Геометрические свойства регулярных и мероморфных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

лклдаш 11АУК СССР С5£БИРСК0Е ОТДЕШИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи УДК 517.54

ЧЕРШЖОВ Василий Васильевич

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕГУЛЯРНЫХ И МЕРОШРИЖ ФУНКЦИИ

01.01.01 - математический анализ

А В Т О Р Е Ф Е РА Т

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1991

Работа выполнена на кафедре общей математики Томского государственного университета им. В.В.Куйбышева

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор С.Д.Крушкаль доктор физико-математических наук, профессор В.Я.Гутлянский доктор физико-математических наук, профессор В.Н.Дубинин

Ведущая организация: Институт математики Академии наук Украинской ССР

сасита состоится "______"____________19 года

г;_____.___час. на заседании Специализированного совета

Д 002.23.02 при Институте математики СО АН СССР (630090, Новосибирск, 90, Университетский проспект, 4).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР.

Автореферат разослан "_____"_________________19 года

лченкй'секретарь Спеглалчоироьанного совета,

доктор физико-математических наук В^а/ В.С.Белсносов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Геометрическая теорля функций комплексного переменного является в настоящее время интенсивно развивающейся областью математического анализа, в которой изучаются регулярные я мероморфные ф,гнкции, определяемые какими-либо геометрическими свойствами, а также различные геометрические свойства тех или иных классов функций. Геометрическая теория главное внимание концентрирует при этом на классах функций как на классах конформных отображений. С этой точки зрения наиболее простыми и важными является конформные отображения, осуществляемые однолистными в данной области функциями", т.е. регулярными или мерсморфными функциями, отображающими данную область взаимно однозначно на другие области.

Центральное место в теории конформных отображений занимают вопросы о росте отображающих функций,их'-производных, коэффициентах их разложений в ряды и т.д. Болькое количество возможных конформных отображений заданной области затрудняет.изучение, всех этих отображений; однако отдельные важные отображения могут быть выделены как решения некоторых экстремальных задач и могут быть списаны геометрически и аналитически именно в силу их экстремальных свойств. Остальные конформные отображения должны подчиняться всем результатам (п частности, неравенствам) / которые,получаются 13- решений различных экстремальных задач, и, таким образом, мо-?ут быть до некоторой степени охарактеризованы.

При исследовании упомянутых вопросов "в каком-либо классе пункций особенно интересуются оценками различных, функционалов, ¡меющих тот или иной геометрический или физический смысл. Начало ■аким исследованиям в нашей стране -'положили работы М. А. Лаврентьева. Задачи об оценках функционалов на тех или иных классах функ-ий могут быть включены в более общую проблему, развиваемую в по-ледайе годы и состоящую в определении областей значений рассма;-иваемых функционалов. Актуальными и'интересными в настоящее вре-я являются такие, задачи, нахождения ынох&'ств знпчени" конечных исгем функционалов в вещественных или комплексных евшгидог-ых зостранствах. Указанные, задачи рассматривались ''20' многочисленных ¡ботах (См. напр. Гс-лузин Г.?,1. Геометрическая тссрия функций нлплексного переменного. - М.:"чука,-• 1363.) • Нзкоторис.кз упомя-'тнх ее .-''0001! являются основными в .санной л^ссо-тдц,:,:.

Цель работы. Настоящая работа пос: лщена изучению геометрических свойств регулярных и меромсрфных функций.Целью работы является построение прлблиденного метода решения экстремальных задач,рассмотрение. задач.связанных с обобщенной выпуклостью регулярных функций, изучение геометрических свойств линий уровня и их ортогональных траекторий, развитие методов исследования типично вещественных функций,решение проблемы коэффициентов в классе таких ограниченных функций.

Методы исследования. Основными методами исследования в диссертация являются вариационный метод, вариационно-параметрический метод и метод интегральных представлений.

Научная новизна. Результаты, полученные в диссертация,являются новыми. На основе классических теорем и методов теория одночастных функций (метод внутренних вариаций, метод площадей)построен обобщенный метод внутренних вариаций, позволяющий приближенно решать экстремальные (в частности, прикладные) задачи в различных классах однолистных функций; выделены и получили решение новые задачи, связанные с обобщенной выпуклостью; дан новый подход и указаны новые функционалы при изучении геометрических свойств линий уровня я их ортогональных траекторий, даны оценки этих функционалов, в частности, при помощи нетрадиционного примеиения вариационно-параметрического метода; построено новое,неинтегральное представление типично вещественных функций, с помощью которого дане более точное описание граничных функций некоторых систем функционалов; предложен метод решения экстремальных задач в классе с раниченных типично вещественных функций, с помощью которого решена проблема коэффициентов в этом классе функций.

Теоретическая и практическая ценность. В работе получены результаты в основном теоретического характера. Некоторые из них . «окно перенести на другие классы функций. Приближенный метод ис-слелокания экстремальных задач может найтй применение при решении некоторых прикладных задач математической физики.Результаты диссертации могут быть использованы при чтении специальных курсов по геометрической теории функций и подготовке учебных посо-Снй л ионогра-5-яй.

работы. Результаты диссертации неоднократно док-ладл.-з-ись на з&сед-л.'кях Томского городского семинара по теории {уккцг?. /ли-.-.с какого. пе, .мелкого км,- П.П.Куфарева, на Итоговой г2у«ксЯ с-{нциа по уатем&тгке и механике (Томск, 1270), на . г.сг:-«;скг^й по мггеизггке г к&хеигхе <?с!/<.к, 11.74),на

Гк:ой научной конференции по математике и механике (Томск, 1975), на Донецких коллоквиумах по квазиконформным отображениям (1970, 1978, 1980, 1982, 1984), на Конференция по современным вопросам геометрической теории функций (Новосибирск, 1976), на У1 Научной конференции Запьдно-Сибирского региона №В и ССО РС£СР по математике и механике (Томск, 1977), на Школе по теории операторов в функциональных пространствах -(Новосибирск, 197?*, на П-ой Сибирской математической школе "Алгебра и Анализ" 'Томск, 1988), ка Всесоюзной конференции по геометрической теории функшй (Новосибирск, 1988), на научной сессии Томского городского семинара по ТШ1, приуроченной к 80-летию со дня рождения П.П.Куфарева (1Э69), на заседании Томского отделения Сибирского математического об-ест-ва (1989), на объединенном семинаре отдела условно-корректных задач и отдела геометрии и анализа ИМ СО Л СССР (руководителя'академики М.М.Лаврентьев, Ю.Г.Решетш-.-с; Ногэсябврск, 1990).

Публикации. Все результаты, представленные в диссертаций, получены автором самостоятельно и опубликоЕ чы в работах [1-29], прячем из рабо-7 [23] в диссертацию включены результаты, прикрч-лежащие автору.

Структура диссертация. Диссертация изложена на 223 страницах машинописного текста и состоит из введения и чет-.рех глзв. Список литературы содержит названия 232 работ отечественных и зарубежных авторов.

