Характеристические классы аппроксимативно конечных алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Характеристические классы возникают в качестве гомологических инвариантов при изучении различного родактур на геометрическом объекте. Исследование и использование таких инвариантов стоит в ряду основных задач алгебраической топологии. Впрочем, в самой алгебраической топологии под характеристическими классами чаще всего понимают классы векторных расслоений. За семьдесят лет, прошедших после доклада Е. Штифеля на знаменитой Московской топологической конференции в 1935 году — точки отсчёта своей истории, теория характеристических классов пережила свою зрелость, дав множество приложений, касающихся классификации многообразий, и оставив след в теории кобордизмов, теории индекса и, конечно же, Ä'-теории, пока неожиданно она вновь не оказалась в самом центре современной математической жизни в связи с развитием некоммутативной геометрии.

Появление конструкции некоммутативных характеристических классов в начале 80-х гг. прошлого века стало одним из первых крупных достижений зарождающейся некоммутативной геометрии. Из многочисленных определений характеристических классов векторных расслоений наиболее полезной оказался дифференциально-геометрический подход Черна-Вейля, который допускал простую переформулировку на языке алгебры с заменой геометрических объектов (многообразие, расслоение) на алгебраические (соответственно, алгебра функций, проективный модуль сечений расслоения). Первая конструкция в духе такого подхода была предложена А. Конном в связи с его исследованиями С*-динамических систем. Характеристические классы, построенные Конном, принимали значения в когомологиях алгебры Ли векторных полей, задающих динамическую систему и не покрывали классический случай. Развитие идей Конна нашло своё выражение в конструкции A.C. Мищенко, Ю.П. Соловьёва, Ю.Й. Жураева и, в полной общности, в конструкции М. Каруби. Обе конструкции различаются в определении некоммутативных дифференциальных форм, в чьих когомологиях должны лежать характеристические классы. Определение характеристических классов Жураева-Мищенко-Соловьёва исходит из того, что аналогом векторных полей на многообразии в некоммутативном случае может служить алгебра Ли дифференцирований на алгебре "функций", далее формы де Рама, как и в дифференциальной геометрии, определяются как косо-симметричные полилинейные функции на некоммутативных векторных полях. Конструкция Каруби опирается на достаточно размытое понятие дифференциального исчисления. Носителем характеристических классов в этом случае являются когомологии абелинизации дифференциального исчисления.

Может показаться удивительным, что за двадцать лет существования некоммутативных характеристических классов накопилось не так много методов и самих примеров их вычисления (см. [16]). Настоящая диссертация вслед за работой [6] призвана заполнить этот пробел. С этой целью для изучения выбран класс аппроксимативно конечных С*-алгебр, определённый О. Браттели в 1972 году. Этот класс алгебр является довольно многочисленным и содержит многие (хотя и не все) примеры и контрпримеры к различным утверждениям теории С*-алгебр. Определяемые как прямые пределы конечномерных С*-алгебр, эти алгебры близки к полу простым алгебрам, чьё изучение начато в работе [6]. Среди других фактов, свидетельствующих в пользу выбора аппроксимативно конечных алгебр, является удобное комбинаторное описание (с помощью диаграмм Браттели) и наличие полной классификации, полученной Эллиоттом.

Перейдём к изложению содержания диссертации, состоящей из четырёх глав.

Первая глава посвящена описанию основной используемой в работе конструкции — конструкции некоммутативных характеристических классов. Содержание этой главы, в целом, является известным (см. [2, 12, 16, 19, 22]), за исключением параграфа 1.3, где строится отображение характеристических классов Каруби в характеристические классы Жураева-Мищенко-Соловьёва, и последнего параграфа главы, в котором доказывается единственность характеристических классов.

В первом параграфе вводится понятие дифференциального исчисления (определение 1.1), которое в некоммутативной геометрии служит аналогом форм де Рама. Далее приводятся примеры двух известных семейств дифференциальных исчислений (примеры 1.1-1.4). Первым среди них является универсальное дифференциальное исчисление (пример 1.1), подтверждающее предложением 1.1 свои права на такое название. Завершается параграф предложением 1.3, в котором показано, как морфизмы связывают между собой введённые ранее дифференциальные исчисления.

Второй параграф содержит описание конструкции характеристических классов Каруби, изложению которого (см. [22]) мы следуем. Эта конструкция, по-существу, повторяет известные в дифференциальной геометрии построения Черна-Вейля: от связности (определение 1.3) через понятие кривизны (определение 1.4) с помощью следа (определение 1.5) мы приходим к определению характеристических классов (определение 1.6). Ввиду той особой роли, которую играет последнее определение в настоящей работе, теорема 1.8 и вспомогательные утверждения о корректности и существовании характеристических классов даны с доказательством. В параграф включены предложения 1.9, 1.10, описывающие некоторые простые свойства определённых характеристических классов сп(Е,0,*): аддитивность и приведённость по первому аргументу и функториаль-ность по второму. Последнее свойство позволяет закрепить доминирующую роль за универсальными характеристическими классами (предложение 1.11 и определение 1.7). В замечании 1.4, завершающем параграф 1.2, вводится нулевой характеристический класс со(Е, П*).

