Геометрические методы в теории случайных полиномов

Запорожец, Дмитрий Николаевич

Геометрические методы в теории случайных полиномов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Запорожец, Дмитрий Николаевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Геометрические методы в теории случайных полиномов»

Автореферат диссертации на тему "Геометрические методы в теории случайных полиномов"

На правах рукописи

ЗАПОРОЖЕЦ Дмитрий Николаевич

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛИНОМОВ

01.01.05- теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2005

Работа выполнена в лаборатории статистических методов Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А. Стеклова РАН.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ академик

И. А. ИБРАГИМОВ

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ

доктор физико-математических наук, профессор А.В. БУЛИНСКИЙ

доктор физико-математических наук, профессор М.А. ЛИФШИЦ

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет.

Защита диссертации состоится "ЛУ «умДмл 2005 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 002.20^.01 в Санкт-Петербургском отделении Математического института имени В.А. Стеклова РАН по адресу 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, к. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института имени В.А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан " Ч " г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

А.Ю. Зайцев

22Ид2/

Л1осв

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Рассмотрим случайный вещественный полином одной переменной

<?„(*) = $> + &* + •••+ ^п-!«"-1 + (1)

ГДР некоторые случайные величины, которые в этом параграфе

мы будем считать независимыми, одинаково распределенными и невырожденными. Обозначим через Мп С С1 множество всех корней полинома. Для произвольного множества А обозначим через Ао(Л) число элементов в А. Так, Ао(М„ П И1) означает число вещественных корней полинома, Ао(М„ П [а, 6)) означает число вещественных корней в промежутке [а, Ь], а Хо(М„ П СТ) — число корней, лежащих в некотором подмножестве О комплексной плоскости

С1.

Вещественные корни. Блох и Пойа [21] первыми по существу рассмотрели задачу о вещественных корнях случайных полиномов. Они получили оценку

Е\>(АГ„ Л К1) - 0{</п), п-юо

для случая, когда = —1} = Р{£, = 0} = Р{£, = 1} = Их исследования продолжили Литтлвуд и Оффорд [27, 28, 29], которые для нормально распределенных, равномерно распределенных на [—1,1] и равномерно распределенных на {—1,1} величин ^ доказали соотношение

(кщкк")2 ^ ЕА<>(М„ЛК1) < гбОодп)2 + 12к«п, п € N.

Первый асимптотически точный результат был получен Кацем для нормальных [25] и равномерно распределенных [26] случайных величин:

ЕАо(Мп П К1) = - к^п(1 + о(1)), п —оо. (2)

Впоследствии И. А. Ибрагимов и Н.Б. Маслова [6,7] обобщили данную формулу на класс случайных величин, распределение которых принадлежит области притяжения нормального закона^ ^гагр^^^^дй^нулевым средним

библиотека |

1 ¿"-ая&з!

выполнено соотношение

Е{Ао (Мп Л R^IGnW Ф 0} = | b)g n(l + о(1)), » -> оо,

для распределений с ненулевым средним половина корней "исчезает":

Е{Ао(М„ n R^IG^i) ^0} = ilogn(l + ф)), п - оо.

Примерно в это же время Логан и Шепп [30, 31] показали, что для случайных величин с характеристической функцией распределения е~КГ(о < а < 2) справедливо асимптотическое равенство

ЕАо(М„ П R1) = са logn(l + о(1)), п —► оо,

причем константа са была ими явно выписана. Эта оценка была распространена И.А. Ибрагимовым и Н.Б. Масловой [8] на класс распределений, принадлежащих области притяжения устойчивого закона.

Из личной беседы с И.А. Ибрагимовым автору стало известно, что среди специалистов в данной области существует гипотеза о том, что для любого невырожденного распределения коэффициентов существуют такие константы с\, С2, что справедливо следующее неравенство:

Cjlogn^BAoiMnnR1) <calogn, п € N.

Пример, построенный в диссертации, опровергает данную гипотезу.

Комплексные корни. Первый результат в изучении поведения среднего числа корней в комлексной области получил Хаммерсли [23]. Он вывел точную формулу для ЕЛо(М„ П {|г| < г}) в случае нормально распределенных коэффициентов (случай произвольного совместного распределения коэффициентов, имеющего плотность, рассмотрен в диссертационной работе).

Вскоре после этого Д.И. Шпаро и М.Г. Шур [19] доказали предельную теорему, формулируемую следующим образом. Пусть е > 0 и т € Z+. Рас-

смотрин монотонно неубывающую функцию

1+е

log+log+...k)g+í

т+1

niog+k)g+...log+¿

Ы1 к

где log+ а = max(l, log а). Пусть выполнено неравество

Е/(Ю1)<оо

(которое заведомо верно, если < оо для некоторого a > 0). Тогда для любого S > 0 и любых а, /?, подчиненных неравенствам 0 < а < (3 < 2тг, выполнены соотношения

íao(m„n{l-¿íí|zkl + ¿})-^l, ti —► оо, п

—\¡{Mn П {а < arg z < 0}) ^г—, п-» оо,

n Z7T

т.е. при довольно слабых ограничениях на коэффициенты случайного полинома с ростом степени почти все его корни "равномерно концентрируют-ся"около единичной окружности.

