Геометрия некоммутативных главных расслоений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

1осковский Государственный Университет им. М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

на правах рукописи УДК 514.7 '

РГБ ОД ? 8 НОЯ 7_т

ШАРЫГИН Георгий Игорьевич

Геометрия некоммутативных главных расслоений

01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2000

Работа выполнена на кафедре дифференциальной геометрии н приложений механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор Ю. П. Соловьёв Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук О. В. Мантуров доктор физико-математических наук В. М. Мануйлов Ведущая организация - Московский Педагогический Государственный Университет

Зашита диссертации состоится " " 2000 г. в 1б';'

на заседании диссертационного совета Д.053.05.05 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899. ГСП, Москва. Воробьевы горы. МГУ. механико-матоматическин факультет, аудитория 1-1-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание. 14 этаж).

Автореферат разослан у " 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ, доктор ' физико-математических наук, профессор

Bin,

В. Н. Чубнриков

ЧЛОЬ

1. Общая характеристика диссертации

Диссертация посвящена разработке возможно более полной теории характеристических классов алгебр, на которых кодействует та или иная квантовая группа, или, более общо, алгебра Хопфа. Основные идеи и методы, используемые в диссертации для изучения данных объектов, лежат в области некоммутативной дифференциальной геометрии. Одной из главнейших целей работы было исследовать возможность распространения классической конструкции Чженя-Вейля характеристических классов главного расслоения на случай, когда в качестве алгебры функций на пространствах рассматриваются некоммутативные алгебры. Кроме того, в диссертации сделана попытка описать образ получающегося отображения.

1.1. Актуальность темы

Термин «некоммутативная геометрия» был предложен в начале 1980-х годов французским математиком А.Конном, [С]1, в связи с его исследованиями по теории слоений. Хотя некоммутативные алгебры, в частности С*-алгебра слоения, не могут быть отождествлены с алгебрами функций ни на каком топологическом пространстве, но оказалось чрезвычайно полезным рассматривать их в таком качестве и по мере возможности применять к ним те же конструкции, которые имеются в обычной дифференциальной геометрии. На этом пути были получены многочисленные результаты, прежде всего в теории характеристических классов (см. [С], [К]2, [ЖМС]3, [Ж]4). Оказалось, что конструкция Чженя-Вейля, позволяющая строить характеристические классы векторных расслоений над гладкими многообразиями, почти дословно переносится на случаи конечно-порождённых проективных модулей над произвольными ассоциативными уннтальными алгебрами.

С другой стороны известно, что в классическом случае характеристические классы векторных расслоений являются частным случаем харак-

'[С] Connes A. Géométrie non-commutative. Publ. Math. IHES 62, 41 (1986)

-[К] Karoubi M. Homologie ciclique et K-théorie. Astérisque 149, 1987

3[ЖМС] Жураев Ю. II., Мищенко А. С.. Соловьёв Ю. П. О характеристических классах в алгебраической А'-теорин. Вестник Моск. ун-та. сер. 1. матем. механ., .VI. с. 75-76 (1986)

4[Ж] Жураев 10. Й. Характеристические классы модулей над некоммутативными алгебрами. Диссертация на соискание учёной степени канд. физ.-мат. наук. Москва. 1988

тернстических классов соответствующего главного расслоения. Поэтому естественным желанием исследователей было построить аналогичную конструкцию и в некоммутативном случае.

Вспомним, что в классическом случае главным расслоением над многообразием М со структурной группой С называется гладкое многообразие Р, на котором свободно действует группа б, причём пространство орбит данного действия отождествлено с М.

Поэтому ясно, что естественным обобщением понятия главного расслоения на некоммутативный случай будет алгебра, на которой свободно ко-действуетп некоторая алгебра Хопфа. В самом деле, с формальной точки зрения такие объекты аналогичны, точнее, двойственны пространствам, на которых действует группа Ли. При этом алгебра Хопфа играет роль алгебры функций на группе (коумножение следует расматривать как операцию, двойственную композиции элементов группы). Если рассмотреть в классическом случае алгебры функций на пространстве и на группе, то отображение, двойственное действию группы, задаст обратный гомоморфизм на указанных алгебрах, удовлетворяющий (при некоторых не слишком ограничительных предположениях) всем условиям, определяющим кодействие. Преимущество такого чисто алгебраического подхода состоит в возможности рассматривать не только коммутативные алгебры, тем самым значительно расширяя область применимости теории.

Первое, что следует сделать, когда начинаешь исследовать поставленную задачу, — это выбрать подходящий класс алгебр Хопфа, которые можно было бы рассматривать в качестве структурных групп некоммутативных расслоений. Ясно, что произвольная алгебра Хопфа — слишком общий объект для этих целей. Для того, чтобы развивать теорию, аналогичную классической теории характеристических классов, естественно было бы потребовать, чтобы рассматриваемые неколшутатив-ные алгебры Хопфа по своим свойствам, тем не менее, были достаточно близки к алгебрам функций на группах Ли.

Достаточно богатый класс таких алгебр Хопфа, обладающих многими свойствами алгебр функций на топологических группах, был обнаружен в середине 80-х годов. Речь идёт о так назывемых квантовых группах, появившихся одновременно в работах нескольких математиков.

