Геометрия пространств джетов и ее приложения к теории симметрий и законов сохранения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В КОММУТАТИВНЫХ АЛГЕБРАХ И ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ

§ I. Обозначения и сведения из дифференциального исчисления б коммутативных алгебрах

§ 2, Сопряженные операторы

§ 3. Комплексы Спенсера и формула Грина.

§ 4. Квадратичные лагранжианы и оператор

Эйлера.

§ 5. Законы сохранения в линейной теории

§6. Автоморфизмы и линейная теорема Нётер

ГЛАВА П. АВТОМОРФИЗМЫ КОНТАКТНОЙ ГЕОМЕТРИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СИММЕТРИЙ НЕ

ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 7, Необходимые сведения из геометрии пространств джетов.

§ 8. Структура V - преобразований.

§ 9. Инфинитезимальные автоморфизмы распределения Картана на

§ 10, Строение автоморфизмов распределения

Картана на л/^

§ II. Классическая теория симметрий дифференциальных уравнений.

ГЛАВА Ш. КОНТАКТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА БЕСКОНЕЧНО ПРОДОЛЖЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ И ТЕОРИЯ ВЫСШИХ СИММЕТРИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 12. Геометрия бесконечно продолженных уравнений и связанное с ней дифференциальное исчисление.

§ 13. Операция горизонтализации и структура подмодулей Картана. •

§ 14. Высшие инфинитезимальные симметрии нелинейных дифференциальных уравнений

§ 15. Структура С- - преобразований.

ГЛАВА ЕГ. ЛАГРАНЖЕВ ФОРМАЛИЗМ, ТЕОРИЯ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ

И (^-СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

§ 16. Комплексы Спенсера и формула Грина в

3- теории.

§ 17. Нелинейный лагранжев формализм.

§ 18. С - спектральная последовательность.

§ 19. С- - спектральная последовательность бесконечно продолженных уравнений.

В этой работе в систематическом виде представлена та часть исследований автора по геометрии пространств джетов (струй) конечного и бесконечного порядков, которая приводит к последовательной общей теории локальных симметрий и законов сохранения нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. По этой причине в ней представлены два сорта результатов. Одни относятся к теории пространств джетов, как таковой, другие из них, выводимые, принадлежат теории симметрии и законов сохранения. Первая группа результатов является основной и имеет другие полезные приложения к теории дифференциальных уравнений, которых мы за недостатком места здесь не касаемся.

Применяемые нами методы заимствованы из дифференциальной геометрии и топологии, гомологической алгебры и теории дифференциальных операторов в коммутативных алгебрах и не являются традиционными в теории нелинейных дифференциальных уравнений, тогда как основные результаты второй группы касаются проблем, издавна привлекавших внимание специалистов по математической физике и теории дифференциальных уравнений.

Ниже описывается содержание диссертации параллельно со сведениями исторического характера.

Вся диссертация содержит двадцать параграфов, разбитых на четыре главы. Каждый параграф разбит на пункты, занумерованные парой чисел, первое из которых обозначает номер параграфа, а второе - номер пункта внутри параграфа. Теоремы, предложения, следствия и другие утверждения при ссылках имеют номер того пункта, в котором они приведены. Формулы нумеруются внутри каждого пункта и имеют "трехзначный" номер, первые два числа которого являются номером пункта, в котором приведена формула, а третье -номером формулы внутри пункта.

Первая глава, включающая §§ I - 6, имеет чисто алгебраическую природу. В ней описываются и исследуются основные конструкции теории линейных дифференциальных операторов в коммутативных алгебрах, используемые в главах П - ЗУ. Внутри этой главы они применяются для построения линейного Лагранжева формализма и теории линейных законов сохранения. Более подробно содержание первой главы состоит в следующем.

В § I вводится понятие К -линейного дифференциального оператора (д.о.) над некоторой коммутативной К -алгеброй А . Если К«|Я (или С ), а А есть К -алгебра С^сМ) всех гладких функций на гладком многообразии М , то введенное понятие д.о. совпадает с обычным. Алгебраическое, а, значит, и бесноординат-ное по природе это понятие позволяет построить теорию дифференциальных операторов в таких ситуациях, когда неприменимы стандартные средства анализа, и выделить и исследовать основные функторы возникающего таким образом дифференциального исчисления над коммутативными алгебрами. В § I описаны основные для наших целей функторы к и и их представляющие объекты, обозначаемые ^ и А1, соответственно, элементы которых называются к -джетами и I -мерными дифференциальными формами над А • В случае А-С°сМ)эти объекты при надлежащем выборе рассматриваемой категории А -модулей совпадают с классическими. Параграф заканчивается описанием $ - комплекса Спенсера.

Общий алгебраический подход к теории дифференциальных операторов, описанный в первом параграфе, принадлежит автору (см.

53 и более подробное изложение в [ОД ). Помимо вопросов, затрагиваемых в диссертации, он оказался удобным и полезным в целом ряде других аспектов. Например, мы показали, что алгебраические когомологии Спенсера тривиальны в неособых точках алгебраического многообразия (см. [123 ). Это вместе с некоторыми другими соображениями приводят к гипотезе о том, что в особых точнах ногомологии Спенсера нетривиальны и несут исчерпывающую информацию об этих точнах. Дальнейшие результаты, подтверждающие эту гипотезу^ получены А.Б.Бочаровым (см. СП, [2} ). На этом пути автор также обнаружил естественные высшие' аналоги комплексов де Рама и Спенсера и целый ряд других интересных комплексов (см. [12] ). В.В.Лычагин, используя этот подход, построил общую теорию особых решений линейных дифференциальных уравнений (см. 1323 ) и, в частности, теорию распространения разрывов. В связи с этим отметим также работы ЯСБраноньера 144] и И.С. красильщика [29] , в которых построены и введены в коммутативную алгебру "гамильтоновы ногомологии", и М.М. Виноградова, обобщившего на широкий класс алгебр теорию вычетов Лере (см. [201; [211 ).

Другое общеалгебраичесное построение теории дифференциальных операторов в рамках теории схем предложено.А.Гротендином в его фундаментальной работе [47] * Им. во главу угла поставлено понятие модуля джетов, определяемое а' ръ1огС . Это позволило перенести в коммутативную алгебру основные концепции теории дифференциальных операторов. Однако, на этом пути, по-видимому не было получено существенно новых результатов или обобщений, хотя отдельные попытки и были сделаны (см., например, £421,143]). Естественная трактовка модуля джетов как представляющего объекта для функтора ¡ЬсЦ в теории Гротендина обращена, что, во-первых, делает этот подход гораздо более громоздким, и, во-вторых, в целом ряде ключевых моментов приводит к необходимости принятия не всегда адекватно отражающих ситуацию априорных решений.

Л. Габриэль в 145] » комментируя работу Гротендина^называет такое же, что и у нас, алгебраическое определение д.о., которое, однако, в дальнейшем не развивается. Это определение, повидимоу, независимо переоткрыто Виге и использовано для локального изучения алгебры дифференциальных операторов в особых точках алгебраических кривых и поверхностей (см, [71] ).

