Гомоморфизмы АН-плоскостей и изотопии тернаров тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Институт математики и механики Уральского отделения РАН

На правах рукописи

ооздьыэ^о

ШАТОХИН Николай Леонидович

Гомоморфизмы /Ш-плоскостей и изотопии тернаров

(01.01.04 - геометрия и топология)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 />янз:::з

Екатеринбург - 2009

003458958

Работа выполнена на кафедрах алгебры и геометрии государственных образовательных учреждений высшего профессионального образованна «Смоленский государственный университет» и «Северо-Осетинскпй государственный университет»

Научный руководитель:

доктор физ.-мат. наук, профессор кафедры-алгебры и геометрии СОГУ ХУБЕЖТЫ Исидор Антонович

Официальные оппоненты:

академик РАО, доктор физ.-мат. наук НИКИТИН Александр Александрович кандидат физ.-мат. наук, доцент ЕЛИСЕЕВ Евгений Михайлович

Ведущая организация:

Кабардино-Балкарский государственный университет

Защита состоится /РГ ОН- 2009 г. в 15 ч. 30 м. на заседании диссертационного совета Д 004.006.03 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Институте математики и механики Уральского отделения РАН по адресу. 620219, Екатеринбург, ул. Софьи Ковалевской, д. 16.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан / /. / £ 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физ.-мат. наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена разработке теории аффинных ельмслевовых плоскостей (/¡Я-плоскостей), представляющих собой один из важных классов инцидентностных структур.

/{//-плоскости были введены благодаря статьям Ельмслева u по геометрии реальности. В этих статьях указывается на возможность построения содержательной геометрической теории плоскостей, в которых не выполняется требование единственности прямой, соединяющей две точки. С середины XX века такие плоскости подверглись интенсивному изучению3. Однако вплоть до настоящего времени, в этой области существует широкий круг нерешенных проблем, представляющих научный интерес.

Под аффинной ельмслевовой плоскостью * понимают инцидентност-ную структуру 'И с параллельностью (II) и смежностью 3 (~), удовлетворяющую следующим аксиомам:

AHI. Для любых двух точекр и q существует прямая L такая, чтоp,q\ L.

АН2. Для любой точки р и любой прямой М существует единственная прямая L такая, что р IL и LIIМ.

АНЗ. Если рфд, то p~q тогда и только тогда, когда существуют две различные прямые ¿ и А/такие, что p,q\L, М. Если plL, М, то L~Mтогда и только тогда, когда существует такая точкаq, чтоptq nqlL,M.

АН4. Существует отображение х структуры 'Н на аффинную плоскость <7f, такое, что

I- =*(<?) <=> Р~Ч\

2. x(L)=x(W <=> L~M\

3. ¿ПМ=0 => x(L) ¡l/(,V).

(Здесь £ ПА/ обозначает множество точек, инцидентных как прямой L, так и прямой Л-/).

С момента появления аффинных ельмслевовых плоскостей была поставлена задача их алгебраического описания с помощью тернарных колец (тернаров), подобных тернарным кольцам Холла6.

Первоначально эту задачу удаюсь решить лишь для некоторых частных

1 Hjelmslev J Die natürliche Geometrie // Abh Math. Sem Univ Hamburg., 1923,2, - S. 1-36.

2 Hjelmslev J. Einleitung in die allgemeine Kongruenzlehre // Danske Ved. Selsk., mat.-fys. Medd, 1929, 8 11; 1929, 10.1; 1942, 19:12; 1945, 22 6, 13; 1949,25:10.

3 Хубсжты И.А., Емельченков Е.П. Проективные плоскости и их обобщения // Сев -Осет. гос. ун-т, Владикавказ (Дзауджикау): Изд-во СО ГУ, 2003. 345 с.

4 Lüneburg Н. Affine Hjelmslev-Ebenen mit transitiver Translationsgruppe. // Math. Z, 1962, 79. - S. 260-288.

'.Аргунов Б И, Емельченков Е.П. Инцвдентностные структуры и тернарные алгебры // Успехи математических наук, т. 37, вып. 2/224, 1982,- С. 3-37

видов /1#-плоскостей 7- *•9. При этом было высказано предположение ' о том, что ее решение для произвольной ЛЯ-плоскости невозможно. Однако в 1967 году В.К. Цыгановой удалось доказать, что произвольную АН-плоскость можно координатизировать тернарным кольцом, сходным с тернарным кольцом Холла, и, что для этой цели необходимо дополнительно ввести частичную тернарную операцию. Построенная в этой статье алгебраическая система была названа //-тернаром (в дальнейшем Л//-тернар).

В данной диссертации предлагается описание Л//-тернаров с помощью введенных автором обобщенных тернарных колец Холла ((7#7"Л, [5, 6, 7, 9, 10]) и обобщенных частичных тернарных колец {СНТИа, [3]). Примером вНТН является тернарное кольцо, построенное над кольцом классов вычетов по модулю р", где р - простое число, а п - натуральное число, большее единицы. Тернарная операция определяется условием 1(а, Ь,с) = а- Ь + с. При этом если в качестве частичной тернарной операции и рассмотреть сужение тернарной операции I на множество ^^хЗЗх^у,, где О - множество делителей нуля кольца вместе с его нулем, то получится частичное тернарное кольцо СЯ77г„.

Структуризация /Ш-тернаров, предложенная в данной диссертации, указывает на глубокую аналогию с классическими тернарными кольцами Холла, позволяет проводить изучение свойств /Ш-плоскостей "по частям" и дает возможность значительно упростить разработку теории как самих АН-тернаров, так и тесно связанных с ними ^//-плоскостей. Из материала, приведенного в диссертации, следует, что тернарные кольца СНТИ, входящие в состав /¡//-тернаров, представляют собой их основную часть, так как их изучение позволяет получать важные геометрические свойства /¡//-плоскостей.

При исследовании геометрических свойств АН-плоскостей большое внимание уделялось изучению отображений, сохраняющих отношения инцидентности и параллельности. Такие отображения принято называть /1/7-морфизмами.

Сами /(//-морфизмы привлекали внимание целого ряда исследователей. Однако при этом либо изучались некоторые частные классы таких плоскостей ", либо на /Ш-морфизмы накладывались различные дополнительные условия такие, как регулярность12 или сохранение смежности точек|3.

