Карты на римановых поверхностях и якобианы графов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Дерягина Мадина Александровна

КАРТЫ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ И ЯКОБИАНЫ ГРАФОВ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005541992 5 ДЕК 2013

Новосибирск - 2013

005541992

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет».

Научный руководитель:

д.ф.-м.н., профессор Медных Александр Дмитриевич.

Официальные оппоненты:

Садыков Тимур Мрадович, д.ф.-м.н., доцент, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова», факультет математической экономики и информатики, кафедра вычислительных систем и телекоммуникаций, профессор. Семенко Евгений Вениаминович, д.ф.-м.н., профессор, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский государственный педагогический университет», институт физико-математического и информационно-экономического образования, кафедра математического анализа, профессор, заведующий кафедрой.

Ведущая организация:

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский государственный университет «Высшая школа экономики»»

Защита состоится 18 декабря 2013 года в 16.30 на заседании диссертационного совета Д 003.015.03, созданного на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики имени С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики имени С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук.

Автореферат разослан 15 ноября 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Егоров Александр Анатольевич

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Данная работа посвящена исследованию карт на римановых поверхностях и якобианов конечных графов.

Картой (51, (3) называется замкнутая риманова поверхность 5 вместе с вложенным в нее графом (3, таким, что Б \ в представляет собой дизъюнктное объединение связных компонент, называемых гранями, каждая из которых гомеоморфна открытому диску. Вершины графа представляют собой различные точки на римановой поверхности, ребра — несамопере-секающиеся кривые на римановой поверхности, не имеющие общих точек, отличных от вершин. Заметим, что мы рассматриваем только связные графы, так как для несвязного графа появляется «грань», не гомеоморфная диску.

Для карты, имеющей V вершин, Е ребер и Р граней, на римановой поверхности рода д выполнена формула Эйлера-Пуанкаре [16]:

V - Е + Е = 2-2д.

Карты на римановой поверхности рода 0 будем называть плоскими.

Две карты (•5, С) и (¿ьС:) называются эквивалентными, если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм /г : 5 —> 5: такой, что /¡(С) = йг. Указанный гомеоморфизм будем называть изоморфизмом карт.

Систематическое исследование карт было начато в работах Татта в 1960-е годы, в них заложены основы теории карт с точки зрения топологии и комбинаторики. Поставленная им проблема о подсчете числа неэквивалентных карт с заданным числом ребер на римановой поверхности заданного рода д (см. [27]) стала уже классической в рамках данной теории. Для решения этой проблемы Таттом были введены корневые карты, то есть карты, у которых одно ребро отмечено. Корневые карты могут быть подсчитаны без учета автоморфизмов, так как только тривиальный автоморфизм сохраняет отмеченное ребро [28]. Решение корневой версии проблемы для карт с Е ребрами на римановой поверхности рода д = 0 получено Таттом [27] и выражается следующей формулой:

2 х Зд х (2Е)\ ЩЕ) ~ Е\(Е + 2)! '

Явная формула для числа корневых карт с Е ребрами на торе (д = 1)

была получена Д. Арком [6] :

М1(Е) = ^22Е-3~к(3Е-1-Зк) (ЕЛккV к=0 ^ '

В работе [10] Бендером и Кенфилдом получены производящие функции для числа корневых карт с Е ребрами на поверхности рода д = 2 и д = 3. В [29] Т. Уолшем и А. Гиоргетти подсчитаны корневые карты с Е ребрами на поверхности рода д = 4, д = 5 и д = 6.

В. А. Лисковцом получена формула для подсчета плоских карт с заданным числом ребер [22].

В работе [4] А. Д. Медных предложен новый метод вычисления числа классов сопряженных подгрупп в произвольной конечно порожденной группе. Приложением этого метода является полное решение проблемы Татта для карт с заданным числом ребер на поверхности заданного рода [23]. С помощью этого метода также получена новая формула для числа пар близнецов (карт, между которыми существует меняющий ориентацию гомеоморфизм, но не существует сохраняющего ориентацию) с заданным числом ребер [13].

В первой главе диссертации автором введено понятие круговых карт, а также, с помощью указанного метода, найдена явная формула для числа круговых карт с заданным числом ребер в независимости от рода поверхности. Интерес к изучению круговых карт связан с тем, что круговые карты эквивалентны картам, допускающим раскраску граней в два цвета. Последние, в свою очередь, двойственны двудольным картам.

В своей знаменитой программе [18] А. Гротендик связал исследование карт со многими задачами комплексного анализа, комбинаторной теории, теории чисел и теории фуксовых групп. Важным аспектом этой теории является теорема Г. Белого, устанавливающая связь между римановыми поверхностями, определенными над и мероморфными функциями, имеющими три критических значения [2]. Указанные функции называют функциями Белого. Вычислению этих функций посвящены работы Г. Б. Шабата, А. К. Звонкина и других авторов ( [1], [3], [26]).

Гиперкартой будем называть карту, вершины которой раскрашены в два цвета таким образом, что каждое ребро соединяет вершины двух разных цветов. Другие определения гиперкарты и их эквивалентность данному можно найти в работе Т. Уолша [30]. В ней также подсчитано число плоских корневых гиперкарт с заданным числом ребер. Д. Арком получена

формула для числа корневых гиперкарт с заданным числом ребер на поверхности рода g = 1 [5]. А. Д. Медных и Р. Неделя предложена формула для подсчета гиперкарт с заданным числом ребер па римановой поверхности заданного рода [24].

