Геометрические свойства арифметических групп в пространствах Лобачевского тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение

Глава I. Арифметические группы

1. Определения

2. Критерии арифметичности

3. Классы соизмеримости и объемы арифметических многообразий

Глава II. Арифметичность и автоморфизмы римановых поверхностей

1. Арифметические и неарифметические римановы поверхности

2. Верхняя оценка для числа автоморфизмов неарифметической поверхности

3. Нижняя оценка для числа автоморфизмов арифметической поверхности

4. Экстремальные поверхности

Глава III. Критерий арифметичности обобщенных треугольных групп

1. Двупорожденные клейновы группы и группы порожденные тремя полуоборотами

2. Матричное представление

3. Критерий арифметичности

4. Регулярные треугольные группы

Шварц [38] доказал, что группа автоморфизмов компактной римано-вой поверхности рода д > 2 конечна и, позднее, Гурвиц [25] показал, что ее порядок не превосходит 84(д — 1). Эта оценка точна, она достигается для бесконечного числа различных родов д, и наименьший возможный род экстремальной поверхности равен 3. Однако, в то же время известно, что имеется бесконечно много родов, для которых 84(д — 1)-граница для числа автоморфизмов недостижима. В связи с этим, имеет смысл рассматривать максимальный среди всех римановых поверхностей рода д порядок группы автоморфизмов поверхности, который далее обозначается N(g). В 1968 году Р. Аккола [5] и К. Маклахлан [31] независимо доказали, что N(g) > 8(д + 1) для любого рода д > 2. Данная оценка также является точной, она достигается для бесконечного множества родов, и, как было позднее показано П. Хевиттом, наимешее возможное значение рода экстремальной поверхности равняется 23 (см. [6], с. 93). Следовательно, для д > 2 имеют место следующие неравенства:

8(0 + 1) <#($)< 84(0-1).

Мы рассмотрим эти оценки с арифметической точки зрения, определяя арифметические римановы поверхности, как поверхности униформи-зируемые арифметическими фуксовыми группами. Удивительный факт относительно римановых поверхностей с большими группами автоморфизмов состоит в том, что все экстремальные поверхности для оценки Гурвица являются арифметическими, а все экстремальные поверхности для оценки Акколы-Маклахлана — неарифметические. Естественно возникает вопрос, что можно сказать о верхней границе для числа автоморфизмов неарифметической поверхности и нижней границе максимального числа автоморфизмов арифметической поверхности заданного рода.

Неарифметический аналог оценки Гурвица был получен автором в работе [44]. Соответствующей границей является 156(# — 1)/7; данная оценка также точна, она достигается для бесконечного множества различных родов д, и минимальный возможный род экстремальной поверхности равен 50. Арифметический аналог оценки Акколы-Маклахлана удалось найти совсем недавно в ходе моей совместной работы с Гаре-том Джонсом из университета г. Саутгемптон (Англия). При этом, хочется особо поблагодарить Колина Маклахлана за оказанное внимание и важные замечания. Результат состоит в том, что для любого д > 2 максимальный порядок группы автоморфизмов арифметической римановой поверхности рода д больше либо равен 4 (д — 1), равенство достигается для бесконечного множества различных родов и минимальный возможный род экстремальной поверхности равен 24 ([46], [47]). Эти результаты подробно изложены в главе II диссертации.

В главе III мы займемся изучением обобщения понятия треугольной фуксовой группы на 3-мерное гиперболическое пространство Иъ. Треугольные фуксовы группы имеют важное значение в плоской гиперболической геометрии и теории римановых поверхностей. В частности, они являются одним из основных инструментов для получения оценок на порядок группы автоморфизмов римановой поверхности из главы И. Особого внимания также заслуживает связь треугольных групп с произвольными двупорожденными группами гиперболических изометрий, которая полностью раскрывается лишь при переходе в трехмерное пространство. Используемые в главе III методы были ранее изложены в препринте [45], они открывают некоторый новый подход к проблеме классификации арифметических обсйценных треугольных групп и арифметических двупорожденных клейновых групп возможности которого пока до конца не изучены.

Перейдем к содержанию работы и точным формулировкам основных результатов.

1. Э.Б. Винберг, Наименьшее поле определения подгруппы PSL2, Мат. сб., 184, N 10 (1993), с. 53-66.

2. Э.Б. Винберг, В.В. Горбацевич, О.В. Шварцман, Дискретные подгруппы групп Ли. Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, 21 (1988), с. 5-120.

3. Э.Б. Винберг, О.В. Шварцман, Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны. Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, 29 (1988), с. 147-259.

4. Д. Горенстейн, Простые группы: введение в их классификацию, Москва: Мир 1985.

5. R.D. Accola, On the number of automorphisms of a closed Riemann surface, Trans. Amer. Math. Soc., 131, N 2 (1968), p. 398-408.

6. R.D. Accola, Topics in the Theory of Riemann Surfaces, Lecture Notes in Math. 1595, Springer-Verlag, 1994.

7. M. Baker, Link Complements and the Bianchi Modular groups, to appear in Trans. Am. Math. Soc.

8. A. Borel, Harish-Chandra, Arithmetic subgroups of algebraic groups, Ann. Math., 75, N 3 (1962), p. 485-535.

9. A. Borel, Commensurability classes and volumes of hyperbolic 3-mani-folds, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. (4) 8 (1981), p. 1-33.