Действие "сналярнозначных" дифференциальных операторов на írv -мерные: дифференциальные формы на yi -мерном многообразии введено в § 2. Здесь же приведены основные свойства этой операции и на ее основе дано чисто алгебраическое построение теории сопряженного оператора, В конце параграфа установлены трансформационные свойства основных компонентов построенного формализма, которые нужны для проводимого в дальнейшем алгебраического анализа теоремы Нётер и некоторых других утверждений, связанных с законами сохранения,

В § 3 прежде всего в общей алгебраической ситуации определяются ¿DíJ-f - комплексы Спенсера и § - комплексы дифференциальных операторов. Операция сопряжения д.о,, введенная в § 2, позволяет установить связь между этими комплексами, одним из аспектов которой является глобальная формула Грина, Другим следствием этой связи является ацикличность 3 -комплексов. Для тех же целей, что и в § 2, затем устанавливаются трансформационные свойства элементов формулы Грина.

В § Ц- рассмотрены алгебраические элементы теории полидифференциальных операторов, необходимые для построения линейного лагранжева формализма. Прежде $сего в нем доказана ацикличность комплексов SkPQ бидифференциальных операторов, а также симметрической и кососимметрической частей комплекса gpp , обозначаемых SSJJI%1P и Q. соответственно. Квадратичные лагранжианы на Р , приводящие к линейным уравнениям Эйле-ра-Лагранжа суть О-мерные цепи комплекса S^P » а аугментация jul этого комплекса как оказывается совпадает с оператором Эйлера (т.е. с оператором, сопоставляющим лагранжиан соответствующие им уравнения Эйлера-Лагранжа). Установленная выше ацикличность комплекса с^т^ может быть интерпретирована как решение обратной задачи вариационного исчисления и проблемы тривиальности лагранжиана в контексте линейной теории.

§ 5 посвящен линейной теории законов сохранения. Начав с необходимых определений и мотивировок, мы, далее, показываем, что группа линейных занонов сохранения линейного уравнения ди=0 совпадает с (л,-Л)-мерной группой когомологий комплекса сокеъ » гДе " отображение <§ - комплексов, порождаемое оператором А . Доказывается, что в регулярном случае эта группа когомологий совпадает с ке^ Д* • Подчеркнем, что эти результаты касаются сразу законов сохранения ( т.е. классов сохраняющихся плотностей, рассматриваемых с точностью до тривиальных), а не сохраняющихся плотностей, как это обычно делается в математической физике. Тем самым с самого начала решается задача о тривиальности сохраняющихся плотностей.

В этом же параграфе конструктивно описано естественное отображение ^кеъд*-* 3(Д) » где 3(Д) - группа линейных законов сохранения уравнения &и, = 0 , полезное для практического нахождения занонов сохранения, а также один весьма общий способ построения нелинейных занонов сохранения (теорема 5.6). Следует подчеркнуть, что теорема 5.6 с точки зрения развитой выше дифференциальной алгебры является весьма простым и естественным утверждением, которое, однако, непросто усмотреть на языке обычного "координатного" анализа. Повидимому этим объясняется то, что оно не было найдено ранее. В 1980 г. в локальном виде некоторые результаты этого параграфа были на базе более классических рассуждений независимо найдены в работе Владими-рова-1аринова (222 •

Линейная глобальная теорема Нётер на многообразиях доназана в § б как следствие трансформационных свойств, установленных в §§ 2,3 и формулы Грина« При этом проанализирована возможность расширения классического понятия симметрии лагранжиана, фигурирующего в теореме Нётер, и получен положительный ответ на этот вопрос (теорема 6.3). Далее показано, что теорема Нётер представляет собой весьма частный случай теоремы 5.6. Более того, мы устанавливаем, что если симметрия некоторого уравнения Эйле-ра-Лагранжа такова, что соответствующий ей нётеровский ток сохраняется, то на самом деле эта симметрия является симметрией исходного лагранжиана.

Обратим внимание на то, что все результаты главы I остаются справедливыми без каких-либо изменений в доказательствах для произвольной "гладкой ситуации", т.е. для такой категории -модулей над основной алгеброй А, для которой представляющий объект для функтора & является проективным модулем конечного типа. Следует также подчеркнуть, что по модулю общих фактов дифференциального исчисления в коммутативных алгебрах основным в этой главе является установление связей теории законов сохранения и линейного лагранжева формализма с алгебраическим вариантом теории комплексов Спенсера. Напомним, что последние были обнаружены при исследовании деформаций G - структур (cm.[6$J, 165] ) и затем использовались Гольдшмидтом в более общих рамках теории формальной разрешимости дифференциальных уравнений. В рассматриваемом контексте они используются впервые.

Глава П, включающая §§7 - II, посвящена изучению конечных и инфинитезимальных автоморфизмов контактной геометрии порядка к<®° . Здесь мы получаем исчерпывающее описание структуры таких преобразований и на этом основании строим теорию симметрий нелинейных дифференциальных уравнений, которые понимаются как подмногообразия многообразий джетов к -ого порядка. Особое место во второй главе занимает § 9 по существу относящийся к главе Ш, где описываются инфинитезимальные преобразования пространства джетов беснонечного порядна. Это сделано по той причине, что результаты этого параграфа позволяют более рационально доказать некоторые фанты из геометрии джетов конечного порядка и, сверх того, продемонстрировать ограниченность классического подхода к теории симметрий нелинейных дифференциальных уравнений.

В § 7 собраны основные сведения о геометрии пространств джетов и специфика дифференциального исчисления, возникающего на них. В частности, тут приведены необходимые факты, связывающие эту геометрию с теорией дифференциальных уравнений, описаны два рода высшей контактной геометрии ( 1Г - геометрия и распределение Картана) и структура интегральных многообразий в этих геометриях. Описание интегральных многообразий распределения Картана и интегральных многообразий в ТГ - геометрии, а также, все новые конструкции и результаты, приведенные в § 7 принадлежат автору (см. [б] » Ьв1 , [ill , И Соответствующие доказательства приведены в [18] . Т.н. здесь они опущены, соответствующий материал можно не включать в состав основных результатов диссертации.

Классическая нонтантная геометрия С. Ли (т.е. контактная геометрия первого порядка) задается дифференциальной формой \Г— du "YaPi^l на пространстве джетов первого порядка. В § 8 мы строим высшие аналоги Т/^ формы Т, которые суть джет-значные формы на пространстве джетов порядна к ♦ ТГ -геометрия - это геометрия, отвечающая группе преобразований пространства джетов, при которых сохраняются подмногообразия, на которых аннулируется форма . Эта группа нами полностью описана. Она оказывается слишком узкой для того, чтобы ее положить в основание классической теории симметрий дифференциальных уравнений

Этот фант приводит к необходимости использовать в этих целях группу автоморфизмов распределения Картана. йнфинитезимальные преобразования распределения Картана на пространстве беснонечных джетов, называемые нами & - Полями, введены в § 9, где довазана основная теорема об их структуре. Эта теорема в другой форме была найдена Б.Купершмидтом (см.[зо] ). В этом же параграфе также вводятся важные для дальнейшего понятия универсальной линеаризации и эволюционного дифференцирования и установлены их основные свойства. Эволюционные дифференцирования представляют собой & - поля специального вида, при помощи ноторых можно определить далеко идущее обобщение нонтак-ных скобок Якоби-Ли, характеристик Ли и т.п.

