Гладкость и эргодичность слабых решений дифференциально-операторного уравнения первого порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Р Г Б .ОД

1 о ШОН

НАЩОНАЛЬН А1АКАДЕМ1Я ИАУК УКРАЙШ ШСТИГУТ МАТЕМАТИКЕ

На правах ругояЕсу

МДРКШ Марат ВепЬмЬюаач

ГЛАДКЮТЬ I ЕРГОДИЧШСТЬ СЛАБКИХ РОЗВ'ЯЗШВ ДИФЕРЕНЩА ЛЬНО- ОПЕРАТОРНОГО Р1ВНЯНЙЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

• 01.01.01 — мат®мат1г»шяа аказгз

Автореферат днеертащТ ва сдобутт* в«шяого ступеая кандидата фЬяхо-математиппях паук

КнТа — 1994

Дисвртац1ею е рукодас Роботу виконаво у ВШ1Л1 даферошцальнгас р!внянь в частинних похЛдних 1нституту математики АН УкраЫи. Неуковий нер1вник: доктор ф1зико-ка"сыа,пгшйх наук .профосор ГОРБАЧУК Н.Л. .

0фЩ12н1 опоненал: доктор ф1зико-матемапггних наук ВАИНЕРЫАН Л.И.

кандидат ф1зико-математичних наук КНПХ БЛ.

Брсв1дна установаг Льв1всьхий державний ув1версптет

Звхвст в!дбудвтьса * ¿У* Т&^С^&бЛ^_ 1994У.

о £б~годик! на зас1данн1 спв1иал1зовано1 рада Д 01€.50.01 при 1нститут1 математики АН Украши за адресов:

252061. Ки1в-4. ГШ, вул. Тереаекк1вська, 3.

3 дисерташес мэхна ознайомитись у б!бл1отец1 1нституту.

Авторефарат роз!слвно 1994р.

Вчени» секретар шец1ал1зо&8но1 раде, доктор ф!зико-ш1тематетш1 наук ^¡Д^ ГЗгСАК Д.В.

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОЕОТИ

АктуалыИсть теми. ОО'ектом досл'чнэнь дано! дасертацШю! робота е дифэренц!8лыю-операторне р1вняния

y'(t) = Ay(t), te Ю,Т) (0<т<+«>), . (»)

да А - пЦльяо визначений л!н1йний замкдагай оператор у банахо-вому простор1 зе.

Почикаючи з 4о-х рок1в хх стол!т?я, питаниям постановки ризних задач для р!вняння (») з необмэженим оператором А, 8 такой досл!дхенню структури i П0В9Д1НКИ IX розв'язк1в присвячено Сагато роб1т, огляд!в 1 фундаментальнее монограф1й.

Сл!д зазначити, цо досл1джепня пора ваяю в!дкосяться до того випадку, кода А в генератором Швгрупи л1иШшх оОможонвд оператор!в у простор1 X з певшши властивостяш (TeopJ п!в-груп). Самэ в цьому випадку задача Кош! для р1внятая (*) поставлена у певному сенс i корвктно. Стосовно !вшх проблем для р1вняння (*) (гладають розв'язк!в, поведйжа розв'язк!в но не-ск!нченност! та 1н.) вимога того, щоб А був генератором п1вгру-пк, в ву.8 не насПлыш Ютотною.

У дан1й дасертац1йя!й робот! досл!дауються пита!шя глад-tíocTl та ергодичност1 слабких розв*язк1в р!вняння (♦) oes uiel вимоги.

Так1 штання часто виникають у р!зних задачах математично! ф1знкя. Тому тема дисертацИ в актуальною. Мета робота. Звайти необх!дн1 i достатн1 умови на оператор А, при яких вс! слабк1 розв'язки р1вняння («) мають певну задапу гладк!сть (даференц!йовн1сть# неск!нченна диферв1Щ!йовн!сть, анал!тичн!сть тощо), а такояс знайти умови, при якпх обмекен! слабк1 розв'язки р1вняшя (*) допускать певну стабШзвцт на неск!нченност1.

Метода дослщэнь. У робот! використовуються метода спектрально! теорн оператор1в, Teopii п!вгрул 1 твори функц1й. Наукова новизна. Bel ochobhI результата дисвртаЩйно! робота 8 новими.

