Геометрия симметрических тензорных полей на римановом многообразии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Родионова Марина Владимировна

ГЕОМЕТРИЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ НА РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ

Специальность 01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена во Владимирском государственном педагогическом университете на кафедре геометрии физико-математического факультета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Степанов Сергей Евгеньевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Столяров Алексей Васильевич

кандидат физико-математических наук, доцент Рылов Александр Аркадьевич

Ведущая организация: Нижегородский государственный

университет им. Н.И. Лобачевского

Защита диссертации состоится в^^часов " _2005г. на

заседании диссертационного совета К. 212.154.03 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, г. Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1.

Автореферат разослан " ЖУ__ 2005г.

Учёный секретарь диссертационного совета

Г.А. КАРАСЕВ

Ш-Ч 12167*2

НАШ

Общая характеристика диссертационной работы.

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена геометрии симметрических тензорных полей на римановых многообразиях. Теория симметрических тензорных полей развивалась параллельно с теорией дифференциальных форм, и ее результаты представлены в виде отдельных параграфов или разделов в целом ряде монографий (см. [1]; [2]; [4] и др.). Несмотря на это данная теория имеет более скромные позиции по сравнению с теорией дифференциальных форм, без изложения которой не обходится ни одна монография и даже учебник по современной дифференциальной геометрии. Достаточно наг помнить такие классические разделы дифференциальной геометрии как кого-мологии де Рама, гармонические формы и теория Ходжа. При этом почти все известные в современной геометрии структуры на дифференцируемых многообразиях также связаны с дифференциальными формами (см., напр., [3], стр. 139, 142, 345-349). Свидетельством некоторой завершенности теории служит также попытка проведения классификации дифференциальных форм на римановом многообразии, которая опиралась па теорию дифференциальных операторов (см. [6]).

Ьеди же обратиться к полям симметрических тензоров, то их теория не имеет подобного размаха. Наиболее изученными из них являются два: киллинго-вое и кодаццевое, известность которым принесли многочисленные приложения в геометрии и физике (см., там же и [4], стр. 340-342). Известны также обобщения этих тензоров в виде геодезических тензоров, обобщённо кодаццевых тензоров (см. [4], стр. 176) и гармонических тензоров (см. [8]).

При этом из всех известных структур на псевдоримановых и римановых многообразиях, порождаемых симметрическими тензорными полями, можно назвать только римановы структуры почти произведения.

Справедливости ради следует упомянуть достаточно глубокие результаты по глобальной геометрии симметрических тензорных полей на римановых многообразиях (см., [6]; [7]). И тем ни менее в со сказанное выше позволяет заключить, что теория симметрических тензорных полей на псевдоримановых и римановых многообразиях находи! ся ещё в стадии накопления фактов и далека от завершения; в частности, не было ещё попыток провести какую-либо классификацию

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ I БИБЛИОТЕКА I С.1 •9

ВЛН01ЕМ I

II 14. Л» *

подобного рода тензорных полей, что и позволяет говорить об актуальности темы диссертационной работы.

Цель диссертационной работы состояла в изучении геометрии симметрических тензорных полей на римановом многообразии.

Основные задачи диссертационной работы:

1) на основе теории фундаментальных дифференциальпых операторов, заданных на пространствах сечений расслоений симметрических тензорных полей, провести классификацию симметрических тензорных полей на многообразии с аффинной связностью и псевдоримановом многообразии;

2) описать геометрию и построить примеры тензорных полей, принадлежащих выделенным классам;

3) пополнить список известных в теории симметрических тензорных полей обобщённо рекуррентными и гармоническими тензорными полями, изучить их геометрию и указать возможные приложения.

Методика исследований опирается на классический тензорный анализ, теорию представлений групп, теорию дифференциальпых операторов и включает в себя технику Бохнера.

Научная новизна работы. Все утверждения, доказанпые в диссертации, являются новыми, обобщают и дополняют результаты, ставшие уже фактами теории: А Грея, Мак Ленагана, Й.Б. Маралабхави, М. Ратхнамма.

Практическая значимость работы. Диссертационная работа носит теоретический характер; ее результаты могут найти применение при дальнейших исследованиях тензорных полей на псевдоримановых и римановых многообразиях, а также в тех разделах теоретической физики, где используется геометрия симметрических тензорных полей.

Публикации. Основные результаты диссергации опубликованы в 9 статьях и 6 тезисах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на XI Международной летней школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики (г. Казань, 1999 г.), XXII конференции молодых учёных механико-математического факультета МГУ (г. Москва, 2000 г.), Международной конференции по дифференциальным уравнениям и дина-

мическим системам (г. Суздаль, 2000 г.), IX международной конференции "Женщины-математики"(г. Чебоксары, 2001 г.). XIII Международной летней школы-семинара по современным проблемам теоретической и математической физики (г. Казань, 2001 г.), Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (г. Суздаль, 2002 г.).

Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах кафедры геометрии КГУ (рук. проф. Б.II. Шапуков) и кафедры геометрии ВГГГУ (рук. проф. С.Б Степанов), па семинарах по дифференциальным уравнениям в ВГ-ПУ (рук. проф. В.В. Жиков).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, списка литературы, содержащего 112 наименование и занимающего 13 страниц печатного текста. Общий объем диссертационной работы 117 страниц печатного текста.

Краткое содержание диссертационной работы.

Во введении даётся небольшой обзор работ, непосредственно относящихся к теме исследования, кратко излагается содержание работы и формулируются полученные результаты.

В первой главе изучается геометрия симметрических тензорных полей на многообразии с аффинной связностью и псевдоримановых многообразиях.

В первом параграфе содержатся результаты общего характера, связанные с теорией дифференциальных и, в частности, псевдоримановых, многообразий, аффинных и римановых связностей, тензорных расслоений, дифференциальных и, в частности, фундаментальных операторов на пространствах сечений этих расслоений.

Во втором параграфе теория фундаментальных операторов рассматривается применительно к пространству сечений С^ФМ расслоений симметрических тензорных полей Й^М для р > 1 и доказывается

Теорема 1.1 (см. 12). Пусть М - многообразие п измерений с линейной связностью V без кручения и 8РМ - расслоение симметрических тензорных полей валентности р над М для произвольного р > 1. Существуют два фундаментальных дифференциальных оператора первого порядка на пространстве

C°°SPM сечений расслоения SPM Этими операторами будут Di — и D2 — V — для оператора симметрического дифференцирования 8* :

C°°SPM —► C°°SP+1M Ядром первого служат киллинговые, а ядром второго кодаццевы симметрические р-тензоры, составляющие два векторных подпространства QP(M, 1R) и СР(М, TR) пространства симметрических р-тензоров ФР(М,П1) на многообразии М.

