Гидродинамические и электрокинетические течения вблизи супергидрофобных поверхностей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На пРавах рукописи

Беляев Алексей Вячеславович

Гидродинамические и электрокинетические течения вблизи супергидрофобных поверхностей

01.04.07 - Физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

О Л ОКТ 2012

Москва - 2012

Работа выполнена на кафедре физики полимеров и кристаллов физического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносов,

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Виноградова Ольга Игоревна Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Соболев Владимир Дмитриевич, доктор физико-математических наук, Демёхин Евгений Афанасьевич Ведущая организация: Институт химической физики

им.Н.Н.Семенова Российской академии наук (ИХФ РАН)

Защита состоится «24» октября 2012 г. в часов на заседании диссертац: онного совета Д 501.002.01 при Московском государственном университете имен М.В.Ломоносова по адресу: 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, стр.31 Центр коллективного пользования МГУ, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультет МГУ имени М.В.Ломоносова.

Автореферат разослан «21» сентября 2012 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные п чатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретар диссертационного совета.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.002.01,

кандидат физико-математических наук _ Т.В.Лаптиискси

убщая характеристика работы

Актуальность работы. В последние годы большое внимание уделяется ис-ледованию и изготовлению гидрофобных материалов с микро-/нано-рсльефом овсрхности. Такие материалы приобретают ряд уникальных свойств, среди ко-орых повышенное водоотталкивание (супергидрофобность, СГФ) и способность нижать гидродинамическое сопротивление течению жидкостей. Эти свойства казывают существенное влияние на динамику жидкостей в микроканалах, где язкая диссипация и межфазные явления играют существенную роль. В частости, в каналах размером меньше 100 мкм затрудняется транспорт жидкости од действием давления и подавляется конвективный механизм перемешивания. Стратегия решения указанных проблем состоит в использовании явления гид-одинамического скольжения на искусственных микро-/нано-текстурированных идрофобных поверхностях. Это свойство можно описать количественно с помо-ц>ю эффективной длины скольжения Ьс(Г. Такая формализация даст возможность ешить задачу рационального (оптимального) дизайна супергидрофобных микро-аналов. Исследования указанных физических явлений позволят создать теоре-ичсскую основу для решения большого спектра инженерных задач, в том числе роектирования и изготовления устройств "лабораторня-на-чипе"'.

Актуальность темы исследования подтверждается поддержкой, оказанной ра-эте приоритетной программой фундаментальных исследований ОХНМ РАН «Со-цание и изучение макромолекул и макромолекулярных структур новых поколс-ий» (проекты "Интеллигентный дизайн супергидрофобных полимерных поверх-остей для микро- и нанофлюидикн" и "Насосы и миксеры для микрофлюиди-и на основе электроосмотпчсских течений вблизи полимерных супергидрофоб-ых текстур", руководитель - д.ф.-м.н. О.И. Виноградова); стипендией ЬС СЬет сЬокгеЫр 2010; стипендией Правительства Российской Федерации (приказ Ми-истерства образования и науки Российской Федерации от 19 октября 2011 г. в 2483); Премией имени А. Н. Фрумкина (2011 г.); грантом фонда некоммерческих .

3

программ "Династия" в рамках программы поддержки аспирантов и молодых у ных без степени (2012 г.).

Цель диссертационной работы состоит в изучении гидродинамических электрокинетических явлений на супергидрофобных поверхностях. Для достпжс ния поставленных целей были решены следующие задачи:

1. Математическая формализация эффективного скольжения на анизотро1 ной супергидрофобной поверхности с геометрией периодических полос (бороздок в канале произвольной ширины при условии неидеального скольжения на газовы участках.

2. Оптимизация анизотропного скольжения на супергидрофобной поверх»

сти.

3. Математическая формализация гидродинамического взаимодействия ги, рофильной поверхности и супергидрофобной плоскости при их сближении.

4. Математическое описание электроосмотического скольжения раствора эле тролита вблизи анизотропной супергидрофобной плоскости с произвольной кальной длиной скольжения и неоднородным зарядом поверхности при произвол: ной толщине экранирующего (дебаевского) слоя.

5. Оптимизация параметров супергидрофобнои поверхности для усиления га перечного потока жидкости при анизотропном электроосмотическом течении.

Научная новизна.

1. Найдены аналитические выражения эффективной длины скольжения дл анизотропной супергидрофобной полосатой (страйп) текстуры в состоянии Касс с условием неидеального скольжения на газовых участках в пределе широког по сравнению с периодом текстуры канала. Доказано, что эффективная длин скольжения существенно зависит от ширины канала в случае, если последняя о поставима по величине или мала по сравнению с периодом текстуры. Установлен: закономерности перехода от анизотропного эффективного скольжения к изотро: ному.

2. Создана теория гидродинамического взаимодействия гидрофильных по-¡рхностей с супергидрофобными поверхностями, которая, в частности, может >1ть использована для анализа данных АСМ экспериментов по измерению эф-ективного скольжения и других многочисленных приложений.

3. Установлены и математически формализованы зависимости электрокине-1ческих коэффициентов переноса и физических параметров анизотропных гете->генных поверхностей.

Практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, со-(ают теоретическую основу для решения большого спектра инженерных задач, эгут быть использованы для рационального дизайна супергидрофобных поверх->стей для усиления подвижности и перемешивания жидкостей в устройствах аборатория-на-чипе", а также при натурных исследованиях динамики и кинети-i жидкости в микроканалах различной физической ирироды, и позволят управ-1ть электрокинетическими процессами от прямого прокачивания жидкости, до 1зделения на фракции и перемешивания.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положе-ля:

1. Аналитические выражения эффективной длины скольжения для анизо-юпной супергидрофобной страйп-текстуры в состоянии Касси и установленные жшомерности перехода от анизотропного эффективного скольжения к изотроп->му.

2. Теория гидродинамического взаимодействия с супергидрофобными поверх->стями.

3. Аналитические зависимости электроосмотической подвижности от физи-;скпх параметров анизотропной супергидрофобной страйп-текстуры.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на :едующих конференциях:

1. Московская конференция-конкурс молодых ученых, аспирантов и студен-

тов "Физикохимия-2009" (Москва, 2009);

2. DFG Priority Program SPP 1164 Nano-& Microfluidics Concluding Conferem (Norderney, Germany, 2010);

3. III International nanotechnology forum RUSNANOTECH 2010 (Moscow, 201C

4. Физикохимия: V Конференция молодых ученых, аспирантов и студенте ИФХЭ им. А.Н. Фрумкина РАН (Москва, 2010);

5. XVII Зимняя Школа ио механике сплошных сред, ИМСС УрО РАН (Пермь, 2011);

6. Конференция молодых ученых «Ломоносов-2011» (Москва, 2011);

7. IV International nanotechnology forum RUSNANOTECH 2011 (Moscow, 2011

8. VI конференция молодых ученых ИФХЭ им. А.Н. Фрумкина РАН, "ФИЗИКОХИМИЯ-2011" (Москва, 2011),

а также на 35-х Фрумкинских чтениях по электрохимии «Электрохимич ское наноструктурирование» (Химический факультет МГУ им. М.В.Ломоносов Москва, 2011) и семинаре лаборатории Механики многофазных сред Институт Механики МГУ (Москва, 2010).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 14 печатных раб тах, из них 6 статей в журналах, рекомендованных ВАК РФ [1-6], и 8 тезисс докладов.

Личный вклад автора. Постановка задач и результаты исследований с суждались с научным руководителем диссертационной работы. Подготовка к ну ликации полученных результатов проводилась совместно с соавторами. Все оснс ные результаты работы получены лично диссертантом и являются определяют ми.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, чет рех глав, заключения, списка цитируемой литературы и трех приложений. Общ1 объем диссертации 125 страниц, включая 11 страниц приложений. Работа соде жит 25 рисунков. Библиография включает 120 наименований на 14 страницах.

Содержание диссертации

Введение. Обоснованы актуальность темы диссертации, научная новизна, практическая значимость, приведено краткое содержание работы по главам.

Первая глава содержит библиографический обзор по теме диссертации, [роведено обоснование выбора объектов, целей, задач и методов исследования. 3 главе проанализированы известные современные представления о гидродина-шческих и электрокинетических эффектах вблизи супергидрофобных поверхио-:тей, представлена классификация граничных условий скольжения; рассмотре-1ы подходы к математическому описанию и мсзоскопичсскому компьютерному юделированию указанных явлений. В главе также освещены современные ме-'оды экспериментальных исследований гидродинамического и электрокинетиче-:кого скольжения жидкости. В библиографическом обзоре по теме диссертации фоцитированы 120 научных работ.

В завершающей части главы сформулированы основные выводы, следующие [з анализа литературы; они заключаются в следующем:

1. Ряд уникальных свойств супергидрофобных поверхностей вызывает необходимость их дальнейшего исследования.

2. Влияние неидеальности скольжения на газовых участках на значения эффективной длины скольжения и электроосмотической подвижности жидкости близи супергидрофобных текстур ранее не исследовалось и требует углублен-юго теоретического рассмотрения.

3. Использование континуальных моделей конденсированных сред в комби-[ации с концепцией эффективных граничных условий скольжения и теорией яв-[ений переноса в гетерогенных средах представляет собой удобный аппарат для соретического исследования указанных явлений.

