхеймо-Штифеля.

Содержание работы

Во введении дан обзор современного состояния теории суперинтегрируемых систем на пространствах постоянной кривизны.

В первой главе на примере двух однородных пространств: двумерной сферы и двумерного гиперболоида изложена концепция аналитических контракций.

В первом параграфе дан полный обзор систем координат допускающих разделение переменных в уравнении Гельмгольца (свободное уравнение Шредингера) на сфере 52, на двухполосом гиперболоиде Н?, в евклидовой плоскости Е2 и псевдоевклидовой

ПЛОСКОСТИ £<1,1.

Сам метод аналитических контракций описан во втором параграфе. Показано, что переход к соответствующим образом выбранным неоднородным координатам на сфере и гиперболоидах (одно- и двухполосом) позволяет в явном виде ввести параметр контракции е = Л-1 в генераторы групп 0(3) и 0(2,1) и легко проследить

предельный переход при R оо как в самих операторах, так и в коммутационных соотношениях.

В третьем параграфе в рамках метода аналитических контракций алгебры о(3) к алгебре е(2) и алгебры о(2,1) к алгебрам е(2) и е(1,1) установлена связь между ортогональными системами координат и инвариантными операторами второго порядка, характеризующими эти координаты. Показано, что в пределе R оо сферическая система координат на Si контрактирует в полярную или декартовую системы координат на Ei, а из эллиптической системы координат с помощью контракций получа-I ются декартовая, параболическая и эллиптическая системы координат. Аналогично, найдены переходы от всех девяти систем координат на ff2 к четырем системам координат на Еч и к девяти системам координат на ü?i_i.

В четвертом параграфе получены различные асимптотические формулы для собственных функций оператора Лапласа-Бельтрами на S-¡. и Н2. Прослежены предельные переходы в межбазисных разложениях для сферических функций при вращениях из группы 50(3). В пункте 4.1 показало, что при контракции сферической системы координат (R —оо, в ~ г/Д) в полярную сферические функции У(т(в,ф) преобразуются в произведение функций Бесселя и экспоненту, а при контракции к декартовой системе координат ведут себя как (в ~ x/R, <р ~ у/R, i ~ kR, т ~ kiR, к2 + к2г = к2)

giAsy { cos l m — четно

y/ñ 1. —i sin k¡x l + m — нечетно

Найдено асимптотическое представление для d- функции Вигнера от аргумента 7г/2, когда два параметра одновременно принимают большие значения I ~ kR, m¡ ~ k¡ R

,. , '-".-"2 /=_, (-к\ [~2~ ( eos тгц>, l + m- четно

lim(-l) 2 VÍ4!imi - =i -r . .

R-kx> \¿J y «2 ( i sin l + m — нечетно

где cosip = ki/k. Замечено, что теорема сложения для функций Бесселя типа Графа может быть также доказана с помощью контракций из разложения сферических функции при произвольном вращении системы координат.

В пункте 4.2 найдены предельные соотношения для полиномов Ламэ при контракциях алгебры о(3) к алгебре е(2). Показано, что полиномы Ламэ где а,(а,- — 1) = 0, в пределе R2 ~ а3 —f оо, I ~ kR и ц ~ А/а3 (А - эллиптиче-^ екая константа разделения) преобразуются в функции Матье в виде разложений по

тригонометрическим (переодические решения уравнения Матье) и гиперболическим функциям (решения модифицированного уравнения Матье)

ф\Тт\рг) = (cos J})"1 (sin г/)"2 J2 Cf(cos r])2t,

1=0

lim = Л

= (cosh о- (s¡nh en Ё c<(cosh о2'. <=0

где коэффициенты Ct удовлетворяют трехчленным рекуррентным соотношениям

4(í + l)(í + 1/2 + 01)СЖ + {¡i - (2< + а, + а2)2}С, - k2D2Ct-¡ = О

(/i - новая константа разделения, D-параметр входящий в определение эллиптической системы координат на плоскости). Доказано, что при контракции эллиптической системы координат в декартову полиномы Ламэ преобразуются в тригонометрические функции согласно формуле

Um (ЯГ+"' = ^jrcob(*,z + a¡n/2) cos(к2у + а2тг/2).

В пункте 4.3 изучены контракции подгрупповых базисов уравнения Гельмгольца на #2. Показано, что ортонормированный псевдо-сферический базис Фрт(т, if), в пределе R—loo контрактирует к полярному базису на Е2 (р ~ kR, т ~ r/R):

gimv

Jiin Ф„т(т, v») = Vfc • J\m\{kr) ■

или к декартовому на (р ~ kR,m ~ k¡ R, coth г ~ t/R, cot ip ~ x/R):

Jim л/Я|Г(г>)|Ф,т(г, ¥>) = y^'*0'-'*11, + А? = к2.

Аналогично, переход от эквидистантного базиса ФрА^ьТг) к декартовому на Ег осуществляется в пределе R —> оо, и при выполнении условий р ~ kR, А ~ к\ R, t¡ ~ у/Я и т2 ~ х/Я

Г~к~

lim Ф,а(т1,т2) = i/ — exp(ífcii + t'fc2y), + А:2 = A;2.

R-к» у 7ГЛ2

а к полярному базису на Ei¿ при р ~ kR и Ti ~ г/Я:

где Я^'(г) - это функции Ганкеля первого рода.

Во второй главе подробно исследуется трехмерное уравнение Гельмгольца. В первом параграфе с точки зрения внутренних контракций детально проанализированы наиболее сложные одна- (вытянутая и сплюснутая эллиптическая) и двухпара-метрические (эллипсоидальная) системы координат, допускающие разделение переменных в уравнении Гельмгольца на ¿>3 и Е3.

Во втором параграфе в рамках метода аналитических контракций от алгебры о(4) к алгебре е(3) представлена связь между различными ортогональными системами координат на 53 и Е3, инвариантными операторами, подгрупповыми волновыми функциями и межбазисными разложениями. Показано как девять систем координат (без смещения центра симметрии), допукающих разделение переменных в уравнении Гельмгольца на Е3 получаются путем контракций из шести ортогональных систем координат на 5з. Доказано, что в качестве "параболической" системы координат выступает симметричным образом определенная (то есть с равными модулями к — к' = вытянутая эллиптическая система координат, один из фокусов которой совмещен с северным полюсом сферы. Найдены предельные переходы между подгрупповыми базисами на 5з и Е3. Получены асимптотические формулы коэффициентов Клебша-Гордана группы 511(2), реализующих разложение между подгрупповыми базисами. В частности доказано, что при Я —> оо и Ь ~ кЯ, п ~ кг Я коэффициенты Клебша-Гордана контрактируют в нормированные полиномы Лежан-дра

а в пределе Ь ~ кЯ, I ~ рЯ, т ~ к3Я и к2 = р2 + к\ = к\ + Щ + к3 имеет место формула (для четных и нечетных значений Ь — £)

коэффициентов перекрытия позволяют проследить контракции при Я —> оо в самих межбазисных разложениях.

В третьем параграфе реализован алгебраический метод построения эллиптических базисов уравнения Гельмгольца. Показано, что коэффициенты перекрытия генерирующие разложение эллиптических базисов по более простым - цилиндрическому и гиперсферическому подчиняются трехчленным рекуррентным соотношениям. Отмечено, что эллиптический базис распадается на четыре подбазиса, каждый из которых характеризуется определенной четностью относительно преобразований и3 = —и3 и и4 = —и4. Установлено, что при внутренних контракциях эллиптической системы координат (то есть в пределе к —} 0 и к —> оо) коэффициенты перекрытия трансформируются в рекуррентные соотношения для коэффициентов Клебша-Гордана.

Четвертый параграф посвящен исследованию уравнения Гедьмголъца в общей эл-

Пш (-и-^О^ 4 = .СЖГ(Л,2Ф)-Ь { созпф'

я-ихЛ > V \-isin пф

липсоидалыюи системе координат

«? = ПО»* -а0/ПК -«.-). = 1.2,3,4 1=1

где в! < р 1 < а2 < р2 < а3 < />3 < а4. Метод разделения переменных в эллипсоидальной системы координат приводит к трем идентичным уравнениям типа Фукса с пятью особыми точками (обобщенным уравнениям Ламэ), каждое из которых содержит кроме гипермомента Ь также две константы разделения (А,/и), зависящие, в общем случае, от всех четырех параметров а,. Установлено, что эллипсоидальный базис расщепляется на шестнадцать подбазисов: ф(0,ьаг-а>-а<)) где а, (а, — 1) = 0, с фиксированной четностью относительно отражений во всех координатных плоскостях. Найдены формулы, выражающие обобщенные полиномы Ламэ через коэффициенты Ь(, подчиняющиеся четырехчленным рекуррентным соотношениям

/?А+1 + {ц - 7<}Ь< + {А - 1 + 4[ЛГ - < + 2][ЛГ + * _ 1 + £ а,]6(_2 = 0 (1)

1

в которых Ь = + 2 а,-,

7< = [4(2 + (4* + 1)(а2 + а4) + 2а2а4]к21к22 + [4«2 + (4« + 1)(а2 + а3) + 2а2а3]к1{к1 + к1)-[412 + (4г + 1)(а2 + а1)+2а2а1\к1(к1 + к1)

¿1= - 2[а2а3 + а2а4 + аза4 + (< + 1)(о2 + «з + а4) + (< + 1)(<-1)]^

+ 2[а2а! + а2а4 + а1а4 + (< + 1)(а2 + ^ + а4) + (* + 1)(< -

+ 2[а2а1 + а2о3 + а2а4 + (4 + 1)(а2 + а, + а3) + (« + 1)(< - 1)Р| + к\)

ы, = ¿(Ь + 2) - [4(< - 1)(« _ 2) + {4(* - 2) + 3] а, + ог.сгл>

•Л

А = [4(4 + 1)(4 + а2 + 1/2)]^|(^ + й32), = 1 ~ *.

а4 — а!

а каждому подбазису соответствует свой набор коэффициентов о,-. Однородная система уравнений (1) является переопределенной, поскольку число уравнений N + 2 преовосходит число неизвестных ЛГ + 1, и соответствующая матрица является прямоугольной. В приложении доказано, что для существования нетривиального решения системы уравнений типа (1) достаточно потребовать равенства нулю двух определителей, которые следуют из системы (1) при вычеркивании последней и предпоследней строки. Полученная таким образом система двух алгебраических уравнений N + 1 степени определяет спектр эллипсоидальных констант разделения (А,//).

В третьей главе метод аналитических контракций от группы 50(Л^ + 1) к Евклидовой группе K(N) используется для установления связи между подгрупповыми

системами координат, собственными функциями и различными межбазисными разложениями для уравнения Гельмгольца на А'-мерной сфере и Евклидовом пространстве.

В первом параграфе представлены все подгрупповые типы координат соответствующие различным цепочкам подгрупп 50(ЛГ + 1) и £(ЛГ). По аналогии с под-групповыми диаграммами и диаграммами типа "деревьев", Виленкина, Кузнецова и Смородинского, введены "кластерные диаграммы", определяющие правило записи подгрупповых систем координат, полного набора коммутирующих операторов и собственных функций оператора Лапласа на Ец-

Во втором параграфе найдены правила соответствия между гиперсферическими системами координат на и подгрупповыми системами координат на Ем, собственными значениями инвариантных операторов и базисными функциями. Сформулирован графический метод перехода от формализма деревьев на сферах к кластерам для Евклидовых пространств.

Третий параграф посвящен контракциям в межбазисных разложениях и коэффициентах перекрытия. Коэффициенты перекрытия для различных базисов, соответствующих изоморфной подгруппой цепочке, включают в себя матрицу вращений, а в случае неизоморфной подгрупповой цепочки выражаются через коэффициенты Клебша-Гордана и Рака. Для всех них найдены асимптотические формулы.

Четвертая глава посвящена классификации и анализу двумерных суперинтегри-руемых систем в комплексном Евклидовом пространстве Е2С, включающем в себя как реальное Евклидово пространство Е2 так и псевдоевклидово пространство Е^.

