Представление Вейерштрасса поверхностей в трехмерных группах Ли и его приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Бердипский Дмитрий Александрович 2. 7 ^ 2009

Представление Вейерштрасса поверхностей в трехмерных группах Ли и его приложения

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск — 2009

□□3475793

003475793

Работа выполнена в Институте математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук

Научный руководитель:

чл.-корр. РАН, д. ф.-м. н., профессор Тайманов Искандер Асанович

Официальные оппоненты:

д. ф.-м. и., профессор Дубровский Владислав Георгиевич, д. ф.-м. н., профессор Царёв Сергей Петрович

Ведущая организация:

Московский государственный университет

им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет

Защита состоится 1 октября 2009 г. в 15:00 на заседании диссертационного совета Д 003.015.03 при Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, проспект Академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан 3 августа 2009 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Гутман А. Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы.

Представление Вейерштрасса (спинорное представление) поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве состоит в следующем.

Поверхность задается (локально) формулами

х

х2

1 = хНо) + / [Ф1 + Ф\) - 1 (,Ф1 + ф\) ,

= х2(0) + I (Ф1 - V?) + \ (Ф22 - , я3 = гг3(0) + J + ффёг) ,

где 2: — конформный параметр на поверхности, ф — (ф\, ф-^ решение уравнения Дирака

Vф = О

и V — оператор Дирака с некоторым вещественным потенциалом и {г, г)

V =

О д \ ( U О -д 0 / I О U

При и = 0 мы получаем классическое представление Вейерштрасса-Эннепера минимальных поверхностей. Для общих поверхностей по-видимому впервые оно появилось в работе Эйзен-харта1, в которой условие на ф было выписано в виде уравнения

'L.P. Eisenhart, "A treatise on the differential geometry of curves and surfaces", 1909.

второго порядка на скалярную функцию ■;/-' i ■ В форме, использующей уравнение Дирака, это представление было переписано Ко-нопельченко2, использовавшим его для задания локальных соли-тонных деформаций поверхностей посредством модифицированного уравнения Веселова-Новикова. В работе Тайманова3 введено глобальное представление Вейерштрасса замкнутых поверхностей рода g > 1 и в случае торов доказано, что модифицированное уравнение Веселова-Новикова индуцирует деформацию торов, сохраняя при этом конформную структуру и значение функционала Уиллмора

W(M)= 4/ Я2фх,

JM 2 Ju

где M — тор, H — средняя кривизна, d¡j, — элемент площади. При этом Таймановым был предложен новый подход к исследованию гипотезы Уиллмора, основанный на установленной в работе Тайманова4 связи функционала Уиллмора и спектральной кривой оператора Дирака.

В работе Тайманова5 подход, основанный на операторе Дирака, был применен к изучению поверхностей в S3 = SU (2). В данной диссертации эта техника используется для исследования поверхностей в следующих трехмерных группах Ли со специальными левоинвариантными метриками (геометриями Терстона): нильпотентная группа Гейзенберга Nil, универсальная накрывающая SL2 группы SL(2), разрешимая группа Sol.

2Konopelcbenko В. G. Induced surfaces and their integrable dynamics // Stud. Appl. Math. 1996. V. 96. P. 9-52.

3TaimanovI. A. Modified Novikov-Veselov equation and differential geometry of surfaces // Amer. Math. Soc. Transí. Ser. 2. 1997. V. 179. P. 133-151.

4Тайманов И. А. Представление Вейерштрасса замкнутых поверхностей в К3 // Функциональный анализ и его прил. 1998. Т. 32, №4. С. 49-62.

5Тайманов И. А. Операторы Дирака и конформные инварианты торов в R3 // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 2004. Т. 244. С. 233-263.

Цель работы.

Нахождение аналогалтредставлеиия Вейерштрасса для поверхностей в группах Nil, SL2 и Sol. Изучение приложений такого представления для исследования поверхностей постоянной средней кривизны (в частности минимальных поверхностей) в этих группах.

Нахождения аналога функционала Уиллмора для поверхностей в группе Nil и изучение его связи с геометрией поверхностей в этой группе.