4. Для компьютерного моделирования рассматриваемых явлений метод ре-неточного уравнения Больцмана обладает рядом преимуществ, включая сравни-ельио высокую скорость и точность расчетов.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию эффективного ско„. жения на анизотропных супергидрофобных поверхностях. Особое внимание уде лено изучению влияния вязкой диссипации на границе раздела жидкость-газ н; скорость и анизотропию эффективного скольжения жидкости вблизи текстуры заданной геометрией. Удобной модельной системой является заполненный жщ костью плоскопараллельный канал, одна из стенок которого является анизотрог ной супергидрофобной поверхностью (Рис.1) с текстурой в виде параллельны: периодических бороздок (,:страйп"-текстура) в состоянии Касси. Верхняя границ; канала предполагалась однородной и гладкой, без скольжения. Рассматриваете; динамика жидкой фазы под действием приложенного градиента давления (нг правленным вдоль оси Ох), которая в рамках континуальной модели описываете: уравнениями Стокса:

i?V2u = Vp, V • и = 0, (1

где и - вектор скорости, г/ -вязкость, а р - давление. Локальная неоднородност! межфазной границы проявляется в гетерогенном локальном скольжении жидке сти, которое моделируется локальным граничным условием Навье:

у = о : ит = b(x, z) • (дит/ду), (2

где ит - касательная к границе раздела фаз компонента скорости жидкости, а лс кальная длина скольжения b(x, z) - периодическая кусочно-постоянная функци: координат. Предполагается, что скольжение на участках жидкость - твердое тел( отсутствует (Ъ{х, z) = 0), а на участках жидкость - газ задано некоторое конечно! значение Ь, являющееся параметром задачи.

Эффективная длина скольжения выражается путем усреднения скорости тс чения на масштабе неоднородности L. Ранее было показано, что для текстур i анизотропной геометрией эта величина является тензором второго ранга beff. И: анализа симметрии текстуры было установлено, что главные направления тензе ра Ьед совпадают с направлениями вдоль и поперек полос (0 = 0 и -к/2 соответ

.1 ис. 1. (а) Схема микроканала асимметричной конфигурации, в котором нижняя поверхность редставляет. собой супергидрофобную страйп-текстуру: © = 0 соответствует течению ~доль полос, а В = 7г/2 течению поперек полос, (б) Элементарная ячейка рассматриваемой системы с горизонт/ыъным размером Ь.

:гвенно). Значения длин скольжения, соответствующие данным направлениям, _вляются искомыми собственными значениями тензора Ьея.

На Рис.2(а) приведены результаты расчетов, которые говорят о том, что : ^фективные длины скольжения возрастают с увеличением отношения ширины -_анала Н к периоду текстуры Ь и достигают предельной величины в случае широ-'ого канала Я » Ь. Это указывает на то, что Ьед является не только характеристикой супергидрофобной поверхности, но также зависит от конфигурации канала соотношения между характерными масштабами длин системы. В предельном тучае широкого канала получены аналитические выражения для собственных тчений тензора эффективной длины скольжения:

7Г 02 "

6«

ей — ^ 7Г

1п

вес

Ь

1 + —1п

7Г0

ь 1п вес ( кфЛ К 2 )

2тг Ь , 2жЬ вес + 1ап

(3)

(4)

:десь ф2 = 6/Ь = 1 — ф\ доля поверхности жидкости в контакте с газовой фазой фракция скользких участков), а Ъ локальная длина скольжения на скользких

Рис. 2. (а) Эффективная длина скольжения вдоль градиента давления в зависимости от ш„ рины канала (ф2 = 0.75, b/L = 5.0) для различных значений угла 0. Точки соответствую--резулътатам компьютерного моделирования, кривые - теоретическим значениям, (б) Со г ственные значения b|ff (сплошная кривая) и (пунктирная кривая) тензора эффективно " длины скольжения beff в пределе Н » L, найденные по формулам (3) и (4) для страйп-те: стуры с периодом L и долей скользкой фазы ф2 = 0.5 в зависимости от локальной длин: скольжения Ъ. Символы соответствуют численному решению.

участках. Установлено, что анизотропия эффективного скольжения снижается с уменьшением локальной длины скольжения b/L, и наоборот, возрастает до пр дельного значения при b/L оо (Рис.2(б) ).

В главе проведено сравнение теоретических значений bf^ с результатами koi пьютерного моделирования методом решеточного уравнения Больцмана. Длине скольжения, полученная в компьютерных моделях, при повороте градиента дав л: ния относительно супергидрофобной текстуры изменяется в соответствии с теор: тическими ожиданиями. Как видно из результатов, при изменении угла Э эффе тивная длина продольного скольжения (т.е. в направлении приложенной силь:, монотонно изменяется от bjjff до Ь^е. Совпадение теории и результатов компьютерного моделирования наблюдается для произвольных H/L, откуда сделан вывог, что концепция тензорного эффективного скольжения применима для каналов произвольной ширины (а не только для Н L).

"ис. 3. (а) Отношение поперечного расхода жидкости к продольному при оптимальном значении угла Э как функция ширины канала при Ь/Ь = 1000 и различных фракциях скользкой фаны на поверхности: ф2 = 0.5 (сплошная), 0.2 (штриховал) и 0.9 (штрих-пунктирная кривая). 5) Схема генерации поперечного потока вблизи поверхности с анизотропным эффективным

:хольжением.

В главе также рассмотрен вопрос генерации течения жидкости в направлении, ортогональном приложенному градиенту давления (т.е. поперечных потоков), с помощью анизотропного эффективного скольжения. Важное прикладное значение этого эффекта, например, для перемешивания, обуславливает необходимость оптимизации параметров анизотропных супергидрофобных текстур для их г ационального использования в микрофлюидике.

Физически анизотропия эффективной длины скольжения проявляется в том, го векторы средней скорости скольжения жидкости на границе и приложенного радиента давления не коллинеарны. Как следствие, в рассматриваемой системе : эперечный расход жидкости <32 не равен нулю. Установлено, что отношение попе-г зчного расхода жидкости к продольному достигает максимума при определенном начении угла 0 между полосами текстуры и градиентом давления:

©шах = ± агс1ап

(1+4^/Я)(1+6еУЯ)п1/2

(5)

_(1+4/Я)(1+46еУЯ) а графике (Рис.З(а)) показано отношение поперечного потока к продольному для В = 0гаах) при различных долях скользкой (газовой) фазы на поверхности

11

в зависимости от относительной ширины канала. Установлено, что в широком к. нале (Я » L) поперечный расход жидкости значительно меньше, чем в узко! (Я <С L), и убывает обратно пропорционально Я. Это объясняется тем, что попе речный поток, возникший из-за поверхностной анизотропии, генерируется тольк в непосредственной близости от стенки и исчезает вдали от нее, как схематичн показано на Рис.З(б).

Другой важный вывод заключается в том, что геометрические параметр! текстуры поверхности, оптимальные для генерации поперечного течения, могу значительно отличаться от параметров текстур, оптимальных для продольног скольжения. Максимальное значение отношения \QZ/QX\ достигается при дост; точно большой доле нескользких участков поверхности ф2 = 0.5, что соответств; ет сравнительно малым значениям эффективной длины скольжения. Результат] второй главы опубликованы в работах [1-3].

В третьей главе изучается влияние эффективного скольжения на силу ги, родинамического сопротивления, которую испытывают диск или сфера, погр; женные в вязкую несжимаемую жидкость, при сближении с супергидрофобно плоскостью. Помимо того, что эти задачи иллюстрируют применение концепци эффективного скольжения и имеют фундаментальное значение для ионимани явления гидродинамического взаимодействия с микро-/нанотекстурированным поверхностями, результаты проведенных исследований также могут быть испол зованы для анализа данных АСМ экспериментов по измерению эффективно: скольжения и других приложений.

На основе созданной в диссертационной работе теории рассчитана сила гидр динамического сопротивления, действующая на гидрофильный диск радиуса 1 который движется с постоянной скоростью U навстречу параллельной ему супе гидрофобной плоскости. Рассмотрен случай тонких зазоров между поверхностям (Я <С R) и малых чисел Рейнольдса (Re <С 1). Показано, что роль эффективно! скольжения выражается в поправочном коэффициенте /* к классической форм

ле, справедливой для однородных нескользких поверхностей:

Величина /* для произвольной анизотропной текстуры определяется по выведенной в диссертационной работе формуле:

если известны значения эффективных длин скольжения в главных направлениях текстуры.

График зависимости /* от относительной ширины зазора для текстуры периодических параллельных полос (Рис.4 ) показывает, что эффект становится более существенным по мере сближения поверхностей и максимален при Н <С Ь, где Н - ширина зазора между диском и плоскостью, а Ь - характерный масштаб текстуры. Из анализа полученных результатов (Рис.5) также установлено, что геометрия текстуры не оказывает существенного влияния на гидродинамическое взаимодействие в рассматриваемой системе. Ключевым параметром, определяющим величину силы сопротивления является доля скользких (газовых) участков поверхности, а локальная длина скольжения определяет характерное расстояние, на котором проявляется эффект текстуры.