В случае, кслда связность V эквипроективная известно строение 2-тензоров Кодацци (см [4], стр. 169). В диссертации доказываехся (см. также 12), что на n-мерном (п > 2) многообразии М с -жвипроективной связность V существует локальная система координат х1,... ,хп, в которой произвольный тензор

р

Киллинга (р порядка р имеет компоненты tp4 — 5Z At iqxn ■ ■ - Х3",

9=0

где Ап 1рП 3q - симметричные по группам индексов ii,...,ip и ji,.-.,jg постоянные такие, что симметризация их по индексам ц,... ,ip, ji,... ,jq-i для q = 1..... р даёт пуль и вследствие этого векторное пространство С(М,IR) тензоров Киллинга имеет dim&'(M,TR) = r^V^y-1)2^),

Теория фундаментальных дифференциальных операторов первого порядка применительно к пространству С^М-сечений расслоения симметрических 2-тензоров S2M над римановым С°°-многообразием М позволяет доказать справедливость следующего утверждения.

Теорема 1.5 (см. 13). Пусть М является n-мерным римановым многообразием с метрикой g и связностью Леви-Чивита V. Существуют два фундаментальных дифференциальных оператора первого порядка Di — 15* + g а [26 - V • trace]-, D2 - [V - ^g ® (5 + V • trace)] - + ¿тg ° (6 f V ■ trace)], определенных на пространстве С^&М сечений расслоения симметрических 2-тензоров S2M над М.

Установлено, что ядром первого служат конформно киллинговы, а ядром второго - конформно кодапцевы симметрические 2-тензоры. При поточечном конформном преобразовании g = e^g метрического тензора риманова многообразия (М, д) доказано, что тензор ф — для конформно кодаццева 2-тензора ¡р и тензор 4> = е^'ф для конформно киллипгова 2-тензора ip будут соответственно конформно кодаццевым и конформно киллинговым тепзорами риманова многообразия (М,д).

В отличие от теории дифференциальных р-форм на римановом многообразии (М,д), где найден базис пространства естественных дифференциальных операторов первого порядка на С°°АРМ, базис пространства дифференциальных операторов на С0С52М, как это показано в теореме 1.5, не представляется возможным найти, а потому не возможно провести и классификацию симметрических тензорных полей второй валентности на (М, д), как это сделано для дифференциальных р-форм (см. [6]).

В третьем параграфе рассматриваются фундаментальные операторы на пространстве сечений С°°АРМ расслоения внешних дифференциальных р-форм АРМ, а в теореме 1 7 (см. 12) доказывается существование двух таких фундаментальных дифференциальных операторов первого порядка Г>1 = и Г>2 ~= V - для оператора внешнего дифференцирования с? : С00АРМ —> Г°°ЛР+1М. При этом ядром А служат замкнутые, а ядром Дг - киллинговые р-формы или. по другой терминологии, тензоры Киллинга-Яно валентности р (1 < Р < п — 1)> составляющие два подпространства векторного пространства дифференциальных р-форм £1?(М,Ш) па многообразии М.

Для п-мерного (п > 2) многообразия М с чквипроективной БЬ(п,Ш)-структурой с локальной системой координат ж1,... ,Хп в теореме 1.8 (см. 12) найден общий вид килинговой р-формы или, по другой терминологии, тензора Киллинга-Яно ш порядка р {1 < р < п — 1) в координатной форме г„ = е(р+1>1/' (А10Ч ^х* + Вч (р) , где Агоч Лр и Вп, гр - кососимметричные по леем индексам постоянные и ф = для существенной компоненты ж элемента объема 5Ь(п. П1)-структуры. В результате <ктпКр(М,Ш) = ■

Рассмотрение нами дифференциальных форм обосновано существованием взаимосвязи между тензорным полем Киллинга-Яно и с компонентами шг] и симметрическим тензор Киллинга с компонентами <рг] — дк1и>цс1^13, которая была установлена Мак Ленаганом (см. [1(1]). Этот факт получил обобщение в следующей теореме.

Теорема 1.10. Если на п-мерном римановом многообразии (М,д) р-форма и> для 1 < р < п — 1 является конформно киллинговой, то симметрическое тен-

п

зорное поле <р(Х. У) — £ егр)ш(У, е12, — егр) для ортонормиро-

>2.....«р^1

ванного базиса {ег11.. , е,„} и произвольных векторов X, У £ С°°ТМ является

симметрическим конформно киллинговым.

Вторая глава посвяшена исследованию геометрии тензоров Киллинга и Киллинга-Яно.

В первом параграфе рассмотрена геометрия тензорных полей второй валентности с точки зрения наличия у них собственных функций определенной кратности и соответствующих им собственных распределений на римановом многообразии. В случае наличия у симметрического тензорного поля (р собственной функции А = Л (ж) доказывается

Теорема 2.11 (см. 4). Пусть <р - симметрическое тензорное поле на римановом многообразии (М.д), а X — Х(х) - его собственная функция постоянной кратности больше единицы, определённая на связной компоненте множества Му С М. Тогда для обобщённо киллингова тензорного поля <р его собственное распределение Уд - омбилическое.

Для данной теоремы в случае киллингова тензорного поля <р на римановом многообразии (М, д), сформулировано следствие 2.2, в котором собственное распределение У\ тензорного поля <р омбилическое; для тензорного поля <£> функция А = А (ж) постоянна вдоль интегральных кривых распределения У\.

В стгучае же симметрического тензорного поля :р второй валентности, имеющего двр различные собственные функции А — Х(х) и ц — ц(х), справедлива следующая

Теорема 2.12 (см. 4) Пусть компактное риманово многообразие (М, д) несёт обобщённо киллинговое тензорное поле <р, имеющее ровно две различные собственные функции X ид. Если в каждой точке х £ М смешанная секционная кривизна многообразия (М,д) удовлетворяет условию Кх^ < 0, то при <ктУ\ > йгтУр > 1

(1) собственные распределения У\ и У^ - интегрируемые с вполне геодезическими интегральными многообразиями и М'локально изометрично риманову произведению М\ х М^ интегральных многообразий У\ и У^;

(2) функции А и д постоянны вдоль интегральных многообразий У\иУ^ соответственно.

Поскольку в §3 главы I описана взаимосвязь между тензорами Киллинга и Киллинга-Яно. то во втором и третьем параграфах мы посчитали необходимым

частично описать геометрию тензоров Киллинга-Яно.