КРАТКОЕ СОДЕЕЕАКИЕ РАБОТЫ, МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ И / РЕЗУЛЬТАТЫ

Перечислим основные классы функций, которые рассматриваются в диссертации, установим различные связи, между ними, д аим краткий обзор некоторых результатов и методов геометрической теории функций, непосредственно связанных с рассматриваемым в работе кругом вопросов и параллельно дадим краткое изложение содеркапия

работы. Г Г г~* Г V '

В дальнейшем обозначаем: |Х|<1 !} р

5 - класс функций . регулярных и однолистных з круге Ь

с тейлоровским разложением е окрестно'тги начата Еида.

+ # (I)

2 - КГ-СС функций {•*(£) , мероморфных И однолистных 13 Е я имеи-дих в окрестности течки <Г= с-о лорановсксе раглсуенл» вгда

Ьк - класс функций из О с вещественными коэффициентам., а .

Отметим некоторое преобразования няд функциями классов О и X » которые снова приводит к функциям этих же классов. Пусть Ъ0= ~ фиксированное число, 0<Ъ< 1 , 0 < 'С - ¿ТС . Если Функция пробегает весь класс 5 ■ то этот класс пробе-

гает и функция'

Подкласс функций

со

Н^Н+ЕС^'. ей,-,

■ и=И

•'ласпа £> будем обозначать 5р . Очевидно, что класс 5 совпадает с 5 . функция класса 5 называют р — симметричными функциями класса 5 . ибо функция (4) из отображает кругЕ на область О V/- плоскости, обладающую тем свойством, что при повороте ее на угол /Й£к/р, к=И,.. . ,р-1 получаем область, совпадающую с С . Если 5 > то функция

(5)

(здесь выбрана та ветвь корня, которая обращается в_ единицу при "51-0 ) принадлежит . а если |(х)€3Р • то ФУнкЦия

58 )]=*. + .. . принадлежит 5 Таким образом устанавливаете взагино однозначное слответстьие между функциями пассов а , р = 2-, 3 , . .^Р

Об<э?ча*чи через ¿_, > класс функций

(с) (

не обращающихся в нуль в области 1< оо . Между функциями классов SP ил имеется взаимно однозначное соответствие: если ^ SP . 10

«еол, Fp(?)eZ' , .0 i^-F^-J'eS'. .

Однолистная область G w - плоскости называется Еыпуклой, если отрезок, соединяющий две любые ее точки, целиком принадлек"т G .Однолистная область G V/ - плоскости называется звездообразной (звездной) относительно точки W06 G » если отрезок, соединяющий любую ее точку с w0 , целиком гтринадлекит G .Однолистная область G W- плоскости называется ¿'-спиралеобразной порядка нуль, < §<r\ij?j , рткоситпьно точки w0£ g • если часть, логарифмической спирали с уравнением

3fn[elS'&,l(w-W04)J=C= COMst , соединяющая любую точку WeG с YV0 , целиком принадлежит G .Пусть функция W = = ^(i) регулярна в круге Е , отобранает Е на некоторую область G и ямеет разлсженяе w= = + .. . . Известно, что область G будет выпуклой тогда и только тогда, когда

(8)

)>0»

известно, что область будет звездообразной относите-ьно начала координат тогда и только тогда, когда

[звестно, что область 0 будет $- спиралеобразной порлдк' гуль относительно начала координат тогда и то: ъко то* чг когда

Классы регулярных вЕ функций + . . . .удовлетво-

ряющих условиям (¡.,-(10), являются, таким образом, подклассами класса 5 - Эти подклассы обозначаются через 3*, 3/$) . а соответствующие функции, называются выпуклыми, ь-ездообразнымя. (звездными) и §'- спиралеобразными порядка нуль.

Имеются многие классы рэгулярнкх фуькций, которые определяются с помощью различных обобщений условий (8) - (10) М.Роберт-сон ввел к:, ос функций ^ (?-)='£ +... ) 0 , регулярных

Е я таких, что р , [0,1) • назы-

ваются звездообразны;.«! (звездными) функциями порядка |3 ; обо- л значил класс этих функций через $(0,р) . Ясно, чтоЗ(0, ¡5) С О ,

3(0,0)=5К • В.А.Элор вич ввел класс функций |ф)=%+. . .,

ф 0 , регулярных в Е и удовлетворяющих при ^(-ГС/Я^/г) , У£[Ь,1) Условию

^Щ) еЕ.

(II)

Такие функции называются ■5'- спиралеобразными порядка у ; обозначим класс этих функций через . Ясно, что 5У(2Г)(1

5,(5") .

Мы определим два класса регулярных функций при помощи обобщений условий' (8), (9).Пусть - произвольно заданные числа, -DO<<A<COO , 04 р>^ 1 . Регулярную в Е функцию д(2)= назовем ¡¿С-выпуклой порядка ^ , если овлсгворяет в Е условиям д(¿)г 0 ,

йе

е"в0т9®Г (1 3'©,

р. (12)

1Л-:ояе^.во всех таких функций обозначим , ру . Класс

впервые рассматривал П.Т.Мокану при 0 4 а, £ 1 .Функ-адл л- Б(¿»(О г. ¿здообрззнн и однолистны в Е , т.е. принад-' легат классу Б*® 5Ф>С) • ' Г*этсму эти функции можно назвать с> - зз^дны!/.:! ясряг'.а р . 3. [б] мы -.оказываем при Л>0 , С "о- -;е с&иное гклхченае БС^Р) ~ ^ (0,[0

".".я.,!; : 31 ли. . г~ир" . ззк х и «екото-г

КХ Z^^^V!ír. ОДЯСЛагТг'Ь'Х Ъ £ ФУНКЦИЙ ВХОДЯ» В КЛ80С В. ФУНКЦИЙ

*>1

И.Е.Базилевича. Этот класс является, по-видимому, наиболее широким среди известных классов однолистных функций, построенных путем интегрирования в квадратурах некоторого частного случая уравнения Левнера-Куфярева. Интегральное представление функций клас-

са

^ р дадим в следующей теореме.

ТЕОРЕМА I. Регулярная в Е

функция

¿-1 +1|

1нЪЬ(о)

_

ft rip

(13)

+ + . . .

является однолистной в

если в

Е l.(*Ki+i3wh(o)+k

Л +.

- регулярная функция, , S -звездообразная функция, - произвольно фиксированные числа,0 <d<oo ,

— оо < р<оо и рассматриваются: ветвь степени с показателем d. , обращающаяся в единицу при ^=0 » ветвь степени с показателем d-l + i/B , обращающаяся в единицу при ; ветвь степени ($ + 0/^ +.. ,обращающ вя в единиг - при'й=0 .

Опираясь на теорему I, мы получаем в случае d> Q интег-. ральное представление функций класса S (d, ji} .

ТЕ0РЙ1А 2. [7] , [э] Регулярная в F функция f(z)=Z + . + . . . является функцией класса fv, 0 < d <00 , 04 тогда и только тогда, когда существует такая звездообразная функция , что в Е

г ,J=£-i ^

"<fc

(14)

при соответственно выбранных ветвях степеней.

Для функций из О) интегральное представление было ча-нее указано при 1 и при 0 < А <скз с использованием

связи мевду классами Э^ .О) и ^ „ .