В § 10 доказаны основные результаты о структуре преобразований Ли (полей Ли), т.е. автоморфизмов (инфинитезимальных) контактной геометрии конечного порядка k^i • Оказывается, что они суть поднятия на пространства джетов порядка к точечных преобразований или контактных преобразований при к = 1в зависимости от того больше ли единицы число "зависимых" переменных или нет» В локальной форме это было предположено еще Ли и доказано Бэклундом [41]. Найденное нами в [б) общее глобальное доказательство по существу повторяет доказательство теоремы о структуре v - преобразований из § 8 и основано на существовании разных типов интегральных многообразий у распределения Картана. Оно, во-первых, вносит необходимые уточнения в глобальную версию упомянутого результата Ли-Бэнлунда, а, во-вторых, на классическом материале демонстрирует метод, с помощью которого ниже устанавливается "теорема жесткости".

Если уравнение У (вместо "система уравнений" ниже мы говорим - уравнение") понимается нан подмногообразие в пространстве 3~^джетов порядка к , то под его внешней симметрией еле

12 If к дует понимать преобразование Ли Г-* J , преобразующее <и в Ввиду основного результата § 10 такие преобразования Ли сводятся к точечным или классическим контактным преобразованиям, ноторые в этих целях рассматривались еще С. Ли, Поэтому подобные симметрии мы называем классическими, В теории Ли - Овсянникова (i ряьош- в качестве преобразований симметрии используются точечные и контактные преобразования. Таким образом, приведенная теорема о структуре преобразований Ли cl' оправдывает классическую точку зрения.

Тот фант, что группа контантных преобразований не растет при увеличении числа к , - наводит на мысль о том, что понятие симметрии следует расширить* Простейщий способ сделать это состоит в переходе на внутреннюю точку зрения. Точнее, внутренней нлассичесной симметрией уравнения J назовем такой диффеоморфизм 3/-=?- У, который сохраняет ограничение распределения Картана с J"kHa оУ , В § II исследуется вопрос о структуре такого рода симметрий. Основной результат, к которому мы приходим, состоит в том, что, как правило, для пне очень переопределенных уравнений" внутренние симметрии являются ограничениями на внешних симметрий. Более того, оказывается, что "не очень переопределенные уравнения", нан правило, являются жесткими, T.e-s их внутренняя геометрия полностью определяет внешнюю. Более точно это означает, что задание многообразия и распределение Картана на нем позволяет однозначно восстановить вложение с Таким образом, переход на "внутреннюю" точку зрения, вообще говоря, не приводит н расширению понятия симметрий. Важнейшим примером нежестких уравнений являются уравнения от одной зависимой или независимой переменной, т.е, именно те классы уравнений, интегрирование которых сводится н обыкновенным дифференциальным уравнениям. Из результатов § II следует, что среди определенных систем дифференциальных уравнений имеется, кроме этих классов, лишь несколько типов нежестких уравнений. Их грубая оценка сверху, например, дается предложением II.5.

В п.п. II.8 - II.9 для полноты картины мы полностью выясняем вопрос о связи внутренних и внешних симметрии для важнейшего типа нежестких уравнений, а, именно, для уравнений первого порядка с одной зависимой переменной.

Два уравнения и согласно классической точке зрения называются эквивалентными, если существует диффеоморфизм F' У^ переводящий распределение Картана на Vi в распределение Картана на ♦ в п* И*Ю обсуждена соответствующая задача классификации и показано, что она трансцендентна (= бессодержательна) для жестких уравнений. Таким образом, устанавливается, что классическая задача локальной классификации для определенных систем уравнений, кроме одного уравнения первого порядка с одной зависимой переменной, исчерпывающе исследованного В.В. Лычагиным fsiJ , и еще нескольких случаев, поставлена неразумно.

Резюмируем сказанное. В классической теории симметрий дифференциальных уравнений, основы которой заложены С. Ли [59] и его учениками и которая в наши дни была развита и применена к разнообразным задачам математической физики Л.В. Овсянниковым и его школой (см. [35] , ¡60] ) ^¡moni в качестве преобразований симметрии рассматриваются диффеоморфизмы пространства 0 -джетов при Ш >1 и соответственно контактные преобразования пространства I - джетов при m . Однако, более обоснованной является восходящая к Э. Картану внутренняя точна зрения (см. выше). Основные результаты главы П устанавливают, что

I) классическая точка зрения совпадает с "внутренней" для почти всех типов уравнений, которые обычно встречаются на практике, кроме нескольких, которые описываются;

2) неклассическая точна зрения, допускающая в качестве сим-метрий инфинитезимальные контактные преобразования пространства бесконечных джетов, приводит к существенному расширению класса преобразований симметрии. Этот класс преобразований полностью описан;

3) классическая задача классификации (локальной) нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, за исключением нескольких типов нежестких уравнений, является бессодержательной.

Ограниченность классической теории симметрии, вытекающая с очевидностью из сказанного, видна и с операторной точки зрения. Для этого заметим, что всякое инфинитезимальное контактное преобразование пространства к - джетов некоторого расслоения порождает виртуальный поток на множестве локальных сечений этого расслоения, поле скоростей которого описывается эволюционным уравнением вида у с*, и., ) , где % - координата на базе расслоения К , ц, - "текущее" сечение этого расслоения, а их , и,хх и т.п. - первые, вторые, и т.п. производные этого сечения. В частности, поток отвечающий эволюционному дифференцированию Э^ (см. § 9), задается именно этим уравнением. Эволюционные уравнения, отвечающие классическим преобразованиям симметрии^ соответствуют функциям ^С'*,и>их) специального вида. Т.е. в классической теории в качестве симметрий с самого начала допускаются только специальные операторы первого порядка. Из результатов § 9 следует, что в качестве таковых можно рассматривать произвольные дифференциальные операторы любого порядна. То, что тановые существуют и могут играть важную роль; экспериментально подтверждается открытиями последних лет, насающих уравнений, обладающих многосолитонными решениями (см., например, 1383 ). Таким образом, эти обстоятельства показывают, что естественная теория симметрий дифференциальных уравнений равносильна изучению контактных преобразований пространства джетов бесконечного порядка и их "подмногообразий", отвечающих дифференциальным уравнениям. Такие подмногообразия суть бесконечные продолжения У^Т00 дифференциальных уравнений , к < оо . Исследованию структуры таких преобразований и техники работы с ними посвящена глава Ш, внлючащая §§ 12 - 15. В этой главе также строится аппарат, существенно используемый и в главе 1У.