В параграфе 1.3 мы рассматриваем альтернативную конструкцию характеристических классов, предложенную Мищенко А. С., Соловьёвым Ю. П. и Жураевым Ю. Й. в [2, 3, 4]. Её построение (см. определения 1.8, 1.9, 1.10, 1.11) развёртывается параллельно рассуждениям предыдущего параграфа, и на каждом этапе мы устанавливаем связь между этими двумя конструкциями. На уровне связности и кривизны эта связь заключена в предложении 1.16, где строится биекция между связно-стями (кривизнами) в смысле Жураева-Мищенко-Соловьёва и связностя-ми (кривизнами) Каруби для дифференциального исчисления А); на уровне цепных комплексов, в чьих когомологиях лежат характеристические классы — в лемме 1.18. Установленное соответствие позволяет доказать корректность определения 1.11 (теорема 1.14) и построить отображение, переводящее характеристические классы Каруби в классы Жураева-Мищенко-Соловьёва (теорема 1.19).

Основной целью параграфа 1.4 является построение отображения периодичности 5, понижающего порядок универсального характеристического класса на единицу. Для этого мы определяем хохшильдовы и приведённые циклические гомологии ассоциативной алгебры с единицей (определения 1.13, 1.14), строим операторы 5,5,/, образующие последовательность Конна, и доказываем её точность (теорема 1.25). Далее приводится прямое доказательство теоремы Каруби (теорема 1.26), позволяющей перенести оператор периодичности 5 на универсальные характеристические классы (предложение 1.28). В доказательстве этих теорем мы следуем Конну [16]. Итогом параграфа 1.4 является предложение 1.29, которое осуществляет вторую редукцию в изучении характеристических классов — сведение старших классов к младшим (первая редукция заключалась в переходе от произвольного дифференциального исчисления к универсальному).

Завершающий первую главу параграф 1.5 содержит утверждения, касающиеся единственности характеристических классов (теоремы 1.35, 1.37). При этом характеристические классы (определения 1.16, 1.17) трактуются как естественные преобразования из А -функтора в когомологический функтор, сопоставляющий алгебре её циклические гомологии (определение 1.15), либо, во втором случае, когомологии абелинизации зафиксированного дифференциального исчисления. Теорема 1.35 утверждает, что характер Конна-Черна (пример 1.8) является единственным характером со значениями в циклических гомологиях алгебры. Согласно второй теореме (теорема 1.37), для дифференциальных исчислений на алгебре нельзя определить другие характеристические классы, кроме введённых в параграфе 1.2 классов Каруби.

Вторая глава открывает последовательность вычислительных глав, в которых основные усилия направлены на выяснение того, чему равны характеристические классы, определённые в первой главе для той или иной конкретной алгебры. При этом в качестве главного ставится вопрос о том, насколько сильным инвариантом являются характеристические классы, в связи с чем универсальные классы, как наиболее сильные (согласно следствию 1.11), оказываются в центре нашего внимания. В главе 2 рассматриваются конечномерные полупростые ассоциативные унитальные алгебры.

В первом параграфе главы мы находим точный ответ на вопрос о том, когда универсальные характеристические классы конечнопорождённого проективного модуля равны нулю (теорема 2.1). Оказывается, что универсальные характеристические классы осуществляют мономорфизм приведённой /С-теории алгебры по модулю кручения в когомологиии И*(С2*п^(А)). Тем удивительней, для других дифференциальных исчислений, определённых в параграфе 1.1, равно как и для характеристических классов Жураева-Мищенко-Соловьёва ответом служит тождественный нуль (предложение 2.5). Заметим, что тривиальность характеристических классов Жураева-Мищенко-Соловьёва для комплексных полупростых алгебр была доказана в работе [6]. Завершает параграф пример 2.1 дифференциального исчисления групповой алгебры диэдральной группы С[Х)П], не являющегося центральным, в котором, однако, все характеристические классы тривиальны.