Шепп и Вандербей [32] показали, что в гауссовском случае для любого 0 < 8 < оо выполнено соотношение

-ЕАо(Мп П {e-i < \z\ < е«}) —* _ i, n-*oc,

7Ь i ~ б в

которое И.А. Ибрагимов и Зейтуни [24] обобщили на класс распределений, принадлежащих области притяжения устойчивого закона с показателем а:

1 1 I р-са о

¿ЕАо(Л4 П {e-i < \z\ _ _£,

Построенный в диссертации пример случайного полинома показывает, что помимо " концентрации "корней около единичной окружности комплексной плоскости в их поведении может наблюдаться совершенно иная картина.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Асимптотическую формулу (2) в случае стандартных гауссовских коэффициентов Кац получил, доказав следующее равенство:

В1995 году Э.Костлан и А.Эдельман [22] нашли изящный геометрический вывод этой формулы, который является в представлении автора весьма важным, т.к. указывает на то, что задачи, связанные со случайными полиномами, можно исследовать с помощью геометрических методов. Такому исследованию посвящена диссертация.

МЕТОДЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ. Для доказательства теорем и преобразований полученных формул к более удобному виду использовались следующие методы:

- различные методы интегральной геометрии;

- метод характеристических функций, позволяющий привести различные математические ожидания, встречающиеся в работе, к другому виду.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. К наиболее существенным положениям диссертационной работы можно отнести следующие:

- построен пример случайного полинома степени п с независимыми одинаково распределенными невырожденными коэффициентами, имеющего в среднем менее 9 вещественных корней при всех п;

- найдено распределение числа вещественных корней случайного полинома, коэффициенты которого имеют произвольную совместную плотность распределения;

- получена формула для вычисления среднего числа комплексных корней случайного полинома, лежащих в некоторой области комплексной плоскости;

- получена формула для вычисления средней площади случайной многомерной алгебраической поверхности;

- вычислено среднее количество нулей градиента случайного полинома от нескольких переменных.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. В диссертационной работе получены различные формулы, описывающие поведение нулей случайных полиномов одной и нескольких переменных. Также приведен пример, опровергающий существовавшую ранее гипотезу в данной области исследования.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. О результатах исследований докладывалось на конференциях "X Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам" (Сочи 2003), "International Conference on Analytical Methods in Number Theory, Probability Theory and Mathematical Statistics" (Санкт-Петербург 2005), на семинарах по теории вероятностей в Геттингенском университете (2003) и в ПОМИ РАН (2003,2005), а также на Петербургском топологическом семинаре в ПОМИ РАН (2005).

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано четыре работы, а также имеются две публикации в тезисах конференций. Список публикаций приведен в конце автореферата.

ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения и двух глав и занимает 84 страницы. Библиография содержит 33 наименования отечественных и зарубежных авторов.

БЛАГОДАРНОСТИ. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю И.А. Ибрагимову за постановку задач, а также за многочисленные обсуждения и советы, касающиеся практически всех сторон диссертации. Также автор благодарен людям, чьи советы помогли ему в процессе написания работы: М.И. Гордину, А.Ю. Зайцеву, А.И. Назарову. Автор очень признателен A.B. Булинскому, В.А. Егорову и М.А. Лифшицу за то, что они любезно согласились прочесть диссертацию.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность темы исследования, вводятся обозначения и дается краткий обзор полученных результатов.

Введем необходимые обозначения.

Через Хк(А) мы обозначаем меру Лебега множества А при к > 1 и количество его элементов при к = 0.

Символом I* мы будем обозначать единичную матрица размера к х к, а О* — матрицу, состоящую из одних нулей, размера к х к.

Через £■(; обозначается мультииндекс, у которого на к-м месте стоит единица, а на остальных—нули.

Через х(-А) мы будем обозначать индикатор множества А.

Если М является матрицей, то результат ее транспонирования будет обозначаться через М2.

Также нам понадобятся обозначения для элементарных симметрических многочленов

00(1/1, • ••>!/») = 1>

01(1/1, • • - ,!*») = 1/1 + • ■ • +Уп, оч(Ш, • • • .№») = У1У2 +' • • + Уп-1Уп, <73(1/1, ■■■,Уп)~ утш + • • • + уп-^уп-гуп, • * ♦ )

оп-г(ш, ■••>«!»)= ут ■ • -Уп-1 + • • • + у2уз • • -У», <гп{Уъ---,Уп) =У1У2--Уп

и для определителя Вандермонда

А(У1,...,Уп)= П \Vi~Vj\-

Везде в работе используются обозначения и правила внешнего исчисления дифференциальных форм. Ознакомиться с ними можно, например, в книге А.Картана [10].