Во втором параграфе исследуется геометрия тензорных полей второй ваг лентности КиллингатЯно, имеющих собственные функции и соответствующие им собственные распределения па риматговом многообразии. В частности, рассмотрены случаи одной собственной функции А = А (я) постоянной кратности и доказана теорема 2.13 (см. 6), и двух собственных функций А — А(ж) и ц = ц(х) и также доказывается теорема 2.14 (см. 6).

В третьем параграфе изучается локальная и глобальная геометрии 71-мерного риманова многообразия, несущего двухвалентный тензор Киллинга-Яно постоянной валентности 2т < п. Доказываются теорема 2.15 и два следствия 2.3 и 2.4 из неё, которые описывают строение п-мерного риманова многообразия (М,д), несущего поле тензоров Киллинга-Яно.

В четвёртом параграфе указан способ задания симметрических тензоров Киллинга на римановом многообразии (М, д) с помощью проективного отображения римановых многообразий (см. [5]).

Теорема 2.16 (см. 10). Пусть для отображения / : М —► М' многообразие М' - риманово с метрическим тензором д' Если отображение / - проективная иммерсия, то тензорное поле е'^д* для д = 2(п+1)^п1^0?*)] и 9* ~ /V задаёт на М симметрический киллиговый 2-тензор.

Используя способ построения тензора Киллинга, описанный в теореме 2.16 в следствие 2.5 (см. 10) удалось обобщить одну из основных теорем работы [II] о проективном диффеоморфизме / компактного риманова многообразия с краем.

В третьей главе вводится понятие обобщённо рекуррентного симметрического тензорного поля, исследуется его геометрия.

В первом параграфе на римановом многообразии определяется понятие обобщённо рекуррентного симметрического тензорного поля <р £ С°°82М уравнением вида 4<р = \/8>д + Г1&(р для А,т? £ С°°Т*М как обобщение введенного К. Яно (см. [12]) торсообразующего векторного поля ( 6 С°°ТМ : = А<? I '!]</,• с, для А € С°°М и г) £ С°°Т*М. Приводятся примеры обобщённо рекуррентного симметрического тензорного поля.

Во втором параграфе описано строение обобщённо рекуррентного симметрического тензорного поля на римановом многообразии знакоопределёнпой

секционной кривизны. Доказана следующая

Теорема 3.17 (см. 8). Если секционная кривизна риманова многообразия (M, g) знакоопределена, то обобщённо рекуррентное симметрическое тензорное поле ip Ç C°°S2M будет пропорционально метрическому тензору g, то есть ср — \д для А €

В третьем параграфе рассматриваются обобщённо рекуррентное, обобщённо копциркулярно рекуррентное и обобщённо Риччи-рекуррентное римано-вы многообразия (см. [9]). доказываются следствия 3.6 и 3.7 (см. 8). согласно которым перечисленные выше римаповы многообразия (М,д) знакоопрелолён-ной секционной кривизны являются многообразиями Эйнштейна

В четвёртом параграфе для евклидова пространства Е" с ортогональной системой координат х1,... ,хп доказана теорема 3.18 (см. 8) о строение обобщённо рекуррентного симметрического тензорного поля ip е C°°S2M, компоненты которого определяются равенствами = fi5v + /2^ для произвольных гладких функций /1, /2 и произвольных постоянных <7у.

Учитывая взаимосвязь между кососимметрическими 2-формами w и симметрическими тензорами :р с компонентами tpl} = и>гkiJf. в пятом параграфе в доказано (см. также 2), что если риманово многообразие чётной размерности со зпакоопределённой секционной кривизной допускает рекуррентную невырожденную дифференциальную 2-форму, то оно келерово.

Четвёртая глава посвящена геометрии гармонических симметрических тензоров и её приложению к теории инфинитезимальных гармонических преобразований.

В первом параграфе на компактном ориентированном римановом многообразии (М,д), по аналогии с известным оператором Ходжа-де Рама Д = dd* 4 d*d : С°°АРМ —* С°°АРМ, определяется (см 7) дифференциальный оператор второго порядка а = 55* — 5*5 ■ C°°SPM —> C°°SPM. По определению ядро оператора П составляют гармонические симметрические р-тензоры, которыми, в частности, являются козамкнутые киллинговы симметрические тензоры (лр — 6'<р — 0). Здесь же устанавливаются свойства дифференциального оператора такие как самосопряжённость и эллиптичность. Следствием последнего является конечномерность векторного пространства гармопических

симметрических р-тензоров. Найдепо также, как и для оператора Ходжа-де-Рама Д, разложение Вейценбёка (см. [2], стр. 77) для оператора □.

Во втором параграфе рассматривается вопрос существования гармонических симметрических тензоров на компактном ориентированном многообразии. На основе симметрического оператора кривизны второго рода Д: 52М —► (см. [2], стр. 76) определена квадратичная форма <5 вида (2(<р) = д(К ('/>)■ у?) и доказана

Теорема 4.20 Пусть (М,д) компактное ориентированное риманово многообразие. Если квадратичная форма <5 принимает неотрицательные значение всюду на М, то каждый гармонический симметрический р-тензор параллелен (ковариантно постоянен) на этом многообразии. Если квадратичная форма <3 положительно определена всюду на М, то на (М, д) не существует симметрических гармонических р-тензоров.

Риманово многообразие (М,д) с краем 8М называется выпуклым, если вторая основная форма по отнонтеттию к полю внешних единичных нормалей неотрицательна вдоль края дМ. Для таких многообразий справедливо Следствие 4.8 (см. 7). Пусть (М, д) -п-мерное замкнутое выпуклое риманово многообразие квазиотрицательной секционной кривизны К, тогда на (М.д) не существует симметрических гармонических 2-тен.зоров, касающихся его края.

В третьем параграфе вводится (см. также И) определение инфинитези-мального гармонического преобразования, описываются его свойства и приводятся примеры. Инфинитезимальное гармоническое преобразование определяется как локальный гармонический диффеоморфизм многообразия (М, д) на себя, порождаемый векторным полем £ 6 С°°ТМ. Примерами инфинитезималь-ных гармонических преобразований служат инфинитезимальное конформное преобразование двумерного риманова многообразия (М, д) и голоморфное векторное поле па келеровом многообразии (М, д, Л). Доказана следующая Теорема 4.23 (см. 11; 14). Инфинитезимальные гармонические преобразования в римановом многообразии (М, д) и только они составляют ядро оператора □ = 66* - 6*6.

"Учитывая теорему 4.23 установлено также, что на компактном ориенти-

рованном римаповом многообразии пространство инфинитезимальных гармонических преобразований конечномерно, а в случае отрицательной кривизны Риччи это многообразия не допускает отличных от нуля инфинитезимальных гармонических преобразований (см. 14).

