Построение моделей теории поля на пространствах с ковариантной некоммутативной геометрией тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Введение

1 Некоммутативная геометрия в подходе А. Конна

1.1 Определение квантового пространства на основе К-цикла.

1.2 Построение квантового комплекса де-Рама на основе оператора Дирака.

1.3 Физические поля в рамках подхода А. Конна

1.4 Хиггсовский бозон в интерпретации А. Конна

2 Некоммутативная геометрия пространств обладающих квантовой симметрией

2.1 Роль квантовой симметрии в некоммутативной геометрии

2.2 Необходимые сведения из теории квантовых групп и однородных пространств.

2.3 Квантовая группа ЗЬТЦ{2) и квантовая алгебра Ли 811,(2)

2.4 Квантовая двумерная сфера.

2.5 к,-деформация группы Пуанкаре и пространства Мин-ковского.

3 Дифференциальное исчисление в пространствах обладающих квантовой симметрией

3.1 Квантовый комплекс де Рама.

3.2 Квантовый комплекс де-Рама на 5'С/?(2).

3.3 Квантовый комплекс де-Рама на «-деформации пространства Минковского.

3.4 Алгебра дифференциальных операторов на квантовой группе 5(7д(2).

3.5 Алгебра дифференциальных операторов на квантовом пространстве Минковского.

3.6 Проблема оператора Дирака в некоммутативной геометрии

4 Оператор Дирака и теория поля на однородных пространствах квантовых групп

4.1 Формула квантового дифференциала с точки зрения теории расслоений.

4.2 Оператор Дирака на однородных пространствах квантовых групп.

4.3 Уравнения и лагранжианы физических полей

5 Примеры уравнений и лагранжианов физических полей на конкретных квантовых пространствах

5.1 Квантовая группа 2).

5.2 к-деформация пространства Минковского

5.3 Изучение спектральных характеристик оператора Дирака на квантовой группе 5{7,(2).

Некоммутативная геометрия (НГ) представляет собой достаточно обширную область математики, интенсивно разрабатываемую в последние 15 несколькими группами исследователей в разных странах мира [1]-[10].

Предпосылкой к созданию НГ явилась известная теорема Гель-фанда и Наймарка [1],[11],[12] о том, что всякая коммутативная С*-алгебра является алгеброй непрерывных функций на компактном топологическом пространстве. Наиболее простое и удобное для физически ориентированного читателя введение в круг этих вопросов, с нашей точки зрения, приведено в [12]. Мы приведем лишь основные детали, которые потребуются для дальнейшего изложения.

Напомним, что С*-алгеброй А называется банахова *-алгебра с дополнительным свойством

И*'*И = И12 (1) для всех х £ А.

Важнейшим объектом связанным с алгеброй А является ее двойственное пространство А*, т.е. пространство непрерывных линейных функционалов на Л с нормой, определенной для каждого / 6 А* согласно

Д=зир{\/(х)\гА\х\\=1} (2)

На пространстве А* существуют две естественные топологии, равномерная и слабая*. Для формулировки основной теоремы "коммутативной" геометрии нам понадобится слабая* топология, в которой система окрестностей точки £ £ Л задается конечным набором элементов Х\, .,хп £ А и е < 0 т имеют вид

Е/(£;ж1,.,ж„) = € А\ ||£(ж,-) - < е,ъ = (3)

Пусть теперь алгебра А абелева. Ее характером будем называть такое ненулевое линейное отображение £ : Д —С, что для всех ж, у £ А. Спектром а{А) алгебры А называется множество всех ее характеров. Следующую теорему Гельфанда- Найм-арка можно считать основной теоремой коммутативной геометрии.

ТЕОРЕМА. Для абелевой <7*-алгебры А пространство сг(А) снабженное слабой* топологией унаследованной от пространства А* отделимо и локально компактно. Оно компактно тогда и только тогда, когда А содержит единицу. Кроме того, А изоморфна алгебре А — Со(а(А) непрерывных комплекснозначных функций 4 на <7 (А) в случае когда пространство а (А) компактно и пространству всех непрерывных функций обращающихся в нуль на бесконечности в том случае, когда оно локально компактно.