Первая часть работы имеет дело с полиномами от одной переменной.

Параграф 1.1. начинается с примера, взятого из книги Л. Сантало [13,

стр. 3]. В нем рассматривается множество плоских прямых, на котором задается некоторая плотность (дифференциальная форма). Путем интегрирования этой плотности на множестве прямых определяется мера, которая позволяет ввести понятие случайной прямой. После этого введенная плотность рассматривается в различных координатах, что позволяет вычислить среднее число точек пересечения случайной прямой с некоторой фиксированной кривой.

Похожая конструкция используется в большинстве дальнейших рассуждений. Во второй части параграфа она применяется к случайным полиномам (по аналогии со случайными прямыми), в результате чего выводится формула для среднего числа вещественных корней случайного полинома, коэффициенты которого имеют произвольную совместную плотность распределения: Теорема 1. Пусть дан полином

со случайными вещественными коэффициентами имеющими

совместную плотность распределения р(ао,а1,... ,Оп)- Тогда среднее число вещественных корней £?„(£), лежащих на отрезке \а,0], дается следующей формулой:

В качестве следствия из теоремы приводится равномерная оценка сверху для среднего числа вещественных корней, лежащих в произвольном фиксированном множестве, отделимом от {—1,1}:

Следствие 1. Пусть случайные величины •-•!&»•• • независимы и имеют плотности распределения ро,ри • ■ • >Рп> • • • соответственно. Если верно

х |в1 Н----+ па„1?~1\<1а1...с1ап.

вир рДа) < оо, вир Е < оо,

тогда для любого замкнутого множества F, не содержащего {—1; 1}, выполнено

Е Ао(М„ П F) = 0(1), га —юо.

Далее полученная формула приводится к другому виду с помощью аппаг рата характеристических функций:

Следствие 2. Пусть случайные величины |0, ... ,£п независимы и имеют характеристические функции /о, /i,..., /п соответственно, причем /0 € L\{R1). Тогда справедлива формула

гР

¿С,

х Г ¡йш^-Ш^+м*'1)

*/~00 Ь=0 ¿=0

где интегрирование по <¿7? понимается в смысле главного значения.

После этого из нее в качестве примера выводится формула для среднего числа вещественных корней в случае стандартного устойчивого закона с параметром 6 € (0,2]:

Следствие 3. Случайный полиномом, коэффициенты которого независимы и распределены по стандартному устойчивому закону с параметром 5, имеет следующее среднее число вещественных корней на отрезке [о, Ь]:

^"[«.»-¿/'иГ [ЦВ'+л'^')

+ Ь* - Л'И*)-21с« ^"¿>1")] <Ь.

Случаи <5 = 1 (распределение Коши) и 6 = 2 (нормальное распределение) рассматриваются отдельно.

В параграфе 1.2. вещественные корни случайного полинома рассматриваются как случайное точечное поле. Находится его корреляционная функция:

Теорема 2. Пусть дан полином

<?»(*) + + б,-!*"-1 +

со случайными вещественными коэффициентами £<>,£1, • ■ • имеющими совместную плотность распределения р(ао,в1,... ,йп). Случайное поле, порожденное вещественными корнями полинома (7„, имеет следующую корреляционную функцию:

Рк{8 П й~71

1 I8'

Г *

к+1,

где

П = -

1 81 ... «1"

-Л"1

1 8к ... ^

* /

4 ...

X = (®1, • • •, ^п-к+х)1 = (о*, а«:+1,.. •, Оп)1,

В качестве следствия рассматривается случай нормального распределения, который был исследован П. Блехером и К. Ди [20].

В параграфе 1.3. решается вопрос о нахождении распределения числа вещественных корней: Теорема 3. Пусть дан полином

<?»(<) = £о + 6* + • • • + ¿»-I*"'1 +

со случайными вещественными коэффициентами ■ ■ ■ имеющими совместную плотность распределения р(ао, а\,..., Оп). Число вещественных

корней Оп распределено следующим образом:

Р{Ло(М„ п*) — п — 2к} — -<И

ХГ1-..Г* / йа1...док I р(<иго,<ю\,...,аа„)|опД|ёа,

./¡о,*)* л»

где

(У, = «Ы^ь • • • >««-2*, Пе*"1, г^,..., гке'ак,гке-™к), Д = А(хи..., «.и-ж.г^.пе-**, • •

к меняется в пределах от 0 до [§].