Решение аналогичной задачи для сферы дало качественно схожие результаты. Количественные отличия заключаются в том, что эффект снижения силы сопротивления для сферы проявляется на более близких расстояниях, чем для диска. В силу особенностей геометрии системы задача решалась численно, в асимптотических предельных случаях получены аналитические выражения. Для случая широкого зазора, /1 Ь, поправка на супергидрофобное скольжение выражается формулой

= \Н + 4Ъ1К(Н) Н + 4Ъ^(Н) Рп [Н + Ь1(Н) Н + Ь^Н)

-1

Г

+

(7)

(а) *

10° H/L

ю

Рис. 4. (а) Схема рассматриваемой системы: гладкий гидрофильный диск движется навстречу супергидрофобной плоскости, (б) Поправка к силе сопротивления, /*, в зависимости от относительной ширины зазора H/L между диском и супергидрофобной страйп-текстурой. Скольжение на твердых участках отсутствует. Сплошные линии соответствуют, длине скольжения на газовых участках b/L = 10 (сверху вниз ф2 = 0.2, 0.5 и 0.9), пунктирные кривые - 6/L = 0.1 (сверху вниз ф2 = 0.2 и 0.5), штрих-пунктирная кривая. b/L = 0.01 и ф2 = 0.5.

Рис. 5. (а) Поправка к силе сопротивления, действующей на диск, как функция доли скользких участков ф2 [при Ь/Н = 15| в пределе узкого зазора (Н -С Ь) для следующих супергидрофобных текстур: анизотропная страйп-текстура (пунктирная кривая); изотропные текстуры, достигающие максимума (сплошная) и минимума (штрих-пунктирная) Хашина-Штрикмана; текстура "шахматная доска" и текстура Шульгассера (символ-круг), (б) Текстуры Хашина-Штрикмана (вверху) и Шульгассера (внизу).

г=(9)

Рис. 6. (а) Схематическое изображение гидрофильной сферы, движущейся навстречу супергидрофобной страйп-текстуре. (б) Поправка на супергидрофобное скольжение к силе сопротивления, действующей на сферу, в зависимости от доли газовых участков на супергидрофобной страйп-текстуре. Локальная длина скольжения па газовых участках Ь/Ь = 10. Снизу вверх кривые с символами соответствуют расстояниям 1г/Ь = 0.01, 0.1, 1 и 10. Сплошная линия без символов соответствует результатам, полученным в пределе к <С тт{6, Ь}.

справедливой для любой геометрии текстуры. При малых расстояниях между поверхностями (/г тт{6, Ь}) величина поправки /* для текстуры полос стремится к предельному значению

2(4-3 ф2) 8 + 902-9$'

что совпадает с аналогичным выражением для диска. Как видно, эта величина зависит только от ф2 доли скользких участков текстуры. Зависимость /* от ф2 для произвольных расстояний между сферой и супергидрофобной страйп-тексту-рой показана на Рис.6(6). Верхняя и нижняя кривые соответствуют асимптотам (8) и (9). Заметим, что при больших расстояниях между поверхностями (И/Ь > 1) существенное уменьшение силы гидродинамического взаимодействия достигается лишь при 02 > 0.9. Результаты третьей главы опубликованы в работах [4, 5].

В четвертой главе диссертации рассматривается электроосмотическое (ЭО) течение, возникающее вблизи анизотропной супергидрофобной поверхности с неоднородным зарядом под действием постоянного электрического поля.(Рис.7) Изучено влияние параметров текстуры на скорость и направление течения жидкости,

Рис. 7. (Слева) Схема электроосмоса на супергидрофобной поверхности. (Справа) Иллюстрация анизотропного электроосмотического течения: 0 = 7г/2 соответствует течению поперек полос, а © = 0 - течению вдоль полос.

исследована возможность возникновения электроконвективных структур вследствие неоднородности межфазной границы. Расчет тензора электроосмотической подвижности (скорости жидкости за пределами двойного электрического слоя, отнесенной к напряженности приложенного поля) производится в рамках линеаризованной теории самосогласованного поля. В качестве модельной системы рассматривается периодическая супергидрофобная страйп-текстура в контакте с раствором симметричного (1:1) электролита. При этом соотношения между периодом текстуры Ь, локальной длиной скольжения Ь и длиной Дебая Ад, в общем случае, произвольны. Скорость жидкости находится из уравнений Стокса с добавочной электростатической силой в правой части. Локальная длина скольжения Ь(х, г) и плотность электрического заряда поверхности г) задаются кусочно-постоянными функциями. Рассматриваются нанотекстуры (Ь < 1 мкм), для которых Ре = иЬ/Б <С 1 при значении коэффициента диффузии ионов = 10~(' см2/с, и, следовательно, влияние концентрационной поляризации незначительно.

В предельных случаях большого и малого радиуса Дебая по сравнению с периодом текстуры удалось установить линейную связь тензора ЭО подвижности и тензора эффективной длины скольжения страйи-текстуры, которая выражается формулами:

М = — (I + кЬеЯ), А0Ъ>Ь. (10)

Г)К

М = Л/1

Ьей- (ч(2)

А (11)

Здесь к — обратный радиус Дебая, д^ и д^ - поверхностная плотность электрического заряда на нескользких и скользких участках соответственно, М\ — д^/(кт]) — величина ЭО подвижпостн жидкости для однородной гладкой плоскости без скольжения. Полученные выражения позволяют заключить, что в :лучае, когда радиус Дсбая много больше периода текстуры, скорость электроос-юса определяется путем усреднения локальных свойств поверхности на масшта->е неоднородности. При этом эффект усиления течения за счет проскальзывания жазывается сравнительно небольшим. Если же радиус Дебая мал по сравнению периодом текстуры, скорость электроосмоса в меньшей степени определяется редним зарядом текстуры, но существенно зависит от его распределения, т.е. от оотношения плотностей заряда на гидрофильных (нескользких) и гидрофобных скользких) участках поверхности. В частности, возможна существенная скорость шектроосмоса для электронейтралыюй (в среднем, (д) = 0) текстуры.

Установлено, что скорость электроосмоса может быть увеличена на порядок юличины (более, чем в 10 раз) за счет СГФ скольжения, если скользкие участки юверхности заряжены, а период текстуры много больше радиуса Дебая (кЬ 1), эис. 8(а). Показано, что в случае незаряженных скользких участков поверхности д(2) = 0) при условии частичного (0 < Ь < оо) скольжения течение не только не 'силивается по сравнению с однородной гладкой поверхностью, но замедляется, фи этом проявляя некоторую (сравнительно слабую) анизотропию.

Как видно из рис. 8(6), параметры СГФ текстуры позволяют варьировать не 'олько величину скорости электроосмоса, но и направление течения. В случае раз-юименных зарядов д^ и д^ небольшого изменения фракции скользких участков (остаточно для того, чтобы изменить направление течения на противоположное.

Как видно из представленных результатов, контроль локальной длины сколь-кения позволяет в широких пределах варьировать скорость и анизотропию элек-■роосмоса вблизи супергидрофобной поверхности.

Рис. 8. Собственные значения тензора электроосмотической подвижности, М^/М\, в зависимости от (а) локальной длины скольжения Ь/Ь (д'2' = д'1); ф2 = 0.45, пЬ = 103) и (б) доли скользких участков на поверхности (Ь/Ь = 0.1, д'2' = — д^1', кЬ = 102). Сплошные кривые соответствуют МК а пунктирные кривые Мх.

Как показали исследования, вблизи неоднородно заряженных поверхностеГ (в том числе, супергидрофобных) возможно появление стационарных конвективных "вихрей", обусловленных столкновением встречных электрокинетических по токов. Их образование в рассматриваемой системе происходит, когда заряды дМ I имеют противоположный знак, если ортогональная полосам компонента полг не равна нулю. Такие электроконвективные структуры весьма чувствительнь к соотношению зарядов на скользких и нескользких участках, но также зависят си-длины скольжения Ь. Из Рис.9 видно, как меняется форма конвективных структур с увеличением Ь/Ь. Одновременно с этим направление течения за пределами двойного электрического слоя изменяется на противоположное.

В диссертации приведен анализ анизотропного электроосмотического тече ния с целью выработать стратегию оптимизации параметров страйп-текстуры длг: получения максимального отношения \и2/11х\. Система характеризуется макси. мальной анизотропией электроосмотической подвижности при кЬ 1. Рис. 10 иллюстрирует зависимость \иг/11х\ от угла в между направлением полос и вектороь: Е(. Отношение \11г/их\ может достигать максимума при определенном направле нии приложенного электрического поля. Величина максимума зависит, главные образом, от распределения заряда (соотношения д'1' и <7®) и отношения локаль-

х/1 х/|_ х/1

Рис. 9. Линии тока для ЭО течения, рассчитанного при = 0.35, кЬ = 100, д'2'/^'1' = —0.5 и 0 = тг/2. Начало координат совпадает с центром скользкой полосы. Локальная длина скольжения (слева направо) Ь/Ь = 0.05, 0.1 и 5.

ной длины скольжения к периоду СГФ текстуры Ъ/Ь. Также установлено, что при определенных соотношениях зарядов скользких и нескользких участков текстуры существуют направления внешнего поля ©*, при которых течение вдоль поля отсутствует, но отлична от нуля поперечная компонента скорости иг.

Найдены оптимальные параметры текстуры, при которых поперечный электроосмотический поток максимален. Из проведенного анализа следует, что предпочтительным является ситуация, когда скользкие участки поверхности заряжены, а радиус Дебая мал по сравнению с периодом текстуры Ь и локальной длиной скольжения Ь. Установлено, что для случая, когда заряды скользких и нескользких участков одного знака (д'2'/?^ > 0), теоретически максимально возможное отклонение скорости электроосмоса от направления приложенного поля составляет тах\иг/их\ = л/2/4.