Примерами компактных топологических пространств являются, в частности, все замкнутые ограниченные многообразия в Еп. Неограниченные многообразия, такие, в частности как само К" будут лишь локально компактны т.е. каждая точка такого пространства будет обладать компактной окрестностью.

Отображение А -» А устанавливающее взаимно однозначное соответствие между множеством всех локально-компактных пространств и множеством всех коммутативных С*-алгебр обычно называют морфизмом Гельфанда.

Конструктивно для каждого х £ А значение его образа х £ А в произвольной точке I £ сг(А) определяется согласно

Для того, чтобы нагляднее представить себе морфизм Гельфанда предположим, что алгебра А уже задана как алгебра Со(Х) для некоторого пространства X. В этом случае для каждой точки а £ X можно определить характер £а на Со(Х) следующим образом. Для каждого элемента х £ Со(Х) положим. г(ху) = г(хЩу)

4) щ = г(х).

5) га(х) - ж (а)

6)

Морфизм Гельфанда утверждает в частности, что таким образом можно построить все множество сг(Со(Х)).

Как хорошо, известно, переход от классической механики к квантовой можно трактовать, как переход от коммутативной алгебры наблюдаемых к некоммутативной [1]. Другими, словами все существующие квантовые эффекты связаны с некоммутативностью фазового пространства динамической системы.

Естественный вопрос о том, какие геометрические образы могут соответствовать некоммутативным С*-алгебрам и привёл к созданию НГ, основы которой, как уже упоминалось, были заложены в работах [1]-[10] и других. Фактически, можно сказать, что НГ занимается изучением тех конструкций относящихся к некоммутативным алгебрам, которые для коммутативного случая имеют хорошо определённую геометрическую интерпретацию.

В соответствии с тем, какие из этих конструкций обобщаются на некоммутативный случай, существует два главных подхода к основам НГ.

Первый подход, развиваемый преимущественно французской математической школой и связанный прежде всего с именами А. Конна и М. Каруби [1]-[2], естественно было бы назвать гомологическим, поскольку он основан на конструкциях прямо связанных с вычислением циклических гомологий и когомологий некомму-тативнвх алгебр. В частности, одним из ключевых объектов в этом подходе является оператор Дирака.

Второй подход, основанный на квантовом обобщении понятия симметрии независимо возник в результате глубокого осмысления сотрудниками ленинградской математической школы квантовой симметрии возникающей в квантовом методе обратной задачи [15]-[18], а также в работах [19]-[21]. Основным понятием, на котором базируется данный подход является введённое В. Г. Дринфельдом в [22] понятие квантовой группы, подробно рассматриваемое во второй главе диссертации. Наиболее общую и законченную формулировку это направление получило в работах Ю. И. Манина и П. П. Кулиша [8]-[10].

С идейной точки зрения подход основанный на введении квантовой симметрии кажется нам более предпочтительным, и мы в основном будем работать в соответствующих ему рамках. Тем не менее наша конструкция оператора Дирака будет основываться на подходе А. Конна [1].

Развитие некоммутативной геометрии привело к созданию нового направления в математической физике, связанного с построением на моделях некоммутативной геометрии теории поля. Инициатором в этой деятельности вступил А. Конн [23], которого поддержало большое количество авторов [24]-[55]. В частности в рамках некоммутативной геометрии удалось построить евклидово действие для Стандартной модели сильных и электрослабых взаимодействий [24].

Поскольку диссертация посвящена как раз кругу вопросов, связанному с физическими приложениями, то далее мы будем рассматривать именно его.

Для построения в рамках НГ физических теоретико-полевых моделей требуется задать на соответствующих квантовых пространствах некоммутативное дифферениальное исчисление. В настоящее время имеется по крайней мере три основных подхода к этой проблеме. Развитие первых двух было непосредственно связано с физическими приложениями. Это подход А. Конна, активно развиваемый Д. Кастлером, Т Шукером и другими [1], [23]-[27], а также подход групп из Марселя и Майнца, связанный с именами Кокро, Г. Эспозито-Фарезе, М. Дюбуа-Виолетта, Р. Кернера, Ж. Мадоре, Ж. Велэна [28]-[40].

