Геометрия Гельмгольца и дифференциальная геометрия двумерных гельмгольцевых многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Кыров Владимир Александрович

Геометрия Гельмгольца и дифференциальная геометрия двумерных гельмгольцевых многообразий

01.01.04 — геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание

ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 2005

Работа выполнена на кафедре физики и МПФ Горно-Алтайского государственного университета

Научный руководитель. доктор физико-математических наук.

профессор Михайличенко Геннадий Григорьевич

Официальные оппоненты, доктор физико-математических наук,

профессор Голубятников Владимир Петрович; доктор физико-математических наук, доцент Никоноров Юрий Геннадьевич

Ведущая организация: Барнаульский государственный

педагогический университет

. и (Ю

Зашита состоится 7 • 2005 г. в ^ на заседании диссертаци-

онного совета Д 003.015.03 при Институте математики им С.Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, г.Новосибирск, пр Академика Коптюга. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН

Автореферат разослан 3/. /0. 2005 г. Ученый секретарь диссертационного совета А.Е Гутман

Щ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Г. Гельмгольц в его известной работе "О фактах, лежащих в основании геометрии и|1] исследует свойства пространства и приходит к выводу, что в основе геометрии лежат следующие гипотезы:

1. Пространство п-измерений есть п-кратно протяженное многообразие.

2. Допускается существование подвижных, но неизменяемых (твердых) тел или систем точек.

3. Допускается вполне свободная подвижность твердых тел.

4. Два совмещающихся тела совмещаются и после того, как одно из них подвергалось вращению около некоторой оси.

Этим гипотезам удовлетворяет евклидова геометрия. В конце статьи замечается, что если отбросить аксиому 4, то в двумерном случае мы приходим к геометрии, окружностью в которой является логарифмическая спираль.

Двумерная геометрия со спиралью в качестве окружности, была получена Г.Г. Михайличенко при классификации двумерных геометрий со свойством феноменологической симметрии [2|. Феноменологическая симметрия состоит в существовании связи между шестью "расстояниями "для четырех произвольных точек. Полная классификация содержит 10 геометрий. Четыре геометрии из этого списка здесь называются гельмголь-цевыми Заметим, что это геометрии в смысле Ф.Клейна, о которых говорится в его "Эрлангенской программе".

Интерес к этим геометриям определяется тем, что они допускают трех-параметрическую группу движений, то есть группу преобразований, двухточечным инвариантом которой является метрическая функция, а по ней однозначно находятся уравнения группы движений.

Полную классификацию трехмерных феноменологически симметричных геометрий, то есть геометрий с функциональной связью между десятью "расстояниями" для произвольных пяти точек, получил В.Х. Лев |3|. Этот список содержит 11 геометрий, среди которых есть как известные, так и неизвестные.

Цель работы - Описание геометрии плоскостей Гельмгольца и построение дифференциальной геометрии двумерных гельмгольцевых многообразий и двумерных двуметрических пространств.

Методы исследования. Результаты на плоскости получены методами, основанными на решении геометрических функциональных уравне-

ний, а результаты на многообразиях — методами современной дифференциальной геометрии.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации являются новыми. Гельмгольцевы геометрии до этого только упоминались Г. Гельмгольцем, Здесь они определяются и подробно изучаются. В частности, функциональными методами исследуются циклы. Проводится построение дифференциальной геометрии двумерных гельмгольцевых многообразий с помощью так называемых структурных функций. Геометрию этих многообразий с помощью метрического тензора определить нельзя. Изучаются также двумерные двуметрические многообразия.

Результаты работы имеют теоретическое значение и могут применяться в геометрии, в термодинамике и в теории физических структур.

Апробации работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре отдела геометрии и анализа Института математики им. C.JI. Соболева СО РАН, на краевом научном семинаре при кафедре геометрии ВГПУ, на межрегиональной конференции "Математическое образование на Алтае"(Барнаул, 2002), на Международных конференциях- по геометрии, посвященной памяти А.Д. Александрова (Новосибирск, 2002), по геометрии и анализу, посвященной 75-летию Ю.Г. Решетняка (Новосибирск, 2004). Результаты постоянно обсуждались на семинаре по ТсОрПИ ф::зяческих структур при Горно-Алтайском госуниверситете.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ и 4 тезиса конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 141 странице и состоит из Введения и трех глав. Список литературы состоит ,;•» 34 наимрцйжишй.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении дается краткий обзор диссертации

В первой главе диссертации исследуются плоские геометрии. В §1 приводятся гельмгольцевы геометрии, метрические функции которых принимают вид:

собственно гелъмголъцева плоскость Г2:

/(*,У) = [(х1 - У1)2 + (х2 - у2)2]exp (27arctgi^i0 ,

где постоянная 7 > 0, причем функция arctg рассматривается однозначной с областью значений в промежутке (—тг/2, тг/2) (термин гельмгольце-ва плоскость появился из анализа работы Гельмгольца {lj, где он обнаружил геометрию, в которой роль окружности выполняет логарифмическая спираль);

псевдогелъмгалъцева плоскость РГ2:

f(x,y) = [(х1 - у1)2 - (х2 - Ii2)2] exp (W(c)th^j0 ,

где постоянная 0 > 0 и ß 1, причем выбирается функция Arth, если аргумент по модулю меньше единицы и выбирается функция Arcth, если аргумент по величине больше единицы; дуалъногельмгольцева плоскость D2:

/(«,») = (^)2ахр(2^); симплициальная плоскость S2:

Далее вводится в Г2, РГ и И2 понятие квазидлины неизотропной кривой, то есть кривой, между двумя произвольными точками которой определено квазирасстояние:

/' = у/7&у) = V№ ~ У1)2 + (я2 - У2)2ехр ,

/' = >/7М = \/(ж1 - 2/1)2 - (а:2 — у2)2ехр ,

и доказывается ряд свойств квазидлины. Например, следующая теорема: Теорема. Для произвольной сходящейся последовательности точек {¿п} —► ¿о неизотропной гладкой кривой х(£) собственно гельмгольцевой, псевдогелъмголъцевой или дуалъногелъмгальцевой плоскостей •последовательность им соответствущих квазирасстояний //(ж(<п), г:(^о)) также сходится.

В этом параграфе приводятся также группы движений изучаемых плоскостей [4|.

В §2 находятся независимые инварианты групп Ли собственно гельм-гольцевых, псевдогельмгольцевых, дуальногельмгольцевых и симплици-альных вращений 0(Г2), 0(РГ2), 0(D2) и 0(S2) соответственно в вещественном векторном пространстве V2 [8]. Эти инварианты позволяют определить угол между векторами. Вводится двухточечный вектор, как функция, сопоставляющая паре точек плоскости - вектор, а затем находятся его координаты:

Определение. Двухточечным вектором плоскости F2 = Г2, РГ2, D2, S2 называется гладкая функция, сопоставляющая двум точкам хну пару чисел (^(rr, у), f2(x, у)), причем

где "штрих"означает преобразование: над координатами вектора — группы вращений 0(F2) и над координатами точки — группы движений G(F2) [8].