Отмечено также, что при (д) = 0 (т.е. когда средний заряд текстуры равен нулю) достигаемое значение \иг/их\ может оказаться больше, чем в случае одноименно заряженных скользких и нескользких участков текстуры (рис.10). Таким образом, распределение заряда, оптимальное для генерации поперечного ЭО потока и оптимальное для увеличения скорости ЭО скольжения вдоль поля (в главных направлениях текстуры), в общем случае, не совпадают. Результаты четвертой главы опубликованы в работе [6].

Рис. 10. (Слева) Схема анизотропного ЭО течения в случае, когда двойной электрический слой тонкий по сравнению с периодом текстуры Ь. (Справа) Отношение скоростей поперечного и продольного (по отношению к Е() электроосмотического потока в зависимости от. направления приложенного поля 6 Параметры с.т.райп-текстуры: ф2 = 0.8, Ь/Ь = 1; д(1) = 0 (сплошная), д(2) = (штриховая), (д) = 0 (штрих-пунктирная кривая).

Основные результаты и выводы

В диссертации представлены результаты теоретических исследований и компьютерного моделирования гидродинамических и электроосмотических явлений вблизи анизотропных супергидрофобных поверхностей. Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Эффективная длина скольжения существенно зависит от ширины канала. Выведены аналитические выражения для главных значений тензора эффективной длины скольжения для супергидрофобной страйп-текстуры в состоянии Касси для случая, когда ширина канала велика по сравнению с периодом текстуры. Установлено, что с уменьшением локальной длины скольжения относительно периода текстуры наблюдается переход от анизотропного эффективного скольжения к изотропному. Представленные результаты компьютерного моделирования методом решеточного уравнения Больцмана подтверждают достоверность теоретических выводов.

2. Создана теория гидродинамического взаимодействия с супергидрофобны-

20

л поверхностями, которая может быть использована для анализа данных АСМ кспериментов по измерению эффективного скольжения и других многочислен-:ых приложений.

3. Получены соотношения, выражающие линейную зависимость между тенором электроосмотической подвижности и тензором эффективной длины сколь-жния для анизотропной супергидрофобной страйп-текстуры при условии неиде-льного скольжения на газовых участках. Установлены параметры текстуры, при оторых отклонение скорости электроосмотического течения от направления век-ора напряженности приложенного электрического поля является максимальным.

Список публикаций

Статьи в журналах из списка рекомендованных ВАК:

1. Belyaev А. V., Vinogradova О. I. Effective slip in pressure-driven flow past uper-hydrophobic stripes // J. Fluid Mech. 2010. Vol. 652. Pp. 489-499.

2. Vinogradova О. I., Belyaev A. V. Wetting, roughness and flow boundary onditious // J. Phys.: Condens. Matter. 2011. Vol. 23. Pp. 184104 (1-15).

3. Schmiescliek S., Belyaev A. V., Harting J., Vinogradova О. I. Tcnsorial slip of uperhydrophobic channels // Phys. Rev. E. 2012. Vol. 85. Pp. 016324 (1-11).

4. Belyaev A. V., Vinogradova О. I. Hydrodynamic interaction with super-ydrophobic surfaces // Soft Matter. 2010. Vol. 6. Pp. 4563-4570.

5. Asmolov E. S., Belyaev A. V., Vinogradova О. I. Drag force on a sphere moving owards an anisotropic super-hydrophobic plane // Phys. Rev. E. 2011.

'ol. 84. Pp. 026330 (1-8).

6. Belyaev A. V., Vinogradova О. I. Electro-osmosis on Anisotropic Super hydro-ihobic Surfaces // Phys. Rev. Letters. 2011. Vol. 107. Pp. 098301 (1-4).

Тезисы докладов:

1. Беляев А.В., Виноградова О.И. Об эффективной длине супсргидрофобного

скольжения жидкости // Московская конференция-конкурс молодых ученых, с. пирантов и студентов «Физикохимия-2009» (1 ноября - 4 декабря 2009 г.). Тезис! докладов. Москва, 2009. С. 9.

2. Belyaev, A.V. & Vinogradova, O.I. Effective slip in pressurc-drivcn flow pas super-hydrophobic stripes// DFG Priority Program SPP 1164 Nano- & Microfluidic Concluding Conférence. Norderncy (Germany). February 21-26, 2010.

3. Беляев A.В., Виноградова О.И. Гидродинамическое взаимодействие с нанс и микро текстурированными супергидрофобными поверхностями.// III Междуш родный форум по нанотехнологиям RUSNANOTECH 2010 (1-3 ноября, Москва' Электронные материалы. ISBN 978-5-9902492-1-9

4. Беляев А.В., Виноградова О.И. Гидродинамическое взаимодействие гидре фильного диска и супергидрофобной плоскости. // ФИЗИКОХИМИЯ: V Конф< ренция молодых ученых, аспирантов и студентов ИФХЭ РАН 2010. 1-30 ноября 2010. Сборник тезисов докладов. - М.: ИФХЭ РАН, 2010. - 121с.

5. Беляев А.В. Течения жидкости на супергидрофобных поверхностях.

// XVII Зимняя Школа по механике сплошных сред, Пермь, 28 февраля - 3 март 2011 г. Тезисы докладов. Пермь - Екатеринбург, 2011, с. 46.

6. Беляев А.В. Электроосмос на анизотропных супергидрофобных поверхне стях. // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНС СОВ-2011» [Электронный ресурс] - М.: МАКС Пресс, 2011. ISBN 978-5-317-036347. Беляев А.В. Electrokinetic flows near micro- and nano-textured superhydre

phobie surfaces. IV Международный форум по нанотехнологиям RUSNANOTECI 2011 (26-28 октября, Москва). Электронные материалы. ISBN 978-5-9902492-2-6

8. Беляев А.В., Виноградова О.И. Электрокинетические свойства анизотрог ных супергидрофобных поверхностей.// ФИЗИКОХИМИЯ: VI Конференция мс лодых ученых, аспирантов и студентов ИФХЭ РАН 2011. 1-30 ноября, 2011. Сборник тезисов докладов. - М.: ИФХЭ РАН, 2011. - 113с.

Подписано в печать 20.09.12. Формат 60x90/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 80 экз. Заказ № 1757/2012.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии издательства Пермского национального исследовательского политехнического университета 614990, г.Пермь, Комсомольский пр., 29, к. 113. Тел.: (342)219-80-33

Введение

Глава 1. Обзор литературы.

1.1. Теоретические представления об эффектах вблизи супергидрофобных поверхностей.

1.2. Методы экспериментальных исследований гидрофобного и электрокинетического скольжения жидкости.

1.3. Мезоскопическое компьютерное моделирование эффектов скольжения на супергидрофобных поверхностях.

1.4. Выводы по первой главе

Глава 2. Гидродинамические течения вблизи супергидрофобных поверхностей

2.1. Собственные значения тензора эффективной длины скольжения

2.2. Эффективное скольжение в произвольном направлении

2.3. Генерация поперечного потока жидкости за счет анизотропии скольжения.

2.4. Выводы по второй главе

Глава 3. Гидродинамическое взаимодействие с супергидрофобной поверхностью.

3.1. Сила гидродинамического сопротивления, действующая на диск

3.2. Сила гидродинамического сопротивления. действующая на сферу

3.3. Выводы по третьей главе.

Глава 4. Электроосмос вблизи супергидрофобных поверхностей

4.1. Течение вблизи супергидрофобной плоскости с полосатой текстурой

4.2. Анизотропия электроосмотической подвижности

4.3. Выводы по четвертой главе.

Устойчивая тенденция к уменьшению размеров элементов гетерострук-тур микроэлектроники естественным образом распространилась на решение аналогичных задач микрофлюидики - междисциплинарной науки, описывающей поведение малых (порядка нано- и пиколитра) объёмов жидкостей. Проектирование и разработка интегральных "лабораторий-на-чипе" требует уменьшения характерных размеров каналов, по которым осуществляется транспорт жидкости в таких устройствах, что приводит к возрастающей роли поверхностных и межфазных явлений в подобных системах.

Как правило, поверхность твердого тела не является однородной и идеально гладкой на микро- и нано-масштабе. Неоднородность профиля поверхности и локальных физических свойств, таких как плотность заряда и смачивание, могут оказывать существенное влияние на макроскопические эффекты, наблюдаемые вблизи таких гетерогенных поверхностей в составе многофазной физической системы. Так, в частности, неоднородность распределения электрического заряда на поверхностях коллоидных частиц может существенно изменить величину силы и характер их взаимодействия [1], а эффекты переноса в жидкости могут быть усилены вблизи неоднородно заряженной плоской поверхности за счет электрокинетической конвекции [2]. Другим примером могут служить супергидрофобные (СГФ) покрытия [3], получаемые в результате придания микро-/нано-рельефа гидрофобной твердой поверхности. При контакте такой поверхности с жидкостью (водой) углубления рельефа могут оставаться заполненными газовой фазой (так называемое состояние Касси) вследствие гидрофобности материала. Показано, что на макроскопическом уровне подобный эффект приводит к проявлению сильных водоотталкивающих свойств, "самоочистке" поверхностей [4] и заставляет капли жидкости катиться по наклонной поверхности под действием силы тяжести и при столкновении отскакивать от поверхности (а не растекаться по ней) [5].