- У випадку, коли у р!внянн! (») А - нормальний оператор у г!льбэртоЕому простор1 5, дано описания вс1х слабких розв'язк1в •р!внянкя (*) на [0,5) (осчч+от), а такох встановлено необИдн! i

достатн1 умови на спектр к, при яких bcí слабк! розв'язки piB-няння (») на [0,+<») е

a) диферешЦйовними, неск1нченно диференцХйовнши;

b) у ль традаференц Шовюшн вектор-функц!ями клас!в Жеврв;

о) аналхтичяими, Щлиыи вектор-функц1яш та 1х п1дкласами на [о,-но) або на (0,+»). - Одержано достаиИ умови Юнування узагальнено1 границ1 у сен-ci Чезаро на нескшченност! обмехених слабких розв'язк1в р1в-няння (*) на [0,+®).

АпроОац1я роботи. Результата дисертацШю! робота допов1дались i обговорювались на ceMiaapi в1дц!лу р1внянь в частинних похХд-них 1нстатуту математики АН Укра1ни, на Всеукра1нськ1й конфе-pemiil "Сучасн! ф1зико-математичн1 досл1даення молода науков-ц1в вуз1в /kpaíhh" (m.Khíb, 30 березня - 1 кв1тня 1994 р.) i на Вс9укра1нськ1й конференцН "Нов! п1дходи до розв'язання дифе-рвНЦ18ЛЬНИХ р!ВНЯНЬ" (м.Дрогобич, 25-27 С1ЧНЯ 1994 р.). Лублшцц. Ос1юбя1 результата дисертацП опубл1кован! в чоти-рьох роботах, список яких наведений наприк1нд1 автореферату. Структура дисертацн. Дисертац1я викладена на 147 отор1нках i 1 складаеться ai вступу, двох розд1л1в, списку деяких стандарт-них поэначень та списку л!тератури, що мютить 69 наймевувань.

2. 3MICT РОБОТИ

У вступ! сфорыульовано тему дисертацШю! робота, дано ог-ляд огаювних результата, що вшосяться на захист.

Темою дослщень у розд!л1 г в питания акштвяя гладкос-т1 слабких розв'язк1в рлвнявня

y'<t) « Ay(t> {»)

з нормальним оператором А в комплексному г1льбертовому просто-

pi <№(•.• ).Н>- .....

Мета - знайтя умови на оператор А, при яких bcí слабк1 розв'язки р1вняння («) на [о,-к») ыають певний ступ1нь гладкое-tí: сильно даф8ренЩйовн1 на 10,-н») або на (0,+«), допускать енал1тичн1 продовження, тодо.

П1д слабким розв'язкои р1вняння (*) al пЦльно визначензм л1п1£шш замкненим оператором А в банаховом? простор! (£,{■ ()

на npoMiKty [о.г) (о<т<+®) розумють вактор-функцШ

у: [О.Т) — X,

сильно непэрервну на [о.т), таку. що для дов1льного g е D(A ) , (А* - оператор, спряжений з А, дИачиЯ у спряжвному npocTopi X ) числова функц1я <у(.),g*> (<<»•> - дуальн1сть простор1в X 1 X*) недарервно дифэренц^овнв на (од) i

& <y(t),«*> = <у (t),A*g*>, t e [o.T). Слабк1 розв'язки р1вняння («) на niBoci (0,+®) умовимось Називати глобалышми.

П1д слабкою задачею Кош1 для р1вняння (*) на [0,Т) (0<Т< <+») розум1ють задачу на вЩшукання слабкого розв'язку у(-) р!в!шшя (*) на Ю,5), що задовольняв початкову умову

у(о) = г е эе.

На протяз1 всього описания результата разделу I, хажучи про р1вняння («), якщо не зазначено 1накше, будемо ввакати А нормалышм оператором.

Встановлено описания bcíx слаОких розв'язк1в р!вняння (*) на (О,Г) (о<Т5+<°).

Теорема 1.5.1. Нехай А - норлальний опоратор у комшгаксноиу Пльбертовому npocTopi

Вектор-фуннц1я у: (о.г) -» & (о<т<-ко) е слаСким розв'лз-ком р1внштя (*) на [0,Т) тод1 1 лиие тод1, коли

У(0) б л D(eAt> i y(t) eAty(0), t 6 fO.T).

o<i<* ..

Оиараториа экспонента в (t>o) визначавться y cshcí спектрального оторацШого числення для нормалышх опоратор1в.

