Разветвлённые накрытия римановых поверхностей и графов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

I

Лимонов Максим Петрович

Разветвлённые накрытия римановых поверхностей и графов

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

5 АВГ 2015

005571213

Новосибирск - 2015

005571213

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской Академии наук.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Медных Александр Дмитриевич.

Официальные оппоненты:

Семенко Евгений Вениаминович, доктор физико-математических наук, профессор, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский государственный педагогический университет», институт физико-математического и информационно-экономического образования, кафедра математического анализа, заведующий кафедрой;

Шабат Георгий Борисович, доктор физико-математических наук, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Российский государственный гуманитарный университет», институт лингвистики, кафедра математики, логики и интеллектуальных систем в гуманитарной сфере, профессор.

Ведущая организация: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики».

Защита состоится «24» сентября 2015 г. в 16 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 003.015.03 на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. Академика Коптюга, д. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, http://math.nsc.ru/.

Автореферат разослан ШР^иЯ- 2015 г.

Ученый секретарь диссертационног

совета, к. ф.-м. н.

Егоров Александр Анатольевич

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Теория римановых поверхностей возникла на основе классических работ Римапа и Гурвица в конце 19 - начале 20 веков. Первоначально риманова поверхность определялась как разветвлённое накрытие над сферой Римана. Позже понятие разветвлённого накрытия естественным образом переросло в понятие голоморфного отображения одномерного комплексного многообразия (римановой поверхности). При этом выяснилось, что образом такого отображения может быть не только сфера, но также любая другая риманова поверхность. Важную роль в этой теории играет наличие точек ветвления. Наибольший интерес здесь представляет случай, когда порядок ветвления отображения достаточно велик по отношепию к роду поверхности. В этом случае возникают так называемые точки Вейерштрасса. Более точно, точка Р на римановой поверхности X рода д > 2 называется тонкой Вейерштрасса, если на X существует мероморфная функция с полюсом порядка < д в точке Р и регулярная в других точках. Несмотря на то, что точки Вейерштрасса являются классическим объектом, до сих пор не существует простого метода их нахождения на римановых поверхностях. В середине 20 века Еруно Шёпеберг [1] предложил метод, позволяющий находить точки Вейерштрасса как неподвижные точки конформных автоморфизмов, порядок которых определённым образом зависит от рода поверхности и рода её факторповерхности по действию этого автоморфизма. Позже Джозеф Левите [2] сформулировал следующее утверждение, эквивалентное условиям Шёнебер-га: если нетривиальный автоморфизм компактной римановой поверхности рода д > 2 имеет более 4 неподвижных точек, то все эти точки являются точками Вейерштрасса. Это утверждение известно как теорема Левитса. Её различные обобщения получены в работах [3-8]. Все указанные результаты дают достаточные условия существования точек Вейерштрасса на регулярных циклических накрытиях. В параграфе 2.2 настоящей диссертации показывает-

ся, что теорему Левитса можно обобщить на случай нерегулярных накрытий рпмановых поверхностей, и тем самым получить новые способы нахождения точек Вейерштрасса.

В последнее время появилось множество работ различных авторов [9-12], посвящённых дискретным версиям теории рпмановых поверхностей. Роль ри-мановых поверхностей в этих теориях играют конечные связные графы, а голоморфные отображения заменяются на гармонические. Оказывается, что категория графов с гармоническими морфизмами между ними отражает многие свойства классической теории рпмановых поверхностей. Для них построена теория якобиевых многообразий (дискретными аналогами которых являются конечные абелевы группы) и доказаны аналоги теоремы Римана - Роха и Римана - Гурви-ца. Многие теоремы классической теории рпмановых поверхностей также установлены в дискретном случае. Этот подход нашёл эффективные применения к теории кодирования, стохастической теории н финансовой математике. Библиографию по этому вопросу можно найти в [13]. Главы 3 и 4 посвящены дальнейшему обобщению классических теорем из теории рпмановых поверхностей на графы.

Цель работы. Целью работы является нахождения точек Вейерштрасса на нерегулярных накрытиях рпмановых поверхностей, а также получение дискретных аналогов классических теорем из теории рпмановых поверхностей.

