Гибридные гранично-конечно-элементные аппроксимации для моделирования процессов термоупругости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ їм. Я. С. ПІДСТРИГАЧА

ч і

ГОЛОВАЧ Наталія Павлівна

УДК 517.958:519.6

ГІБРИДНІ ГРАНИЧНО-СКІНЧЕННО-ЕЛЕМЕНТНІ АПРОКСИМАЦІЇ ДЛЯ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ ТЕРМОПРУЖНОСТІ

математичне моделювання та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

ЛЬВІВ -2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі прикладної математики Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник кандидат фізико-математичних наук, доцент Дияк Іван Іванович, Львівський національний університет імені Івана Франка, доцент кафедри прикладної математики.

Офіційні опоненти доктор фізико-математичних наук, професор

Недашковський Микола Олександрович, Тернопільська академія народного господарства, завідувач кафедри автоматизованих систем і програмування;

кандидат фізико-математичних наук Грицько Євген Григорович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача, старший науковий співробітник відділу термо-механіки.

Провідна установа Дніпропетровський національний університет,

кафедра аерогідромеханіки і кафедра теоретичної та прикладної механіки, Міністерство освіти і науки України.

Захист відбудеться &іеСюо/і&иід 2000 р. о /3 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д ЗМ95.01 в Інстшугі прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригана НАН України за адресою: 79053, м. Львів, вул. Наукова, 3”б”.

З дисертацією можна ознайомитися у науковій бібліотеці ІППММ ім. Я. С. Підстригача НАН України (м. Львів, вул. Наукова, 3”б”).

Автореферат розісланий ‘лЙ-” жовтня 2000 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

кандидат фізико-математичних наук ^ Шевчук П. Р.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У зв’язку із широким застосуванням обчислювальної техніки у всіх сферах людської діяльності особливо актуальною є проблема розробки ефективних методів проведеній обчислювальних експериментів, базою яких є розв’язання крайових і початково-крайових задач математичної фізики. На даний час серед чисельних методів немає серйозної альтернативи методу скінченних елементів (MCE) та методу граничних елементів (МГЕ). Різноманітні аспекти їх використання розглядалися у роботах Агошкова В.І., Альтенбаха І.В., Кіта Г.С., Марчука Г.І., Підгорного О.М., Розіна Л.А., Савули Я.Г, Сахарова А.С., Сьярле Ф.( Хая М.В., Цибенка А.С., Шинкаренка Г.А., Brebbia С.А., Cruse Т.А., Nowak A.J., Rizzo I.J., Wendland W.L., Zienkiewicz O.C та ін. Розвиток цих методів іде в основному у напрямках підвищення ефективності реалізації, аналізу збіжності відомих схем та їх модифікацій. Поряд з тим, останнім часом появилась велика кількість досліджень, присвячених порівнянню MCE та МГЕ. Для кожного з цих конкуруючих методів відомі класи задач, для яких вони є оптимальними за точністю, використовуваними ресурсами та ефективністю програмної реалізації. Однак дилема, якому методу надати перевагу й досі невирішена.

Аналіз переваг і недоліків MCE та МГЕ зумовив раціональнішу тенденцію, що полягає у поєднанні їх достоїнств. Обидва чисельні методи в рамках об’єднаної реалізації дозволяють ефективніше врахувати багато практично важливих факторів, зокрема, таких як складна геометрія, різноманітність граничних умов. Тим більше, слід зауважити, що MCE та МГЕ є спорідненими та можуть трактуватись як спеціальні випадки методу зважених нев’язок.

Такі задачі, як

- врахування локальної нелінійної поведінки конструкцій;

- взаємодія між конструкцією скінченного розміру і масивним тілом;

- взаємодія між конструкцією й рідиною, в яку вона поміщена;

- врахування нескінченних областей;

- теорії тріщин;

- врахування зон із високими градієнтами

є об’єктами сучасних наукових досліджень Beer G., Chen Z.S., David J., Mang H.A., Schnack E., Zienkiewicz O.C. та інших спеціалістів, які працюють над питанням розробки алгоритмів комбінованих методів розв’язування крайових задач.

Дисертаційна робота присвячена побудові об’єднаного підходу МГЕ та MCE, що дозволяє звести процес розв'язання вихідної задачі до послідовності розв'язання підзадач, які розглядаються у підобластях, кожним із методів зокрема. Ідея цього підходу ґрунтується на альтернуючому методі Шварца, а точніше його частковому випадку -методі декомпозиції області (МДО), значний вклад у розвиток та становлення якого внесли роботи Абрашина В.Н., Агошкова В.І., Булеєва С.Н., Лебедєва В.I., Driya М., Glowinski R., Widlund О.В. та ін. Такий підхід уможливлює використання стандартних комерційних програм із незначними їх модифікаціями. З точки зору вимоги використання паралельних мульти-процесорних ЕОМ, запропонований гібридний метод є особливо бажаним. Тим більше, що з появою багатопроцесорних паралельних обчислювальних систем, побудови та застосування алгоритмів, які розгалужуються, стали актуальними, перетворившись у розділ обчислювальної математики, котрий інтенсивно розвивається.