Сформулируем основные результаты работы.

1) На п-мерным римановым многообразием М с метрикой д и связностью Леви-Чивита V найдены два фундаментальных дифференциальных оператора первого порядка на пространстве при этом определено, что ядром первого служат конформно киллинговы, а ядром второго - конформно кодаццевы симметрические 2-тензоры.

2) Описана геометрия киллинговых тензорных полей второй валентности с точки зрения наличия у пих собственных функций определенной кратности и соответствующих им собственных распределений на римановом многообразии.

3) С помощью проективной иммерсии / : (М,д) —> (М',д') многообразий пайден способ построения симметрического киллигова 2-тензора.

4) На римановом многообразии (М, д) введено обобщённо рекуррентное симметрическое тензорное поле, описано его строение. В качестве приложеиия доказано, что известные в научной литературе обобщённо рекуррентные, обобщённо конциркулярно рекуррентные и обобщённо Риччи-рекуррентные римановы многообразия знакоопределёпной секционной кривизны являются многообразиями Эйнштейна.

5)На компактном ориентированном римановом многообразии (М,д) введен дифференциальный оператор второю порядка □ = 55* — 5*6, ядро которого составляют гармонические симметрические р-тензоры. Установлена конечномерность векторного пространства гармонических симметрических р-тензоров. Доказано для п-мерного замкну! ого выпуклого риманова многообразия квазиотрицательной секционной кривизны К не существование симметрических гармонических 2-тензоров, касающихся его края.

6) В качестве приложения теории гармонических симметрических тензоров доказано, что инфинитсзимальные гармонические преобразования в римановом многообразии (М,д) составляют ядро оператора □ и конечномерность пространства этих преобразований.

Литература

[1] Вессе А. Четырехмерная риманова геометрия: Семинар Артура Бессе 1978/1979 - М.: Мир, 1985.

[2] Бессе А. Многообразия Эйнштейна: в 2 т. - М.: Мир, 1990.

[3] Кобояси Ш , Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии: в 2 т. -М.: Наука, 1981. - Т.2.

[4] Норден А.П. Пространства аффинной связности - М.: Наука, 1976.

[5] Синюков Н.С. Геодезические отображения римановых пространств -М • Наука, 1979.

[6] Степанов С.Е. Теоремы исчезновения в аффинной, римановой и лоренцевой геометриях // Фундаментальная и прикладная математика. - 2005. - Т. 11, №1. - С. 35-84.

[7] Berger М., Ebin D. Some decompositions of the space of symmetric tensors on a Riemanman manifold // J. Diff. Geom. - 1969. - Vol. 3. - P. 379-392.

[8] Chen В -Y., Nagano T. Harmonic metric, harmonic tensors and Gauss maps II Journal Math Soc. Jap. - 1984. - Vol. 36, №2. - P. 295-313.

[9] Maralabhavi Y.B., Rathnamma M. Generalized recurrent and concircular recurrent manifolds // Indian J. Pure appl. Math. - 1999. - Vol. 30, №11. - P. 11671171.

[10] McLenaghan R.G. Integrales premieres des equations de Dirac en espace courbe 11 Bull. Soc. Math. Belg. - 1979. - Vol. 31, Ser. A. - P. 65-88.

[11] Mike J. Global geodesic mappings and their generalizations for compact Rie-mannian space // Proc. Conf. on Diff. Geom. and its Appl. (Opava, August 24 - 28,1992). - 1992. - P. 143-149.

[12] Yano K. On torse-forming directions inRiemannian space //Proc. Imp. Acad. Tokyo. - 1944. - Vol. 20. - P. 340-345.

Публикации автора по теме диссертации

1. Смольникова М.В. (Родионова М.В.) Об одном свойстве ргшановых многообразий знакоопределённой секционной кривизны // XI Междунар. лег. шк.-семинар по совр. пробл. теор. и мат. физике. Тезисы докладов. - 1999. -С. 62-63 (0,06 пл.).

2. Смольникова М.В. (Родионова М.В.) Об одном свойстве Романовых многообразий знакоопределённой секционной кривизны // Новейшие проблемы теории поля. 1999-2000. - 2000. - С. 365-367. (0,19 пл.).

3. Смольникова М.В. (Родионова М.В.) Обобщённо рекуррентное симметрическое тензорное поле // Аналитич. и числ. методы в математике и механике. Тр. ХХП Конф. молодых ученых мех.-мат. фак. МГУ. - 2000. - Т. 2. -С. 88-89 (0,19 п.л.).

4. Смольникова М.В. (Родионова М.В.) Собственное распределение геодезического тензорного поля // Дифференциальная геометрия многообразия фигур. - 2000. - Вып. 31. - С. 78-81 (0,25 п.л.).

5. Smolnikova M.V. (Родионова М.В.) On an elleptic operator determined on symmetric bilinear differential forms // Тезисы докладов Междунар. конф. по дифф. ур. и динамит, системам. - 2000. - С. 87-88 (0,13 п.л.).

6. Смольникова М.В. (Родионова М.В.) Собственные функции тензора Кил-линга-Яно // Х1П Междунар. лет. шк.-семинар по совр. проб. теор. и мат. физике. Тезисы докладов. - 2001. - С. 116-117 (0,06 пл.).

7. Смольникова М.В. (Родионова М.В.) О глобальной геометрии гармонических симметрических билинейных дифференциальных форм // Тр. мат. института им. В.А. Стеклова "Дифференциальные уравнения и динамические системы". - 2002. - Т. 236.'- С. 328-331 (0,25 пл.).

8. Смольникова М.В. (Родионова М.В.) Обобщённо рекуррентное симметри-

ческое тензорное попе // Известия ВУЗов. Математика. - 2002. - №5. -С. 48-51 (0,88 пл.).

9. Смольникова М.В. (Родионова М.В.), Цыганок И. И. О проективной иммерсии компактного риманова многообразия // Математика. Образование. Экономика. Экология. Междисциплинарный семинар "Нелинейные модели в естественных и гуманитарных науках". Тез. докл. IX Междунар. конференции. - 2001. - С. 58 (0,06 п.л., вклад соискателя составляет 80% работы).

10. Смольникова М.В. (Родионова М.В.), Цыганок И.И. О проективной иммерсии компактного риманова многообразия // Математика. Образование. Экономика. Экология. Междисциплинарный семинар "Нелинейные модели в естественных и гуманитарных науках". Тр. Российской ассоциации "Женщины-математики". - 2001. - Т. 9, вып. 1. - С. 64-67 (0,25 п.л., вклад соискателя составляет 80% работы).