В первом параграфе излагается метод классификации потенциалов, обладающих парой функционально независимых интегралов движения второго порядка по импульсам (они названы как суперинтегрируемые системы второго рода) и генерирующих квадратичную алгебру симметрии. Пусть в дополнение к классическому гамильтониану "Н = р1 + р1 + У(х,у) в Е2с существуют два функционально независимых квадратичных интеграла движения 2

Ск = <$)(£, У)Р|ЬР; + 1У(л)(1,у), А = 1,2 к,]=1

удовлетворяющих условию {Н, £а) = 0. Требование равенства нулю скобки Пуассона {"Н, А} = 0 приводит к уравнению второго порядка в частных производных для потенциала У(х,у)

^(2£*1ху + а2х + а4у - а5)(Кг - Ууу) + [<*1(у2 - *2) + оцу - сцх + а3]Уху

= (За1х+^а4)Уу-(За,у+^а2)К, (2)

где константы [а!,»2,0:3,ом,05] - формируют пространство решений уравнения (2). Сушествование дополнительного интеграла движения С2 приводит ко второму уравнению типа (2) с коэффициентами - [/?1,/32,АьДь/ЭД- Следовательно суперинтегриру-емый потенциал V должен одновременно удовлетворять двум уравнениям типа (2), что в свою очередь равносильно системе уравнений

Кх -Ут = АК + ВУу, Кх? = С14 + (3)

где

3 3 3

А£ = ^Ни{х2 + у2) - ЗЯ,„ху + ЗЯ,3у - -Н24х + - Н23

В£ = ¿Я14(*2 + у2)-ЗЯ12ху-ЗЯ13х + ^Я24у+^Яз4

2С£ = -ЗЯ14у2 - (^Я24 - ЗЯ15)у + ^Я25

2Б£ = ЗЯ12х2-(^Я24 + ЗЯ15)1-^Я45 2£ = -Ниху2 + Ных2у - Них3 + Нну3 - 2Н13ху + Я24(х2 + у2) + Н15(х2 - у2) + (Я34 - Я25)у + (Я45 - Я23)х - Я35,

и Ни = —Н(к = «4/?; — Показано, что если потенциал удовлетворяет фун-

даментальной системе уравнений (3) то есть принадлежит пространству решений с коэффициентами а,- и /3, (г = 1,2...5), то он может зависить не более чем от трех параметров (не считая тривиальной аддитивной постоянной). Такие потенциалы образуют класс невырожденных суперинтегрируемых потенциалов. На основе системы уравнений (3) сформулированы условиям интегрируемости

Схх-Суу-Аху = 2ССУ — йАу — 2СБХ + ААУ - АСХ + СВУ + ВСУ - Оуу - Вху = -2ВВХ - СВХ + 2БСУ - ВВХ - ВВУ + БАХ + АБХ,

которые позволяют проклассифицировать невырожденные потенциалы У(х,у) и одновременно построить соответствующие интегралы движения С\ и С2. Доказано, что существуют всего 12 невырожденных суперинтегрирумых потенциалов второго рода:

а 1 VI = / , . ,+

Vх2 + у2 \/х2 + у2

+ ■

\/х2 + у2 + X у/х2 + у2 — X

1/ аг , Р 7 , •

У2 = + , = + , г = х + гу.

у/(с-г)(с + г) с + г)(с + г)

СИ ~

Уз = -+ , " : + г

к. = „(«- + ,,') +1 + -1

* - + + Л

У = аг Р* л. -

6 + у/^^У ^

_ а V'у/х2 + у* + х \]у/х2+ у2 - х

У7 ~ ч^г+у* Р у/^Т^ +7 ^2+.У2 '

3 1

У8 = а{х - ¿у) + /3(х + {у - -(х - гу)2) + 7(х2 + у2 - ~(х - г'у)3).

V, = а(4х2 + у2) + (Зх +

о „ 21 + 11/ Ко = . . +/?х + 7 Л-1.

^х + гу VI + гу

рг 7 У„ = аг + -у= +

V2

«г Р

0г(* + 2) /г(*-2)

каждый из которых разделяется как минимум в двух ортогональных системах координат (или разного типа или одинаковых но сдвинутых или повернутых друг относительно друга). Только четыре из приведенных потенциалов -VI, У4, Ут и 14 допускают реализацию в реальном Евклидовом пространтве и хорошо известны в литературе. Семь потенциалов К, У4, Уе, У7, Уз, У10 и Уп встречаются в так называемом списке потенциалов Драха двумерных комплексных систем, обладающих интегралом движения третьего порядка.

В пункте 2.2 приведены соотношения определяющие квадратичную алгебру симметрии (как в классическом случае так и квантовом) для первых десяти потенциалов найденных в пункте 2.1.

Во втором параграфе подробно исследуется уравнению Шредингера для четырех суперинтегрирумых потенциалов на Е2 во всех системах координат где возможно разделение переменных. В качестве единого подхода к проблеме квантования таких потенциалов выбран метод Нивена, адаптированный как на точно-решаемые случаи, когда в качестве собственных функций выступают классические полиномы, так и для случаев, когда решение не может быть выписано в замкнутом виде.

Последний третий параграф посвящен межбазисным разложениям. На примере двумерного обобщенного осциллятора продемонстрирован как прямой так и теоретико-групповой метод вычисления межбазисных разложений. Показано, что матрицы перехода между полярным и декартовым базисами выражаются через гипергеометрические функции от единичного аргумента или коэффициента Клебша-Гордана

группы 5(7(1,1).

Пятая глава посвящена суперинтегрируемым системам на двумерной комплексной сфере Б'1С включающей реальную сферу и гиперболоид #2.

В первом параграфе на 5гс построены как вырожденные так и все невырожденные суперинтегрируемые потенциалы, допускающие разделение переменных в более чем одной ортогональной системе координат, и обладающие парой функционально независимых интегралов движения. В отличии от метода классификации, предложенного в четвертой главе, здесь существенно используется факт разделение переменных. Доказано, что существует только шесть невырожденных потенциалов

V, V,

У3

у4

У*

а /3* 7(1 - 4г2) — ' —--~4-, и) = х + гу,

Г/1*

-а + ^ +

XV их*

а р 7Ш г2 На2 й>3' Рг

= +

2 у/х2 + у2 и>\/х2 + у2'

ах

Ру

ах

+ ■

+ ~ + 7(ш +

"Уу'г + г'2 - ¿у) ^(г+ »!/)'

т1Ту2Т.1'

X У' 2'

и три вырожденных потенциала: (частные случаи потенциалов У2 и Уз), осциллятор Хиггса, аналог двумерного атома водорода и обратный квадратичный потенциал. Потенциалы У4 и Уе допускают вещественную форму на 52 и подробно изучены в третьем параграфе. Показано, что все приведенные выше потенциалы генерируют квадратичную алгебру симметрии.

Во втором параграфе построена серия двумерных небиективных преобразований (в случае сферической геометрии преобразование 52с —> 52 является комплексным), обобщающих хорошо известное в плоском евклидовом пространстве преобразование Леви-Чивиты. На 52 это преобразование имеет вид

м

«2

V 53 /

^/ц? + и% + ц§

ъГз

I »«1

ги2 \ "1

—142 Ч

¿и! О и2 2 и3

\

и2

/ \ "3 У

(4)

Показано, что преобразование (4) позволяет свести уравнение Шредингера для ку-лоновского потенциала на 52 к уравнению Шредингера для потенциала Хиггса на комплексной сфере 52с и последующей редукцией восстановить спектр энергии и корректно нормированные сферические волновые функции.

В третьем параграфе найдено решение уравнения Шредингера на S? для двух сингулярных потенциалов кулоновского и осцилляторного типа в сферической и эллиптической системах координат.

В четвертом параграфе подробно исследуются четыре суперинтегрируемых системы на гиперболоиде Н2. Во всех случаях, где разделение переменных не позволяет свести задачу к точно решаемому типу (то есть к гипергеометрическим функциям), применяется метод Нивена.

В шестой главе исследованы многомерные суперинтегрируемые систем. Первый параграф посвящен трехмерным Евклидовым системам. В рамках метода Нивена детально изучены три из пяти (оставшиеся два не обладают дискретным спектром) известных максимально суперинтегрируемых потенциалов: сингулярный осциллятор, анизотропный осциллятор и сунгулярный кулоновский потенциал. Для двух первых потенциалов построено расширение двумерных квадратичных алгебр симметрии на более высокие размерности. Все перечисленные суперинтегрируемые потенциалы допускают обобщение на N - мерное пространство.

Во втором параграфе подробно разобран N - мерный сингулярный осциллятор. В пункте 2.1 на основе диаграмм Виленкина-Кузнецова-Смородинского предложено графическое правило записи волновых функций для многомерного уравнения Пешля-Теллера. В пункте 2.2 для матрицы перехода

ч

(1 = (eu...,eD-i), q = n = (nu...,nD), N = nt + ... + nD = nr + qi +

• • - + 4d-i) от многомерного декартового базиса к произвольному гиперсферическому получено общее интегральное преобразование

w»«=(zip I Г;х /¿nw^n^^'.

V2 \| П,=! [п,!Г(п,- ± к, + 1)] J v ' v '¿V

Показано, что переходы "декарт-гиперсфера" генерируются матрицами представляющими собой произведение коэффициентов Клебша-Гордана группы SU(2), если формально их распространить на произвольные вещественные значения моментов. В пункте 2.3 развит диаграммный метод построения матрицы перехода И^'4.

Третий параграф посвящен решению кулоновской проблемы на трехмерной сфере 5з- По аналогии с двумерной сферой, в пункте 3.1 найдено комплексное преобразование Ь\с —> 5з, обобщающее известное преобразование Кустанхеймо-Штифеля. В пункте 3.2 показано, что данное преобразование позволяет установить соответствие между кулоновской задачей на S3 и осцилляторной задачей на комплексной четырех

сфере 64с- Найдено решение уравнения Шредингера для четырехмерного потенциала Хиггса и последующей редукцией восстановлены спектр энергии и ортонорми-рованные волновые функции для атома водорода на трехмерной сфере. В пункте 3.3 отмечено, что наличие аналога вектора Рунге-Ленца для кулоновской проблемы на ¿з приводит как и в плоском случае к разделению переменных в дополнительной "параболической" системе координат, представляющей собой частный случай вытянутой эллиптической системы. Получены трехчленные рекуррентные соотношения определяющие интегралы перекрытия ]У*, связывающие эллиптический базис с соответствующим сферическим (I — 0,1, ../V):

\

+

(ЛГ»-<»)(<» +«г») _ (2í-l)(2i+l) W'-1-0' (5)

где А - это эллиптическая константа разделения, а к, к' - параметры эллиптической системы координат. В четвертом параграфе установлено кулон-осцилляторное соответствие для Af-мерных пространств постоянной кривизны. Показано, что квазирадиальное уравнение Шредингера описывающее псои1 = d + 1 - мерную кулонов-скую проблему совпадает с п"*с = 2d - мерным квазирадиальным уравнением для осциллятора на сфере и одно- и двухполосом гиперболоидах при соотвествующих размерностях.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.

В приложении найдено условие существования решений для переопределенной системы однородных алгебраических уравнений встречающейся при исследовании уравнения Гельмгольца на трехмерной сфере в эллипсоидальной системе координат.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1. C.Grosche, G.S.Pogosyan and A.N.Sissakian. Path Integral discussion for Smorodin-sky - Winternitz Potentials: I. Two - and three Dimensional Euclidean Space. Fortschritte der Physik, 43(6), 453-521, 1995.

2. C.Grosche, G.S.Pogosyan and A.N.Sissakian. Path Integral discussion for Smorodin-sky - Winternitz Potentials: II. Two - and Three Dimensional Sphere. Fortschritte der Physik, 43(6), 523-563, 1995.

3. C.Grosche, G.S.Pogosyan and A.N.Sissakian. Path Integral Approach to Superinte-

grable Potentials. Two - Dimensional Hyperboloid. ЭЧАЯ, V27, 593-574, 1996.

4. C.Grosche, Kh.G.Karayan, G.S.Pogosyan and A.N.Sissakian. Free Motion on the Three-Dimensional Sphere: The Ellipso-Cylindrical Bases. J. Phys., A30, 16291657, 1997.

5. R.G.Airapetyan, Kh.G.Karayan, G.S.Pogosyan, A.N.Sissakian and D.I.Zaslavsky. Quantum Motion on the Three-Dimensional Sphere. Ellipsoidal Bases. Сообщение ОИЯИ, E2-96-117, Дубна, 1996.

6. A.A.Izmest'ev, G.S.Pogosyan, A.N.Sissakian and P.Winternitz. Contraction of Lie Algebras and Separation of Variables. J. Phys A 29, 5940, 1996.

7. G.S.Pogosyan and A.N.Sissakian. On the Kepler-Coulomb problem in the three-dimensional space with constant positive curvature. Turkish Journal of Phys., V21, 515-524, 1997.

8. E.G.Kalnins, W.MIller Jr. and G.S.Pogosyan. Superintegrability and associated polynomial solutions. Euclidean space and sphere in two-dimensions. J. Math. Phys. 37, 6439, 1996

9. A.A.Izmest'ev, G.S.Pogosyan, A.N.Sissakian and P.Winternitz. Contraction of Lie Algebras and Separation of Variables. Two-Dimensional Hyperboloid. International Journal of Modern Physics. A12(l), 53-61, 1997.