Описание поверхностей постоянной средней кривизны в Nil, позволяющее применять методы теории интегрируемых систем.

Методы исследований.

В работе применяются теория представления Вейерштрасса и теория оператора Дирака.

Научная новизна.

Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем.

Получено представление Вейерштрасса поверхностей в группах Nil, SL'2 и Sol, наделенных терстоновскими метриками и, в частности, получено представление минимальных поверхностей в этих группах. С помощью этого представления, выведены аналоги дифференциала Хопфа для поверхностей в группах Nil и SL2. Для поверхностей в Nil доказано, что дифференциал Хопфа голоморфен если и только если поверхность имеет постоянную среднюю кривизну.

Для поверхностей в группе Nil, исходя из спектральной теории оператора Дирака, выведен аналог функционала Уиллмора (функционал спинорной энергии). Показано, что среди сфер вращения, минимум функционала спинорной энергии равен 7г и достигается в точности на сферах постоянной средней кривизны, на торах вращения функционал спинорной энергии строго больше нуля. Доказано, что сферы постоянной средней кривизны являются критическими точками функционала спинорной энергии.

Доказано, что поверхности постоянной средней кривизны в группе Nil, в окрестности неомбилической точки, описываются решениями эллиптического уравнения Sinh-Gordon, удовлетворяющими "условию вещественности". Это "условие вещественности" представлено в диссертации в виде дополнительного уравнения.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы для изучения теории поверхностей в трех трехмерных многообразиях Nil, SL-¿ и Sol, снабженных геометриями Терстона, и также других трехмерных однородных пространствах. Результаты работы могут быть использованы специалистами по дифференциальной геометрии и интересны специалистам в области дифференциальных уравнений и математической физики.

Апробация работы.

По результатам диссертации были сделаны доклады на следующих российских и международных конференциях:

• «Геометрия «в целом», топология и их приложения» (Харьков, Украина, 22-26 июня 2009 г.).

• «Математика в современном мире» (Новосибирск, 17-23 сентября 2007 г.).

• «Third Russian-German Geometry Meeting dedicated to 95th birthday of A.D.Alexandrov» (Санкт-Петербург, 18-23 июня 2007 г.).

• «Progress in Surface Theory» (Обервольфах, Германия, 29 апреля-5 мая 2007 г.).

• «Математика. Механика. Информатика» (Челябинск, 19 -22 сентября 2006 г.).

• «Международная научная студенческая конференция» (Новосибирск, 11-13 апреля 2006 г.).

Кроме того, результаты диссертации докладывались на следующих семинарах Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН: семинар «Геометрия, топология, и их приложения» (руководитель чл.-корр. РАН И. А. Тайманов), семинар отдела анализа и геометрии (руководитель академик РАН Ю. Г. Решетник).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах автора, список которых приведен в конце автореферата [1-3].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 21 наименование. Общий объем диссертации составляет 77 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описываются основные результаты диссертации и дается краткий обзор по теме диссертации.

В первой главе вводится представление Вейерштрасса поверхностей в группах Nil, SL¿ и Sol, изучаются следствия такого представления и определяется функционал спинорной энергии замкнутой поверхности в группе Nil, который затем представляется в геометрических терминах.

Описание групп Nil, SL<¿ и Sol наделенных терстоновскими метриками приводится в §1.4 диссертации. Там же, на языке ле-воинвариантных векторных полей, приводятся формулы для связности Леви-Чевиты отвечающей терстоновским метрикам.

Пусть / : М —> G погружение поверхности в трехмерную группе Ли G, наделенную левоинвариантной метрикой. Выберем в некоторой окрестности на поверхности М конформный параметр г. В §1.2 объяснено, что поверхность /(М) локально может быть представлена в терминах порождающих спиноров ф = {ф\,ф-2)Т,

удовлетворяющих уравнению Дирака

V-ф =

Y 0 д \ (VOX V-a о J + \ о v J

Ф = о,

где потенциалы U и V выражаются через ф\,ф2 и среднюю кривизну поверхности Н.