В диссертации изучение /Ш-морфизмов проведено координатным методом с помощью /Ш-тернаров. Этот подход позволил получить ряд новых результатов, описывающих условия невырожденности, сюръективности, сохра-

6 Холл М. Теория групп II Ы: ИЛ, 1962.

7 Klingenberg W. Projektive und affine Ebenen mit Nachbarelemeten // Math. Z, 1954, Vol. 160,-S. 384-406

1 Klingenberg W. Desarguesshe Ebenen mit Nachbarelementen // Abb. Math. Sem. Univ. Mamburg, 1955,20,-S. 97-111.

9 Drake D.A. Coordinatization of H-pIanes by H-moduIes. // Math. Z„ 115, 1970,- S 79-103.

10 Цыганова B.K.. Н-тернар ельмслевовой аффинной плоскости. // Ум. зап Смоленского

пед. института, XVIII, 1967,- С. 44-69

кения смежности и усиливающих ранее известные результаты.

После издания монографии М. Холла6 была поставлена задача описания алгебраических связей, возникающих между тернарами, координатизи-рующими изоморфные однозначные плоскости |4, |7, Затем, с появлением Л//-тернаров, подобная проблема стала актуальной и в классе ельмсле-вовых плоскостей5.

В данной диссертации указанная выше задача решена в классе АН-плоскостей. Ее решение зависит от различных возможных случаев взаимного расположения реперов изоморфных /Ш-плоскостей и по этой причине рассматриваемые здесь изоморфизмы называются реперными изоморфизмами.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются аффинные ельмслевовы плоскости (^//-плоскости), а предметом исследования - гомоморфизмы этих плоскостей и алгебраические связи между АН-тернарами, координатизируюшими изоморфные ЛЯ-плоскости.

Цель работы. Целью работы является координатизация /(//-плоскостей с помощью обобщенных тернарных колец Холла со смежностью (СНГЙ) и частичных тернарных колец со смежностью (СЯГЛ0), исследование Л/У-мор-физмов /(//-плоскостей методом тернарных колец, описание алгебраических связей между ЛЯ-тернарами, координатизирующими изоморфные Л//-плос-кости, а также разработка алгебраического метода тернарных колец, позволяющего проводить изучение свойств аффинных ельмслевовых плоскостей.

Методика исследований. При получении и обосновании результатов используются методы общей алгебры и аксиоматический метод построения геометрических структур.

Научная новизна. Научная новизна данной работы заключается в том, что для исследования строения ////-плоскостей и их геометрических свойств используется алгебраический метод, основанный на координатизации этих плоскостей с помощью обобщенных тернарных колец Холла. Этот подход позволил получить новые результаты теории гомоморфных отображений АН-

1' Drake D.A On n-univorm Hjelmslev planes // J. Combinat Theoru, 9, 1970 - S. 267-288.

12 Tomer G Homomorphismen von affine Hjelmslev-Ebenen // Math. Z, 1975, 141,- S. 159167.

13 Lorimer J.W., Lane N D. Morphisms of afiine Hjelmslev planes // Atti Acad. Naz Lincei Mem C. Sci. Fis. Math. Natur. Sez. I 56, 1974.- S. 880-885

14 Скорняков Л.А. Проективные плоскости // УМН, 6, №6, 1951,-С. 112-154.

13 Скорняков Л А Натуральные тела Веблен-Веддербарновой плоскости // Изв. АН СССР, сер «матем» 13, 1949-С 447-472

" Martin G Е Projective planes and isotopic ternaru rings // Amer Math Monthly, 74, 1967 - S 1185-1195

"Martin G.E. Parastrophic planar ternary rings // Journal of Algebra 10, 1968,- S. 37-46. "Martin G E. Projective planes and isogeic ternary rings// Math. J., 1968,23.1,- S 185-196. "Stevenson F.W. Weakly isotopic planar ternary rings//Canad J. Math , 27, 1975 - S. 32-36

плоскостей, усилить ряд ранее известных результатов, а также описать необходимые и достаточные алгебраические условия, связывающие /Ш-тернары произвольных изоморфных /¡//-плоскостей. Все основные результаты диссертации являются новыми.

. Теоретическая значимость

Понятия обобщенных тернарных колец Холла со смежностью (СНТИ и СЯ7"До), введенные в диссертации, упрощают разработку теории ^//-тернаров и Л//-плоскостей и представляют самостоятельный научный интерес в области теории инцидентностных структур.

Результаты исследования отображений ^//-плоскостей, сохраняющих отношения инцидентности и параллельности (Л//-морфизмов), позволяют в наиболее общем виде классифицировать /1//-плоскости по наличию у них Л//-эпиморфных образов.

Рассмотренные в диссертации а>-изотопии дают возможность описать алгебраические связи между ЛЯ-тернарами, координатизирующими изоморфные //-плоскости, и могут быть подвергнуты дальнейшему исследованию, как в алгебраическом, так и в геометрическом направлениях.

Практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Однако полученные в диссертации результаты и предложенные методы исследования геометрических свойств ^//-плоскостей могут быть использованы в общей алгебре и при разработке теорий различных классов инцидентностных структур.

Рекомендации по использованию. Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов для аспирантов, магистров и студентов.

Достоверность результатов Достоверность полученных результатов обеспечена математической строгостью изложения основных результатов диссертации в виде теорем с подробными доказательствами.

Основные положения, выносимые на защиту.

1) структуризация /¡//-тернаров с помощью обобщенных тернарных колец Холла со смежностью (<7//ГЛ) и частичных тернарных колец со смежностью (С//7Ж);

2) результаты исследования /Ш-морфизмов ^//-плоскостей методом тернарных колец;

3) описание алгебраических связей, возникающих между /(//-тернарами координатизирующими изоморфные ^//-плоскости;

4) алгебраический метод исследования геометрических свойств аффинных ельмслевовых плоскостей.

Личный вклад соискателя. Диссертация является самостоятельным научным исследованием соискателя.

Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, неоднократно докладывались на семинарах СГПИ им. К. Маркса, руководимых профессором Б.И. Аргуновым; научном семинаре кафедры алгебры и геометрии СОГУ; международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2008 г.); научной конференции молодых ученых СГПИ, посвященной 60-летию Великой Октябрьской социалистической революции; на XIV и XV научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук УДН им. Г1. Лумумбы, а также на III, IV и V научных конференциях молодых ученых и специалистов факультета физико-математических и естественных наук этого университета.