В подходе А. Конна и Д. Кастлера рассматривемом в первой главе диссертации, ключевую роль играет определённый на квантовом пространстве оператор Дирака. Его построение в некоммутативном случае представляет собой отдельную, весьма сложную задачу, требующую привлечения дополнительных соображений. Однако, если он уже имеется, то вся дальнейшая деятельность по конструированию квантового комплекса де-Рама выполняется стандартным образом.

В подходе Марсель-Майнц построение квантового комплекса де-Рама ведётся непосредственно из аналогий с классическими формулами и их суперсимметричными обобщениями.

Основная серия примеров возникающая в двух указанных подходах связана с алгебрами, получающимся в результате тензорного произведения обычной коммутативной алгебры функции на конечномерую некоммутативную алгебру. Впервые такая конструкция изучалась в работах [28],[30] (а для супералгебр в [38]). Соответствующая геометрическая трактовка означает, что физическое пространство помимо привычных измерений движение вдоль которых может осуществляться непрерывно обладает также некоторым дискретным измерением.

Идеи работы [30] более подробно были развиты в последующей серии работ [31]-[40]. В них для построения квантового комплекса де Рама вначале строится пространство квантовых векторных полей.

В серии работ [37]-[40] последовавших за [36] построение пространства квантовых дифференциальных форм ведётся непосредственно и связано с разделением последнего на чётную и нечётную части. Возникающие в результате этого модели естественно описываются в рамках суперсимметрии [40].

Идея разложения пространства на дискретную и непрерывную составляющие также активно использовалась и самим А. Конном [1] ,[24]. В результате в работе [24] в рамках некоммутативной геометрии была дана трактовка Стандартной Модели электрослабых и сильных взаимодействий.

Одним из наиболее интересных результатов в этом направлении явилась трактовка полей Хиггса как калибровочных полей Л связанных с дополнительными дискретными размерностями. Впоследствии в целой серии работ [41]-[46] исследовались связи между массами Хиггсовского бозона и других частиц входящих в лагранжиан Стандартной Модели вытекающие из интерпретации основанной на некоммутативной геометрии.

Отметим также работы [47]-[49] посвященные гравитации и работы [50]-[53], в которых в рамках некоммутативной геометрии описаны теории великого объединения, основанные на калибровочных группах 50т(5) и 50(10).

Современные обзоры изложенных подходов, а также полученных в этих рамках результатов даны в [54]-[56].

Пожалуй, единственный пример, выходящий за рамки произведения непрерывности на дискретность связан с серией работ [57]-[62]. В работе [57] была предложена модель некоммутативной сферы, где в качестве параметра деформации N выступала размерность неприводимого представления группы 5(7(2). Предел N—>■00 отвечал классическому случаю. В статье [61] в этой модели был построен оператор Дирака, а в [62] построено соответствующее дифференциальное исчисление.

К сожалению, до сих пор метод деформации предложенный в [57]-[62], не был обобщен на более общий класс многообразий отличных от двумерной сферы.

Наконец, укажем на третий подход к построению квантового дифференциального исчисления. Он связан с интенсивно изучавшемся в последние десять лет квантовыми пространствами, обладающими квантово-групповой симметрией. Это как сами квантовые группы, так и их однородные пространства. Применявшиеся здесь до сих пор методы существенно отличались от тех которые предлагались в упомянутых выше работах.

Напомним вкратце основные предпосылки и этапы развития теории квантовых групп и квантовых однородных пространств.

Как уже упоминалось, первоначально теория квантовых групп зародилась в недрах квантового метода обратной задачи. Здесь следует отметить в первую очередь серию пионерских работ Л.Д. Фаддеева и его учеников П. П. Кулиша, Е. К. Склянина, Л. А. Тахтаджяна, Н. Ю. Решетихина [15]-[18]. На основе анализа их результатов В.Г. Дринфельд [22] и М. Джимбо [19] создали общую теорию квантования полупростых алгебр Ли как деформаций их универсальных обертывающих алгебр. Независимый подход был предложен в работе [4].