Доказывается следующая

Теорема. Координаты двухточечных векторов плоскости Г2, РГ2, D2 и S2 задаются следующими выражениями: для плоскости Г2:

е = pí/Kx1 - у1) - fc(/)(x2 - у2), £2 = k(f)(xl - У1) + J>(f)(x2 - у2); для плоскости РГ2:

е1 = Ш)(Х1 - у1) + k(f){x2 - у2), е = НЛ(х* - У1) +p(f)(x2 - у2);

для плоскости D2-

е = P(f)(xi - у1), е=щ)(хг - у1)+р(/)(х2 - у2) и для плоскости S2:

Í1=м/Хх1 - у1), е2 - Р(/)(Х2 - у3),

где / - метрическая функция, ар и к - гладкие функции одной переменной.

Из этой теоремы следует, что двухточечный вектор образуют разности координат пары точек плоскости.

В §3 определяются циклы плоскостей Г2, РГ2, D2 и S2 как кривые, которые остаются инвариантными относительно преобразований однопа-раметрических подгрупп групп движений [9(. Задача сводится к решению функционального уравнения:

f{x\tx),x2{tx),y\tv)rf{ty)) = - t»),

где / - метрическая функция, а гр - некоторая гладкая функция. Доказывается следующая теорема:

Теорема. Циклами собственно гельмгольцевой плоскости Г2 являются прямые:

%С ~ 3Tq Î) X Xg — IcÈy

где k - произвольная постоянная, и ее окружности:

х1 = Re'1* cos i, г2 - Гц = iîe~7fsini,

zete Ä - произвольная постоянная; циклами псевдогельмгольцевой плоскости РГ2 являются прямые с — 1 < к < 4-1, и окружности:

х1 - xi = Reicht, х1 - х\ = Re^sht;

циклами дуальногельмгольцевой плоскости D2 являются прямые, и окружности:

x1-Xq= Re', хг -х\ = -Rte1

и, наконец, циклами симплициалъной плоскости S2 являются только прямые (9j.

В §4 вводится кривизна неизотроаной кривой собственно гельмгольцевой Г2, псевдогельмгольцевой РГ2 и дуальногельмгольцевой плоскости D2. Она определяется формулой:

■д

k = lim тт-;, dt-A (Дв|

где г) - угол между касательными векторами кривой х — x(t) в точках x(t) и x(t + dt), а )Дя| - величина собственно гельмгольцевой, псевдогельмгольцевой или дуальногельмгольцевой квазидлины отрезка кривой, заключенного между этими точками.

В §5 по работе |5] приводится классификация двумерных двуметриче-ских геометрий. Их двухкомпонентные двуметрические функции в специальной системе локальных координат принимают вид:

/\х,у) = х1 - у\ /2(х, у) = х2 - V2;

f(x, у) = (X1 - »V, f2(x, у) = (X1 - у V.

В конце этого параграфа приводится интерпретация второй из них в теории циклов Карно, а в §6 - интерпретации псевдогельмгольцевой и сим-плициальной плоскостей в термодинамике идеального газа.

Во второй гляве изучаются двумерные собственно гельмгольцевы, псев-догельмгольцевы, дуальногельмгольцевы и симплициальные многообра^ зия, то есть двумерные многообразия, в касательных пространствах которых вводится структура собственно гельмгольцева, псевдогельмгольцева, дуальногельмгольцева и симллициального линейного пространства соответственно [10, 11, 16) Все построения в этой главе имеют строго локальный характер, то есть в координатной окрестности произвольной точки. В §1 для построения этих многообразий вводится отображение

и : LX(M) х LX(M) х ТХ(М) V2,

которое в координатной окрестности U определяется формулой:

ai(u,v,X) = а{Х%е

где v - некоторый фиксированный репер из расслоения линейных реперов L(M), а и - произвольный репер из L(M), X - вектор из касательного расслоения Т(М), а - структурные функции, еь ег - фиксированный базис в V2. Определяя в V2 квазискалярное произведение соответствующей плоскости, а затем перенося его в ТХ(М) при иомощи отображения где v - координатный базис в U, приходим к метрическим функциям гельм-гольцевых многообразий-

для собственно гельмгольцевых пространств:

f(X, Г) = (ala] + аУ^Х'У) exp (7arctg^ + 7arctg^j ;

для псевдогельмгольцевых пространств:

/ tt2Xk n2Yk\

f(X,Y) = (aja] - аУ})Х1¥> exp ^Ar(c)th^- + /?Ar(c)th^p¡-J ;

для дуальногельмгольцевых пространств для симплициальпых пространств:

где i,j,k,l =1,2 [11, 16| Заметим, что метрические функции определены в координатной окрестности Этот перенос приводит к "расслоению"

структурных функций- а = Ьс, где в произвольной точке координатной окрестности многообразия Ь - произвольный элемент из группы вращений соответствующей плоскости. Устанавливается инвариантность метрических функций относительно преобразований структурных функций: а —> Ьа. Рассматриваются примеры многообразий.

В §2 определяется квазиметрическая (согласованная) связность как способ параллельного перенесения, при котором сохраняется квазидлина неизотропного касательного вектора (вектор, на котором метрическая функция / положительна). Доказываются теоремьг

Теорема 1. Гелъмголъцево двумерное многообразие в координатной окрестности U произвольной точки допускает квазиметрическую связность с нулевым кручением, символы Кристоффеля которой задаются выражениями:

для собственно гельмгольцевых пространств.

Г1 - lhlk (4. ^ht ЭМ , \ \ \

где ht} = a¡a] + а^а] + -у{а\а] - а]а%);

для псевдогельмгольцевых пространств:

где ht] ^ а\а) - а2, а) + В(а\а] - a)a¡);

для дуалъногелъмголъцевых пространств

Ы _ 1 hlk (dhik j. dhki ®h¿\ h"4 \ j\\

где /itJ = ala] + {a\a] - aja?);

для симплициальных пространств:

где ht} = aja* - aja?, \jk = - a]|~t и Whjk = 4> h J. M = 1,2.

Теорема 2. Симметричная квазиметрическая связность собственно гельмгольцева, псевдегелъмголъцева, дуальногельмгольцева или симпли-циального пространства в координатной окрестности U не зависит от структурных функций а и как следствие единственна.

Устанавливается инвариантность символов Кристоффеля согласованной связности относительно преобразований: а—*Ьа.

В §3 определяются квазидлины неизотропной кривой (кривая, все касательные векторы которой неизотропные). Обратим внимание на то, что собственно гельмгольцево, псевдогельмгольцево и дуаль яогельмгольцево многообразия нельзя превратить в метрические пространства, хотя рима-ново многообразие превращается в метрическое простралство, в котором

под расстоянием между двумя точками понимается точная нижняя грань длин соединяющих их кривых [б]. Квазидлина представляет собой функционал [13, 16]:

для собственно гельмгольцевых пространств:

Затем находятся уравнения экстремалей этих функционалов

§4 посвящен проблеме введения в собственно гельмгольцевых, псевдо-гельмгольцевых, дуальногельмгольцевых и симплициальных пространствах изотермических (конформных) координат [14, 12, 16) Будем говорить, что многообразия М и М' локально конформно отображены друг в друга относительно локального диффеоморфизма у?, если имеет место равенство

где а - некоторая гладкая функция координат точки. Имеет место

Теорема. Если в некоторой координатной окрестности II произвольной точки собственно гельмгольцево. пространства со структурными функциями а — Ьс можно подобрать такую систему координат, что выполняются условия

для псевдогельмгольцевых пространств:

для дуальногельмгольцевых пространств:

дА

ду* '

ЭВ_дА ду2 Эу1

где А = -(сИ + ¿¡4)/((4)2 + (4П В = - &М(4)2 + (4П

а\а\+а14 = а^-о^о? - с^-ф2, (<4)2+(а|)2 = (с^)2+(с|)2,

(а})2 4- (а2)2 = (с})'2 4- (с|)2, то метрическая функция / в «ей будет на некоторый множитель А2 отличаться от метрической функции локально плоского пространства, то есть будет ей локально конформно эквивалентна

Аналогичная теорема имеет место и в отношении псевдогельмгольце-вых, дуальногельмгольцевых и симплициальных двумерных многообразий.