3 теореми 1.5.1 випливав, що мноюшоп початкових значепъ bou славких розв'язк1в р!вняння («) на Ю,т) (остз+ю). 8

0<1<*

зокрема, шюкгаюю початковш значонь bcíx глобалытх сладких розв'язк1в р1вняння (*) s мнонта

nD(eAt),

i >о

1 для дов1льного I 6 n D(eAt) слаСка задача Кои! для р1вняиня (») на [о,т) мае единий розв'язок

jr(t) * eAtf, t « lo.t).

А

Для р1внявдя (») у вкладку, коли А генерув со- п1вгрупу оператор1в у банаховому npocTopi к, питания про описания во1х слабких розв'язк!в 1 розв'язнХсть сла0ко1 задач! Кош1 було дослЛджэно Болом (Ball J .11. ).

Яка» нормалышй оператор А генерув со-п1вгрупу, то D(eAt)« и 6 (t>0), i результат теореми 1.5.1 зб!габться з результатом Бола.

При досл1дженн! пнтань сильноi гладкост1 слабких розв'яэ-к1в р1вняння (») важливу роль в1д!грае така лема. Лена 1.7.1. Нехай А - нормальний оператор у комплексному г!ль-бертовому npocTopi fi.

Якщо кожний глобальний сладкий розв'язок р1вняння (•) сильно даферетцйовний в точц1 t»o, то для дов1льного и с я множина

о(А) о « с| Rez < u)j

обмежева.

Першим вахливим результатом стосовно гладкост1 глобалышх слабких розв'язкХв р1вняння (♦) в наступив теорема. Теорема 1.7.1. НехаЯ Л - нормальний оператор у комплексному г1льОертовому простор! ft.

Кожний глобальний слабкий розв'язок р1выяння (*) е веск1н-чешга сильно диференщговнвм на [о,-на) тод! i т1льки тод1, коли 1снуе ь>0 токе, що спектр оператора i, за винятком, можливо, floro обмехено! частили, м1сються в множин1

s= {z е «I Rez>Oi |Imz| s ebResj.

Виявляеться, що визначальну роль у диференц1алышх властн-востях глобальиих слабких розв'язк1в р1вняння (*) грае точка t=o, а соме, мае м1сце таке твердкення.

Твердкення I.7.1. Нехай А - нормальний оператор у комплексному Пльбертовому простор i fi.

Сильна диференц1вовн1сть вс!х глобальних слабких розв'яз-к!в р!ваяння (») в точц1 t=o тягне за собою 1х неск!нченну сильну дафвренц1йавн1оть на (0,-ко).

Далi проводиться анал!з сильно! дш1еренц1йовяост! глобаль-них слабких розв'язк1в на в!дкрит!й п!вос! (О,-к»). Теорема 1.7.2. Нехай А - нормальний оператор у комплексному

г1льбертовому простор!

Коишй глобалышй олабкий розв'язок р!вняння (*) в нвскш-чвнно сильно диференц1йовним на '0,+®) тод1 1 лише тод1, коли для будь-якого ь_>о ! деякого ъ+>о спектр оператора А, за винятком, мохливо, його обмежено! частили мЮтиться в кшохин!

,Ь+ |={геС1 |1пв| 5

ь (-Ивг) 8 , Нег<0 Ь-Иег е , Иег>0

Якщо нормалышй оператор А гэнерув оо- п!вгрупу, то результат теореми 1.7.2 зб!гавться з тим, що. встановив Паз1 (Рагу А.) для генератор!в сильно диферешцйовних оо- п1вгруп (о°°-п!вгруп) у банановому простор!.

Виявляеться, що для нормального оператора А так само, як 1 для генератора сильно диференц!йовно1 со- п!вгрупи, дифгчвнц1-альн! властивост1 глобальних слабких розв'язк!в р!вншшя (*) на (0,+«) полИшуються скачково, а сама, мае м!сце таке твэрдгаи-ня.

Твердження 1.7.2. Нехай А - нормальний оператор у комплексному г!льбертовому простор! 8-

Сильна доференц!йовн!сть вс1х глобальних слабких розв'яз-к!в р1вня1шя («) на (0,+<о) (один раз) тягне за собою 1х не-ск!нченну сильну диференц!йовн!сть на (0,+®).