Одним из наиболее важных приложений теории квантовых групп следует назвать теорию квантовых однородных пространств отвечающих квантовым группам. Простейший такой пример связанный с квантовой группой 5^(2), квантовая двумерная сфера, был предложен в работе [7].

С точки же зрения возможных физических приложений наибольший интерес представляют различные варианты квантования групп Лоренца и Пуанкаре и отвечающие им деормации пространства Минковского. Остановимся на этом подробнее.

Первоначальный подход к квантованию группы Лоренца и пространства Минковского ^связанный с квантовой группой 2, С). V, бы.] развит в серии работ [63]-[65]. Соответствующую деформацию принято называть " д-деформацией". В наиболее адекватной алгебраической записи, основанной на Д-матричных уравнениях отражения [68],[69], окончательные результаты были получены в работах П.П. Кулиша с соавторами [70],[71]. Отметим также и работу [72], в которой было дано исследование неприводимых представлений квантовой алгебры, отвечающей этой деформации пространства Минковского.

Недавно в [73] Я- матричный подход был успешно применен теми же авторами в том случае, когда для квантования группы Лоренца используется другая, а именно, /г-деформация группы 5Х(2, С) квантовая группа 5X^(2, С) [74]-[76], являющаяся, согласно [77], вырожденным случаем д-деформации.

В работе [73] была также построена квантовая алгебра Пуанкаре, соответствующая (¡-деформации алгебры Лоренца и, соответственно, на квантовом пространстве Минковского было построено дифференциальное исчисление и определен квантовый оператор Лапласа.

Подробное изложение всех этих вопросов имеется в обзоре [78].

В то же время в работе [80] была построена еще одна к-, ("каппа") деформация алгебры Пуанкаре и пространства Минковского. Далее в работах [81],сН;е82 была найдена соответствующая деформация группы Пуанкаре. В статье [83] на Ас-пространстве Минковского было построено ковариантное дифференциальное исчисление, а в [84] оператор Дирака отвечающий "каппа" алгебре Пуанкаре.

Как уже отмечалось, для построения дифференциального исчисления на квантовых группах и квантовых однородных пространствах использовался аппарат альтернативный к [1], разработанный Вороновичем [6] и развитый затем многими авторами [85]-[88]. В частости, Л.Д. Фаддеевым и А.Ю. Алексеевым в работе [88] была предложена конструкция ковариантного базиса в алгебре дифференциальных операторов на квантовой группе.

В серии работ [89],[90] было разработано ковариантное дифференциальное исчисление на квантовой сфере, а в уже упоминавшейся работе [83], это было проделано для /с-пространства Мин-ковского.

Оператор Дирака на квантовой сфере впервые был предложен в [91]. Альтернативный вариант был также дан в [92], где в частности были исследованы его спектральные свойства и установлена связь операторов Дирака на квантовой сфере и квантовой группе 517,(2).

Связь оператора Дирака и ковариантного дифференциального исчисления в этих работах, однако, не исследовалась. Между тем, как будет показано в диссертации, она необходима для последовательного построения на квантовом пространстве единой теории взаимодействующих дираковского и калибровочного полей.

Разрешению вопроса об определении оператора Дирака связанного с ковариантным дифференциальным исчислением и построению на этой основе теории взаимодействующих физических полей и посвящена данная диссертация.

Диссертация состоит из введения, двух вводных и трёх основных глав.

1. A. Connes, Noncommutative geometry, N. Y. Acad. Press (1994).

2. M. Karoubi, Homologie cyclique et К-théorie, Astérisque 149, (1987).

3. H. Ю. Решетихин, JI. A. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев, Квантовые группы Ли и квантовые алгебры Ли, Алгебра и Анализ, 1, 178-206, (1989).