В §5 находится тензор кривизны квазиметрической связности и устанавливаются его свойства ¡11]:

для собственно гельмгольцевых пространств:

для псевдогельмгольцевых пространств:

^112 = ^212 = ^112' ^212 = для дуальногельмгольцевых пространств:

2 - Ч

л}12 — — н212, — О, — —/?1

для симплициальных пространств:

й{12 = #212, #212 — #112 = 0.

В §6 определяется локальная группа Ли локальных изометрий гельмгольцевых многообразий. Находятся уравнения на группу локальных изометрий [7, 16|:

Теорема. Векторное тюле £ порождает локальную группу изометрий в координатной окрестности и гельмгольцева пространства М, тогда и только тогда, когда компоненты этого поля удовлетворяют уравнениям:

A. для собственно гельмгольцевых пространств:

B. для псевдогельмгольцевых пространств:

С. для дуалъногелъмгольцевых пространств■ В. для симплщиалъных пространств:

к

причем для координат х1, х2 векторное поле £ — £д/дхг, г,],к = 1,2, Лу - квазиметрический тензор собственно гелъмголъцева, псевдогелъм-гольцева, дуалъногелъмголъцева или симплициалъного пространства.

Доказывается, что уравнения на группу локальных изометрий инвариантны относительно преобразований структурных функций: а —> Ьа, где Ь - произвольная матрица из группы гельмгольцевых вращений.

В третьей главе изучаются двумерные двуметрические пространтва, то есть двумерные многообразия, в касательных пространствах которых (рассматриваемых как аффинные) вводится структура двуметрических плоскостей. Эти многообразия определяются локально, то есть двуметрические функции определяются в координатной окрестности произвольной точки. Основные результаты опубликованы в работе (17].

Для построения этих многообразий в §1 вводится отображение

ш : АХ{М) х АХ(М) х ТХ(М) -» Я2.

В координатной окрестности и эта функция принимает вид:

и(и, V, X) = а{Хге} + ?е„ »,7 = 1,2,

где V - некоторый фиксированный репер из АХ(М), а и - произвольный репер, X € ТХ(М). Задавая в аффинном пространстве V2 двуметрические функции, приходим к двуметрическому двумерному многообразию:

1\Х,У) = а]Х* - а,1 У1, ?{Х,У) = а?Х* - а,2У";

№, У) = (а!Х' - а^У')(а2Х' + \ 12(Х, У) = (а}Х' - а}У')(а^У% + /

где г,^ = 1,2, причем а = ^ ® ^ ^ - структурные функции. Для двуметрических многообразий справедливо разложение структурных функций-о = Ьс, где в произвольной точке координатной окрестности Ь - произвольный элемент из группы Ли, локальной подгруппой которой является

группа локальных движений соответствующей двуметрической плоскости, ас -некоторая матрица. Доказывается, что двуметрикаинвариантна относительно преобразований структурных функций: а —> Ьа.

В §2 определяется согласованная связность как способ параллельного перенесения, при котором

У*/х(*,У) = 0, \7к/2(Х,У) = 0.

Доказывается теорема:

Теорема. Компоненты символов Кристоффеля Г^ согласованной связности в координатной окрестности I/ двуметрических двумерных пространств с метрическими функциями

/\Х, У) = а^Х1 - а\У\ /2(Х, У) = а*Х' -

fl(X,Y) = (а]Х1-а1У%а^ + е), f'(X,Y) = - а\Г){а*У1 +

имеют следующие выражения, для первой двуметрики:

Г1 -л1^ tk~ >дхк'

где а - матрица, обратная матрице а; для второй двуметрики:

Г» i,j,h,l,n,m= 1,2,

причем а? = e(m)aj", £(1) = 1, е(2) = -1.

Доказывается инвариантность символов Кристоффеля относительно преобразований структурных функций, a —» Ьа.

В §3 определяется локальная группа Ли локальных изометрий дву-метрического двумерного многообразия Находятся уравнения на группу локальных изометрий-

Теорема. Для того, чтобы в координатной окрестности U произвольной точки двуметрического двумерного многообразия М векторное поле X определяло инфинитезимальную изометрию, необходимо и достаточно, чтобы его компоненты Хк были решениями следующей системы дифференциальных уравнений.

для пространств с двуметрикой }1 — а\(1хг, /2 = а?с1х1: да\ , дХк „

для пространств с двуметрикой /1 = (а\Лх'){а2йх1-¥^2), /2 = а\йх1(?:

+акдх> '

где 1,3, к — 1,2, причем X1 и X2 - компоненты векторного поля X, е(1) = -1, е(2) = 1.

Находятся базисные операторы группы локальных изометрий в простейших случаях.

В последнем параграфе приводится физическая интерпретация дву-метрического двумерного пространства в неравновесной термодинамике.

Список литературы

|1] Гелъмголъц Г. О фактах, лежащих в основании геометрии // Об основаниях геометрии- M ,1956. С.366-388

[2| Михайличенко Г.Г. Двумерные геометрии //Докл. АН СССР. 1981 Т.260, 4. С. 803-805 (Mikhaylitchenko G G Geometries a deux dimensions dans la theorie de structures physiques // Comptes Rendus de L'Academie des Sciences. Paris, 16 novembre 1981. T.293 Serie 1. P.529-531).

(3) Лев B.X. Трехмерные геометрии в теории физических структур // Вычислительные системы, 125, Новосибирск' Изд-во Института математики, 1988г., с. 90 - 104.

[4| Михайличенко Г.Г. Полиметрические геометрии. Новосибирск: НГУ, 2001.

|5] Михайличенко Г.Г. Простейшие полиметрические геометрии // Докл АН РФ М. "Наука", 1996. Т.348, 1. С.22-24.

(6) Громол Д., Клингенберг В., Мейер В Риманова геометрия в целом. М.:"Мир", 1971г.

(7) Эйзенхарт JI.IJ. Непрерывные группы преобразований. М.: ИЛ, 1947.

Публикации автора

[8] Киров В.А. Векторы некоторых двумерных феноменологически симметричных геометрий.// "Наука, культура, образование", Горно-Алтайск: "Универ-принт", 2000, 6/7, стр 111-114.

[9] Киров В.А. Циклы некоторых плоских феноменологически симметричных геометрий //Наука, культура, образование, Горно-Алтайск: "Универ-принт", 1999, 3, с.126 - 128.

[10] Киров В.А. Двумерные гельмгольцевы многообразия. //Динамика сплошной среды. Новосибирск, Изд-во Института гидродинамики, 2001, 118, с. 53 - 58.

[11] Киров В.А. Двумерные гельмгольцевы пространства. // Математические структуры и моделирование. Омск: Омск. гос. ун-т, 2002, 9, с. 27 - 37.