Перш н1й перейти до описания досл1дкевдя питань ультрада-ференц1йовност1 глобальних слабких розв'язк1в р1вняння (*), нагадаемо, що клвсом ультрадиференц1йов1шх вектор-функЩй Хев-ре порядку р (0<р<+м) типу Рун'в ! в1дооа!дно типу Бьорл!нга На пром!кку л [д9 л - це будь-який з лром1жк!в (о,г), (о,т) (0<т<+«)] називаоться п!дклас множили во1х нэск!нченно сильно диференц!йовних вектор-фуинц!й

«(р)<*Л> !в {«<•> е С^.г |для суль-якого сегмента 1в,ъ) с о

для деякого а=а([а,Ы)>0 !снув таке с=о((а,Ы,а)>о, що

вир |8т'| 5 Са^, п е а<иь +>

в!дпов!дно,

®(Р)(«Г.&) б С°°(Л,6)|для будь-якого сегмента 1а,Ъ} с

для довольного а>о 1снув таке с=с((а,Ь1,а)>о, що

lew| S coftjP11. л в гЛ (якщо р=о, пРп»1). aSt<b *>

Зазначимо, що, коли p=i, клее ©{ß)(J,S) скла-

давться з yeix анал1тичних на J (ц1лих) вектор-функц1й.

Встановлено так1 теорема. Теорема 1.8.1. Нехай А - нормальний оператор у комплексному ПлъОвртовсму простор1 б.

Кожний глобальиий слабкий розв'язок р!вняння («) налепить до класу ®{р}(Ю,+«>),Ь)(®ф)(1о,-н»),6)) з fei тод! i лише тод1, коли icsys таце ъ>0, що спектр оператора А, за винятком, мож-ливо, його обмежано! частили, метиться в мнохин!

Рь != е Rez>0, |Iraz|<b(Rez)ßJ.

Зокрвма, для ß=i ця теорема дае необх1дн1 1 достатв1. умови того, цоб вс1 глобальн! слабк! розв'язки р1вняння (*) були ана-л1тичними (ц1лими) вектор-фунюЦями.

Теорема 1.8.г. Нехай А - нормальний оператор у комплексному гШбертовому npocropi fi.

Кожний глобальний слабкий розв'язок р!вняння (») наложить до класу ®{р)((о,+»),&) а р>1 (в^ио,+©),&) з ß>D тод1 i лише тод1, коли для деякого ь_>0 (для будь-якого b_>0) 1 деякого ъ+>о спектр оператора А, за винятком, можливо, його обмежено1 честили, мЮтиться в МН0ЖИН1

г |Ь (-Rez)ß, Rez<0, ч

* !' {ie ildzt < ~ д V.

Ь-'Ъ+ 1 b+(Rez)P, Rez>0 /

Зокрвма, для р=1 ця теорема дав шобх1дн1 1 достотн1 умови алал1тич}юст1 bcix глобалытах слабких розв'язк1в на (О,-к»),

Якщо нормальний оператор А генеруе со- пЛвгрупу,результат теорема х.в^г для класу ищу Руы'е (о,+»),&)), коли р»ь

зб1гавться з результатами Х1ллв-Ф1лл1пса та 1ос1да вЩносно генератор1в анал1тичних п1вгруп, коли р>1, - з вщгавщими результатами Крендала (Crandall и.о.) - Паз1 та Уш1да1ш (UsM-

Jiroa Т.).

Дал1 анал1зуються властивост! глооальних слабких розв'яз-к1в, ката вс! вони е анелШгчнкми на {о,-но) eöo на (О,-к») век-

г

тор-функц1ями.

Виявляегься, що визначальну роль в анал1тичних властаЕос- ' тях глобалымх слабкях розв'язк!в знову ж тага грэе точка г=о, а сама,' мае м1сце таке твердження.

Твердхення 1.9.1. Нехай А - нормальней оператор у комплексному Пльбертовому простор1 &.

Якщо во! гдоб8ЛЬН1 слабк! розв'язки р!вн*5ння (») допускать анвл1тичн1 продовхення в ок1л нуля (кохнгй розв'язок - у св1й ок1л), то вс1 вони с ц1лими вектор-функц1ями.'

Встановлено справедлив1сть такой наступного тверскання. Твердження 1.9.2. Нахай А - нормальний оператор у комплексному Г1льбертовому простор1 5.