11. Смольникова М.В. (Родионова М.В.), Степанов СЕ. Об одном дифференциальном операторе К. Яно // Тез. докл. Междунар. конф. по дифф. ур. и ди-намич. системам. - 2002. - С. 129-131 (0,13 п.л., вклад соискателя составляет 70% работы).

12. Смольникова М.В. (Родионова М.В.), Степанов СЕ. Фундаментальные дифференциальные операторы первого порядка на внешних и симметрических формах // Известия ВУЗов. Математика. - 2002. - №11. - С. 55-60 (0,25 п.л., вклад соискателя составляет 70% работы).

13. Смольникова М.В. (Родионова М.В.), Степанов СЕ. Fundamental differential operators of the space of traceless symmetric differential 2-forms // Новейшие проблемы теории поля. 2001-2002. - 2003. - С. 412-418 (0,44 п.л.., вклад соискателя составляет 70% работы).

14. Смольникова М.В. (Родионова М.В.), Степанов С.Е., Шандра И.Г. Инфипи-тезимальные гармонические преобразования // Известия ВУЗов. Математика. - 2004. - №5. - С. 69-75 (0,44 п.л., вклад соискателя составляет 70% работы).

15. Смольникова М.В. (Родионова М.В.), Степанов СЕ. Аффинная дифференциальная геометрия тензоров Киплинга // Известия ВУЗов. Математика. -2004. - №11. - С. 82-86 (0,31 п.л., вклад соискателя сострш^ет70%работы).

»2ззи

А

РЫБ Русский фонд ^

2006-4 \

22348 I

I

л

Пода к печ. 31.10.2005 Объем 1 п.л. Заказ №. 399 Тир 100 экз.

Типография МПГУ

Введение

I Фундаментальные дифференциальные операторы на симметрических тензорных полях

§1 Обозначения и определения

§2 Фундаментальные дифференциальные операторы первого порядка на симметрических тензорных полях

§3 Фундаментальные дифференциальные операторы первого порядка на дифференциальных формах.

II Риманова геометрия тензоров Киллинга

§1 Собственные функции тензоров Киллинга.

§2 Собственные функции тензоров Киллинга-Яно

§3 Тензоры Киллинга-Яно пониженного ранга.

§4 Моделирование тензора Киллинга с помощью проективной иммерсии.

III Обобщённо рекуррентное симметрическое тензорное поле

§1 Понятие обобщённо рекуррентного симметрического тензорного поля на римановом многообразии.

§2 Обобщённо рекуррентное симметрическое тензорное поле на римановом многообразии знакоопределённой секционной кривизны.

§3 Обобщённо рекуррентное и обобщённо конциркулярно рекуррентное римановы многообразия.

§4 Обобщённо рекуррентное тензорное поле в евклидовом пространстве.

§5 Одно применение теории обобщённо рекуррентных симметрических тензорных полей.

IV Геометрия гармонических симметрических тензоров g

§1 Гармонические симметрические тензоры на римановом многообразии.

§2 Теорема исчезновения для гармонических симметрических тензоров.

§3 Инфинитезимальные гармонические преобразования риманова многообразия.-.

Диссертационная работа посвящена геометрии симметрических тензорных полей на римановых многообразиях. Теория симметрических тензорных полей развивалась параллельно с теорией дифференциальных форм, и ее результаты представлены в виде отдельных параграфов или разделов в целом ряде монографий (см. например, [3]; [4]; [23]; [34]; [40] и др.). Несмотря на это данная теория имеет более скромные позиции по сравнению с теорией дифференциальных форм, без изложения которой не обходится ни одна монография и даже учебник по современной дифференциальной геометрии. Достаточно напомнить такие классические разделы дифференциальной геометрии как когомологии де Рама, гармонические формы и теория Ходжа. Чего стоит один только метод внешних дифференциальных форм Э. Картана и его современная модификация, принадлежащая Г.Ф. Лаптеву, или техника С. Бохнера, которая первоначально возникла как аппарат по изучению геометрии дифференциальных форм в целом (см. [92]). Скажем больше: почти все известные в современной геометрии структуры на дифференцируемых многообразиях также связаны с дифференциальными формами (см., например, [11]; [14], стр. 139, 142, 345-349). Не говоря уже о физических приложениях, которые начинаются с исследований уравнений Максвелла, описываемых в терминах дифференциальных 2-форм, и заканчиваются современными результатами по построению операторов симметрий уравнений Дирака на основе киллинговых и конформно киллинговых дифференциальных форм (см., например, [45]).

Свидетельством некоторой завершенности теории служит также попытка проведения классификации дифференциальных форм на ри-мановом многообразии, которая опиралась на теорию дифференциальных операторов (см. [31]; [85]).

Если же обратиться к полям симметрических тензоров, то их теория не имеет подобного размаха. Наиболее изученными из них являются два: киллинговое и кодаццевое. Киллинговы симметрические тензоры, или, по другой терминологии, интегралы уравнений геодезических линий, известны еще с конца XIX века (см., например, [41], стр. 157-161). Локальная геометрия таких тензоров широко представлена как в зарубежной (см. [4], стр. 612-614; [52]; [68]; [88] и [90]), так и в отечественной литературе (см. [33]; [42] и [43]). Известность им принесли многочисленные приложения в геометрии и физике (см., там же и [17], стр. 340-342; [41], стр. 157-161). Кодаццевы тензоры по популярности не уступают киллинговым (см. [4], стр. 590-598; [23], стр. 169-170; [47]). Примером их служит вторая фундаментальная форма гиперповерхности в пространстве постоянной кривизны, которая подчиняется уравнениям Кодацци, что и породило такое определение тензоров. Известны также обобщения этих тензоров в виде геодезических тензоров (см. [33]), обобщённо кодаццевых тензоров (см. [23], стр. 176) и гармонических тензоров (см. [50]).

Из всех известных структур на псевдоримановых и римановых многообразиях, порождаемых симметрическими тензорными полями, можно назвать только римановы структуры почти произведения (см. [86]).

Справедливости ради следует упомянуть достаточно глубокие результаты по глобальной геометрии симметрических тензорных полей на римановых многообразиях (см., например, [31]; [34]; [46]). И тем ни менее всё сказанное выше позволяет заключить, что теория симметрических тензорных полей на псевдоримановых и римановых многообразиях находится ещё в стадии накопления фактов и далека от завершения; в частности, не было ещё попыток провести какую-либо классификацию подобного рода тензорных полей, что и позволяет говорить об актуальности темы диссертационной работы.

Цель диссертационной работы состояла в изучении геометрии симметрических тензорных полей на римановом многообразии.