Определим ^ горой класс функций'при помом обобщи..,} услс. й (8), (9). Пусть - произвольно заданные числа, 0 г£ ^ <

сА-соо ,-оо < А <оо . Назовем регулярную в Е функцию ("2)= л -. • • • Функцией класса В^.^.у^) , если $(%)

удовлетворяет в Е условиям О,

ке

^ да

к

(15)

В [и| [п] [17| [1э|ш доказываем, что каждая функция масса

■В(Л,В о - спиралеобразна порядка )(/о1 в круге Ь ,

0=ОЛШ] (р>/о() • Другими рассуждениями зтот факт установлен при ^'=0 • При помощи теоремы I мы получаем интегральное представление функций класса В )() .

ТЕОРЕМА [п]' , [13] , [171 , [19] . Регулярная в Ь функщш.^(?)=Х+..лринадлекйх' классу"'В(^)р,^,)) 0 4 оо ,,

- оо < р <■ оо , тогда и только тогда, когда существует такая звездообразная функция . (~")£ Б . что в Е

з -

(16)

при соответственно Еыбранннх ветвях степеней.

Ее мет им, что для функций из интегральное представ-

ление получено. Некоторые важные классы функций имеют представление интегралами Стильтьеса. п

Пусть АС0*',8] О/,6 - заданные конечные числа, СЬ < о ,

- класс функций' О/ 6 "Ь ^ 8 , неубывающих на [&,8] и таких, что ■<*(8)-<*(а)»1; э(г,£) , Е , а ^ £ 6 ,

- заданная Функция, непрерывная по двум переменным и регулярная по 1 в Е при всяком Ъ яз'&^Ь^Е • Обозначим через Е(9Д,В) класс функций , • пРед_

ставимых интегралом Стялтьеса

. 4НАМ] <17>

Сг.р^зс^йРа следующие'утЕерудеикя: прь' всяком t 'Ь -8 ,

5унх::дя С пр;:н2длекит ^ассу 1,(о а,,В") ; если

№. ^/д.а.Ю . Ше1(9А,6) . И , 0 * и 1 .

фун-цик класса регулярны в Е ; класс

компактен в себе.

Функция, регулярная з некоторой области, еодержгщей отрезки вещественной оси, называется типично вещественнойв этой области, если она Ееществе: на на этих отрезках, а в остальных точках области такова, что мнимая часть функция и мнимая часть ее аргумента всегда одного знака. "

Ооозначим через Тй класс типично вещественных в к. функций с разлоасениемв окрестности начала вида

+ (18)

пусть ТК(М) - класс функций ^^бТ^ таких, что ПР# "Х€Е > М - фиксированное число, 1<|^<оо .В (18) все коэффициенты 2П , . . , вещественны. Класс П^ ;л

введен и впервые изучен В.Рогозянскьм. Мы определяем [22] [25] класс ТЕК функций . .+ . . ,меро-

морфных и типично вещественных в I не обращающихся в нуль в области 1 <• | оо . Между функциями, из Тк и Т2Г имеется взаимно однозначное соответственно, устанавливаемое формулой [22]

И

М.Робертсон и Г.М.Голузин дали интегральное представление функций из Тк в виде интеграла Стилтьеса (17), которое ыокно записать в виде

% -1Г

а также в зиде 1

_л ■

Обозначим через С класс регулярных в Е функций р(2) , удовлетворяющих УСЛОВЯЯ1.! р(о)=1 , |\ерОО>0 . к )СС С ИЙЗК-вается кла - сом К.Каратоодори. Ф.Рисс и Г^грглотц доказала, что

(20)

1г

(21)

для функций из С справедливо интегральное представление вида (17) по формуле

TS . fc

Р^Чт^М^®, (22)

-К.

Обозначим ^рез Сд класс функций р(2) , регулярных в круге £ , ямещих в разложение вида

. (23)

с вещественными коэффициентами dn , - -, и таких,, что в

Е Re Р (£ > 0 .•■■Ясно, что CR есть подкласс класса С .Известно, что формула %

есть интегральное представление функций класса CR . Между дунк-г таи eTg и существует езэимно однозначное

соответствие, устанавливаемое формулой

, хеЕ. (25)

Эта формула легко следует из интегральных представлений (20) и (24) функций классов TR и CR и Епервые.была установлена В. Рого&инским. Укажем теперь некоторые полученные нами автоморфизмы функций классов С , CR ,ТЙ . При помощи формулы (22) доказывается

ТЕОРБМА 4. [ie] , [_е] , [2б] . Если функция p(z) пробегает Fee., класс С , то при каждом фиксированном , функция

4 ■ 1-2= "V*? '

также пробегает весь класс С . и обратно. Из теоремы 4 вытекает

ТЕОРЕМА 5. [12] , [1б] , [18] , [2б]' Если функция р (х)

_____'_________ ( _______ ________Л ---------------------О

пробегает весь клясс С„

1 < \ , функция

\-г%

то при каждом фиксированном х.

ГвЧ

'г-ъ

-1

также пробегает весь класс СЕ и Зратвп.

С помощью этой теоремы и форлулы (25) получается . ТЕОРЕМА 6. [12]' , [26] . Для того, чтоб;- функция при-

надлежала классу > необходимо и достаточно, чтобы она допускала представление ■ .

%(\+гг) '(1-%^-гг)

(26)

-1

где р(¿)£ Ск . -.произвольно фиксированное число.

Формула (26) есть новое, неинтегральное, представление фуик-гчй класса Тк .

Из теоремы 6 и формулы (25) получаем следующий результат.. ТЕОРЕМА 7. [26] . Если фуккцы: ф(я) пробегает весь Тй , то при -акдсм фиксированном % Ъ< 4 - фуккп«*

Л

е----?--^-, (2?) 1 -г%

также пробегает весь класс Гг и обратно.

Первые существенные результаты в теории однолис^.шх функций были получены использованием принципа площадей. Так в 1914 г.

.Грокуолл доказал теорему площадей, в классе £ . Используя _ эту теорему, Л.Бибербах получил точные оценки | 9(2)1 , л] З'ф)! да ^ ,. дал точную оценку 1<- % в классе О и

высказал гипотезу, что дая всех' П , 500е Ь

(см. (I)), подтвержденную-в 1984 г. Л.Ераккем. Такие задачи рассматривание... такхе в работах П.Кебе, Т.Гронуолла, Г.Фабера.Г.Сеге и др. Злзментарными методами К.Левкером были-получены точные сценки сверху и точные оценки снизу и сверху в

классе 2 • Задачи об оценка;, модулей и аргументов функций, одколясть^х.в-соответствующих областях, оценки модулей и аргумен-оа иг производных, коэффициентов.сведенных разложений функций заняли значительное место в теорли конформных отображений. Эти оцс-кки характеризуют рост функции и ее производных и степень лро-7. зодкмого зто& функцией искажения.