10. A.A.Izmest'ev, and G.S.Pogosyan. Contraction of Lie Algebras and Separation of Variables on Three-Dimensional Sphere. In Proceedings "Physical Applications and Mathematical Aspects of Geometry, Groups, and Algebras", Eds: H.-D. Doebner, W. Scherer, P. Nattermann. World Scientific, Singapore, page 137, 1997.

11. E.G.Kalnins, W.Miller Jr. and G.S.Pogosyan. Superintegrability on the two dimensional hyperboloid. J.Math.Phys. 38, 5416-5433, 1997.

12. A.A.Izmest'ev, G.S.Pogosyan. Contraction of Lie Algebras and Separation of Variables. From Two-Dimensional Hyperboloid to Two Dimensional Minkovsky Space. Препринт ОИЯИ, E2-98-83, Дубна, 1998.

13. Ye.M.Hakobyan, G.Pogosyan and A.N.Sissakian. On a Generalized D-dimensional Oscillator. Interbasis Expansions, ЯФ, 61 (10), 1762-1767, 1998.

14. Ye.M.Hakobyan, M.Kibler, G.S.Pogosyan and A.N.Sissakian. On a Generalized Oscillator: Invariance Algebra and Interbasis Expansions.. ЯФ, 61, 1782-1788, 1998.

15. Ye.M.Hakobyan, E.G.Kalnins, W.Miller Jr. and G.S.Pogosyan. Superintegrability in two dimensional hyperboloid II. J.Math.Phys., 40, 2291-2306, 1999.

16. A-.A.Izmest'ev, G.S.Pogosyan, A.N.Sissakian and P.Winternitz. Contraction of Lie Algebras and Separation of Variables. N-dimensional sphere. J.Math.Phys., 40, 1549-1573, 1999.

17. E.G.Kalnins, W.Miller Jr. and G.S.Pogosyan. Superintegrability in the three dimensional Euclidean space. J.Math.Phys., 40, 708-725, 1999.

18. E.G.Kalnins, W.Miller Jr. and G.S.Pogosyan. Coulomb-oscillator duality in spaces of constant curvature. J.Math.Phys. 41, 2629-2657, 2000.

19. E.G.Kalnins, W.Miller Jr. and G.S.Pogosyan. Completeness of multiseparable supereintegrability in E2,c. J.Phys.A33, 4105-4120, 2000.

20. E.G.Kalnins, W.Miller Jr. and G.S.Pogosyan. Completeness of multiseparable supereintegrability on the complex S-sphere. J.Phys.A33, 6791-6806, 2000.

21. A.A.Izmest'ev, G.S.Pogosyan, A.N.Sissakian and P.Winternitz. Contraction of interbasis expansions for subgroup coordinates on N-dimensional sphere. J. Phys. A34, 521-554, 2001.

22. E.G.Kalnins, J.M.Kress, W.Miller Jr. and G.S.Pogosyan. Completeness of superintegrability in two dimensional constant curvature spaces. J.Phys. A34, 4705-4720, 2001.

23. П.Винтернитц, К.Б.Вольф, Г.С.Погосян и А.Н.Сисакян. Вывод теоремы сложения Графа путем контракций группы 50(3) ТМФ, 129(2), 227-229, 2001.

24. E.G.Kalnins, W.Miller Jr. and G.S.Pogosyan. The Coulomb-Oscillator Relation on n-Dimensional Spheres and Hyperboloids. ЯФ, 65(6), 1119-1127, 2002.

25. E.G.Kalnins, W.Miller Jr. and G.S.Pogosyan. Completeness of multiseparable superintegrability in two dimensions. ЯФ, 65(6), 1066-1068, 2002.

Получено 22 апреля 2003 г.

s,

Ш12 8 1

2.005-

1 IQ.8 \

Макет H. А. Киселевой

Подписано в печать 23.04.2003. Формат 60 X 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,12. Уч.-изд. л. 1,4. Тираж 100 экз. Заказ № 53867.

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6. E-mail: publish@pds.jinr.ru www.jinr.ru/publish/

Введение

Глава 1 Контракции и разделение переменных, на двумерной сфере и гиперболоидах

1 Системы координат и интегралы движения на S

1.1 Системы координат на S2.

1.2 Системы коордииат на двумерном гиперболоиде Н

1.3 Системы коордииат па евклидовой плоскости Е2.2G

1.4 Системы координат в псевдо-евклидовом пространстве Eiti.

2 Контракции алгебр и групп Ли

2.1 Контракции от so(3) к е(2).

2.2 Контракции от группы SO(3) к группе Е(2). 2.3 Контракции от so(2,1) к е(2).

2.4 Контракции от so(2}l) к е(1,1) .■.

3 Контракции систем координат

3.1 Контракции систем координат на £2.:.

3.2 Контракции систем координат от Н2 к Е2.

3.3 Контракции от систем координат на Н2 к Е\,\.

4 Контракции базисных функций на S2 и Н

4.1 Контракции сферического базиса на S2.

4.2 Контракции эллиптического базиса на S

4.3 Контракции псевдо-сферического базиса на Н

4.4 Контракции эквидистантного базиса па Н

Глава 2 Контракции и разделение переменных на трехмерной сфере ф 1 Системы координат па S3 и Ез

1.1 Эллиптические системы координат.

1.2 Эллипсоидальная система коордииат.

1.3 Системы координат в Евклидовом пространстве Е3.

2 Контракция алгебры SO(3), систем координат и интегралов движения

2.1 Контракция алгебры so(3).

2.2 Контракции подгрупповых систем координат и базисов.

2.3 Контракции в межбазиспых разложениях.

2.4 Контракции в эллиптических системах координат.

2.5 Контракции эллипсоидальной системы координат.

3 Эллиптические базисы

3.1 Разложение эллиптического базиса по цилиндрическому.

3.2 Разложение эллиптического базиса по сферическому.

3.3 Переход к гиперсферическому и цилиндрическому.

4 Эллипсоидальный базис

4.1 Решение волнового уравнения Ламэ.

4.2 Эллипсоидальные волновые функции.

Глава 3 Контракции и разделение переменных на N - мерной сфере

1 Разделение переменных в N - мерных однородных пространствах

1.1 Подгрупповые системы координат на Sn и метод деревьев.

1.2 Гиперсферические волновые функции па 5П.

1.3 Подгрупповые координаты на Еп и кластерные диаграммы.

• 2 Контракции алгебры Ли, систем координат и собственных функций 9G

2.1 Контракции подгрупповых систем координат. Графический метод.9G

2.2 Контракции волновых функций.

3 Межбазисные разложения и контракции

3.1 Переходы между гиперсферическими функциями.

3.2 Контракции в межбазисных разложениях.10G

Глава 4 Суперинтегрируемость в комплексном пространстве Е2С

1 Суперинтсгрируемые системы в Еъс

1.1 Невырожденные потенциалы.

1.2 Квадратичная алгебра

2 Суперинтсгрируемые системы в £2 132 2.1 Обобщенный круговой осциллятор. ф 2.2 Потенциал Холта.

2.3 Обобщенный кулоновский потенциал.

2.4 Потенциал Винтернитца-Смородипского.

3 Межбазиспые разложения

3.1 Вычисление матрицы перехода.

3.2 Связь с коэффициентами Клебша-Гордана группы SU( 1,1).

Глава 5 Суперинтегрируемые системы на комплексной сфере Sic

1 Суперинтегрируемость на комплексной сфере S2C

1.1 Суперинтсгрируемые потенциалы па S2C.

1.2 Системы координат на комплексной сфере <52,с.

1.3 Квантовая суиериптгерируемость и квадратичная алгебра.

2 Кулоп-осцилляторпая дуальность

2.1 Преобразование Леви-Чивиты на ^ и //2.

2.2 Решение комплексного уравнения Шредингера.

3 Суиеринтегрируемость на 5г

3.1 Сингулярный осциллятор.

3.2 Сингулярный кулоновский потенциал.

4 Супериитегрируемые системы на Н

Глава 6 Многомерные супериитегрируемые системы

1 Трехмерные супериитегрируемые системы 184 1.1 Сингулярный изотропный осциллятор

1.2 Анизотропный осциллятор.

1.3 Сингулярный кулоновский потенциал.

2 N-мерпые супериитегрируемые системы

2.1 Декартовый и гиперсферический базисы.

2.2 Связь между декартовым и гиперсфериеским базисом

2.3 Дерево перехода и правила соответствия.

3 Кулоновская проблема на S

3.1 Обобщенное преобразование Кустанхеймо-Штифеля.

3.2 Кулон-осцилляторная дуальность.

3.3 Эллиптический базис.

4 Кулоп-осцилляторная аналогия на сфере и гиперболоидах

4.1 Кулон-осцилляторная связь на Sn ■ •

4.2 Кулоп-осциляторпая связь на n-мерном двухполосиом гиперболоиде . 216 Ф 4.3 Кулон-осциляторная связь на п-мерном однополосном гиперболоиде

Настоящая диссертация, как видно из самого заглавия, посвящена суперинтсгрируемым системам на пространствах постоянной кривизны. Интерес к суперинтсгрируемым системам вот уже полвека не ослабевает, и поток литературы, в которой в том или ином аспекте обсуждаются такие системы, в настоящее время столь же стабилен как и, например, десять лет назад. Идеи и методы, характерные для этой области теоретической физики, первоначально родились при исследовании поведения частиц в кулоновском и ос-цилляторном полях, а затем поучили свое развитие в квантовой теории ноля [1] и теории поля с фундаментальной длиной [2], физике элементарных частиц [3], теории лазеров [4], модели оболочек [5], коллективной модели ядер [6], современной теории (супер)струп [7], различных физических системах с магнитнымы монополями [8, 9], суперсимметричной квантовой механике [10] и квантовой гравитации [11]. Поэтому любое продвижение в теории суперинтегрирусмых систем носит принципиальный характер и является актуальным.

Как известно [12], классическая система с N степенями свободы является полностью интегрируемой в смысле Лиувилля, (или интегрируемой в квадратурах) если известны N функционально независимых интегралов движения (включая Гамильтониан системы) находящихся в инволюции или что тоже самое для которых скобка Пуассона равна пулю. В квантовой механике по аналогии с классической механикой, такие системы называются интегрируемыми если известны N — 1 алгебраически независимых линейных операторов коммутирующих как с гамильтонианом системы так и между собой. Частный класс интегрируемых систем называется суперинтсгрируемым [13], если они являются интегрируемыми, а число известных независимых (так называемых дополнительных) интегралов движения превосходит размерность пространства. Дополнительные интегралы движения по определению коммутируют с гамильтонианом системы, но не обязательно коммутируют между собой. Если число D независимых интегралов движения равно D = 'IN — 1 (как известно число интегралов движения не может превышать 2N — 1 [14]), где N число степеней свободы системы, то такие системы называются максимально су-перинтегрируемые, и называются минимально суперинтегрируемые если число таких интегралов движения [15] равно D = 2N — 2.

В трехмерном Евклидовом пространстве к наиболее известным и хорошо изученным системам такого типа относятся:

1. Движение частицы в кеплеровском поле где наряду с моментом импульса, как показал Лаплас [16], сохраняется еще одна векторная величина, лежащая в плоскости орбиты, направленная по большой оси эллипса и по модулю равная экцентриси-тету. В дальнейшем Лапласовский добавочный интеграл движения был переоткрыт Рунге и Ленцем [17, 18], а его обощение на случай квантовой механики было элегантно использовано Наули [19] для вычисления дискретного спектра атома водорода [20]. Шесть интегралов движения: три компоненты углового момента L,- и три компоненты вектора Лапласа-Рунге-Ленца Л,- связаны двумя соотношениями L] + А] = И, Li ■ Ai = 0 и потому данная система обладает максимальным числом 2x3 — 1=5 независимых интегралов движения.

2. Движение в ноле квадратичного потенциала: изотропный гармонический осциллятор и анизотропный осциллятор с рациональным отношением частот. В случае изотропного осциллятора дополнительный (по отношению к угловому моменту системы Li) интеграл движения соотвествтуст сохранению квадрупольпого момента, так называемого тензора Демкова TJj. = -f ж,-а:к [21]. В случае анизотропного осциллятора угловой момент не сохраняется так как потенциал не является центрально-симметричным. Однако, в случае рационального отношения частот система обладает дополнительным интегралом движения, в общем случае, полиномиальным по импульсам.

Существование дополнительных интегралов движения для перечисленных выше систем приводит ко многим интересным свойствам по отношению к просто интегрируемым системам.

В классической механике для максимально супсринтсгрирусмых потенциалов все конечные траектории периодичны (то есть замкнуты), в то время как, для минимально су-периптегирируемых потенциалов они квазипереодичны (то есть периодичны по каждой из координате по не периодичны в целом) [22, 23, 24]. В случае движения частицы в чисто кулоповском и осцилляторном полях все конечные траектории замкнуты согласно теореме Бертрана [25].