Основные задачи диссертационной работы:

1) на основе теории фундаментальных дифференциальных операторов, заданных на пространствах сечений расслоений симметрических тензорных полей, провести классификацию симметрических тензорных полей на многообразии с аффинной связностью и римановом многообразии;

2) описать геометрию и построить примеры тензорных полей, принадлежащих выделенным классам;

3) пополнить список известных в теории симметрических тензорных полей обобщённо рекуррентными и гармоническими тензорными полями, изучить их геометрию и указать возможные приложения.

Методика исследований опирается на классический тензорный анализ, теорию представлений групп, теорию дифференциальных операторов и включает в себя технику Бохнера.

Научная новизна работы. Все утверждения, доказанные в диссертации, являются новыми, обобщают и дополняют результаты, ставшие уже фактами теории: А. Грея, Мак Ленагана, Й.Б. Мара-лабхави, М. Ратхнамма.

Практическая значимость работы. Диссертационная работа носит теоретический характер; ее результаты могут найти применение при дальнейших исследованиях тензорных полей на псевдорима-новых и римановых многообразиях, а также в тех разделах теоретической физики, где используется геометрия симметрических тензорных полей.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 статьях и 6 тезисах (см. [98]-[112]).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на XI Международной летней школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики (г. Казань, 1999 г.), XXII конференции молодых учёных механико-математического факультета МРУ (г. Москва, 2000 г.), Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (г. Суздаль, 2000 г.), IX международной конференции "Женщины-математики" (г. Чебоксары, 2001 г.), XIII Международной летней школы-семинара по современным проблемам теоретической и математической физики (г. Казань, 2001 г.), Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (г. Суздаль, 2002 г.).

Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах кафедры геометрии КГУ (рук. проф. Б.Н. Шапуков) и кафедры геометрии ВГПУ (рук. проф. С.Е. Степанов), на семинаре по дифференциальным уравнениям в ВГПУ (рук. проф. В.В. Жиков).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, списка литературы, содержащего 112 наименований и занимающего 13 страниц печатного текста. Общий объем диссертационной работы 117 страниц печатного текста.

1. Алексеевский, В.Д. Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии // "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. - 1989. - Т. 28. - С. 5-289.

2. Аминова, А.В. Группы преобразований многообразий / А.В. Ами-нова // Итоги науки и техники. Сер. Пробл. геометрии. (ВИНИТИ) 1990. - Т. 22. - С. 97-165.

3. Бессе, А. Четырехмерная риманова геометрия: Семинар Артура Бессе 1978/1979 / А. Бессе. М.: Мир, 1985.

4. Бессе, А. Многообразия Эйнштейна: в 2 т. / А. Бессе. М.: Мир, 1990.

5. Бургиньон, Ж.-П. Формулы Вейценбёка в размерности 4 / Четырёхмерная риманова геометрия: Семинар Артура Бессе 1978/1979 / Ж.-П. Бургиньон. М.: Мир, 1985. - С. 260-279.

6. Вейль, Г. Классические группы, их инварианты и представления / Г. Вейль. М.: ИЛ, 1947.

7. Вольф, Дж. Пространства постоянной кривизны / Дж. Вольф. М.: Наука, 1982.

8. Громол, Д. Риманова геометрия в целом / Д. Громол и др. -М.: Мир, 1971.

9. Давидов, Й. Твисторные пространства и гармонические отображения / Й. Давидов, А.Г. Сергеев // Успехи матем. наук. -1993. Т. 48, №3. - С. 3-96.

10. Зуланке, Р. Дифференциальная геометрия и расслоения / Р. Зу-ланке, П. Винтген. М.: Мир, 1975.

11. Кириченко, В.Ф. Методы обобщённой эрмитовой геометрии в теории почти контактных структур / В.Ф. Кириченко // Проблемы геометрии (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР). 1986. - Т. 18. - С. 25-72.

12. Кобояси, Ш. Основы дифференциальной геометрии: в 2 т. / Ш. Кобояси, К. Номидзу. М.: Наука, 1981. - Т.1.

13. Кобояси, Ш. Основы дифференциальной геометрии: в 2 т. / Ш. Кобояси, К. Номидзу. М.: Наука, 1981. - Т.2.

14. Кобаяси, Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси. М.: Наука, 1986.

15. Коларж, И. Естественные расслоения и операторы / И. Коларж // Итоги науки и техники. Сер. Пробл. геометрии (ВИНИТИ) -1990. №23. - С. 67-98.

16. Крамер, Д. Точные решения уравнений Эйнштейна / Д. Крамер и др. М.: Энергоиздат, 1982.

17. Лаптев, Г.Ф. Распределение т-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности / Г.Ф. Лаптев,Н.М. Остиану // I. Тр. Геометр, семинара. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1971. - Т. 3. - С. 49-94.

18. Мальцев, А.И. Основы линейной алгебры / А.И. Мальцев. -М.:Наука, 1970.

19. Мантуров, О.В. Элементы тензорного исчисления. / О.В. Ман-туров. М.:Просвещение, 1991.

20. Микеш, Й. Геодезические отображения аффинносвязаных и ри-мановых пространств / Й. Микеш // Итоги науки и техники, современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2002. - Т. 11. - С. 121-162.

21. Нарасимхан, Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / Р. Нарасимхан. М.: Мир, 1971.

22. Норден, А.П. Пространства аффинной связности / А.П. Нор-ден. М.: Наука, 1976.

23. Пале, Р. Семинар по теореме Атьи-Зингера об индексе / Р. Пале. М.: Мир, 1970.

24. Синюков, Н.С. Геодезические отображения римановых пространств / Н.С. Синюков. М.: Наука, 1979.

25. Степанов, С.Е. Поля симметрических тензоров на компактном римановом многообразии / С.Е. Степанов // Математические заметки. 1992. - Т. 52, Ж. - С. 85-88.

26. Степанов, С.Е. О применении одной теоремы П.А. Широкова в технике Бохнера / С.Е. Степанов // Известия вузов. Математика. 1996. - №9. - С. 53-59.

27. Степанов, С.Е. О групповом подходе к изучению уравнений Эйнштейна и Максвелла / С.Е. Степанов // Теоретическая и математическая физика. 1997. - Т. 111, №1. - С. 32-43.

28. Степанов, С.Е. Дополнение к одной работе Ж.-П. Бургиньона / С.Е. Степанов, В.В. Родионов // Дифференциальная геометрия многообразия фигур. 1997. - Вып. 28. - С. 68-72.

29. Степанов, С.Е. Техника Бохнера для т-мерных компактных многообразий с SL(m, IR)-структурой / С.Е. Степанов // Алгебра и анализ. 1998. - Т. 10, №4. - С. 703-714.