В § 12 определяются бесконечно-продолженные уравнения и контактная структура на них, называемая также распределением Картана. Локально максимальные интегральные многообразия распределения Картана на решения уравнения с/ и обратно, тан что высшие симметрии уравнения следует определить как контактные преобразования "многообразия" ^^ • Переход от ^ к ^ос составляет содержание формальной теории дифференциальных уравнений (см. [63], [64] ). Построение дифференциального исчисления на бесконечномерных образованиях типа обычными средствами оказывается весьма нерентабельным, а в некоторых аспектах и невозможным. В этих целях мы используем общий алгебраический подход § I, имеющий, однако, в рассматриваемой ситуации некоторую специфику. Именно, алгебра гладких функций ^С^М) естественным образом фильтрована подалгебрами о гДе ^ " йонечные продолжения уравнения .

Ряд соображений показывает, что полезное дифференциальное исчисление на^оо получается при рассмотрении дифференциальных операторов, согласованных с этой фильтрацией. Формализация этой точки зрения достигается в рамках так называемой Гб - категории, которая описывается в п.п. 12.3 - 12.6.

Наличие контактной структуры на позволяет ввести на естесгввйныи образом операцию 6 • Именно, если Ф -представляющий объект для функтора ¿Ь дифференциального исчисления в - категории на то (?Ф состоит из тех элементов уеф , которые аннулируются на формальных решениях уравнения ^ . В связи с этим в дифференциальном исчислении на возникают две подтеории. Первая из них, называемая б - теорией, состоит из таких "подфуннторов" дифференциального исчисления с З5 » элементы которых аннулируют подмодель (рф соответствующего представляющего объекта Ф . Иначе говоря, представляющим объектом для б служит • Вторая подтеория состоит в изучении "фанторфункторов" » пРеД~ ставляющие объекты для которых суть

6- объекты на ^^ , т.е. элементы <£ в (рЦ> ^однозначно характеризуются тем, что допускают ограничение на решения (формальные) уравнения ^ , трактуемые как интегральные многообразия распределения Картана на ^У«» • Важнейшими из них являются б - дифференциальные операторы, т.е. элементы подмодулей

Необходимые для дальнейшего элементы описанных выше двух "подтеорий" составляют содержание второй половины § 12.

Задача описания б - объектов решается в § 13. Ввиду ее локальности можно ограничиться случаем Щ&с Т°сос> , где <И -некоторое расслоение. В этой ситуации для любого представляющего объекта Ф (см. выше) существует операция горизонтализации 1 ф —* Ф , П^П » обладающая тем свойством, что кеъ Тф = 1пи (¿с1 - И £) . Последнее дает конструктивное описание модулей 6Ф , тогда как 1т » ф . Эти общие конструкции затем применяются для более детального описания (? - дифференциальных операторов, модуля @ $к и т.п. Заканчивается § 13 описанием 6 - гамильтонова формализма.

В § 14 определяется алгебра Ли высших внутренних инфинитезимальных симметрий уравнения ^ как фанторалгебра , где - алгебра Ли всех инфинитезимальных автоморфизмов (б - полей) распределения Картана на <» , а ф - функтор дифференцирования. Факторизация здесь мотивирована тем, что (р - поля, порождающие тривиальный поток (см. выше) в пространстве решений уравнения , и только они образуют идеал (? - дифференцирований •

Основной результат § 14 утверждает, что всякая высшая внутренняя инфинитезимальная симметрия интегрируемого уравнения является ограничением некоторой внешней на ^^ , т.е. порождается (8 - полем на 1°° , касающимся ^^с. 3°° 9 Это вместе с результатами § 9 приводит к полному описанию алгебры ь^т. ^ , которая оказывается изоморфной ядру оператора , где ^^ -4,^-0} » оператор универсальной линеаризации нелинейного дифференциального оператора у и Ь^ - его ограничение на «С,.

В п. 14.6 описывается естественный гомоморфизм где & - алгебра Ли всех внутренних инфинитезимальных классических симметрий уравнения , и показано, что при весьма слабых ограничениях на^/ типа формальной интегрируемости этот гомоморфизм не имеет ядра.

§ 14 заканчивается доказательством того, что с^) О и является нормализатором подалгебры Ли в алгебре Ли ¿Г , ьГ-Сс*?/^) , где понимается как алгебра Ли относительно операции коммутирования д.о. Этот факт, интересный и сам по себе, важен при построении дифференциального исчисления на функциональных многообразиях вида П^сЯ-) . Последнее, однако, в диссертации не рассматривается.

Joo сохраняющих распределение^Картана исследуется в § 15. Здесь, прежде всего, показано, что тание отображения однозначно характеризуются соответствующим отображением подалгебры (см. выше) при выполнении некоторых условий невырожденности, и приведено описание вырожденных отображений. Эти факты используются далее для доказательства основного результата этого параграфа, утверждающего, что все нонтантные автоморфизмы пространства бесконечных джетов для случая одного зависимого переменного исчерпываются классическими. Этот результат формулируется Бэнлундом [4З, однако приводимая им аргументация не является доказательной. Таким образом, запас возможных конечных преобразований симметрии в этом случае по сравнению с классической точной зрения не увеличивается.

Указанный эффект мы увязываем с фантом существования обратимых (нелинейных) дифференциальных операторов порядка >0 . Это позволяет для случая большего, чем один, числа зависимых

7 со . . , не сводящихся с классическим. Таким образом, в этом случае происходит некоторое увеличение запаса контактных автоморфизмов по сравнению с классическим случаем, однако, в гораздо меньших масштабах, чем это имеет место для инфинитезимальных автоморфизмов.

Заканчивается § 15 кратким описанием категории дифференциальных уравнений,в рамках которой полученные выше результаты приобретают естественное истолНование.

Основное соотношение ¿ут о/=^ее^гвМе0те с элементарными свойствами операторов , установленными выше, приводят к эффективному алгоритму вычисления алгебры Зут У для конкретных уравнений. При этом, например, снимается проблема практического нахождения "определяющих уравнений" в смысле ¡35 ] . Проведенные в последнее время расчеты на этой основе, как правило, быстро приводили к полному ответу после простых рутинных вычислений (см., например, [17] ). Надо, однако, подчеркнуть, что их объем заметно возрастает при увеличении числа независимых переменных.