Во второй главе доказана теорема о числе гиперкарт, самосопряженных относительно смены раскраски вершин, с заданным числом ребер в независимости от рода римановой поверхности. Для рода g = 0 этот результат получен в работе [21].

В последние десятилетия появилось множество работ, посвященных дискретным версиям теории римаповых поверхностей ([7], [8], [9]). Роль рима-новых поверхностей в этой теории отводится конечным графам. Для них доказаны аналоги теорем Римана-Гурвица и Римана-Роха. А также построена теория якобианов. Понятие якобиана графа (также известное как группа Пикара или критическая группа) было независимо введено многими авторами ([7], [8], [11], [15]). Якобиан является важным алгебраическим инвариантом конечного графа. В частности, его порядок совпадает с числом порождающих деревьев графа. Последнее число хорошо известно для некоторых простейших семейств графов, таких как колесо, лестница, веер, призма и лестница Мёбиуса [12]. В то же время структура группы якобиана известна только в некоторых случаях (см. [17], [20], [25]).

Следуя Бейкеру и Норину [8], определим якобиан (или группу Пикара) графа следующим образом.

Рассмотрим конечный связный граф G, допускающий кратные ребра, но не имеющий петель. Пусть V(G) и E(G) — это множества вершии и ребер G соответственно. Обозначим через Div(G) свободную абелеву группу, порожденную V{G). Элементы Div(G) являются целочисленными линейными комбинациями элементов V(G), то есть для любого D Е Div{G) существует единственное представление D = Y2x€v(G) D{x)(x), D(x) G Z. По аналогии с теорией римаповых поверхностей элементы Div{G) будем называть дивизорами на графе G. Определим степень элемента D следующей формулой deg(D) = Y^xeV(G) D{x). Обозначим через Div°(G) подгруппу группы Div(G), состоящую из дивизоров нулевой степени.

Пусть / — Z—значная функция на V(G). Определим дивизор / по следующей формуле

<м/)= Е Е (/(*)-/(»))(*)•

xeV(G) xyeE(G)

Дивизор йт{$) естественным образом может быть отождествлен с оператором Лапласа функции / на графе С. Дивизоры вида (Иу(/), где / — Z—значная функция на называются главными дивизорами. Обозна-

чим через Ргт(С) группу главных дивизоров на (7. Нетрудно заметить, что каждый главный дивизор имеет степень 0, поэтому группа Ргт((?) является подгруппой группы От0 (О).

Определим группу ,/ас((3), называемую якобианом (или группой Литра) графа С, как фактор-группу

,/ас(С) = От°(С)/Рпп{в).

По теореме Кирхгофа [19], группа 7ас(С?) является конечной абелевой группой порядка где ¿в — число порождающих деревьев графа б. Более того, любая конечная абелева группа является группой якобиана некоторого графа.

В третьей главе предложен новый метод для нахождения якобианов графов, с его помощью установлены структурные теоремы для якобианов графов лестницы Мёбиуса и призматического графа, найдена связь этих якобианов с полиномами Чебышева первого и второго рода. Эти группы были ранее вычислены совершенно другими методами в работах [25], [17] в терминах, не связанных с полиномами Чебышева. Указанный метод будет использован в четвертой главе для построения примера неединственности решения задачи Дирихле для дискретного оператора Лапласа.

Цель работы. Получить точные аналитические формулы для числа круговых, двудольных карт, а также гиперкарт, самосопряженных относительно смены раскраски вершин. Разработать новый метод для нахождения структуры якобиана конечного графа, основанный на рекуррентных соотношениях заданной степени. Применить его к вычислению якобианов лестницы Мёбиуса и призматического графа. Исследовать структуру якобиана дискретного тора. Построить пример неединственности решения задачи Дирихле для дискретного оператора Лапласа в классе функций, принимающих значения в конечной абелевой группе.

Методы исследования. Для получения основных результатов используются методы классического комплексного анализа, комбинаторного анализа, теории групп и топологической теории графов.

Основные результаты диссертации.

1. Получена точная аналитическая формула для подсчета круговых карт с заданным числом ребер. Доказана эквивалентность круговых карт и карт, допускающих раскраску в два цвета. Как следствие этих результатов, получены формулы для числа двудольных карт, а также гнперкарт, самосопряженных относительно смены раскраски вершин.

2. Разработан новый метод для нахождения якобианов графов. С его помощью установлены структурные теоремы для якобианов графов лестницы Мёбиуса и призматического графа, найдена связь этих якобианов с полиномами Чебышева первого и второго рода. В частности, предложенный метод позволяет установить, что задача Дирихле для дискретного оператора Лапласа имеет псединствепное решение в классе функций, принимающих значения в конечной абелевой группе.

Научная новизна. Результаты, полученные в главах 1, 2 и 4 диссертации, являются новыми. В главе 3 предложен новый метод нахождения якобианов графов. С его помощью получен ранее известный результат для структур якобианов лестницы Мёбиуса и призматического графа. При этом, использование разработанного метода позволило связать указанный результат с полиномами Чебышева и, как следствие, получить ранее неизвестные связи между структурами якобианов рассматриваемых графов.