см. например [Dr]3, [РТФ]6, [W2]7. Заметим, что в настоящее время существует два более-менее эквивалентных подхода к теории квантовых групп. Один из них, используемый в данной диссертации, основан на интерпретации квантовых групп, как некоммутативных алгебр функции на «квантовом пространстве». Этот подход был развит польским математиком С. JI. Воронопичем в серии работ [Wl]8, [W2], [W3]9. [\V4]"\ которые служат для нас главными, источниками, откуда мы берём основные определения и результаты по теории квантовых групп. Следует также указать на то. что некоторые формулировки, используемые в диссертации (например, описание универсальной квантовой группы Uf(n). или описание дифференциального исчисления, основанное на проекторе тт : ker€ —> Г,т,) взяты из статьи [Dl]11.

Другой подход к квантовым группам, более распространённый в настоящее время, основывается на изучении деформаций универсальных обёртывающих алгебр классических групп. То, что эти два подхода эквивалентны, следует, например, из основополагающей работы [РТФ].

Как уже было сказано, теория квантовых групп начала бурно развиваться в середине 80-х годов. Естественно, что вскоре после этого были предприняты попытки создать на основе теории квантовых групп теорию некоммутативных (квантовых) главных расслоений и изучить геометрию с «квантовой структурной группой». Данные исследования базировались, прежде всего, на идеях и методах некоммутативной геометрии, развитых А. Конном ({С]) и другими авторами. Эти попытки продолжались в течение всех 90-х годов. К числу таких работ относятся,

5(Dr] Drinfeld V. G., Quantum groups. In Proc. Int. Cong. Math.(Berkeley. 1986). p. 798-820, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1987

6[РФТ] H. Ю. Решетихин; JI. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев Квантование групп Ли и алгебр Ли. Алгебра и Анализ, том 1, вып. 1, 178-206 (1989)

7[W2] Woronowicz S. L. Compact Matrix Pseudogroups. Commun. Math. Phys. 111. 613-665 (1987)

8[Wl] Woronowicz S. L.: Twisted SU{2) group. An example of noncommutative differential calculus. RIMS, Kyoto University 23, 117-181 (1987)

9[W3j Woronowicz S. L. Differential Calculus on Compact Matrix Pseudogroups (Quantum Groups). Commun. Math. Phys. 122, 125-170 (19S9)

10[W4] Woronowicz S. L. Tannaka-Krein Duality for Compact Matrix Pseudogroups. Twisted SU(n) groups. Invent. Math. 93, 35-76 (19S8)

U[D1] Durdevic M. Geometry of Quantum Principal Bundles I. Commun. Math. Phys. 175,457-520 (1996)

например [Sc]12, [MB]13. Наиболее последовательная и развитая теория из известных нам была создана югославским математиком Джорджевичем (Durdevic), см. [Dl], [D2]H, [D3]15.

Одной из главных трудностей, прёодолённых Джорджевичем, было нахождение правильной алгебраической интерпретации условия свобод-ности действия квантовой группы. Скажем, правда, что подобное определение появилось уже в работе [MB], однако там оно было усложнено дополнительным условием, отброшенным в работах Джорджевича. Интересно, что условие свободности кодействия на поверку оказывается слегка ослабленным определением «расширения Галуа-Хопфа»алгебры M с помощью алгебры Хопфа «4, объекта давно изучавшегося в алгебре, смотри, например, [KT]16, [Sw]17. Именно работы Джорджевича и послужили отправной точкой данной диссертации.

Следует указать, что конструкция характеристических классов некоммутативного (квантового) главного расслоения, предложенная в работе [D3], и которая принята за основу в диссертации, существенным образом опирается на предположении о существовании связностеи осоо-го рода, которые Джлрджевич называет регулярными. А именно, связность ш называется регулярной, если

w(%=(-l)^5I*>*w(0?Cfc) (1)

к

для любой горизонтальной дифференциальной формы 9 и любого элемента 9 G r¡„„.

Важность этого определения заключена в том, что, грубо говоря, регулярные связности — естественно выделяемый класс связностей, по своим свойствам максимально напоминающих обычные связности на главных расслоениях. Именно эти свойства и позволяют использовать их при построении гомоморфизма Вейля. Оказывается, что очевидная перефра-

lI[Sc] Schupp P. Quantum Groups, Non-Commutative Differential Geometry and Applica-

tions. Dissertation, submitted,... , Univ. of California, Berkeley, 1993

13[MB] Majid S., Brzezinski T. Quantum Goroup Gauge Theory on Quantum Spaces. Commun. Math. Phys. 157, 591-638 (1993)

M[D2J Durdevic M. Geometry of Quantum Principal Bundles II. Rev. Math. Phys. 9. (oj 531-603 (1997)

15[D3] Durdevic M. Characteristic Classes of Quantum Principal Bundles. Preprint, Institute of Mathematics, UNAM, Mexico (1995)

16[KTj Kreimer H. F., Takeuchi M. Hopf Algebras and Galois Extension of an Algebra.