4. S. L. Woronowicz, Twisted SU(2) group. An example of a non-commutative differential calculus, Publ. RIMS Kyoto University 23, 117-181, (1987).

5. S. L. Woronowicz, Compact matrix pseudogroups, Comm. Math. Phys. Ill, 613-665, (1987).

6. S. L. Woronowicz, Differential calculus on compact matrix pseudogroups (quantum groups), Comm. Math. Phys. 122,125, (1989). ,

7. P. Podles, Quantum spheres, Lett. Math. Phys. 14, 193-202, 1987.

8. Yu. I. Manin, Some remarks on Koszul algebras and quantum groups, An. Inst. Fourier 27, 191-205, (1987).

9. Yu. I. Manin, Quantum groups and non-commutative geometry, Preprint CRM-1561 Montréal, (1988).

10. П. П. Кулиш, Ковариантная некоммутативная геометрия, Зап. научн. семин. ПОМИ, 205, 85-91, (1993).

11. М. А. Наймарк, Нормированные кольца, Москва, Наука (1968).

12. У. Браттели, Д. Робинсон, Операторные алгебры и квантовая статистическая механика, Москва, Мир (1982).

13. R. Coquereaux, Noncommutative geometry and theoretical physics, Journ. Geom. and Phys. 6, 425, (1989).

14. R. Coquereaux, Non-commutative geometry: a physist's brief survey, Journ. Geom. and Phys. 11, 307, (1993).

15. L. D. Faddeev, L. A. Takhtajan, Liouville model on the lattice, Lect. Notes Physics 246, 166-179, (1986).

16. П. П. Кулиш H. Ю. Решетихин, Квантовая линейная задача для уравнения синус-Гордон и высшие представления, Зап. Науч. семинаров ЛОМИ 101, 101-110, (1981).

17. Е. К. Склянин, О некоторых алгебраических структурах связанных с уравнением Янга-Бакстера, Функц. анализ и прил. 16, 27-34, (1982).

18. Е. К. Склянин, Об одной алгебре, порождённой квадратичными соотношениями, Успехи мат. наук 40, 214, (1985).

19. М. Jimbo, A g-analog of U(gl(N + 1)) Hecke algebras, and the Yang-Baxter equation, Lett. Math. Phys. 11, 247-252, (1986).

20. M. Jimbo, A (/-difference analogue of U(g) and the Yang-Baxter equation, Lett. Math. Phys. 10, 63-69, (1985).

21. В. Г. Дринфельд, Алгебры Хопфа и квантовое уравнение Янга-Бакстера, ДАН СССР 283, 1060-1064, (1985).

22. В. Г. Дринфельд, Квантовые группы, Зап. науч. семинаров ЛОМИ 155, 18-49, (1986).

23. A. Connes, The action functional in non-commutative geometry, Commun. Math. Phys. 117, 673 683, (1988).

24. A. Connes and J. Lott, Particle models and non-commutative geometry, Nuclear Phys. 18B, 29-47, (1990).

25. D. Kastler, A detailed account of Alain Connes' version of the Standard Model in non-commutative geometry. I and II, Preprint CPT-91/P.2610, (1991).

26. D. Kastler, A detailed account of Alain Connes' version of the Standard Model in non-commutative differential geometry III. State of art, CPT-92/P.2824, (1992).

27. D. Kastler, and T. Schiicker, The Standard Model a la Connes-Lott Journ. Geom. and Phys. 24, 1, (1997).

28. M. Dubois-Violette, R. Kerner and J. Madore, Classical bosons in a non-commutative geometry, Class. Quant. Grav. 6, 17091724, (1989).

29. M. Dubois-Violette, R. Kerner and J. Madore, Gauge bosons in a noncommutative geometry, Phys. Lett. B 217, 485, (1989).

30. R. Coquereaux, G. Esposito-Farese and G. Vaillant, Higgs fields as Yang-Mills fields and discrete symmetries, Nucl. Phys. B 353, 689, (1991).

31. M. Dubois-Violette, R. Kerner and J. Madore, Noncommutative differential geometry of matrix algebras, J. Math. Phys. 31, 316, (1990).

