Геометризация электромагнетизма на основе пространств со связностью Вейля-Картана тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

На правах рукописи

Ризкалла Джозеф Антуан

ГЕОМЕТРИЗАЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА НА ОСНОВЕ ПРОСТРАНСТВ СО СВЯЗНОСТЬЮ ВЕЙЛЯ-КАРТАНА

01.04.02 — теоретическая физика

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель кандидат физико-математических наук доцент Кассандров В. В.

Москва 1999

Считаю своим долгом выразить искреннюю благодарность

моему научному руководителю

(

Владимиру Всеволодовичу Кассандрову за неизменное внимание и помощь при выполнении этой работы

Содержание

Введение 5

1 Ковариантно-постоянные поля и геометризация электромагнетизма 18

1.1 Аффинно-метрические пространства. Геометрия Вейля ... 19 1.1.1 Теория Вейля..............................................21

1.2 КПП в геометриях с симметричной связностью..............25

1.2.1 КПП в геометрии Вейля ................................26

1.3 КПП в пространстве с кручением Нордена....................34

1.4 " Бикватернионные" КПП и электродинамика................39

2 Свойства системы уравнений БКПП и динамика физических полей 48

2.1 Кватернионная аналитичность и уравнение эйконала .... 48

2.1.1 Общие свойства алгебры кватернионов и кватерни-онный анализ..............................................48

2.1.2 Свойства В-дифференцируемых функций ............52

2.1.3 Условия дифференцируемости кватернионных функций и уравнение эйконала..........................57

2.2 Бикватернионная электродинамика............................64

2.2.1 Калибровочная инвариантность системы БКПП ... 65

2.2.2 Условия интегрируемости БКПП......................77

2.3 Бессдвиговые геодезические конгруенции и интегрирование

БКПП............................... 84

2.3.1 Интегрирование системы БКПП............ 84

3 Аксиально-симметричные решения уравнений системы БКПП и ассоциируемых с ними уравнений физических полей 95

3.1 Решение БКПП с точечной или кольцеобразной структурой сингулярности.......................... 96

3.2 Двухсингулярное решение БКПП и его модификации .... 105

Заключение 113

Приложение А 115

Библиография

116

Введение

Геометрия с неметричностью, введенная Г. Вейлем в 1918г. для построения единой теории гравитации и электромагнетизма [60, а], является наиболее естественным и изящным обобщением римановой геометрии. Конформно-калибровочные преобразования, характерные для этой геометрии, послужили прообразом калибровочных преобразований квантовой теории. В то же время сама эта теория столкнулась с рядом принципиальных трудностей (отсутствие соответствия с конформно-неинвариантной структурой ОТО; возражения Эйнштейна, связанные с физической интерпретацией теории и др.) и на долгие десятилетия была оставлена.

В последнее время, однако, геометрия Вейля часто возникает в самых разных подходах теории поля и гравитации (в теории струн [51], в рамках аксиоматического подхода к теории гравитации [16], геометрического подхода к локальным теориям поля [62] и др.).

Другой структурой, естественно возникающей при обобщении римановой геометрии, является кручение, введенное в рассмотрение Э. Кар-таном в 1925г [60, в]. Несмотря на огромное количество работ, рассматривающих различные типы кручения (см., [52]), его возможная интерпретация и значение для физики остаются до сих пор невыясненными.

Существенно, что как неметричность Вейля, так и кручение Карта-на могут рассматриваться даже на фоне обычного пространства-времени

с метрикой Минковского. Такие пространства, вообще говоря, могут не быть связаны с гравитационным взаимодействием, а иметь прямое отношение к описанию спиновых и электромагнитных свойств частиц [24].