Второй параграф главы посвящён рассмотрению случая, когда характеристика поля не равна нулю. Хотя все построения предыдущей главы проводились в предположении, что характеристика основного поля равна нулю, при ненулевой характеристике поля также возможно с некоторыми ограничениями определить характеристические классы конечнопо-рождённого проективного модуля. Эти ограничения касаются размерности определяемых классов: она должна быть меньше, чем характеристика поля. Пример 2.2 показывает, что при нарушении этого условия выбор связности начинает оказывать влияние на характеристический класс, так что определение 1.6 становится некорректным. Мы рассматриваем характеристические классы сп(Е, О*) в "стабильной" размерности 2п < сЬагк и доказываем теоремы, аналогичные теоремам параграфа 2.1. Как и ранее, универсальные характеристические классы оказываются в определённом смысле мономорфными (теорема 2.6). Новой по сравнению со случаем нулевой характеристики является необходимость учитывать индексы алгебр с делением (определение 2.1), отвечающих простым компонентам изучаемой алгебры А, и рассматривать только регулярную часть алгебры и модуля. Характеристические классы, соответствующие другим дифференциальным исчислениям, неожиданно оказываются не равными нулю тождественно (предложения 2.8, 2.9).

Начиная с третьей главы в игру вступает топология. С этого момента мы имеем дело с банаховыми алгебрами (точнее говоря, с С*-алгебрами) и рассматриваем конструкции главы 1 в рамках категории банаховых пространств, учитывая топологию алгебры. Замена категории никак не влияет на определения и факты развитой теории и производится автоматически. В главе 3 изучаются универсальные характеристические классы аппроксимативно конечных С*-алгебр.

Открывающий главу параграф касается общей теории характеристических классов С*-алгебр. Следуя [14], мы вводим понятие аменабельной алгебры (определение 3.2). С точки зрения теории характеристических классов, аменабельные алгебры выделяются тем, что отображение периодичности 5 из параграфа 1.4 является изоморфизмом (теорема 3.2) и, таким образом, все универсальные характеристические классы совпадают между собой. Далее мы приводим без доказательства фундаментальный результат Конна и Хаагерупа (теорема 3.1), который заключается в том, что класс аменабельных С*-алгебр совпадает с классом ядерных С*-алгебр. Это означает, что аменабельных алгебр очень много. В частности, все аппроксимативно конечные или же коммутативные алгебры аменабельны. В примере 3.1 мы рассматриваем последний случай и показываем, что единственным инвариантом, который доставляют характеристические классы проективного модуля над коммутативной С*-алгеброй, является размерность соответствующего ему по теореме Серра-Суона векторного расслоения.

В параграфе 3.2 мы определяем аппроксимативно конечные алгебры, или АР-алгебры (определение 3.6) и описываем распространённый комбинаторный способ задания АР-алгебр — диаграммы Браттели (определение 3.7). Завершают параграф несколько примеров аппроксимативно конечных алгебр. Материал этого параграфа взят нами из [7, 15].

Параграф 3.3 открывает пример вычисления А'-группы с помощью теоремы о непрерывности К-функтора (пример 3.5). Далее следуют два основных результата /1-теории аппроксимативно конечных алгебр: классификационная теорема Эллиотта (теорема 3.11), которая утверждает, что АР-алгебра однозначно восстанавливается по своей А'-группе, рассматриваемой вместе с естественным частичным порядком на ней; и теорема Хандельмана-Шена-Эффроса (теорема 3.9), которая описывает класс частично упорядоченных групп, получающихся как А'-группы АР-алгебр. В качестве иллюстрации к классификационной теореме мы показываем в предложении 3.8, как свойство простоты алгебры выражается на уровне её К-группы. В примере 3.6 для каждого иррационального числа в на отрезке [0,1] строится алгебра Ав с К-группой Z®Z#, которая используется в следующей главе.

Главный результат главы заключён в параграфе 3.4. Это теорема 3.11, в которой вычисляются универсальные характеристические классы аппроксимативно конечной алгебры. В отличие от конечномерной ситуации главы 2 в случае АР-алгебр у характера Конна-Черна появляется ядро — бесконечно малая часть К{п/(А) группы Ко(А) (определение 3.10). В качестве следствия к теореме мы показываем, что характеристические классы Каруби и Жураева-Мищенко-Соловьёва бесконечномерной алгебры Клиффорда, а также алгебры Ав из примера 3.6 равны нулю (пример 3.9). Вторым следствием является факт, что проективные модули над унитализацией групповой алгебры компактной топологической группы различаются с помощью универсальных характеристических классов (пример 3.10).

В последней главе работы рассматриваются характеристические классы алгебр фон Неймана. Появляющиеся при этом теоремы оказываются очень похожими на теоремы главы 2. Утверждения из общей теории алгебр фон Неймана, довольно многочисленные в главе 4, приводятся без доказательства, мы отсылаем читателя к [18].