Методы исследований. В работе используются методы классического комплексного анализа, топологической теории графов, а также теория графов групп Басса - Серра.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Разработан новый способ нахождения точек Вейерштрасса на нерегулярных накрытиях рпмановых поверхностей.

2. Обобщена теорема Левитса па случай нерегулярных накрытий рима-новых поверхностей.

3. Разработан новый метод униформнзации регулярных и нерегулярных накрытий графов, основанный на теории графов групп.

4. Установлена дискретная версия теоремы Акколы о поднятии гиперэллиптической инволюции на нерегулярные накрытия.

Все основные результаты получены автором лично.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы специалистами, работающими в области геометрической теории функций, комплексного анализа, геометрии и теории графов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались па следующих российских и международных научных конференциях и семинарах:

• Школа-конференция по геометрическому анализу молодых учёных, аспирантов и студентов, организованная Горно-Алтайским государственным университетом. Телецкое озеро, 2012.

• Международная (44-я Всероссийская) молодежная школа-конференция «Современные проблемы математики». Екатеринбург, 2013.

• Республиканская научная конференция «Актуальные вопросы комплексного анализа». Ташкент (Узбекистан), 2013.

• Международная конференция «Геометрия и анализ на метрических структурах». Новосибирск, 2013.

• Международный молодежный семинар по теории функций и топологии. Горно-Алтайск, 2014.

• 52-я Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск, 2014.

• Russian-Slovenian Workshop «Graphs and Groups, Cycles and Coverings». Новосибирск, 2014.

• International Workshop «Maps and Riemann Surfaces». Новосибирск, 2014.

• 53-я Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск, 2015.

• Семинар отдела анализа и геометрии, институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск. Руководитель: академик РАН, д. ф.-м. и., профессор Ю.Г. Решетняк.

• Семинар «Инварианты трёхмерных многообразий», институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск. Руководители: чл.-корр. РАН, д. ф.-м. п., А. Ю. Веснин, д. ф.-м. п., профессор А. Д. Медных.

• Семинар «Графы и римаиовы поверхности», Matej Bel University, Banska Bystrica, Словакия. Руководитель: профессор Р. Неделя.

Публикации. Основные результаты автора по теме диссертации опубликованы в семи печатных и электронных изданиях [А1-А7], из них две статьи опубликованы в журналах из списка ВАК [Al, А2], пять — в тезисах докладов и материалах конференций [АЗ-А7].

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. В работе имеются 10 рисунков. Список литературы содержит 40 наименований и приведён в порядке цитирования, за исключением работ автора по теме диссертации, выделенных в отдельную часть. Общий объём диссертации — 74 страницы.

Содержание работы

Нумерация теорем и предложений соответствует тексту диссертации.

Во введении описываются основные результаты диссертации и даётся обзор исследований по теме диссертации.

Первая глава содержит предварительные сведения из теории римановых поверхностей, графов и теории графов групп Басса - Серра.

Вторая глава посвящена разработке новых способов нахождения точек Вейерштрасса на римановых поверхностях. Глава состоит из трёх параграфов.

Первый параграф носит предварительный характер. В нём обсуждаются различные версии классической теоремы Левитса [2], утверждающей, что если нетривиальный конформный автоморфизм римановой поверхности рода д > 2 имеет более четырёх неподвижных точек, то все эти точки являются точками Вейерштрасса.

Во втором параграфе доказывается обобщение теоремы Левитса на случай нерегулярных накрытий. Неподвижная точка автоморфизма а порядка п римановой поверхности X является точкой ветвления регулярного накрытия X —» Х/(а). Порядок ветвления такой точки равен п. Основная идея здесь заключается в том, чтобы для произвольного голоморфного отображения римановых поверхностей в качестве аналога неподвижной точки рассматривать точки, порядок ветвления которых равен тг, где п — степень отображения. Такие точки мы будем называть точками полного ветвления. Основной результат сформулирован в следующей теореме.

Теорема 7. Пусть X и У — римановы поверхности, и род X больше 1. Пусть (р : X —> У — голоморфное отображение. Предположим, что <*р имеет более 4 точек полного ветвления. Тогда все они являются точками Вейерштрасса.

В том же параграфе устанавливаются две изложенные ниже теоремы. Пусть <р : X —>■ У — голоморфное отображение степени п римановых поверхно-

стей родов 5 н 7 соответственно. Следуя Акколе [14], назовём отображение <р строго разветвлённым, если д > п2-у + (п — I)2.