Indiana Univ. Mathematics Journal, 30, (5) 675-692 (1981)

,T[SwJ Sweedler M. E. Hopf Algebras. W. A. Benjamin, Inc., New-York, 1969

зировка классической конструкции Чженя-Вейля (см., например [КН]18). позволяет почти дословно перенести доказательства из указанной книги на случай регулярной связности на некоммутативном главном расслоении. Отметим, что в работах Джорджевича не ставится вопроса о существовании регулярных связностей на некоммутативных главных расслоениях.

Следует, наконец,, отметить, что данная область некоммутативной геометрии находится в настоящее время в стадии становления. Однако, уже сейчас можно предположить, что подобный подход в будущем может принести много полезных результатов. Прежде всего, это связано с тем. что среди алгебр, которые можно рассматривать как некоммутативные главные расслоения, есть много таких, которые активно изучаются в других отраслях математики. Прежде всего, следует вспомнить об уже упоминавшихся расширениях Галуа-Хопфа, Кроме того, как показано в диссертации, любое скрещенное произведение произвольной алгебры на действующую на неё квантовую группу, пли, более общо — произвольную алгебру Хопфа. может быть наделено структурой некоммутатнвн-ного главного расслоения. Тем самым, получаемые характеристические классы оказываются инвариантами действия квантовой группы на данной алгебре. Это особенно важно в свете недавней серии работ А. Конна, Г. Московита и М. Крайница [СМ1]19, [СМ2]20, [СМЗ]21, [Cr]22, в которых, в частности, устанавливается связь между характеристическими классами таких действий и индексами дифференциальных операторов на слоениях.

1.2. Цель работы

Главные цели, которые автор ставил перед собой в данной работе следующие

'"[KHj Кобаяси И].. Номмдзу К. Основания дифференциальной геометрии, г .2. Ниуки. М.1981

!9[СМ1] Coimes A;, Moscovia H. Hopf algebras, cyclic cohomology and the transverse index theorem, Communs Math. Phys. 198 (1998), 199-246

20[CM2J Connes A., Moscovici H. Cyclic cohomology and Hopf algebras, Letters Math. Phys. 48 (1999), 97-108

"[CM3] Connes A., Moscovici H. Cyclic cohomology and Hopf symmetry, preprint: math.QA/000215

"(Cr] Crainic M. Cyclic cohomology of Hopf algebras and a noncommutative Chern-Weil theory, preprint: math.QA/9812113

• обобщить конструкцию Джорджевича характеристических клас сов некоммутативных (квантовых) главных расслоений таким образом, чтобы она позволяла рассматривать возможно более общий класс связностей на таких расслоениях, по сравнению с регулярными мультипликативными связностямн у Джорджевича;

• изучить образ построенного аналога гомоморфизма Вейля в некоторых частных случаях, прежде всего в случае локально-тривиального некоммутативного главного расслоения над гладким многообразием;

• установить связь между характеристическими классами векторных расслоений, получающихся из конструкции Джорджевича. с харкте-ристическими классами модулей, построенными в работах [ЖМС].

[Ж];'

• изучить вопрос о существовании важнейшего элемента в конструкции Джорджевича — регулярных связностей на некоммутативных главных расслоениях.

1.3. Научная новизна

Научная новизна данной работы заключается, в первую очередь, в том. что многие используемые в ней конструкции и применяемые методы — новые, мало встречавшиеся ранее. Изучаемая нами теория — сравнительно молодая отрасль некоммутативной геометрии, объединяющая традиционные методы этой науки, такие как «некоммутативное дифференциальное исчисление«, см. [С], [К], [L]23, и теорию квантовых групп, более общо, — алгебр Хопфа.

Помимо этого, в диссертации впервые

• был поставлен и изучен вопрос об описании образа гомоморфизма Вейля в случае локально-тривиального главного квантового (некоммутативного) расслоения над гладким многообразием;

• изучен вопрос о существовании регулярных связностей на некоммутативных главных расслоениях, а также, с помощью найденного в

23[L] Loday J-L. Cyclic Homology. A series of Comprehensive .Studies in Mathematics 301. Springer-Verlag (1992)

работе препятствия для существования таких связностей, построены характеристические классы со значениями в когомологиях Хох-шильда базы расслоения.

1.4. Практическая и научная ценность

Практическая ценность работы состоит в возможности применения её результатов к различным отраслям некоммутативной геометрии, где в той пли иной форме возникают симметрии, описываемые некоторой квантовой группой. Кроме того, теория неоммутативных главных расслоений очевидно позволяет по-новому взглянуть на харктеристические классы модулей над некоммутативными алгебрами, изучаемые, напрмер, в [К], [СМ1], [ЖМС], [Ж]. В частности, это относится к характеристическим классам, построенным по скрещенным произведениям алгебр на действующие на них алгебры Хопфа.

1.5. Апробация диссертации

Материалы и основные результаты диссертации были неоднократно представлены в качестве докладов на различных научных семинарах механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, в частности на семинаре по алгебраической топологии под руководством М. М. Постникова и Ю. П. Соловьёва, на семинаре по топологии и некоммутативной геометрии под руководством А. С. Мищенко и Ю. П. Соловьёва, на кафедральном семинаре по векторному и тензорному анализу кафедры дифференциальной геометрии и приложений МГУ под руководством акад. А. Т. Фоменко, а также в виде доклада «Квантовые главные расслоения, связности и характеристические классы» на международной конференции посвященной 90-летию со дня рождения Г. Ф. Лаптева в МГУ, в 1999 году.