В квантовой механике это феномен случайного вырождения, когда все уровни энергии являются многократно вырожденными. Это свойство прямо связано с наличием группы динамической симметрии или как еще часто называют группы скрытой симметрии, более шнровой чем группа геометрической симметрии, которая непосредственно связана с симметрией физического пространства и времени (например группа трехмерных вращений для уравнения Шредипгера с любым центрально-симметричным потенциалом). Наличие группы динамической симметрии позволяет полностью описать кваптовоме-хапическую систему, то есть определить энергетическое вырождение уровней и спектр энергии. Впервые такая динамическая группа рассматривалась в работах [19, 26, 27] для объяснения случайного вырождения спектра энергии атома водорода по орбитальному квантовому числу. В частности Фок [26, 28] показал, что нерелятивистская кулопова задача в дискретном спектре при переходе к импульсному представлению и стереографическом проецировании сводится к уравнению (интегральному) описывающему свободное движение па трехмерной сфере и инвариантному относительно группы четырехмерных вращений 0(4). В исходном уравнении Шредипгера эта симметрии не видна и поэтому была названа скрытой или динамической симметрией. Связь между подходами Паули и Фока была установлена Баргманом [27], который паказал, что нормированный должным образом вектор Рунге-Ленца Л,- и оператор момента L,- вместе подчиняются коммутационным соотношениям для алгебры о(4). Распространение метода Фока на непрерывный спектр [29, 30, 31] показало что вместо трехмеропй сферы приходится иметь дело с трехмерным гиперболоидом, а вместо конечномерных представлений группы 0(4) - с бесконечномерными унитарными представлениями группы Лоренца 0(3,1). Случай нулевой энергии для атома водорода был рассмотрен отдельно в статье [32], где показано что группой динамической симметрии является группа движений трехмерного протраиства Е{3). Симмстрийиыс аспекты многомерной (п > 2) кулоновской проблемы рассматривались в работе Аллилуева [33], а группа динамической симметрии одномерной задачи впервые была найдена в наших работах [34, 35].

Случайное вырождение уровней энергии п - мерного изотропного осциллятра было впервые объяснено в терминах скрытой симметрии U(n) в работах Яуха [3G] и Яуха и Хилла [37]. Аналогичный результат был получен позднее Демковым и Бейкером [21, 38]. Группа симметрии анизотропного осциллятора были найдены в работах [39, 40, 41, 42, 43]. Скрытой симметрии квантового волчка посвящена работа [44].

Интересно что связь между двумя группами динамической симметрии SO{n + 1) и SU(n) приводит, в свою очередь, в квантовой механике к понятию о кулоп-осцилляторпой или точнее дион-осцилляторпой дуальности. К примеру, (n + 1) - мерное радиальное уравнение Шредипгера с кулоповским потенциалом с точностью до преобразования дуальности [45] идентично 2га-мерному осцилляторпому уравнению. Согласно теореме Гур-вица [4G] полное соответствие (не только для радиальных частей) возможно только для специальных размерностей, а именно (2,2), (3,4) и (5,8). Дуальное преобразование в этих случаях носит названия Леви-Чивиты [47], Кустанхеймо и Штифеля [48] и Гурвица [49].

Еще одно направление, в котором развивались первопочальные идеи Фока и Барг-маиа, составили так называемые группы пеипоариаитпиости [50]. В отличии от динамической группы в которой гамильтониан играет роль оператора Казимира, часть элементов группы пеипвариаптности не коммутирует с гамильтонианом задачи, а действуют как повышающие и понижающие операторы на волновые функции уровней. В качестве группы пеипвариаптности обычно выбирается некомпактная группа содержащая динамическую группу в качестве подгруппы. Знание группы пеиивариаитпости, как установили Гелл-Манн [51] и Дотап [52] с сотрудниками, позволяет по нескольким известным уровням системы предсказать весь спектр се возбужденных состояний. Дальнейшее развитие этого направления нашло отражение в монографии [53]. Для полноты приведем здесь также другие работы, посвященные симметрийиым аспектам кулопов-ского поля [54]-[66].

Отметим наконец самое замечательное свойство суперинтегрируемых систем. Это разделение переменных в уравнении Гамильтоиа-Якоби и Шредипгера в более чем одной ортогональной системе координат, то есть, возможность решения задачи несколькими альтернативными способами. К примеру, изотропный гармонический осциллятор разделяется в трехмерном Евклидовом пространстве в восьми системах координат, а именно: в декартовой сферической, цилиндрической, круговой эллиптической, сферо-коиической, вытянутой и сплюснутой сфероидальной и эллипсоидальной. Задача Кеплера-Кулоиа допускает разделение переменных в четырех системах координат: сферической, сферо-коиической, параболической и вытянутой сфероидальной. С физической точки зрения важность разделения переменных в нескольких системах координат очевидна. В спектроскопии водородоподных систем используется сферическая система координат, при исследовании эффекта Штарка параболическая, а в задаче о движении электрона в поле с двумя фиксированными кулоновскими центрами - вытянутая сфероидальная система координат. Таким образом выбор конкретного базиса диктуется соображениями удобства и часто возникает необходимость в переходе от одного базиса к другому. Наиболее известным примером такого межбазиспого перехода служит лежащее в основе фазовой теории рассеяния разложения плоской волны по сферическим. В теории атома водорода первым межбазисным разложением можно считать результат Стоуна [67], который получил в импульсном представлении разложение параболического базиса по сферическому. Позже Парк [68] в рамках теоретическо-группового метода и Тартер [G9] чисто аналитическим путем воспроизвели результат Стоуна в конфигурационном представлении. Межбазиспые разложения параболического базиса по сферическому в непрерывном спектре рассматривались в работе Маюндара и Безу [70]. Коулсон и Джозеф [71] свели задачу разложения сфероидального базиса по сферическому к решению алгебраической системы однородных уравнений. Межбазиспые переходам в изотропном осцилляторе впервые обсуждались в работах Плюара и Толара [72], и Чакона и Япо [73]. Чуть позднее, в наших работах [74]-[79] на примере квантовых систем с кулоповским взаимодействием и многомерного изотропного осциллятора был разработан эффективный метод вычисления коэффициентов межбазисных разложений, так называемый метод асимптотик. Суть метода асимптотик состоит в наблюдении, что многие базисы упрощаются на больших (дискретный спектр) и малых (непрерывный спектр) расстояниях от центра силового поля, и в тоже время, сохраняют всю информацию необходимую для вычисления матрицы перехода. В результате исходная проблема сводится к более простой задаче нахождения матрицы перехода между асимптотиками базисов. Метод асимптотик используется нами в четвертой и шестой главах диссертации при вычислении матрицы перехода между гипсрсферическим и декартовым базисами многомерного сингулярного осциллятора.

К сожалению пе существует простого критерия который может указать па то в каких конкретных системах координат разделяется уравнение Гамильтона-Якоби и Шре-дипгера для той или иной задачи. Необходимое и достаточное условие для полного или простого разделения переменных для уравнения Гамильтона-Якоби в ортогональной системе координат при определенных обстоятельствах впервые было дано Штекелем [80, 81], а для уравнения Гельмгольца (уравнения Шредипгера с нулевым потенциалом) в n-мерном Римановом пространстве в работе Муиа и Спенсера [82]. Вопрос о разделении переменных в уравнении Шредипгера в трехмерном Евклидовом пространстве был решен Эйзепхартом [83], который показал, что существует ровно одиннадцать различных ортогональных систем координат (в двумерном пространстве возможны только четыре). Для каждой из систем координат Эйзенхарт определил форму потенциала допускающего разделение переменных.

Определение всех ортогональных систем координат для заданного n-мерного Рима-иова многообразия Rn даже в случае нулевого потенциала, представляющего наиболее симметричный случай, является нетривиальной задачей дифференциальной геометрии и ответ известен только для некоторых пространств постоянной кривизны. Задача о разделении переменных в уравнения Гельмгольца для двух- и трехмерных пространств постоянной кривизны полностью решена в известной работе Олевского [84]. Согласно работе Олевского на двухмерной сфере существует только две ортогональные системы координат: сферическая и эллиптическая, на трехмерной сфере и шесть, а па двумерном и трехмерном гиперболоиде их соответственно 9 и 34. Графическая процедура построения произвольных ортогональных систем координат в п-мер ном реальном евклидовом пространстве и па тг-мерной реальной сфере приведена в статье Калнипса и Миллера [85] и хорошо описана в монографии Калнипса [86]. Случай подгрупповых систем координат на сфере и гиперболоиде произвольной размерности подробно разобран в работах Вилепкипа [87] и Вилепкипа, Кузнецова и Смородинского [88].

Хорошо известно, что существует тесная связь между теорией специальных функций и теорией групп Ли, хорошо описанная в книгах: Вилепкипа [89], Тальмапа [90] и Миллера [91]. Фактически все свойства широкого класса специальных функций могут быть получены из теории представлений групп Ли, используя тот факт что специальные функции появляются как базисные функции неприводимых представлений, или как матричные элементы для матрицы преобразований, или как коэффициенты Клебша-Гордана или в каком либо другом виде. Одним из очень полезных применений теории Ли в этом контексте является алгебраический подход к разделению переменных для дифференциальных уравнений в частных производных. В этом подходе системы координат в которых разделяются переменные в уравнениях Гельмгольца, Гамильтона - Якоби и в других инвариантных уравнениях, характеризуются полным набором коммутирующих операторов второго порядка, принадлежащих обертывающей алгебре алгебры Ли группы изометрии соответствующего однородного пространства. Отсюда одно из наиболее эффективных направлений поиска всех ортогональных систем координат допускающих разделение переменных в свободном гамильтониане лежит в исследовании всевозможных неэквивалентных наборов интегралов движения. На этом пути в работе [92] показано, что в двумерном пространстве Минковского существует десять ортогональных систем координат, а в двумерном комплексном евклидовом пространстве, включаещем реальное евклидово пространство и реальное пространство Минковского существует шесть систем коордииат [86, 93]: декартовая, полярная, параболическая, эллиптическая, гиперболическая и иолу-гиперболическая, а на двумерной комплексной сфере включающей реальную сферу и гиперболоид существует пять систем координат.

Процесс разделения переменных в уравнении Шредипегра приводит к обыкновенным дифференциальным уравнениям решением которых выступают многие специальные функции математической физики. Сложность же самих уравнений часто определяется тем насколько "разделяются" также контстапты разделения. Такая ситуация например складывается при исследовании уравнения Шредингера в случае нулевого потенциала, пли для кулоновской и осцилляториой задач в системах коордииат эллиптического типа как например сфероидальной или эллипсоидальной. В результате каждое из дифференциальных уравнений второго порядка содержит сразу несколько констант разделения (зависящих от размерных или безразмерных параметров входящих в определение самой системы координат), одновременное квантование которых выливается в нетривиальную математическую задачу.

Как известно, стандартный способ решения, полученного в результате разделения переменных, обыкновенного дифференциального уравнения, предполагает (после выделения особенностей) разложение вокруг одной из особых точек уравнения, и после чего задача сводится к разрешению (в общем случае многочленных) рекуррентных соотношений на коэффициенты искомого разложения. В случае, когда коэффициенты разложения подчиняются двухчленным рекуррентным соотношениям, то соответсвующее решение уравнения записывается в замкнутом виде, то есть через гипергеометрические функции. Такую задачу принято называть точно решаемой. В частности, практически все известные суперицтегрируемые системы относятся к точно-решаемому тину если речь идет о разделение переменных в одпоцентровых системах координат как сферической, декартовой или цилиидрической. Если же пас интересует решение сфероидального волнового уравнения или уравнения Ламэ, или Гойна (получающегося в процессе разделения переменных в двухцетровой системе координат зависящей от одного параметра), то описанный способ решения приводит обычно к трехчленным рекуррентным соотношениям (сфероидальной анализ уравнения Шредингера для свободного движения и в задаче с двумя неподвижными кулоиовскими центрами подробно описан в монографии [94]), что эквивалентно решению системы однородных алгебраических уравнений. Такой подход был реализован в работа Коулсопа и Робертсона [95] при исследовании уравнения Шредингера для атома водорода в сфероидальной системе координат, затем Кал-гшпеа, Миллера и Винтернитца [96] при решении трехмерного уравнения Гельмгольца в сферо-копической системе координат, а позднее, при решении задач о двумерном атоме водорода и круговом осцилляторе в эллиптической системе координат [97, 98].