Благодаря технологиям, широко применяемым в микроэлектронике, имеется возможность с высокой степенью точности создавать текстуру рельефа поверхности, неоднородное распределение заряда (паттерн, узор), чередование гидрофильных и гидрофобных участков и так далее. Научно-исследовательская работа в этой сфере, главным образом, сосредоточена на двух вопросах: разработке новых материалов и характеристике их смачивания (по данным измерения статических краевых углов, образуемых каплей воды на данной поверхности), создании на их основе приборов и устройств, представляющих собой многофазные физические системы. В таких устройствах, где предполагается движение жидкости, большой интерес представляют динамические свойства поверхностей, в частности, возможность снижения вязкого сопротивления использованием эффекта скольжения на гидрофобных участках и/или на газовых пузырьках, стабилизированных в углублениях рельефа [6, 7]. Подобные материалы являются весьма перспективными для использования в микро-/нано-электромеханических устройствах [8, 9], поскольку новые свойства, обусловленные нанесением текстуры или паттерна, позволяют задавать направление и управлять скоростью потока жидкости.

Транспорт жидкостей в многофазных системах может быть усилен, благодаря различным межфазным транспортным явлениям, в частности, электрокинетическим эффектам. Электроосмотические (ЭО) течения возникают, когда под действием приложенного электрического поля диффузное облако ионов вблизи заряженной поверхности приводит в движение раствор электролита. Данный эффект может быть значительно усилен на гладких гидрофобных поверхностях [10, 11]. Ожидается, что электрокинетические явления вблизи гетерогенных (текстурированных) поверхностей помогут решить проблему перемешивания жидкостей в микроканалах, благодаря созданию на их основе микромиксеров, использующих анизотропию течения [12] или неоднородность поверхностного заряда [13].

Для практического использования этих эффектов важно показать, как поры, дефекты и локальная неоднородность физико-химических свойств на поверхности твердых тел изменяют поведение жидкостей вблизи них. Ожидается, что уже на микро-масштабе геометрические параметры текстуры рельефа, форма паттерна (узора) и распределение электрического заряда будут определяющим образом влиять на эффективные свойства гетерогенных, микро-/нано-текстурированных поверхностей. Рациональный дизайн текстуры, таким образом, оказывается первостепенной задачей.

Диссертационная работа посвящена исследованию влияния условий на границе жидкости и гетерогенной супергидрофобной поверхности на гидродинамические и электрокинетические явления. Такие поверхности характеризуются неоднородностью смачивания, распределения заряда и текстурой рельефа. Ключевыми моментами этих исследований являются поиск оптимальных параметров и рациональный дизайн микро- /нано-текстурирован-ных (рельефных) и паттернированных (гладких, но гетерогенных) поверхностей для наиболее эффективного решения проблемы транспорта и перемешивания жидкостей в микроканалах, а также понимание фундаментальных принципов межфазных транспортных явлений в конденсированных средах.

Для исследования указанных выше физических явлений используется теория, в основе которой лежит метод эффективных величин для описания транспортных явлений вблизи гетерогенных поверхностей, предложенной рядом авторов [8. 14-17]. Концепция тензорного эффективного скольжения позволила глубже понять различные факторы, от которых зависит течение в микроканале, а также найти достаточно простые решения для сложных задач. В рамках данного метода путем усреднения течения на масштабе неоднородности поверхности формулируется эффективное граничное условие, которое имитирует действительное условие на реальной гетерогенной поверхности. Традиционные теоретические методы исследования дополнены современными методами мезоскопического компьютерного моделирования (метод решеточного уравнения Больцмана).

С помощью указанных методов в диссертационной работе усовершенствованы существующие модели гидродинамического и электрокинетического скольжения вблизи анизотропных супергидрофобных поверхностей, расширена общая теория указанных явлений, которая в частных случаях сводится к известным ранее теоретическим представлениям. Результаты исследований даны в виде аналитических выражений, а также графиков, иллюстрирующих численные решения.

Актуальность работы.

В последние годы большое внимание уделяется исследованию и изготовлению гидрофобных материалов с микро-/нано-рельефом поверхности [5]. Такие материалы приобретают ряд уникальных свойств, среди которых повышенное водоотталкивание (супергидрофобность, СГФ) и способность снижать гидродинамическое сопротивление течению жидкостей. Эти свойства оказывают существенное влияние на динамику жидкостей в микроканалах, где вязкая диссипация и межфазные явления играют существенную роль. В частности, в каналах размером меньше 100 мкм затрудняется транспорт жидкости под действием давления и подавляется конвективный механизм перемешивания [8, 9].Стратегия решения указанных проблем состоит в использовании явления гидродинамического скольжения на искусственных микро- / нано - текстурированных гидрофобных поверхностях. Кроме того, транспорт жидкостей может быть усилен, благодаря различным межфазным явлениям, в частности, электрокинетическим эффектам. Математическая формализация этих явлений даст возможность решить задачу рационального (оптимального) дизайна супергидрофобных микроканалов. Исследования, проводимые в диссертации, позволят создать теоретическую основу для решения большого спектра инженерных задач, в том числе проектирования и изготовления устройств "лаборатория-на-чипе".

Актуальность темы исследования подтверждается поддержкой, оказанной работе приоритетной программой фундаментальных исследований ОХНМ РАН «Создание и изучение макромолекул и макромолекулярных структур новых поколений» (проекты "Интеллигентный дизайн супергидрофобных полимерных поверхностей для микро- и нанофлюидики" и "Насосы и миксеры для микрофлюидики на основе электроосмотических течений вблизи полимерных супергидрофобных текстур", руководитель - д.ф.-м.н. О.И. Виноградова), стипендией LG Chem Scholarship 2010, стипендией Правительства Российской Федерации (приказ Министерства образования и науки Российской Федерации от 19 октября 2011 г. № 2483), Премией имени А. Н. Фрумкина (2011 г.), грантом фонда некоммерческих программ "Династия" в рамках программы поддержки аспирантов и молодых ученых без степени (2012 г.).

Цель диссертационной работы состоит в теоретическом изучении гидродинамических и электрокинетических явлений, обусловленных супергидрофобной текстурой. Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

• Математическая формализация эффекта скольжения на анизотропной супергидрофобной поверхности с геометрией периодических полос (бороздок) в канале произвольной ширины при условии неидеального скольжения на газовых участках.

• Оптимизация анизотропного скольжения на супергидрофобной поверхности.

• Математическая формализация гидродинамического взаимодействия при сближении гидрофильной поверхности и супергидрофобной плоскости.

• Математическое описание электроосмотического скольжения раствора электролита вблизи анизотропной супергидрофобной плоскости с произвольной локальной длиной скольжения и неоднородным зарядом поверхности при произвольной толщине экранирующего (дебаевского) слоя.

• Оптимизация параметров супергидрофобной поверхности для усиления поперечного потока жидкости при анизотропном электроосмотическом течении.

Научная новизна

1. Найдены аналитические выражения эффективной длины скольжения для анизотропной супергидрофобной полосатой (страйп) текстуры в состоянии Касси с условием неидеального скольжения на газовых участках в пределе широкого по сравнению с периодом текстуры канала. Доказано, что эффективная длина скольжения существенно зависит от ширины канала в случае, если последняя сопоставима по величине или мала по сравнению с периодом текстуры. Установлены закономерности перехода от анизотропного эффективного скольжения к изотропному.

2. Создана теория гидродинамического взаимодействия гидрофильных поверхностей с супергидрофобными поверхностями, которая, в частности, может быть использована для анализа данных АСМ экспериментов по измерению эффективного скольжения и других многочисленных приложений.

3. Установлены и математически формализованы зависимости электрокинетических коэффициентов переноса и физических параметров анизотропных гетерогенных поверхностей.

Практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, создают теоретическую основу для решения большого спектра инженерных задач, могут быть использованы для рационального дизайна супергидрофобных поверхностей для усиления подвижности и перемешивания жидкостей в устройствах "лаборатория-на-чипе", а также при экспериментальных исследованиях динамики и кинетики жидкости в микроканалах, и позволят управлять электрокинетическими процессами от прямого прокачивания жидкости, до разделения на фракции и перемешивания.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Аналитические выражения эффективной длины скольжения для анизотропной супергидрофобной страйп-текстуры в состоянии Касси и установленные закономерности перехода от анизотропного эффективного скольжения к изотропному.

2. Теория гидродинамического взаимодействия с супергидрофобными поверхностями.

3. Аналитические зависимости электроосмотической подвижности от физических параметров анизотропной супергидрофобной страйп-текстуры.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

- Московская конференция-конкурс молодых ученых, аспирантов и студентов "Физикохимия-2009" (Москва, 2009):

- DFG Priority Program SPP 1164 Nano & Microfluidics Concluding Conference (Norderney, Germany, 2010);

- III International nanotechnology forum RUSNANOTECH 2010 (Moscow,

2010);

- Физикохимия: V Конференция молодых ученых, аспирантов и студентов ИФХЭ им. А.Н. Фрумкина РАН (Москва, 2010);

- XVII Зимняя Школа по механике сплошных сред, ИМСС УрО РАН (Пермь, 2011);

- Конференция молодых ученых «Ломоносов-2011» (Москва, 2011);

- IV International nanotechnology forum RUSNANOTECH 2011 (Moscow, 2011);

- VI конференция молодых ученых ИФХЭ им. А.Н. Фрумкина РАН, "ФИЗИКОХИМИЯ-201Г (Москва, 2011), а также на 35 Фрумкинских чтениях по электрохимии «Электрохимическое наноструктурирование» (Химический факультет МГУ им.М.В.Ломоносова, Москва, 2011) и семинаре лаборатории Механики многофазных сред Института Механики МГУ (Москва, 2010).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 14 печатных работах, из них 6 статей в рецензируемых журналах [17-22] и 8 тезисов докладов.