1.6. Публикации

По теме диссертации автором опубликовано три работы, список которых приведён в конце автореферата,

1.7. Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из предисловия, включающего краткое изложение содержания диссертации, и трёх глав. Список литературы содержит 2-3

наименований. Общий объём диссертации составляет 92 страницы.

2. Содержание диссертации

Предисловие диссертаци состоит из двух частей: собственно предисловия, в котором обосновывается актуальность исследований некоммутативных главных расслоений и даётся краткий обзор известных автору подходов к данному вопросу и результатов, и краткого изложения сро-держания диссертации.

В первой главе мы даём определения и обсуждаем основные свойства квантовых групп и квантовых главных расслоений. В главе практически нет утверждений и теорем, полученных автором диссертации, за исключением конструкции обобщённого гомоморфизма Вейля для случая немультипликативной регулярной связности, являющейся, по-существу. небольшим уточнением соответствующего результата для мультипликативных связностей, принадлежащего Джорджевичу. Кроме того, автору принадлежит конструкция замены структурной группы при помощи гомоморфизма.

Первый параграф посвящён теории квантовых групп. Основными источниками нам служат работы Вороновича [\У1] - [\У4]. Содержание этого параграфа естественно разбивается на три части. Во-первых, мы даём определение квантовых групп:

Определение 1. Компактной матричной псевдогруппой О. или квантовой группой, называется С*-алгебра А, для которой определён *-гомо-морфизм ф : А-ьА ® А и в которой выделена всюду плотная *-подалгебра А, порождённая элементами («¡Д^!,. ,» так, что выполняются следующие условия

1) Ограничение отображения ф на А задаёт отображение ф : А А <8> А, при этом

л

(2)

2) Задан ^-гомоморфизм е : А —» С такой, что {е ® ¡с1А)ф = = (¡с!,д

3) Задан антиизоморфизм к : А -4 Л, такой, что

т(к О i<U)ii> = е = m(id^ ® к)ф (4)

Ф{к(и)) = [к®к)Т(ф[и)) (5)

где m : А® А А- умножение, и где Г : А ® А -> Л • тасующее отображение,

Т(а® 6) ~Ь®а.

4) Выполняется равенство

к(к(и*)') — и для всех и 6 А.

Алгебра ..А играет роль алгебры гладких функций на группе. Именно её мы и будем в дльнейшем, несколько злоупотребляя обозначениями, называть квантовой группой.

Дальнейшая часть первого параграфа посвящена описанию важнейших свойств квантовых групп: вводятся понятия класической части квантовой группы, «дифференциальных исчислений« на квантовых группах, представлений квантовых групп. При этом, не претендуя на полноту изложения, мы ограничиваемся фактами, которые нам потребуются позднее для работы с главными расслоениями. Теоремы, которые формулируются в этом параграфе, являются сводками результатов вышеуказанных работ Вороновича.

В следующих четырёх параграфах мы последовательно излагаем теорию квантовых главных расслоений, связностей на них и характеристических классов, при этом мы опираемся на работы Джорджевича [D2]. [D3], [D4]24, [D5]25.

Во втором параграфе даётся определение квантового главного расслоения по Джорджевичу:

Определение 2. Некоммутативным (или квантовым) главным расслоением Р с базой М - унитальной, ассоциативной, но необязательно коммутативной ^-алгеброй, и со структурной группой А {А — алгебра гладких функций на квантовой группе G) называется унитальная ассоциативная (но некоммутативная) *-алгебра В. для которой существует

24[D4j Durdevic М. Quantum Principal Bundles and Tannaka-Krein Duality Theory. Rep. Math. Phys. 38, (3) 313-324 (1996)

2S[D5] Durdevic M. Differential Structures on Quantum Principal Bundles. Rep. Math. Phys. 41, (1) 91-115 (1998)

гомоморфизм *-алгебр Р : В В А, такой, что

{1(.\®о)Р = {Р®-к1)Р (С)

= (7)

где ф, е - соответственно коумножение и коединица квантовой группы Л. При этом должны быть выполнены следующие два важных условия:

(кгр1) Существует вложение *-алгебр г : М -4 В, такое, что

1(М) = {Ь€В\Р{Ь)=Ь®1}

(кгр2) Отображение X : В & Б Б © Л заданное формулой

Л'(с®6) = ]ГсЬа.©Ьь (8)

к

где ^Ь®Ьк = Р(Ь) £ В ® А - эпиморфно. к

Кроме того, в этом параграфе обсуждается геометрический смысл данного определения, указывается на связь этих объектов с расширениями Галуа-Хопфа. В конце параграфа приводятся примеры некоммутативных (квантовых) главных расслоений. В качестве одного из способов построения квантовых главных расслоений рассматривается принадлежащая автору конструкция замены структурной группы.