[12] Киров В.А. Двумерные римановы и гельмгольцевы многообразия. // Труды по геометрии и анализу Новосибирск: Изд-во Института математики, 2003, 9, с. 312 - 323.

[3.3] Киров В.А. Длина кривой гельмгольцева двумерного пространства. // Вестник БГПУ, серия: естественные и точные науки. Барнаул: Изд-во БГПУ, 2002, 2, с. 12 - 17.

|14] Киров В.А. Изотермические координаты гельмгольцевых двумерных пространств.// Международная конференция-школа по геометрии и анализу, посвященная памяти А.Д. Александрова (1912 - 1999). Новосибирск: Изд-во Института математики, 2002, с. 53 - 54.

[15] Киров В.А. Гельмгольцевы плоскости и термодинамика.// Межрегиональная конференция "Математическое образование на Алтае". Барнаул: Изд-во БГПУ, 2002, с. 6 - 7.

[16] Киров В.А. Гельмгольцевы пространства размерности два.// Сиб. мат. жури., т.46, 6, 2005г, с. 1343 - 1361.

»216 62

[17] Киров В. А. Двуметрические пространства.// Изв. вузов. Математика., 8(519), 2005г, с. 27 - 38.

[18] Киров В.А. Трехмерные гельмгольцевы пространства.// Тезисы конференции молодых ученых. Новосибирск, 2001, с. 16 - 18.

[19] Киров В.А. Шестимерные алгебры Ли групп движений трехмерных феноменологически симметричных геометрий // Приложение к монографии Михайличенко Г.Г. "Полиметрические геометрии". Новосибирск: НГУ, 2001, с. 116 - 143.

Подписано в печать 21.10.2005. Формат 60 х 84i Бумага офсетная. П.л. 1.0 Заказ № 180. Тираж 100 экз.

Типография Горно-Алтайского государственного университета, 649000, г. Горно-Алтайск, ул. Ленкина, 1.

РНБ Русский фонд

18461

Введение.

Глава 1. Двумерные феноменологически симметричные геометрии.

§1. Гельмгольцевы плоскости.

§2. Линейные гельмгольцевы пространства.

§3. Циклы гельмгольцевых плоскостей.

§4. Кривизна кривой.

§5. Двуметрические феноменологически симметричные плоскости.

§6. Геометрическое описание идеального газа.

Глава 2. Двумерные гельмгольцевы многообразия.

§1. Метрические функции гельмгольцевых двумерных многообразий.

§2. Согласованные связности гельмгольцевых многообразий.

§3. Длина кривой гельмгольцева многообразия.

§4. Конформное соответствие гельмгольцевых многообразий.

§5. Тензор кривизны гельмгольцевых многообразий.

§6. Группы изометрий двумерных гельмгольцевых многообразий

Глава 3. Двумерные двуметрические многообразия.

§1. Метрические функции двуметрических двумерных многообразий.

§2. Согласованные связности двуметрических двумерных многообразий.

§3. Двуметрические двумерные многообразий, допускающие группы изометрий.

§4. Применение двуметрических многообразий в неравновесной термодинамике.

Г.Гельмгольц в известной работе "О фактах, лежащих в основании геометрии" [1] исследует свойства пространства и приходит к выводу, что в основе лежат следующие гипотезы:

1. Пространство п-измерений есть n-кратно протяженное многообразие.

2. Допускается существование подвижных, но неизменяемых (твердых) тел или систем точек.

3. Допускается вполне свободная подвижность твердых тел.

4. Два совмещающихся тела совмещаются и после того, как одно из них подвергалось вращению около некоторой оси.

Этим гипотезам удовлетворяет евклидова геометрия. В конце статьи замечается, что если отбросить аксиому 4, то в двумерном случае мы приходим к геометрии, окружностью в которой является логарифмическая спираль. Двумерная геометрия со спиралью в качестве окружности, была получена в теории физических структур Г. Г. Михайличенко [2] при классификации двумерных феноменологически симметричных геометрий.

Автором теории физических структур (ТФС) является Юрий Иванович Кулаков, которому и принадлежит термин феноменологическая симметрия [3, 4]. Эта теория появилась в 60-ые годы. Первоначально феноменологическая симметрия была установлена для второго закона Ньютона и закона Ома, а затем перенесена в геометрию.

В качестве примера рассмотрим феноменологическую симметрию плоскости Евклида. Пусть х = (а;1, ж2) и у — {у1, у2) — две точки плоскости Евклида. Тогда квадрат расстояния между этими точками задается функцией: х, у) = р2(х, у) = (х1 - у1)2 + (х2 - у2)2. (1)

Для четырех точек x,y,z,u шесть их взаимных расстояний р(х,у), p(x,z), р(х,и), p(y,z), р(у,и), p(z,u) оказываются функционально связанными. Эта связь выражается при помощи определителя Кэли-Менгера пятого порядка:

1111 О р2{х,у) p2(x,z) р2{х,и) р2(х,у) 0 p2(y,z) р2{у,и) p2(x,z) p2(y,z) 0 p2{z,u) 1 р2{х,и) р2(у,и) О

По терминологии Кулакова [5] данное соотношение, справедливое для любой четверки < x,y,z,u >, выражает феноменологическую симметрию плоскости Евклида.

Следуя [6], по метрической функции (1) можно найти группу движений плоскости Евклида с уравнениями: х 1 ах1 — ebx2 + с, х'2 = Ьх1 + еах2 + d,

2) где а2+Ь2 — 1,£ = ±1. Множество всех движений (2) выражает групповую симметрию плоскости Евклида. Г.Г. Михайличенко в работе [7] показал, что групповая и феноменологическая симметрии для некоторого класса геометрий равносильны. Такие геометрии являются феноменологически симметричными. Следует заметить, что это геометрии в смысле Клейна, о которых говорится в "Эрлангенской программе", то есть, в каком-то смысле, элементарные. Таким образом, феноменологически симметричные гг-мерные геометрии - это геометрии Клейна с функциональной связью между всеми взаимными расстояниями произвольных п + 2 точек.

Г. Г. Михайличенко в конце 60-ых годов строго определил феноменологическую симметрию однометрических физических структур на двух множествах и построил полную классификацию. Затем, в 70-ые и 80-ые гг., им была определена феоменологическая симметрия на одном множестве, а также построена классификация двумерных геометрий [4, 7]. Среди этих геометрий есть и гельмгольцевы. В.Х. Лев дал полную классификацию однометрических трехмерных геометрий [8].

После построения Г. Г. Михайличенко классификации двумерных геометрий, возникла проблема локального построения и изучения двумерных гельмгольцевых гладких многообразий, а также нахождения физических интерпретаций. Эта задача решается в данной работе. Схема построения двумерных гельмгольцевых гладких многообразий аналогична схеме построения римановых многообразий: в касательном пространстве произвольной точки многообразия вводится евклидова структура. В данном случае вместо евклидовой структуры берутся гельмгольцевы структуры.

Перейдем к точным формулировкам, которые приводим по монографии [6]. Рассмотрим sn-мерное многообразие М и функцию / : (5/ —»■ Rs, где 6/СМхМ, которая сопоставляет каждой паре точек < х,у > Е 6/ s вещественных чисел f(x, у) = (/г(х, у),., /s(x, у)) Е 72s. Функцию f = (fl, • • •, fs) будем называть s-метрикой.