Розробка теоретичних основ гетерогенного МСЕ-МГЕ-підходу, подання результатів експериментальних досліджень у дисертаційній роботі проводиться для задач термопружності, записаних у квазістатичній постановці. Зауважимо, вивчення термопружних процесів є актуальною і надзвичайно важливою науково-технічною проблемою. Оскільки, високі вимоги щодо технічних показників міцності та надійності конструкцій на сьогоднішній день можуть бути задоволені лише при умові забезпечення процесу проектування оперативною й вірогідною інформацією про їх пружно-деформований стан.

Значний внесок у розробку класичних методів розв’язування задач термопружності внесли фундаментальні роботи Зарубіна B.C., Коваленка

А.Д., Коляна Ю.М., Коренева В.Г., Купрадзе В.Д., Кутателадзе С.С., Підстригана Я.С., Goodier J.N., Timoshenko S.P., Boley В.А., Weiner H.J., Parkus H. та ін. Однак, розвиток методик визначення термопружних параметрів конструкцій на аналітичному рівні стримується труднощами математичного характеру, що вимагає високої кваліфікації виконавця. Таким чином, ефективне моделювання процесів термопружності можливе при використанні в процесі проектування досконалих розрахункових схем, які при цьому повинні бути максимально наближеними до реальних об’єктів, враховувати складність їх конструктивних форм, структури, характер навантаження й взаємодії з оточуючим середовищем, механічні та теплофізичні властивості матеріалів конструкцій і т.д.

Виходячи з вище сказаного, можна стверджувати, що проблема побудови адекватних реаліям розв’язків початково-крайових задач термопружності є актуальною задачею.

з

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Праця виконувалась згідно наукової тематики кафедри прикладної математики Львівського національного університету імені Івана Франка, а саме:

1. Плану робіт за темою ПП-536Б “Розробка схем, алгоритмів і пакетів програм для розв’язування початково-крайових задач математичної фізики на основі комбінованих методів граничних і скінченних елементів”, № держреєстрації 019311041998.

2. Плану робіт за темою ПП-114Б ’’Математичне моделювання і чисельне дослідження фізико-механічних полів у середовищах із малими неоднорідностями”, яка виконується згідно координаційного плану “44. Створення теорії, методів математичного моделювання і чисельного аналізу процесів деформування твердих тіл та складних механічних систем” затвердженого наказом МО України № 37 від 13.02.97 у пріоритетному напрямку “Перспективні інформаційні технології, прилади комплексної автоматизації, системи зв’язку”, № держреєстрації 0197Ш18116.

Внесок здобувача у виконання цих науково-дослідних робіт полягає в участі у розробці та реалізації числово-експериментальної методики розв’язування задач плоскої теорії пружності та задач нестаціонарної теплопровідності.

Крім того, проведення досліджень у рамках даної дисертаційної роботи були частково підтримані Міжнародною Соросівською програмою підтримки освіти в галузі точних наук (ІБЕБР), грант №Р8Ш61028.

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є розробка та реалізація ефективного підходу для чисельного розв’язання двовимірних задач квазістатичної термопружності.

Досягнення поставленої мети включає:

> постановку початково-крайових задач термопружності та теорії пружності, формулювання відповідних до них варіаційних задач;

> побудову чисельної схеми гібридного скінченно-гранично-елементного методу розв’язання задач термопружності на основі застосування методу декомпозиції області та побудову апріорних оцінок швидкості її збіжності;

> розробку обчислювальних алгоритмів прямого МГЕ для задач нестаціонарної теплопровідності зі залученням схеми методу колокації та задач теорії термопружності на основі процедури Бубнова-Г альоркіна;

> чисельну реалізацію вище запропонованого підходу й створення на його основі програмного забезпечення, що дозволяє проводити дослідження пружно-деформованого стану інженерних конструкцій;

> апробацію згаданих схем та програмного забезпечення шляхом розв’язання модельних задач та задач з інженерної практики, аналіз збіжності одержаних чисельних розв’язків.