Интенсивно развивались, с другой стороны, л геометрические исследования конформных отображений, связанные с изучением линий уровня и .их орт тональных траекторий. При отображенииXV = 5 круга Е образом окружности = , 0<"£<1 . будет ана-ллтлческея-кривая, называемая линией уровйя функции дф) , а образом радиуса , 0 6 Ь ^ 1 , 0 4 А < ,

- знЕлитическая кривая, называемая ортогональной траекторией к дзник уровня. Аналогично определяются линии уровня и их ортого-. налыше траектории при отображении области Е* Функцией

2 . .Чазове.-.; радиусом выпуклости функции V/ = ^ ='£■+ ■ . - • регулярной и однолистной в круге Е .точную верхнюю

радиусов таких округлостей \1,\-% , которое лри ото'" ей;:;; \ч- круга Е 0"">бракаются -¡^ ¡иыуклче

глуха урстгя (так чтс на любе из таких окрулгоеге" ишюлняогся {£•)). рздйусс-?.' звеэдообразчссгя .ункч.-'/ V/- Я'ч?/""?. • <

ре :л«рчъ круге . "'очг"к г.ераги, т"-м>;г:у

1< радиусов таких окруяксстей \Ъ\-ГС . которые при отображении .у/= крух'а Ь охойракаются на звездообразные относительно 0 лин/,и уровня (на жабой из таких окружностей выполняется (9)). В 1919 г. Р.Нзванлиина.нашел, что для.любой функции из $ выполняется точное неравекствсК3£Я~/3'=0>Я6'?Д. / . • а позез Г.Грунский доказал, что для любой функции класса о выполни, гея точное неравенство ~ 0*« Б дальнейшем задачи, связанные с изучением геометрических сеойств образов окружностей и других аналитических кривых'пра конформных отображениях, заняли важное место в геометрической теории функций.

Настоящая работа посЕягаена указанному кругу вопросов.Дадим краткий обзор основных результатов диссертации.

Глава I "Обобщенный ь.'лод вариаций ч теории однолистных функций" содержит предлагаемый автолом [28] метод исследования некоторых экстремальных задач теории однолистных функций, объединяющий вариационныйиметод площадей. Остановимся сначала на геометрических задачах. Рассмотрим плоскую кривую х=х("0,ц=у({0, i - параметр. В окрестности некоторой ее точки Р хед^кривс.« наглядно. воспроизводит касательная, которая шеет с кривой каса-. ние первого порядка. Чтобы наглядно воспА извести ход кривой вблизи точка Р с точностью второго порядка, необходимо вместо прямой рассмотреть другую 'элементарную кривую - окружность. Известно, что существует единственная окружность, 'вмещая, с кривей в данной точке Р касание второго порядка. Она называется соприкасающейся окру ясностью или кругом кривизны. Проведем в точка, г и в близкой точке у кривой, к: за тельные и рассмотрим предел отношения угла меяду касательными к длине дуги кривой ыенду точками Р , Р^ когда Р1 стремится к Р Этот предел нр-эывается кривизной кривой в точке Р . Известно, что если К - кривизна кривой в точке Р , р - радиус соприкасающейся окрукнос-Б - длина кривой' в Р , то К- У^ »

: (28;

ти

Известно, что с точке Р , где радкус кривизны ф имегг гкег-ремугл, крзгпя в окреетяеегг Р леаят сне клп вн. ри соп?зяаел1~ ще.':сл окр; а»оот:«, а если в окрестности Р ' кривизна криво." меняется мокотенчо, то ¡<р,:;>£я р . .переходит 'с одной сторскы с:--

прикасающейся окружности на другую. В геометрии известна величина, показывающая "еру отклонения'кривой от ее соприкасающейся окружности в данной точке Р ; эта величина называется утонением кривой в точке К и является, вместе с кр. .»изной, важной характеристикой кривой, измеряющей асимметриюее относительно нормали, проходящей через Р Уклонением А кривой в. точке Р называется тангенс угла §" . образованного пределы»"« полокени-,ем прямой »м и нормалью к кривой в У , где | I - середина хорды кривой, параллельной касательной в точке к , когда хор-

стремится к Р . Угол ¿ называется улом уклонения, а предельное положение прямой РМ - осью уклонения или аффинной нормалью к криво... Можно дать определение уклонения с точки зрения соприкосновения кривых. Наглядно ход кривой вблизи точки Р с точностью третьего порядка воспроизводит соприкасающаяся с кривой в Р парабола, которая монет быть получена как предел параболы, проходящей через г и через три слизкие точки, когда эти точки стремятся к Р . Ось соприкасающейся параболы параллельна оси . уклонения в Р , а-тангенс угла мекду осью соприкасающейся параболы и нормалью к кривой в Р определяет уклонение в Р Уклонение Д= "(^¿Г кривой в произвольной точке Р можно записать в виде Д= (¡/$¿§{¿5 > гДе £ - радиус кривизны, с -длина кривой в г . Отсюда по (28) получим для уклонения кривой Х=Х(-Ь) , ' Формулу

А=

х'^-ху'

(29)

Рассмотрим отобракение \у = ^(з)

функцией класса Б, . Фиксируем точку % = хе!

кругла Е

»Л

о £ <л <. ¡ие

Из (28) выводим формулу

произвольной

О < Ъ < 1,

-¿О

К ЪЭЩ

К = Л2КЙ2 УРОВНЯ ФУИКГ'И ^(х)

(30)

2 точке \уц=

_ъ/^м (31)

для кривизны ортогональной траектории к линии уровня в точке \л/ = , а из (29) приходим к формуле

(32)

для уклонения, линии .уровня Функции ;£(&) 11 точке \Ув« и к формуле V

для.д-клоненпя ортогональной траектории к линия уровня в точке

. Ясно, что в случае Гфб^С ' также смеют местоформулы вида (30) -,(33). Функционалы (32), (33) к их аналоги.^,.классе ..введены в рассмоюеняе автором настоящей ра-

:Рассмотрим,теперь общую схему .обобщенного метода вариаций, а.-потом укавем- ререние.этим методом одной конкретной задачи геометрического, .содержания. '

Пусть ^(у^^, . . - аналитическая функция;» & комп-

лексных переменных в некоторой, области, достаточной для'последующих прстроений. Пусть 5>0 -фиксированное целое число, % = = ге*"* - фиксированная г Е ...точка. Образуем ый классе .9 функций

функционал

4 (35)

г

и'рассмотри! задачу нахождения экстремальных значений функционала

НеЗ(?). СЗб)

При помощи вариационного метода устанавливаем, что каждая экстремальная относительно функционала (36), (35) функция 5 будет отображать круг Е на односвязную область С0 , представляющую собой V/ - плоскость с разрезом по кусочно аналитической кривой Г , уходящей по крайней мере одной своей ветвью е бесконечность, и будет удовлетворять в Е дифферекциально--функциояальному уравнению вида

где - рациональные функции. Качественный анализ

уравнения (37) позволяет установить детальное строение границы

Г области С0 'л двет полное описание экстремальных функций. Используя это, вносим в уравнение (37) ряд (34), представляющий рассматриваемую экстремальную функцию, и записываем левую часть получившегося тождества в виде степенного ряда, по степеням 7, . Приравнивая затем нулю коэффициенты при все;:, степенях ть , получим уравнения вида

Сп=Рп , «^¿Д..;, . (38),

где Р. -•оациональные выражения о? неизвестных постоянных,

И .. *

которые содержиV уравнение (37) {и которые известнил образом вира каются через ^СО, ..., | + '(?о) ' К В, число неизвестных могут войти и некоторые начальные коэффициенты„ряда (34). Обозначим неизвестные через и^+Ьт), , к = 1,. . . ? V , У ~ некоторое конечное число. Неизвестные и соответствующий экстремум функционала (36), (35) могут бить найдены следующим образом. Рассмотрим в область Е класс X функций (2). Заметим, что если