Параграф 4.1 включает некоторые известные факты из теории операторных алгебр и начинается определением алгебры фон Неймана (определение 4.2). Затем определяются типы алгебр фон Неймана (определение 4.4), для чего вводится понятие следа (определение 4.3). Далее мы формулируем структурные теоремы об алгебрах фон Неймана (теоремы 4.1, 4.2, 4.3). Завершают параграф несколько утверждений (теоремы 4.4, 4.5 и утверждение 4.6), касающихся гиперфинитного фактора 71 типа П1 (определение 4.7). В примере 4.1, где мы следуем [7], строится вложение в гиперфинитный фактор алгебры Клиффорда и АЕ-алгебры

Ае

Основное содержание параграфа 4.2 составляют теоремы 4.9 и 4.11, в которых вычисляется А'-группа алгебр фон Неймана. Этот результат, без сомнения, известный каждому специалисту в теории операторных алгебр, почему-то не нашёл своего отражения в доступной литературе, поэтому мы его доказываем, в значительной степени опираясь на [18]. Во втором параграфе также определяется понятие операторного следа (определение 4.10), который используется при вычислении А'-теории конечных алгебр фон Неймана.

Третий, и заключительный параграф главы несёт в себе теоремы о характеристических классах алгебр фон Неймана. Универсальные характеристические классы описываются теоремами 4.13 (для случая факторов) и 4.15. Заметим, что при доказательстве используется вложение АЕ-алгебры Ад в гиперфинитный фактор, построенное в примере 4.1. Теорема 4.17 покрывает случай характеристических классов, отвечающих другим дифференциальным исчислениям, определённым в параграфе 1.1, а также характеристических классов Жураева-Мищенко-Соловьёва. Результат схож с тем, что дают теоремы 2.1 и 2.5: характер Конна-Черна инъективен, а классы Жураева-Мищенко-Соловьёва (топологически) равны нулю.

Автор выражает сожаление в связи с безвременной кончиной своего научного руководителя профессора Юрия Петровича Соловьёва, вдохновляющее влияние которого при написании данной работы невозможно переоценить. Автор благодарен всем сотрудникам кафедры дифференциальной геометрии и приложений во главе с академиком А. Т. Фоменко за творческий климат, сложившийся на кафедре, и поддержку.

Оглавление

Введение 2

1. Винберг Э. Б. Лекции по алгебре. М.: МЦНМО, 1995. — 150 с.

2. Жураев Ю. Й. Характеристические классы модулей над некоммутативными алгебрами. Дисс. . . канд. физ.-мат. наук, МГУ, 1987.

3. Жураев Ю. Й., Мищенко А. С., Соловьёв Ю. П. О характеристических классах в алгебраической А'-теории. Тираспольский симпозиум по общей топологии и её приложениям. Кишинёв: Штиинца. — 1985.С. 91-92

4. Жураев Ю. Й., Мищенко А. С., Соловьёв Ю. П. О характеристических классах в алгебраической А'-теории. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. — 1986. — N 1. — С. 75-76

5. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, т.1. М.: Наука. — 1981. — 344с.

6. Корнеева Е. В. Характеристические классы в некоммутативной дифференциальной геометрии. Дисс. . канд. физ.-мат. наук, МГУ, 2003.

7. Мёрфи Дж. С*-алгебры и теория операторов. М.: Факториал. — 1997. — 336 с.

8. Милнор Дж. Алгебраическая А'-теория. М.: Мир, 1974. — 246 с.

9. Никонов И. М. Дифференциальные исчисления Вороновича ди-эдральных групп. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. — 2002. — N 6.С. 10-14

10. Фукс Д. Б. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли. М.: Наука, 1984. — 272 с.

11. Хелемский А. Я. Гомология в банаховых и топологических алгебрах. М.: Изд-во МГУ, 1986. — 287 с.

12. Bratteli О. Inductive limits of finite dimensional C*-algebras. // Trans. Amer. Math. Soc. — 1972. — 171. — C. 195-234

13. Connes A. Noncommutative geometry. Academic Press, 1994. — 662 c.

14. Connes A. On the cohomology of operator algebras. // J. Functional Anal. — 1978. — 28, N. 2 — C. 248-253.

15. Dixmier J. Von Neumann algebras. Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1981. — 383 c.

16. Dubois-Violette M. Lectures on graded differential algebras and non-commutative geometry. math.QA/9912017

17. Effros E. G., Handelman D. E., Shen C.-L. Dimension groups and their affine representations. // Amer. J. Math. — 1980. — 102, N. 2 — C. 385-407

18. Haagerup U. All nuclear C*-algebras are amenable. // Invent. Math. — 1983. — 74, N. 2 — c. 305-319.

19. Karoubi M. K-théorie et cohomologies cycliques. Astérisque, Paris, 1987— 149.

20. Landi G. An introduction to noncommutative spaces and their geometry. hep-th/9701078

21. Loday J.-L. Cyclic homology. Grunlehren der mathematischen Wissenschaften, 301. — Berlin: Springer-Verlag. — 1992. — 455 c.