Наукова новизна одержаних результатів:

> розроблено та теоретично обґрунтовано нову методику синтезу МСЕ та МГЕ, ефективність застосування якої досліджено на прикладі розв’язання двовимірних незв’язних задач квазістатичної термопружності. Запропонований гетерогенний підхід реалізовано на основі методу декомпозиції області із залученням об’єднаної схеми гранично-скінченно-елементних апроксимацій;

> удосконалено чисельну схему прямого МГЕ, побудовану для розв’язування задач теорії пружності, шляхом використання базових функцій Лежандра високих порядків. Чисельні переваги розглянутої модифікації аргументують її розповсюдження на інші задачі математичної фізики та підтверджують доцільність розробки алгоритму р-адаптивної версії МГЕ;

> проведено порівняльний аналіз результатів різних підходів інтегрування за часом елементів матриць МГЕ для задачі нестаціонарної теплопровідності;

> розвинутий гранично-елементний алгоритм врахування теплових деформацій на випадок нестаціонарного температурного поля;

> запропоновані алгоритми реалізовано у вигляді комплексу прикладних програм на ПЕОМ, досліджені питання точності та межі застосовності побудованої схеми комбінованого методу граничних та скінченних елементів при розв’язанні тестових та інженерних задач.

Вірогідність отриманих результатів забезпечується математичною строгістю й коректністю постановки та розв’язання розглянутих у роботі задач, фізичною інтерпретацією отриманих чисельних результатів та їх узгодженням із відомими у літературі теоретичними та експериментальними даними; аналізом поведінки наближених розв’язків на послідовно згущуваних сітках як за просторовими змінними, так і в часі.

Практичне значення одержаних результатів полягає у МГЕ-МСЕ-аналізі пружно-деформованого стану конструкцій; розробці гранично-елементної методики розв’язання задач теорії пружності при нестаціонарному термічному впливові. Особливий інтерес має використання створеного комплексу програм для розв’язання задач в областях із зонами великих градієнтів напружень.

Розроблені у роботі методи можуть бути застосовані до розв’язання початково-крайових та крайових задач розрахунку процесів різноманітної фізичної природи, що описуються подібними математичними моделями.

Результати, одержані в дисертаційній роботі, мають перспективу бути використаними в розрахунковій практиці науково-дослідних та проектно-конструкторських установ. Запропоновані підходи застосовуються при читанні спецкурсу на факультеті прикладної математики та інформатики Львівського національного університету імені Івана Франка, при виконанні курсових та дипломних робіт.

Особистий внесок здобувана у роботах, виконаних у співавторстві, полягає в участі у постановці математичних задач, розробці чисельних алгоритмів, програмній реалізації проблемних модулів, інтерпретації отриманих чисельних результатів.

Апробація результатів дисертації Основні результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на:

^ Всеукраїнських конференціях “Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях” (м.Львів, 1995, 1996, 1997, 1998);

^ Українській школі-семінарі “Прикладні проблеми математики та інформатики” (м. Рівне, 1995);

'ґ Українських конференціях “Моделювання та дослідження стійкості систем” (м.Київ, 1995,1996);

'ґ звітній конференції Львівського національного університету імені Івана Франка (2000);

розширеному засіданні наукового семінару відділу математичних методів механіки руйнування та контактних явищ Інституту прикладних проблем механіки і математики ім.-Я.С.Підстригача НАН України (2000), а також наукових семінарах кафедри прикладної математики Львівського національного університету імені Івана Франка.

Публікації. За матеріалами дисертаційної роботи опубліковано 11 статей і тез доповідей наукових конференцій, з них 5 статей у фахових виданнях.

Структура та обсяг праці. Дисертаційна робота складається із вступу, п’ятьох розділів, висновків та списку використаної літератури. Загальний обсяг роботи складає 155 сторінки машинописного тексту. Бібліографія містить 207 найменувань літературних джерел. Текст дисертації включає 35 рисунків та 11 таблиць.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовуються важливість та актуальність питань, які розглядаються у дисертаційній роботі. Формулюються цілі дослідження, наукова новизна, а також виділяються основні задачі роботи.

У першому розділі коротко характеризується сучасний стан проблеми дослідження квазістатичних задач незв’язної термопружності, здійснюється порівняльний аналіз можливостей МСЕ та МГЕ, вказується на доцільність розробки комбінованого скінченно-гранично-елементного підходу для розв’язання певних класів задач, представляється огляд робіт за темою дисертації.

У другому розділі подається математична постановка двовимірної задачі незв’язної термопружності, на основі різних формулювань методу зважених нев’язок розглядаються варіаційні постановки, на яких базуються МСЕ та МГЕ.

2

Нехай в області 0,сЯ , заповненій деяким середовищем визначене температурне поле, тобто у кожній точці М(л)є£2 задана температура Т(х,і). Тоді, якщо середовище однорідне та ізотропне, то розподіл

температури описується рівнянням параболічного типу

Д Т=^ Х,?єПх(оЛ (1)

де Д - лапласіан;

£=— - коефіцієнт температуропроводності;

Я - коефіцієнт теплопровідності; с - питома теплоємність; р - питома густина; т - часова координата.

При цьому задаються: початкове значення температурного поля

Т(х,,х2,0) = То в О. (2)

та два види граничних умов - відомі граничні значення температури на Г;

Т(х,т)=Т(х,т), хє Гу, (3)

та теплового потоку на Т2 д п

9(х,г)=-7(*’Г)=<7(х,т\ хеҐ2 , (4)

де я - вектор зовнішньої нормалі до Г.