Необходимость изучения высших симметрий дифференциальных уравнений была ясно понята еще Ли и Бэклундом, однако, в этом направлении практически ничего не было сделано примерно до 1970 г., когда были открыты замечательные свойства уравнения Кортевега-де Фриза и ему подобных. Одно из этих свойств - наличие бесконечномерной группы высших симметрий» С тех пор для уравнений "похожих" на № были разработаны частные приемы нахождения высших симметрий (см. [38] ) и выполнены конкретные расчеты для нескольких конкретных уравнений, в основном эволюционных. При этом концепция высшей симметрии даже не была четко сформулирована. Описанные выше результаты, касающиеся высших инфинитезимальных симметрий, впервые полученные автором в 1975-76 г.г., частично были опубликованы в [18] , а частично содержатся в рукописи, представленной в 1976 г. в реданционно-издательский совет Московского института радиоэлектроники для опубликования. В связи с задержкой публикации этой рукописи (она вышла в свет в 1982 г.), содержащиеся в ней результаты автора, касающиеся высших симметрий, были опубликованы в 1978 г. в [7] ив 1979 г. в [9] и повторены в обзоре [13] . В 1976 г. в этом направлении появилась работа Ибрагимова-Андерсона [25] , в которой была выписана бесконечная система уравнений, служащая для нахождения & - полей и приведены примеры ее решений. В ряде работ (см. например, [52] ) была сделана пог пытка построить теорию & - полей на основе классического соответствия между алгебрами и группами Ли. Таной подход, однако, в' рассматриваемой бесконечномерной ситуации некорректен, т.к.& -поляу,нан правило, не соответствуют даже локально однопараметри-чесние группы сдвигов. Этот факт следует из того, что для эволюционных уравнений задача Коши, нан правило, имеет неединственное однопараметричесние группы сдвигов. Этот фант следует из того, что для эволюционных уравнений задача Коши, нан правило, имеет неединственное решение. В 1979 г. в работе Ибрагимова [27^не-ноторые вопросы теории высших симметрий были рассмотрены в рамках теории формальных преобразований. Строго говоря, такой подход соответствует рассмотрению ситуации в касательном простран

Тео

Тем не менее, на этом пути Ибрагимов устанавливает ряд соотношений, полезных для нахождения высших симметрий ноннретных уравнений математической физики. Упомянем также работу Купершмидта [58] , где в других терминах получено описание & - полей на ] , и работу Оттерсона-Свет-личного [б2] » где сделана интересная попытка расширить классический подход, рассматривая уравнение У как подмногообразие в редуцированном многообразии джетов конечного порядка. Ее результаты, однако, полностью охватываются построенной нами теорией.

Заключая обсуждение теории симметрий заметим, что построенная нами теория является локальной в том смысле, что отвечающий высшей симметрии "поток" (см. выше) на множестве решений рассматриваемого уравнения описывается эволюционным дифференциальным (т.е. локальным) оператором. По этой причине полученные нами результаты можно рассматривать как решение проблемы 20 из списка Л.В. Овсянникова [34] в классе преобразований, задаваемых дифференциальным оператором. В последнее время выяснилось, что важную роль играют нелокальные симметрии, т.е. такие, для которых соответствующий "поток" задается интегро-дифференциальным уравнением. Общая теория таких симметрий пока не развита (см. например, [17] , [зэ] ).

Последняя четвертая глава, включающая §§ 16-20, посвящена разработке специальной когомологической техники на многообразиях и ее приложениям я лагранжеву формализму в теории поля и теории законов сохранения» Основу этой техники составляет 6 - спектральная последовательность {, » член которой является аналогом в категории дифференциальных уравнений комплекса де Рама гладкого многообразия. В связи с этим подчеркнем, что категория гладких многообразий совпадает с7 подкатегорией нульмерных объектов в £)£ . Более подробно содержание главы 1У таково.

В § 16 теория сопряженного оператора, формула Грина, комплексы Спенсера, % - комплексы и другие построения главы I-переносятся в 6 - теорию на . Дополнительно здесь показывается, что теория преобразований, аналогичная теории преобразований главы I, обогащается за счет морфизмов вложения ^в/оо 1 где есть следствие уравнения .

Первая половина § 17 посвящена когомологической интерпретации основных элементов лагранжева формализма в теории поля, что необходимо для их дальнейшего осмысления в рамках $ -спектральной последовательности. Здесь, в частности, показано, что если со - плотность лагранжиана, то соответствующее ей уравнение Эйлера-Лагранжа имеет вид , где ( оператор универсальной линеаризации плотности со .

Вторая половина этого параграфа содержит когомологическое определение законов сохранения и доказательство обобщенной теоремы Нётер, в которой в отличие от классического оригинала в качестве преобразований используются высшие симметрии.

Основное понятие главы 1У - в - спектральная последовательность определяется в § 18 и здесь же устанавливаются ее простейшие свойства. Если А*(сУ<х>) - комплекс де Рама в Яб -категории на (см. выше), то б - спектральная последовательность ^Е^Се^) 4 еС1ь спейтральная последовательность, порождаемая фильтрацией этого номпленса степенями идеала 6Л* (-^ов) (см. выше). Если гъ - число независимых переменных в уравнении ^ , то Е°*кс^) есть группа всех лагранжианов тех вариационных задач, для которых ^ является уравнением связей, с1л'к есть оператор Эйлера, а Е°^н * IУ^) - группа законов сохранения уравнения ^ . Сказанное объясняет значение 6 -спектральной последовательности для лагранжева формализма и теории законов сохранения.

Первая половина § 18 посвящена разработке алгебраического аппарата, обслуживающего б - спектральную последовательность. Здесь удается обнаружить полезные изоморфизмы комплексов-столбцов из члена ^Сс/^) с некоторыми комплексами дифференциальных операторов, являющихся полианалогами § - комплексов в б -теории на ^о* . В "абсолютном" случае, например, когда <У^е)-ногомологии этих комплексов вычисляются, что приводит к явному описанию члена Е^сУ^) . Оказывается, что Е*3* (^^) = О , если или к , рФ О • Это позволяет а) построить в максимальной общности "резольвенту" для оператора Эйлера; эта задача в последнее время привлекала многих авторов, в связи с чем упомянем работы Хорндесни [55] , Тульчие-ва 169] , Купершмидта 158 з и Олвера-Шанибана СбЦ , построивших ее при тех или иных органичениях; б) вычислить ногомологии этой "резольвенты", что между прочим приводит н общему глобальному решению проблемы тривиальности лагранжиана и обратной задачи вариационного исчисления.

Проблема тривиальности рассматривалась многими авторами. Ее локальное решение для лагранжианов первого порядна получено, например, Крупной £56.] , а для любых - Купершмидтом [58] . Ее глобальное решение независимо от автора найдено Таненсом [661 .

Обратная задача вариационного исчисления является старой проблемой и ей посвящены многочисленные работы. Упомянем работы Вайнберга [3} , Дугласа 1531» Хаваша 1541 » Тонти 1671 , Хорн-дески С553 , Тульчиева С693 и Купершмидта 1581 , в которых дается ее локальное решение с разных точек зрения. Глобальное решение этой задачи одновременно и независимо от автора получено Такенсом [66] • Позднее этот результат повторен Андерсоном и Дачемпом [40] .

Во второй половине § 18 показывается, что в члене £,(%») справедлива "инфинитезимальная формула Стокса", в которой в качестве инфинитезимальных преобразований фигурируют элементы алгебры • Это весьма важное обстоятельство, т.к. позволяет вычислять член Б^с^) гомотопическими методами и, кроме того, дает возможность явно указать решения в обратной задаче вариационного исчисления и "потенциалы" тривиальных лагранжианов.