При этом поверхность восстанавливается по ф — {ф\,ф-2)' решением следующего уравнения в группе G

i - 1 9~l9z = ^(Ф1+ФЬс1 + 2^2 - Ф1)е2 + ф\ф2ез,

где е!,е2,ез некоторый ортонормированный базис алгебры Ли группы G. Теми же символами мы будем обозначать соответствующие левоинвариантные векторные поля. Базисы выбраны так, что интегральные кривые полей ез в Nil и SL2 являются осями вращения этих групп. Этот подход реализуется далее для групп Nil, SL-2 и Sol. Основными результатами первой главы являются следующие теоремы и их следствия.

Для поверхностей в группе Nil справедлива

Теорема 1. Для поверхности в Nil ее порождающий спинор Ф — {Ф\,Ф2)Т удовлетворяют уравнению Дирака

^Nil Ф

иш О о Vnu

ф = О,

Um = Vm = + \ф2\2) 4- г-(\ф2\2 ~ Ш2)-

Более того, вектор-функция ф, удовлетворяющая уравнению Дирака, является порождающим спиноролi некоторой поверхности в Nil.

Записывая уравнения Гаусса-Вейнгартена в терминах спиноров ф = (01, ф2)Т, как следствие их совместности, получаем некоторые аналоги уравнений Кодацци, из которых прямым образом вытекает

Следствие 2. Для поверхностей в Nil квадратичный дифференциал

Adz2 =(а + dz2

V 2Н+г)

голоморфен.

В следствии 2 по определению А := (Vп), где V — связность Леви-Чевиты, п — вектор нормали к поверхности, /2 = — касательный вектор принадлежащий пространству Тдг)№1 <S>C и {.,.) скалярное произведение в пространстве Тдг)№1 распространенное по линейности на Тд,}№1 ® С. Функция Z3 определяется из разложения fz = Ziei + ^ег + ^з^з или что то же Z3 = {fz,e3). Квадратичный дифференциал Adz2 далее будем называть обобщенным дифференциалом Хопфа или просто дифференциалом Хопфа.

Более того, верно следующее

Предложение 3. Если дифференциал Хопфа Adz2 голоморфный, то поверхность в Nil имеет постоянную среднюю кривизну.

Для поверхностей в группе SL2 справедлива

Теорема 2. Для поверхности в группе SL2, ее порождающий спинор ф — (ipi,ip2)T удовлетворяет уравнению Дирака

£>SL ф =

о д\ ( Usl О -<? О / V О V'sl

ф = о,

Любая вектор-функция ф = (ф\, ф*2)Т, удовлетворяющая уравнению Дирака, является порождающим спинором для некоторой поверхности в БЬ2.

Как и в случае Nil, из уравнений Кодацци вытекает следующий результат.

Следствие 4. Для поверхностей постоянной средней кривизны в SL2 квадратичный дифференциал

голоморфен.

В совместной работе Абреша и Розенберга6 было показано, что для поверхностей постоянной средней кривизны в S2 х R и Н2 х К некоторые квадратичные дифференциалы голоморфны и это же утверждение было анонсировано в их совместной работе7 для поверхностей в Nil, SL2 и других трехмерных геометриях с четырехмерной группой изометрий. При выводе дифференциалов Хопфа в диссертации использован другой подход. Тем не менее, тщательный анализ показывает, что дифференциал, предложенный работе7, имеет вид (Н + ir)Adz2, где г равно ^ и — | для Nil и SL2 соответственно. __

Если дифференциал Adz2 на поверхности в SL2 голоморфен, то поверхность необязательно имеет постоянную среднюю кривизну (примеры построены в совместной работе Фернандез и Мира8).

Для поверхностей в Sol справедлива

Теорема 3. Пусть отображение / : М —» Sol задает поверхность. Обозначим через В подмножество М, где = (/-1/z, ез) = 0. Пусть Bq — внутренность В, и пусть С — подмножество в М, выделенное неравенством ф 0. Поскольку М = Bq U С,

6 AbreschU., RosenbergН. The Hopf differential for constant mean curvature surfaces in S2 x R and Я2 x R // Acta Math. 2004. V. 193. P. 141-174.