При цьому вважається Г=Г;иГ2, Г/пГ2=0, де 0 - простір розмірності ш<п,тут п - розмірність Г.

Отримавши розв’язок початково-крайової задачі (1)-(4) переходять до знаходження тензора напружень а у, і,]=І,2 та вектора переміщень

и і, і=1,2.

Нехай, середовище в області £2 є ізотропне та лінійно деформівне з ізотермічним коефіцієнтом Пуассона V та модулем пружності Юнга Е. Тоді визначення напружено-деформівного стану тіла, яке знаходиться в умовах нестаціонарного температурного поля, зводиться до розв’язання крайової задачі для системи рівнянь рівноваги

а],У+рі=0 и=-І,2 (х,,х2)єО. (5)

(де Р(, і=І,2 - компоненти масових сил)

у плоскій області £2 із кусково-гладкою границею Г, на частині Г/; котрої задані розподілені зусилля рп і=1,2

Рі ~а і]П] ~ Рі > *єГ7, (6)

а на решті границі Г2 - переміщення щ, і=1,2:

иі=йі,хеГ2. (7)

У рівнянні (5) і далі використовуються звичайні індексні позначення.

За індексом, який повторюється, здійснюється сумування; (...),

Область £2 будемо вважати однозв’язною, Г7, можуть складатись із скінченної кількості компонент границі, можливо, що Г=Гу або Г=Г2.

Деформації у довільній точці визначаються компонентами тензора деформації £,у вигляду

£0'=І(ии+мЛі) (8)

При цьому виконуються рівняння сумісності

єц,к1 + Єи,і] - Єік,}1 - £ jl.it =0- (9)

Деформації та напруження зв’язані співвідношеннями Дюгамеля-Неймана, котрі для ізотропного пружного середовища мають вигляд

ч = єі]-Рт5і] І’і’к=]’2> (Ю)

де ~~ М0ДУЛЬ пружності для зсуву;

б- а‘Е ■

Р-ЩЇЇГ)'

а, - лінійний коефіцієнт температурного розширення;

5,у - символ Кронекера;

Т - приріст температур.

Зауважимо, що співвідношення Дюгамеля-Неймана наведені для плоского деформованого стану. У випадку плоского напруженого стану замість коефіцієнта Пуассона V, модуля Юнга Е та коефіцієнта а,

- V т; Е(1+2\•>) _ се. . .

розглядають V ; Е ; а( відповідно.

Підставивши співвідношення (8) у формулу (10), а потім у рівняння (5), отримують рівняння рівноваги, аналогічні рівнянням Ламе, де роль додаткових об’ємних сил буде відігравати градієнт температури.

У третьому розділі викладаються результати з теорії МДО із застосуванням граничних та скінченних апроксимацій для розв’язування квазістатичних задач термопружності. Формулюється один із алгоритмів МДО - однокроковий лінійний ітераційний метод у термінах класичних постановок. /

Область £2 розбивається на дві підобласті 0.! та £22, такі що, £2г=£2, 0.ІслЄ12-® (рис.1). Дослідження в 0.1 здійснюється на основі використання скінченних елементів, а в £22 ~ граничних. Загалом вибір того чи іншого методу розв'язання в кожній із двох областей залежить від специфіки конкретної задачі. У такому підході, відзначимо, і полягає оригінальність використання МДО у даній роботі. До сих пір відомі використання одного й того ж методу дискретизації підзадач у підобластях.

Зауважимо, Г,=Э£2( - границя , Гс=(ГуиГг)\Г -лінія спряження. Передбачаємо, що границі Г}, і-1,2 локально задовольняють умові Ліпшиця. Об'єднавши £2; та £2^, вимагається виконання умов спряження на Гс, а саме:

- геометричних умов (нерозривності переміщень)

«/=«;> *єГс> У=/>2'- (11)

- та статичних умов (умов рівноваги)

р^р)=0, *єГс, ]=1,2 ■ (12)

Ввівши простори вектор-функцій и={и],и2) И'2(£і)=її/2(£і)хЦ'2(0.) та і2(Г2)=іг(£ї)<І2(^), виділяється у (£2) підпростір ^/0(£2) функцій, значення яких на границі дО. дорівнюють нулю.

Далі математично обгрунтовується застосування МДО. Для його збіжності достатньо, щоб оператор задачі був симетричним та додатно визначеним, а області Ц - однозв’язними областями з ліпшицевими границями. Відомо, що диференціальний оператор Ь квазістатичної задачі теорії термопружності з однорідними головними граничними умовами володіє цими властивостями.