Для некоторой последовательности < . 2rn > € Мп введем функции /п = /[^i,., и /" = /[zi,., zn], сопоставляя точке х Е М точки (,f(x, Zi),., /(ж, Е Rsn и (/(jzi, ж),., f{zn, х)) Е Rsn соответственно, если < х, z\ >,.,< rr, zn > Е ©/ и < zi, х >,., < zn, х > Е <5/.

В отношении пространства М с s-метрикой / = (/\ ., /3) будем предполагать выполнение следующих трех аксиом:

I. Область определения (5/ функции / есть открытое и плотное в М х М множество.

II. Функция / в области своего определения есть достаточно гладкая функция, то есть необходимое число раз непрерывно дифференцируемая.

III. В Мп плотно множество таких точек, для которых функция f n(fn) имеет максимальный ранг, равный sn, в точках плотного в М множества.

Гладкая s-метрика / = (f1,., fs), для которой выполняется аксиома III, называется невырожденной.

Пусть т — п + 2. Введем функцию F, сопоставляя точке из Мт точку (f(x,y), f(x,z),.,f(u,v)) Е причем все пары < х, у >,< x,z >,.,< u,v > принадлежат (5/. Область определения функции F обозначим через

Определение 1. Функция f — (f1,., fs) задает на sn-мерном многообразии М полиметрическую феноменологически симметричную геометрию ранга т = п + 2, если, кроме аксиом I, II, III, дополнительно имеет место следующая аксиома:

IV. Существует плотное в множество, для каждой последовательности < х, у, z,. и, v > длины гп = п + 2 которой и некоторой ее окрестности U{< х,у, z,. и, v >) найдется такая достаточно гладкая функция Ф : (£ —> Rs, определенная в некоторой области € С RSTn(m-1)/2} содержащей точку F(< х,у, z,. .u,v >), что в ней rang$ = s и множество F(U(< х,у, z,. .u,v >)) является подмножеством множества нулей функции Ф, то есть f{ij),f(hk),.,f{u,v)) = 0 (3) для всех последовательностей из U(< х,у, z,. .и, v >).

Аксиома IV составляет содержание принципа феноменологической симметрии. Эта аксиома выражает требование, чтобы sm(m — 1)/2 расстояний между точками любой последовательности длины т = п + 2 из U(< x,y,z,. .u,v >) были функционально связаны.

Если х — (ж1,., xsn) - локальные координаты в многообразии М, то для s-метрики / = (/*,., fs) в некоторой окрестности U(x) х U{у) произвольной пары точек с условием < х, у > 6 (5/ можно выписать явно ее локальное координатное представление

В случае однометрических (s = 1) двумерных пространств значение метрической функции / для пары точек < х, у > принадлежит R. Условие феноменологической симметрии принимает следующий вид: для произвольных четырех точек x,y,z,u из М таких, что < х,у >е <5/, < x,z >е 6/, < х,и >€ 6/, < y,z >€ <5/, < у,и >е в/, < z,u >G 6/, имеет место функциональная связь: для плотного в М2 множества пар < х, у > и плотного в М множества точек.

В случае двуметрических (s = 2) двумерных пространств функция / принимает значения в R2. Условие феноменологической симметрии тогда приобретает такой вид: для произвольных трех точек х, у, z из М таких, что < х, у >£ ©у, < x,z >е б/, < y,z >6 в/, имеют место функциональные связи: я,*,) = /(*\.,Х- yV.-.iT)для плотного в А/2 множества пар.

Перейдем теперь к групповой симметрии. Пусть U и U' - открытые области в многообразии М. Гладкое инъективное отображение

X:U^U' (4) называется локальным движением, если оно сохраняет s-метрику / = (/*,., fs). Последнее означает, что для любой пары < х, у > Е 6/, такой что х, у 6 U, и соответствующей пары < А(ж), Х(у) >, причем А(ж), А(у) е U', имеет место равенство f(\(x),\(y)) = f(x,y).

Множество всех движений (4) есть локальная группа преобразований, для которой s-метрика является двухточечным инвариантом. Если s -метрика / задана явно, то равенство (4) является функциональным уравнением, решая которое можно найти группу движений (4).

Определение 2. Будем говорить, что функция / = (f1,., fs) задает на sn-мерном многообразии М полиметрическую геометрию, наделенную групповой симметрией степени sn(n + 1)/2, если, кроме аксиом I, II, III, дополнительно имеет место следующая аксиома:

IV'. Существует открытое и плотное в М множество, для каждой точки х которого задано эффективное гладкое действие sn(n 4- 1)/2-мерной локальной группы Ли в некоторой окрестности U(ж), такое, что действия ее в окрестностях U(x), U{y) двух точек х, у совпадают в пересечении U(x)C\U(у) и что функция /(ж,у) по каждой из своих s компонент является двухточечным инвариантом.

Г. Г. Михайличенко в монографии [6] доказывается следующая

Теорема (об эквивалентности феноменологической и групповой симметрий). Для того, чтобы функция f = (Z1,.,/5) задавала на sn-мерном многообразии М полиметрическую феноменологически симметричную геометрию ранга т — п + 2, необходимо и достаточно, чтобы эта функция задавала на М полиметрическую геометрию, наделенную групповой симметрией степени sn(n + 1)/2.

Следствием этой теоремы является то обстоятельство, что если нам известна метрическая функция феноменологически симметричного пространства, то мы можем найти группу движений, и, наоборот, если известна группа движений, то по ней восстанавливается метрическая функция как двухточечный инвариант.

Изложим теперь краткое содержание диссертации.

В первой главе диссертации исследуются плоские геометрии. В §1 приводятся гельмгольцевы геометрии, метрические функции которых принимают вид: собственно гелъмголъцева плоскость Г2: у) = [Or1 - у1)2 + (х2 - у2)2] exp , где постоянная 7 > 0, причем функция arctg рассматривается однозначной с областью значений в промежутке (—тг/2, тг/2) (термин гельмгольце-ва плоскость появился из анализа работы Гельмгольца [1], где он обнаружил геометрию, в которой роль окружности выполняет логарифмическая спираль); псевдогельмгольцева плоскость РГ2: у) = [{х1 - у1)2 - (х2 - у2)2] exp (W(c)th, где постоянная (3 > 0 и (3 ф 1, причем выбирается функция Arth, если аргумент по модулю меньше единицы и выбирается функция Arcth, если аргумент по величине больше единицы; дуалъногельмголъцева плоскость D2: f{xi у)= (х1 ~ у1)2 ехр (2^rrfi); симплициалъная плоскость S2: х2 — у2 fix,у) = -7-гxv — у1

Далее вводится в Г2, РГ и D2 понятие квазидлины неизотропной кривой, то есть кривой, между двумя произвольными точками которой определено квазирасстояние: = V?Ку) = vV~ У1)2 ~(х2 -У2)2 exp ^Arth^^) ,

Г = у/ТМ) = I*1 - y1\ ехР (frrfr) и доказывается ряд свойств квазидлины. Например, следующая теорема: Теорема. Для произвольной сходящейся последовательности точек {tn} —> to неизотропной гладкой кривой x(t) собственно гельмгольце-вой, псевдогельмгольцевой или дуальногельмголъцевой плоскостей последовательность им соответствущих квазирасстояний f'{x(tn),x(to)) также сходится.

В этом параграфе приводятся также группы движений изучаемых плоскостей [6].