30. Степанов, С.Е. Теоремы исчезновения в аффинной, римановой и лоренцевой геометриях / С.Е. Степанов // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. - Т. И, №1. - С. 35-84.

31. Шапиро, Я.Л. О некоторых полях геодезических конусов / Я Л. Шапиро // Доклады АНСССР. 1943. - Т. 39, №1. - С. 6-10.

32. Шапиро, Я.Л. Об одном классе римановых пространств / Я.Л. Шапиро // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. МГУ, 1963. - Вып. XII. - С. 203-212.

33. Шарафутдинов, В.А. Интегральная геометрия тензорных полей / В.А. Шарафутдинов. Новосибирск: ВО Наука, 1993.

34. Шилов, Г.Е. Математический анализ: функции нескольких вещественных переменных / Г.Е. Шилов. М.: Наука, 1972.

35. Шинкунас, Ю.Н. О распределении т-мерных плоскостей в п-мерном римановом пространстве / Ю.Н. Шинкунас j j Тр. Геометр.- семинара. Ин-т науч. информ. АНСССР. 1974. - Т. 5. -С. 123-134.

36. Широков, П.А. Постоянные поля векторов и тензоров второго порядка в Riemann-овых пространствах / П.А. Широков. -Казань: Изв. физ.-мат. о-ва, 1925. Т. 25. - С. 86-114.

37. Широков, П.А. Аффинная дифференциальная геометрия / П.А. Широков, А.П. Широков. М.: Физматгиз, 1959.

38. Широков П.А. Постоянные поля векторов и тензоров 2-го порядка в римановых пространствах / П.А. Широков. // Избранные работы по геометрии. Казань: Из-во Казанского университета, 1966. - С. 256-280.

39. Щербаков, Р.Н. Курс аффинной и проективной дифференциальной геометрии / Р.Н. Щербаков. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1960.

40. Эйзенхрт, Л.П. Риманова геометрия / Л.П. Эйзенхрт. М.: Ин. лит., 1948.

41. Яно, К. Кривизна и числа Бетти / К. Яно, С. Бохнер. М.: Ин. лит., 1957.

42. Яфаров, Ш.Я. Первые дробные интегралы уравнений геодезических линий пространств аффинной связности / Ш.Я. Яфаров // Проблемы геометрии (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР). 1984. - Т. 16. - С. 127-154.

43. Bagrov, V.G. Separation of variables in the Dirac equation in Stackel spaces / V.G. Bagrov, A.B. Shapovalov, A.A. Evseevich // Classic Quantum Gravity. 1990. - Vol. 7, J\M. - P. 517-531.

44. Benn, I.M. First-order Dirac symmetry operators / I.M. Benn, J.M. Kress-// Class. Quantum Grav. 2004. - Vol. 21. - P. 1-5.

45. Berger, M. Some decompositions of the space of symmetric tensors on a Riemannian manifold / M. Berger, D. Ebin //J. Diff. Geom. 1969. - Vol. 3. -P. 379-392.

46. Bourguignon, J.-P. Codazzi tensor fields and curvature operators / J.-P. Bourguignon // Global differential geometry and global analysis. Lect. Notes Math. 1981. - Vol. 838. - P. 249-250.

47. Branson, T. Stein-Weiss operators and ellipticity / T. Branson // Journal of Functional Analysis. 1997. - №151. - P. 334-383.

48. Brito, F. Totally geodesic foliations with integrable normal bundles / F. Brito, P. Walczak // Bol. Sos. Bras. Mat. 1986. - Vol. 17, №1. - P. 41-46.

49. Chen, B.-Y. Harmonic metric, harmonic tensors and Gauss maps / B.-Y. Chen, T. Nagano // Journal Math. Soc. Jap. 1984. - Vol. 36, №. - P. 295-313.

50. Chern, S.S. The geometry of Q-structures / S.S. Chern // Bull. Amer. Math. Soc. 1966. - Vol. 72. - P. 167-219.

51. Colinson, C.D. The existence of Killing tensors in emply space-times / C.D. Colinson // Tensor, N.S. 1974. - Vol. 28. - P. 173-176.

52. Derdzinski, A. Some remarks on the local structure of Codazzi tensors / A. Derdzinski // Lect. Notes Math. 1981. - №838. - P. 251255.54| Eells, J. A report on harmonic maps / J. Eells, L. Lemaire // Bull. London Math. Soc. 1978. - Vol. 10. - C. 1-68.

53. Eells, J. Another report on harmonic maps / J. Eells, L. Lemaire // Bull. London Math. Soc. 1988. - Vol. 20. - C. 385-584.

54. Garcia-Rio, E., Harmonic endomorphism fields / E. Garcia-Rio, L. Vanhecke, E. Vazquez-Abal // Illinois Journal of Mathematics. -1997. Vol. 41, №1. - P. 23-30.

55. Hangan, T. On totally geodesic distributions of planes / T. Hangan // Top. Differ. Geom.: Colloq., Debrecen. 1988. - Vol. 1 - P. 519530.

56. Har' El, Zvi. Projective mappings and distortion theorems / Zvi. Har' El // J. Differential Geometry. 1980. - V. 15 - P. 97-106.

57. Kashiwada, T. On conformal Killing tensor / T. Kashiwada // Natural Science Report, Ochanoraizu University. 1968. - Vol. 19, №2.- P. 67-74.

58. Katzin, G.H. Quadratic first integrals of the geodesies in space of constant curvature / G.H. Katzin, J. Levine // Tesor. 1965. -Vol. 16, №2. - P. 97-104.

59. Katzin, G.H. Note on the number of linearly independent mth-order first integrals in space of constant curvature / G.H. Katzin, J. Levine // Tensor. 1968. - Vol. 19, №. - P. 42-44.

60. Kolar, I. Natural operators in differential geometry / I. Kolar, P.W. Michor, J. Slowak // Springer-Verlag, Berlin-New York, 1993.

61. Maralabhavi, Y.B. Generalized recurrent and concircular recurrent manifolds / Y.B. Maralabhavi, M. Rathnamma // Indian J. Pure appl. Math. 1999. - Vol. 30, №11. - P. 1167-1171.

62. McLenaghan, R.G. Integrales premieres des equations de Dirac en espace courbe / R.G. McLenaghan // Bull. Soc. Math. Belg. 1979.- Vol. 31, Ser. A. P. 65-88.

63. Mike, J. Global geodesic mappings and their generalizations for compact Riemannian space / J. Mike // Proc. Conf. on Diff. Geom. and its Appl. (Opava, August 24 28,1992). - Opava, 1992. - P. 143-149.