Теоретическая и практическая значимость результатов. Результаты диссертационного исследования носят теоретический характер и могут быть использованы специалистами, работающими в области геометрической теории функций, комбинаторного и комплексного анализа и теории графов. Материалы диссертации могут быть полезны при организации спецкурсов по дополнительным вопросам вещественного, комплексного и функционального анализа, предназначенных для магистрантов и аспирантов высших учебных заведений.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах Института математики СО РАН под руководством д.ф.-м.п., академика Ю. Г. Решетника, д.ф.-м.н., профессора В. В. Асеева, д.ф.-м.н., чл.-корр. А. Ю. Веснина и д.ф.-м.н., профессора А. Д. Медных, а также на семинарах д.ф.-м.н., профессора С. К. Ландо и д.ф.-м.н., профессора М. Э. Казаряна (НИУ ВШЭ, г. Москва) и д.ф.-м.н., профессора Г. Б. Ша-бата (МГУ, г. Москва).

Результаты работы докладывались на следующих российских и международных конференциях: летних школах по геометрическому анализу (г.

Горно-Алтайск, 2009 г., 2 -8 августа 2010 г., 13-19 августа 2011 г.); Российской конференции, посвященной 80-летию со дня рождения В. А. Топо-ногова (6 марта 2010 год, Новосибирск); XLVIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2010 г.); XLIX Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2011 г.); Международной школе-конференции по геометрии и анализу (г. Кемерово, 19 - 26 июня 2011 г.); Десятой Казанской летней школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы - 2011» (г. Казань, 30 июня-7 июля 2011 г); XV International Conference on Geometry, Integrability and Quantization ( June 7 - 12, 2013, Varna, Bulgaria); Международной конференции «Дни геометрии в Новосибирске, 2013» (г. Новосибирск, 28-31 августа 2013 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1*] - [9*]. Работы [2*] -[3*] опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК, [1*] — в электронных научных изданиях. Вклад авторов в совместные работы [1*] - [3*] и [5*] равноценный. Все положения, выносимые на защиту, принадлежат лично диссертанту.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав основного содержания, приложения и списка литературы из 50 использованных источников. Общий объем диссертации - 83 страниц.

Краткое содержание диссертации.

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы и дается обзор научной литературы по изучаемой проблеме.

Первая глава диссертации посвящена нахождению явной формулы для числа круговых карт с заданным числом ребер в независимости от рода поверхности.

Элементарной круговой картой (Sa, G0) будем называть карту на сфере S0, имеющую 1 ребро, 1 вершину и 2 грани.

Карту (S, G) будем называть круговой, если существует разветвленное накрытие / : (S, G) (S0,G0), допускающее ветвление только над центрами граней и вершиной графа G0, и такое, что /(G) = G0.

Основной результат составляет следующая теорема. Теорема 1.5 Обозначим через С(п) число круговых карт с п ребрами. Тогда

= ¿ £ (s+(m> °) +°) - s+(f' °)) ff+xW+

е\п

£т=п

,m — Н. Т(т, Н)

Я=1 4 >

где <рт(£) - функция Жордана, </?m+iW ~ нечетная функция Жордана, s(m, 0) и s+(m,0) вычисляются по следующим рекуррентным формулам

п

s[n, 0) = (2n + 1)!! - J2(2k - - °) = 1

к=1

и

п

s+(n, 0) = (п + 1)! - Y, к] s+(n - к> °)> s+(°' °) = к=1

соответственно.

Далее, Т(т, Н) вычисляется из рекуррентного соотношения:

Н т—1 / *\

Т(т, Н) = В(т, Н) — .)T(i,h) В(т - i,H - h),

h=o i=i l'

ГДе

B(i,j) = ¿! -Д! Int f Ц^ ] ,

V Vj\2V (i=¿)! V 2 У

5(0,0) = 1, T(0,0) = 0,

_ . Г l,if ж 6 Z и ¡r ^ 0, Int(x) = < n

v y ^ 0, иначе.

Вторая глава диссертации посвящена нахождению точных аналитических формул для числа гиперкарт, самосопряженных относительно смены раскраски вершин, с заданным числом ребер.

Теорема 2.3. Число Shyp(n) гиперкарт, самосопряженных относительно смены раскраски вершин, с заданным числом ребер выражается следующей формулой

Shyp(n) = (1п*Ф Mj- М+

í\n im=n

Н—1

где <рт(£), 1(^)1 ^(т, 0), з+(гп, 0), Т{гп,Н) и 1пЬ{х) те же, что и в теореме 1.5.

Кроме того, во второй главе доказана эквивалентность круговых карт и карт, допускающих раскраску граней в два цвета. Через понятие двойственности карт продемонстрирована связь между двудольными и круговыми картами, получена формула для подсчета двудольных карт с заданным числом ребер в независимости от рода поверхности. Отметим, что число двудольных карт с заданным число ребер на поверхности рода д = 0 ранее получено В. А. Лисковцом в [21].

В третьей главе предложен новый метод для нахождения якобианов графов, с его помощью установлены структурные теоремы для якобианов графов лестницы Мёбиуса и призматического графа, найдена связь этих якобианов с полиномами Чебышева первого и второго рода. Указанный метод также положен в основу результатов четвертой главы.

Теорема 3.2. Якобиан лестницы Мёбиуса Мп имеет следующее представление

•7ас(М„) = Х(п.т.и) © 2 а\псл © Ъ^мт,

(2,-.) (™,Г,[/) (7>(/)

где (£, тп, п) = ССО(е,т,п), Т = Тп(2) + 1, С/ = ип_х{2), а Т„(2) = ((2 + уД)п + (2 - \/3)")/2 и г/„_1 (2) = ((2 + уД)п - (2 - у/3)п)/(2\/3) - полиномы Чебышева первого и второго рода, соответственно.

Теорема 3.3. Якобиан призматического графа Ргп имеет следующее представление

Уас(Ргп) = Ъ^.ь.щ ф Ъ (¿.„I/) ® Ж(2.трп£.,

(2,п) (»,¡.,(7) (£,т.С<)

где I, = Г„(2) - 1.