Публикации. Всего по теме диссертации автором опубликовано 10 научных статей, список которых приведен в конце автореферата. Некоторые из основных результатов приводятся в монографии И.А. Хубежты 3 (стр. 269273) и обзоре Б.И. Аргунова5 (стр. 27-28).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 68 наименований. Нумерация предложений и формул соответствует главе, параграфу и порядковому номеру, например (2.2.5) означает пятая формула второго параграфа второй главы. Полный объем диссертации - 120 стр.

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы, кратко изложено содержание диссертации.

В первой главе диссертации "Координатизация аффинных ельмслево-вых плоскостей" приводятся основные свойства ЛЯ-плоскостей, на которые опирается дальнейшее изложение, а затем описываются обобщенные тернарные кольца Холла и обобщенные частичные тернарные кольца со смежностью.

Ниже приводятся основные определения.

Тернарная алгебра Т= <Т;1>, у которой тернарная операция / удовлетворяет условию:

(t(a,x,y) = b & t(c,x,y) = d) ** (x=r'(a,b;c,d)&y=is(a,b;c,d)). (3)

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Tl. (Vа,Ь,сеТ)(а\хеТ) t{a,b,x) = c

называется тернарным кольцом.

Для удобства можно ввести обозначения:

1{а,Ь,х) = с х = /' (а, Ь,с),

1(х, д, Ь) = /(х, с, д.) <=> * = /'(а, Ь\с, ф,

(1) (2)

Тернарное кольцо 7~= < Т; г, 0,1 >, где множество Т содержит, по крайней мере, два элемента 0 и 1 (О Ф 1) называется тернарным кольцом с нулем О и единицей I и обозначается 77?, если выполняются следующие условия:

Т2..(Уа, Ь,сеТ) (/(О Л с) = с = 1(а, 0, с)),

ТЗ. (Уо, Ь е Т) (1{а, 1,0) = о & 1,6,0) = 6),

На множестве Т произвольного тернарного кольца 77? условиями:

{Уа,ЬеТ) а+Ь^1(\,а,Ь),

(Ча,ЬеТ) а®Ь = 1(а, 1,6),

(У а,ЬеТ) й-6=Ч(«А0),

можно определить бинарные операции "+", "ф", "•".

Алгебраическая система А(7) = < Т; +,©,-, 0, 1 > называется алгеброй, ассоциированной с тернарным кольцом 77?. Если выполняется условие:

(Уй, Ь,сеТ) 1{а,Ь,с) = а-Ь+с,

то тернарное кольцо 77? называется линейным тернарным кольцом.

Если тернарная операция / кольца 77?, на множестве-носителе Т которого задано отношение эквивалентности удовлетворяет условиям:

ТН1. (уа,Ь,с,(1еТ) (а*с « ((Э!х) х= (а,Ь\с,с1))Х

ТН2. (Vа,6,с,с/еГ) (а + с ((э!(х,^))х = Г4(а,Ь:с,с1)&у= /Л'(о,6;с,с!))),

то кольцо 77? называется обобщенным тернарным кольцом Холла и обозначается символом (777?.

Далее доказываются следующие основные утверждения:

Теорема 1.2.1. Пусть < Т\ 1,0,1, - > - некоторое С77?. Тогда для того чтобы фактор-алгебра < 77и, [0]~, [1]~> являлась тернарным кольцом Холла ([3] в обозначении #77?), необходимо и достаточно, чтобы отношение ~ удовлетворяло следующим условиям:

а,-¿,(( = 1,2,3) => /(а„а2,а3)~г(6,,Ьг,Ь,\ (4)

а,-¿,(1 = 1,2,3) Г'(а„а2,я,)~/Г(6„й31й,), (5) а, + Д), о,-6, (| = 1,2,3,4) => ^(6) а, + й„ а,(/ = 1,2,3,4) => (аьа1\а„а,)~ {Ь^Ь^Ь^Ьа) &

^{аиа2-,а„а>)~^{ЬьЬг,Ь>Л). (7)

Тернарное кольцо GTR, тернарная операция которого удовлетворяет условиям (4) - (7), называется обобщенным тернарным кольцом Холла со смежностью и обозначается GHTR.

Условия (4) - (7) означают, что отношение ~ является конгруэнцией соответствующей операции. Поэтому справедлива следующая теорема.

Теорема 1.2.1а. Пусть < Т; I,О,1,~> - некоторое GTR. Тогда для того чтобы фактор-алгебра < 7У~; [0]-, [1]- >, являлась тернарным кольцом Холла, необходимо и достаточно, чтобы отношение ~ в этом кольце являлось конгруэнцией операций I, t'(a, Ь, с) и для а -р с - конгруэнцией операции t'(a,b;c,d) и пары {/"s t's} операций lmS и trS.

Теорема 1.2.4. В алгебре А(Т) = < Г; ©, •, 0, 1 >, ассоциированной с произвольным тернарным кольцом GHTR имеют место следующие свойства:

1) < Т; +> и < Т; ® >-лупы с нейтралом 0;

2)<Т*\ ■>, где T* = T\D, является лупой с нейтралом 1;

3) <£);+> и <Ю; ® > - подлупы луп < Т\+> и<Т,@>, соответственно;

4) V - идеал алгебры А(Т)\

5) для любого аеТ выполняются условия а-0 = 0-а = 0иа• 1 = 1 • а = а;

6) если а + 0 и ЬеТ, то каждое из уравнений х- а= b и а-х = b имеет единственное решение',

7) если а + 0,а-Ь~а-с или b-a~c-a,mob~c\

8) если а*0, crb = a-c илиЬ-а=с-а, то Ь = с\

9) £>, = £>/ = £>,, = 2}.

(Здесь T)r, Di, £)„ - множества, состоящие из нуля и, соответственно, правых, левых, двусторонних делителей нуля, a D - множество элементов, смежных с нулем).

Пусть множество Т содержит, по крайней мере, два элемента 0 и 1 (О* 1), и пусть на нем задано отношение эквивалентности Пусть также Т/~ - фактор-множество множества Т по отношению О = [0]~ - класс эквивалентности с представителем 0, а /„ - частичная тернарная операция, заданная на множестве TxDxTи удовлетворяющая условию:

(Va, сеТ) (Vb е 23) (l„{a,b,c) = d => c~d). (8)

Частичная тернарная алгебра < Т; /0, 0,1, ~ >, где /0 - частичная тернарная операция, определенная на множестве T*D*T и удовлетворяющая (8), называется обобщенным частичным тернарным кольцом (в обозначении GTR0), если операция h удовлетворяет условиям:

Tl„. (Va, ceT)(VbeD) ((3!*) /„(я, Ь,х) = с),

Т2„. (Va, с е Г) (VÓ е£>) (ф, 6, с)=с = !,(а, 0, с)), Т3„. (V6е £>\{0)) (3! 1 еТ) ф,Ь,0) = Ь.