10. T. Chinburg, E. Friedman, The smallest arithmetic hyperbolic three orbifold, Invent. Math., 86 (1986), p. 507-527.

11. M.D.E. Conder and R. Kulkarni, Infinite families of automorphism groups of Riemann surfaces, in Groups and Geometry, London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 173 (1992), p. 47-56.

12. J.D. Dixon and B. Mortimer, Finite Permutation Groups, Graduate Texts in Math. 163, Springer-Verlag, 1996.

13. H.M. Farkas and I. Kra, Riemann Surfaces, Graduate Texts in Math. 71, Springer-Verlag, 1980.

14. W. Fenchel, Elementary geometry in hyperbolic space, De Gruyter, 1989.

15. B. Fine, Algebraic theory of the Bianchi groups, Monographs and textbooks in pure and applied mathematics, Marcel Dekker, 1989.

16. F.W. Gehring, C. Maclachlan, G.J. Martin, A.W. Reid, Arithmeticity, Discretness and Volume, Trans. Am. Math. Soc., 349, N 9 (1997), p. 36113643.

17. J. Gilman, A discreteness condition for subgroups of PSL(2,C), Con-temp. Math., 211 (1997), p. 261-267.

18. F. Grunewald, J. Schwermer, Arithmetic quotients of hyperbolic 3-space, cusp forms and link compliments, Duke Math. J., 48 (1981), p. 351-358.

19. A. Hatcher, Hyperbolic structures of arithmetic type on some link comlpliments, J. Lond. Math. Soc., (2), 27 (1983), p. 345-355.

20. H.M. Hilden, M.-T. Lozano and J.M. Montesinos, A characterisation of arithmetic subgroups of SL(2, R) and SL(2, C), Mach. Nach., 159 (1992), p. 245-270.

21. H. Helling, J. Mennicke, E.B. Vinberg, On some generalized triangle groups and three-dimensional orbifolds, Trans. Mose. Math. Soc., 1995, p. 1-21.

22. C.D. Hodgson, J.R. Weeks, Symmetries, isometries and length spectra of closed hyperbolic three-manifolds, Exp. Math., 3, N 4 (1994), p. 261-274.

23. B. Huppert, Endliche Gruppen I, Springer-Verlag, 1967.

24. B. Huppert and N. Blackburn, Finite Groups III, Springer-Verlag, 1982.

25. A. Hurwitz, Über algebraische Gebilde mit eindeutige Transformationen in sich, Math. Ann. 41 (1893), 403-442

26. G.A. Jones and D. Singerman, Complex Function Theory: an Algebraic and Geometric Viewpoint, Cambridge University Press, 1987.

27. S. Katok, Fuchsian Groups, University of Chicago Press, 1992.

28. M. Kazaz, Finite Groups and Surface Coverings, PhD thesis, University of Southampton, 1997.

29. R.S. Kulkarni, Normal subgroups of Fuchian grous, Quart. Jour, of Math. 36, N 143 (1985), p. 325-344.

30. A.M. Macbeath, On a theorem of Hurwitz, Proc. Glasgow math. Assoc. 5, N 2 (1961), p. 90-96

31. C. Maclachlan, A bound for the number of automorphisms of a compact Riemann surface, J. London Math. Soc. 44, N 2. (1968), p. 265-272.

32. C. Maclachlan and G. Rosenberger, Two-generator arithmetic Fuchsian groups, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 93 (1983), p. 383-391.

33. C. Maclachlan and G. Rosenberger, Two-generator arithmetic Fuchsian groups, II, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. Ill, N 7 (1992), p. 7-24.

34. C. Maclachlan, G.J. Martin, 2-generator arithmetic Kleinian groups, Preprint.

35. G.A. Margulis, Discrete groups of isometries of manifolds of nonpositive curvature, Proc. Int. Congress Math. 1974, Vancouver, Vol. 2, p. 21-34.

36. B. Maskit, Kleinian groups, Springer-Verlag, 1988.

37. C.-H. Sah, Groups related to compact Riemann surfaces, Acta Math. 123 (1969), p. 13-42.

38. K. Takeuchi, A characterization of arithmetic Fuchsian groups, J. Math. Soc. Japan, 27 (1975), p. 600-612.

39. K. Takeuchi, Arithmetic triangle groups, J. Math. Soc. Japan, 29 (1977), p. 91-106.

40. К. Takeuchi, Arithmetic Fuchsian groups with signature (1; e), J. Math. Soc. Japan, 35, N 3 (1983), p. 381-407.

41. B.L. Van Der Waerden, Algebra II, Springer-Verlag, 1967.

42. M.-F. Vignéras, Arithmétique des Algèbres de Quaternions, Lecture Notes in Math. 800, Springer-Verlag, 1980.

43. M. В. Белолипецкий. Оценки числа автоморфизмов римановой порверхности. СибиЬкий математический журнал, т. 38, N 5 (1997), с. 996-1004.

44. M. Belolipetsky, On arithmetic Kleinian groups generated by three half-turns, Los Alamos Preprint, math.MG/9912071, 13 pp.

45. M. Belolipetsky, G. Jones, A bound for the number of automorphisms of an arithmetic Riemann surface, University of Southampton Preprint 1999, 14 pp.

46. M. Belolipetsky, G. Jones, A bound for the number of automorphisms of an arithmetic Riemann surface, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., to appear.