Записується обчислювальний алгоритм МДО, що полягає у послідовному розв’язанні наступних задач

к+-Ьи 2 =

*1

к+~ - 1 Му 2 =и, х& Э£2у,

к+-

рІ 2 = р, хе Э£2у,

Рі 2 =~Р2’ хеГс;

(13)

обчислюючи за формулою,

к+1 к . п

и1 ~и1 +Рк+І

ґ і

к+2 к . * — 1/ ,

де Му =0, хеСІ/, розв’язується задача

хє£2.,

(14)

Ш

и1

ІМ$+І=/, хвП2,

«2+/=М, ХЄд£і2,

Р2+1 = Р' хвдп22,

«2*+'=«Г. хєгс. (15)

Після цього повертаються до етапу (13) для нового значеная індекса к і продовжують процес до тих пір, поки не виконається умова завершення ітераційного процесу

•иу|+|м2+7-м2||<є[|[“*||+|4||]’ (16)

де І • || - норма, у нашому випадкові, у просторі . Зауважимо, можливі, звичайно, й інші критерії завершення ітераційного процесу. Тут р° є\У2 (£22) - початкове наближення вектора функцій поверхневих зусиль; ~ послідовність додатних параметрів релаксації, які

забезпечують та прискорюють збіжність ітераційного процесу; її,р-задані на границі вектори-функції.

Розглядається проблема вибору параметрів Рк. Приводиться формула оптимального однакового для всіх ітерацій значення параметра

■> Ир (

£=^г’ да а-щ^+1~г' ^єМгс)-

Тут \\Е, і=1,2 - енергетичні норми у відповідних просторах, (У,- -функції, що є розв’язками задач Ші =0, хе £2,-,

І]і =0, хе Э£2-,

^О.хеЭ*. (17)

дп[

Пі =8, хе Гс;

де и, - компоненти одиничного вектора зовнішньої нормалі до Гс.

Досліджується питання збіжності ітераційного процесу (13)-(15), записаного для першої крайової задачі квазістатичної термопружності.

Нехай середовище в підобласті £2р характеризується сталими Ламе

а у £ї2 - А^, відповідно. У виділяється ще

підпростір ;к/0(а,-), до якого відносяться усі функції ие(г/д(пг-), що задовольняють умові Ь—гармонійності, тобто Ьи=0 майже всюди на £2,-.

Використовуються граничні оператори Стєклова-Пуанкаре

В, , і=1,2, що вводяться за допомогою задач

розширенням операторів нормальних складових напружень на границі від узагальненого розв’язку мє \\г~, 0 (£2,-) п(Й, ), що задовольняє рівнянню Ламе при /=0. Доведені у роботі властивості симетричності та додатної визначеності на 1-2 (Гс) операторів Ві дозволяють ввести відповідні скалярні добутки та норми, породжені ними.

Формулюються наступні твердження, які будуть необхідними для подальшого аналізу збіжності ітераційного процесу (13)-(15).

ІЛІ=0 у Ц; ; Щ =8&]У2Ц2{ГС), (18)

С

(18)

де 0={и„02), г;0//2(гс) - простір спряжений до <2(ГС) - простору слідів на Гс функцій із ІУ2()(0.). Таким чином, оператори В{, і=1,2 є

2

Лема 1. Нехай для інтегралів Діріхпе

='И'Є

<2(ГС) і=1,2,

(19)

де т,М=соті. Тоді значення співвідношення

Тут Сд - сталі нерівності Корна.

Теорема 1. Для спектра оператора місце включення Бр(л)с: 1+-~,1+-к- .

Тоді оцінка швидкості збіжності запишеться у вигляді теореми. Теорема 2. Якщо {/ ] - наближення до розв’язку и крайової задачі

теорії пружності, побудоване за алгоритмом (13)-(15), де (3= 2/иМ

т+М+2тМ

£

то швидкість збіжності и до и характеризується оцінкою

■ 1 к г, М-гп де стала С не залежить від к, її, и , а в=——=-----

т+М +2тМ

У цьому розділі приводяться результати чисельних експериментів та зроблені на їх основі висновки. Подані результати досліджень підтверджують достовірність розрахунків та застосовність описаного алгоритму для розв’язування реальних задач.

Перший параграф четвертого розділу містить виклад чисельної схеми ПМГЕ стосовно до задач нестаціонарної теплопровідності. У випадку розгляду незв’язних задач термопружності визначення температурних полів уявляє собою самостійну технічну задачу, на фоні розв’язання якої проблема визначення напружень відіграє підпорядковану роль.

На основі методу зважених нев’язок співвідношення початково-крайової задачі нестаціонарної теплопровідності зводяться до еквівалентного граничного інтегрального рівняння Фредгольма за просторовими координатами та Вольтера за часовою змінною. Далі проводиться дискретизація даного рівняння. При цьому границя досліджуваної області розбивається на скінченне число ізопараметричних лінійних або параболічних елементів, а проміжок часу, достатній для спостереження за температурним процесом, дробиться на рівномірні кроки. Для розв’язання отриманого інтегрального співвідношення застосовується метод колокації із залученням кусково-постійних апроксимацій шуканих функцій на часовій півосі. В результаті вихідна задача зводиться до послідовності систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР). За рахунок рівномірного розбиття за часом у всіх цих СЛАР матриця одна і та ж, перераховуються лише праві частини, у яких міститься інформація про розв’язки, отримані на попередніх кроках.