Третий параграф посвящён теории дифференциального исчисления на некоммутативных главных расслоениях. В нём мы даём определения и приводим примеры дифференциального исчисления на тотальном пространстве расслоения, согласованного с исчислением Г на структурной группе, алгебры П(М) дифференциальных форм на базе расслоения, алгебры горизонтальных дифференциальных форм, ^ог(Р), алгебры разложимых дифференциальных форм о()(Р) (при этом мы показываем, что два возможных способа определить её — эквивалентны).

В четвёртом параграфе излагаются результаты работы Джорджевн-ча [02]. Именно, дав вслед за этим автором определение псевдотензори-альных, тензориальных форм и связностей на некоммутативном главном расслоении, мы формулируем без доказательства теорему о существовании связностей. Далее мы определяем мультипликативные связности, вводим отображение ты : в()(Р) -> П(Р) и описываем его свойства. Вслед за этим, при помощи отображения ты определятся горизонтальное проектирование Лы и ковариантное дифференцирование список свойств которого, доказанных в [02] затем формулируется в виде теоремы.

Кривизна Д., связности и> определяется совершенно аналогично случаю обычного главного расслоения:

Я,(9) = Лми[в) - (ы,ш)(в). ' О)

Однако, свойства кривизны, список которых сформулирован в виде отдельной теоремы (взятой из [02]) не во всём совпадают с тем, что имеется в классическом случае. В частности, тождество Бьянкп принимает вид

АЛЯи,) - {(иЛ) - (Д-,") - = - (10)

Чтобы обойти трудности, связанные с немультипликативностью связности. мы вводим «накрывающее отображение» : кег е —> ^ог(Р) п доказываем, что квадрат ковариантного дифференцирования равен умножению на форму, определяемую при помощи этого отображения. Это отображение не рассматривалось Джорджевичем явно, однако, все его доказательства свойств формы кривизны основывались, по существу, на рассмотрении этого отображения.

Далее мы определяем регулярные связности (см. выше формулу (1)). На идейном уровне, связность называется регулярной, если она фиксированным образом коммутирует с горизонтальными формами на расслоении. Существование этого требования, как нетривиального условия — чисто квантовый феномен, не существующий в обычном случае. Понятие регулярной связности введено Джорджевичем, им же исследованы свойства регулярных евязностей, а так же горизонталной проекции, ковариантного дифференцирования и формы кривизны, определяемых регулярной связностью- В диссертации дана переформулировка некоторых из этих свойств в терминах отображения Д,.. Это сделано для того, чтобы включить в рассмотрение немультипликативные регулярные связности. Это уточнение нисколько не меняет доказательств теорем, однако позволяет сформулировать основную теорему данного парагрфа в немного более общем случае, чем у Джорджевича.

А именно, справедлива следующая теорема (мы приведём формулировку только для общего случая, когда связность может быть немультипликативной)

Теорема 1. Образ отображения Я® лежит в пространстве замкнутых форм в ), и соответствующие классы когомологий не заиисят от выбора регулярной связности.

Здесь ш — произвольная регулярная связность, а отображение R® определено, как

Я® : (ker e)fnv Ьох(Р),

где (kerc)®lt. — множество (¡^-инвариантных элементов в (kerf)®, и R® — тензорное произведение отображений Ru.

Отметим, что в работах Джорджевича вопрос о существовании регулярных связносЧ'ей на некоммутативных главных расслоениях, ответ на который дается в третьей главе данной диссертации, не ставится.

Завершается параграф несколькими замечаниями, касающимися образа и области определения отображения из сформулированной теоремы. В конце параграфа мы определяем гоморфизм Вейля в случае регулярной (мультипликативной или немультипликативной) связности, как отображение, фигурирующее в теореме.

Последний параграф первой главы посвящён теории векторных расслоений, ассоциированных с данным главным.

Определение 3. Векторным расслоением, ассоциированным с главным квантовым расслоением Р при помощи представления и называется пространство морфизмов представлений

Мог(и, F) = Нотс(Яи,£)|Ро А = (A ®id)Au}. (11)

Мы будем обозначать это пространство £и.

Вслед за этим определением и списком основных свойгтв этих объектов мы доказываем недостающую часть сформулированного в первом параграфе утверждения о замене структурной группы. Далее, мы, следуя работе [D4] описываем связь между категорией ассоциированных векторных расслоений некоторого главного квантового расслоения и самим расслоением, что позволяет нам строить новые примеры некомута-тивных главных расслоений. Кроме того, мы определяем пространство 8и -значных дифференциальных форм на базе:

.Fu = Mor(u, FA), (12)

где FA : Q(P) —> П(Р) ® A — кодействие, продолжающее на Q(Р) кодей-ствие F.

После этого, следуя работе [D2], мы вкратце излагаем теорию характеристических классов ассоциированных векторных расслоений. Для

этого мы определдяем канонический след градуированного автоморфизма пространства £и -значных дифференциальных форм на базе:

8и®м£и ^ £й0м £иОмЩМ)

"[т." (13)

М=£0 М®м А(М) = ЩМ).