В параграфе 1.4. выводится формула для среднего числа комплексных корней, лежащих в некоторой области комплексной плоскости: Теорема 4. Пусть дан полином

со случайными вещественными коэффициентами £о> • • • > £«> имеющими совместную плотность распределения р(оо,01,... ,а„). Пусть П —область комплексной плоскости, лежащая строго выше вещественной прямой. Справедливо следующее равенство:

ЕЛо(М.ПП)= /сЬ-с1а-^- [ ¿аг-.-скп Л, япа У«.-1

хр"1)01 "¿Еа'г<"2®п^а2'- • (3)

Следствие. Пусть величины • • • ,£п независимы и имеют характеристические функции /0,/х,...,/„ соответственно, причем /о,Д € ^(К1)- Если

■..,£„ имеют конечные вторые моменты, тогда выполнено Б Шп П П) = ^ ¡Я1ШШ П + И")

А 1"(рЛ + <ил) , ЯЬчС+мЖЫ+ям)

и4 Ш + т) +яМЫ+ад)

<Кйп,

где

вшО;-!)«

8Ш£К 8Ша

Су = 0'28Ш20' - 1)а + и -

вш(; - 1)а(к — \)бткат^+к~2.

В параграфе 1.5. построен пример случайного полинома степени и с независимыми одинаково распределенными коэффициентами, имеющего в среднем менее 9 вещественных корней при всех и. Что касается его комплексных корней, то в среднем | + О из них них концентрируется около нуля и столько же уходит на бесконечность при п —> оо:

Теорема 5. Для любой последовательности положительных чисел е„ —► 0 существует такая последовательность независимых одинаково распределенных невырожденных случайных величин £о, €ь • •->£»>••- > что Для корней случайного полинома выполняются следующие оценки:

ЕЛо(Мп П К1) < 9, п€Г*, (а)

ЕЛо(М,П{И<еп}) = ЕЛо(МпП{И>1}) = 2 + о(1), п-оо. (Ъ)

Во второй части рассматриваются полиномы от нескольких переменных, а также системы полиномов.

В параграфе 2.1. вычисляется средняя площадь случайной алгебраической поверхности, порожденной нулями случайного полинома от й переменных, пересеченной с произвольным фиксированным ограниченным измеримым множеством:

Теорема 6. Пусть дан полином

со случайными вещественными коэффициентами £«>,..,о» £<о, д» • • •, £(„, .,„), имеющими совместную плотность распределенияр(Я(0 щ, Д(0 ...,

^„...„^.Суммирование ведется по всем а, для которых выполнено 0 < а, < п при г — 1,..., <2. Рассмотрим алгебраическую поверхность М„, задаваемую уравнением

Мп — {х\ 0„(х) — 0},

и произвольное ограниченное измеримое множество Я. Верна следующая формула:

х Р I - а(0г ,1)> • - - > а(»г .»> I ..!>■•• .,«)•

\ о#(0,...,0) )

Далее полученная формула приводится к другому виду с помощью аппарата характеристических функций:

Следствие 2. Пусть случайные величины £(0, ,0),£(о, .ц» • • • > . ,»> независимы и имеют характеристические функции /(0>,. ,0), /(0, .д>,..., /(п„ ,п) соответственно, причем /(о,..,о) 6 1/1(Е1). Тогда справедлива формула

х Г1П ~ П +Е

I « О ¿=1

<к,

где интегрирование по <1т] понимается в смысле главного значения.

Отдельно рассматривается случай нормального распределения: выводится формула, ранее полученная И.А. Ибрагимовым и С.С. Подкорытовым [9].

Параграф 2.2. развивает идею предыдущего параграфа и по аналогии с нулевой поверхностью полинома рассматривается множество нулей его градиента и находится среднее число элементов в нем: Теорема 7. Пусть дан полином

со случайными вещественными коэффициентами£«,,. ,0), £<о, „и, • • •) ,„>, имеющими совместную плотность распределения р(о(0,.,о>,.,«) • • •, «(а.....„>)• Тогда среднее число нулей градиента полинома (Зп, лежащих в некотором измеримом множестве О, вычисляется по следующей формуле:

ЕХо(М'п П П)

= / ¿.уг-.-йуц /

№ Ы<

[п+1У>-6

<1е1

* р I ^...о), - «х««^1 > • • • > ~ а<1а°лр~гл' • ••.«(»,...)) П

\ <Ч*«1 «Ч^Л / «М- 4

В параграфе 2.3. находится, сколько точек содержит в среднем случайное векторное поле, порожденное системой из Л полиномов от (I переменных: Теорема 8. Рассмотрим случайное векторное поле У{х) = (С1П(х),..., (?а„(х)), задаваемое системой из 4 полиномов

Оы(х) = ЕаЬ«**

коэффициенты которых являются случайными величинами с совместной плотностью распределения

Р( 01(0,.. #), О1(0,...д)> • • • 1 Оц,,, ,„),

Яцо.. ,0), °3(0,. ,1)! • • • , "^(п,- ,п)1

°л(о,..,1))) О*(о„..,1)) • - -1____»))•

Тогда среднее число нулей случайного поля V, лежащих в области О, дается следующей формулой:

ЕХо(М„ПП)= [<кг...Ли I Ье* ( У" )

... у

- Е О-ЛаХ?11 — 1 аЦп,„.,п) I • • ■ ¿Оц»,...,»)

<чЧ0,. ,0) /

.....1> • • • &1цп„ ,»)•

Параграф 2.4. обобщает результаты второй части. В нем рассматривается система из /г случайных функций от й переменных, где к < с!. Находятся достаточные условия, при которых данная система будет невырожденной, и находится средний объем подмногообразия размерности ¿—Л, порожденного этой системой:

Теорема 9. Рассмотрим п произвольных вещественных функций от 4 переменных /](х),..., /„(ж), где х — (х\,..., х&) — точка в Пусть даны случайные величины

£иь •••>

6ъ &п>

• .. ,

Ы, &1, •••)

имеющие совместную плотность распределения

р(ою, ац, ..., ei«, О20, 021, ва»,

«кО, üw» ..., Ofcn)-Построим систему из А; уравнений:

6o + E3U = О,

(4)

Обозначим через М множество ее нулей. Пусть задано некоторое открытое ограниченное множество П в Я?.

Рассмотрим матрицы частных производных

а/

р1 = рП.1.- .дг

( В;

а/, N

F2 = .D / h'--'fk } =

(Хк+1 ,...,Xd)

Предположим, что выполнено 3 условия: (/) n, d > fc;

(Л)/!(*),...,/„(*) 6 СЧЙ);

(77/) Матрица Fi невырождена почти во всех точках П.

Тогда почти наверное Д/ является подмногообразием размерности d — к

и верна следующая формула:

Е{А4,к(МП(1)} с1х4 [

Уп У»*

X (Р^Аг[АР1Р<(А1']-1АР2^Ь~к)

хр(~«п, «1п, ~«¡у/^^), «21, •••» "2»)

аки

сцеп) <1а\1 .. <¿021 ..

■ (¡Лцп

¿ак!

где

А»

Оц

0*1

аы

При й — к данную формулу надо понимать в том смысле, что подынтегральный множитель <1еЙ (^А^АР^А^-ШЪ + V*) отсутствует.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Д.Н. Запорожец, И.А. Ибрагимов, О случайной алгебраической поверхности, ОПиПМ, Тезисы докладов, 10(2003), 650.

2. Д.Н. Запорожец, О распределении числа вещественных корней случайного полинома, Записки научных семинаров ПОМЙ, 320(2004), 74-85.

3. Д.Н. Запорожец, О вычислении среднего объема случайных многообразий, Записки научных семинаров ПОМИ, 311(2004), 133-146.

4. Д.Н. Запорожец, Случайные полиномы и геометрическая вероятность, ДАН, 400(2005), 299-303.

5. Д.Н. Запорожец, Пример случайного полинома с необычным поведением корней, Теория вероятн. и ее примен., 50(2005), 549-555.

6. D. Zaporozhets, On random polynomial with curious distribution of the roots, International Conference on Analytical Methods in Number Theory, Probability Theory and Mathematical Statistics, Abstract of Communications (2005), 99-100.

Литература

1. Д.Н. Запорожец, Й.А. Ибрагимов, О случайной алгебраической поверхности, ОПиПМ, Тезисы докладов, 10(2003), 650.

2. Д.Н. Запорожец, О распределении числа вещественных корней случайного полинома, Записки научных семинаров ПОМИ, 320(2004), 74-85.

4. Д.Н. Запорожец, Случайные полиномы и геометрическая вероятность, ДАН, 400(2005), 299-303.

6. И.А. Ибрагимов, Н.Б. Маслова, О среднем числе вещественных нулей случайных полиномов, Теория вероятн. и ее примен., 2(1971), 229-248.

7. И.А. Ибрагимов, Н.Б. Маслова, О среднем числе вещественных нулей случайных полиномов I, Теория вероятн. и ее примен., 3(1971), 495-503.

8. И.А. Ибрагимов, Н.Б. Маслова, О среднем числе вещественных нулей случайных полиномов, ДАН СССР 199(1971), 1004-1008.

9. И.А. Ибрагимов, С.С. Подкорытов,0 случайных вещественных алгебраг ических поверхностях, ДАН, 343(1995), 734-736.

10. А. Картан, Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы, Мир, М.(1971).

И. М. Кац, Вероятность и смежные вопросы в физике, Мир, М.(1965).

12. Г. Крамер, Математические методы статистики, Мир, М.(1975).

13. Л. Сантало, Интегральная геометрия и геометрические вероятности, Наг ука, М.(1983).

14. А. Сошников, Детерминированные случайные поля, УМН, 55(2000), 108— 160.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

Г. Стренг, Линейная алгебра и ее применения, Мир, М.(1980). Д.К. Фадеев, Лекции по алгебре, Лань, СПб.(2002). В. Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения, Мир, М.(1984), Т.2.

Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, ФИЗМАТЛИТ, М.(2002), Т.1.

Д.И. Шпаро, М.Г. Шур, О распределении корней случайных многочленов, Вести. Моск. Унив., 3(1962), 40-43.

Р, Bleher, X. Di, Correlations between zeros of a random polynomial, Journ. Statist. Phys., 88(1997,269-305.)

A. Bloch, G. P6lya, On the roots of certain algebraic equations, Proc. London Math. Soc., 33(1932), 102-114.

A. Edelman, E. Kostlan, How many zeros of a random polynomial are real? Bull. AMS 32(1995), 1-37.

J.M. Hammersley, The zeroes of a random polynomial, Proc. Third Berkeley Symposium on Probability and Statistics, 2(1956), 89-111. I. Ibragimov, O. Zeitouni, On roots of random polynomials, Trans. AMS, 349(1997), 2427-2441.

M. Kac, On the number of real roots of a random algebraic equation, Bull. AMS, 49(1943), 314-320.

M. Kac, On the number of real roots of a random algebraic equation, Proc. London Math. Soc., 50(1948), 390-Ш8.

J.E. Littlewood, A.C. Offord, On the number of real roots of a random

algebraic equation I, J.London Math.Soc., 13 (1938), 288-295.

J.E. Littlewood, A.C. Offord, On the number of real roots of a random

algebraic equation II, Proc.Cambr.Phil.Soc., 35 (1939), 133-148.

J.E. Littlewood, A.C. Offord, On the number of real roots of a random

algebraic equation III, Матем.сб., 12, 3 (1943), 277-286.

30. B.P. Logan, L.A. Shepp, Real zeros of random polynomials Proc. London Math. Soc. 18(1968), 29-35.

31. B.F. Logan, L.A. Shepp, Real zeros of random polynomials. II Proc. London Math. Soc. 18(1968), 30&-314.

32. L. Shepp, R.J. Vanderbei, The complex zeros of random polynomials, Trans. AMS, 347(1995), 4365-4383.

33. D. Zaporozhets, On random polynomial with curious distribution of the roots, International Conference on Analytical Methods in Number Theory, Probability Theory and Mathematical Statistics, Abstract of Communications (2005), 99-100.

Подписано в печать 3.11.2005. Формат 60x84/16 Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии ЗАО «КопиСервис». Печать ризографическая. Заказ №1/311. П. л. 1.25. Уч.-изд. л. 1.25. ТЬраж 100 экз.

ЗАО «КопиСервис» Адрес юр.: 194017, Санкт-Петербург, Скобелевский пр., д. 16. Адрес факт.: 197376, Санкт-Петербург, ул. Проф. Попова, д. 5. тел.:(812)327 5098

¿1574

РНБ Русский фонд

2006-4 22006

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Запорожец, Дмитрий Николаевич

0.1. Краткая история

0.1.1. Вещественные корни

0.1.2. Комплексные корни

0.2. Связь с интегральной геометрией

0.3. Краткое содержание работы 6^ 0.4. Предварительные сведения и обозначения

0.5. Благодарности

Глава 1. Случайные полиномы одной неременной

1.1. Среднее ЧЕГСЛО вещественных корней

1.1.1. Плотность для множества плоских прямых

1.1.2. Плотность для множества полиномов

1.1.3. Примеры

1.2. Коррелящ^онная функцргя вещественных корней

1.3. Распределение числа вещественных корней

1.4. Среднее число корней в комплексной области

1.5. Один необычный пример

1.5.1. Схема построения примера

1.5.2. Построение а/г 46^ 1.5.3. Построение Ь^ и окончание доказательства 48I

Глава 2. Случайные полиномы нескольких переменных

2.1. Средняя площадь алгебраической гиперповерхности

2.2. Среднее число нулей градиента случайного полинома

2.3. Среднее число решений системы уравнений

2.4. Общая формула 68ш 2.4.1. Постановка задачи

2.4.2. Вспомогательные леммы

2.4.3. Доказательство теоремы

Введение диссертация по математике, на тему "Геометрические методы в теории случайных полиномов"