Вместо непосредственного решения полученных в процессе разделения переменных дифференциальных уравнений широко используются также два других альтернативных метода. Первый из них существенно опирается на знание интегралов движения характеризующих разделение переменных в той или иной системе координат. При этом искомый базис ищется в виде разложения по более простым базисам (таковой существует практически для всех супсриптегрируемых систем) и соответствующая задача сводится к вычислению интегралов перекрытия, а в итоге, к решению алгебраической системы однородных уравнений. Описанный метод наиболее эффективен когда разложение по простым базисам определяется одним суммированием (то есть два базиса отличаются только одним квантовым числом). Имеется и другое явное преимущество данного метода, а именно, наряду с волновой функцией одновременно вычисляются и коэффициенты межбазисного разложения. Такая схема построения кулоновского сфероидального базиса впервые была реализована в работе Коулсопа и Джозефа [71]. В более сложном варианте когда разложения по простым базисам возможно только в виде многократных сумм по нескольким квантовым числам, а соответствующие коэффициенты пе факторизуются, нам приходиться иметь дело с многомерными рекуррентными соотношениями, которые в свою очередь приводят к характеристическим уравнениям для кубичных (или более высокой размерности) матриц.

На этом фоне, по всей видимости, наиболее эффективным методом решения многопараметрической задачи па собственные значения является метод предложенный Нивеиом [99, 100, 101] при исследовании трехмерного уравнения Лапласа в эллипсоидальной системе координат, согласно которому полиноминальгюе решение строится в терминах пулей самих полиномов и задача сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений для соответствующих нулей. Недавно в работе [102] этот метод был успешно применен Комаровым и Кузнецовым при построении гармонических полиномов представляющих решение уравнения Лапласа в общей эллипсоидальной системе координат па 3-сфере. В этой же работе было продемонстрировано что собственные значения констант разделения (или что тоже самое квадратичных интегралов движения) могут быть выражены в терминах пулей соотвествующих полипомов и параметров определяющих эллипсоидальную систему координат. Далее, Калниису и Миллеру [103] удалось распространить метод Нивена для решения уравнения Лапласа в общей эллипсоидальной системе координат па ДГ-мерпой сфере и в ./V-мерпом евклидовом пространстве.

Как и в евклидовом пространстве исследование суперинтегрируемых систем в пространствах постоянной кривизны, как положительной так и отрицательной, имеет богатую историю. Впервые такая система была рассмотрена в работах Шредипгера [104], который, используя метод факторизации, нашел спектр энергии для потенциала, являющегося аналогом кулоповского потенциала па трехмерной сфере S3 и показал, что, как и в случае плоского пространства, имеет место полное вырождение по орбитальному и азимутальному квантовым числам. Чуть позже Стивенсон [105] путем прямого решения уравнение Шредипгера повторил этот результат и пашел ненормированные волновые функции атома водорода. В случае пространства отрицательной кривизны аналогичный результат был получен в работах Ипфельда [106] и Ипфельда и Шилда [107]. Далее в работах Хигса [108], Лимона [109], Курочкииа и Отчика [110], и Курочкипа, Отчика и Богуша [111] было показано, что наличие вырождения для энергетического спектра ку-лоновской задачи и гармонического осциллятора на 3-сфере в трехмерном пространстве Лобачевского связано с существованием дополнительных интегралов движения: аналога вектора Рунге - Ленца (для кулоповского потенциала) и тензора Демкова (для осциллятора). Однако, как оказалось, коммутационные соотношения для компонент этих операторов вместе с компопстами углового носят нелинейный характер, и следовательно, не образуют конечномерную алгебру Ли. Это и есть существенное отличие кулонов-ской и осцилляторпой задач на сфере (и гиперболоиде) от плоского случая когда в качестве группы скрытой симметрии выступает группа 0(4) или U(3). Несмотря на указанные особенности, оказывается, что имеющиеся коммутационные соотношения все же достаточны для вывода формулы энергетического спектра и кратности вырождения атома водорода и изотропного осциллятора па сфере S3 [108, 110]. Дальнейшее развитие кулоновская и осцилляториая задачи на сферах и гиперболоидах получили в работах [112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122] и нашли применение при построении многочастичной волновой функции [123], решении задачи двух центров с кулоповским взаимодействием [124], описании спектра кваркопиев [125] и экситопов в квантовых точках [126].

Долгое время считалось, что только кулоновская проблема и изотропный гармонический осциллятор обладают столь выделенными свойствами. Первый систематический поиск суперинтегрируемых систем в двух- и трехмерном евклидовом пространсве был предпринят в середине шестидесятых годов в работах Винтерпитца и Смородипского с соавторами [127, 128, 129]. Схема классификации новых суперинтегрируемых систем, в этих работах, существенно опирается на известную теорему Бертрана-Дарбу [130, 131], которая гласит, что в двумерном евклидовом пространстве дополнительный к энергии квадратичный по импульсам интеграл движения существует тогда, и только тогда, когда потенциал допускает разделение переменных в эллиптической системе координат или в одной из ее вырожденных форм. Из теоремы Бертрана-Дарбу следует, что разделение переменных (мультипликативное в квантовой механике и аддитивное в классической), в более чем одной системе координат, прямо связано с понятием супсриптегрируемости второго рода (когда все 2N — 1 или 2N — 2 интегралов движения квадратичны по импульсам). Наиболее общие теоремы устанавливающие взаимно-однозначное соответствие между фактом разделения переменных и существованием интегралов движения второго порядка в классическом и квантовом случае можно найти в работах [132, 133, 134]. Таким образом, одним из возможных методов поиска супериптегрируемых систем является построение всех потенциалов допускающих разделение переменных как минимум в двух системах координат (или разного типа, или одинаковых, но сдвинутых или повернутых друг относительно друга). В свою очередь требование одновременного разделения переменных в уравнении Шредингера в более чем одной системе координат приводит к необходимости решения дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка для искомого потенциала. На этом пути было доказано, что в двумерном евклидовом пространстве существует только четыре супериптегрируемых потенциала, обладающих тремя функционально независимыми интегралами движения (включая энергию) [127, 128, 129], в то время, как в трехмерном евклидовом пространстве существует восемь минимально и пять максимально суперинтегрирумых потенциалов, обладающих четырьмя (минимально суперинтегрируемые) и пятью (максимально суперинтегриру-емые) функционально независимыми интегралами движения соответственно [15]. Все найденные суперинтегрируемые потенциалы являются (в основном сингулярными) обобщениями кулоновского или осцилляторпого потенциалов. Некоторые из них, как например, потенциал Хартмапа [135] нашли применение в молекулярной физике.

Другой метод иоиска супериптегрируемых систем основан на так называемом проективном методе [136, 137]. В рамках этого метода суперинтегрируемые потенциалы получаются путем редукции многомерного свободного гамильтониана. Примером могут служить потенциалы типа Калоджеро-Мозера-Сузерлепда [138] (см. ссылки в обзоре [136] и книге [137]). Бойер, Калнипс и Виптернитц использовали эту идею при поиске супериптегрируемых систем па двумерном гиперболоиде [139].

Определение новых супериптегрируемых систем стимулировали дальнейшее исследование алгебраических структур связанных с интегралами движения. Как было замечено рядом авторов, многие суперинтегрируемые системы (исключая чисто кулоиовский и осциляторпый потенциалы в Евклидовом пространстве) обладающие квадратичными интегралами движения генерируют алгебраическую структуру которую можно рассматривать как нелинейное расширение алгебры Ли (в классической механике алгебры Пуассона), а именно квадратичную алгебру. Впервые такие алгебры были введены в работах Склянииа [140] и нашли применение во многих областях физики как решение классических уравнений Япга-Бакстера [141, 142], в статистике [143], в случае точно решаемых классических задачах [144], для описании некоторых двумерных [145, 146] и трехмерных [147, 148] супериптегрируемых систем, а также при вычислении межбазисных переходов для кулоповской задачи и осциллятора на трехмерной сфере и гиперболоиде [149, 150]. Со многими ссылками можно познакомиться по недавней работе Даскалоянниса [151].

Несмотря на то, что конкретные примеры супериптегрируемых систем па первый взгляд просты, полная их классификация представляет собой довольно трудную задачу.

Действительно как мы можем быть уверены, что для каждого конкретного случая про-# странства постоянной кривизны все такие потенциалы известны (например в классификации приведенной в статьях [152] и [139] пропущены несколько супериптегрирумых систем)? Или если такие системы известны то как мы можем быть уверены, что наиболее общий аддитивный член также вычислен?

Изучение супериптегрируемых систем в однородных пространствах постоянной кривизны (на сферах или гиперболоидах) предполагает также построение контракций, т.е. асимптотических правил соответствия спектра и собственных функций рассматриваемой задачи и соответствующей задачи в плоском евклидовом пространстве, которая возникает в предельном переходе по некоторым переменным и параметрам.

Впервые контракции алгебр Ли были введены в физику Иношо и Вигпером в 1953 году [153] как математическое выражение философской идеи, а именно "принципа соответствия". Согласно этому принципу, если новая теория обобщает старую, то должен существовать хорошо определенный предел который восстанавливает результаты старой теории. Примерами таких предельных переходов или контракций может служить связь ф. между релятивистскими и нерелятивистскими теориями: когда скорость света с —> оо, группа Пуанкаре преобразуется в группу Галилея и также связь между пространством де Ситтера с группой изометрии 50(3,2) или 50(4,1) и пространством Минковского с группой Пуанкаре Р(3,1) как группой изометрии.

Сегодня известны два основных типа контракций алгебры Ли. Первый - это стандартные контракции Ипошо-Вигнера, которые можно интерпретировать как сингулярные преобразования базиса алгебры Ли. Ко второму типу относятся введенные позднее в работе Муди и Патеры [154], так называемые, градуированные контракции . Это более общий тип контракций (включающий в себя как дискретные, так и непрерывные контракции), суть которого состоит во введении неких параметров, модифицирующих структурные константы алгебры Ли относительно определенной градуировки, и затем устремлении этих параметров к пулю. В настоящее время проблема контракций вылилась в отдельное направление теории алгебр и групп Ли, и со многими се аспектами можно познакомиться по прекрасным источникам [90, 155, 156, 157, 158].

Вопрос который до сих пор пе был отражен должным образом в современной литературе это связь между разделением переменных в различных пространствах или в ® однородных пространствах различных групп Ли. В частности представляет интерес исследование поведения разделяющих координат, интегралов движения, соответствующих собственных функций а также межбазиспых разложений при контракциях алгебры Ли.

Обсудим теперь основной вклад настоящей диссертации в теорию супериптегрирумых систем па пространствах постоянной кривизны.

В диссертации представлен новый аспект теории коитракций групп и алгебр Ли, а имепнр: связь между ортогональными системами координат (допускающих разделение переменных в свободном уравнении Шредипгера), определенных на пространствах постоянной кривизны и в плоском евклидовом пространстве, и связанных при помощи контракций их групп изометрии. В рамках метода Ипошо-Вигнера вводится концепсия "аналитических контракции", в которой радиус кривизны рассматриваемого пространства представляется в качестве параметра коитракции. Для проведения коитракций в явном виде параметр контракции встраивается в базис самой алгебры Ли, в оператор Лапласа-Бельтрами, в полный набор коммутирующих операторов, в систему координат и решения. В рамках аналитического подхода удается получить не только переходы между системами коордииат, но также установить различные асимптотические соотношения между специальными функциями, связанными с группами SO(N+1) и SO(N, 1), с одной стороны и евклидовыми и псевдоевклидовыми группами с другой. В свою очередь знание контракций между системами координат позволяет найти связь между супер интегрируемыми системами в пространстве постоянной кривизны и плоском пространстве, и служит хорошой подсказкой при диагонализации дополнительных интегралов движения.