П. Дедекер, пытаясь обобщить симплентичесную геометрию на теорию поля, пришел к некоторой спектральной последовательности, построенной по той же схеме, что и б - спектральная последовательность (см. 1511 ), т.е. по фильтрации некоторой алгебры дифференциальных форм степенями некоторого ее дифференциально замкнутого идеала. Однако, связать свою спектральную последовательность с основными компонентами лагранжева формализма и получить какие-либо общие результаты о ее структуре ему не удалось. Через год после выхода нашей работы [9] В. Тульчиев 170.]интерпретировал свой локальный результат (см. выше) в терминах спектральной последовательности двойного комплекса, эквивалентного тому, который описан в п. 18.2 для случая тривиального расслоения $1 . Наконец, этот двойной комплекс изучал на языке формальной дифференциальной геометрии Т. Цудзисита [681 » который возпроизвел опять-таки в локальной форме некоторые наши результэты.

В § 19 развивается некоторая гомологическая техника, позволяющая вычислять член Е^с^) . С ее помощью удается установить один из наиболее важных результатов диссертации - "теорему о двух строчках", которая утверждает, что для непереопре-деленных уравнений при соблюдении некоторых слабых условий регулярности все ненулевые члены Е^ (У^) сосредоточены в строчках и с^.- П/ и на "отрезке" р = О , О^^п, .

Все основные результаты этой работы, собранные в § 20, и касающиеся законов сохранения и лагранжева формализма со связями, получаются из этой теоремы при помощи гомотопической техники § 18. В § 19, кроме того, указываются оценки сверху члена В с с/«*,) » исходя из одного варианта <Г - ногомологий Спенсера оператора , где

Первая группа результатов, полученных в § 20 касается теории законов сохранения. Прежде всего мы устанавливаем точность следующей последовательности для определенных уравнений, удовлетворяющих некоторым слабым условиям регулярности, совонуп-ность которых мы называем "нормальностью":

Здесь Н^^С^Уо») - группа ногомологий X - комплекса де Рама (см. § 16), отождествляемая с группой законов сохранения уравнения ^ , а Су - ограничение на . Подчеркнем, что под законом сохранения мы понимаем не саму сохраняющуюся плотность, а нласс смежности таких плотностей по модулю тривиальных. Подчеркнем, что проблема выяснения нетривиальности сохраняющихся плотностей стояла весьма остро. Это объясня- . ется тем, что теорема Нётер и некоторые другие частные приемы, до сих пор использовавшиеся для нахождения законов сохранения, дают конструкции именно сохраняющихся плотностей. При этом, как правило, неочевидно, что получаемые таким образом плотности нетривиальны.

В качестве примера укажем на работу С571 известного специалиста по математической физике Кумеи, где "доказывается" бесконечномерность пространства законов сохранения для уравнения|$1/1е.- I

О&гЖж.'путем предъявления бесконечной серии сохраняющихся плот- \;; ♦ , . , —-- — . --------------------------. - - - ностей. На самом же деле, они являются тривиальными (см. £74] ). Ранее в этой проблеме не было известно сноль-нибудь общих результатов. Приведенная выше точная последовательность сразу убивает двух зайцев. Во-первых, она дает решение указанной проблемы, т.н. с самого начала в ней фигурируют классы эквивалентных сохраняющихся ведичин, т.е. законы сохранения. Во-вторых, она немедленно приводит к эффективному алгоритму вычисления законов сохранения. Уточним это.

Законы сохранения, принадлежащие ик <к , неинтересны, т.н. они отражают исключительно топологию самого уравнения и одинаковы для всех его решений. Поэтому уместно ввести группу И*'1 « кег ¿у собственных законов сохранения, которая ввиду приведенной точной последовательности совпадает с кег с. кег • Т.н. оператор явно выписывается, непосредственно исходя из сохраняющихся плотностей (соответствующая формула приводится в § 20),и он мономорфно вкладывает И11'4^^) в кег ¿у 1 то это дает решение проблемы тривиальности. Вычисляя далее ядро оператора , мы получаем "оценну сверху" для группы собственных законов сохранения, лишние элементы из которой отсеиваются при помощи оператора а/ , явное описание которого также находится. Подчеркнем, что ядро оператора находится при помощи вычислений точно такой же природы, что и нахождение высших симметрии уравнения с/ » я.н. последнее сводится (см. выше) в нахождению ядра оператора ¿у .

Если уравнение ^г^зО} самосопряжено, т.е. С^^-ву, (тановыми являются все уравнения Эйлера-Лагранжа), или вососоп-ряжено, т.е. »то из свазанного выше следует, что в этих случаях оператор сЬ^л'4 завоны сохранения уравнения отображает в его симметрии. Тем самым, мы обнаруживаем весьма общий механизм типа обратной теоремы Нётер, справедливый для более ширового власса уравнений, нежели уравнения Эйлера-Лагранжа. Более того, для случая уравнений Эйлера-Лагранжа это приводит в обобщению обратной теоремы Нётер на высшие симметрии.

Высшие симметрии естественным образом действуют в группе завонов сохранения. Это позволяет размножать завоны сохранения, что является весьма полезным инструментом при их правтичесвом вычислении. Механизм этого действия танже подробно описан в § 20.

Вторая половина § 20 посвящена лагранжеву формализму со связями. Пусть У - уравнение связей в вариационной проблеме с лагранжианом обе Н*^^) = сС,) . Прежде всего мы повазываем, что <1°'к с^) -=0 есть уравнение Эйлера-Лагранжа этой задачи и интерпретируем этот результат вав общую глобальную версию теоремы о множителях Лагранжа. В последние 10-15 лет появился ряд работ, посвященных проблеме инвариантной трав-товви лагранжева формализма со связями (например, см. с 41 ), что было вызвано невоторыми принципиальными вопросами лагранже-вой теории поля. Приведенный выше результат в определенном смысле полностью решает эту задачу.

Далее, мы рассматриваем обратную задачу вариационного исчисления при наличии связей и замечаем, что если с/<х>)«0 , то оператор □ 6 Е^Л) является оператором Эйлера-Лагранжа

1 л вариационной проблемы со связями ^ тогда и только тогда, когда . Если, сверх того, уравнение^/ однородно по производным, то из гомотопической техники § 18 следует, что л'* <> ^о«») = 0 . Таким образом, в этом случае мы получаем V полное решение этой проблемы в целом. Каких-либо общих результатов в обратной задаче вариационного исчисления при наличии связей до сих пор, насколько нам известно, получено не было.

Наконец, мы рассматриваем вопрос о нахождении обобщенной "формулы Шварца" для лагранжиана «С« в задаче без связей, т.е. такой формы 0 € ЛЛН 1%<>) , где ^ - отвечающее уравнение Эйлера-Лагранка, что для всякой экстремали у , определенной на области Як, ,

Начилие такой формулы П. Дедекер считает аналогом понятия полной интегрируемости соответствующей вариационной проблемы для уравнений в частных производных. В цикле работ £48) - 150] он аннонсировал ряд интересных результатов, посвященных этой теме, используя развитый им "гамильтонов формализм" для задач с частными производными. Интерпретировав вопрос о "формуле Шварца" в терминах б - спектральной последовательности,мы легко получаем, например, что эта формула существует для однородных по производным уравнений и указываем явное выражение для нее.