7 AbreschU., RosenbergH. Generalized Hopf differentials // Mat. Contemp. 2005. V. 28. P. 1-28.

sFernandezI., MiraP. A characterization of constant mean curvature surfaces in homogeneous 3-manifolds // Diff. Geom. Appl. 2007. V. 25. P. 281—289.

лтожество В \ Bq лежит, в замыкании С множества С и имеет пулевую меру. Тогда порождающий спинор ф поверхности М удовлетворяет уравнению Дирака

*-*-[( i ¡M "о1

vsoi = + +

в С и уравнению Дирака с пулевыми потенциалами: дф\ = дф-2 = О, - а Во- Любая вектор-функция ф, удовлетворяющая уравнению Дирака на некотором множестве D С М, является порождающим cnuHopoAt для некоторой поверхности f : D Sol.

Полагая Н = О, как следствие для всех трех случаев, получаем уравнения на порождающие спиноры минимальных поверхностей.

Функционал спинорной энергии на замкнутых поверхностях в Nil определяется выражением

• Е{М)= Г

JM ¿

В работе доказывается, что он принимает вещественные значение, и его запись в геометрических терминах приводится в следующем предложении.

Предложение 5. Функционал энергии для поверхности М в группе Nil равен:

где К — секционная кривизна касательной плоскости в точке, d/j. — элемент площади.

Во второй главе исследуются свойства функционала спинор-ной энергии, определенного в первой главе, и его связь с геометрией поверхностей в Nil.

Из существования аналога дифференциала Хопфа для поверхностей в Nil и в SL2 выводится, что всякая сфера постоянной средней кривизны является сферой вращения, причем для каждого значения средней кривизны Н существует одна такая сфер а (с точностью до изометрий объемлющего пространства). Доказательство такого аналога теоремы Хопфа для пространств S2 х Щ. и Я2х К приведено в совместной работе Абреша и Розенберга6 и переносится для поверхностей в Nil (см. §2.4) и SX2- Из описани я сфер постоянной средней кривизны в Nil выводится

Теорема 4. Значение функционала спинорной энергии

на сферах постоянной средней кривизны в Nil не зависит от Н и равно 7Г.

Для замкнутых поверхностей вращения в Nil функционал спинорной энергии можно представить в форме, позволяющей получить оценки значений функционала снизу. В диссертации это представление для спинорной энергии содержится в теореме 5 в §2.6 и прямыми следствиями этой теоремы являются следующие результаты.

Следствие 6. Для сфер вращения Е(М) > тг и равенство достигается, в точности, на сферах постоянной средней кривизны.

Следствие 7. Для торов вращения Е(М) > 0.

Для произвольных замкнутых поверхностей, оценки снизу пока не известны, тем не менее в диссертации доказывается

Теорема 6. Сферы постоянной средней кривизны в Nil являются критическими точками функционала спипорной энергии Е.

Из указанных выше свойств спектральной энергии следует, что она является правильным аналогом функционала Уиллмо-ра для поверхностей в Nil, хотя ее определение и было навеяно спектральной теорией оператора Дирака.

К основным результатам второй главы можно отнести следствия 6,7 и теорему 6.

Третья глава посвящена изучению поверхностей постоянной средней кривизны в группе Nil.

В терминах порождающих спиноров ф = {ф\,ф2)Т, уравнения Гаусса-Вейнгартена представляются в виде системы:

д I \ _ { V* ~ IHze~vea Be~v \ ( ф1

ф2 J \ —е" 0 ) \ ф2

Ф1 \ { 0 ev \ / ф

д[ ФЛ = (

\ 'h ) V ~Be'V vг - k

ф2 ) V -Be~v v-z - \H~e~vec* J \ ф2

n

где e" := Um = f Ш2+Ш2)ЦШ2~Ш2), aB ¿(2H+i)A. Такая запись уравнений Гаусса-Вейнгартена отличается той, что использовалась в первой главе.