Якщо вс! глобальн1 слабк1 розв'язки р1вняння (») допускать 8нал1тачн1 продовкзння в ок1л в1дкрито! п!вос1 (О,-ню) (кожний розв'язок - у св1й ок1л), то 1снуе такий кут е с (о,|], цо вс! вони аналлгачно продовхуютъся у викритай сектор

(вважаеться, що значения arg г беруться з гтром1хку (-*,*]).

3 теорем 1.8.1, 1.8.2 (ß=i) 1 твердаення Х.9.2 вшливаа такий насл!док.

НасЛ1док 9.1. Нехэй А - самоспряяений оператор </=А*) у комплексному пльбертовому npocropi 3.

Тод! кохний глобальная слабима розв'язок р!вняиня (») ана-лХтично продовяуеться у в!дкриту праву п1вплощину

Якщо до того к оператор А нап1вобмеж9Нип знизу (А>71 з де-яким т € то конний глобальниЯ слабккй розз'язок р1вияння (*) е ц1лои векторн5ункц1ев.

3 теореми 8.1 (випадок р=1) взшливае, до нормальний оператор Д не повинен бути оСмвхеним, нав1ть коли вс! глобальн! слабк! розв'язки р1вняння (») в Ц1лиш вектор-функц!ями (на вишяу в!д генорагора о0- пЛвгрупи). Алэ вяявляеться; якщо при цьому накласти цевн1 обмеження на 1х зростання на нвск1нченнос-Т1, це призведэ до обмэхеност1 оператора А. Саке, доведено наступив твердивши.

Теорема 1.9.1. Нехай А - нормальний оператор у комплексному.

в

rUlböOprOBOMy простор! 8.

Яедо когнкй глобальний слабкий розв'язок у(>) р!вняння (*) е ц1лою вектор-фупкц!е», такою, що

|y(z)¡¡ - 0(UIP). I*! +». з деяким р=р(у(-)) > о, то оператор А обмекений.

У розд!л! II досл!дауеться ергодична поведШка на неск1н- , ченност! обмехених слабких розв'язк1в р!вняння (») з щ!льно вкзначеним л1н!йним оператором А в комплексному банаховому простор! ¡2.|•|). Мета - встановити умови, як! б формулювалися т!лыод у терм!нах простору X та оператора A i буди б достатн!ми для Юнування границ! чезар!всысих середн!х конного обмежэного слабкого розв'язку у(-) р!вняння <*) (вир |y(t)J < -к»)

t feo

ilni 1Гу(а)(И. t—+« lJ

о

Шоу (shan s.-y.) встаношш, ко для генератора А р1вном!рно обмезшко! Сс- п!вгрупм {eAt| t>o| £ вир leAt|ß(g)< дов!лька орб!та

eAtí. t>0. Í с г.

тобто дов1лышй глобальний слабкий розв'язок р1вняная (») (див.

стосошо результату Бола) мае ергодичну границ»

t

lim ÍÍeATfda o

тод1 i лине тод!, коли мае нюце розклад простору X у пряну суму п!дпрйстор!в

X = КегА + шт. (1)

При цьому:

t

lim ife^fdt = Pf,

t-ч-ко lJ

о

де p - проектор на п!дпрост!р КегА паралельно п1дпростору КЩ.

До того х, якцо npocrip X рефлексивней, розклад (1) вико-нуеться автоматично.

Наша постановке задач! б1льш загальна: зокрема, не вимага-вться, щоб А гвнерував с0- швгрупу.

Встановлено наступи! результата. Теорема П.2П. Якдо прост!р 2 сн!нченноы!рний, то для кожного обмеженого глобального слабкого розв'язку у(-) р1внякня {•) ic-нуе ергодична границя

ilís iíycoaa » ?(о)у(о), —»+«о J

t—»+«0

о

де р(о) - спектрвльний проектор fc.Picca числа о.

Яодо до того ж о(А) п ÍK s (0) (ír - уявна в1сь). то icnye звичайна грвшщя

lin y(t) » ?(0)у(0). t—»+»

Теорема н.э. и

1. Якцо !снуз i обмехений обернекий оператор А"*, то для козкяо-го обмеженого глобального слабкого розз'язку у(-) р!вняння (») 1снуе ергодична границя

lira iíy(l)dT = 0.