32. M. Dubois-Violette, R. Kerner, J. Madore, Noncommutative differential geometry and new models of gauge theory, J. Math. Phys. 31, 323, (1990).

33. M. Dubois-Violette, J. Madore and R. Kerner, Super matrix geometry, Class. Quantum Grav. 8, 1077, (1991).

34. B. S. Balakrishna, F. Gwrsey and K. C. Wali, Noncommutative geometry and Higgs mechanism in the standard model, Phys. Lett. B 254, 430, (1991).

35. B. S. Balakrishna, F. Giirsey and K. C. Wali, Towards a unifed treatment of Yang-Mills and Higgs fields, Phys. Rev. D 44, 3313, (1991).

36. R. Coquereaux, G. Esposito-Farese, and F. Scheck, A theory of electroweak interactions described by SU2|1), Preprint CPT-90/P.E. 2464 (1990).

37. G. Esposito-Farese, Superconnections and noncommutative geometry at the service of the Standard Model, Class. Quant. Grav. 9, S73-S78, (1992).

38. R. Hauling, N. A. Papadopoulos, and F. Scheck, 517(211) symmetry, algebraic superconnections and a generalised theory of electroweak interactions, Phys. Lett. B260, 125, (1991).

39. R. Coquereaux, R. Hau/31ing, N. A. Papadopoulos and F. Scheck, Generalized gauge transformations and hidden symmetry in the Standard Model, Int. J. Mod. Phys. A7, 28092824, (1992).

40. R. Coquereaux, G. Esposito-Farese and F. Scheck, Noncommutative geometry and graded algebras in electroweak interactions superconnections, Int. J. Mod. Phys. A 7, 6555-6593, (1992).

41. D. Kastler, and T. Shiicker, Remarks on Alain Connes' approach to the Standard Model in non-commutative geometry, Teor. i Mat. Fiz. 92, 522, (1992).

42. J. C. Varilly and J. M. Gracia-Bondia, Connes' noncommutative differential geometry and the standard model, J. Geom. Phys. 12, 223, (1993).

43. A. H. Chamseddine, and J. Frohlich, Constraints on the Higgs and top quark masses from effective potential and noncommutative geometry, Phys. Lett. B314, 308-314, (1993).

44. E. Alvares, J. M. Gracia-Bondia, and C. P. Martin, Parameter restrictions in a noncommutative geometry model do not survive standard quantum corrections, Phys. Lett. B 306, 55, (1993).

45. E. Alvarez, J. M. Gracia-Bondia, and C. P. Martin, A renormalisation group analysis of the NCG constraints mtop = 2mw, MHiggs = 3,14mw. Phys. Lett. B329, 259, (1994).

46. B. Iochum, D. Kastler, and T. Schwcker, Fuzzy mass relations for the Higgs, Journ. Math. Phys. 36, 6232, (1995).

47. D. Kastler, The Dirac operator and gravitation, Comm. Math. Phys. 166, 633, (1995).

48. A. H. Chamseddine, J. Fröhlich, and Grandjean, The gravitational sector in the Connes-Lott formulation of the standard model, Journ. Math. Phys. 36, 6255-6275, (1995).

49. A. H. Chamseddine, G. Felder and J. Frölich, Gravity in non-commutative geometry, Commun. Math. Phys. 155, 109, (1993).

50. A. H. Chamseddine, G. Felder, J. Frölich, Grand unification in non-commutative geometry, Nucl. Phys. B395, 672-698, (1993).

51. A. H. Chamseddine, G. Felder, and J. Frölich, Unified gauge theories in non-commutative geometry, Phys. Lett. B 296,109, (1993).

52. A. Chamseddine and J. Frölich, Unification in non-commutative geometry, Preprint ZU-TH-10/1993, ETH/TH/93-12, (1993).