Если тернарная операция h в кольце GTR,, удовлетворяет условиям: ТН 1„. (VA, deT(b~d)) (Va, ce£>)U> = /„' (a, с, úO =f ((IxAx, * jc, )) ,x3 = („' (а, 6; с, í/))), ' TH2,. (V¿x'e7-(W))(Va>ce7)(a+c«((J!(x,v))(x=Cs(a,¿;c,ar)&>'= ((;Л (a,6;c//))),

то такое GTRC называется обобщенным частичным тернарным кольцом со смежностью ~ и обозначается GHTR0.

Как и в случае TR в любом TR0 условиями:

(УаеЮ)(уЬеТ) аШ b = h{\,a,b), (9)

(4aeT)(4beD) a-b = t„{a,b,0), (10)

можно ввести бинарные операции "ЕВ" и "•", которые определены, соответственно, на множествах Т)у.Т и ТхЮ. Частичная алгебра A(7l) = < Т;ЕВ,», 0,1 > называется алгеброй, ассоциированной с частичным тернарным кольцом GHTRo.

Кольцо GHTRc называется линейным, если (Va,се Г) (V6e£>) t„(a,b,c) = a-b Ш с. (II)

Верно следующее утверждение.

Теорема 1.3.2. В частичной алгебре А(Т„) = < У; Ш, *, 0,1 > справедливы следующие свойства'.

1)(Vas7)(ybeD) (a«0 = 0»6 = 0& 1 • ¿> = ¿);

2) (Vae£)) Q/beT) (a ffl 0 = a & 0 Ш 6 = 6);

3)(a*¿>=6 & 6e23\(0}) =¡> a=l;

4) при а e О и b e Tуравнение а Ш x=* b, однозначно разрешимо относительно x. Если х„ - решете этого уравнения, то х0~Ь\

5) при a, be Т уравнение х ЕЕ а — Ь не может иметь более одного решения. Это уравнение имеет решение тогда и только тогда, если а~Ь\

6) уравнение а^х=Ь однозначно разрешимо относительно х тогда и только тогда, если а + 0,ЬеЮ\

7) <£>; ЕВ > - лупа с нейтралом 0;

8) для любого а из Ти b из D произведение а'Ь еЮ;

9) если а' Ь=а'с и а + 0, то Ь-с.

Алгебраическая система < Т; I, /„, 0,1, ~ >, где < Т\ (,0,1, - > - некоторое С//77?, а < Т\ /„, 0,1, ~> - С//77?,, называется АН-тернаром, если выполняются следующие условия (аксиомы согласованности тернарных операций I и /0)-

АК1. (Уа„а»ле Г) (Ча,е £>) ((Э!(х,>')) О = /(*,а„а2)&х = 10(у,а»д4))),

АК2. (Уа„а2, 6,, еТ(а{~аЛ^~Ь2&(аьЬ,)*(а2,Ь2)) ((3(х,у)) ((Ь,= 1(а„х,у) V

Используя АН4, можно установить, что в любой /¡//-плоскости 'И найдется тройка точекр,_,р„р2 такая, что р:р1 ф р,рк для /,_/Де{0,1,2}.

Такая тройка точек называется невырожденной. Если ра,рьр2 - невырожденная тройка точек, то упорядоченная тройка (р0,р\,рг) называется аффинным репером Л плоскости И и обозначается Я(р„,р„р2).

В теоремах 1.4.2 и 1.4.3 доказано, что над произвольным аффинным репером К(р„,р„р2) /¡//-плоскости 'Н=<Р, -£; I, II, ~> можно построить АН-тернар и над всяким /¡//-тернаром можно построить некоторую /¡//-плоскость.

Далее установлена справедливость следующих утверждений.

Теорема 1.4.4. Пусть Н=<Т;1, /„, 0, 1, ~> - АН-тернар, а 'Н„ - АП-

пчоскость, индуцированная этим АН-тернаром. Тогда АН-тернар Н„, где И(Рч,Р!,Рг) - аффинный репер АН-плоскости 'Н,„ определенный невырожденной тройкой точекра= (0,0), р, = (1,0), /?2= (0,1), изоморфен АН-тернару Н.

Теорема 1.4.5. Пусть над некоторой АН-ппоскостъю 'И построен АН-тернар Н = < Т; I, 0, 1, ~ >, а АН-плоскость 'Н„ индуцирована этим АН-тернаром. Тогда АН-плоскость 'И„ изоморфна АН-плоскости ГИ.

Понятие АН-тернара, введенное в данной диссертации, алгебраически адекватно понятию /¡//-плоскости, уточняет, дополняет и значительно упрощает аксиоматику //-тернара"1 и соответствует современной терминологии и символике, применяемой при описании тернарных колец. Кроме этого, оно позволило выделить в классе (7Я77? тернарные кольца, над которыми можно построить /¡//-плоскость (см. [9]). Эти тернарные кольца называются тернарными кольцами Ельмслева и обозначаются £77?. Координатизация произвольной /¡Я-плоскости, описанная в диссертации, позволила (см. [10]) указать алгебраические условия для кольца с делителями нуля, необходимые и достаточные для построения над ним линейного £77?.

Результаты первой главы диссертации позволяют изучать геометрические свойства произвольных ,4Я-плоскостей алгебраическим методом, а тернарные кольца <77/77? представляют алгебраический интерес, связанный с теорией инцидентностных структур.

Во второй главе "Гомоморфизмы аффинных ельмслевовых плоскостей" изучаются отображения ЛЯ-плоскостей, сохраняющие отношения инцидентности и параллельности (ЛЯ-морфизмы). /Ш-морфизмы ранее исследовались различными авторами

Пусть 1-(=<Р,Ц I, II, ~> и 'Н = <Р, Ь ; ], II, ~> - две /)Я-плоскости.