Согласно следствию 2, если Н = const, то Adz2 и соответственно Bdz2 — голоморфные квадратичные дифференциалы. Полагая Н = const, запишем условие совместности уравнений Гаусса-Вейнгартена, воспользовавшись при этом голоморфностью В. Это условие будет иметь вид следующего уравнения.

vzS + e2v - |B\2e'2v = О

Рассмотрим поверхность постоянной средней кривизны в окрестности неомбилической точки (где А ф 0). Сделав замену конформного параметра, можем считать, что в этой окрестности В = С, где С — некоторая нужная нам константа.

Дополнительно на V необходимо наложить условие, при котором существует решение ф = (01, 0г)Т уравнений Гаусса-Вейнгартена, такое что ё° = у(|0г|2 + |0г|2) +|(|02|2- |01|2)- При Н = 0, таким дополнительным условием естественно оказывается требование /?е [ег'] = 0.

Основными результатом главы является

Теорема 8. Поверхности постоянной ненулевой средней кривизны в некоторой окрестности неомбилической точки описываются решениями V — p + iф системы уравнений

{^г Ч-2втЬ2^ = 0

Список литературы

[1] Бердинский Д. А., Тайманов И. А. Поверхности в трехмерных группах Ли // Сиб. мат. журн. 2005. Т. 46, №6. С. 1248-1264.

[2] Бердинский Д. А., Тайманов II. А. Поверхности вращения в группе Гейзенберга и спектральное обобщение функционала Уиллмора // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, №3. С. 496-511.

[3] Berdinsky D. А. Surfaces of revolution in the Heisenberg group and the spectral generalization. of the Willmore functional // Oberwolfach reports. 2007. V. 4, N 2. P. 1356-1358.

В работе [1] второму автору (И.А. Тайманову) принадлежит постановка задачи и, в частности, определение спинорной энергии поверхности с помощью представления Вейерштрасса, в остальном вклад авторов равноценный.

В работе [2] вклад авторов равноценный.

Бердинский Дмитрий Александрович

Представление Вейерштрасса поверхностей в трехмерных группах Ли и его приложения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 30.07.2009. Формат 60 х 84 1/16. Усл.печ.л. 0,9 Печать RISO.

-Тираж 60 экз. Заказ № 123

Отпечатано в центре оперативной печати «Оригинал 2», ИП ПлужниковаО. Ф. 633010, г. Бердск, ул. Кошевого, 6

Введение

1 Представление Вейерштрасса в группах Nil, SL2 и Sol

1.1 Левоинвариантные метрики на группах Ли

1.2 Деривационные уравнения.

1.3 Оператор Дирака и энергия поверхности^.

1.4 Геометрии Терстона на группах Ли Nil,5L2 и Sol

1.4.1 Группа Nil.

1.4.2 Группа SL2.

1.4.3 Группа Sol.

1.5 Тензоры кривизны трехмерных групп Ли

1.6 Построение поверхности по ф

1.7 Представление поверхностей в группе Nil

1.8 Представление поверхностей в группе SLo.

1.9 Представление поверхностей в группе Sol

2 Поверхности вращения в группе Nil и обобщенный функционал Уиллмора

2.1 Предварительные сведения.

2.2 Основные тождества для поверхностей на которых обобщенный дифференциал Хопфа А — 0.

2.3 Сферы вращения постоянной средней кривизны в Nil

2.4 Обобщение теоремы Хопфа для Nil.

2.5 Замечание к изопериметрической задаче в группе Nil

2.6 Свойства обобщенного функционала Уиллмора.

2.7 Уравнение Эйлера-Лагранжа для функционала Е.

3 Поверхности постоянной средней кривизны в Nil

3.1 Уравнения Всйнгартена ц их условия совместности.

3.2 Об условии вещественности.

Представление Вейерштрасса (спинорное представление) поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве состоит в следующем. Поверхность представляется (локально) в виде

-г1 = ^(о) + J Q (ф! + ф\) dz - i (ф1 + d^j,

X2 = *2(0) + J Q (ф> - ф\) dz + I (Ф1 - ф\) ей) , х3 = ж3(0) + J fafodz + Фхip2dz) , где z-конформный параметр на поверхности, ф = (фх, ф^У решение уравнения Дирака и Р-оператор Дирака с некоторым вещественным потенциалом U (z, z) vM 0 а) + (° °у.