64. Nijenhuis, A. A note on first integrals of geodesies / A. Nijenhuis // Proc. Kon. Ned. Akad. Van. Wetens. Amsterdam, 1967. - Vol. 52, Ser. A. - P. 141-145.

65. Nomizu, К. What is affine differential geometry? / K. Nomizu // Different. Geom. Meeting Univ. Miinster. Tagunsbericht, 1982. -P. 42-43.

66. Nomizu, K. On completeness in affine differential geometry / K. Nomizu // Geometriae dedicata. 1986. - Vol. 20, №1. - P. 43-49.

67. Nomizu, K. Affine differential geometry / K. Nomizu, T. Sasaki. -Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1994.

68. Nore, T. Second fundamental form of a map / T. Nore // Ann. mat. pure ed appl. 1987. - №146 - P. 281-310.

69. Palais, R.S. Seminar on the Atiah-Singer index theorem / R.S. Palais. Princeton University Press, Princeton-New Jersey, 1965.

70. Papacostas, T. Space-time admitting Penrose-Floyd tensor / T. Pa-pacostas // Gen. Relat. And Gravit. 1985. - Vol. 17, №2. - P. 119166.

71. Patterson, E.M. Some theorems on Ricci-recurrent spaces / E.M. Patterson // J. London Math. Soc. 1969. - Vol. 27 - P. 287295.

72. Reinhart, B.L. Differential geometry of foliations / B.L. Reinhart. -Berlin-New York: Springer Verlag, 1983.

73. G. de Rham Varietes differentiables. Formes, courants, formes har-moniques / G. de Rham. Paris, Hermann, 1995.

74. Roter, W. Some indefinite metrics and covariant derivatives of their curvature tensors / W. Roter // Colloquium Math. 1991. - Vol. LXII. - P. 283-287.

75. Schouten, J.A. Ricci-calculus / J.A. Schouten // Grundlehren math, Wiss>. Bd. 10, springer-Verlag, Berlin etc. 1954.

76. Stepanov, S.E. An integral formula for a Rimannian almost-product manifold / S.E. Stepanov // Tensor. 1994. - Vol. 55, №3. - P. 209214.

77. Stepanov, S.E. A class of closed forms and special Maxwell equations / S.E. Stepanov // Tensor, N.S. 1997. - vol. 58 - P. 245-255.

78. Stepa:nov, S.E. New theorem of duality and its applications / S.E. Stepanov // Recent Problems in Field Theory, Kazan State University, Kazan. 2000. - P. 373-376.

79. Stepanov, S.E. On conformal Killing 2-form of the electromagnetic field / S.E. Stepanov // Journal of Geometry and Physics. 2000. -Vol. 33, №3-4. - P. 191-209.

80. Stepanov, S.E. Riemannian almost product manifolds and submersions / S.E. Stepanov // Journal of Mathematical Sciences. 2000. - Vol. 99, №. - P. 1788-1831.

81. Stepanov, S.E. The classification of harmonic diffeomorphisms / S.E. Stepanov // Abstracts of the 5th International Conf. on Geom. and Appl., August 24-29, 2001, Varna. Sofia: Union of Bulgarian Mathematicians, 2001. - P. 55.

82. Sumitomo, T. Killing tensor fields on the standard sphere and spectra of SO(n + 1 )/SO(n 1) x SO(2) and 0(n + 1 )/0(n - 1) x 0(2) / T. Sumitomo, K. Tandai // Osaka J. Math. - 1983. - Vol. 20. -P. 51-78.

83. Tachibana, Sh. On Killing tensors in a Riemannian space / Sh. Tachibana // Tohoku Math. Journ. 1968. - Vol. 20. - P. 257-264.

84. Thompson, G. Killing tensor in spaces of constant curvature / G. Thompson j I Journal of Mathematical Physics. 1986. - Vol. 27, №11.P. 2693-2699.

85. Wu, H. The Bochner technique / H. Wu // Proc. Beijing Symp. Differ. Geom. and Differ. Equat. (Aug. 18 Sept. 21, 1980). - New York: Science Press and Gordon - Breach, 1982. - Vol. 2. - P. 9291071.

86. Wu, H. The Bochner technique in differential geomtry / H. Wu // Mathematical Reports. London, Paris, New York: Hardwood Academic Publishers, 1988. - Vol. 3, Part 2.

87. Yano, K. On torse-forming directions in Riemannian space / K. Yano // Proc. Imp. Acad. Tokyo. 1944. - Vol. 20. - P. 340345.

88. Yano, K. The theory of Lie derivatives and its applications / K. Yano. Amsterdam: North Holland, 1957.

89. Yano, K. Differential geometry on complex and almost complex spaces / K. Yano. Oxford: Pergamon Press, 1965.

90. Yano, K. Integral formulas in Riemannian geometry / K. Yano. -New York: Marcel Dekker, 1970.

91. Yano,' K. Harmonic and relatively affine mappings / K. Yano, Sh. Ishihara // Journ. Differential Geometry. 1975. - Vol. 10. -P. 501-509.Публикации автора по теме диссертации

92. Смольникова, М.В. (Родионова М.В.) Об одном свойстве ри-мановых многообразий знакоопределённой секционной кривизны /М.В. Смольникова // Новейшие проблемы теории поля. 19992000. 2000. - С. 365-367. (0,19 пл.).

93. Смольникова, М.В. (Родионова М.В.) Собственное распределение геодезического тензорного поля /М.В. Смольникова // Дифференциальная геометрия многообразия фигур. 2000. - Вып. 31.- С. 78-81 (0,25 п.л.).

94. Смольникова, М.В. (Родионова М.В.) Собственные функции тензора Киллинга-Яно /М.В. Смольникова // XIII Международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физике. Тезисы докладов. 2001.- С. 116-117 (0,06 п.л.).

95. Смольникова, М.В. (Родионова М.В.) Обобщённо рекуррентное симметрическое тензорное поле /М.В. Смольникова // Известия вузов. Математика. 2002. - №5. - С. 48-51 (0,88 пл.).

96. Смольникова, М.В. (Родионова М.В.) Инфинитезималъные гармонические преобразования /М.В. Смольникова, С.Е. Степанов, И.Г. Шандра // Известия вузов. Математика. 2004. - №5.- С. 69-75 (0,44 п.л., вклад соискателя составляет 70% работы).

97. Смольникова, М.В. (Родионова М.В.) Аффинная дифференциальная геометрия тензоров Киллинга /М.В. Смольникова, С.Е. Степанов // Известия вузов. Математика. 2004. - №11.- С. 82-86 (0,31 п.л., вклад соискателя составляет 70% работы).