Заметим, что = Т„(2) — 1 и Т = Тп(2) + 1, а формула для якобиана ,Ргп получается из формулы для якобиана Мп заменой Т на Ь. Это связано с топологическим фактом о том, что оба графа, лестница Мёбиуса Мп и призматический граф Ргп, двулистно накрываются графом Рг2П-

В четвертой главе мы рассмотрим граф Тогп = С'п х Сп, представляющий из себя дискретный тор, и изучим строение якобиана данного графа.

Будут изучены гармонические функции на Тогп и их поднятия на универсальную накрывающую Z х Z. Такие функции решают задачу Дирихле на дискретном квадрате с попарно отождествленными противоположными сторонами. Анализ полученных решений позволяет построить пример неединственности решения задачи Дирихле для дискретного оператора Лапласа в классе функций, принимающих значения в конечной абелевой группе. Это не противоречит классическому принципу максимума для гармонических функций, поскольку конечная абелева группа не может быть упорядочена.

Задача Дирихле на торе Torn = Сп х Сп ставится следующим образом. Пусть А — конечная абелева группа. Найти двояко п-периодическую функцию ip : Z х Z —» А, удовлетворяющую условиям:

Axxip + Ayytf = О < <¿>(1, j) = <р(п + l,j) = Vi0') ,

ФЛ) = <fi{i,n+ 1) = <р2{г)

где ifi(j) и (р2{г) — заданные n-периодические функции такие, что </?i(l) =

№(1) = о.

В дальнейшем нас будет интересовать частный случай этой задачи, когда ipi(i) = 0 и <p2(j) = 0, i,j е Z.

Теорема 4.1. Решение задачи Дирихле на дискретном торе Тот2 для функций, принимающих значения в абелевой группе

Jac(Tor2) = Z2 © Z2 © Z8

и имеющих нулевые значения на границе дискретного 2x2 квадрата, неединственно.

Теорема 4.2. Решение задачи Дирихле на дискретном торе Тогз для функций, принимающих значения в абелевой группе

Jac{Tor3) = Z6 © ZG © Zig © Z18

и имеющих нулевые значения на границе дискретного 3x3 квадрата, неединственно.

В Приложении к диссертации можно найти уравнения и графики некоторых плоских круговых карт, метод построения которых описан в соответствующем параграфе первой главы.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю профессору А. Д. Медных за постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку

Работы автора по теме диссертации

[1*]. Zindinova, М. А. Onthe structure of Picard group for Moebius ladder / I. A. Mednykh, M. A. Zindinova // Sib. Electron. Math. Reports. - 2011.- V. 8. - P. 54-61.

[2*]. Зиндинова, M. А. О структуре группы Пикара для лестницы Мёбиуса и призматического графа / М. А. Зиндинова, И. А. Медных // Вестник КемГУ- 2011.- № 3/1 (47).- С. 50-57.

[3*]. Дерягина, М. А. О подсчете круговых карт с заданным числом ребер / М. А. Дерягина, А. Д. Медных // Сиб. мат. журн - 2013.- Т. 54, №4,- С. 788-806.

[4*]. Зиндинова, М. А. Круговые карты на римановых поверхностях / М. А. Зиндинова // Материалы XLVII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2010 - С. 95.

[5*]. Зиндинова, М. А. О вычислении группы Пикара для лестницы Мёбиуса / М. А. Зиндинова // Материалы XL1X Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2011.- С. 98.

[6*]. Зиндинова, М. А. О подсчете круговых карт / М. А. Зиндинова // Материалы школы-конференции по геометрическому анализу - Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2010,- С. 13.

[7*]. Зиндинова, М. А. О подсчете круговых карт с заданным числом ребер / М. А. Зиндинова // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского / Казанское математическое общество. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы // материалы Десятой международной Казанской летней научной школы-конференции.- Казань: Издательство Казанского математического общества, Издательство Казанского государственного университета, 2011.- Т. 43. - С. 152-153.

[8*]. Zindinova, М. А. On the structure of Jacobian of Moebius ladder and Prism graphs / I. A. Mednykh, M. A. Zindinova // Материалы школы-конференции по геометрическому анализу - Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2011,- С. 34.

[9*]. Deryagina, М. Enumeration of two-colored map with given number of edges / M. Deryagina // Дни геометрии в Новосибирске, 2013: Тезисы Меж-

дународной конференции. Новосибирск: Институт математики им. С. JI. Соболева СО РАН, 2013.- С. 39.

Список литературы

[1] Адрианов H. М., Амбург Н. Я., Дремов В. А., Кочетков Ю. Ю., Крейнес Е. М., Левицкая Ю. А., Насретдинова В. Ф., Шабат Г. Б. Каталог функций Белого детских рисунков с не более чем четырьмя рёбрами // Фундамент, и прикл. матем,- 2007,- Т. 13, №6 - С. 35-112.

[2] Белый Г. В. О расширениях Галуа максимального кругового поля // Изв. АН СССР. Сер. матем,- 1979.- Т. 43, №2,- С. 267-276.

[3] Бычков Б. С., Дремов В. А., Епифанов Е. М. Вычисление пар Белого шестирёберных рисунков рода 3 с группами автоморфизмов порядков 12 и 3 // Фундамент, и прикл. матем,- 2007.- Т. 13, №6.- С. 137-148.