Личный вклад автора. Постановка задач и результаты исследований обсуждались с научным руководителем диссертационной работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами. Все основные результаты работы получены лично диссертантом и являются определяющими.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы и трех приложений.

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Эффективная длина скольжения существенно зависит от ширины канала. Выведены аналитические выражения для главных значений тензора эффективной длины скольжения для супергидрофобной страйп-текстуры в состоянии Касси для случая, когда ширина канала велика по сравнению с периодом текстуры. Установлено, что с уменьшением локальной длины скольжения относительно периода текстуры наблюдается переход от анизотропного эффективного скольжения к изотропному. Представленные результаты компьютерного моделирования методом решеточного уравнения Больцмана подтверждают достоверность теоретических выводов.

2. Создана теория гидродинамического взаимодействия с супергидрофобными поверхностями, которая может быть использована для анализа данных АСМ экспериментов по измерению эффективного скольжения и других многочисленных приложений.

3. Получены соотношения, выражающие линейную зависимость между тензором электроосмотической подвижности и тензором эффективной длины скольжения для анизотропной супергидрофобной страйп-текстуры в состоянии Касси при условии неидеального скольжения на газовых участках. Установлены параметры текстуры, при которых отклонение скорости электроосмотического течения от направления вектора напряженности приложенного электрического поля является максимальным.

Проведенные в этой работе исследования позволяют оптимизировать параметры супергидрофобной текстуры с точки зрения снижения вязкой адгезии и гидродинамического сопротивления и расширяют существующие представления об электрокинетических явлениях на супергидрофобных поверхностях. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы на стадии проектирования и разработки "лабораторий-на-чипе", а также при экспериментальных исследованиях динамики и кинетики жидкостей в микроканалах.

Благодарности

Автор благодарит научного руководителя д.ф.-м.н. Виноградову О. И. за постановку задачи, за ценные указания и детальное обсуждение результатов работы, сотрудников кафедры физики полимеров и кристаллов физического факультета МГУ и сотрудников лаборатории физико-химии модифицированных поверхностей ИФХЭ РАН за творческую атмосферу.

Заключение

В диссертации представлены результаты теоретических исследований и компьютерного моделирования гидродинамических и электроосмотических явлений вблизи анизотропных супергидрофобных поверхностей с использованием разработанных в последние годы методов, таких как концепция тензорного скольжения, метод эффективных величин и метод решеточного уравнения Больцмана.

1. Miklavic S. J., Chan D. Y. C., White L. R., Healy T. W. Double layer forces between heterogeneous charges surfaces // Journal of Physical Chemistry. 1994. Vol. 98. Pp. 9022-9032.

2. Stroock A. D., Week M., Chiu D. T. et al. Patterning Electro-osmotic Flow with Patterned Surface Charge // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 84. Pp. 3314-3317.

3. Bocquet L., Lauga E. A smooth future? // Nature Materials. 2011. Vol. 10. Pp. 334-337.

4. Blossey R. Self-cleaning surfaces — virtual realities // Nature Materials. 2003. Vol. 2. Pp. 301-306.

5. Quere D. Non-sticking drops // Rep. Prog. Phys. 2005. Vol. 68. Pp. 2495-2532.

6. Bocquet L., Barrat J. L. Flow boundary conditions from nano- to micro-scales // Soft Matter. 2007. Vol. 3. Pp. 685-693.

7. Rothstein J. P. Slip on Superhydrophobic Surfaces // Annu. Rev. Fluid Mech. 2010. Vol. 42. Pp. 89-109.

8. Stone H. A., Stroock A. D., Ajdari A. Engineering Flows in Small Devices // Annual Review of Fluid Mechanics. 2004. Vol. 36. Pp. 381-411.

9. Squires T. M., Quake S. R. Microfluidics: Fluid physics at the nanoliter scale // Reviews of Modern Physics. 2005. Vol. 77. Pp. 977-1026.

10. Joly L., Ybert C., Trizac E. Bocquet L. Hydrodynamics within the electrie double layer on slipping surfaces // Phys. Rev. Lett. 2004. Vol. 93. Pp. 257805 (1-4).

11. Муллер В. M., Сергеева И. П., Соболев В. Д., Чураев Н. В. Учет граничных эффектов в теории электрокинетических явлений // Коллоидный журнал. 1986. Т. 48. С. 718-727.

12. Stroock A. D., Dertinger S. К. W., Ajdari A. et al. Chaotic Mixer for Microchannels // Science. 2002. Vol. 295. Pp. 647-651.

13. Ajdari A. Electroosmosis on inhomogeneously charged surfaces // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 75. Pp. 755-759.

14. Torquato S. Random Heterogeneous Materials: Microstructure and Macroscopic Properties. Springer, 2002.

15. Bazant M. Z., Vinogradova О. I. Tensorial hydrodynamic slip //J. Fluid Mech. 2008. Vol. 613. Pp. 125-134.

16. Kamrin K., Bazant M., Stone H. A. Effective slip boundary conditions for arbitrary periodic surfaces: The surface mobility tensor //J. Fluid Mech. 2010. Vol. 658. Pp. 409-437.

17. Vinogradova О. I., Belyaev A. V. Wetting, roughness and flow boundary conditions // J. Phys.: Condens. Matter. 2011. Vol. 23. Pp. 184104 (1-15).

18. Belyaev A. V., Vinogradova О. I. Effective slip in pressure-driven flow past super-hydrophobic stripes // J. Fluid Mech. 2010. Vol. 652. Pp. 489-499.

19. Belyaev A. V., Vinogradova О. I. Hydrodynamic interaction with super-hydrophobic surfaces // Soft Matter. 2010. Vol. 6. Pp. 4563-4570.

20. Belyaev A. V., Vinogradova 0. I. Electro-osmosis on Anisotropic Superhy-drophobic Surfaces // Phys. Rev. Letters. 2011. Vol. 107. Pp. 098301 (1-4).

21. Asmolov E. S., Belyaev A. V., Vinogradova O. I. Drag force on a sphere moving towards an anisotropic super-hydrophobic plane // Phys. Rev. E. 2011. Vol. 84. Pp. 026330 (1-8).

22. Schmieschek S., Belyaev A. V., Harting J., Vinogradova O. I. Tensorial slip of superhydrophobic channels // Phys. Rev. E. 2012. Vol. 85. Pp. 016324 (1-11).

23. Bocquet L., Charlaix E. Nanofluidics, from bulk to interfaces // Chem. Soc. Rev. 2010. Vol. 39. Pp. 1073-1095.

24. Cottin-Bizonne C., Barentin C., Charlaix E. et al. Dynamics of simple liquids at heterogeneous surfaces: Molecular-dynamic simulations and hydro-dynamic description // Eur. Phys. J. E. 2004. Vol. 15. Pp. 427-438.

25. Slavchov R., Radoev B. Stôckelhuber K. W. Equilibrium profile and rupture of wetting film on heterogeneous substrates // Colloids and Surfaces A: Physicochemical and Engineering Aspects. 2005. Vol. 261. Pp. 135-140.

26. Nosonovsky M., Bhushan B. Roughness-induced superhydrophobicity: away to design non-adhesive surfaces // Journal of Physics: Condensed Matter. 2008. Vol. 20. Pp. 225009 (1-30).

27. Park S. H., Carignano M. A., Nap R. J. Szleifer I. Hydrophobic-induced surface reorganization: molecular dynamics simulations of water nanodroplets on perfiuorocarbon self-assembled monolayers // Soft Matter. 2010. Vol. 6. Pp. 1644-1654.

28. McHale G., Newton M. I., Shirtcliffe N. J. Immersed superhydrophobic surfaces: Gas exchange, slip and drag reduction properties // Soft Matter. 2010. Vol. 6. Pp. 714-719.

29. Richard D., Quere D. Bouncing water drops // Europhys. Lett. 2000. Vol. 50. Pp. 769-775.

30. Tsai P., van der Veen R. C. A., van de Raa M., Lohse D. How Micropatterns and Air Pressure Affect Splashing on Surfaces // Langmuir. 2010. Vol. 26, no. 20. Pp. 16090-16095.

31. Voronov R. S., Papavassiliou D. V., Lee L. L. Review of Fluid Slip over Superhydrophobic Surfaces and Its Dependence on the Contact Angle // Ind. Eng. Chem. Res. 2008. Vol. 47. Pp. 2455-2477.

32. Wang Z., Hansen C., Ge Q. et al. Programmable, Pattern-Memorizing Polymer Surface // Advanced Materials. 2011. Vol. 23. Pp. 3669-3673.

33. Charest J. L., Eliason M. T., Garcia A. J., King W. P. Combined microscale mechanical topography and chemical patterns on polymer cell culture substrates // Biomaterials. 2006. Vol. 27. Pp. 2487-2494.