Б г -мессу 2 принадлежит функция (см. (7))

Дял •• ггл.й!,'£?д'!^1> сле,дуткг.и? результат.' Полокии- в ос-

.члзт;! ¡и> 1\ !г,! > V.,,

- ^ЖЬЕШ,^. л-* (40)

р,<И

где выбирается га ветвь логарифма, которая обращается г. нуль при

; отметим, что О) р,а.= 1,2,.-■ '>

есть полином от коэффициентов "о(к , к = 1,. . . , р + ,Функции

(2); коэффициенты СОр^ в разложении (40) называются коэйфицк-ентзми Грунского функции (или функция 1

Тогда для любых заданных комплексных чисел Х^ , рИ,.. ип И, справедливо неравенство

0,4 ри г

"V

в котором знак равенства умеет место в том д только в том случае, если площадь дополнения, обрзза-области ^ при отображении равна йр55;,. и которое есть основная теорема пло-щадейв классе X). . Й'сйу'йШ теперь формулы, ййрайаввие коэффициенты функции (39) класса ¿). через коэффициенты функции (34) класса Б . После подстановка (34) в (39) и (39) в (40) находим ; 0^= С.г е* , Сч~ Хс^ ^ ,

и т.д.;

Чусть теперь О - функция с разложением (34)', досгяэля»-

зая экстремум функционалу (36), (35), так что записанные выпе )еличины 00р^ - коэффициенты Грунского этой фучкции» Из приведенных ранее рассуждений следует, что соответствующая по 39) функция Г (Об Л будет отобраяэть Е* на область, пло-адь дополнения которой до расширенной плоскости равна нулю, оэтому теперь в (41) реализуется знак равенства. Возьмем в этом акенсгве м~ а выберем чуела хр способам:.Полагая СГ" 1 •• 0 получаем равенств*?

полагая ОС^О, Хд=1, х^ . . .

= Х?,'Г о

получим равенство

Ч/Н

и т.п., полагая, наконец, = . . . 0СгУН = 0 , X = 1, получим равенство

1,-1 1

Тэк как иоа. - лслкномы от С , г С., рационально эави-

"Л . П я

сят от неизвестных 1ЬК+Ь7;к , к = ■}, ... ,у . то члени рядов

(42), (43), .... (44) являются рациональными функциями от ак , Т)к , а ¿у равенств (42), (43),' (44) представляют собой систему, которой неизвестные удовлетвЪрявт и которая содержат реаенее рассматриваемой задачи, йосколъку неизвестные, найденные ь& этой системы, позволяет определить при помощи (38)

С гжстре.-лалыюй функций (34) и найти $ , .... 1^(3,)., I" (см. (35),; (36)')/. '

Сформуларованний результат подсказывает', следующий приближенней метод р'&ения задачи. Так как ряды (42), (43), ..., (44) сходятся, то, как известно, -ые частные су?,ми этих рядов при достаточно больших ч будут "отличаться от сумм этих рядов. -Поэтому, заменив ряды подходными частичными суммами, мы придем к конечной системе нелинейных (алгебраических) уравнений дта прп^ллхеннсго нахоадевяя неиз'зебгнах и чем больше слагаемых будет в частичных суммах, тем Точнее будут определены неизвестные велзчгни а экстремум фушеционала 1 . Мошго для приближенного определения неизвестных рассмотреть только один из рядов,заменяя его подходяисЗ частичной оу:.:мо:' л полегая последушяе члены ряда рвгагла кулп. Добавление ноинх членов в частичную сушу позволит нзхедзгь неизвестны« окетрем./м функционала с возрастающей точность*, ПээЛсльпз* у .;е;:ь:;;ее из всех зксгрскэльн!« значена будет нг.го-хь^м а адкч&вем I

¡"гтег ^.-п попользован дг.ч науоуденид. эксг-

(ЗС>, ко; ;;-.! ¿сть функционал

зависящий от тейлоровских коэффициентов функции . За-

метим еще, что предлагаемым методом »ложно определять экстремальные значения функционалов вида (36), (35) и (36), (45) на классах

В главе I иглояеянеы методом изучена задача об ¡экстремальных значениях функционала (32) - уклонения линий уровня в классе 3 . Дадим описание полученного результата. При помощи формулы (3) функционалу (32) придадим вид

где с<г<г, 3 (см. (34)). при

функционал (45) является неограниченным снизу к сверху. Это следует, из рассмотрения выражения (45), когда |(х) - (1 -£ € Ь , а значения р надяешцш образом выбираются б интервале 0 6 р < . При 0 <% <%-№ доказываем, что каждая экстремальная для величины (46) функция удовлетворяет в Е дифференциально-функциональному уравнению

-1»У1 /

в котором

Г® 2й ' (4?)

= (46)

- неизвестный параметр. Глчсствешюе ксзлсдоемшь урчш!0~ ния (47) позволяет сд.елать вывод: каздая экотрсм.-льиоя •{унк'^'.я V*« ^(г) отображает круг Е ка область С0 , которая ость W - плоскость с единственны?«: акялатвчес.тад ¡.:>::из'л;,у,:о;;:-.ум и Сесконсгносхь. Клчестнонн ! лсслсдоаандс-, ''помч тс/о, г^льегч к определению пярсалктрь а) , яасньо: оги.-л^'лг., чгс

соответственно случаям минимума я ьшкошу№<!> причем в обоих случаях ОС - единственный в интервале корень уравнения 2рха+ р = 0 . Из (46), (49) йдйучаем для экстремаь-ных значений уклонения формулу

А^/КИес»)] (50)

и остается найти только Са=Ц/+и/ . Предложенным методом получаем для неизвестных Ц/,и два ряда

f■

СО С» -

Е^КЙ.ЬКМА-

^^ "И ■

Шш определенности йвращааш к первому из этих рядов и принимаем приближенно

^Ы-о. (51)

Система этих полиномиальных уравнений для и,,Х) такоЕа, что первое уравнение есть уравнение шестой степени, а второе - восьмой степени по V ; коэффициенты уравнений - полиномы по и» не выше восьмой степени. Приведем конкретный результат: при ъ~ - 0,1450185013 с помощью скстемн (51) получаем и= = = 1,761895, 1) =ЗуйСз = - 0,8836194 и по (50) тахДг "= = 0Д4216Э976 с четырьмя верными -значащими- цифрами. .■

Б главе 2 "Экстремальные задачи, связанные с обобщенной выпуклостью однолистных функций" выделены я получили решение вовне задачи, связанные с обобщенной выпуклостью и спиральностью однолистных функций и о коэффициентами г.ыпумнх л спиральных функций. Приведем необходимые определения. -

0ПРВДЕЖМЕ I. Пусть А, р - произвольно заданные числа, _ оо < о( <: оэ , 0 ^ ^ < 1 .Назовем радиусом о( - выпуклости порядка р функция 0(2)= , регулярной и одао-лиотной в круге Е .точную верхнюю границу £ радиусов

таких окружностей = Ъ , что на любой из них наполняется неравенство (12):

Ке(1

(52)

ОПИЩЕШШВ й. йусхь ¿Л ^ произвольно заданные числа, О £ ^ < Ж < с*э } — оо < ^ < ску . Назовем радиусом ¿Г - спиральной выпуклости , О/ЖЬ^^^ск) , порядка ^'/у. функция.