Отображение /: Р-*Р, /.->/- называется АН-морфизмом /¡//-плоскости И в А //-плоскость 'И, если

(Vр,Ц (р\1 => Лр) 1ДА)), (12)

(ЧЬ,М) (Ь\\М => №)\\АМ)). (13)

ЛЯ-морфизм /: 'Н^П называется невырожденным ЛЯ-морфизмом, если найдется, по крайней мере, один аффинный репер Я /Ш-плоскости 1-1 такой, чтоУ[Я)=Я, где И - некоторый репер ЛЯ-плоскости 'И.

В данной диссертации при исследовании Л/Аморфизмов используются кольца СЯ77? и С#77?0, введенные в первой главе. Такой подход оказался эффективным.

Получены следующие основные результаты.

Теорема 2.1.2. Предположим, что /- невырожденный АН-морфизм АН-плоскости 'Н=<Р,Ц 1,И,~> в АН-плоскость 'Н =< Р, /.; I, II, ~>. Тогда справедливы условия:

(Vр,деР) {р + ц => М*ЛЧ% (14)

(Ч1,Ме1) (Ьч-М АЦ+АШ)- (15)

Основываясь на этой теореме, доказывается целый ряд интересных фактов. В частности, установлено (следствие 2.1.4), что в случае однозначных аффинных плоскостей любой невырожденный ЛЯ-морфизм является изоморфизмом.

В статье 12 указывается, что при исследовании дезарговых Л//-плоскостей, были построены примеры ,4Я-морфизмов, сохраняющих несмежность точек, но не сохраняющих их смежность. В диссертации установлены следующие результаты.

Теорема 2.1.6. Невырожденный АН-морфизм /АН-плоскости 'Н в СН удовлетворяет условию:

Р~д =» №~М, (16)

тогда и только тогда, когда в АН-плоскости ГН найдется флаг (р, О) такой, что для любой точки q\Quз р~ц следует Ая)~Ар)-

Предложение 2.1.7. Пусть М - некоторая прямая АН-плоскости 'Н.

Тогда, если невырожденный АН-морфизм f. 'Н-*ГН переводит все прямые, параллельные и смежные прямой М, в смежные прямые АН-плоскости 'Н, mo f сохраняет смежность точек.

Следствие 2.1.6. Если невырожденный АН-морфизм f: 'Н-^'Н сохраняет смежность точек, то f сохраняет и смежность прямых, то есть:

L-M =» №~т- (17)

Невырожденные ЯЯ-морфизмы индуцируют конгруэнции л ЛЯ-терна-роп, которые определяют на множестве-носителе Т некоторое отношение эквивалентности являющееся подмножеством отношения смежности Такие отношения называются улучшенной смежностью 2"'21. В данной диссертации введены алгебраические условия, необходимые и достаточные для того, чтобы факторизация ЛЯ-гернара по отношению улучшенной смежности приводила к некоторому АН-тернару. Такие условия называются аксиомами улучшенной смежности и обозначаются TU1, TU2 и TU3.

TU1. (с7,~я Ьх & а2~Ь2 & t(a„a„a,)~Д i(bt,b2,bs)) {(М, b', (/е{1,2,3}))|(д,+„ а\ & а( b\ & а, d, & b, ~л Ь; (, е {2,3}) & t( я[, flj, d, ) i( t{, b[, Aj)));

TU2. (a, ~ b, & a, b, (i e{2,3})) =» ((3 dt, b] (, e {1,2,3})) | (a, aj & a, 4 & b, b[ &d,~„b;(,e {2,3})&t(a[, a'2, a')a„a,)&t{b{,b'2,b'3)~„i(b„b„fc))).

TU3. (x,~„y, ( /e {1,2,3,4}) & t(a„Xi,Xi) — a2 & Ца2,х,,х.) = a, & t(a,,y,, .у3) = я, & '»(«4 .^i= Oi) => (a, a,, a2 a,).

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 2.2.4. Пусть Н=< Т\ /, t,, 0,1,~> - произвольный АН-тернар, а

л - отношение эквивалентности на множестве Т, удовлетворяющее условию

(4a,btT) (алЬ => а~Ь). (18)

Тогда для того, чтобы фактор-алгебра Н!л - < Т/л; (,, и„ [0]„ [1 ]„ ~ > была АН-тернаром, необходимо и достаточно, чтобы отношение было улучшенной смежностью АН-тернара Н.

Теорема 2.2.5. Множество отношений улучшенной смежности произвольного АН-тернара Н= < Т; t,h, 0,1 ,-> линейно упорядочено по включению.

20 Artman B. Hjelmslev-Ebenen mit verfeinerten Nachbarschaftsrelationen // Math. Z, 112, 1969,-S. 163-180

21 Drake DA Affine Hjelmslev-Ebenen mit verfeinerten Nachbarschaften // Math Z, 143, 1975-S 15-26.

Теорема 2.2.6. Пусть Н и Н - некоторые АН-тернары. Тогда если при АН-морфизме ц>\ Н->Н, (р(Н) = Н* и Н* - некоторый АН-тернар, то И* однозначно определяется полным прообразом любого своего элемента.

Теорема 2.2.7. Пусть и ¡р2 - АН-морфизмы АН-тернара Н, = //, и <р2(Н) =//;. Тогда если Н, и Н2- некоторые АН-тернары, то найдется АН-морфизм </> такой, что <£>(#,) = #г или ) = //,.

Далее основываясь на этих результатах, исследуются сюръективные /1//-морфизмы, которые называются АН-эпиморфизмами.

Установлена справедливость следующих утверждений.

Теорема 2.3.1. АН-эпиморфизм/АН-плоскости 77 на АН-плоскость 77 является невырожденным АН-морфизмом.

Теорема 2.3.2. Невырожденный АН-морфизм /: ГИ^'Н является АН-эпиморфизмом тогда и только тогда, если он сюръективен на множестве точек, инцидентных некоторой прямой АН-плоскости 'Н.

Теорема 2.3.3. Для того чтобы невырожденный АН-морфизм/: 77-» 77 являлся АН-эпиморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы он был сюръективен хотя бы для одного направления П АН-плоскости 77.

Теорема 2.3.4. Всякий АН-эпиморфизм / АН-плоскости 77 на АН-плоскость 77 сохраняет смежность и несмежность как точек, так и прямых.