-д О J \ 0 и J

Хотя в различных видах это представление появлялось и ранее, в форме использующей уравнение Дирака оно, по-видимому, впервые возникло в работе Конопельченко [4], где показано как решение U(z,z, t) модифицированного уравнения Новикова-Веселова индуцирует деформацию некоторой поверхности, отвечающей потенциалу U(z, 0). В работе Тайманова [1] введено глобальное представление Вейерштрасса замкнутых поверхностей рода д ^ 1 и в случае торов доказано, что модифицированное уравнение Новикова-Веселова индуцирует деформацию торов, сохраняя при этом конформную структуру и значение функционала Уиллмора где М-тор, //-средняя кривизна, ("///-элемент площади. При этом Тай-мановым был предложен новый подход к исследованию гипотезы Уиллмора, основанный на установленной в [2] связи функционала Уиллмора и спектральной кривой оператора Дирака.

В [3] подход, основанный на операторе Дирака, был применен к изучению поверхностей в S3 = SU (2). В данной диссертации эта техника используется для исследования поверхностей в следующих трех однородных пространствах. Это группа Гейзенберга Nil, универсальная накрывающая SLo группы SL(2) и группа Sol, наделенные терстоновскн-мн метриками [5]. Поверхность в произвольной трехмерной группе Ли G, наделенной левоинвариацтной метрикой, представляется (локально) в терминах порождающих спиноров ф = (ф\. фч)т, удовлетворяющих деривационным уравнениям, записанным в форме уравнения Дирака где потенциалы U и V выражаются через ф\, ф2 и среднюю кривизну поверхности Н. При этом поверхность восстанавливается по ф решением следующего уравнения в группе G rY~ = где ci, Со, ез некоторый ортонормнрованный базис алгебры Ли группы G. Полагая Н = О, получаем представление Вейерштрасса для минимальных поверхностей. Например, для группы Nil оно выглядит так

Далее мы представляем систему уравнений Гаусса-Вепнгартена в терминах спиноров ipi,ip2- И как следствие их совместности, получаем некоторые аналоги уравнений Гаусса-Кодацци (1.21), (1.31) и (1.39) для групп Nil, SL2 и Sol соответственно. В результате, для поверхностей в группах Nil и 51/2 получаем квадратичный дифференциал, который голоморфен на поверхностях постоянной средней кривизны (1.22), (1.32), иными словами находим обобщение дифференциала Хопфа для этих пространств. В случае Nil мы показываем, что квадратичный дифференциал (1.22) голоморфен только на поверхностях постоянной средней кривизны (предложение 3). Приведем здесь выражение (1.22) для обобщенного дифференциала Хопфа в Nil где z-конформный параметр на поверхности, Ас/^2-обычный дифференциал Хопфа и может быть определен из проекции вертикального вектора е3 на касательную плоскость к поверхности (или см. (1.2) в §1.2). Пока лишь отметим, что как Nil так и SL2 представляются как линейное расслоение над поверхностью постоянной секционной кривизны и

Нх = \т2 - шдф2 = ~2 4 левоинвариантное поле е3 будет единичным касательным вектором к его слоям. Таким образом в Nil, обобщенный дифференциал Хопфа Adz2 отличается от обычного дифференциала Хопфа квадратичной добавкой L.W-2

Отметим что методами отличными от наших, в совместной работе Абреша и Розенберга [6] строится обобщенный дифференциал Хопфа на поверхностях в пространствах S2 х К, Н2 х К. Немного позднее, в [7] ими же было объяснено, что их конструкция обобщается для однородных пространств с группой изометрий размерности больше либо равной 4 (т.е в том чисел для групп Nil и SL2). Отметим что для групп Nil и SL'2. квадратичный дифференциал в [7] отличается от нашего умножением на Н + ?т, где т равно ^ и — | соответственно. Результаты о голоморфных квадратичных дифференциалах послужили основанием для работы испанских математиков Мира и Фернандез [13]. В [13] для группы SL2 доказано, что если квадратичный дифференциал, предложенный нами в (1.32) голоморфен, то поверхность либо имеет постоянную среднюю кривизну, либо принадлежит описанному в [13] семейству. Что отличает этот случаи от Nil (предложение 3). Тем не менее в [13] показано, что всякая компактная поверхность ненулевой эйлеровой характеристики, на которой дифференциал (1.32) голоморфен, является поверхностью постоянной средней кривизны.