[4] Медных А. Д. Новый метод подсчета числа накрытий над многообразием с конечно-порожденной фундаментальной группой// Докл. АН,-2006.- Т. 409, №2. - С. 158-162.

[5] Arqués D. Hypercartes pointées sur le tore: Décompositions et dénombrements // J. Combin. Theory Ser В.- 1987,- V. 43, №3,- P. 275286.

[6] Arqués D. Relations fonctionelles et dénombrement des cartes pointées sur le torre // J. Combin. Theory Ser В.- 1987,- V. 43, №3,- P. 253-274.

[7] Bâcher R., de la Harpe P. and Nagnibeda T. The lattice of integral flows and the lattice of integral cuts on a finite graph // Bull. Soc. Math. Fr.-1997,- V. 125.- P. 167-198.

[8] Baker M., Norine S. Harmonic morphisms and hyperelliptic graphs // Int. Math. Res. Notices.- 2009,- V.2009, №15.- P. 2914-2955.

[9] Baker M., Norine S. Riemann-Roch and Abel-Jacobi theory on a finite graph // Adv. Math.- 2007,- Vol. 215, №2,- P. 766-788.

[10] Bender E., Canfield E. The number of rooted maps on an orientable surface // J. Combin. Theory Ser В.- 1991,- V. 53, №2,- P. 293-299.

[11] Biggs N.L. Chip-firing and the critical group of a graph // J. Algebraic Combin.- 1999.- V.9, №1.- P. 25-45.

[12] Boesch F.T. and Prodinger H. Spanning tree formulas and chebyshev polynomials // Graphs and Combinatorics - 1986 - V.2, №1- P. 191-200.

[13] Breda A., Mednykh A., Nedela R. Enumeration of maps regardless of genus. Geometric approach // Discrete Math.- 2010.- V.310, №6-7,- P. 1184-1203.

[14] Bujalance E., Cirre J. F., Gamboa J. M. and Gromadzki G. Symmetries of Compact Riemann Surfaces (Lecture Notes in Mathematics 2007).-Springer: Berlin, 2010.

[15] Cori R., Rossin D. On the sandpile group of a graph // European J. Combin.- 2000. - V. 21, №4,- P. 447-459.

[16] Coxeter H.S.M. Poincaré's Proof of Euler's Formula, in: Regular Polytopes. - 3rd ed.- Dover: New York, 1973 - chapter 9 - P. 165-172.

[17] Dartois A., Fiorenzi F. and Francini P. Sandpile group on the graph Dn of the dihedral group // European J. Combin - 2003. - V.24 - P. 815-824.

[18] Grothendieck A. Esquisse d'un programme (1984) // Geometric Galois Action , Schneps L., Lochak P. eds. V. 1: Around Grothendieck's Esquisse d'un Programme. Cambridge Univ. Press.- 1997 - P. 5-48. (London Math. Soc. Lecture Notes Series V.242.) / English translation: Sketch of a programme, the same volume - P. 527-569.

[19] Kirchhoff G. Uber die Auflösung der Gleichungen, auf welche man bei der Untersuchung der linearen Verteilung galvanischer Ströme geführt wird // Ann. Phys. Chem. - 1847.-V. 72.- P. 497-508.

[20] Lorenzini D. Smith normal form and laplacians // J. Combin. Theory Ser B. - 2008. - V. 98, JV'6.- P. 1271-1300.

[21] Liskovets V. A. Enumerative formulae for unrooted planar maps: A pattern // Electronic J. Comb. - 2004 - V. 11.-14 pages.

[22] Liskovets V. A. Enumeration of nonisomorphic planar maps // Selecta Math. Soviética.- 1985,- V. 4,- P. 303-323.

[23] Mednykh A., Nedela R. Enumeration of unrooted maps with given genus //J. Combin. Theory Ser B. - 2006.- V. 96,- P. 706-729.

[24] Mednykh A., Nedela R. Enumeration of unrooted hypermaps of a given genus // Discrete Mathematics. - 2010.- V. 310, №3 - P. 518-526.

[25] Chen P., Hou Y. and Woo C. On the critical group of the Möbius ladder graph// Australasian J. Combin. - 2006,- V. 36,- P. 133-142.

[26] Shabat G. B., Zvonkin A. K. Plane trees and algebraic numbers: Jerusalem Combinatorics'93 / Ed by H. Barcelo, G. Kalai // Contemp. Mathematics.-1994,- V. 178,- P. 233-275.

[27] Tutte W. T. A census of planar maps // Canad. J. Math. - 1963.- V. 15-P. 249-271.

[28] Tutte W. T. On the enumeration of planar maps // Bull. Amer. Math. Soc. - 1968,- V. 74,- P. 64-74.

[29] Giorgetti A., Walsh T. R, S. Efficient enumeration of rooted maps of a given orientable genus by number of vertices and faces. // Ars Mathematica Contemporanea. - 2014. - V. 7. - P. 263-280.

[30] Walsh T. R. S. Hypermaps versus bipartite maps //J. Combin. Theory Ser B. - 1975. - V. 18, №2,- P. 155-163.

КАРТЫ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ И ЯКОБИАНЫ ГРАФОВ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Дерягина Мадина Александровна

Подписано в печать 11.11.2013 г. Печать цифорвая. Бумага офсетная. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,0. Усл.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз.