53. A. Chamseddine and J. Frölich, 50(10) unification in noncommutative geometry, Phys. Rev. D 50, 2893, (1994).

54. T. Schwcker, and J.-M. Zylinski, Connes' model building kit, Journ. Geom. and Phys. 16, 207, (1995).

55. B. Iochum and T. Schücker, Yang-Mills-Higgs versus Connes-Lott, Commun. Math. Phys. 178, 1, (1996).

56. Alain Connes, Noncommutative geometry and reality, Journ. Math. Phys. 36, 6194-6231, (1995).

57. J. Madore, The commutative limit of a matrix geometry, J. Math. Phys. 32, 332-335, (1991).

58. H. Grosse and J. Madore, A noncommutative version of the Schwinger model, Phys. Lett. B 283, 218 222, (1992).

59. J. Madore, The fuzzy sphere, Class. Quant. Grav. 9, 69-87, (1992).

60. H. Grosse, C. Klirncik, P. Presnajder, Simple field theoretical models on noncommutative manifolds Preprints CERN-TH/95-138, hep-th/9510177; hep-th/9510083; hep-th/9505175, (1995).

61. H. Grosse and P. Presnajder, The Dirac operator on the fuzzy sphere, Lett. Math. Phys. 33, 171-181, (1995).

62. Ursula Carow-Watamura, Satoshi Watamura, Chirality and Dirac operator on noncommutative sphere, Commun. Math. Phys. 183, 365-382, (1997).

63. P. Podles and S. L. Woronowicz, Quantum deformation of Lorentz group, Commun. Math. Phys. 130, 381-431, (1990).

64. U. Carow-Watamura, M. Schlieker, M. Scholl, S. Watamura, Tensor representations of the quantum group SLq(2, C) and quantum Minkowski space, Z. Phys. C-Particles and fields 48, 159 165, (1990).

65. W. B. Schmidke, J. Wess, B. Zumino, A g-deformed Lorentz algebra, Z. Phys. C-Particles and fields 52, 471-476, (1991).

66. O. Ogievetsky, W.B. Schmidke, J. Wess and B. Zumino, Six generator g-deformed Lorentz algebra, Lett. Math. Phys. 23, 233 240, (1991).

67. O. Ogievetsky, W. B. Schmidke, J. Wess, and B. Zumino, q-Deformed Poincare algebra, Commun. Math. Phys. 150, 495518, (1992).

68. J. A. de Azcarraga, P. P. Kulish, and F. Rodenas, Reflection equations and g-Minkowski space algebras, Lett. Math. Phys. 32, 173-182, (1994).

69. J. A. de Azcarraga, P. P. Kulish, and F. Rodenas, On the physical contents of q-Minkowski, Phys. Lett. B351, 123,1995).

70. P. P. Kulish, R. Sasaki, Covariance properties of reflection equation algebras Progr. Theoret. Phys. 89, 741-761, (1993).

71. П. П. Кулиш, Квантовые группы, ¿/-осцилляторы и ковари-антные алгебры Теор. матем. физика 94, 193-199 (1993).

72. P. P. Kulish, Representations of ^-Minkowski space algebra, Алгебра и анализ, 6, 195-205, (1994).

73. J. A. de Azcarraga, P. P. Kulish, F. Rodenas, Twisted h-spacetimes and invariant equations, q-alg 9702026.

74. Б. E. Demidov, Yu. I. Manin, E. E. Mukhin and Zhdanovich, Prog. Theor. Phys. Suppl. 102, 203-218, (1990).

75. S. Zakrzewski, A Hopf star-algebra of polynomials on the quantum SX(2,R) for a "unitary" jR-matrix, Lett Math. Phys. 22, 287-289, (1991).

76. B. A. Kupershmidt, The quantum group GLh(2), J. Phys. A: Math. Gen. 25, L1239-L1244, (1992).

77. A. Aghamohammadi, M. Khorrami and A. Shariati, Jordanian deformation of SL(2) as a contraction of its Drinfeld-Jimbo deformation, J. Phys. A: Math. Gen. 28, L225-231, (1995).

78. A. de Azcarraga and F. Rodenas, Deformed Minkowski spaces: classification and properties, Journ. Phys. A, 29 (1996), 12151226.