+ • . . , регулярной и однолистной в круге Е . точ-

иую верхнюю границу ¡^(^> радиусов таких окружностей

I чт0 на любой из них выполняется неравенство (15):

Ке

|С0 ' {'(*)

(53)

Первый круг задач главы 2 связан с изучением неравенства (52) и экстремальных свойств функидй класса Б,|?>) . Отметим, что каждая функция д(2)€ Б 1- выпукла порядка нуль в круге ' № 16 г радиуса: г = ,0) = » я 0 выпук-

ла порядка нуль в круге % радиуса г= й3(0,0)=К* г*

== 'ЬЬф'/^) , причем как отмечалось выше, величины радиусов выпуклости и звездообразности для функций из 5 являются точными. П.Т.Мокану поставил задачу определения при 1 5 р=0 • Аналогичные задачи в специальных классах звездообразных функций при различных а,р были рас — иотрени также. Наш найдены с помощь» нового подхода (используя, в частности, автоморфизм (3) класса Б ) и известных неравенств в соответствии с общим определением I точные и неточные эцеики £ (а.р") в классах $ и 5(оу} • в качестве конкретных примеров отметим такие теоремы.

ТКОШЛЛ 8 [й] , [1Ь\ . Пусть 0 6 £ < 1 , «¡0 £ А с оо ( да при о <е"\ <¿„=0 при&-и^<1 .

'огда радиус 8 Л- выпуклости порядка р лвбо" функция :

,) определяется точным неравенством

Отметил, что при 6=0 ,<*=1 из <54) получается точное неравенство К9(1,о)> а-ге •

ТЕОРЕМА 9. [2] , [б] . Пусть 0

Тогда радяус - выпуклости порядка [1 любой функ-

ции 3 Удовлетворяет неравенству

где - единственный корень уравнения

(1

в котором Х-Х(&), X <% , - наибольший корень уравнения

51пх«ай , ЛтК^ЙНМЬ

Отметим, что при р=.0,А=0 будет го= 'ЬЬ(^/ч) и из (55) получается точное неравенство Кд(0,6) > • Однако при других значениях неравенство (55), Еообще говоря, неточное.

ТЕОРЕМА 10 [15] . Пусть , 0 6 р 1 . Тогда радиус

КдС®1!^) А ~ выпуклости порядка р любой функции

5 определяется точным неравенством р>) 5=: Ъ0 ,

где Ъ = 10€ (О - единственный, корень уравнения

&Е (гя)/К(гг>(1^У-?-р=о,

в котором ) ЕХ^'О - полные эллиптические интегралы

пергого к второго рода. .. , .

теорема и [б] . пусть | (з) = г + с^г +... е Ь(р,у)

|Са|-(1-у)ои , 0 4 0-4 2 ; пусть

"имеет радиус Д - выпуклости горядка Р> , равный ,.

0<£ci<oo , . Toma:

а) если Oó'^áV .. , то' ^

tí) если , то RjC^p)* v).

Здесь , есть наименьший положительный корень урав-

нения

+[L¡/ + - 5р - ¿)v - а + +[&V+ (j d - айр - ц+i¡)у - V- г]х*+

+ + (53)

a хДк,У) есть единственный на (0,1) корень уравнения, получающего из (56) при p = V . В случае б) числе ^(с^й.у) не может быть заменено болыш.м.

Отметим, что при В=У= 0 из теоремы II получатся для любой функции S точное неравенство Rt/^.O) >

Опираясь на теорему 2, приход-ai и следующей теореме,дающей решение проблемы коэффициентов в классе

ТЕОРЕМА 12 [8] , Пусть на классе £(<*.&) ,0<d<co , О < ¡1 <■ 1 , Функций Z+ . . + Сп3"+. . .

задана конечная система функционалов I(|)= ■ ■ . Тогда все граничные для функции содержатся б семействе

?де параь. гри. jxj.Oj яодчяне-ч усяогачи: jij j 0 , ' 2, <0. '...'.<. 0„ : f)4 + %Z N' n-1 при covií гстлшию £jirjj/,..max ьетвя/ стозшй.,

. . Приведем кот.ретккй результат. [ШШуА 13 [в] . З .-лассе О ¿ d<ob , 0 « р <■ 1, '

функций = C,tV.'.'.. область значений величи-

НЫ 1-е, ость круг

I1!'

(]+dfíi+U)

Граничнкч точки вносят фушщии вида (57) с N™ i .

Второй круг вопросов главк 2 связан;с нахождением радиусов спиральной выпуклости однолистных функций и с изучением коьффи-j.hohtob функций класса . . .

ТЕОРЕМА. 14 Ы .. Пусть 1 • ¿сое ,-о° < ^ > 0 % < <к . Тогда радиус R^d $'- спиральной Випуклосги, 5 -

= ' , порядка y/d любой функции 6 S

удовлегаодазт' (неточному) неравенству

где Ъ~ ЦС^.р)^^^} - единственны!» корень уравнешш

г-

в котором х=х(г,б)е (Id/nO , в-^агд(dí.-1+uft),

есть единственный 'корент, уравнения

з tn х • njQ - -гГ)! - х и i=0.

ТЕОРЕМА 15 [ivj . Пусть ^0 -:» J( ■с ск oo'¿ f < «о .

Тогда радиус спиральной, вшукл ста,' S-

* a/wfg ' . порядка' У- любой функции f(f)£

определяется гочиш неравенством ,jj, j)^ fj*/€(у, 1)

где

г ¡,

гг(л, р) ^ р»)/[(<1- '1 М+рЧ ^+ Я+

_[___________

Опир-яоь на геореку 3, прихода к.следующей теореме,дающей решенае проблем^ кос-ффициен-.-оз в классе В^й.й.у)

ТЕОРЕМА 16 Пусть аа яласге ' 0<- % < с*<оо,

- си=. < р < оо , функций | (х) = х + . . . + с„%"+ ... задана конечная системй функционалов .1 (•?")= (са.. . . Тогда все граничные функция дпя'^(0 содержатся в семействе

-¡•V

■ч/С^р)

где параметры р^ . подчинены условиям: ^ ь 0 , р^-к.. -+■ + 01 * • * + ^ , ЛйПН

(при соответственно выбранных ветвях степеней).

В качестве конкретного результата на классе В (с/,, ^,определена область значений функционала 1= С,- Ц/С* , где Ц> -

а | л

пройзвольнор комплексное число.