Заказ №188

Отпечатано в типографии «Срочная полиграфия» ИП Малыгин Алексей Михайлович 630090, Новосибирск, пр-т Академика Лаврентьева, 6/1, оф.104 Тел. (383) 217-43-46, 8-913-922-19-07.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НОВОСИБИРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ»

КАРТЫ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ И ЯКОБИАНЫ ГРАФОВ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный

На правах рукописи

Дерягина Мадина Александровна

анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Медных Александр Дмитриевич

Новосибирск—2013

Содержание

Введение 4

1 КРУГОВЫЕ КАРТЫ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ 10

1.1 Основные определения............................................................10

1.2 Карты общего вида на языке фуксовых групп..................................14

1.3 Подсчет подгрупп в свободной группе ранга г..............................15

1.4 Общие теоремы ....................................................................18

1.5 Структура групп, униформизирующих карты общего вида..................20

1.6 Подсчет числа эпиморфизмов....................................................26

1.7 Перечисление подгрупп............................................................27

1.7.1 Подсчет числа положительных и отрицательных подгрупп без кручения ........................................................................28

1.7.2 Подсчет числа подгрупп с кручением....................................32

1.8 Число круговых карт с п ребрами ..............................................34

1.9 Метод нахождения уравнений и построения графиков плоских круговых карт..................................................................................36

2 КАРТЫ НА РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ И РАСКРАСКА В ДВА ЦВЕТА 39

2.1 О раскраске круговых карт в два цвета..........................................39

2.2 Двойственность. Связь двудольных и круговых карт..........................41

2.3 Гиперкарты. Теорема о числе гиперкарт с заданным числом ребер в независимости от рода поверхности ..................................................43

2.4 Теорема о числе гиперкарт самосопряженных относительно смены раскраски вершин............................................................................44

3 ЯКОБИАНЫ КОНЕЧНЫХ ГРАФОВ 47

3.1 Введение в терминологию..........................................................47

3.2 Предварительные сведения ......................................................49

3.3 Вычисление якобиана лестницы Мёбиуса........................................51

3.4 Вычисление якобиана призматического графа..................................57

4 О ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ НА ДИСКРЕТНОМ ТОРЕ 63

4.1 Постановка задачи..................................................................63

4.2 Решение задачи Дирихле для Тог2 ....................... 65

4.3 Решение задачи Дирихле для Тог3 ....................... 69

Список литературы 75

Приложение 80

Введение

Данная работа посвящена исследованию карт на римановых поверхностях и якобианов конечных графов.

Картой называется замкнутая риманова поверхность Б вместе с вложенным в нее графом С, таким, что б1 \ С представляет собой дизъюнктное объединение связных компонент, называемых гранями, каждая из которых гомеоморфна открытому диску. Вершины графа представляют собой различные точки на римановой поверхности, ребра — несамопересекающиеся кривые на римановой поверхности, не имеющие общих точек, отличных от вершин. Заметим, что мы рассматриваем только связные графы, так как для несвязного графа появляется "грань", не гомеоморфная диску.

Для карты, имеющей V вершин, Е ребер и Г граней, на римановой поверхности рода д выполнена формула Эйлера-Пуанкаре [23]:

У-£ + F = 2-2£.

Карты на римановой поверхности рода 0, будем называть плоскими.

Две карты £ и С на римановой поверхности 5 эквивалентны, если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм /г., переводящий в С. Указанный гомеоморфизм будем называть изоморфизмом карт.

Полуребрами графа С назовем ребра графа, полученного из С барицентрическим подразбиением. В этом случае, каждое ребро С состоит из двух полуребер. Валентность вершины — это число полуребер инцидентных ей. Ребро считается инцидентным грани, если оно является частью ее границы. Если "обе стороны" ребра принадлежат одной и той же грани, то такое ребро называется перешейком. Считаем, что перешеек инцидентен соответствующей грани дважды. Валентность грани — число инцидентных этой грани ребер.

Карта называется корневой, если одно из ее полуребер рассматривается как корень (то есть отмечено). Изоморфизм между корневыми картами переводит корень в корень.

Систематическое исследование карт было начато в работах Татта в 1960-е годы, в них был заложен фундамент теории карт с точки зрения топологии и

комбинаторики. Поставленная им проблема о подсчете числа неэквивалентных карт с заданным числом ребер на римановой поверхности заданного рода [47] стала уже классической в рамках данной теории. Для решения этой проблемы Таттом были введены корневые карты. Корневые карты могут быть подсчитаны без учета автоморфизмов, так как только тривиальный автоморфизм сохраняет корень [48]. Решение корневой версии проблемы для карт с Е ребрами на римановой поверхности рода д = 0 получено Таттом [47] и выражается следующей формулой:

_ 2 х 3£ х (2-Е)! ЩЕ) ~ ЕЦЕ + 2)! '

Явная формула для числа корневых карт с Е ребрами на торе (д — 1) была получена Д. Арком [13] :

Е (Е

к

Мг{Е) = 2Е~3~к(3Е~1 - Зк) (Е + ^

к=О

В работе [17] Бендером и Кенфилдом получены производящие функции для числа корневых карт с Е ребрами на поверхности рода д~2ид = З.В [49] Т. Уолшем и А. Гиоргетти подсчитаны корневые карты с Е ребрами на поверхности рода д = 4, д = 5ид = 6.

В. А. Лисковцом получена формула для подсчета плоских некорневых карт с заданным числом ребер [38].

В работе [11] А. Д. Медных предложен новый метод вычисления числа классов сопряженных подгрупп в произвольной конечно порожденной группе. Приложением этого метода является полное решение проблемы Татта для карт с заданным числом ребер на поверхности заданного рода [40]. С помощью этого метода также получена новая формула для числа пар близнецов (карт, между которыми существует меняющий ориентацию гомеоморфизм, но не существует сохраняющего ориентацию) с заданным числом ребер [20].