Описанные выше результаты, касающиеся теории законов сохранения и лагранжева формализма, по существу являются следствиями теории @ - спектральной последовательности, относящимися к ее членам , где р, , п . Отметим, что и другие члены имеют важное значение. Например, изучение члена тесно связано с гамильтоновым формализмом р • . в теории поля (см. £10] ), члены ЕЦ , р>0 , являются тодологическими препятствиями Ботта. $ - спектральная последовательность для уравнений интегрируемости б- - структур приводит к теории характеристических классов (первичных и вторичных) и характеристических классов деформаций* "Левоинвариантный" вариант б - спектральной последовательности немедленно приводит к теории когомологий Гельфанда-фукса и т.п. В связи с этимиза-мечаниями см. Гб8] . Глобальные аспекты лагранжева формализма в теории поля могут иметь, как выяснилось недавно после работ С.П. Новикова о многозначных функционалах Гзз!, важное значение для ряда вопросов математичеокой физики.

Таким образом, развитый в последней главе аппарат может быть применен к гораздо более широкому кругу проблем алгебраической топологии, дифференциальной геометрии и теории дифференциальных уравнений. Как выяснилось в последнее время этот аппарат непосредственно обобщается и на интегро-дифференциальные уравнения. Подчеркнем также, что полученные в диссертации результаты дают общее решение проблемы 13 из известного списка Л.В. Овсянникова [34/ , а также в известной мере продвигают проблему 12 из этого списка.

Завершая это введение, подчеркнем, что ограничения на объем не позволили нам коснуться "прикладных" аспентов, так что эта работа в том, что касается дифференциальных уравнений носит общетеоретический характер. В связи с этим подчеркнем, что имеющиеся к настоящему времени вычисления позволяют надеяться на то, что методы этой работы позволят существенно расширить имеющиеся возможности нахождения точных решений конкретных дифференциальных уравнений, качественного анализа поведения решений в терминах сохраняющихся величин, исследования поведения разрывов и некоторых других вопросах практического характера.

Результаты этой диссертации опубликованы в [5]-[i9] и [7.2]- L74] • Сообщения о них были сделаны на заседаниях Московского математического общества в 1976-1980 гг. и Ленинградского математического общества в 1982 г., на Всесоюзной топологической конференции в Миноне (1977 г,)» на Всесоюзной школе по геометрическим методам в математической физике (¿1979 г.), на Международных топологических конференциях в Москве (1979 г.) и Ленинграде (1982 г.), на Всесоюзной конференции в целом в Новосибирске (1982 г.), на Международном симпозиуме по теоретико-групповым методам в физике в Звенигороде (1982 г»), на ХШ-ХУ1 Воронежских математических школах (I98I-I984 г.)» на Международной конференции по глобальной дифференциальной геометрии в Чехословакии (1983 г.)« Эти результаты также докладывались на ведущих математических семинарах в МГУ, МИАНе, ЛОМИ и Институте математики СО АН СССР, в частности, на семинарах академика B.C. Владимирова, чл.-норр. Н.В. Ефимова и чл.-норр. Л.В. Овсянникова. Результаты диссертации вошли в состав монографии, написанной автором совместно с И.С. Красильщиком и В.В. Лычагиным и принятой К опубликованию в издательстве "Наука".

В заключение автор выражает свою признательность академику B.C. Владимирову за внимание и поддержку исследований, составивших настоящую диссертацию.

1. Бочаров A.B. О когомологиях Спенсера аффинных алгебраических многообразий. ДАН СССР, 1980, т. 252, М» 6, 1296-1299.

2. Бочаров A.B. Когомологии Спенсера алгебраической кривой с коэффициентами в нормализации. ДАН СССР, 1981, т. 261 , №5

3. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М., Гостехиздат, 1956, 344 с.4« Вершив A.M., Фаддеев Л. Д. Лагранжева механика в инвариантном изложении, в сб. "Теоретическая и математическая физика", т. П, Изд. ОТ, 1974, I29-I4I.

4. Виноградов A.M. Алгебра логики теории линейных дифференциальных операторов. ДАН СССР, 1972, т. 205, Ш 5, 1025-1028.

5. Виноградов A.M. Многозначные решения и принцип влассифияации нелинейных дифференциальных уравнений. ДАН СССР, 1973, т.210, Ш I, 11-14.

6. Виноградов AiM. Теория симметрий нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. МГУ, М., рукопись деп. в ВИНИТИ, 1974, Ш 2855-74 Деп., I-I6.

7. Виноградов A.M. К алгебро-геометричесвим основаниям лагранже-вой теории поля. ДАН СССР, 1977, т. 236, й 2, 284-287.

8. Виноградов A.M. Одна спеятральная последовательность, связанная с нелинейным дифференциальным уравнением и алгебро-геомет-ричесвие основания лагрангевой теории поля со связями. ДАН СССР, 1978, т. 238, fö 5, I028-I03I.

9. Виноградов A.M. Гамильтоновы структуры в теории поля. ДАН СССР, 1978, т. 241, Ш I, 18-21.

10. Виноградов A.M. Теория высших инфинмезимальных симметрии нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. ДАН СССР, 1979, Т. 248 , К 2, 174-178.

11. Виноградов A.M. Категория нелинейных дифференциальных уравнений, в сб. "Уравнения на многообразиях", Воронеж, Воронежсн. Гос. университет, 1982, 26-51.

12. Виноградов A.M. Высшие симметрии и законы сохранения, в книге "Теоретико-групповые методы в физике", М., "Наука", 1983, т. 2, 414-421.

13. Виноградов A.M., Воробьев Е.М. Применение симметрий для нахождения точных решений уравнения Заболотской-Хохлова. Ануст. ж., 1976, т. 22, te I, 23-27.

14. Виноградов A.M., красильщик И.О. Один метод вычисления высших симметрий нелинейных эволюционных уравнений и нелокальные симметрии, ДАН СССР, 1980, т. 253, № 6, 235-239.

15. Виноградов A.M., красильщик И.С., Лычагин В.В. Применение нелинейных уравнений в гражданской авиации. М., Мосн. инст. инж. гражд. авиации, 1977, 123 с.

16. Виноградов A.M., Красильщик И.С., Лычагин В.В. Геометрия нелинейных дифференциальных уравнений., М., Моск.инст. радиоэлектроники, 1982, 84 с.

17. Виноградов М.М. Об алгебраических когомологиях Спенсера и де Рама. ДАН СССР, 1978, 242, Ш 5, 989-992.21; Виноградов М.М. Теория вычетов в коммутативных алгебрах. УМН, 1980, т. 35, № 2, 203-204.

18. Владимиров B.C., Жаринов В.В. Замкнутые формы, ассоциированные с линейными дифференциальными операторами. Диф. уравн., 1980, т. 16, № 5, 844-867.

19. Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. М., "Мир", 1973, 188 с.

20. Годеман Р. Алгебраическая топология и теория пучков. М., ИЛ, 1961, 319 с.

21. Ибрагимов Н.Х., Андерсон Р.Д. Группы касательных преобразований Ли-Бэнлунда, ДАН СССР, 1976, т. 227, № 3, 539-542.