34. Ybert C., Barentin C., Cottin-Bizonne C. et al. Achieving large slip with superhydrophobic surfaces: Scaling laws for generic geometries // Phys. Fluids. 2007. Vol. 19. Pp. 123601 (1-10).

35. Feuillebois F. Bazant M. Z., Vinogradova O. I. Effective slip over superhydrophobic surfaces in thin channels // Phys. Rev. Lett. 2009. Vol. 102. Pp. 026001 (1-5).

36. Vinogradova O. I., Koynov K., Best A., Feuillebois F. Direct measurementsof hydrophobic slipage using double-focus fluorescence cross-correlation // Phys. Rev. Lett. 2009. Vol. 102. Pp. 118302 (1-4).

37. Vinogradova 0. I., Yakubov G. E. Dynamic Effects on Force Measurements. 2. Lubrication and the Atomic Force Microscope // Langmuir. 2003. Vol. 19. Pp. 1227-1234.

38. Cottin-Bizonne C., Cross B., Steinberger A., Charlaix E. Boundary slip on smooth hydrophobic surfaces: Intrinsic effects and possible artifacts // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 94. Pp. 056102 (1-4).

39. Squires T. M. Electrokinetic flows over inhomogeneously slipping surfaces // Phys. Fluids. 2008. Vol. 20. Pp. 092105 (1-10).

40. Bahga S. S., Vinogradova O. I., Bazant M. Z. Anisotropic electro-osmotic flow over super-hydrophobic surfaces // J. Fluid Mech. 2010. Vol. 644. Pp. 245-255.

41. Feuillebois F., Bazant M. Z., Vinogradova O. I. Transverse flow in thin superhydrophobic channels // Phys. Rev. E. 2010. Pp. 055301 (1-4).

42. Vinogradova O.I. Drainage of a thin liquid film confined between hydrophobic surfaces // Langmuir. 1995. Vol. 11. Pp. 2213-2220.

43. Vinogradova O. I. Slippage of water over hydrophobic surfaces // Int. J. Miner. Proc. 1999. Vol. 56. Pp. 31-60.

44. Lauga E., Brenner M. P., Stone H. A. Handbook of Experimental Fluid Dynamics // Ed. by C. Tropea, A. Yarin, J. F. Foss. NY: Springer, 2007. Pp. 1219-1240.

45. Huang D., Sendner C., Horinek D. et al. Water Slippage versus Contact

46. Angle: A Quasiuniversal Relationship // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 101. Pp. 226101 (1-4).

47. Sendner C., Horinek D., Bocquet L., Netz R. Interfacial Water at Hydrophobic and Hydrophilic Surfaces: Slip, Viscosity, and Diffusion // Langmuir. 2009. Vol. 25. Pp. 10768-10781.

48. Andrienko D., Dunweg B., Vinogradova O. I. Boundary slip as a result of a prewetting transition // J. Chem. Phys. 2003. Vol. 119. Pp. 13106 (1-7).

49. Dammler S. M., Lohse D. Gas Enrichment at Liquid-Wall Interfaces // Phys. Rev. Lett. 2006. Vol. 96. Pp. 206101 (1-4).

50. Kunert C., Harting J., Vinogradova O. I. Random roughness hydrodynamic boundary conditions // Phys. Rev. Lett. 2010. Vol. 105. Pp. 016001 (1-4).

51. Thompson P. A., Troian S. M. A general boundary condition for liquid flow at solid surfaces // Nature. 1997. Vol. 389. Pp. 360-362.

52. Harting J., Kunert C., Herrmann H. Lattice Boltzmann simulations of apparent slip in hydrophobic microchannels // Europhys. Lett. 2006. Vol. 75. Pp. 328-334.

53. Joly L., Ybert C., Bocquet L. Probing the nanohydrodynamics at liquidsolid interfaces using thermal motion // Phys. Rev. Lett. 2006. Vol. 96. Pp. 046101 (1-4).

54. Vinogradova O. I., Yakubov G. E. Surface roughness and hydrodynamic boundary conditions // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 73. Pp. 045302 (1-4).

55. Honig C. D. F., Ducker W. A. No-Slip Hydrodynamic Boundary Condition for Hydrophilic Particles // Phys. Rev. Lett. 2007. Vol. 98. Pp. 028305 (1-4).

56. Bouzigues C. I., Tabeling P., Bocquet L. Nanofluidics in the Debye Layer at Hydrophilic and Hydrophobic Surfaces // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 101. Pp. 114503 (1-4).

57. Maali A., Hurth C., Cohen-Bouhacina T. et al. Improved acoustic excitation of atomic force microscope cantilevers in liquids // Appl. Phys. Lett. 2006. Vol. 88. Pp. 163504 (1-3).

58. Barrat J. L., Bocquet L. Large Slip Effect at a Nonwetting Fluid-Solid Interface // Phys. Rev. Lett. 1999. Vol. 82, no. 23. Pp. 4671-4674.

59. Vinogradova O. I., Bunkin N. F., Churaev N. V. et al. Submicrocavity structure of water between hydrophobic and hydrophilic walls as revealed by optical cavitation // Journal of Colloid and Interface Science. 1995. Vol. 173. Pp. 443-447.

60. Yakubov G. E., Butt H. J., Vinogradova O. I. Interaction Forces between Hydrophobic Surfaces. Attractive Jump as an Indication of Formation of "Stable" Submicrocavities //J. Phys. Chem. B. 2000. Vol. 104. Pp. 3407-3410.

61. Borkent B., Dammler S., Schonherr H. et al. Superstability of Surface Nanobubbles // Phys. Rev. Lett. 2007. Vol. 98. Pp. 204502 (1-4).

62. Ishida N., Inoue T., Miyahara M., Higashitani K. Nano bubbles on a hydrophobic surface in water observed by tapping-mode atomic force microscopy // Langmuir. 2000. Vol. 16. Pp. 6377-6380.

63. Feuillebois F., Bazant M. Z., Vinogradova O. I. Erratum: Effective slip over superhydrophobic surfaces in thin channels // Phys. Rev. Lett. 2010. Vol. 104. P. 159902 (P. 1).

64. Ng C. O., Wang C. Y. Apparent slip arising from Stokes shear flow over a bidimensional patterned surface // Microfluid Nanofluid. 2010. Vol. 8. Pp. 361-371.

65. Mei H., Luo D., Guo P. et al. Multi-level micro-/nanostructures of butterfly wings adapt at low temperature to water repellency // Soft Matter. 2011. Vol. 7. Pp. 10569-10573.

66. Ajdari A. Transverse electrokinetic and microfluidic effects in micropat-terned channels: Lubrication analysis for slab geometries // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 65, no. 1. Pp. 016301 (1-9).

67. Stroock A. D., Dertinger S. K., Whitesides G. M., Ajdari A. Patterning flows using grooved surfaces // Analytical Chemistry. 2002. Vol. 74. Pp. 5306-5312.

68. Ou J., Moss J. M., Rothstein J. P. Enhanced mixing in laminar flows using ultrahydrophobic surfaces // Phys. Rev. E. 2007. Vol. 76. Pp. 016304 (1-10).

69. Philip J. R. Flows satisfying mixed no-slip and no-shear conditions //J. Appl. Math. Phys. 1972. Vol. 23. Pp. 353-372.

70. Lauga E., Stone H. A. Effective slip in pressure-driven Stokes flow //J. Fluid Mech. 2003. Vol. 489. Pp. 55-77.

71. Sbragaglia M., Prosperetti A. A note on the effective slip properties for microchannel flows with ultrahydrophobic surfaces // Phys. Fluids. 2007. Vol. 19. P. 043603(8 pages).

72. Ou J., Perot B., Rothstein J. Laminar drag reduction in microchannels using ultra-hydrophobic surfaces // Phys. Fluids. 2004. Vol. 16. Pp. 4635-4643.

73. Cheng Y. P., Teo C. J., Khoo B. C. MicroChannel flows with superhydropho-bic surfaces: Effects of Reynolds number and pattern width to channel height ratio // Phys. Fluids. 2009. Vol. 21. Pp. 122004 (1-12).

74. Martell M. B., Perot J. B., Rothstein J. P. Direct numerical simulations of turbulent flows over superhydrophobic surfaces //J. Fluid Mech. 2009. Vol. 620. Pp. 31-41.

75. Anderson J. L. Colloid transport by interfacial forces // Annu. Rev. Fluid Mech. 1989. Vol. 21. Pp. 61-99.

76. Ajdari A., Bocquet L. Giant amplification of interfacially driven transport by hydrodynamic Slip: diffusio-osmosis and beyond // Phys. Rev. Lett. 2006. Vol. 96. Pp. 186102 (1-4), doi = 10.1103/PhysRevLett.96.186102.

77. Audry M.-C., Piednoir A., Joseph P., Charlaix E. Amplification of electro-osmotic flows by wall slippage: direct measurements on OTS-surfaces // Faraday Discuss. 2010. Vol. 146. Pp. 113-124.

78. Tandon V., Bhagavatula S. K., Nelson W. C., Kirby B. J. Zeta potential and electroosmotic mobility in microfluidic devices fabricated from hydrophobic polymers: 1. The origins of charge // Electrophoresis. 2008. Vol. 29. Pp. 1092-1101.