В главе 1 диссертации будет введено понятие круговых карт, а также, с помощью указанного метода, будет найдена явная формула для числа круговых карт с заданным числом ребер в независимости от рода поверхности.

В своей знаменитой программе [26] А. Гротендик связал исследование карт со многими задачами комплексного анализа, комбинаторной теории, теории чисел и теории фуксовых групп. Важным аспектом этой теории является теорема Г. Белого, устанавливающая связь между римановыми поверхностями, определенными над и мероморфными функциями, имеющими три критических значения [2]. Указанные функции называют функциями Белого. Вычислению этих функций посвящены работы Г. Б. Шабата, А. Звонкина и других авторов ([46], [1], [3]).

В главе 2 диссертации будет доказана эквивалентность круговых карт и карт, допускающих раскраску граней в два цвета таким образом, чтобы каждое ребро разграничивало два разных цвета. Простым следствием этой эквивалентности и утверждений из главы 1 будет являться факт, что любая плоская карта допускает раскраску граней в два цвета тогда и только тогда, когда валентности всех ее вершин четные. Для римановых поверхностей большего рода, это вообще говоря не верно. Через понятие двойственности карт будет продемонстрирована связь между двудольными и круговыми картами, получена формула для подсчета двудольных карт с заданным числом ребер в независимости от рода поверхности. Отметим, что число двудольных карт с заданным число ребер на поверхности рода д = 0 ранее получено В. А. Лисковцом в [37].

Гиперкартой будем называть карту, вершины которой раскрашены в два цвета таким образом, что каждое ребро соединяет вершины двух разных цветов. Другие определения гиперкарты и их эквивалентность данному можно посмотреть, например, в работе Т. Уолша [50]. В ней также подсчитано число плоских корневых гиперкарт с заданным числом ребер. Д. Арком получена формула для числа корневых гиперкарт с заданным числом ребер на поверхности рода д = 1 [12]. А. Д. Медных и Р. Неделя предложена формула для подсчета гииеркарт с заданным числом ребер на римановой поверхности заданного рода [41]. В главе 2 будет доказана теорема о числе гиперкарт самосопряженных относительно смены раскраски вершин с заданным числом ребер в независимости от рода римановой поверхности. Для рода д — 0 этот результат получен в работе [37].

В последние десятилетия появилось множество работ, посвященных дискретным версиям теории римановых поверхностей ([14], [15], [16]). Роль ри-мановых поверхностей в этой теории отводится конечным графам. Для них доказаны аналоги теорем Римана-Гурвица и Римана-Роха. А также построена теория якобианов. Понятие группы Пикара для графа (которую также называют якобианом или критической группой) было независимо введено многими авторами ([14], [15], [18], [22]). Она является важным алгебраическим инвариантом конечного графа. В частности, ее порядок совпадает с числом порождающих деревьев графа. Последнее число хорошо известно для некоторых простейших семейств графов, таких как колесо, веер, призма, лестница и лестница Мебиуса [19]. В то же время, структура группы Пикара известна только в некоторых случаях (см. [24], [34], [45]).

Следуя Бейкеру и Норину [15], определим якобиан (или группу Пикара) графа следующим образом.

Рассмотрим конечный, связный граф С, допускающий кратные ребра, но не имеющий петель. Пусть У {С) и Е{С1) — это множества вершин и ребер С, соответственно. Обозначим через 1)гг?(С) свободную абелеву группу на У {С). Элементы £)гг>(6г) являются целочисленными линейными комбинациями элементов У{(3), то есть для любого Б 6 /}п?(С) существует единственное представление Б = В(х)(х), 0{х) £ Z. По анало-

гии с теорией римановых поверхностей, элементы Игу (О) будем называть дивизорами на графе С. Определим степень элемента £) следующей формулой ¿ед{Б) = ^2хеУ(С) Обозначим через Им0^) подгруппу группы .Огг^С?), состоящую из дивизоров нулевой степени.

Пусть / — Ж—значная функция на У(С). Определим дивизор / по следующей формуле

<м/)= Е Е №)-/ш*)-

хеУ{в) хуеЕ(С)

Дивизор б/гг>(/) естественным образом может быть отождествлен с оператором Лапласа функции / на графе (7. Дивизоры вида с?гг>(/), где / — Z—значная функция на У (С), называются главными дивизорами. Обозначим через Ргт(С) группу главных дивизоров на С. Нетрудно заметить, что

каждый главный дивизор имеет степень 0, поэтому группа Рггп{С1) является подгруппой группы

Определим группу Jac(G), называемую якобианом (или группой Пикара) графа С, как фактор-группу

Зас(С) = ту°{С)/РНп(С).

По теореме Кирхгофа [33], группа Jac{G) является конечной абелевой группой порядка где Ьд — число порождающих деревьев графа С. Более того, любая конечная абелева группа является якобианом некоторого графа.

Целью главы 3 будет найти структуры якобианов лестницы Мебиуса Мп и призматического графа Ргп. Отметим, что новыми методами получен ранее известный результат, при этом использование этого метода позволило связать результат с полиномами Чебышева и, как следствие, получить ранее неизвестные связи между структурами якобианов рассматриваемых графов.