22. Ибрагимов Н.Х. Группы Ли-Бэнлунда и законы сохранения, ДАН СССР, 1976, т. 230, № I, 26-29.

23. Ибрагимов Н.Х. К теории групп преобразований Ли-Бэклунда, Мат. сб., 1979, т. 109, № 2, 229-253.

24. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике, М., "НаунаУ 1983, 280 с.

25. Красильщик И.О. Гамильтоновы когомологии канонических алгебр, ДАН СССР, 1980, т. 251, te 6, 1306-1309.

26. Куперпшидт Б.А. О геометрии многообразий джетов, УМН, 1975, т. 30, Ш 5, 211-212.

27. Лычагин В.В. Локальная классификация нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, УМН, 1975, т. 30, № I, 101-17I.

28. Лычагин В.В. Об особенностях решений дифференциальных уравнений. ДАН СССР, 1980, т. 251, № 4, 794-799.

29. Новиков С.П. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса, УМН, 1982, т. 37, № 5, 3-49.

30. Овсянников Л.В. Некоторые задачи, возникающие в групповом анализе дифференциальных уравнений, в сб. "Динамика сплошной среды", Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1974, вып. 12, 211-238.

31. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М., "Наука", 1978, 399 с.

32. Спеньер Э. Алгебраическая топология.М., "Мир", 1971, 680 с.

33. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М., "Мир", 1970, 412 с.

34. Теория солитонов. М., "Наука", 1980, 319 с.

35. Фущич В.И., Владимиров В.А. О дополнительной инвариантности для векторных полей, ДАН СССР, 1981, т. 257, № 5, II05-II09.

36. Anderson I., Duchamp Т., On the existence of global variational principles, Amer. J. Math., 1980, v.102, N 5, 781-868.fl. Backlund A.V., Zur Theorie der Flachentransformationen, Math. Ank., 1882, Bd.19, 387-422

37. Bcouche R., L'algebre différentielle associee a une algebre commutative, С.R.Acad.Sei., t. 260, N 12, 3245-3247.

38. Bcouche R., Operateurs différentiels et complexede Spencer associe a une algebre commutative, C.R. Acad. Sci., t. 263, N 25, 891-894.

39. Braconnier, Sur les cohomologies des algebres de Lie gradues Publ. Dept. Math. Lyon, 1978, v. 15

40. Gabriel P., Propriétés generales des schémas en groupes, Lect. notes in Math., 1970, v. 151, expose VIIA, 409-473.

41. Goldschmidt H.,Integrability criteria for systems of nonlinear partial differential equations, J.Diff.Geom., 1967, v.l, N 3, 269-307.

42. Grothendieck A., Elements de geometrie algebrique IV Etude locale des schémas et des morphismes schémas, Inst. Hautes Etude Sci. Publ. Math., 1967, v. 32, 361 p.

43. Dedecker P., Generalisation d'une formule de H.a.Schwartz relative aux surfaces minima, C.R.Acad.Sci., 1977, v. 285, 23-26.

44. Dedecker P., Generalisation d'une formule de H.A.Schwartz aux intégrales multiples du calcul des variations, C.R. Acad.Sci., 1977, v. 285, 59-61.

45. Dedecker P., Intégrales completes de l'équation aux derivees partielles de Hamilton-Jacobi d'une integrale multiple, C.R. Acad. Sci., 1977, v. 285, 123-126.

46. Dedecker P., On the generalisation of symplectic geometry to multiple integrals in the calculus of variations, Lect. notesin Math., 1977, v. 570, 394-456.

47. Dhoghe P., Les transformation de contact sur un espace fibre des jets d'applications, C.R. Acad. Sci., 1978, t. 287, N 16, A1125-A1128.

48. Douglas J., Solution of inverse problem for the calculus of variations, Trans. Amer. Math. Soc., 19^1, v.50, 71-128.

49. Havas P., The range of application of Lagrange formalism. I., Nuovo Cimento (Suppl.), 1957, v.5, 363-388.55« Horndeski G.W., Differential operators associated with Euler-Lagrange operator, Tensor, 1974, v.28, 303-318.

50. Krupka D., On the structure of Euler-mapping, Archivum Math. Univ. Purkine Brunesis, 1974, v.10, N 1, 55-62.

51. Kumei S., Invariance transformations, invariance group transformations and invariance groups of the sine-Gordon equations, J.Math. Phys., 1975, v. 16, N 12, 2461-2468.

52. Kuperschmidt B., Geometry of jet bundles and the structure of Lagrangian and Hamiltonian formalism, Lect. Notes in Math., 1980, v. 775, 162-217.

53. Lie S., Gesamelt Abhandlungen, Bd.4, 1929, Leipzig, Teubner; Kristiania, Aschehoug.

54. Olver P., Symmetry groups and group invariant solutions of partial differential equations, J. Dif. Geom., 1979, v.l4, 497-5^2.

55. Olver P., Shakiban C., A resolution of the Euler operator, Proc. Amer. Math. Soc., 1978, v.69, N 2, 223-229.

56. Otterson P., Svetlichny G., On derivative-depended infinitesimal deformation of differential maps, J. Dif. Eq., 1980, v.36, 270294.

57. Pommaret F., Systems of partial differential equations' and Lie pseudogroups, Gordon and Breach, New York, 1978, 1-426.

58. Spencer D., Overdetermined systems of linear partial differential equations, Bull. Amer. Math. Soc., 1965, v. 75, N 1, 1-114.

59. Spencer D., Deformation of structures on manifolds defined by transitive continuous pseudogroups 1, II, Ann. of Math., 1962, v.70, 306-446; III, item, 1965, v.8l, 389-450.

60. Takens F., A global version of the inverse problem for the calculus of variations, J. Diff. Geom., 1979, v.l4, N 9, 5^3-562.

61. Tonti E., Variational formulation of non-linear differential equations, I, Acad. Roy, Belg, Bull. CI. Sci., 1969, v.55, 137165, II, item, 1969, V.55, 262-278.

62. Tsujishita T., On variation bicomplexes associated to differential equations, preprint, Osaka Univ., 198O.

63. Tulczyiev W., The Lagrange complex, Bull. Soc. Math. France, 1977, v. 105, 419-431.

64. Tulczyiew W., The Euler-Lagrange resolution, Lect. Notes in Math., 1980, v. 836, 22-48.

65. Vigue J.-P., Operateurs différentiels sur les espaces analytiques, Invent. Math., 1973, v. 20, N 4, 313-336.

66. Vinogradov A.M., Local symmetries and conservation laws, Acta applicandae mathematical, 1984, N 1.

67. Vinogradov A.M., The C-spectral sequence, Lagrangean formalism and conservation laws. I. The linear Theory., J.Math. Anal. Appl., 1984, v. 99, N 2, 1-40.

68. Vinogradov A.M., The C-spectral sequence, Lagrangean formalism and conservation laws. II. The nonlinear theory., J. Math. Anal. Appl., 1984, v. 99, N 2, 41-129.