Следствие 2.3.6. Если /- АН-эпиморфизм АН-плоскости 77, на АН-плоскость 'Нг, и <К2 - канонические гомоморфные образы плоскостей 77, и 77ь а Х\ и Хг, соответственно, их канонические гомоморфизмы, то существует изоморфизм Л: такой, что = А-/2 •/

Теорема 2.3.5. Пусть / (/ = 1,2) являются АН-эпиморфизмами АН-плоскости 77 на АН-плоскости 77, и 77;. Тогда, если хотя бы для одной пары точек р, е 77, и р2 е 772 их полные прообразы совпадают, то плоскости 77, и 77г изоморфны.

Теорема 2.3.6. Пусть / (/ = 1,2) являются АН-эпиморфизмами АН-плоскости 77 на АН-плоскости 77, и 772. Тогда существует, по крайней мере, один АН-эпи.морфйзм,[,;. 77,->77, (у е {], 2},;' * у).

Отображение /'частично упорядоченного класса А в частично упорядоченный класс В называется изотопным (монотонным), если для любых элементов х,у еА:(х<у^> F(x) <F(y)).

Теорема 2.3.7. Пусть f - АН-эпиморфизм АН-плоскости "И, на АН-плоскость 'Иг. Тогда существует биективное, изотонное отображение F отношений конгруэнтности т плоскости 'И-, для которых 7у с гс на отношения конгруэнтности плоскости 'Н2.

/1Я-плоскость, которая не является однозначной аффинной плоскостью, называется собственной.

Следствие 2.3.8. Всякая конечная собственная АН-плоскость является АН-плоскостью уровня п21 для некоторого натурального п>2.

Теорема 2.3.8. АН-плоскость уровня п имеет ровно п АН-эпиморфных образов.

Ельмслевова плоскость называется однородной7, если для любых двух смежных точекр и </, и любых двух смежных прямых L и М, изр,q1L и р\М следует q IМ.

Теорема 2.3.9. Пусть /: 'H-i'H АН-эпиморфизм АН-плоскости 'И на АН-плоскость 7Y. Тогда если 'И - однородная АН-плоскость, то однородна и АН-плоскость ГН.

Теорема 2.3.10. Если две собственные однородные АН-плоскости имеют один и тот же канонический гомоморфный образ, то эти плоскости изоморфны или ни одна ш них не является АН-эпиморфным образом другой.

Теорема 2.3.11. Пусть f - АН-эпиморфизм АН-плоскости 'Н на АН-плоскость 11. Тогда для любой пары II, и Нг, соответствующих f АН-тернаров, существует АН-эпиморфизм <р: Я,->//2.

Теорема 2.3.12. Пусть Н, и Н2 - АН-тернары, построенные над реперами R(p0, рх, р2) и R(pI),p'\,p'i) АН-плоскостей 'Н и ГН, соответственно. Тогда, если существует АН-эпиморфизм ip: //,->//;, то существует и АН-этшорфизм АН-плоскости 'Н на АН-плоскость 'И.

Таким образом, результаты второй главы диссертации проясняют взаимосвязи между произвольными /4Я-эпиморфными образами одной АН-плоскости и дают важную информацию о их строении. Они показывают, что АН-плоскости можно классифицировать по наличию ЛЯ-эпиморфных образов и указывают на место в этой классификации однородных /(//-плоскостей.

15

В третьей главе "/¡//-плоскости и изотопии ЛЯ-тернаров" описаны алгебраические связи между /¡//-тернарами, координатизирующими изоморфные ЛЯ-плоскости. Среди работ, посвященных данной проблеме для однозначных проективных плоскостей, можно отметить статью А.К. Зотова22.

Понятно, что при решении этой задачи для различных /Ш-плоскостей, параллельно решается аналогичная задача, описывающая алгебраические связи, возникающие между /¡Я-тсрнарами одной /¡//-плоскости.

Пусть задан произвольный аффинный репер R(pc,p„p,) АН-плоскости 'Н=<'Р,-£;I, II,~>. Можно обозначить p0pi-X, р„р2 = У, а прямую параллельная прямой L и инцидентную точке р - символом L{p, Kf). Тогда Цр„ Y)-p Y, L{pi, X)-t-X и L{p„ Y) П L(p2, X) = е. В этом случае совокупность, состоящая из точки ра и пары прямых X и У, называется аффинной системой координат /¡//-плоскости 7/, соответствующей реперу R(pe,p,,p}). При этом точка ра называется началом, а прямые Хи У-осями этой системы координат.

Пусть R'iPutP'uP'i) - репер /4Я-плоскости 'И\ aJ[R) = (АР^АР^-АРг)) -образ репера R при изоморфизме//¡//-плоскости 'И на /¡//-плоскость 7/.

Направление /¡//-плоскости 7Y, которое определяет прямая М этой плоскости, обозначается Пм.

В диссертации рассмотрены 12 возможных различных случаев взаимного расположения реперовfiJR) и репера R(р„,р\,рг)'.

0. ЛР°)= Р», Ярд= Р\, APi) = Рг,

2. fip°)= Ро, flp,)= Р[, АХ)=Х',

3. /[Х)=Х'»ЛГ)=У,

4.

5. ЛХ)=Х'И ПЛГ)~ПГ,

6. /Х)ПА"иДУ)\\Г,

7. AY)И У,

8. Пау)~ПУ:,

9. А.Х)=Х'\\ ПЛГ)-р Пу.

22 Зотов А К Н-нзотогши тернарных колец и изоморфизмы проективных плоскостей М,-Ун-т Дружбы Народов им. П. Лумумбы,, 1983. 64 стр. Библиогр. 25 назв. (Рукопись деп В ВИНИТИ 15.06 83, Лгв 3281 - 83 Деп.) (514.161) 8 А682 ДЕП

10. ЛХ)=ГнАГ)^Х\

11. пт+пг,

и для каждого из них указаны алгебраические связи, возникающие между соответствующими /¡//-тернарами. Эти связи в целях единообразия терминологии названы иу-изотопиями.

АН-тернар Н называется связанным с АН-тернаром Н цепочкой w„ iL»,,..., tо/, о)ц изотопии, если существуют АН-тернары Н„ //,,..., Н/ такие, что Нш, //„ Д tüj Н„..., //, ык Н.

Установлена справедливость следующих утверждений.

Теорема 3.2.1. Для того чтобы АН-тернары II и Н координатизиро-вали изоморфные АН-плоскости, необходимо и достаточно, чтобы их можно было связать 11епочкой, состоящей из не более четырех w-изотопий вида Wo-ClA,.