При решении проблемы классификации и поиска новых суперинтегрируемых систем второго рода (Очевидно, что ограничиваясь суперинтегрируемыми системами допускающими только квадратичные по импульсам интегралы движения мы лишаемся части интересных результатов. С другой стороны также попятно, что только симметрии второго порядка могут быть связаны с разделением переменных. Классификация суперин-тегрирумых систем обладающих интегралами движения более высокого порядка нежели квадратичные полностью открыт на сегодняшний день.) используется новый подход в идейном плане перекликающийся с подходом Бертрана-Дарбу. Представленный метод классификации позволяет легко доказать что супериитегрирумые потенциалы допускающие пару интегралов движения второго порядка не могут зависеть более чем от трех произвольных констант. Такие потенциалы носят название "невырожденных" потенциалов. В рамках предложенной схемы па примере двухмерного комплексного пространства I'hc удается проклассифицировать все (как мы надеемся) "невырожденные" суперипте-грируемые потенциалы допускающие наряду с энергией пару независимых интегралов движения. Требование, что система допускает два интеграла движения второго порядка приводит к необходимости разрешения системы двух уравнений в частных производных второго порядка для потенциала, а условия интегрируемости вытекающие из этих двух уравнений позволяет решить вопрос о полной классификации суперинтегрируемых систем. Действительно, если эксплуатировать "прямой метод", то нам бы пришлось искать общее решение для пары многопараметрических дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных, что представляет объективно трудную математическую задачу. Вместо этого предлагается сначала найти все решения так называемых условий интегрируемости, которые носят линейный характер и далее пользуясь этой подсказкой уже преступить к разрешению самой системы дифференциальных уравнений в частных производных. Предложенный подход ие требует разделения переменных (тем самым не исключается возможность существования суперинтегрируемых систем без разделения переменных), но содержит его как следствие. Вычисления сильно упрощаются если потенциалы связанные преобразованием из комплексной Евклидовой группы Е2с принять за эквивалентные. При классификации суперинтегрироваиных систем на двумерной комплексной сфере S2c в диссертации приводится немного видоизмененный подход не предполагающий невырожденность суиеринтегрируемого потенциала, но существенно опирающийся на факт разделения перменных в одной из систем координат. Тогда требование наличия дополнительного интеграла движения приводит к некоему функциональному уравнению, решение которого определяет явный вид супериптегрирусмого потенциала. Все иайдеппые супериитегрируемые потенциалы в комплексном евклидовом пространстве Е(2С) и на комплексной сфере S2c допускают разделение переменных как минимум в двух системах координат, а соответствующие интегралы движения генерируют квадратичную алгебру симметрии.

Почти во всех рассмотренных ниже задачах (исключая случай свободного движения), связанных с решением уравнения Шредингера для суиеринтегрируемых систем в различных системах координат на пространствах постоянной кривизны мы используем метод Нивепа.

Диссертация написана па основе двадцати пяти работ [159]-[183], состоит из введения, шести глав, заключения, математического дополнения и списка литературы. Спектр вопросов распределен по главам следующим образом.

Заключение

Подводя итоги выделим следующие результаты, полученные в диссертации:

1. В рамках метода контракций Ииошо-Вигнера разработана коицспсия аналитических контракций. Установлена связь между различными ортогональными системами координат определенными па двухмерных пространствах постоянной кривизны (сфере S2 ~ 0(3)/0(2) и гиперболоиде Н2 ~ 0(2,1)/0(2)) и в евклидовой и псевдоевклидовой плоскостях, и связанных при помощи контракций их групп изометрии. Получены различные асимптотические формулы для (псевдо)сферических функций и полиномов Ламе.

2. Вычислена матрица перехода между эллиптическими базисами и более простыми - гиперсферическим и цилиндрическим для уравнения Гельмгольца на S3. Получено полиномиальные решение обобщенного уравнения Ламэ и найдено условие квантования эллипсоидальных копстапт разделения.

3. Проанализированы всевозможные переходы для подгрупповых типов координат и базисов на в подгрупповые типы координат в En при контракции группы S0(N + 1) к группе E(N). Развит графический метод иллюстрирующий эти переходы. Найдены асимптотические формулы для .D-фупкций Вигнера от аргумента 7г/2, коэффициентов Клебша-Гордана и Рака, реализующих взаимные разложения подгрупповых базисов. Прослежены предельные переходы в самих межбазиспых разложениях.

4. Проклассифицированы все невырожденные суперинтегрирусмыс системы второго рода па комплексной плоскости Е2с, включающей в себя как реальное евклидово пространство так и пространство Минковского. Построена алгебра симметрии и показано, что супериптегрируемость второго рода приводит к мульти-разделяемости, то есть разделению переменных в более чем одной системе координат.

5. Построены полиномиальные базисы как для всех суперинтегрируемых систем на двухмерных сфере и гиперболоиде, так и в трехмерном евклидовом пространстве. Вычислена матрица перехода между декартовым и гиперсферическим базисами для многомерного сингулярного осциллятора и сформулирована диаграмная техника вычисления этих матриц.

6. На двумерной комплексной сфере S2c найдены все супсриптегрируемые системы, допускающие три функционально независимых интеграла движения второго порядка и генерирующих квадратичную алгебру симметрии.

7. Построена серия комплексных преобразований S2c —>-S2, S^c обобщающая в случае сферической геометрии хорошо известные в евклидовом пространстве преобразования Леви-Чивиты и Кустаихеймо-Штифеля.

1. В.Г.Кадышевский, P.M.Мир-Касимов и II.Б.Скачков. Трехмерная формулировка релятивистской проблемы двух тел ЭЧАЯ, 2, 635-690, 1972.

2. Физика высоких энергий и теория элементарных частиц. Наукова Думка, Киев, 1967

3. R.Dicke. Coherence in spontaneous radiation processes. Phys. Rev., 93, 99-110, 1954.

4. Дж.Эллиот и А.Лейп. Строение атомного ядра. ИЛ, Москва, 1958.

5. J.P.Elliot. Collective motion in the nuclear shell model. Part 1,11. A245, 128-145, 562-581, 1958.

6. E.Wittcn. Anti-de-Sitter space and holography. Adv. Theor. Math. Phys., 2, 253, 1998; hep-th/9802150.

7. G.W.Gibbons and N.S.Manton. Nucl. Phys., B274, 183, 1986. D.Zwanziger. Phys. Rev., 176, 1480, 1968.

8. F.Cooper, A.Khare and U.Sukhatme. Supersymmetry and quantum mechanics. Phys. Report, 251, 267, 1995.

9. K.Fujikawa. Path integral of the hydrogen atom, Jacobi's principle of least action and one-dimensional quantum gravity. Nucl. Phys., B484, 495-520, 1997.

10. B.И.Арнольд. Математические методы классической механики.

11. S.Wojciechowski. Supcrintegrability of the Calogcro-Moser System. Phys.Lett., A 95, 279, 1983.

12. Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшиц. Механика, Наука, Москва, 1965.

13. N.W.Evans. Superintegrability in Classical Mechanics. Phys.Rev., A 41, 5666, 1990; Super-Integrability of the Wintcrnitz System. Phys.Lett. A 147,483, 1990; Group Theory of the Smorodinsky-Winternitz System J.Math.Phys., 32, 3369, 1991.

14. M.Laplace. Traite de macanique celeste. V.I. Ch. 3, Paris, Bachelier, 1989.

15. C.Runge. Vektoranalysis, 1. Hirtel, Leipzig, 1919.

16. W.Lenz. Uber den Bewcgungsverlauf und die Quantenzustande der gestorten Keplerbe-wegung. Zeitschr.Phys., 24, 197-207, 1924.

17. VV. Pauli. Uber das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik. Zs. Phys., 36, 336-363, 1926.

18. Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшиц, Квантовая Механика, Москва, Наука, 1973

19. Ю.Н.Демков. Группа симметрии изотропного осциллятора. ЖЭТФ, 26, 757, 1954; 36, 88-92, 1959

20. M.Kibler and P.Wintcrnitz. Periodicity and Quasi-Periodicity for Super-Integrable Ilamiltonian Systems. Phys.Lett. 147, 338-342, 1990.

21. M.Kibler, G.-II.Lamot and P.Winternitz. Classical Trajectories for Two Ring-Shaped Potentials. Int.J.Quantum Chem. 43, 625-645, 1992.

22. M.Kibler and C.Campigotto. Classical and Quantum Study of a Generalized Kepler-Coulomb System. Int.J.Quantum Chem. 45, 209-224, 1993.

23. J.Bcrtrand. Theorime relatif au mouvement dun point atlire vers un centre fixe. Comptes Rendus, 77, 849-853, 1873.

24. V.A.Fock. Zur Theorie des Wasserstoffatoms. Zs. Phys., 98, 145-154, 1935.

25. V.Bargman. Zur Theorie des Wasserstoffatoms. Zs. Phys., B39, 576-582, 1936.

26. В.Л.Фок. Начала квантовой механики. Наука, Москва, 1976

27. A.M.Переломов и В.С.Попов. Группа Лоренца как группа динамической симметрии атома водорода. ЖЭТФ, 50, 179-1986 1966.

28. В.С.Попов. О скрытой симметрии симметрии атома водорода. Статья в сборнике Физика высоких энергий и элементарных частиц. Наукова Думка, Киев, 1967.

29. М.Bander and C.Itzykson. Group Theory and the Hydrogen Atom. 1,11. Ilev. Mod.Phys. 38, 330-345; 346-358, 1968.

30. A.C.Chen. The zero-energy Coulomb problem. J.Math.Phys., 19, 1037-1040, 1978.

31. С.П.Аллилуев. К вопросу о связи "случайного" вырождения со "скрытой" симметрией системы. ЖЭТФ, 33, 200-203, 1957.

32. L.S.Davtyan, G.S.Pogosyan, A.N.Sissakian and V.M.Ter-Antonyan. On the Hidden Symmetry of a One-Dimensional Hydrogen Atom. J.Phys. A20, 2765-2772, 1987.

33. I.V.Lutscnko, L.G.Mardoyan, G.S.Pogosyan, A.N.Sissakian and V.M.Ter-Antonyan. Non-Relativistic Coulomb Problem in a One-Dimensional Quantum Mechanics. J.Phys. A22, 2739-2749, 1989.

34. J.M.Jauch. Groups of quantum-mechanical contact transformations and the degeneracy of energy-levels. Phys. Rev., 55, 1132, 1939.

35. J.M.Jauch and E.L.IIill. On the problem of degeneracy in quantum mechanics. Phys. Rev., 57, 641-645, 1940.

36. G.A.Baker. Degeneracy of the n-dimensional isotropic harmonic oscillator. Phys. Rev., 103, 1119-1120, 1956.

37. Ю.Н.Демков. Об определение группы симметрии квантовой системы. Анизотропный осциллятор. ЖЭТФ, 44, 2007-2010, 1963.

38. Л.А.Илькаева. Группа симметрии анизотропного осциллятора. Вести. ЛГУ, 22, 56-62, 1963.

39. V.A.Dulock and H.V.Mcintosh. On the degeneracy of the two-dimensional harmonic oscillator. Amer. J. Phys., 33, 109-118, 1969.

40. I.Vendramin. On the dynamical symmetry of the nonisotropic oscillators. Nuovo Cimento, 54A, 190-192, 1968.

41. G.Maiella, G.Vilasi. Reducible representations of the symmetry group of the anisotropic harmonic oscillator. Lett. Nuovo Cimento, 1, 57-64, 1969

42. K.B.Wolf. Dynamical groups for the point rotor and the hydrogen atom. Nuovo Cimento, 5, 1041-1050, 1967.

43. V.M.Ter-Antonyan. Dyon-Oscillator Duality, quant-ph/0003106.

44. A.Hurwitz. Mathematische Werke, Band II, 641, (Birkhauser), Basel, 1933.

45. T.Levi-Civita. Surla Resolution Qualitative di Probleme Restreint des Trois Corps. Орете Mathematiche, 2, 411-417, 1956.

46. P.Kustaanheimo and E.Stiefel. Perturbation Theory of Kepler Motion Based on Spinor Regularization. J.Rein.Angew.Math., 218, 204, 1965.

47. L.S.Davtyan, L.G.Mardoyan, G.S.Pogosyan, A.N.Sissakian, V.M.Ter-Antonyan; Generalized KS transformation: from five-dimensional hydrogen atom to eight-dimensional oscillator. J.Phys., A20, 6121-6125, 1987.

48. N.Mukunda, L.O'Raifeartaigh, E.C.G.Sudarshan. Characteristic noninvariance groups of dynamical systems. Phys. Rev. Lett., 15, 1041-1044, 1965.

49. M.Gell-Mann. The symmetry group of vector and axial vector currents. Physics, 1, 63-75, 1964.

50. Y.Dothan, M.Gell-Mann and Y.Ne'eman. Series of hadron energy levels as representations of non-compact groups. Phys. Lett., 17, 148-151, 1965.

51. И.А.Маиько и В.И.Малкип. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. Паука, Москва, 1979.

52. И.Т.Тодоров. Некомпактные группы и динамические симметрии. Ст. в сборнике "Физика высоких энергий и элементарных частиц". Накова Думка, Киев, 19G7.

53. H.Bacry. The de Sitter group L4<i and the bound states of hydrogen atom. Nuovo Cimento, A41, 222-234, 1966.

54. R.II.Pratt and T.F.Jordan. Generators of the de Sitter group for the hydrogen atom. Phys. Rev., 148, 1276-1279, 1966.

55. R.II.Pratt and T.F.Jordan. Coulomb group theory for any spin. Phys. Rev., 188, 25342535, 1969.

56. И.Л.Мапько и В.И.Малкин. Симметрия атома водорода. ЯФ, 3, 372-382, 1966.