В §2 находятся независимые инварианты групп Ли собственно гельм-гольцевых, псевдогельмгольцевых, дуальногельмгольцевых и симплици-альных вращений 0(Г2), 0(РГ2), 0(D2) и 0(S2) соответственно в вещественном векторном пространстве V2 [10]. Эти инварианты позволяют определить угол между векторами. Вводится двухточечный вектор, как функция, сопоставляющая паре точек плоскости - вектор, а затем находятся его координаты:

Определение. Двухточечным вектором плоскости F2 = Г2, РГ2, D2, S2 называется гладкая функция, сопоставляющая двум точкам хну пару чисел £2(х,у)), причем е1(х,у)=е(х',у'), е2(х,у)=е(х',у'), где "штрих"означает преобразование: над координатами вектора — группы вращений 0(F2) и над координатами точки — группы движений G(F2) [10].

Доказывается следующая

Теорема. Координаты двухточечных векторов плоскости Г2, РГ2, D2 и S2 задаются следующими выражениями: для плоскости Г2: = PifKx1 - у1) - Щ)(х2 - у2), £2 = ВДОг1 - у1) + p(f)(x2 - у2); для плоскости РГ2: е1 = PifKx1 ~ У1) + Hf)(x2 - у2), £2 = ЦМх1 - у1) +P(f)(x2 - у2); для плоскости D2: е=PU){Xi - л е = нтх1 ~ у1)+р(л(х2 - у2) и для плоскости S2: е=р(л(х1-у1), е=р(тх2-у2), где f - метрическая функция, ар и к - гладкие функции одной переменной.

Из этой теоремы следует, что двухточечный вектор образуют разности координат пары точек плоскости.

В §3 определяются циклы плоскостей Г2, РГ2, D2 и S2 как кривые, которые остаются инвариантными относительно преобразований однопа-раметрических подгрупп групп движений [11]. Задача сводится к решению функционального уравнения:

1{х1{гх),х2{1х),у1{Ьу),у*{гу)) = ip{tx - ty), где / - метрическая функция, а ф - некоторая гладкая функция. Доказывается следующая теорема:

Теорема. Циклами собственно гелъмголъцевой плоскости Г2 являются прямые: х х0 — ij х Xq — где k - произвольная постоянная, и ее окружности: х

1 — Xq = Re 7t cos t, x2 — Xq = Re sin t, где R - произвольная постоянная; циклами псевдогелъмгольцевой плоскости РГ2 являются прямые с—1 < к < +1, и окружности: х

1 - xl = Re-^cht, х2-х20 = Re~llsht\ циклами дуальногелъмгольцевой плоскости D2 являются прямые, и окружности: х — Re , х Xq —Rte и, наконец, циклами симплициальной плоскости S2 являются только прямые [11].

В §4 вводится кривизна неизотропной кривой собственно гельмголь-цевой Г2, псевдогельмгольцевой РГ2 и дуальногельмгольцевой плоскости D2. Она определяется формулой: k = Iirn 7-^-7, dt-ti |As| где г) - угол между касательными векторами кривой х = x(t) в точках x(t) и x(t + dt), a |As| - величина собственно гельмгольцевой, псевдогельмгольцевой или дуальногельмгольцевой квазидлины отрезка кривой, заключенного между этими точками.

В §5 по работе [12] приводится классификация двумерных двуметри-ческих геометрий. Их двухкомпонентные двуметрические функции в специальной системе локальных координат принимают вид: fix,у) = х1 - у1, f2(x,y) = x2-у2-, f(x, у) = 0г1 - г, V, У) = С*1 ~ У V

В конце этого параграфа приводится интерпретация второй из них в теории циклов Карно, а в §6 - интерпретации псевдогельмгольцевой и сим-плициальной плоскостей в термодинамике идеального газа.

Во второй главе изучаются двумерные собственно гельмгольцевы, псев-догельмгольцевы, дуальногельмгольцевы и симплициальные многообразия, то есть двумерные многообразия, в касательных пространствах которых вводится структура собственно гельмгольцева, псевдогельмгольцева, дуальногельмгольцева и симплициального линейного пространства соответственно [13, 14, 31]. Все построения в этой главе имеют строго локальный характер, то есть в координатной окрестности произвольной точки.

В §Гдля построения этих многообразий вводится отображение ш : LX(M) х LX(M) х ТХ{М) -> V2, которое в координатной окрестности U определяется формулой: uj(u, v, X) = a\Xlej, где v - некоторый фиксированный репер из расслоения линейных реперов L(M), а и - произвольный репер из L(M), X - вектор из касательного расслоения Т(М), а - структурные функции, ei, ег - фиксированный базис в V2. Определяя в V2 квазискалярное произведение соответствующей плоскости, а затем перенося его в ТХ(М) при помощи отображения cuv, где v - координатный базис в С/, приходим к метрическим функциям гельм-гольцевых многообразий: для собственно гельмгольцевых пространств:

2 vk 2 vfc\

7arCtg^" + 7arCtg^F J 5 для псевдогельмгольцевых пространств: f(X, Y) = (а\а) - а2а])Х^ exp ^Ar(c)th^ + /?Ar(c)th^) ; для дуальногельмгольцевых пространств: для симплициальных пространств: где i,j,k,l = 1,2 [14, 31]. Заметим, что метрические функции определены в координатной окрестности. Этот перенос приводит к "расслоению" структурных функций: а — be, где в произвольной точке координатной окрестности многообразия Ъ - произвольный элемент из группы вращений соответствующей плоскости. Устанавливается инвариантность метрических функций относительно преобразований структурных функций: а —> Ьа. Рассматриваются примеры многообразий.

В §2 определяется квазиметрическая (согласованная) связность как способ параллельного перенесения, при котором сохраняется квазидлина неизотропного касательного вектора (вектор, на котором метрическая функция / положительна). Доказываются теоремы:

Теорема 1. Гелъмгольцево двумерное многообразие в координатной окрестности U произвольной точки допускает квазиметрическую связность с нулевым кручением, символы Кристоффеля которой задаются выражениями: для собственно гельмгольцевых пространств: \hlk (^Г + ^ - fx) - + Akij - Ay*), где hij = аг-а] + afaj + 7(ajoj — а]а?); для псевдогельмгольцевых пространств: rlij = \hlk + il - f^r) - + где h^ — а-а] — afaj + Р(а}а* — а]а-); для дуальногельмгольцевых пространств: = \hlk ( + ^ - - hlk(x^ + ~ М, где h^ = аг-а] + (ajoj — а]а?); для симплициальных пространств:

Г!-, = ihlk ij 2 dhjk dhu dhi/ hlk{\jki + A kij — \jk), dxl dxi dxk где hij = ajaj - ajaf, Xijk = a)^ - и hl3hjk = Slk, ij, k,l = 1, 2.

Теорема 2. Симметричная квазиметрическая связность собственно гельмгольцева, псевдегельмгольцева, дуальногелъмгольцева или симпли-циального пространства в координатной окрестности U не зависит от структурных функций а и как следствие единственна.

Устанавливается инвариантность символов Кристоффеля согласованной связности относительно преобразований: а —> Ьа.