Следствие 3.2.1. Любые два АН-тернара АН-плоскости 'Н можно связать цепочкой, состоящей не более чем из трех со,,- w, изотопии.

Теорема 3.2.4. АН-тернары Н и Н в том и только в том случае коор-динатизируют изоморфные АН-плоскости (одну АН-плоскость), если /У со,Н или HwuH.

Рассмотренные в третьей главе диссертации ы-изотопии, устанавливают необходимые и достаточные условия, связывающие ЛЯ-тернары построенные над двумя различными аффинными реперами произвольной ЛЯ-плоскости, и дают возможность перехода от одной невырожденной тройки точек /(//-плоскости к другой. Поэтому они, по сути, представляют собой преобразования координат одной и той же аффинной ельмслевовой плоскости. Их дальнейшее изучение может быть связано с построением теории инвариантов этих преобразований, исследованием замкнутости в классе /¡//-тернаров, выяснением условий, необходимых и достаточных для наличия в ЛЯ-плоскости тех или иных геометрических свойств и т.п.

В заключении сформулированы основные результаты работы, выносимые на защиту.

1. Введенная в диссертации структуризация /¡//-тернаров с помощью обобщенных тернарных колец Холла со смежностью (GHTR) и частичных тернарных колец со смежностью (GHTRa).

2. Результаты исследования ЛЯ-морфизмов АН-плоскостей, полученные методом тернарных колец.

3. Алгебраические связи, возникающие между ЛЯ-тернарами, координати-зирующими изоморфные ЛЯ-плоскости.

4. Метод исследования геометрических свойств аффинных ельмслевовых плоскостей с помощью обобщенных тернарных колец Холла.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Шатохин Н.Л. Аффинные ельмслевовы плоскости и изотопии Я-тернаров // Смоленск: СГПЙ, 1978,- Деп. в ВИНИТИ. № 2190-78 ДЕП. С. 1 - 15. (0,88 п. л.)

2. Шатохин Н.Л^ Невырожденные гомоморфизмы аффинных ельмслевовых плоскостей // Смоленск: СГПИ, 1978.-Деп. в ВИНИТИ. № 2189-78 ДЕП. С. 1 - 11. (0,67 п. л.)

3. ШатохиН Н.Л. О коордииатизации аффинных ельмслевовых плоскостей //Труды семинара по инцидентностным структурам. Деп. в ВИНИТИ. № 5402-85 ДЕП. С. 42 - 53. (0,68 п. л.)

4. Шатохин Н.Л, Гомоморфные образы битернарных колец со смежностью //Исследования по краевым задачам комплексного анализа и дифференциальным уравнениям / Смоленск: СГПУ, 1999. С. 118 - 125. (0,43 п.л.)

5. Шатохин Н.Л. Обобщенные тернарные кольца Холла со смежностью // Изв. вузов. Сев. - Кавк. регион / Ростов на Дону, 2008. - № 3,- С. 29 -32. (0,41 п. л.)

6. Шатохин Н.Л. /Ш-морфизмы обобщенных тернарных колец Холла со-смежностью //. Исследования по краевым задачам комплексного анализа и дифференциальным уравнениям: Межвуз. сб. научн. тр. / Смоленск: СГПУ, 2007. - Вып. 8,- С. 100 — 104. (0,31 п. л.)

7. Шатохин Н.Л. Обобщенные тернарные кольца Холла с улучшенной смежностью // Владикавказский математический журнал, 2008, Том 10, Вып. 2,- С. 58-62.(0,31 п. л.)

8. Шатохин Н.Л. Релерные изоморфизмы аффинных ельмслевовых плоскостей и ш изотопии ЛЯ-тернаров//Владикавказский математический журнал, 2007, Том 9, Вып. 4,- С. 49 - 55. (0,42 п. л.)

9. Шатохин Н.Л. Тернарные кольца Ельмслева // Системы компьютерной математики и их приложения: Материалы международной конференции. -Смоленск: СмолГУ, 2008. - Вып. 9,- С. 186 - 192. (0,41 п. л.)

10. Шатохин Н.Л. Построение ЛЯ-тернаров над кольцами с делителями нуля // Системы компьютерной математики и их приложения: Материалы мевду-народной конференции. - Смоленск: СмолГУ, 2008. - Вып. 9.- С. 192 - 199. (0,45 п. л.)

Подписано в печать 18.11.08. Формат 60x84 1/16. Печать ризографическая. Усл. п. л. 1,1. Тираж 100 экз. Заказ № 12091.

Отпечатано ОАО «Смоленская городская типография», 214000, г. Смоленск, ул. Маршала Жукова, 16, тел,- 59-99-07, 38-28-65, 38-14-53

Основные обозначения

Введение

Глава 1. Координатизация аффинных ельмслевовых плоскостей

§ 1. Аффинные ельмсйевовы плоскости

§ 2. Обобщенные тернарные кольца со смежностью

§ 3. Частичные тернарные кольца

§ 4. //-плоскости и /4//-тернары

Глава 2. Гомоморфизмы аффинных ельмслевовых плоскостей

§ 1. ^//-морфизмы уШ-плоскостей

§ 2. АН-тернары с улучшенной смежностью

§ 3. Гомоморфизмы ^//-плоскостей

Глава 3. ^//-плоскости и изотопии ^//-тернаров

§ 1. Изотопии //-тернаров и реперные изоморфизмы ^//-плоскостей

§ 2. Изоморфные .¿//-плоскости и изотопии ^//-тернаров

Диссертация посвящена разработке теории ,4Я-плоскостей - одного из классов инцидентностных структур.

Под инцидентностной структурой [1] понимают тройку <Р,Ь,1 >, где РП£ = 0,а1с/>х£.

Элементы множества Р принято называть точками, а элементы множества Ь — прямыми. Отношение I называют отношением инцидентности.

В настоящее время наиболее изученными классами инцидентностных структур являются проективные и аффинные плоскости, по теории которых имеется обширная литература, в том числе ряд монографий: [14, 36, 46, 58, 63].

Один из новых методов алгебраических описаний инцидентностных структур был предложен в [8, 9, 29, 30]. В этих работах продолжена разработка теории проективных плоскостей с точки зрения алгебраических систем. Такой подход позволил совершенно по иному подойти к известным проблемам теории проективных плоскостей и получить результаты, связывающие алгебраическую теорию таких плоскостей с геометрией, комбинаторикой и теорией чисел. В них решен ряд алгебраических задач и получены результаты о свойствах свободных и близких к ним объектов и гомоморфизмах.