57. E.C.G.Sudarshan, N.Mukunda and L.O'Raifeartaigh. Group theore of the Kepler problem. Phys. Lett., 19, 322-326, 1965.

58. M.J.Englefield. Group theory and the Coulomb problem. Wiley-Interscience, New York, London, Sydney, Toronto, 1972.

59. C.Fronsdal. Infinite multiplets and the hydrogen atom. Phys. Rev., 156, 1665-1667, 1967.

60. A.O.Barut and H.Kleinert. Transition probabilities of the hydrogen atom from noncom-pact dynamical groups. Phys. Rev., 156, 1541-1545, 1967.

61. K.Marivvalla. Dynamical symmetries in mechanics. Phys. Report, C20, 289-362, 1975.

62. G.Gyorgyi. Kepler's equation, Fock variables, Bacry's generators and Dirac brackets. Nuovo Cimento, A53, 717-736, 1968.65. iM.Y.IIan. Quantum-mechanical generators of the group for hydrogen atom bound states. Nuovo Cimento, B42, 367-370',1966.

63. R.Musto. Generators of 0(4,1) for the quantum-mechanical hydrogen atom. Phys. Rev., 148, 1274-1275, 1966.

64. A.P.Stone Some Properties of Wigner Coefficients and Hyperspherical Harmonics, Proc. Camb.Phil.Soc., 52, 424-430, 1956.

65. D.Park. Relation Between the Parabolic and Spherical Eigenfunctions of Hydrogen. Zs. Phys., 159, 155-157, 1960.

66. C.B.Tartcr. Coefficients Connecting the Stark and Field-Free Wavefunctions of Hydrogen. J.Math.Phys., 11, 3192-3195, 1970.

67. S.D.Majundar and D.Basu. 0(3,1) Symmetry of the Hydrogen Atom. J.Phys., A7, 787793, 1974.

68. C.A.Coulson and A.Joseph. Spheroidal Wave Functions for the Hydrogen Atom. Proc. Phys. Soc. London, 90, 887-893, 1967.

69. Z.Pluhar and J.Tolar. Transformation Matrix for the Isotropic Harmonic Oscillator SU(3) and Representations. Czech. J.Phys., B14, 287-293, 1964.

70. E.Chacon and M. de Llano. Transformation Brakets Between Cartesian and Angular Momentum Ilarmonig Oscillator Basis Functions with and without Spin-Orbit Coupling. Tables for the 2s-ld Nuclear Shell. Rev. Мех. de Fisica, 12, 57-68, 1963.

71. G.Mardoyan, G.S.Pogosyan, A.N.Sissakian, V.M.Ter-Antonyan. Spheroidal analysis of hydrogen atom. J.Phys., A16, 711-728, 1983.

72. G.Mardoyan, G.S.Pogosyan, A.N.Sissakyan and V.M.Ter-Antonyan. Interbasis Expansions in a Circular Oscillator. Nuovo Cimento, A86, 324-336, 1985.

73. Л.Г.Мардоян, Г.С.Погосян, А.П.Сисакян и В.М.Тер-Антонян. Межбазисиые разложения в двумерном атоме водорода. ТМФ, 63(3), 406-416, 1985.

74. G.Mardoyan, G.S.Pogosyan, A.N.Sissakian and V.M.Ter-Antonyan. Hidden symmetry, Separation of Variables and Interbasis Expansions in the Two-Dimensional Hydrogen Atom. J.Phys., A18, 455-466, 1985.

75. Л.С.Давтян, Г.С.Погосян, А.Н.Сисакян и В.М.Тер-Антонян. Двухмерный атом водорода. Разложение полярного базиса по параболическому в непрерывном спектре. ТМФ, 66, 222-233, 1986.

76. Л.С.Давтян, Г.С.Погосян, А.Н.Сисакян и В.М.Тер-Антонян. Преобразование между параболическими базисами для двумерного атома водорода в непрерывном спектре. ТМФ, 74(2), 240-246, 1988.

77. P.Stackel. Uber die Integration der Hamilton-Jacobischen Differential Gleichung mittelst Separation der Variabel. (Habilitationsschrift, Ilalle, 1891).

78. Ф.М.Морс и Г.Ф.Фешбах. Методы теоретической физики. Москва. ИЛ, 1958.

79. F.Moon, D.Spencer. Theorems on Separability in Riemannian n-Space. Proc. Amer. Math. Soc. 3, 635-642, 1952.

80. P.Eisenhart. Enumeration of potentials for which one-particle Shrodinger equations are separable. Phys. Rev., 74, 87-89, 1948.

81. М.П.Олевский. Триортогональные системы координат в пространствах постоянной кривизны в которых уравнение А2и + Хи = 0 допускает полное разделение переменных, Мат. Сбор., 27, 379, 1950.

82. E.G. Kalnins and W. Miller, Jr. Separation of variables on n-dimensional Riemannian manifolds 1. The n-sphere Sn and Euclidean n-space Rn. J. Math. Phys., 27, 1721, 1986.

83. E.G. Kalnins. Separation of Variables for Riemannian spaces of constant curvature. Pitman, Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics 28, Longman, Essex, England, 1986.

84. Н.Я.Вилепкип. Полисферические и орисферические функции, Мат. Сбориик, 68, 432443, 1965.

85. Н.Я.Вилепкип, Г.И.Кузнецов и Я.А.Смородинский. Собственные функции оператора Лапласа, реализующие представления групп U(2), SU(2), SO(3), U(3) SU(3) и символический метод. ЯФ, 2, 906-917, 1965.

86. Н.Я.Вилепкип. Специальные функции и теория представлений групп. Наука, Москва, 1965.

87. J.D.Talman. Special Functions: A Group Theoretic Approach (Benjamin, New York), 1968.

88. W.Miller Jr. Lie Theory and Special Functions. (Academic Press, New York), 1968.

89. E.G.Kalnins. On the separation of variables for the Laplace equation ДФ + I\2Ф in two-and three-dimensional Minkowsky space. SIAM J. Math. Anal. 6(2), 340-374, 1975.

90. У.Миллер мл. Симметрия и разделение переменных Мир, Москва, 1981.

91. И.В.Комаров, Л.И.Пономарев и С.Ю.Славянов. Сфероидальные и кулоиовскис сфероидальные функции. Паука, Москва, 1971.

92. C.A.Coulson and P.D.Robertson. Wave Functions for the Hydrogen Atom in Spheroidal Coordinates. I. The Derivation and Properties of the Functions. Proc. Phys. Soc. London, 71, 815-827, 1958.

93. E.G.Kalnins and W.Miller, Jr. and P.Winternitz. The Group 0(4), Separation of Variables and the Hydrogen Atom. SIAM J.Appl.Math., 30, 630, 1976.

94. Л.Г.Мардоян, Г.С.Погосян, А.Н.Сисакян и В.М.Тер-Антонян. Двухмерный атом водорода. I.Эллиптический базис. ТМФ, 61(1), 99-117, 1984.

95. G.Mardoyari, G.S.Pogosyan, A.N.Sissakyan and V.M.Ter-Antonyan. Elliptic Basis of Circular Oscillator. Nuovo Cimento B88, 43-56, 1985.

96. W.D.Niven. On ellipsoidal harmonics. Phil. Trans. CLXXXII, 231, 1891.

97. Э.Т.Уиттекер и Дж.Н.Ватсон. I\ypc современного анализа, том 2, Москва, 1963.

98. Е.Гобсон. Теория сферических и эллипсоидальных гармоник. Москва, 1965.

99. I.V.Komarov and V.B.Kuznetsov. Quantum Euler-Monakov top on the 3-sphere J.Phys. 24, L737-L742, 1991.

100. E.G.Kalnins and W.Miller Jr. Separable coordinates, integrability and the Niven equation. J.Phys. 25, 5663-5675, 1992.

101. A.F.Steveson. Note on the "Kepler Problem" in a Spherical Space, and the Factorization Method of Solving Eigenvalue Problems. Phys.Rev., 59, 842, 1941.

102. L.Infcld. On a New Treatment of Some Eigenvalue Problems. Phys.Rev., 59, 737, 1941.

103. L.Infeld and A.Schild. A Note on the Kepler Problem in a Space of Constant Negative Curvature. Phys.Rev., 67, 121, 1945.

104. P.W.IIiggs. Dynamical Symmetries in a Spherical Geometry. J.Phys., A12, 309, 1979.

105. II.I.Lecmon. Dynamical Symmetries in a Spherical Geometry. J.Phys., A12, 489, 1979.

106. Ю.Л.Курочкип, В.С.Отчик. Аналог вектора Руте Лепца и спектр энергий в задаче Керлера на трехмерной сфере. ДАН БССР, XXIII, 987-990, 1979.

107. Л.Л.Богуш, Ю.Л.Курочкип, В.С.Отчик. О квантовомеханической задаче Кеплера в трехмерном пространстве Лобачевского. ДАН БССР, XXIV, 19-22, 1980.

108. Y.Nishino. On quadratic first integrals in the 'central potential' problem for the configuration space of constant curvature. Math. Japon., 17, 59-67, 1972.

109. M.Ikeda and N.Katayama. On Generalization of Bertrand's theorem to spaces of constant curvature. Tensor, N.S., 38, 37-40, 1982.

110. Л.Л.Богуш, В.С.Отчик, В.М.Редьков. Разделение переменных в уравнении Шредингера и нормированные функции состояний для задачи Кеплера в трехмерных пространствах постоянной кривизны. Вестник АН БССР, 3, 56-62, 1983.

111. В.С.Отчик, В.М.Редьков. Квантовомеханическая задача Кеплера в пространствах постоянной кривизны, Препринт 298, ИН АН БССР, 1983.

112. A.O.Barut, A.Inornata and G.Junker. Path Integral Treatment of the Hydrogen Atom in a Curved Space of Constant Curvature. J.Phys., A20, 6271, 1987.

113. A.O.Barut, A.Inornata and G.Junker. Path Integral Treatment of the Hydrogen Atom in a Curved Space of Constant Curvature II. J.Phys., A23, 1179, 1990.

114. C.Grosche. The Path Integral for the Kepler Problem on the Pseudosphere. Ann. Phys., 204, 208, 1990.

115. C.Groschc. On the Path Integral in Imaginary Lobachevsky Space. J. Phys., A27, 3475, 1994.

116. N.Katayama. A Note on a Quantum-Mechanical Harmonic Oscillator in a Space of Constant Curvature. Nuovo Cimento, B107, 763, 1992.

117. С.И.Випитски, Л.Г.Мардоян, Г.С.Погосяи, А.Н.Сисакян и Т.А.Стриж. Атом водорода в искривленном пространстве. Разложение по свободным решениям на трехмерной сфере. ЯФ, 56, 321, 1993

118. Е.М.Акопяи, С.И.Вииитский, Г.С.Погосяи и А.Н.Сисакян. Изотропный осциллятор о пространстве постоянной положительной кривизны. Межбазисиые разложения. ЯФ, 62, 623-637, 1999.

119. N.Bessis and G.Bcssis. Electronic wavefunctions in a space of constant curvature. J.Phys., A12, 1991-1997, 1979.

120. A.A.Bogush and V.S.Otchik. Problem of two Coulomb centres at large intercentre separation: asymptotic expansions from analytical solutions of the ffeun eqution. J.Phys., A30, 559-571, 1997.

121. А.А.Изместьев. Точно решаемая потенциальная модель для кварконисв, глюопный пропагатор. ЯФ, 53, 1402-1409, 1991.

122. V.V.Gritsev and Yu.A.Kurochkin. Model of excitations in quantum dots based on quantum mechanics in spaces of quantum curvature. I'rys. Rev. B64, 035308, 2001.

123. J.Fris, V.Mandrosov, Ya.A.Smorodinsky, M.Uhlir and P.Winternitz. On Higher Symmetries in Quantum Mechanics. Phys.Lett., 16 354, 1965.

124. П.Винтерпитд, Я.А.Смородинский, М.Углирж и И.Фриш. Группы симметрии а квантовой механике. ЯФ, 4, 625-635, 1967.

125. A.A.Makarov, Ya.A.Smorodinsky, Kh.Valiev and P.Winternitz: A Systematic Search for Nonrelativistic Systems with Dynamical Symmetries. Nuovo Ciinento, A52, 1061, 1967.

126. G. Darboux. Ach. Neerl. (ii), VI, 371, 1901.

127. E.T. Whittaker. Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, pp. 331-336, 4th edition, Dover, New York, 1944.

128. E.G.Kalnins and W.Miller Jr. The theory of orthogonal R-separation for Helmholtz equation, Adv. Math. 51, 91-106, 1984.

129. W.Miller Jr. Mechanisms for variable separation in partial differential equations and their relationship to group theory, Symmetries and Non-Linear Phenomena (D.Levi and P.Winternitz, eds), World Scientific, 1988, pp. 188-221.