Оказывается, что канонический след квадрата «транспонируемого дифференцирования» такого модуля задаёт характеристические классы в когомолгиях центра алгебры базы, не зависящие от выбора такого дифференцирования. В том случае, когда дифференцирование, фигурирующее в указанных утверждениях порождено регулярной связностью на некоммутативном главном расслоении, построенные таким образом классы оказываются в образе обобщённого гомоморфизма Вейля.

Заканчивается первая глава ещё одной теоремой Джорджевича из работы [В5], описывающей связь между дифференцированиями пространств

-значных дифферециальных форм и регулярными связностями на соответствующем главном расслоении.

Во второй и третьей главах диссертации излагаются результаты, полученные автором, на основании общей теории, описанной ранее.

Так, в первом параграфе второй главы мы разбираем случай «локально-тривиальных» главных квантовых расслоений над гладкими многобра-зиями. От общего случая эти расслоения отличаются тем, что (см. [01]) для них существуют «тривиализующие гомеоморфизмы». Удивительным образом оказывается, что не всякое квантовое главное расслоение над гладким многообразием будет локально-тривиальным: пример такого некоммутативного главного расслоения, с «квантовой структурной группой» 5'1 приводится в диссертации.

Далее мы подробно разбираем структуру локально-тривиальных некоммутативных расслоении. Так, мы описываем набор векторных расслоений, асоциированных с главным квантовым рассллоением такого рода и, пользуясь этим результатом ц результатами работы [01]. мы доказываем следующее утверждение:

Теорема 2. Задание связности на локально-тривиальном главном расслоении Р эквивалентно выбору линейной связности для каждого векторного расслоения, ассоциированного с Р при помощи некоторого неприводимого унитарного представления квантовой группы.

Все эти результаты используются при доказательстве нижеследующей теоремы 3, однако они предсатвляют интерес и сами по себе, например в связи с возможными исследованиями структуры пространств свяэностей и уравнения Янга-Миллса для некоммутативного главного расслоения.

Теорема 3. Пусть элемент I® Ъ в — ^ &} ® • • • ® Щ (сиотьетстьен-

но а € (кег е)® г ) таков, что для любой (необязательно регулярной) связности и на любом локально-тривиальном квантовом расслоении Р, = 0 (соответственно ¿(Л®(а)) = 0/, где <1 — дифференци-

ал в — (1*(М), то образ 1У(в) (соответственно \У(а)) лежит

в множестве характеристических классов Чженя, классической части Ра расслоения Р.

Далее мы разбираем более общий случай, когда базой расслоения служит произвольная унитальная алгебра М, и строим алгебру ()Ог'.с(Р)):

т = (14)

п>0

ЬохЦР) = Р-^Ношя^^),^) ® Л) (15)

Эта алгебра удовлетворяет всем условиям, позволяющим рассматривать её в качестве алгебры горизонтальных дифференциальных форм на расслоении Р. Эту алгебру мы называем алгеброй полуклассических горизонтальных дифференциальных форм на Р.

После этого мы доказываем, что понятие связности в этом случае эквивалентно понятию «лифта дифференцирований»: такого отображения -2-бимодулей (2 — центр алгебры М), что I : Леги{М) —> 5егл(£>). что

1(Х)(т) = Х(т), Ут € М (16)

= (ЦЛ')ЧЬЕ В. (17)

При этом теория характеристических классов ассоциированных векторных расслоений во многом аналогична теории, развитой в работах [Ж], [ЖМС]. Точнее, справедливо следующее утверждение:

Предложение 4.

(ЩХ,¥)(/)) (е) = (£>?(/(*))) (Х,¥), (18)

где е 6 Яц, / 6 £и — Мог(гг,Р). Аналогично,

[(© А • • ■ Л ©№,...,ХМ!)] (е) = /(*))№,..., Л;2„). (19)

Здесь 0(Х,У) — форма кривизны связности, определяемая в вышеуказанных работах, а А — ковариантное дифференцирование горизонтальных форм на расслоении Р, построенное по лифту I.

Последняя глава диссертации посвящена следующему важному вопросу: существуют ли на гланом квантовом расслоении регулярные связности? Все конструкции Джорджевича, описанию которых посвящена первая глава, никак не отвечая на поставленный вопрос, тем не менее целиком и полностью основываются на предположении, что ответ на него положительный. То же самое касается и второй из представленных в

у у

главе 1 конструкции характеристических классов, связанной с ассоциированными векторными расслоениями: вопрос о существовании необходимых для её успешной реализации «транспонируемых дифференцирований» соответствующих бимодулен никак не решается.

Решению этих двух проблем и посвящена третья глава. В первом параграфе мы изучаем вопрос о существовании регулярных связностен. А именно,пусть

С?Ч{М, К) = Нотде ® 1С). (20)

Здесь буквой 1С мы обозначаем алгебру ()ог(Р), X = {)0г(Р)<5с Г,-т., и где Нот*'(А/® К®п, 1С) — множество всех А-эквивариантных морфизмов левых /С-модулей. Зададим дифференциал в комплексе С"9(Л',/С) формулой:

¿ц(п 0 к\ ® ... ® &„+!)■= ц{пкх 0 ... ® £п+1) +

п

4- ^(-1)>(п ® кх ®... © Ькш кп+¡) +

1=1

+ (~1у11!м(п®к1® ...®кп)кп+1. (21) Рассмотрим следующий элемент из построенного коцепного комплекса: ¡1и{(ч>®в)®9)=4>Ш®9)' (22)

где

к \

Тогда справедливо следующее утверждение:

Теорема 5. ц^ € С'е1ДА/',/С) и Spu = 0. Кроме того, класс когомологий [/¿w] € Я*(Л/*,/С) не зависит от выбора связности ш.