У цьому ж параграфі здійснюється виділення методом заміни змінних логарифмічної особливості та особливості порядку 1/г у діагональних коефіцієнтах системи.

Дослідження збіжності чисельних результатів проводиться на тестових прикладах із відомими аналітичними розв’язками. На основі

чисельних експериментів робиться висновок про ефективність різних підходів чисельного інтегрування за часом елементів системи.

Другий параграф присвячений дослідженню МГЕ квазістатичних двовимірних задач незв’язної термопружності. Записуються фундаментальні розв’язки для переміщень, зусиль, деформацій та напружень на границі області та у довільній внутрішній точці. На основі схеми Бубнова-Гальоркіна МГЕ формулюється дискретна постановка задачі. Чисельні експерименти проводяться як із використанням ізопараметричної (лінійної та квадратичної) техніки, так і на основі застосування для апроксимування шуканих функцій поліномів Лежандра.

Детально розглядається схема обчислення сильно та слабо сингулярних інтегралів, яка передбачає використання лише стандартних квадратурних формул Гаусса. Ефективність методики апробовано на тестових прикладах.

Одержані також формули для обчислення інтеграла, за допомогою якого враховується дія температурних напружень.

Далі викладається ряд прикладів, в яких на основі аналізу чисельних результатів установлюється ефективність розробленої методики в цілому, використовуваних гранично-елементних апроксимацій зокрема. Приводиться порівняння отриманих результатів із розв’язками, опублікованими іншими авторами.

У третьому параграфі подається обчислювальний алгоритм розв’язування задач термопружності МСЕ. Досліджувана область представляється ансамблем чотирикутників сирендипового сімейства. Вводяться біквадратичні ізопараметричні апроксимації на них. У матричному вигляді записуються співвідношення для обчислення елементів матриць жорсткості та мас.

У п’ятому розділі розглядаються питання програмної реалізації розроблених чисельних схем. Подаються деякі характеристики і описуються можливості окремих програмних модулів.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі запропоновано новий підхід до чисельного моделювання фізико-механічиих процесів, що ґрунтується на поєднанні переваг методу скінченних елементів та методу граничних елементів. Отримані в дисертації результати теоретичних розробок можуть бути використані при розв’язанні конкретних практичних задач, зв’язаних з визначенням параметрів термопружного стану досліджуваного тіла. Здобуті результати напрямлені на вирішення важливого завдання

математичного моделювання - розробити і теоретично обгрунтувати ефективний чисельний алгоритм розв’язування задач, в основі постановки яких лежать диференціальні оператори параболічного та еліптичного типів.

Основні результати виконаної роботи полягають у наступному:

1. На основі запропонованого підходу синтезу методу скінченних елементів та методу граничних елементів розроблена схема побудови розв’язків сформульованих у дисертаційній роботі крайових задач. У її основу покладено ітераційний лінійний алгоритм методу декомпозиції області. Для обґрунтування збіжності і побудови апріорних оцінок швидкості збіжності використовуються оператори Стєклова-Пуанкаре та обернені до них. Числові розрахунки й аналіз результатів досліджень незв’язних задач квазістатичної термопружності підтверджують перспективність використання запропонованої методики для розв’язування крайових та початково-крайових задач математичної фізики.

Подальший розвиток розглянутої схеми комбінування методу скінченних елементів та методу граничних елементів бачиться у розробці відповідного математичного забезпечення дая аналізу задач із врахуванням локальної нелінійної поведінки матеріалу досліджуваного об’єкту.

2. Побудована методика розв’язання двовимірних початково-крайових задач дая параболічних рівнянь, що базується на використанні залежних від просторових і часової координат фундаментальних розв’язків, ізопараметричних (лінійних та квадратичних) граничних елементів та методу колокацій. Різноманітні аспекти її застосування розглянуто на прикладі розв’язування задач нестаціонарної теплопровідності. Для одновимірного випадку реалізовані різні схеми дискретизації за часом інтегрального граничного рівняння та проведений порівняльний їх аналіз. Вироблені рекомендації з раціонального вибору методу інтегрування за часом. Апробована методика врахування ненульової початкової умови.