В §3 определяются квазидлины неизотропной кривой (кривая, все касательные векторы которой неизотропные). Обратим внимание на то, что собственно гельмгольцево, псевдогельмгольцево и дуальногельмгольцево многообразия нельзя превратить в метрические пространства, хотя рима-ново многообразие превращается в метрическое пространство, в котором под расстоянием между двумя точками понимается точная нижняя грань длин соединяющих их кривых [16]. Квазидлина представляет собой функционал [17, 31]: для собственно гельмгольцевых пространств: iM =

П,

J а г . j g-ij х х exp

7arctg dt; для псевдогельмгольцевых пространств:

I = V

J а gij x x exp

Arth 2 af x a)x dtдля дуальногельмгольцевых пространств: rP

I = 7

J a г .j g^ x x exp

2 ■* af x

La3X dt.

Затем находятся уравнения экстремалей этих функционалов.

§4 посвящен проблеме введения в собственно гельмгольцевых, псевдогельмгольцевых, дуальногельмгольцевых и симплициальных пространствах изотермических (конформных) координат [18, 15, 31]. Будем говорить, что многообразия М и М' локально конформно отображены друг в друга относительно локального диффеоморфизма у», если имеет место равенство:

Г = e2V, где а - некоторая гладкая функция координат точки. Имеет место

Теорема. Если в некоторой координатной окрестности U произвольной точки собственно гельмгольцева пространства со структурными функциями а = be можно подобрать такую систему координат, что выполняются условия дА дБ 0 дБ дА Q ду2 ду1 ' ду2 ду1 ' г<?е А = + с?с2)/((с*)2 + В = -(eje2 - с1с2)/((4)2 + (с2)2), a}4+afa| = c}c£+cfc§, а\а22-а\а\ = с^-с^с2, (4)2+(a|)2 = (cj)2+(c|)2, (a*)2 + (af)2 = (с})2 4- (с2)2, mo метрическая функция f в ней будет на некоторый множитель Л2 отличаться от метрической функции локально плоского пространства, то есть будет ей локально конформно эквивалентна.

Аналогичная теорема имеет место и в отношении псевдогельмгольце-вых, дуальногельмгольцевых и симплициальных двумерных многообразий.

В §5 находится тензор кривизны квазиметрической связности и устанавливаются его свойства [14]: для собственно гельмгольцевых пространств: для псевдогельмгольцевых пространств:

R\l2 — ~~ РЩ.121 ^212 = -^1121 -^212 = /^-^112» для дуальногельмгольцевых пространств:

R\l2 = -^112' "^212 = i?212 = ^112? для симплициальных пространств:

-^112 = ^212 > ^212 ~ -^112 О

В §6 определяется локальная группа Ли локальных изометрий гельмгольцевых многообразий. Находятся уравнения на группу локальных изометрий [19, 31]:

Теорема. Векторное поле £ порождает локальную группу изометрий в координатной окрестности U гельмгольцева пространства М, тогда и только тогда, когда компоненты этого поля удовлетворяют уравнениям:

А. для собственно гельмгольцевых пространств:

В. для псевдогельмгольцевых пространств:

С. для дуалъногелъмгольцевых пространств: dh + + h*kdZ ~ 2Xijke =

D. для симплициальных пространств: q^Z + ^ + ~ 2Xi^ = причем для координат x1, x2 векторное поле £ = £гд/дхг, = 1,2, hij - квазиметрический тензор собственно гельмгольцева, псевдогельм-гольцева, дуальногельмгольцева или симплициального пространства.

Доказывается, что уравнения на группу локальных изометрий инвариантны относительно преобразований структурных функций: а —► Ьа, где b - произвольная матрица из группы гельмгольцевых вращений.

В третьей главе изучаются двумерные двуметрические пространтва, то есть двумерные многообразия, в касательных пространствах которых (рассматриваемых как аффинные) вводится структура двуметрических плоскостей. Эти многообразия определяются локально, то есть двуметрические функции определяются в координатной окрестности произвольной точки. Основные результаты опубликованы в работе [32].

Для построения этих многообразий в §1 вводится отображение v о;: АХ(М) х АХ(М) х ТХ(М) R2.

В координатной окрестности U эта функция принимает вид: tu{u,v, X) = afX'e, + i,j = 1,2, 15 где v - некоторый фиксированный репер из АХ(М), а и - произвольный репер, X G ТХ(М). Задавая в аффинном простраснстве V2 двуметриче-ские функции, приходим к двуметрическому двумерному многообразию: f\X,Y) = а\Х1 - a\Y\ f2(X, Y) = а2Х* - а?У*; f\X, Y) = (aJX4 - + £2), \ f2(X, У) = (a}*4 - + J где i,j = 1,2, причем a = ^ ^ ^ ^ - структурные функции. Для двуметрических многообразий справедливо разложение структурных функций: а = be, где в произвольной точке координатной окрестности b - произвольный элемент из группы Ли, локальной подгруппой которой является группа локальных движений соответствующей двуметрической плоскости, ас -некоторая матрица. Доказывается, что двуметрикаинвариантна относительно преобразований структурных функций: а —>■ Ьа.

В §2 определяется согласованная связность как способ параллельного перенесения, при котором

Vkf\X,Y)= 0, Vkf\X,Y) = 0.

Доказывается теорема:

Теорема. Компоненты символов Кристоффеля Flik согласованной связности в координатной окрестности U двуметрических двумерных пространств с метрическими функциями f(X, Y) = а}Х* - a\Y\ f2(X, Y) = а2Х*' - а?У и f\X,Y) = (а1Х*-а1^)(а2ХЧе), f{X,Y) = {а\Х>-а\^){а2Г+?) имеют следующие выражения: для первой двуметрики:

Г1 ik jdxk' где а - матрица, обратная матрице а; для второй двуметрики:

ЯпV1 dlnf2

ГП -п г , -n~mUUL^ ■ ■ . j -i 9

1 ik — ат Qxk ^ mi q ^ ) I, J, К, L,Tl,m — 1, z, причем а™ — e{m)af, е(1) = 1, е(2) — —1.

Доказывается инвариантность символов Кристоффеля относительно преобразований структурных функций: а —>■ Ьа.

В §3 определяется локальная группа Ли локальных изометрий дву-метрического двумерного многообразия. Находятся уравнения на группу локальных изометрий:

Теорема. Для того, чтобы в координатной окрестности U произвольной точки двуметрического двумерного многообразия М векторное поле X определяло инфинитезималъную изометрию, необходимо и достаточно, чтобы его компоненты Хк были решениями следующей системы дифференциальных уравнений: для пространств с двуметрикой f1 = a]dx\ f2 = afdx1: да\ . . dXk для пространств с двуметрикой /1 = (a}dxl)(afdxl+£2), /2 = a\dxг£2: да$"к {дХк . vk где i,j,k — 1,2, причем X1 и X2 - компоненты векторного поля X, е(1) =-1, е(2).= 1.

Находятся базисные операторы группы локальных изометрий в простейших случаях.

В последнем параграфе приводится физическая интерпретация двуметрического двумерного пространства в неравновесной термодинамике.

Оговорим правила ссылок. Каждое уравнение в каком-либо параграфе нумерается отдельным числом. При ссылке на уравнение или формулу из другого параграфа данной главы номер этого выражения снабжается через точку дополнительным числом, который нумерует параграф, например, (2.13). При ссылке на уравнение из другого параграфа другой главы номер этой формулы снабжается через точки двумя дополнительными числами, первое из которых нумерует главу, а второе - параграф, например, (1.2.13). Нумерация теорем и определений по параграфам независима.