130. W.Miller Jr. Multiscparability and superintegrability, Integrable Systems: From Classical to Quantum, (J.Hamad, G.Sabidussi and P.Winternitz, cds), CRM Proceedings and Lecture Notes, Vol. 26, 2000.

131. H.Hartmann. Bewegung eines Korpers in einem ringformigen Potentialficld. Theor. Chim. Acta 24, 201-206, 1972.

132. M.A.Olshanetsky and A.M.Perelomov. Classical integrable finite-dimensional systems related to Lie algebras. Physics Report, 71, 313-400, 1981.

133. A.M.Переломов. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. Наука, Москва, 1990.

134. F.Calogero. Solution of the One-Dimensional N- Bode Problems with Quadratic and/or Inversely Quadratic Pair Potentials. J.Math. Phys., 12, 419, 1971.

135. C.P.Boyer, E.G.Kalnins and P.Winternitz. Completely integrable relativistic Ilamil-tonian systems and separation of variables Hermitean hyperbolic space, J.Math. Phys., 24, 2022-2034, 1983

136. Е.К.Склянин. Функциональный анализ и его приложения, 12, 1979.

137. Е.К.Склянин. Некотырые алгебраические структуры связанные с уравнением Янга-Бакстпера. Функциональный анализ и его приложения, 16, 263, 1983.

138. Е.К.Склянин. Некотырые алгебраические структуры связанные с уравнением Янга-Бакстпера. Представления квантовых алгебр. Функциональный анализ и его приложения, 17, 273, 1984.

139. F.ILL.EssIcr and V.Rittcnberg. Representations of the quadratic algebra and partially asymmetric diffusion with open boundaries. J.Phys., A29, 3375, 1996.

140. Yu.A.Granovskii, I.M.Lutscnko and A.S.Zhedanov. Mutual integrability, quadratic algebras and dynamical symmetry. Ann. Phys., 217, 1, 1992.

141. D.Bonatos, C.Daskaloyannis and K.Kokkotas. Deformed Oscillator Algebras for Two-Dimcnsional Quantum Superintegrable Systems. Phys. Rev., A50, 3700, 1994.

142. P.Letourneau and L.Vinet. Superintegrable systems: Polynomial Algebras and quasi-exactly-solvable Hamiltonians. Ann. Phys., 243, 144, 1995.

143. Yu.A.Granovskii, A.S.Zhedanov and I.M.Lutscnko. Quadratic algebra as a hidden symmetry of a Ilartmann potential. J.Phys., A24, 3887, 1991.

144. O.F.Gal'bert, Yu.A.Granovskii and A.S.Zhedanov Dynamical symmetry of anisotropic singular oscillator. Phys. Lett., A153, 177, 1991.

145. IO.А.Грановский, А.С.Жсданов и И.М.Луценко. Квадратичные алгебры и динамика в искревленном пространстве. 1 Осциллятор. ТМФ, 91, 207, 1992.

146. Ю.А.Грановский, А.С.Жеданов и И.М.Луцепко. Квадратичные алгебры и динамика в искревлепиом пространстве. 2. Проблема Кеплера. ТМФ 91, 396, 1992.

147. C.Daskaloyannis. Quadratic Poisson algebras of two-dimensional classical supcrinte-grable systems and quadratic associative algebras of quantum superintegrable systems. J.Math. Phys., 42, 1100-1119, 2001.

148. M.F. Raiiada. Superintegrable n=2 systems, quadratic constants of motion, and potentials of Drach. J.Math.Phys. 38, 4165, 1997.

149. E.Inonii and E.P.Wigncr. On the contractions of groups and their representations. Proc. Nat. Acad. Sci. (US), 39 510-524, 1953.

150. R.V.Moody and J.Patera. Discreteand continuous graded contractions of representation of Lie algebra. J. Phys., A24, 2227-2258, 1991.

151. R.Gilmore, Lie Groups, Lie Algebras and Some of their Applications (Wiley, New York), 1974.

152. Н.Л.Громов. Контракции и аналитические продолжения классических групп. Единый подход. Сыктывкар, 1990.

153. Я.Х.Лыхмус. Предельные группы Ли, Труды IIлетней школы по проблемам Теории элементарных частиц, Отепя, 1967.

154. J.Lohmus and R.Tammelo. Contractions and deformations of space-time algebras. I. General Theory and kinematical Algebras Iladronic Journal, 20, 361-416, 1997.

155. A.A.Izmest'ev, G.S.Pogosyan, A.N.Sissakian and P.Winternitz. Contraction of Lie Algebras and Separation of Variables. J.Phys., A29, 5940-5962, 1996.

156. A.A.Izmest'ev, G.S.Pogosyan, A.N.Sissakian and P.Winternitz. Contraction of Lie Algebras and Separation of Variables. Two-Dimensional Hyperboloid. International Journal of Modern Physics. A12(l), 53-61, 1997.

157. A.A.Izmest'ev and G.S.Pogosyan. Contraction of Lie Algebras and Separation of Variables. From Two-Dimensional Hyperboloid to Pseudo-Euclidean Plane. Препринт ОИЯИ, E2-98-83, Дубна, 1998.

158. П.Винтерпитц, К.Б.Вольф, Г.С.Погосян и А.Н.Сисакян., Вывод теоремы сложения Графа путем контракций группы 6"0(3). ТМФ, 129(2), 227-229, 2001.

159. E.G.Kalnins, W.Miller Jr. and G.S.Pogosyan. Completeness of multiseparablc superin-tegrability in two dimensions. ЯФ, 65(6), 1066-1068, 2002.

160. C.Grosche, Kh.G.Karayan, G.S.Pogosyan and A.N.Sissakian. Free Motion on the Three-Dimensional Sphere: The Ellipso-Cylindrical Bases. J.Phys., A30, 1629-1657, 1997.

161. R.G.Airapetyan, Kh.G.Karayan, G.S.Pogosyan, A.N.Sissakian, D.I.Zaslavsky. Quantum Motion on the Three-Dimensional Sphere. Ellipsoidal Bases, Preprint JINR, E2-96-117, Dubna, 1996.

162. A.A.Izmest'ev, G.S.Pogosyan, A.N.Sissakian and P.Wintcrnitz. Contraction of Lie Algebras and Separation of Variables. N-dimensional sphere, J.Math.Phys., 40, 1549-1573, 1999.

163. A.A.Izmest'ev, G.S.Pogosyan, A.N.Sissakian and P.Wintcrnitz. Contractions of Lie algebras and the separation of variables. Interbases expansions. J.Phys. A34, 521-554, 2001.

164. E.G.Kalnins, W.Miller Jr. and G.S.Pogosyan. Completeness of multiseparablc superin-tegrability in E2,c- J.Phys.A: Math Gen. 33, 4105-4120, 2000.

165. C.Grosche, G.S.Pogosyan and A.N.Sissakian. Path Integral discussion for Smorodinsky XVinternitz Potentials: I. Two - and three Dimensional Euclidean Space. Fortschritte der Physik, 43(6), 453-521, 1995.

166. E.G.Kalnins, W.Miller Jr. and G.S.Pogosyan. Superintegrability and associated polynomial solutions. Euclidean space and sphere in two-dimensions. J.Math.Phys. 37, 64396467, 1996

167. Ye.M.Hakobyan, M.Kibler, G.Pogosyan and A.N.Sissakian. On a Generalized Oscillator: Invariance Algebra and Interbasis Expansions. ЯФ, 61, 1782-1788, 1998.

168. E.G.Kalnins, W.Miller Jr. and G.S.Pogosyan. Completeness of multiseparable superintegrability on the complex 2-sphere, J.Phys.A: Math Gen. 33, 6791-6806, 2000.

169. E.G.Kalnins, J.M.Kress, W.Miller Jr. and G.S.Pogosyan. Completeness of superintegrability in two dimensional constant curvature spaces. J.Phys. A34, 4705-4720, 2001.

170. E.G.Kalnins, W.Miller Jr. and G.S.Pogosyan. Coulomb-oscillator duality in spaces of constant curvature, J.Math.Phys. 41, 2629-2657, 2000.

171. C.Grosche, G.S.Pogosyan and A.N.Sissakian. Path Integral discussion for Smorodinsky -Winternitz Potentials: II. Two and Three Dimensional Sphere. Fortschritte der Physik, 43(6), 523-563, 1995.

172. J.Drach. Compt. Rend. Acad. Sci. Paris, 200, 22, 1935.1861 П.Виитерпитц, И.Лукач и Я.А.Смородинский. Квантовые числа в малых группах группы Пуанкаре. ЯФ, 7, 192, 1968.

173. Т.Бейтмен, А.Эрдейи. Высшие трансцендентные функции, том 2, "Наука", М.,1974.

174. F.M.Arscott. Periodic Differential Equations. (Macmillan, New York). 1964.1911 И.Лукач, Я.А.Смородинский. Волновые функции асимметричного волчка. ЖЭТФ, 48, 1342, 1969.

175. E.G.Kalnins and W.Miller Jr. Lie Theory and Separation of Variables. 4■ The Groups 50(2,1) andS0(3). J. Math. Phys., 15, 1263-1274, 1974.

176. И.Лукач. О полных наборах наблюдаемых на сфере в четырехмерном евклидовом пространстве. ТМФ 31, 275, 1977.

177. Г.Сеге. Ортогональные многочлены, Физматгиз, Москва, 1962.

178. M.Kibler and G.Grenet On the SU2 Unit Tensor, J.Math.Phys., 21, 422-439, 1980.

179. E.L.Ince, Ordinary Differential Equations, Chap. 20, London: Longmans, Green & Co., 1927.

180. R.Bellman, Introduction to Matrix Analysis, McGraw Hill Book Company, INC New York, Toronto, London, 1960.

181. D.R.Herrick. Symmetry of the Quadratic Zeemann Effect for Hydrogen Phys.Rev., A 26 323-329, 1982.

182. Е.А.Соловьев. Атом водорода в слабом магнитном поле, ЖЭТФ 82, 167, 1982.

183. П.А.Враун и Е.Л.Соловьев. Эффект Штарка для атома водороода в магнитим поле ЖЭТФ 86, 68, 1984.

184. L.P. Eisenhart, Separable systems of Stdckel, Ann.Math. 35, 284-305, (1934).

185. W.Miller, Jr., J.Patera, and P.Winternitz, Subgroups of Lie groups and separation of variables, J. Math. Phys. 22, 251-260, (1991).

186. Г.И.Кузнецов, С.С.Москалюк, Ю.Ф.Смирнов и В.П.Шелест, Графическая теория представлений ортогональных и унитарных групп. Киев, Наукова Думка, 1992.

187. Г.И.Кузнецов и Я.А.Смородинский. Гиперсферические деревья и 3jn коэффицепты. ЖЭТФ, 22, 378-380, 1975.

188. В.А.Кныр, П.П.Пепирайте и Ю.Ф.Смирнов. Канонические преобразования "деревья" и моменты кратные 1ЯФ, 22, 1063, 1975.

189. С.К.Суслов, Т коэффицепты метода "деревьев" как ортогоналльные полиномы дискретной переменной. ЯФ, 38, 1367, 1983.

190. W.N.Bailey. Generalized Hypergeometric Series. Cambridge Tracts No.32 (Cambridge University Press), Cambridge, 1935.

191. B. Dorrizzi and B. Grammaticos. A new class of integrable systems. J. Math. Phys., 24, 2282-2288, 1983.

192. A. Ankiewicz and C. Pask. The complete Whittakcr theorem for two-dimensional integrable systems and its application. J.Phys., A16, 4203-4208, 1983.

193. C.R.IIolt. Construction of New Integrable Ilamiltonians in Two Degrees of Freedom. J.Math.Phys., 23, 1037, 1982.

194. D.Lambert and M.Kibler: An Algebraic and geometric approach to non-bijective quadratic transformation. J.Phys., A21, 307, 1988.

195. З.Флюгге. Задачи no квантовой механике, Мир, Москва, 1974.21G. A.Erdelyi, W.Magnus, F.Oberhettinger and F.Tricomi: Tables of Integral Transforms, (McGraw-Hill, New York, 1954), Vol II.

196. A.Frank and K.B.Wolf. Lie Algebras for Systems with Mixed Spectra. I. The Scattering Poschl-Teller Potential, J.Math.Phys., 25, 973, 1985.

197. A.O.Barut, A.Inomata and R.Wilson. Algebraic treatment of the second Poschl-Teller, Morse-Rosen and Eckart equations. J.Phys., A20, 4075, 1987.

198. M.F.Manning, N.Rosen. A Potential Function for the Vibrations of Diatomic Molecules. Phys. Rev., 44, 953, 1933.

199. E.G.Kalnins, W.Miller Jr., G.S.Pogosyan and G.C.Williams. On superintcgrable syrn-metry-breaking potentials in N-dimensional Euclidean space. J.Phys. A35, 4755-4773, 2002.