В главе 3 "Геометрические свойства линяй уровня и их ортогональных траекторий при однолистных конформных отображениях" рассматриваются экстремальные .задачи об оценках кривизны и уклонения линий уровня и их ортогональных траекторий при отображении областей Е ■ я Е функциями клаесоз Б и 2 • Д&и нот;:: подход, использующий ав-оморфизм (3) класса Ь , к изучай:» $унк~ цаоналов кривизны, рассмотрены новые функционалы, харзкгеряцудавке уклонение линий уровш. и их орт"гонол7.ных траекторий, лапы оценки, точные и неточные, упомянутых функционале»«, >. ■¡•-ст.ю-^а, при .аомоад нетрадиционного применения кого ыгтодг. 5 геометр чеокой тесаки Фунг чй тмъшгь иссдедовыелеЗ было "оервдото- ко я<< столпе« ч,.-;::«.„¡ш .''-л/ . .юьия (см. ,30}) > классах Б у I.' , а -.г:< г.^гы&т--"чх троек: (см. ии), /л. ¿'.¡осмсг ■ /•.,:-

виены Къ линий уровня в $ получены в 1921 г. Л.Бибербахог однако они не являются лучшими даке в смысле порядка.Лпль в 1951г. Я.С.Мирошниченко, изучавший кривизну по совету М.А.Лаврентьева, наиел в классе $ при Ъ - |Х01 = 1 < 1 точную нижнюю оценку: .

•(58)

Г.В.Кэряцый в 1960 г. с помощью параметрического метода я одного результата Г.М.Голузика распространял это неравенство на п-тервал 0 < % < • Г.В.Корицкяй нашел с -смощьк. параметри-

ческого метода и одного результата Г.М.Голузина точные оцс :ки сверху для кривизны Ку лчний уровня в классх , р=

.. . , \ < оо :

(уЧУ^-и)* ■ '

В настоящее время не известна точная верхняя оценка кривизны Кг линий уровня в классе Ь . В 1969 г. Г.В.."орлц'"лй с использованием параметрического летода установил при ¿,0 < Ъ < 1 строгие неравенства

г(1-гТ г г

1 + Цу+ /Ai. foC^,

(60)

te улучшаем (60), лре^лага л "овое доказательство, сц чкя (58) для ' [-j и оценки (59) для Ку [п] ; при эте 'покаи-в~ется, \:о неравенства (59) „ (5В/ (приZ-^r é,t <1 ) элементарны. Для. одного подкласса класса Ь наш получено гер..ац..он-нкм методом точное решение задачи об оценке сверху кривизны аи-нии уродил [i] ■ [4] , [б] , в частности, получено точнее ¡биение ото.! задачи для' функций класса SR при 0 < % < 1 - ; мн здесь ко приводим этот громоздкий'результат.■

Во Bt.„M классе4 5- мы устанавливаем л.учд;у;^ в )V)cio'mae-j кремч (кеточ^'-'ю) -оценку- сверху -для maxRL . . -

ТЕОРЕМА 17 [з] , [20] . В клас.е 3 для. максимума кривизны кг линий уровня имеют место неравенства: приО < % С 0,2796^^

_ Мх,

тахК^-тД^—лет ¿^

где X , О¿-Х<Ъ , однозначно определяется уравнением

, Нх иг\. 1

при 0,2796X4 < г < 1

...»

г \1~х

где X , 0 < х <- X , однозначно определяется уравнением

(1-Х)" е 1+1*41 ^(НУУ

Вторая часть главы 3 посвящена исследованию новых функционалов (32), (33) и их анал< -ов, харг-стеризующих уклонение линий уровня и их ортогональных траекторий в классах 3 к 2 . При-веде!,, полученные результаты.

Варияцио..но-яарам. рическим методом ; называется

ТЮРгЛ'А 1В [23] , [24] . 3 класср 5 «я ¡¿леи та. Д, л*лшй у-овю. ^фори. и (ЗЯ) при О X '¿-'.У .спраь'^к-ч тсчьый с енки -Д^) 6 Д 4 Д^ ,13'

А(*> (У- F? р - г» +

p- + , X - единственный в интервале (j/V^Yl) к рень

уравнения 2.Х3 - ¿рХ* + р = О .

Отметим, что'-при Ъ= 0,14S0185'013 по теореме 18 находим '/tid'X А^О^ЧйЗ^Об? ; это подтверждает, ч'. '> полученное ранее при взятом г приближенное значе-яе упО/хАг= 0,142-169.. . имеет четыре верные значащие цифры.

Задача об оценке уклонения ортогональных траекторий (формула (33)) характерна.ется таким результатом.

ТЕОРЕМА 19 [23] . В классах S кЕ уклонение ортогональных траекторий, к линиям уровня является неограниченным снизу и сверху. .Решение задачи об оценке уклонения линий уровня в классе Y, даетс.ч следуот'й теоремой.

ТЕОРЕМОЙ 20 ¡23] . В классе Z . уклонение AR линий уровня при" 1 < = 1,73205, ..является неограниченным-сниз., и сверху. При Ro<R<icx> , где i\e=1,74544 ■■. - единственный с интервале 1 <: R<coo корень уравнения

для Ак справедлива (неточная) оценка

^J^/^LÎry^n-'i"'-?].

•^десь К/) , ECO - полные оллиптичес. aie'интегралы первого и второго рода. .

Глава 4 "Геометрические свойства типично; вещественных i.jhk» ций" посЕящена экстремальным задачам, связанным с те :ичао ~ещест-веынми функциями. Получено новое, неинтегралълсч, представление функций %("£) класса Тй (см. формул" (26)). 0 испол :-оганяе\. его дана описание семейства граничных функций для-с.'.стечн функ-

ционалсв

, ,г€Йи). (61)

Этот результат позволял найти точные оденет крутизны линий уровня в классе Т„ при 0 < К 1 .В классе найдены новые точные оценки всех коэффициентов е зависимости от некоторых начальных коэффициентов. В клвосе ЧТ^ доказаны теоремы искажения хорд при вещественных точках из .'Дэн метод репе- 4 ния экстремальных задач в классе ТВ(И) ограниченных типично вещественных функций, с помощью которого решена проблема коэффициентов в этом югассе функций. Сформулируем некоторые полученные результаты.

ТЕОРЕМА 21 [12] , [28] . Пусть И^О - заданное целое число, % - заданное вещественное число, 0 < < А . Область зк> чений системы функционалов (61) в классе Тй есть выпуклое множество вещественного евклидова пространства Е + .Граничным точкам этого множества соответствуют функция класса Т^ , содержащиеся в семействе -

где параметры а подчинены условиям: Ц/^ О 1И-

. ыФ+ъуь). ' "'

С помощью этой ^еоремы доказывается

ТЕОРЕМА 22 [12] , '[1б] ,..[2б] . В классе Т^ для кривизны к,4 , ъе^о/0 . линий уровня

имеют »"вето точные оценки

1 - ч + гй /нг^л/ .

г

Получены в классе Тк функций ^(ъ) = 2 + С?2г+ . . . точные верхние и нижние границы для |СИ1 , . * зависимос-

ти от СЛ . Получены кето^лл площадей в классе точные верхние оценки для |с„| , > в зависимости от . Мы находим иным методом, опираясь на интегральное представление (21) функций класса „ точные верхние"оценки для |СП1 > ,в зависимости от , К - .. ., 6 ; йри этом получаются меньшие 1^аницы для 1сп| . Отметим один результат. .

ТЕОРЕМА 23 [21] . Для . . € 1 к справедливы

точные неравенства

+ (63)

Знаки равенства в (62), (63) имеют место для функций "х/^ + I ±%)г класс Тк . Так как эти функции принадлежат классу За < то неравенства (62) ,. (63). точны и в Зк . Обратимся к классу.ТХ„ функций.