Следствие 6. На главном квантовом расслоении Р существуют регулярные связности тогда и только тогда, когда равен нулю класс когомологий € Яе^(Л'', ¡С).

Далее, при помощи этого препятствия мы строим аналог гомоморфизма Вейля, принимающий значение в Хохшильдовых когомологиях алгебры М, со значениями в £1(М){или в когомологиях Хохшнльда градуированной алгебры Ü(M)). А именно, рассмотрим отображения

ви : fl(M) ЩМ), ви{т) = ш{в)т - (-1 )вгаиы(0) (24)

«L = ® • • • ® : (ЩМ)Г f)ov(P). (25)

i

Теорема 7. (») ви(й(М)т) С П(тИ), в частности ви{М&п) С ii(yVi);

(й) отображение рассматриваемое как элеменнт СНп(М..ü(.Vt)) является коциклом;

(«») класс € ННЛ(М,ЩМ)) яе зависит от выбора связности

Полностью аналогичная конструкция позволяет рассматривать характеристические классы со значениями в когомологиях Хохшнльда градуированной алгебры ЩМ).

В общем случае, однако, вычислить препятствие из теоремы 5 весьма трудно. Поэтому в следующем параграфе мы разарабатываем более простой аналог вышеуказанной конструкции, позволяющий ответить на второй из поставленных вопросов: существование дифференцирований на присоединённых векторных расслоениях, прежде всего, в случае полу-класси ческого дифференциального исчисления.

Мы строим, по аналогии со сформулированными выше предложениями, препятствие для существования связности на произвольном правом модуле £ над алгеброй М. В случае, когда модуль £ — проективный, мы получаем, в качестве следствия хорошо известный результат (см. [Ж], JC), [К]), гласящий, что на i существует связность. Далее мы приводим аналогичную конструкцию, позволяющую строить препятствия для существования связности на бимодулях. В случае, когда бимодуль £ является векторным расслоением, ассоциированным с некоторым некоммутативным главным расслоением, его свойства позволяют значительно

упростить данную конструкцию, а именно рассмотрим коцепноп комплекс

п>0

Сп(Е,М\Я) = Котм,(Е®МтМ), (26)

с дифференциалом, задаваемым формулой

О тл ® ... ® тп+)) = (¿(ет1 ф... ®т„+1) +

п

+ 1)'(,?(е ф тп\ ® ... ® ш,т,+1 ®... $ гНп-н) + <=1

+ (-1)"+19(е®пг1® ...@тп)тп+ь (27)

Тогда класс когомологий

(28)

где V — произвольная связность на как на правом модуле, и то) = У(е го) — У(е)т, служит препятствием для существования связности на £.

Мы приводим два примера вычислений значения данного препятствия. В обоих этих примерах построенное нами препятствие окалывается равным нулю, и следовательно на рассматриваемых бимодулях будут существовать связности, что, вообще говоря, не совсем очевидно. Эти связности удаётся выписать в явном виде. Более нетривиальный пример бимо-дуля, связность на котором не существует, можно найти в работе автора [2]

В заключение диссертации мы описываем связь между препятствиями к существованию дифференцирований присоединённых векторных расслоений и построенными выше классами в Хохшильдовых когомологпях алгебры М:

Предложение 8. йч,(а„)(1 ®ш) = (гг(С~'й))и(т) (здесь С'и — канонический морфизм, и й — матрица представления и) и

Мог(и, Р) ® М = £„ ® М Э / ® т >->■ аы{} ® тп) € = Мог(м, ^ог'(Р)),

П.Д

(а^(/ат))(е1) = ^/(е^)С( п(щ,®т). (29)

¿=1

Определение канонического следа дано выше, см. диаграмму (13).

3. Основные результаты диссертации К основным результатам диссертации следует отнести

• расширение области применимости конструкции Джорджевича характеристических классов главных квантовых расслоений на случай немультипликатнвных регулярных связностей;

• описание образа обобщённого гомоморфизма Вейля в случае локально-тривиальных квантовых главных расслоений над гладкими многообразиями для произвольной связности:

• построение полу-классического дифференциального исчисления на некоммутативных главных расслоениях, изучение структуры связностей в указанном случае, установление связи между полученными результатами и работами [Ж], [ЖМС]:

• построение препятствия для существования регулярных связностей на некоммутативных главных расслоениях, построение с помощью этого препятствия набора характеристических классов в когомоло-гиях Хохшильда базы расслоения, изучение связи между пол строенными препятствиями и препятствиями для существования связностей на бимодулях.