-»+» 'J

t—»+»

о

г. Яйцо мае м!сце розклад простору X у пряму суму двох п1дпро-стор1в

3f = KerA 4- R(A), (2)

то для кохноГч обмеканого глобального слабкого розв'язку у(-)

р1вшшня («) !снуз ергодична границя

t

lira tÍ; t—♦+«

уСОйт = Py(0),

дэ Р - проектор на п1дпрост!р КегА паралвльно п!дпростору и (А).

Твердаення 2 теорэми и.3.1 для вшадку ск!нченном!рного. простору X не повинно суперечити теорем1 п.2.1. Так i е, бо розклад (2) обумовлш зб!жн!сть спектрального проектора нуля Р(о) i проектора р на КегА паралвльно R(A).

Спираючись на характеристик властив!сть рефлексивних npocropiB, яка полягае в тому, що обмехена мнохина рефлексивно-, го банаховою простору в в!даосно слабо компактной, доведано яаступну теорему.

Теорема п.4.1. Нехай простip 2 'рефлексившй.

1. Якцо i сну б оберниний оператор А"1, то для кокного слабкого розв'язку у(•) р1вняння (*) irays слабка ергодична границя

я - lim т|у(а)й1 = 0.

t—»+03 J о

2. Якцо иае м1сце розклад (1) простору 2, то для кокного обмб-женого глобального розв'язку у(-) рХвнякня (») 1снуе слабка ергодична гранздя ^

VI - lim ify(t)dX = Py(0),

-t-.+co \1

о

де ? - проектор на nisnpocTip КегА паралельно Шдпростору R(A).

Якцо прост!? S - рефлаксивний 1 А - генератор pÍBHOMipHO оОмах'оно' со- пХвгрупи, vo згЩно Шоу мокна ствердкувати, що зб1жн1сть чезар1вських сэреда!_х буде сильн. J.

Влявляеться, що зб1кн1сть Ч8зар1вських середн1х пол1п-вуеться, такой стае сильною, коли upocTip S Пльбертовий i оператор А нормальней. А сама, мае м!сце таке твврдаення. Теорема II.5.1. Ys тай просПр S ИльОертовий, 1 оператор А нормальней.

Тод1 для кожного обмэтаного глобального слабкого роав'язку у(-) р!вняння (*) 1сну8 (сильна) ергодична границя

lin ify(t)dT = Ру(О), W+œ 41

о

да Р - ортопроектор на ШдпросПр КегА.

Якцо до того а с (А) п tR £ (о), то 1снуе звичайна границя

lia y(t) « Ру(О). t—»4«

Безпосередньо э qieí теореми вишивав такий насл1док. Насл1док п.5.1. Нехай прост ip X - нльбертовий, А - самоспря-жаний опэратор (а=а*).

Тод1 для кокного обмехеного глобального слабкого розв'язку у(•) piBHKHHH (») 1снуе границя

lim y(t) а Ру(0),

%—*НХ>

де р - ортопроектор на п1дпрост1р КегА.

t1

Цэ в узагальненням комплексного вар1анту еналоПчпого результату Гаро (Натай*), який було встановлено ним для А»А*<0.

Автор висловлие щиру подяку своему пауковому кер1вников! професору М.Л. Горбачуку,

OchobiiI полокення дисертацИ опубЛ1кован1 в наступних роботах:

1. Горбачук Ы.Л., Марк1и U.B.

Про гладкЮть слабких розв'язк1в дафарепЩельно-операторного р1вняшя первого порядку в гШбертовоыу простор! // Доп. АН УкраЛш. Сер. А. - 1994.-Н4,

2. Мирослав Горбачук, Нарат Марк1л

Гладкють слабких розв'язкт дифэретиально-операторних pi»-нянь // Тези допов1дей Всэукра1псько1 науково! конференцИ "Нов1 п1дходи до розв'язання дифоренШальних р1внянь" (Укра1на, Дрогобич, 25-27 с1ч, 1994р.). - Кн1в: 1п-т математики АН УкраНш, 1994. - 0.41-

3. Маркин н.В. О поведении на бесконечности ограниченных решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве // Граничные задачи для дифреренциально-шараторных уравнений.-Киев: Ин-т математики АН Украины, 1991. - С.56-63.

4. Марк1н М.В. Ергодачп1сть слабких розв*язк1в даферевдшьно-оаераторного ршшшя первого порядку. - Шйв. 1994. - 43о.-(Препр 'Alt У1фа1пи. 1н-т математики« 94.10).