0.1. Краткая история

7ГПримерно в это же время Логан и Шепп [30, 31] показали, что для случайныхвеличин ^j с характерргстической функцией распределения е^1^1''(0 < а ^ 2)справедливо асимптотическое равенствопричем констапта CQ. была ими явно выписана. Эта оценка была распространена И.А. Ибрагимовым и Н.Б. Масловой [9] на класс раснределений, принадлежащих области иритяжепия устойчивого закона.Из личной беседы с И.А. Ибрагимовым автору стало известно, что средиспецр1 ал истов в данной области существует гипотеза о том, что для любогопевырождеииого распределепия коэффициентов существуют такие константы ci,C2, что справедливо следующее неравенство:ci log п ^ EAo(iV4 П Ж )^ ^ С2 log п, п G N.Пример, построенный в параграфе 1.5., опровергает дапную гипотезу.40.1.2. Комплексные корни Первый результат в изучении поведениясреднего числа корней в комлексной области получил Хаммерсли [23]. Онвывел точную формулу для ЕЛо(М„ 1^ {|^ 1 < '"}) ^ случае нормально распределе11ных коэффициентов (случай произвольного распределения, имеющегоплотность, рассмотрен в параграфе 1.4.).Построенный в параграфе 1.5. пример случайного полинома показывает,что помимо "копцентрацрги" корней около единичной окружности комплексной плоскости в их поведепии может наблюдаться соверпгенно иная картина.0.2. Связь с интегральной геометриейАсимптотическую формулу (2) в случае стандартных гауссовских коэффициентов Кац получил, доказав следующее равенство:1 fl^ЕЛо(М„П [«,/?]) = - / I 1 ^ J a(3)Предложенное им доказательство основано на следующем несложном факте.Пусть функция /(£) непрерывна на отрезке [о;,/?], непрерывно дифференцируема на интервале [а. (3) и имеет конечное число стационарных точек (гдепроизводная обращается в ноль). Тогда число нулей функции f{t) на интервале {п:(3). которое мы обозначим за п(о;,/3), определяется формулой:cos (C/(i)) \f{t)\ dt.aПри подсчете n{a, (3) кратный нуль считается один раз, а нуль, совпадающийс а или (3, считается за "иол-пуля".Описанный вывод формулы для среднего числа вещественных корней является в представлении автора весьма важным, т.к. указывает на то, что задачи, связанные со случайными полиномами, можно исследовать с помощьюгеометрических методов. Такому исследованию носвящена данная работа.0.3. Краткое содержание работыПервая часть работы имеет дело с полиномами от одной переменной.Параграф 1.1. начинается с примера, взятого из книги Л. Сантало [13,стр. 3]. В нем рассматривается множество плоских прямых, на котором задается некоторая плотность (дифференциальная форма). Путем интегрирования этой плотности на множестве прямых определяется мера, которая позволяет ввестр! понятие случайной прямой. После этого введенная плотностьрассматривается в различных координатах, что позволяет вычислить среднее число точек пересечения случайной прямой с некоторой фиксированнойкривой.Похожая конструкция иснользуется в большинстве дальнейших рассуждений. Во второй части параграфа она применяется к случайным полиномам(по аналогии со случайными прямыми), в результате чего выводится формуладля среднего числа веш,ественных корней случайного полинома, коэффициенты которого имеют произвольную совместную плотность распределения. Вкачестве следствия из формулы приводится равномерная оценка сверху длясреднего числа веш;ествепных корней, лежапдих в множестве, отделимом от{—1,1}. Далее полученная формула приводится к другому виду с помош;ьюаппарата характеристических функций, после чего из нее в качестве примера выводится формула для "средней плотности "вещественных корней дляустойчивого закона с нараметром 5 G (0,2]. Случаи 5 = 1 (раснределениеКоши) и (^ = 2 (нормальное распределение) рассматриваются отдельно.В нараграфе 1.2. веш,ественные корни случайного нолинома рассматрнваются как случайное точечное поле. Находится его корреляционная функция.В качестве следствия рассматривается случай нормального распределения,который был исследован П. Влехером и К. Ди [20].В нараграфе 1.3. решается вопрос о нахожденрш раснределения числа вещественных корней.В параграфе 1.4. ВЫВОДРТТСЯ формула среднего числа комплексных корней,лежащих в иекоторой области комплексной плоскости.В параграфе 1.5. построен пример случайного нолинома стененип с независимыми одинаково распределенными коэффициентами, имеющего в среднем менее 9 вещественных корней при всех п. Что касается его комплексныхкорней, то в среднем ? + О (^) Р13 НИХ НИХ концентрируется около нуля истолько же уходит на бесконечность при п -^ оо.Во второй части рассматриваются полиномы от нескольких переменных,а также системы полиномов.8В параграфе 2.1. вычисляется средняя площадь случайной алгебраической поверхности, порожденной нулями случайного полинома от d переменных, лежащих в произвольном ограниченном измерргмом множестве. Отдельно рассматривается случай нормального распределения: выводится формула,ранее полученная И.А. Ибрагимовым н С. Подкорытовым [8].Параграф 2.2. развивает идею предыдущего параграфа и по аналогии снулевой поверхностью полннома рассматривается множество нулей его градиента: находится среднее число элементов в нем.В параграфе 2.3. находится, сколько точек содержит в среднем случайноевекторное поле, порожденное системой из d нолиномов от d переменных.Параграф 2.4. обобщает результаты второй части. В нем рассматриваетсясистема из к случайных функций от d переменных, где к ^ d. Находятсядостаточные условия, при которых данная система будет невырожденной, инаходится средний объем подмногообразня размерности d — k, порожденногоэтой системой (при этих условиях).0.4. Предварительные сведергая и обозначенияВезде в работе будут иснользоваться обозначения и правила внешнего исчисления дифференциальных форм. Ознакомиться с ними можно, например, вкниге А.Картана [10].Через Л/,. (Л) мы обозначаем меру лебега множества А нри к ^ 1 я количество его элементов при к = 0.Символом Ifc мы будем обозначать единичную матрица размера /с х /с, аО/г — матрицу, состоящую PI3 одних нулей, размера к х к.6/j обозначает мультииндекс, у которого на к-м месте стоит единица, а наостальных — нули.Через х(^) J^ ibi будем обозначать индикатор множества Л. Если М является матрицей, то результат ее транспонирования будет обозначаться через0.5. ВлагодарностпАвтор выражает глубокую благодарность своему научному руководителюИ.А. Ибрагимову за постановку задач, а также за многочисленные обсуждения PI советы, касающиеся практически всех сторон диссертации. Такжеавтор благодарен людям, чьи советы помогли ему в процессе написания работы: М.И. Гордину (параграф 1.2.), А.Ю. Зайцеву (параграф 1.5.), А.И. Назарову (формула 1.6). Автор очень признателен А.В. Вулинскому, В.А. Егорову и М.А. Лифшицу за то, что они любезно согласились прочесть даннуюдиссертаЩ'По.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Запорожец, Дмитрий Николаевич, Санкт-Петербург