В заключение, мне хотелось бы поблагодарить моего научного руководителя, профессора, доктора физико-математических наук Юрия Петровича Соловьёва за постановку исходной задачи моего исследования, а также за всестороннюю активную поддержку при работе над диссертацией. Кроме того, хочется выразить огромную признательность всем сотрудникам кафедры дифференциальной геометрии и приложений МГУ им. Ломоносова за чрезвычайно тёплое и дружеское отношение ко мне. и за их многочисленные советы и консультации. Наконец, хотелось бы поблагодарить коллектив лаборатории математической физики ИТЭФ за дружеское отношение и поддержку.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Шарыгнн Г. И. Образ гомоморфизма Вейля в случае квантового главного расслоения. Вестник Моск. ун-та. сер. 1. матем. механ. №4. с. 21-27 (2000)

[2] Шарыгнк Г. И. Препятствие для существования связности на бп.мо-дуле. Вестн. Моск. ун-та. сер. 1. матем. механ. №6, с. 63-05 (2000)

[3] Шарыгин Г. И. Квантовые главные расслоения, связности и характеристические классы. Тезисы доклада на международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Г. Ф. Лаптева. Москва, изд. мех.-мат. ф-та МГУ, с. 58, (1999).

1. Woronowicz S. L.: Twisted SU(2) group. An example of noncommutative differential calculus. R1.S, Kyoto University 23, 117-181 (1987)

2. Woronowicz S. L. Compact Matrix Pseudogroups. Commun. Math. Phys. Ill, 613-665 (1987)

3. Woronowicz S. L. Differential Calculus on Compact Matrix Pseudogroups (Quantum Groups). Commun. Math. Phys. 122, 125-170 (1989)

4. Woronowicz S. L. Tannaka-Krein Duality for Compact Matrix Pseudogroups. Twisted SU(n) groups. Invent. Math. 93, 35-76 (1988)

5. Durdevic M. Geometry of Quantum Principal Bundles I. Commun. Math. Phys. 175, 457-520 (1996)

6. Durdevic M. Geometry of Quantum Principal Bundles II. Rev. Math. Phys. 9, (5) 531603 (1997)

7. Durdevic M. Characteristic Classes of Quantum Principal Bundles. Preprint, Institute of Mathematics, UNAM, Mexico (1995)

8. Durdevic M. Quantum Principal Bundles and Tannaka-Krein Duality Theory. Rep. Math. Phys. 38, (3) 313-324 (1996)

9. Durdevic M. Differential Structures on Quantum Principal Bundles. Rep. Math. Phys. 41, (1) 91-115 (1998)

10. Loday J-L. Cyclic Homology. A series of Comprehensive Studies in Mathematics 301, Springer-Verlag (1992)

11. Kreimer H. F., Takeuchi M. Hopf Algebras and Galois Extension of an Algebra. Indiana Univ. Mathematics Journal, 30, (5) 675-692 (1981)

12. Sweedler M. E. Hopf Algebras. W. A. Benjamin, Inc., New-YorK, 1969

13. H. Ю. Решетихин, Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев Квантование групп Ли и алгебр Ли. Алгебра и Анализ, том 1, вып. 1, 178-206 (1989)

14. Schmudgen К., Schiiler A. Classification of Bicovariant Differerntial Calculi on Quantum Groups of Type А, В, С and D. Commun. Math. Phys. 167 (2) 635-670 (1995)

15. Garow-Watamura U., Schlieker M., Watamura S., Weich W. Bicovariant Differential Calculi on Quantum Groups SUg(n) and SOg(n). Commun. Math. Phys. 142, 605-641 (1991)

16. Кобаяси III., Номидзу К. Основания дифференциальной геометрии, т.2, Наука, М. 1981

17. Majid S., Brzezinski T. Quantum Goroup Gauge Theory on Quantum Spaces. Commun. Math. Phys. 157, 591-638 (1993)

18. Жураев Ю. Й. Характеристические классы модулей над некоммутативными алгебрами. Диссертация на соискание учёной степени канд. физ.-мат. наук, Москва, 1988

19. Журае в Ю. Й., Мищенко А. С., Соловьёв Ю. П. О характеристических классах в алгебраической К-теории. Вестник Моск. ун-та. сер. 1. матем. механ., №1, с. 75-76 (1986)

20. Schupp P. Quantum Groups, Non-Commutative Differential Geometry and Applications. Dissertation, submitted, . , Univ. of California, Berkeley, 1993

21. Connes A. Géométrie non-commutative. Publ. Math. IHES 62, 41 (1986)

22. Karoubi M. Homologie ciclique et K-théorie. Astérisque 149, 1987

23. Шарыгин Г. И. Образ гомоморфизма Вейля в случае квантового главного расслоения. Вестник Моск. ун-та. сер. 1. матем. механ. №4, с. 21-27 (2000)

24. Шарыгин Г. И. Препятствие для существования связности на бимодуле. Вестн. Моск. ун-та. сер. 1. матем. механ. №6, с. 63-65 (2000)

25. Шарыгин Г. И. Квантовые главные расслоения, связности и характеристические классы. Тезисы доклада на международной конференции, посвящённой 90-летию со дня рождения Г. Ф. Лаптева. Москва, изд. мех.-мат. ф-та МГУ, с. 58, (1999).