Г+ . ФО, -

регулярных и типично вещественных в области 1 < < ¿-о . Отме-. _ тим следующую теорему искажение хорд, которую доказываем, используя формулу (19),. теорему 7.

ТЕОРЕМА 24 [25] . **тя РСО ^ при любых заданных у у _оэ<у<-'|> , имеют место точные оценк-

В массе ТК(И) ограниченных типич. о вещественных функций т.е. таких функций из Тк

чт- ||60| <м ПРИ 2 £ Е, м - фиксированное число, , нами дается решение проблемы коэцфяциек^в. 4

ТЕОРЕМА 25 [27] , [29] . Пусть ль 2 - заданное натуоаль-ное число. Область значений системы коэффициентов-[с^, .

• ■ , в классе ТК(И) функций (66) есть вып. клое множество вещественного евклидова пространства Е • Гр-ничным точкам множества \)УПН соответствуют функции класса Т,,(Н)

вида

где - функций семейства

в котором параметры и. Л- подчинены условиям: ц.г* 0, и> + Приведем один конкретный результат.

ТЕОРЕМ 26 [29] . Область значений систеш 'с, ]• в

л « I «' у

функций (€6) ограничена дугой параболы

- ^ - м-") < сй < 2 (1 -

я дугой параболы

Работы автора по теме диссертации

1. Черников В.В., Арегг^арчук М.А. О кривизне линии уровня// Материалы итоговой научной конф. Томск, ун-та по математике и ме-. хани:се за 1970 г. I. - 'юмск: Изд-во Томск. ун-™а, 1970.-С.80-82.

2. Черников В.В. Об Л -выпуклости-однолистных функций // Мат.заметки. - 1972. - T.II, № 5. - С.227-232.

3. Черников В.В., Арендарчук М.А, Об оценке кривизны лк.шй : уровня'лря однолистных конформных отображениях // Тр.Томск.ун-та,

- 1974. - Т.238. -С, 118-123.

4. Черников В.В. Точная оценка сверху криЕлзны линий уповня в одном классе однолистных функций ,'/ Материалы пятой научной конф. по математике и механике I. - Томск: Изд-во Томск.ун-тр, 1975. - С.34-35.

5. Сякук П.И., Черников В.В. О некоторых свойствах однолистных функций // Мат.заметки. - 197Ь. - Т.17, № - С.563-569.

6. Черников В.В. Об оценке кривизны линий уровня в одном классе однолистных функций // Мат.заметки. - 1976. - Т.19,® 3,381-388.

7. Черников В.В., Сикук П.И. Некоторые свойства звездообразных однолистных функций // Некоторые вопросы совреме: ной теории функций/Мат гряалы конф. - Новосибирск, 1976. - С. 173-176.

8. Сияук П.И., Черняков В.В. О коэффициентах ¿ - выпуклых функций порядка й, // Мат.заметки.. - 1978. - Т.24, № 5.-С 579686. ■

9. Черняков В.В., Сиаук П.И. Некоторые свойства звездообразных однолистных функций // Сиб.мат.курн. - 1978.-Т.19,№ I.- С. 193-200.

.10..Сижук П.И., Черников В.В. Радиус ^ - выпуклости по-ряд : (3 для класса звездных функции порядка V // Экстремальные задачи теории функций. - Томск: Изд-во Томек,ун та, 1979. -С. 49-58. •

II. Черников В.В., Сижу к П.И. Некоторь з свойства сиралес 5-Р"зных однолистных функций // Метрические вопросы теории функций.

- Киев:'Hayкова'думка, 1980. - С. 132-135.

J.2., Черников В.В. О некоторых экстремальных свойствах тчпич-но вещественных функций // Сиб.мат.вдда. - 1980. - Т 21_ й 3. - ' С. 208-209. - -

13. Черников В.В. ?.'отод вариаций для спирьлеобраг>ч..х фунг * ций класс;. Базилевича // Экстремальные задачи теории фу1..;ций. -

Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1980. - С. 110-117.■

14. Черняков В.В. Оценка кривизны линий уровня в .классах,

// Экстремальные задачи теории функций.- "омск: Изд-во

Томск, ун-та, ИЗО. - С. 126-129.

15. Черников В.В. Об ,о( - Еыпуклости порядка р> класса всех регулярных однолистных в круге функций // Мат.заметки. -1981. - Т. 29, .'5 6. - С. 859-866.

16. Черников В.В. О кривизне лг;чяй уровня в классе типично вещественных функций // Теория отображений, ее обобщения и приложения. - Киев: Наукова думка, 1982. - С, 225-22„.

17. Сякук П.И., Черников В.В. О некоторых экстремальных свойствах спиралеобразных однолистных, функций // Экстремальные задачи теории функций. - Тс :ск: Изд-во Томск, ун-та, 1983. - С. 62-69.

18. Черников В.В. Об одном автоморфизке класса Кзратеодо;/. Экстремальные задачи теории функций. - Томск: Изд-во Томск.ун-та, 1983. - С. 83-85.

19. Черняков В.В., Сяжук П.И. Области значений начальных коэффициентов некоторых р - симметричных спиралеобразных функций // Экстремальные задачи теории функций. - Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1984. - С. 71-84.

20. Черников В.В. Об оценке крявязны линяй уровня в классе всех регулярных однолистных в круге функций // Сиб.мат.курн.-1985. - Т. 26, № 2. - С. 210-213,21. Черников В.В. Сценки коэффициентов с ограничение.'-, в

классе типично вещественных в круге функций // Мат.заметки. -1985. - Т. 37, - С. 337-344.

22. Черников В.В. О теореме искажения х1- - класса типично вещественных вне круга функций // Вопросы теории специальных классов функций. - Ставрополь, 1985. - С. 102-114.^

23. Черня :ов В.В., Копанев С.А. Об угаокеншГуровкл я их ортогональных'траекторий при однолистных конформных отображениях // Сиб.мат.дурн. - 196?. - 1.27, В 2. - С. 103-201.

2 . Черников В.В. Оценка уклонения линяй уровня в клг.ссе всех регулярных однолистных в круге функций // Изв. вузоь. Матс-ма гика. - 19Я6. « I 10. - С. 77-82.

25. Черников В.В., Как И В. О теореме ис! .же: -л т/.пично ьо-"■ественных е е- крта функцк" // Зксгре„.ллыше зада у теории функци... 5. Томск: Изд-ь^ Тог.хк. ун-та, Глб. - С.Г'-?.,.

/

26. Черняков дЗ.В. Некоторые экстремальные свойства тяпит'о вещественных в круге фун'-щй // Экстремальные задачи теории функций. 6. - Томск: Изд-ро Томск, ун-та, 1983. - С. 102-132.

27. Черников В.В. Об областях значений сдсгем коэффициентов ограниченных типично вещественных в круге функций ,'/ Всесоюзн. конф. по геометр, теории функций: Тезисы докладов.-Новосибирск, 198". -'С. 107.

28. Черников В.В. Сообщенный метод вариаци:" в теория'одно-лясгяьгх'функций // Цел., з ВИНИТИ от 12.09.89 г.,й 5804-В.89.'

29. Черников В.В. Об областях значений систем коэффициентов ограниченных типично вещественных в круге функций // Сиб.мат. з*урн. - 1990. -"Т. 31, Л 2.- С. 191-196.