Теорема 8. Пусть X и У — римановы поверхности, и род X больше 1. Пусть <р : X —» У — строго разветвлённое отображение, а Р — точка полного ветвления отображения ¡р. Тогда Р является точкой Вейерштрасса на X.

В следующей теореме даны дополнительные условия, позволяющие по сравнению с теоремой 7 уменьшить количество точек полного ветвления до двух. При этом, из всех точек полного ветвления точками Вейерштрасса окажутся только те, которые снова перейдут в точки Вейерштрасса.

Теорема 9. Пусть X и У — римановы поверхности, и род У больше 1. Пусть (р : X У — голоморфное отображение. Предположим, что <р имеет больше одной точки полного ветвления. Пусть Р — одна из этих точек и <р(Р) — точка Вейерштрасса на У. Тогда Р — точка Вейерштрасса на X.

В третьем параграфе на основе приведённой выше теоремы 7 предлагается новый способ нахождения точек Вейерштрасса на накрытиях регулярного типа.

Пусть ¡р : X У ~ разветвлённое накрытие римаиовых поверхностей. Для любой точки у € У множество <р~1(у) называется слоем над у. Если слой содержит точки ветвления, то он называется сингулярным. Если каждый сингулярный слой состоит из точек ветвления с одинаковыми порядками (своими для каждого слоя), то <р называется накрытием регулярного типа. Основной результат этого параграфа составляет следующая теорема.

Теорема 11. Пусть X и У — римановы поверхности, а <р : X У — N-листное накрытие регулярного типа. Предположим, что <р имеет г сингулярных слоев, и 1-й состоит из N/1711 точек ветвления порядка ТП{, г = 1,..., г. Пусть в, — положительное целое число > 1. Рассмотрим множество X¿1 точек ветвления отображения <р, порядки которых делятся на с1 и предположим, что N/1711 > 4, а накрытие <р разложимо в композицию отобра-

±й\гщ

жений 1р = ф о /, где / — накрытие степени й. Тогда все точки множества Хл являются точками Вейерштрасса.

Главы 3 и 4 посвящены актуальной в последнее время дискретизации теории римановых поверхностен. Роль римановых поверхностей играют конечные связные графы, а голоморфные отображения заменяются на гармонические. Оказывается, что категория графов с гармоническими морфизмами между ними отражает многие свойства классической теории римановых поверхностей.

Обозначим через У(Х) множество вершин и через Е{Х) множество направленных рёбер графа X. Функции в, t : Е(Х) —>■ У(Х) определяют начало и конец направленного ребра соответственно. Морфизм (р : X —» У графов называется гармоническим отображением или разветвлённым накрытием, если для всех х € У(Х), у 6 У{У) таких, что у = <р{х), количество

|ееЕ{Х) :х = 5(е), ф) = е'|

одинаково для всех рёбер е' € Е{У) таких, что у = з(е'). Пусть б < Аи^Х) — группа автоморфизмов графа X. Будем говорить, что группа С действует гармонически на графе X, если для всех подгрупп Н < б канонические проекции рн : X X/Н являются гармоническими. Если б действует гармонически и без обратимых рёбер, то будем говорить, что (7 действует чисто гармонически па X. Род графа определяется как ранг его первой группы гомологий.

В третьей главе доказываются дискретные версии теорем Акколы о группах, действующих на римановых поверхностях и допускающих разбиения [15, 16]. Эти результаты применяются для установления свойств 7-гиперэллипти-ческих инволюций па графах. Третья глава делится на два параграфа.

В первом параграфе устанавливаются дискретные версии теорем Акколы о группах с разбиениями. Говорят, что конечная группа й допускает разбиение {бь..., в.}, где вг < в и в > 1, если С? = [£=1 11 Gi п = Ш. М = 1,2,..., в, г ф Следующий результат по сути является формулой Римана -

Гурвица, записанной без индексов ветвления.

Теорема 12. Пусть X — граф рода д. Предположим, что группа Со < Аи^Х) действует на X чисто гармонически и допускает разбиение {Сп, ..., С^}. Обозначим щ = \Gi\j = д(Х/С¿), где г = 0,1,..., е. Тогда

Граф X рода д > 2 называется 7-гиперэллиптическим, если существует гармоническое отображение -Г : X —» У степени 2, где граф У имеет род 7. Накрывающая инволюция этого отображения называется 7-гиперэллиптической. В следующем утверждении устанавливается условие, при котором 7-гиперэл-липтическая инволюция единственна.