Существование голоморфных квадратичных дифференциалов позволяет обобщить классическую теорему Хопфа в Ж3 о том, что сфера постоянной средней кривизны Н, погруженная в М3, является с точностью до изометрий, стандартной сферой радиуса jr. В диссертации мы обобщаем теорему Хопфа для пространства Nil. Для этого мы строим сферы вращения постоянной средней кривизны (предложение 7). И пользуясь голоморфностью (1.22), доказываем предложение 9, что всякая сфера постоянно средней кривизны, погруженная в Nil, является, с точностью до изометрий,сферой вращения описанной в предложении 7. Нетрудно понять, что обобщение теорема Хонфа справедливо и в других однородных пространствах с четырехмерной группой изометрий [7]. Вопрос об аналоге теоремы Александрова в Nil остается пока открытым.

В диссертации мы изучаем следующий функционал, определенный на замкнутых поверхностях М в группе Nil где z-конформный параметр на поверхности М, a U и V потенциалы (1.17) в операторе Дирака для Nil. Для тора М, функционал Е{М) измеряет отклонение спектральной кривой тора от плоской кривой (спектральная кривая оператора Дирака с нулевыми потенциалами U = V = 0). В дальнейшем будем называть такой функционал обобщенным функционалом Уиллмора пли спинорной энергией поверхности. Для начала мы получаем выражение функционала в инвариантных терминах (предложение 5) где Н~средняя кривизна, /^-секционная кривизна касательной плоскости в точке, а ф-элемент площади. Сразу заметим, что в отличии от К3 или например S3, функционал Е(М) в Nil не пропорционален известному обобщению функционала Уиллмора как fAI (Н2 + К\ dfj, или что то же с точностью до константы (в силу теоремы Гаусса) jM (Н2 — К) df.i, где /('-гауссова кривизна. Потом мы показываем, что функционал Е(М) принимает постоянное значение, равное тг, на сферах постоянной средней кривизны в Nil (теорема 4). А в теореме 6 мы доказываем, что сферы постоянной средней кривизны являются критическими точками Е(М). Отметим здесь полную аналогию с R3, хотя предположение о том, что среди всех сфер в Nil минимум достигается в точности на сферах постоянной средней кривизны нами не доказано. Тем не менее, в теореме 5 мы приводим строгое доказательство того факта, что минимум среди всех сфер вращения достигается в точности на сферах постоянной средней кривизны. Для торов вращения мы доказываем оценку Е > 0. Маловероятно, что эта оценка не может быть улучшена, мы предполагаем что Е > по крайней мере на торах вращения.

В диссертации мы также изучаем поверхности постоянной средней кривизны в Nil. Для этого мы представляем уравнения Гаусса-Вейнгартена в новой форме, которые для поверхностей постоянной средней кривизны принимают вид уравнений (3.9) и (3.10). И ввиду голоморфности обобщенного дифференциала Хопфа, на поверхностях постоянной средней кривизны, условие совместности представляется как

Vzz + e~v — \B\2e~2v — 0, где В = |(2Н + i)А, а е^-потенциал в операторе Дирака, то есть ev = f (Ш2+Ш2)+ЦШ2-Ш2) или по-другому е- = (f + *п3) еа, где п3-скалярное произведение вектора нормали п и е3, a e2adzdz- индуцированная мера на поверхности. Нас интересуют те v(z), при которых на найдется решение ф2 уравнений Гаусса-Вейнгартена (3.9),(3.10), такое что ev = ydV'il2 + \Ф2\2) + |(|^2|2 — 101Р)- При Н — 0 такие v естественно выделяются условием, что ev чисто мнимое. При Н ф 0 вывод этого условия приведен в §3.2. Рассматривая поверхность постоянной средней кривизны в окрестности неомбилической точки (А ф 0), заключаем что в этой окрестности поверхность описывается решением системы vz~ + 2 sinh 2v = 0, Re [ег'] = 0, Я = 0, где v — р + пр. Появление эллиптического уравнения sinh-Gordon позволяет надеяться исследовать поверхности постоянной средней кривизны методами интегрируемых систем.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Каждая глава в свою очередь разбита на несколько параграфов. Нумерация формул состоит из двух чисел-номер главы и порядковый номер формулы в главе. Для предложений и теорем используется сплошная нумерация. Замечания пронумерованы номером главы и порядковым номером в главе.