Комбинированное введение в рассмотрение неметричности Вейля и кручения в некоторых отношениях является наиболее общим возможным обобщением римановой геометрии ОТО [26]. Более того, из всех типов кручения существует возможность выбрать вполне определенный - так называемое "кручение Родичева" [24, 32], соответствующее вполне антисимметричному тензору кручения, который вместе с неметрич-ностью Вейля допускает непротиворечивое введение спинорной структуры на аффинно-метрическом многообразии. Такие пространства Вейля-Картана (или Вейля-Родичева) в рамках лагранжева подхода рассматривались в работах [28, 29]. Среди них можно выделить еще более узкий класс, для которых вектор неметричности Вейля пропорционален псевдоследу тензора кручения. Связность Вейля-Картана с такой специфической структурой естественно возникает в рамках обобщения уравнений Коши-Римана ТФКП на некоммутативные алгебры и оказывается тесно связанной со структурой исключительной алгебры бикватернио-нов [20, 21, 23].

С другой стороны, такие " бикватернионно индуцируемые" связности Вейля-Картана не обладают свойством инвариантности относительно пространственных отражений, т.е. Р-неинвариантны. Это свойство делает весьма вероятной гипотезу о возможной геометрической природе нарушений пространственной четности и даже позволяет построить на этой основе геометрическую версию теории электрослабых взаимодейст-

вий Вайнберга-Салама [28, 29].

Именно пространства со связностью Вейля-Картана, в особенности с бикватернионной связностью, и являются предметом исследования диссертации.

Перейдем теперь от "кинематики" к динамическому аспекту физических теорий, рассматриваемых в диссертации. Красота и универсальность лагранжева метода не может подвергаться каким-либо сомнениям. Однако принцип наименьшего действия не является единственно возможным методом получения уравнений динамики физических полей или уравнений движения частиц. Другой возможностью генерации физических уравнений является рассмотрение условий совместности некоторых "производящих" или ассоциируемых с ними систем уравнений. Так, известно, что вакуумные уравнения Эйнштейна являются условиями совместности для уравнений поля спина 3/2 в римановом пространстве [7, 8]. Р. Пенроуз [3] продемонстрировал тесную связь этого факта с твисторной структурой пространства-времени и продолжает интересоваться этим подходом [4].

Широкое признание получила также конструкция, используемая в теории поля для нахождения решений большого класса нелинейных уравнений [53, 33]. При этом вводится некоторая специально подобранная "эффективная" матрично-значная связность Г (ж), для которой условия обращения в нуль соответствующего ей тензора кривизны

П(х) = Щх) - Т(х) А Г(я) = 0, (1)

как раз и реализуют уравнения рассматриваемой системы. После этого

вводится вспомогательное матричное поле II(х), для которого уравнения

имеют условием совместности д(Ш = 0 условие нулевой кривизны (1). С другой стороны, ассоциированная система уравнений (2) линейна по полю и(х), и для её решения могут использоваться некоторые мощные математические методы, например метод обратной задачи рассеяния [54].

Следует отметить, что по своей структуре уравнения (2) аналогичны уравнениям

определяющим ковариантно-постоянные поля (КПП) и^ в пространстве со связностью В дифференциальной геометрии такие поля рассматривались П. А. Широковым и Л. Эйзенхартом [65, 64], а их обобщения - А. В. Аминовой и др. [34, 35]. В физике рассмотрение подобных полей было ограничено, пожалуй, лишь анализом их связей с группами голоно-мии и симметриями тензора кривизны пространства-времени [38, 39, 59]. Пространства Эйнштейна, допускающие существование КПП, были найдены в работе В. Р. Кайгородова и А. Б. Пестова [36].

Между тем при рассмотрении КПП в пространствах Вейля-Картана с метрикой пространства Минковского, когда метрическая часть полной связности, определяемая коэффициентами Кристоффеля, полагается равной нулю, уравнения (3) становятся переопределенными. В этом случае условия совместности (3), имеющие вид

¿и = Т(х)и,

(2)

Зи

= - = 0.

(3)

>[«Я"/"

(4)

накладывают жесткие ограничения на возможные геометрии, допускающие существование КПП, т.е. ведут себя как уравнения, определяющие динамику соответствующих им физических полей. При этом из (4), разумеется, уже не следует условие нулевой кривизны типа (1), т.е. геометрия и соответствующая ей физическая динамика оказываются совершенно нетривиальными .