79. J. A. de Azcarraga, P. P. Kulish, F. Rodenas, Quantum groups and deformed special relativity, Fortschr. der Phys. 44, 1-40,1996).

80. J. Lukierski, H. Ruegg, A. Nowicki, V. Tolstoy, g-deformation of Poincare algebra, Phys. Lett. В 264, 331-338, (1991).

81. S. Zakrzewski, Quantum Poincare group related to the к,-Poincare algebra, J. Phys. A: Math. Gen. 27, 2075-2082, (1994).

82. S. Magid, and H. Ruegg, Bicrossproduct structure of к-Poincare group and non-commutative geometry, Phys. Lett. 334B, 348, (1994).

83. C. Gonera, P. Kosinski, and P. Maslanka, Differential calculi on quantum Minkowski space, J. Math. Phys. 37, 5820, (1996).

84. A. Nowicki, E. Sorace, and M. Tarlini, The quantum Dirac equation from the к-Poincare algebra, Phys. Lett. 302B, 419, (1993).

85. B. Jurco, Differential calculus on quantized simple Lie groups, Lett. Math. Phys. 22, 186, (1991).

86. P. Schupp, P. Watts, and B. Zumino, Differential geometry on linear quantum groups, Lett, Math. Phys. 25, 139 147, (1992).

87. P. Shupp, P. Watts, B. Zumino, Bicovariant quantum algebras and quantum Lie algebras, Comm. Math. Phys. 157, 305-329, (1993).

88. A. Yu. Alekseev, L. D. Faddeev, A toy model for conformal field theory, Comm Math. Phys. 141, 413-422, (1991).

89. P .Podles, Differential calculus on quantum spheres, RIMS, 751 (1991).

90. P. Podles The classification of differential structures on quantum 2-spheres, RIMS, 865 (1992).

91. K. Ohta, H. Suzuki, Dirac operators on quantum two spheres, Mod. Phys. Lett. A 141, 2325-2333, (1994).

92. П. H. Бибиков, П. П. Кулиш, Опеаторы Дирака на квантовой группе SUq(2) и квантовой сфере, Зап. научн. семин. ПОМИ, 245, 49, (1997).

93. P. N. Bibikov, Dirac operator, bicovariant differential calculus and gauge theory on к-Minkowski space, J. Phys. A: Math. Gen. 31, 6437-6447, (1998).

94. P. N. Bibikov, Field theory in SUq(2), J. Math. Phys. 41,16321646, (2000).

95. П. A. M. Дирак, Принципы квантовой механики, М. Наука, 198

96. N. Berline, Е. Getzler, М. Vergne, Heat Kernels and Dirac Operators, Berlin Springer-Verlag, (1992)

97. C.Jayewaredena, Helv. Rhys. Acta 61, 636, (1988).

98. Дубровин, Новиков, Фоменко, Современная геометрия, М. Наука, 198

99. Е. Abe, Hopf algebras, Cambridge Tracts in Math. 74, Cambridge, (1980).

100. S.Majid, Foundations of quantum group theory, Cambridge (1995).

101. JI. JI. Ваксман, Я. С. Сойбельман, Алгебра функций на квантовой группе SU(2), Функциональный анализ и приложения 22,1-14, 1988.

102. А. N. Kirillov and N. Yu. Reshetikhin, Representations of the algebra Uq(sl(2)), ^-orthogonal polinomials and invariants of links, Preprint LOMI E-9-88, (1988), Infinite-dimensional Lie algebras and groups, Singapore W. S., (1989).

103. M. Noumi, K. Mimachi, Rogers's g-ultraspherical polinomials on a quantum 2-sphere, Duke Math. Journ. 63, 65-80, (1991).

104. P. Stachura, Bicovariant differential calculi on SUmu(2), Lett. Math. Phys, 25, 15 (1992).

105. T. Masuda, K. Mimachi, Y. Nakagami, M. Noumi, K.Ueno, Representations of the quantum group SUq(2) and the little q-Jacobi polynomials, Journ. of Funct. Anal. 99, 357-386, (1991).