Предложение 2. Пусть 7 — неотрицательное целое число и X — граф рода д > 47+1. Предположим, что 3 — автоморфизм второго порядка, действующий чисто гармонически на X и такой, что род X/ {,/) равен 7. Тогда 3 единственен, и группа (3) центральна в полной группе автоморфизмов графа X.

Непрерывная версия этого результата для римановых поверхностей получена в работе Р. Д. М. Акколы [15]. В диссертации приведён пример, показывающий, что полученная в предложении 2 оценка д > 47 + 1 не улучшаема.

Второй параграф посвящён доказательству дискретного аналога результатов Р. Д. М. Акколы [15] и Е. Бухаланса [17] о 7-гиперэллиптическнх поверхностях. Этот аналог сформулирован в следующей теореме.

Теорема 14. Пусть X — перазветвлённое накрытие степени 2 над гиперэллиптическим графом У рода д > 2. Тогда X является ■у-гиперэллиптическим для некоторого 7 < .

В доказательстве этого результата используется теория графов групп Басса -Серра для униформизации накрытий графов.

¿=1

и

Четвёртая глава посвящена доказательству существования нерегулярного накрытия произвольной нечётной степени над любым гиперэллиптическим графом, что является дискретной версией теоремы Акколы [18].

В первом параграфе устанавливается предложение 3, используемое в доказательстве основного результата главы. Индекс д в записи Хч обозначает род графа.

Предложение 3. Пусть Хр —» Хд — циклическое накрытие графов степени п, где Хч — гиперэллиптический граф. Тогда сквозное гармоническое отображение Хр —^ Хц —^ Хо регулярно, а его группа преобразований наложения изоморфна диэдральной группе порядка 2п.

Во втором параграфе получен следующий основной результат. Для его доказательства используется теория графов групп Басса - Серра и теория уии-формизации накрытий графов.

Теорема 15. Пусть Хч — гиперэллиптический граф, и п — любое положительное нечётное число. Тогда существует нерегулярное неразветвлённое накрытие Хр —» Хч степени п такое, что Хр — гиперэллиптический граф.

В заключении диссертации приведены итоговые результаты.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Александру Дмитриевичу Медных за постановку задач, их обсуждение и всестороннюю поддержку во время работы над диссертацией. Автор признателен всем сотрудникам лаборатории теории функций ИМ СО РАН за творческую атмосферу и полученные знания в процессе обучения в аспирантуре.

Список литературы

1. Schöneberg, В. Uber die Weierstrass-Punkte in den Körpern der elliptischen Modulfunktionen / B. Schöneberg // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. -1951. - Vol. 17. - P. 104-111.

2. Lewittes, J. Automorphisms of Compact Riemann Surfaces / J. Lewittes // Amer. J. Math. - 1963. - Vol. 85, no. 4. - P. 734-752.

3. Larcher, H. Weierstrass points at the cusps of Г0(16р) and hyperellipticity of Г0(п) / H. Larcher // Canad. J. Math. - 1971. - Vol. 23. - P. 960-968.

4. Guerrero, I. Automorphisms of compact Riemann surfaces and Weierstrass points /I. Guerrero // Brook Conference (State Univ. New York, Stony Brook, N.Y., 1978) Ann. of Math. Stud. - 1981. - Vol. 97. - P. 215-224.

5. Maclachlan, C. On Schoeneberg's theorem /С. Maclachlan // Glasg. Math. J. - 1973. - Vol. 14, no. 2. - P. 202-204.

6. McQuillan, D. L. A note on Weierstrass points /D. L. McQuillan // Canad. J. Math. - 1967,- Vol. 19. - P. 268-272.

7. Wayman A. K. An elementary proof of a fixed point theorem of J. Lewittes and D.L. McQuillan / A. K. Wayman // Canad. Math. Bull. - 1978. -Vol. 21. - P. 99-101.

8. Garcia, A. Rational nodal curves with no smooth Weierstrass points / A. Garcia, R. F. Lax // Proc. Amer. Math. Soc. - 1996. - Vol. 124. - P. 407-413.