По-видимому, вышеизложенной мотивации использования определяющих КПП уравнений (3) для построения физической теории поля оказалось бы недостаточно, если бы уравнения такого типа не возникли неожиданно при рассмотрении обобщений условий дифференцируемости функций комплексного переменного на некоммутативные алгебры ква-терниопного типа. В работах [20, 21, 23, 22] было показано, что условия дифференцируемости для функций " кватернионного переменного" имеют вид, аналогичный (3), и могут быть интерпретированы геометрически как уравнения КПП. При переходе от определенной над полем действительных чисел М алгебры кватернионов Гамильтона к ее комплексному расширению - алгебре бикватернионов В (изоморфной хорошо известной в физике алгебре матриц Паули + единичной 2x2 матрицы) - соответствующие уравнения приобретают лоренц-инвариантный вид и естественную 2-спинорную структуру [20, 21]. Это позволяет надеяться на то, что условия В-дифференцируемости могут быть использованы для формулировки и решения фундаментальных уравнений релятивистской теории поля в компактной В-инвариантной форме, по аналогии с использованием для этих целей самой алгебры (би)кватернионов (см. например [68, 73]), а также условий дифференцируемости, предложенных

Р. Фетером (см. [70] и работы Ф. Гюрши и др. [71, 72]).

Новой чертой подхода к проблеме (би)кватернионного анализа, предложенного в работах В. В. Кассандрова (см. [20, 21] и в них ссылки на более ранние работы) является то, что впервые некоммутативность алгебр Н, В заложена в само определение (би)кватернионно-дифференцируемой функции. Прямым следствием этого оказывается нелинейность соответствующих обобщенных уравнений Коши-Римана Х(КР). Наличие нелинейности позволило не только обнаружить нетривиальные связи этих "В-обобщенных уравнений Коши-Римана" с фундаментальными уравнениями физики (в их числе уравнений эйконала и Янга-Миллса), но и пытаться рассматривать эти уравнения как самостоятельные, первичные уравнения некоторой "алгебраической теории поля", включающей в себя естественным образом и члены взаимодействия.

Такой подход, по аналогии с геометродинамикой названный алгебр о динамическим [20], имеет ряд серьезных преимуществ и с общефизической точки зрения. Положенные в основу В-обобщенные уравнения КР однозначно определяют, как отмечалось выше, эффективную аффинную связность, включающую неметричность вейлевского типа, и как следствие являются калибровочно-инвариантными, причем с совершенно нетривиальной структурой допустимых калибровочных преобразований (подробнее см. ниже раздел 2.2.1 диссертации). Соответствующие В -значные структуры получают при этом естественную физическую интерпретацию в качестве потенциалов калибровочных полей.

частности, аналогом линейного уравнения Лапласа в ТФКП в алгебре В оказывается нелинейное, релятивистски-инвариантное уравнение 4-эйконала [22].

С другой стороны, характерной чертой В-уравнений КР является также их существенная переопределенностъ (в отличие от обычных КР уравнений в ТФКП!). Соответствующие условия совместности имеют вид условий (анти) самодуальности В-значных калибровочных полей, из которых в свою очередь сразу следует тождественное выполнение для них вакуумных калибровочных уравнений (Максвелла - для скалярной и Янга-Миллса - для векторной части В-значного калибровочного поля соответственно, см. подробнее раздел 2.2.2).

Наличие естественной калибровочной и спинорной структур наряду с тождественным выполнением уравнений Максвелла-Янга-Миллса 2 на решениях рассматриваемых В-уравнений КР позволяет считать эти последние своеобразной формой спинорной электродинамики, разумеется сильно отличающейся от общепринятой по динамическим следствиям.

Следует отметить, что ЭМ-поля, определенные алгеброй В, с необходимостью оказываются комплексными. Именно такие С-значные (анти) самодуальные поля интерпретировались Р. Пенроузом [5] как представляющие " волновую функцию фотона" определенной частотности (их прямым аналогом в ОТО является поле " нелинейного гравитона", определяемое (атни)самодуальной частью спинора конформной кривизны Вей-ля [5]). С другой стороны, действительная и мнимая части таких С-значных полей по отдельности удовлетворяют уравнениям Максвелла в силу линейности последних. При этом электрическая и магнитная составляющие каждой из этих частей уже линейно независимы друг от друга и удовлеворяют обычным действительным уравнениям Макс-

2 А также уравнения 4-эйконала для каждой из компонент спинора и уравнения д'Аламбера для их отношения, см. подробнее разделы 2.1.3 и 2.2.2.