79. Vinogradova O. I., Yakubov G. E. Dynamic Effects on Force Measurements. 2. Lubrication and the Atomic Force Microscope // Langmuir. 2003. Vol. 19. Pp. 1227-1234.

80. Ou J., Rothstein J. P. Direct velocity measurements of the flow past drag-reducing ultrahydrophobic surfaces // Physics of Fluids. 2005. Vol. 17. Pp. 103606 (1-9).

81. Joseph P., Cottin-Bizonne C., Benoi J. M. et al. Slippage of water past superhydrophobic carbon nanotube forests in microchannels // Phys. Rev. Lett. 2006. Vol. 97. Pp. 156104 (1-4).

82. Tsai P., Peters A. M., Pirat C. et al. Quantifying effective slip length over micropatterned hydrophobic surfaces // Phys. Fluids. 2009. Vol. 21. Pp. 112002 (1-8).

83. Ajdari A. Generation of transverse fluid currents and forces by an electric field: Electro-osmosis on charge-modulated and undulated surfaces // Physical Review E. 1996. Vol. 53. Pp. 4996-5005.

84. Kirtland J. D., Siegel C. R., Stroock A. D. Interfacial mass transport in steady three-dimensional flows in microchannels // New Journal of Physics. 2009. Vol. 11. Pp. 075028 (1-36).

85. Huang D. M., Cottin-Bizzone C., Ybert C., Bocquet L. Massive amplification of surface-induced transport at superhydrophobic surfaces // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 101. Pp. 064503 (1-4).

86. Zhao H. Electro-osmotic flow over a charged superhydrophobic surface // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 81. Pp. 066314 (1-9).

87. Messinger R. J., Squires T. M. Suppression of Electro-Osmotic Flow by Surface Roughness // Phys. Rev. Lett. 2010. Vol. 105. Pp. 144503 (1-4).

88. Chan D., Horn R. The drainage of thin liquid films between solid surfaces // J. Chem. Phys. 1985. Vol. 83. Pp. 5311-5324.

89. Horn R. G., Vinogradova O. I. Mackay M. E. Phan-Thien N. Hydrodynam-ic Slippage Inferred From Thin Film Drainage Measurements in a Sulutionof Nonadsorbing Polymer //J. Chem. Phys. 2000. Vol. 112, no. 14. Pp. 6424 6433.

90. Tretheway D. C., Meinhart C. D. Apparent fluid slip at hydrophobic microchannel walls // Physics of Fluids. 2002. Vol. 14. Pp. L9 L12.

91. Joseph P., Tabeling P. Direct measurement of the apparent slip length // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 71. Pp. 035303 (1-4).

92. Huang P., Guasto J., Breuer K. Direct measurement of slip velocities using three-dimensional total internal reflection velocimetry //J. Fluid Mech. 2006. Vol. 566. Pp. 447-464.

93. Pit R., Hervet H., Leger L. Direct Experimental Evidence of Slip in Hexade-cane: Solid Interfaces // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 85. Pp. 980-983.

94. Zettner C., Yoda M. Particle velocity field measurements in a near-wall flow using evanescent wave illumination // Experiments in Fluids. 2003. Vol. 34. Pp. 115-121.

95. Li H., Sadr R., Yoda M. Multilayer nano-particle image velocimetry // Experiments in Fluids. 2006. Vol. 41. Pp. 185-194.

96. Lumma D., Best A., Gansen A. et al. Flow profile near a wall measured by double-focus fluorescence cross-correlation // Phys. Rev. E. 2003. Vol. 67. Pp. 0563139 (1-10).

97. Yordanov S., Best A., Butt H. J., Koynov K. Direct studies of liquid flows near solid surfaces by total internal reflection fluorescence crosscorrelation spectroscopy // Optics Express. 2009. Vol. 17. Pp. 21150 (1-9).

98. Koelman J. M. V. A., Hoogerbrugge P. J. Simulating Microscopic Hydrodynamic Phenomena with Dissipative Particle Dynamics // Europhys. Lett. 1992. Vol. 19. Pp. 155-160.

99. Español P., Warren P. Statistical Mechanics of Dissipative Particle Dynamics // Europhys. Lett, 1995. Vol. 30. Pp. 191-196.

100. Smiatek J., Sega M., Holm C. et al. Mesoscopic simulations of the counte-rion-induced electro-osmotic flow: A comparative study //J. Chem. Phys. 2009. Vol. 130, no. 24. Pp. 244702 (1-8).

101. Smiatek J., Schmid F. Polyelectrolyte Electrophoresis in Nanochannels: A Dissipative Particle Dynamics Simulation //J. Phys. Chem. B. 2010. Vol. 114. Pp. 6266-6273.

102. Smiatek J., Allen M., Schmid F. Tunable-slip boundaries for coarse-grained simulations of fluid flow // Eur. Phys. J. E. 2008. Vol. 26. Pp. 115-122.

103. Benzi R., Succi S., Vergassola M. The lattice Boltzmann equation: theory and applications // Physics Reports (Review Section of Physics Letters). 1992. Vol. 222. Pp. 145-197.

104. Dünweg B., Ladd A. J. C. Lattice Boltzmann simulations of soft matter systems // Adv. Polym. Sci. 2009. Vol. 221. Pp. 89-166.

105. Bhatnagar P. L., Gross E. P., Krook M. A Model for Collision Processes in Gases. I. Small Amplitude Processes in Charged and Neutral One-Component Systems // Physical Reviev. 1954. Vol. 94. Pp. 511-525.

106. He X., Luo L. S. Theory of the lattice Boltzmann method: from the Boltzmann equation to the lattice Boltzmann equation. // Physical Reviev E. 1997. Vol. 56. Pp. 6811-6817.

107. Hecht M., Harting J. Implementation of on-site velocity boundary conditions for D3Q19 lattice Boltzmann simulations // Journal of Statistical Mechanics. 2010. Vol. 2010. Pp. P01018 (1-23).

108. Zhu L., Tretheway D., Petzold L., Meinhart C. Simulation of fluid slip at 3D hydrophobic microchannel walls by the lattice Boltzmann method // Journal of Computational Physics. 2005. Vol. 202. Pp. 181-195.

109. Ahmed N. K., Hecht M. A boundary condition with adjustable slip length for Lattice Boltzmann simulations // Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. 2009. Pp. P09017 (1-16).

110. Hyvaluoma J., Kunert C., Harting J. Simulations of slip flow on nanobub-ble-laden surfaces // Journal of Physics: Condensed Matter. 2011. Vol. 23. Pp. 184106 (1-22).

111. Tang G. H., Li X. F., Tao W. Q. Microannular electro-osmotic flow with the axisymmetric lattice Boltzmann method // Journal of Applied Physics. 2010. Vol. 108. Pp. 114903 (1-11).

112. Stroock A. D., McGraw G. J. Investigation of the staggered herringbone mixer with a simple analytical model // Philosophical Transactions of the Royal Society London A. 2004. Vol. 362. Pp. 971-986.

113. Reynolds O. On the Theory of Lubrication and Its Application to Mr. Beauchamp Tower's Experiments, Including an Experimental Determination of the Viscosity of Olive Oil // Philos. Trans. R. Soc. London. 1886. Vol. 177. Pp. 157-234.

114. Wang Y., Bhushan B. Boundary slip and nanobubble study in mi-cro/nanofluidics using atomic force microscopy // Soft Matter. 2010. Vol. 6. Pp. 29-66.

115. Wang Y., Bhushan B., Maali A. Atomic force microscopy measurement of boundary slip on hydrophilic, hydrophobic, and superhydrophobic surfaces // J. Vac. Sci. Technol. A. 2009. Vol. 27. Pp. 754-760.

116. Andrienko D., Patricio P., Vinogradova O. I. Capillary bridging and long-range attractive forces in a mean-field approach //J. Chem Phys. 2004. Vol. 121. Pp. 4414-4423.

117. Vinogradova O. I. Coagulation of Hydrophobic and Hydrophilic Solids under Dynamic Conditions // Journal of Colloid and Interface Science. 1995. Vol. 169. Pp. 306-312.

118. Vinogradova O. I. Hydrodynamic Interaction of Curved Bodies Allowing Slip on Their Surfaces // Langmuir. 1996. Vol. 12. Pp. 5963 5968.

119. Lecoq N., Anthore R., Cichocki B. et al. Drag force on a sphere moving towards a corrugated wall // J. Fluid Mech. 2004. Vol. 513. Pp. 247-264.

120. Khair A. S., Squires T. M. Fundamental aspects of concentration polarization arising from nonuniform electrokinetic transport // Physics of Fluids. 2008. Vol. 20. Pp. 087102 (1-19).

121. Sneddon I. N. // Mixed boundary value problems in potential theory. North-Holland, 1966.

122. А.1. Взаимосвязь симметрии узора поверхности и главных осей тензора эффективной длины скольжения

123. Действие Э и И,^ не приведет в данном случае к принципиально новому результату.

124. Б.1. Вывод аналитических выражений для главныхзначений тензора эффективной длины скольжения в пределе широкого канала

125. Чтобы решить эти уравнения принимаем 18, 120., чтоооо + ^^ ап eos (пХ) = cos(X/2)п= i1. X{t)dtхл/cosX — cos t' где х(^) ~ некоторая неизвестная функция. Тогда1. Б.4)1а0 = 7Г1. Oin7г