9. Bacher, R. The lattice of integral flows and the lattice of integral cuts on a finite graph / R. Bacher, P. de la Harpe, Т. Nagnibeda // Bull. Soc. Math. Fr. - 1997. - Vol. 125. - P. 167-198.

10. Biggs, N. L. Chip-firing and the critical group of a graph/ N. L. Biggs // J. Algebraic Combin. - 1999. - Vol. 9, no. 1. - P. 25-45.

11. Cori, R. On the sandpile group of a graph / R. Cori, D. Rossin // European J. Combin. - 2000. - Vol. 21, no. 4. - P. 447-459.

12. Caporaso, L. Algebraic and tropical curves: comparing their moduli spaces /

L. Caporaso // Preprint. - 2011. arXiv: 1101,4821v3.

13. Baker, M. Harmonic morphisms and hyperelliptic graphs / M. Baker, S. Norine // Int. Math. Res. Notes. - 2009. - Vol. 15. - P. 2914-2955.

14. Accola, R. D. M. Strongly Branched Coverings of Closed Riemann Surfaces / R.D.M. Accola // Proc. Amer. Math. Soc. - 1970. - Vol. 26, no. 2. -P. 315-322.

15. Accola, R.D.M. Riemann Surfaces with Automorphism Groups Admitting Partitions /R.D.M. Accola // Proc. Amer. Math. Soc. - 19C9. - Vol. 21, no. 2. - P. 477-482.

16. Accola, R. D. M. Two theorems on Riemann surfaces with noncyclic automorphism groups / R.D.M. Accola // Proc. Amer. Math. Soc. - 1970. Vol. 2. - P. 598-602.

17. Bujalance, E. A classification of unramified double coverings of hyperelliptic Riemann surfaces / E. Bujalance // Arch. Math. - 1986. - Vol. 47. -P. 93-96.

18. Accola, R.D.M. On lifting the hyperelliptic involution / R.D.M. Accola // Proc. Amer. Math. Soc. - 1994. - Vol. 122, no. 2. - P. 341-347.

Публикации автора по теме диссертации

Al. Лимонов, M. П. Об обобщении теоремы Левитса о точках Вейерштрасса / М. П. Лимонов // Сибирский математический журнал. - 2014. - Т. 55, № 6. -С. 1328-1333.

А2. Limonov, M. P. Non-regular graph coverings and lifting the hyperelliptic involution / M.P. Limonov // Сибирские электронные математические известия. - 2015. - T. 12. - С. 372-380.

A3. Лимонов, M. П. О точках Вейерштрасса для голоморфных отображений римановых поверхностей / М.П. Лимонов // Тезисы докладов Республиканской научной конференции «Актуальные вопросы комплексного апали-

за», - Ташкент: Национальный университет Узбекистана им. Мирзо Улуг-бека. - 2013. - С. 82-83.

А4. Лимонов, М.П. К теореме Левитса о точках Вейерштрасса / М.П. Лимонов // Материалы 52-й Международной научной студенческой конференции МНСК-2014: Математика, - Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т. - 2014. -С. 29.

А5. Лимонов, М. П. К теореме Левитса о точках Вейерштрасса / М. П. Лимонов // Материалы международного молодежного научного семинара по теории функции и топологии, - Горно-Алтайск: РИО ГАГУ. - 2014. - С. 27-29.

А6. Limonov, М. P. On graphs with automorphism groups admitting a partition / M.P. Limonov // GRAPHS AND GROUPS, CYCLES AND COVERINGS, 2014: Abstracts of the Russian-Slovenian Workshop, - Novosibirsk: Sobolev Institute of Mathematics. - 2014. - P. 17.

A7. Limonov, M. P. Hyperellipticity of graphs with automorphism groups admitting a partition / M.P. Limonov // Материалы 53-й Международной научной студенческой конференции МНСК-2015: Математика, - Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т. - 2015. - С. 70.

Лимонов Максим Петрович

Разветвлённые накрытия римановых поверхностей и графов

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 03.07.2015 г. Офсетная печать. Формат 60 х 84 1/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 268

Отпечатано в ИП Малыгин А. М. пр. Ак. Лаврентьева, 6/1, оф. 104, Новосибирск 630090