3. Розроблена чисельна схема прямого варіанту методу граничних елементів у постановці Бубнова-Гальоркіна, яка застосована для розв’язування задач, що описуються системою еліптичних рівнянь, зокрема для розв’язування квазістатичних задач термопружності. На підставі результатів чисельних експериментів зроблений висновок про те, що використання апроксимацій на основі поліномів Лежандра високих порядків суттєво пришвидшує збіжність гранично-елементних розв’язків, дозволяє вже на порівняно рідких сітках отримати числові

розв’язки необхідної точності. Показано, що метод скінченних елементів поступається методу граничних елементів у дослідженні задач із наявністю зон високих градієнтів шуканих функцій. Експериментально встановлена ефективність реалізації методу граничних елементів з нерегулярним гранично-елементним поділом, вказано на доступність побудови таких нерівномірних сіток. Розвинута спеціальна методика обчислення сильно й слабо сингулярних інтегралів кінцевої системи алгебраїчних рівнянь, використання якої дозволило значно скоротити час розрахунків.

4. Створений проблемно-орієнтований комплекс програм на алгоритмічних мовах високого рівня С++ та Рог1гап-77 дозволяє розв’язувати широке коло проблем, що описуються системами еліптичного типу та параболічними рівняннями, із достатньою для практичних цілей точністю. У рамках розробленого програмного забезпечення представляється можливим здійснювати апостеріорний контроль точності обчислень за рахунок р-збіжності.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Головач Н.П., Дияк І.І. Чисельне дослідження задачі теплопровідності прямим методом граничних елементів // Вісник Львівського університету. Сер. мех.-мат. -1993. -Вип.39. - С. 46-52.

2. Головач Н. П. Застосування прямого методу граничних елементів для чисельного розв’язання задачі нестаціонарної теплопровідності // Вісник Львівського університету. Сер.мех.-мат. - 1995. - Вип.42. - С. 96-101.

3. Дияк 1.1., Головач Н.П. Застосування прямого методу граничних елементів для чисельного дослідження деяких прикладних задач // Волинський математичний вісник. - 1995. - Вип. 2. - С. 67-70.

4. Головач Н.П., Дияк І.І. Прямий метод граничних елементів чисельного розв’язування задачі термопружності // Вісник Львівського університету. Сер.мех.-мат. - 1996. - Вип.44. - С. 57-62.

5. Головач Н.П., Дияк І.І. Алгоритм обчислення температурних деформацій у задачі термопружності ПМГЕ // Вісник Львівського університету. Сер. мех.-мат. - 1998. - Вип.50. - С. 59-62.

6. Головач Н.П., Дияк І.І. Метод декомпозиції області та комбінований скінчено-гранично-елементний аналіз задач пружності // Фізико-хімічна механіка матеріалів. - 2000. - № 1. - С. 115-117.

7. Головач Н.П., Дияк І.І. Математичне моделювання теплофізичних процесів на основі методу граничних елементів для ПЕОМ // Тез. докладов конф. “Моделирование и исследование устойчивости систем”.

- Киев. - 1995. - С. 37.

8. Головач Н.П., Дияк І.І., Кухарчук Ю.А., Макар В.М., Паук Н.М. Розв’язування задач математичної фізики на основі чисельних схем комбінування методів скінченних і граничних елементів // Тези допов. Всеукр. конф. “Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях.” -Львів,- 1995.-С. 20.

9. Головач Н.П. Про застосування гранично-елементних апроксимацій для розв’язування задач термопружності // Тези доп. Всеукр. конф. “Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях.” - Львів. - 1996. - С. 21.

10.Головач Н.П., Дияк І.І. Чисельне моделювання задач квазістатичної термопружності // Тез. докладов конф. “Моделирование и исследование устойчивости систем”. - Киев. - 1996. - С. 45.

11.Головач Н.П., Дудаш О.І. Чисельне моделювання неізотермічного пластичного деформування гібридним скінченно-гранично-елементним методом // Тези доп. Всеукр. конф. “Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях.” - Львів. - 1997. - С. 25.

Головач Н.П. Гібридні гранично-скінченио-елементні апроксимації для моделювання процесів термопружності. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Інститут прикладних проблем механіки і математики ім.Я.С.Підстригача НАН України, Львів, 2000.

Дисертаційна робота присвячена розробці і теоретичному обґрунтуванню нового підходу поєднання в одній задачі методів скінченних та граничних елементів на основі використання методу декомпозиції області. Побудовано апріорні оцінки швидкості збіжності наближених розв’язків. Вивчено питання застосування прямого методу граничних елементів для дослідження задач нестаціонарної теплопровідності, пружної статики та незв’язних задач квазістатичної термопружності. Побудовані чисельні схеми розв’язання перелічених класів задач реалізовано у вигляді відповідного програмного забезпечення,

працездатність якого підтверджена шляхом дослідження модельних задач і задач з інженерної практики.

Ключові слова: метод декомпозиції області, прямий метод граничних елементів, метод скінченних елементів, задача нестаціонарної теплопровідності, незв’язна задача квазістатичної термопружності, програмне забезпечення.

Holovatch N.P. Hybrid boundary-fmite-elements approximations for modeling of thermo-elastic processes. - Manuscript.