Заключение

В данной диссетацин построен метод описания двумерных феноменологически симметричных многообразий, которые в "бесконечно малой" окрестности произвольной точки устроены как феноменологически симметричные плоскости с метрическими функциями (1.1.1) - (1.1.4) в случае однометрических пространств и (1.5.2) - (1.5.3) в случае двуметрических пространств. В частности, были найдены метрические функции, определены согласованные связности и для них найдены символы Кристоффеля.

Этот метод обладает достаточной общностью. Его можно распростро-нить и на другие феноменологически симметричные пространства. Так вводя в касательном пространстве каждой точки трехмерного многообразия трехмерную собственно гельмгольцеву, псевдогельмгольцеву, дуаль-ногельмгольцеву или симплициальную структуру, приходим к пространствам с метрическими функциями [33]: для собственно гельмгольцевых пространств:

2jarctg f = \{а]Х1)2 + (а2Х3)2] ехр для псевдогельмгольцевых пространств: = [(а]Х1)2 - {а2Х3)2} ехр для дуальногельмгольцевых пространств: = (а]Х')2ех р а2Хк a}W + 2а™Хт п2Хк

2pAr(c)th^r + 2а3тХг 2(&Xn для симплициальных пространств: аЗХ{ f = а)Я гехр(2 а*тХт), где i,j,k,l,m = 1,2,3. Классификация трехмерных феноменологически симметричных геометрий была получена Львом В.Х. в работе [8], а операторы группы движений, как решения соответствующих функциональных уравнений, были найдены в работе автора [34]. Для пространств с выше определенными метрическими функциями можно определить согласованные связности. Следует заметить, что эти геометрии тесным образом связаны с двумерной симплектической геометрией с метрической функцией: f{xy) = xly2 -х2у\

В частности, в касательном пространстве гладкой двумерной поверхности гельмгольцевой трехмерной геометрии естественным образом вводится двумерная симплектическая структура.

Схема построения интерпретации равновесной термодинамики идеального газа, предложенная в §6 главы 1, подсказывает о необходимости исследования четырехмерного многообразия, в каждом касательном пространстве которого можно ввести метрическую функцию: f(xy) = (ж1 - у- у2у + х у где 7 = const.

Далее можно идти по пути построения триметрических трехмерных многообразий. Классификация этих геометрий была получена Михайли-ченко Г.Г. [6]. Так, в частности, можно построить многообразие, с тримет-рической функцией в касательном пространстве, которое рассматривается как аффинное: f\xy)=xl--y\ f2(xy) = x2-y2, /3(жу) = ж3 - у3; f(xy) =x2 -у2, f2(xy) = (ж1 - у1)X2 + ж3 - у\ . f(xy) = (xl-yl)y2 + x3-y3; f\xy) = (ж1 - у1)2 ехр '

2(жу) = (ж1 - у1)ж3,

3(жу) = (ж1 - г/V; f1(xy) = (x1-y1y/(x2-y% f2(xy) = (ж1 - у1)х\ /3(жу) = (ж1 - у V, причем р = const, —1 <р< 1.

1. Гельмголъц Г. О фактах, лежащих в основании геометрии // Об основаниях геометрии. М.,1956. С.366-388.

2. Кулаков Ю.И. Элементы теории физических структур. Новосибирск: НГУД968.

3. Кулаков Ю.И., Владимиров Ю.С., Карнаух А.В. Введение в теорию физических структур и бинарную геометрофизику. М.: Архимед, 1992.

4. Кулаков Ю.И. Геометрия пространств постоянной кривизны как частный случай теории физических структур // Докл. АН СССР. 1970. Т.193, 5. С.985-987.

5. Михайличенко Г.Г. Полиметрические геометрии. Новосибирск: НГУ, 2001.

6. Михайличенко Г.Г. О групповой и феноменологической симметриях в геометрии. // Докл. АН СССР. М.: "Наука", 1983. Т.269, 2. С.284-288.

7. Лев В.Х. Трехмерные геометрии в теории физических структур.// Вычислительные системы, 125, Новосибирск: Изд-во Института математики, 1988г., с. 90 104.

8. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функциональный анализ. М.: "Наука", 1968г.

9. Киров В.А. Векторы некоторых двумерных феноменологически симметричных геометрий.// "Наука, культура, образование", Горно-Алтайск: "Универ-принт", 2000, 6/7, стр. 111-114.

10. Киров В.А. Циклы некоторых плоских феноменологически симметричных геометрий //Наука, культура, образование, Горно-Алтайск: "Универ-принт", 1999, 3, с. 126 128.

11. Михайличенко Г. Г. Простейшие полиметрические геометрии //Докл. АН РФ. М.: "Наука", 1996. Т.348, 1. С.22-24.

12. Киров В.А. Двумерные гельмгольцевы многообразия. //Динамика сплошной среды. Новосибирск, Изд-во Института гидродинамики, 2001, 118, с. 53 -58.

13. Киров В.А. Двумерные гельмгольцевы пространства. // Математические структуры и моделирование. Омск: Омск. гос. ун-т, 2002, 9, с. 27 37.

14. Киров В.А. Двумерные римановы и гельмгольцевы многообразия. // Труды по геометрии и анализу. Новосибирск: Изд-во Института математики, 2003, 9, с. 312 323.

15. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. М.:"Мир", 1971г.

16. Киров В.А. Длина кривой гельмгольцева двумерного пространства. // Вестник БГПУ, серия: естественные и точные науки. Барнаул: Изд-во Б ГПУ, 2002, 2, с. 12 17.

17. Киров В.А. Изотермические координаты гельмгольцевых двумерных пространств.// Международная конференция-школа по геометрии и анализу, посвященная памяти А.Д. Александрова (1912 1999). Новосибирск: Изд-во Института математики, 2002, с. 53 - 54.

18. Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований. М.: ИЛ, 1947.

19. Михайличенко Г. Г. Метрика плоскости как двухточеччный инвариант. // Сиб. мат. журн."1984. 38с. Деп. в ВИНИТИ 30.10.84, 6980-84. (Реферат // Сиб. мат. журн. 1985. Т.26, 5. С. 198)

20. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений.1. М.: Наука, 1978. *

21. Яглом И.М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. М.: Наука, 1969.

22. Румер Ю.Б., Рывкин М.Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. М.: Наука, 1977г. (

23. Киров В.А. Гельмгольцевы плоскости и термодинамика.// Межрегиональная конференция "Математическое образование на Алтае". Барнаул: Изд-во БГПУ, 2002, с. 6 7.

24. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, т1. М.:" Наука", 1981г.

25. Постников М.М. Гладкие многообразия, т1. М.: "Наука", 1988г.

26. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: "Наука", 1967г.

27. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. М.: "Наука", 1979г.

28. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, т2. М.: "Наука", 1981г.

29. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: "Мир", 1970г.

30. Киров В.А. Гельмгольцевы пространства размерности два.// Сиб. мат. журн., т.46, 6, 2005г, с. 1343 1361.

31. Киров В.А. Двуметрические пространства.// Изв. вузов. Математика., 8(519), 2005г, с. 27 38.

32. Киров В.А. Трехмерные гельмгольцевы пространства.// Тезисы конференции молодых ученых. Новосибирск, 2001, с.16 18.

33. Киров В.А. Шестимерные алгебры Ли групп движений трехмерных феноменологически симметричных геометрий.// Приложение к монографии Михайличенко Г.Г. "Полиметрические геометрии". Новосибирск: НГУ, 2001, с. 116 143.