1. Д.Н. Запорожец, И.А. Ибрагимов, О случайной алгебраической поверхности, ОПиПМ, Тезисы докладов, 10(2003), 650.

4. Д.Н. Запорожец, Случайные полиномы и геометрическая вероятность, ДАН, 400(2005), 299-303.

5. Д.Н. Запорожец, Пример случайного полинома с необычным поведением корней. Теория вероятн. и ее примен., 2(2005), 549-555.

8. И.А. Ибрагимов, С.С. Подкорытов,0 случайных вещественных алгебраических поверхностях, ДАН, 343(1995), 734-736.

9. И.А. Ибрагимов, Н.Б. Маслова, О среднем числе вещественных нулей случайных полиномов, ДАН СССР 199(1971), 1004-1008.

10. А. Картан, Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы, Мир, М.(1971).

11. М. Кац, Вероятность и смежные вопросы в физике, Мир, М.(1965).

12. Г. Крамер, Математические методы статистики, Мир, М.(1975).

13. Л. Сантало, Интегральная геометрия и геометрические вероятности, Наука, М.(1983).

14. А. Сошников, Детерминированные случайные поля, УМН, 55(2000), 108— 160.

15. Г. Стренг, Линейная алгебра и ее применения, Мир, М.(1980).

16. Д.К. Фадеев, Лекции по алгебре, Лань, СПб.(2002).

17. В. Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения, Мир, М.(1984), Т.2.

18. Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, ФИЗМАТЛИТ, М.(2002), Т.1.

19. Д.И. Шпаро, М.Г. Шур, О распределении корней случайных многочленов, Вестн. Моск. Унив., 3(1962), 40-43.

20. P. Bleher, X. Di, Correlations between zeros of a random polynomial, Journ. Statist. Phys., 88(1997, 269-305.)

21. A. Bloch, G. Polya, On the roots of certain algebraic equations, Proc. London Math. Soc., 33(1932), 102-114.

22. A. Edelman, E. Kostlan, How many zeros of a random polynomial are real? Bull. AMS 32(1995), 1-37.

23. J.M. Hammersley, The zeroes of a random polynomial, Proc. Third Berkeley Symposium on Probability and Statistics, 2(1956), 89-111.

24. I. Ibragimov, O. Zeitouni, On roots of random polynomials, Trans. AMS, 349(1997), 2427-2441.

25. M. Kac, On the number of real roots of a random algebraic equation, Bull. AMS, 49(1943), 314-320.

26. M. Kac, On the number of real roots of a random algebraic equation, Proc. London Math. Soc., 50(1948), 390-408.

27. J.E. Littlewood, A.C. Offord, On the number of real roots of a random algebraic equation I, J.London Math.Soc., 13 (1938), 288-295.

28. J.E. Littlewood, A.C. Offord, On the number of real roots of a random algebraic equation II, Proc.Cambr.Phil.Soc., 35 (1939), 133-148.

29. J.E. Littlewood, A.C. Offord, On the number of real roots of a random algebraic equation III, Матем.сб., 12, 3 (1943), 277-286.

30. B.F. Logan, L.A. Shepp, Real zeros of random polynomials Proc. London Math. Soc. 18(1968), 29-35.

31. B.F. Logan, L.A. Shepp, Real zeros of random polynomials. II Proc. London Math. Soc. 18(1968), 308-314.

32. L. Shepp, R.J. Vanderbei, The complex zeros of random polynomials, Trans. AMS, 347(1995), 4365-4383.