An application thesis for obtaining the candidate of physical and mathematical sciences fellowship by speciality 01.05.02 - mathematical modeling and computational methods. - The Institute of applied problems of mechanics and mathematics name after Ya.S. Pidstrigatch of National Academy of Science of Ukraine, Lviv, 2000.

The dissertation is devoted to construction and theoretical grounding of new approach combining in one-problem methods of finite and boundary elements on the basis of domain decomposition methods. A priori evaluations of convergence speed of approximate solutions are constructed. The question of using direct boundary elements method for studying the problems non-stationary heat conduction, elastic static’s and non-coupled problems of quasi-static thermo-elasticity is studied. The constructed numerical schemes of solving mentioned problem classes are realized in the form of corresponding software, the working ability of which is tested by means of studying model problems and problems of engineering practice.

Key words: domain decomposition method, direct boundary element method, finite element method, non-coupled problem of quasi-static thermoelasticity, programming software.

Головач Н.П. Гибридные гранично-конечно-элементные аппроксимации для моделирования процессов термоупругости. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Институт прикладных проблем механики и математики им.Я.С.Подстригача НАНУ, Львов, 2000.

Диссертационная работа посвящена разработке и теоретическому обоснованию нового подхода к решению двумерных задач квазистатической термоупругости с привлечением метода декомпозиции области (МДО), метода конечных элементов (МКЭ) и метода граничных элементов (МГЭ). Проиллюстрировано, что два последних с перечисленных методов являются родственными и могут трактоваться как

специальные случаи метода взвешенных остатков, приведен их сравнительный анализ. Сделан обзор основных направлений комбинации методов конечных и граничных элементов для решения задач теории упругости, обсуждены их достоинства и недостатки. Приведен вариант метода декомпозиции области с использованием гранично-конечноэлементных аппроксимаций. Исследование предложенного алгоритма МДО, примененного к задачам без предварительной их дискретизации, на предмет сходимости проведено с помощью специального класса граничных операторов - операторов Стеклова-Пуанкаре. Построено априорные оценки скорости сходимости приближенных решений. Затрагиваются проблемы оптимального выбора параметров рассматриваемых итерационных схем МДО. Результаты расчетов тестовых задач подтвердили сходимость приближенных решений исходных задач, полученных с достаточной для практических целей точностью. Сделан вывод об эффективности и перспективности применения предлагаемой стратегии объединения МКЭ и МГЭ. Значительный интерес представляет использование данной гибридной методики к решению задач в областях с локальными зонами высоких градиентов напряжений, в частности, задач теории разрушения.

В диссертационной работе рассмотрены также вопросы применения МГЭ для решения нестационарных задач теплопроводности, упругой статики и несвязных задач квазистатической термоупругости. При численном решении названых задач МГЭ используются изопараметри-ческие линейные и квадратические граничные элементы. Применение аппарата фундаментальных решений позволило свести исходную начально-граничную задачу для уравнения теплопроводности к эквивалентному пространственно-временному интегральному уравнению, которое имеет единственное решение. Дальнейшая дискретизация по временной и пространственным переменным и применение метода коллокации предоставили возможность редуцировать его к последовательности систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с сингулярностями в коэффициентах системы, которые устраняются методом замены переменных. Существенным элементом обсуждения является оценка эффективности использования различных способов интегрирования по временной переменной элементов СЛАУ.

Отсутствие непосредственной зависимости искомого решения от временной переменной в задачах несвязной термоупругости позволило использовать для его отыскания более сложную и более эффективную процедуру, то есть процедуру Бубнова-Галеркина. Для учета разрывов компонентов вектора усилий на границе применяется метод двойных гранично-элементных узлов.

Основой схемы, использованной в задачах термоупругости, для преодоления сингулярного характера подинтегральных выражений, является метод Канторовича. Весьма плодотворной оказалась изложенная методика учета воздействия нагрузки, обусловленной нестационарным температурным полем, возможности которой продемонстрированы на практике. Результаты расчетов в целом подтвердили необходимость при исследовании задач с использованием МГЭ сгущения сеток в ряде подобластей и соответствующую простоту его реализации.

В диссертации затрагиваются вопросы разработки алгоритмов р-адаптации дискретной модели. Изучены преимущества использования аппроксимаций полей перемещений, усилий, а также геометрии по функциях Лежандра. Эмпирически установлен порядок квадратурных формул Гаусса для вычисления интегралов разрешающих уравнений.

Разработанные численные схемы решения нестационарных задач теплопроводности, квазистатических задач термоупругости и статической теории упругости реализованы в виде соответствующего программного обеспечения, работоспособность которого подтверждена путем исследования модельных задач и задач инженерной практики.

Ключевые слова: метод декомпозиции области, прямой метод граничных элементов, метод конечных элементов, задача нестационарной теплопроводности, несвязная задача квазистатической термоупругости, программное обеспечение.