В главе 4 мы рассмотрим функции на графе Сп х Сп, представляющем из себя дискретный тор и изучим строение якобиана данного графа. Будут изучены гармонические функции на дискретном торе и их поднятия на универсальную накрывающую Ъ х Ъ. Такие функции решают задачу Дирихле на дискретном квадрате с попарно отождествленными противоположными сторонами. Анализ полученных решений позволяет построить пример неединственности решения задачи Дирихле для дискретного оператора Лапласа в классе функций, принимающих значения в конечной абелевой группе. Это не противоречит классическому принципу максимума для гармонических функций, поскольку конечная абелева группа не может быть упорядочена.

В Приложении к диссертации можно найти уравнения и графики некоторых плоских круговых карт, метод построения которых описан в соответствующей параграфе главы 1.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих российских и международных конференциях: летних школах по геометрическому анализу (г. Горно-Алтайск, 2009 г., 2 -8 августа 2010 г., 13-19 августа 2011 г.); Российской конференции, посвященной 80-летию со дня рождения В. А. Топоногова (6 марта 2010 год, Новосибирск); ХЬУШ Междуна-

родной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2010 г.); XLIX Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2011 г.); Международной школе-конференции по геометрии и анализу (г. Кемерово, 19 - 26 июня 2011 г.); Десятой Казанской летней школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы - 2011»(г. Казань, 30 июня - 7 июля 2011 г); XV International Conference on Geometry, Integrability and Quantization ( June 7 - 12, 2013, Varna (Bulgaria)); Международной конференции «Дни геометрии в Новосибирске, 2013» (г. Новосибирск, 28-31 августа 2013 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [4], [5], [6], [7], [8], [9], [25], [42], [43].

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору А. Д. Медных за постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку. Автор выражает благодарность профессору В. А. Лисков-цу, профессору Р. Неделя, С. Г. Басалаеву за полезные обсуждения полученных результатов. А также благодарит свою семью: мать, Н. С. Зиндинову, и мужа, Д. Г. Дерягина,— за их неоценимую поддержку на протяжении всей работы над диссертацией.

1 КРУГОВЫЕ КАРТЫ НА РИМАНОВЫХ

ПОВЕРХНОСТЯХ

Систематическое исследование карт (dessins d'enfants) было начато в работах Татта в 1960-е годы и до сих пор активно развивается современными авторами. В данной главе мы введем понятие круговой карты, получим аналитическую формула для числа круговых карт с заданным числом ребер, а также опишем метод нахождения уравнений и построения графиков плоских круговых карт.

1.1 Основные определения

Определение 1. Картой (S, G) называется замкнутая риманова поверхность S вместе с вложенным в нее графом G, таким, что S\G представляет собой дизъюнктное объединение связных компонент, называемых гранями, каждая из которых гомеоморфна открытому диску.

Определение 2. Две карты (S, G) и (Si, G\) называются эквивалентными, если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм h : S —> Si такой, что h(G) = Gi.

Полный список карт с числом ребер, не превосходящим пять, и иллюстрации к ним можно найти в [30].

Определение 3. Пусть X и Y линейные связные топологические пространства. Пусть / : X —> Y некоторое непрерывное отображение. Тройка (X, У, /) называется накрытием, если для любого у 6 Y существует окрестность V такая, что полный прообраз представляется в виде

r\v) = Un

f "Ъ

дизъюнктного объединения открытых в X множеств таких, что f\y : Vç —> V является гомеоморфизмом.

Определение 4. Пусть X компактное ориентируемое двумерное многообразие, a S0 двумерная сфера. Непрерывное отображение / : X —> S0 называется разветвленным накрытием, если существует конечное множество

в = {2/1,2/2, • • • ,Ук} с 5о такое, что ¡\Х\/-^в) • Х\/ 1(В) -> 50\Б является накрытием. Минимальное множество В, удовлетворяющее указанному выше свойству, называется множеством ветвления /.

Определение 5. Элементарной круговой картой (50, С0) будем называть карту на сфере 50, имеющую 1 ребро, 1 вершину и 2 грани (внутреннюю и внешнюю).

Определение 6. Круговой картой будем называть карту, накрывающую элементарную круговую карту. Другими словами, (5, С) — круговая карта, если существует разветвленное накрытие / : (5, С?) —> (S0, С0), допускающее ветвление только над центрами граней и вершиной С0, и такое, что /(С) =

Со-

Пример 1.1. Следующие плоские карты являются круговыми.

Следуя [36] (стр. 42), введем понятие гиперкарты.

Определение 7. Гиперкартой называется карта, вершины которой раскрашены в черный и белый цвета так, что каждое ребро соединяет вершины противоположных цветов.

Рассмотрим произвольную карту. Выполним следующую операцию разбиения ребер: к уже имеющимся вершинам, которые мы покрасим белым цветом, добавим новые, черные вершины, по одной в середину каждого ребра. Таким образом, любую карту можно рассматривать как гиперкарту, где

Рисунок 1 — Элементарная круговая карта

Рисунок 2 — Круговые карты

белые вершины — вершины, а черные — середины ребер исходной карты, с одним лишь ограничением, что валентности черных вершин одинаковы и равны 2. При этом, ребро исходной карты состоит из двух ребер гиперкарты, которые будем называть полуребрами исходной карты.

Определение 8. Предположим теперь, что помимо ребер карта может иметь висячие полуребра, т.е. у соответствующей ей гиперкарты валентности черных вершин могут быть равны 1, а не только 2, как ранее. Полученный таким образом объект назовем картой общего вида. При этом белые вершины этой гиперкарты будем называть вершинами карты общего вида, а черные — серединами ребер карты общего вида (даже если полуребро висячее).

Замечание 1. Любую карту можно рассматривать как карту общего вида, полагая количество висячих полуребер равным нулю.

Определ