велла для пустого пространства. Таким образом, по числу независимых степеней свободы и по динамическим свойствам В-калибровочные поля естественно определяют обычное ЭМ-поле 3.

На самом деле, однако, связь между структурой первичных нелинейных уравнений КР и электродинамикой гораздо сложнее и привлекательнее, поскольку уравнения Максвелла являются только необходимыми, но ни в коей мере не достаточными условиями совместности исходной системы. Это означает, что далеко не каждое решение обычных уравнений Максвелла может быть "достроено" до решения первичной переопределенной системы и тем самим быть реализовано с точки зрения рассматриваемой теории поля. В частности, электростатическое ку-лоновское решение может быть получено как решение ©-уравнений КР лишь при условии, что соответствующие ему значения электрического заряда имеют единственно возможную и строго определенную по модулю величину (ф = ±е при соответствующем выборе масштабных коэффициентов, подробнее см. раздел 3.1). Такое свойство фиксации допустимых значений электрического заряда, впервые обнаруженное в работах [20, 21, 23], представляет, по-видимому, наиболее привлекательное и неожиданное свойство рассматриваемых В-уравнений КР, и уже само по себе мотивирует необходимость их дальнейшего изучения. Исследование математической структуры и физических следствий В-уравнений КР, рассматриваемых как система уравнений динамики взаимодействующих спинорного и электромагнитного полей, и является основной целью данной диссертации.

3Что касается векторной части калибровочной 1В-структуры, связанной с полями типа Янга-Миллса, для них С-значность представляется неустранимой и требует специальной физической интерпретации, см. [21].

Непосредственно этим уравнениям посвящены вторая и третья части представляемой работы. Что касается первой части, то она является в некотором смысле вводной, поскольку посвящена исследованию аналогичных В-уравнениям КР уравнений КПП в пространствах Вейля-Картана, не имеющих алгебраического происхождения, но более прозрачных с геометрической точки зрения.

А именно, в I главе после краткого обзора аффинно-метрических пространств (раздел 1.1) изучаются свойства КПП в пространствах с простейшими видами неметричности (Вейля) (раздел 1.2) и кручения (так называемое кручение Нордена, см. раздел 1.3). Такие объекты, насколько нам известно, практически не рассматривались до этого ни с чисто математической, ни тем более с физической точек зрения. Между тем уже первые полученные в наших работах [77] результаты показали, что КПП в пространствах Вейля-Картана имеют ряд неожиданных свойств (в том числе обладают "двойной" калибровочной симметрией и фиксируют допустимые значения "электрического" заряда), позволяющих дать естественную электродинамическую интерпретацию соответствующих геометрических характеристик, а сами уравнения КПП рассматривать как уравнения физических полей. Это относится не только к "классической" геометрии Вейля, рассматриваемой в разделе 1.1.1, где интерпретация 4-вектора неметричности в качестве электромагнитного потенциала исторически опирается на единую теорию электромагнетизма и гравитации Г. Вейля. Оказывается, что возможность естественного построения электродинамики имеется и в специальных типах пространств Римана-Картана, рассматриваемых в разделе 1.3. В конце I гла-

вы (раздел 1.4) приведен обзор некоторых геометрических и физических свойств основного объекта исследования диссертации - В-уравнений КР, понимаемых как уравнения КПП (БКПП) в пространстве со связностью специального типа Вейля-Картана, индуцируемой алгеброй бикватерни-онов Вив основном полученных уже в предшествующих работах [20, 21]. При этом некоторые результаты подтверждены способом, отличным от использованного в предшествующих работах.

Во II главе проводится подробный анализ математических свойств уравнений БКПП (В-уравнений КР). После краткого обзора свойств алгебры кватернионов и проблем кватернионного анализа (раздел 2.1) выписываются уравнения БКПП, исследуется их спинорная структура и выводится уравнение 4-эйконала для компонент соответствующего