1. Taimanov 1. A. Modified Novikov-Veselov equation and differential geometry of surfaces // Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2. 1997. V. 179. P. 133-151.

2. Тайманов И.А. Представление Вейерштрасса замкнутых поверхностей вК3 // Функциональный анализ и его прил. 1998. Т. 32, NB4. С. 49-62.

3. Тайманов И. А. Операторы Дирака и конформные инварианты торов в R3 // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 2004. Т. 244. С. 233263.

4. Konopelchenko В. G. Induced surfaces and their integrable dynamics // Stud. Appl. Math. 1996. V. 96. P. 9-52.

5. Scott P. The geometries of 3-manifolds // Bull. London Math. Soc. 1983. V. 15, N 5. P. 401-487.

6. AbreschU., Rosenberg H. The Hopf differential for constant mean curvature surfaces in S2 x К and Я2 x Ш // Acta Math. 2004. V. 193. P. 141-174.

7. Abresch U., Rosenberg H. Generalized Hopf differentials // Mat. Contemp. 2005. V. 28. P. 1-28.

8. Daniel B. Isometric immersions into 3-dimensional homogeneous manifolds // Comment. Math. Helv. 2007. V. 82. P. 87—131.

9. Fokas A. S., Gelfand I.M. Surfaces on Lie groups, on Lie algebras, and their integrability // Comm. Math. Phys. 1996. V. 177. P. 203-220.

10. Figueroa C., Mercuri F., Pedrosa R. Invariant surfaces of the Heisenberg groups // Ann. Math. Рига Appl. 1999. V. 177. P. 173-194.

11. Milnor J.W. Curvatures of left invariant metrics on Lie groups // Adv. Math. 1976. V. 21. P. 293-329.

12. Thurston W. P. Three dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry // Bull. Amer. Math. Soc. 1982. V. 6. P. 357-381.

13. Fernandez I., Mira P. A characterization of constant mean curvature surfaces in homogeneous 3-manifolds // Diff. Geom. Appl. 2007. V. 25. P. 281—289.

14. Тайманов И. А. Двумерный оператор Дирака и теория поверхностей // Успехи мат. наук. 2006. Т. 61, №1. С. 85-164.

15. Tomter P. Constant mean curvature surfaces in the Heisenberg group // Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 1993. V. 54, N 1. P. 485-495.

16. Schmidt E. Der Brun-Minkowskische Satz und ein Spiegel-theorem sowie die isoperimetrische Eigenschaft der Kugeln in der euklidischen und hyperbolischen Geometrie // Math. Ann. 1949. V. 120. P. 307-429.

17. TaimanovI.A. Surfaces in three-dimensional Lie groups in terms of spinors // RIMS Kokyuroku. 2008. V. 1605. P. 133-150.

18. AbreschU. Constant mean curvature tori in terms of elliptic functions // J. Reine Angew. Math. 1987. V. 374. P. 169-192.Работы автора по теме диссертации

19. Бердинский Д. А., Тайманов И. А. Поверхности в трехмерных группах Ли // Сиб. мат. журн. 2005. Т. 46, №6. С. 1248-1264.

20. Бердинский Д. А., Тайманов И. А. Поверхности вращения в группе Гейзенберга и спектральное обобщение функционала Уиллмора // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, №3, С. 496-511.

21. Berdinsky D. A. Surfaces of revolution in the Heisenberg group and the spectral generalization of the Willmore functional // Oberwolfach reports. 2007. V. 4, N 2. P. 1356-1358.