Инцидентностная структура ¿Н = <Р,Ь; I, Н> называется аффинной плоскостью, если на множестве Ь задано некоторое отношение эквивалентности II, называемое параллельностью и при этом, справедливы следующие аксиомы:

А1. Для любых двух различных точек р и д существует единственная прямая Ь такая, чтор\Ь и д!Ь.

А2. Для любой точки р и любой прямой М существует единственная прямая Ь такая, что р 1Ь и ЬIIМ.

АЗ. Если для прямых Ь и М не существует точки, инцидентной одновременно обеим этим прямым, то Ь \\М.

А4. Существуют три точки, не инцидентные одной прямой.

Наиболее содержательная теория как проективных, так и аффинных плоскостей была развита после их координатизации тернарными кольцами (тернарами), которая была предложена М. Холлом [12, 13, 63].

Тернарным кольцом называется тернарная алгебра 7~= <Т;Г> , тернарная операция / которой удовлетворяет условию:

71. (Уа,Ь,сеТ) (3!х) ((а,Ь,х)=с.

Тернарное кольцо < Т; I, О,1 >, где множество Т содержит, по крайней мере, два элемента 0 и 1, называется тернарным кольцом с нулем 0 и единицей 1 (0^1), если выполняются следующие условия:

72. (Vа,Ь,с&Т) *(0,й,с)=с = *(я,0,с),

73. (Уя,£е7) /(а, 1,0)=я & 1(1,Ь,0) = Ь.

Следует отметить, что существуют различные обобщения понятий нуля и единицы тернарного кольца, так называемые левые, правые нули и единицы тернарных колец (см. например [7, 25, 68]). Тернарные кольца, у которых О - нуль, а 1 — единица будут обозначаться 77?.

На множестве Т произвольного тернарного кольца 77? определяются бинарные операции "+", "ф", " -" условиями

Уа,ЬеТ) а+Ь = ((\,а,Ь), (Vа,Ъ<=Т) а Ф Ь = ^а, 1, Ь), (Vа,Ь<=Т) а-Ь=^а,Ь, 0).

Алгебраическая система А(Т) = < Т; +,©,-, 0, 1 > называется алгеброй, ассоциированной с тернарным кольцом 77?.

Если выполняется условие:

Ча,Ь,с<ЕТ) 1(а,Ь,с)=а - Ь + с, то тернарное кольцо 77? называется линейным тернарным кольцом (в [42] и [45] приводятся примеры плоскостей, которые невозможно описать линейными тернарами). Для линейных тернарных колец операции "+" и "Ф" совпадают ([28], предложение 6).

Введем обозначения: t(x,a, b)=t(x,c, d) x= tl (a,b;c,d), t(a,x,y)-b & t(c,x,y)=d)<=>(x= tmS(а,b;c,d)&y= trS(a,b;c,d)).

Тогда условиями, определяющими тернарное кольцо Холла (в обозначении НТК), являются следующие две аксиомы:

TRI. Qfa,b,c,deT) (3lx) а*с <=$ х= tl(a,b;c,d);

TR2. (уа, b, с, de Т) (3!(jc,j>)) а* с (х= tmS (а, b\ c,d)&y= trS(а, Ъ\ с, d)).

Общая идея исследований, использующих координатизацию проективных и аффинных плоскостей, состоит в том, что в них выявляются и затем анализируются связи между теми или иными свойствами этих плоскостей и алгебраическими свойствами тернаров. В частности, такие связи изучаются при наличии в плоскости тех или иных коллинеаций, конфигурационных свойств, гомоморфизмов, топологий [1, 10, 31, 61, 68]. Большое внимание уделяется также и исследованию зависимостей между тернарными кольцами, координатизирующими изоморфные плоскости [7, 11, 20, 51, 55, 56, 57, 64].

Следует также отметить, что в настоящее время теория тернаров представляет собой вполне самостоятельную область современной алгебры (см. например [46]), развитие которой имеет большое значение в связи с теорией инцидентностных структур.

Наряду с проективными и аффинными плоскостями большое место в теории инцидентностных структур, занимают их различные обобщения, связанные в основном с полным или частичным отказом от аксиомы AI [1,3, 14, 25, 47, 48, 49, 50].

Начало этих обобщений было положено в работах Ельмслева [43, 44], а затем продолжено В. Клингенбергом в работах [47, 48, 49, 50] о "плоскостях со смежными элементами". В дальнейшем, в работе [54] Г. Люнебург называет эти инцидентностные структуры ельмслевовыми плоскостями.

Ельмслевовы плоскости (//-плоскости и ^//-плоскости) возникают при отказе от требования единственности прямой, инцидентной двум точкам, и единственности точки пересечения двух прямых. Неоднозначно соединимые точки таких инцидентностных структур называются смежными. 6

Известно, что любую проективную (аффинную) плоскость можно расширить до неоднозначной //-плоскости (////-плоскости). Интересно также отметить, что далеко не все факты, известные для однозначных плоскостей, верны для ельмслевовых. Например, в статье [39] доказано, что не всякую ^//-плоскость можно дополнить до //-плоскости и поэтому теории произвольных аффинных и проективных ельмслевовых плоскостей имеют независимый характер.

В настоящее время имеется большое количество работ, посвященных ельмслевовым плоскостям [1, 14, 33].

С момента появления таких инцидентностных структур ставится задача о их координатизации. Так, в работе [50], Клингенберг связывает с каждой прямой проективной ельмслевовой плоскости (//-плоскости) некоторую аффинную ельмслевову плоскость (^//-плоскость). Далее предполагая, что в этой плоскости справедлива малая аффинная теорема Дезарга и аффинная теорема Паппа-Паскаля (используя гильбертово исчисление отрезков [2], §24), он описывает алгебраически такие плоскости с помощью коммутативного //-кольца (гл. 2, § 1). В работе [47] допускается выполнимость в аффинной ельмслевовой плоскости, связанной с некоторой прямой проективной ельмслевовой плоскости, малой и большой теоремы Дезарга и доказывается, что в этом случае такие плоскости можно координатизировать //-кольцом, не обязательно коммутативным. Люнебург в работе [54] координатизирует аффинные ельмслевовы плоскости трансляций. Далее в работе [38] Дрейк описывает координатизацию так называемых "радиальных ельмслевовых плоскостей", с помощью //-модулей. Наконец в 1967 году В.К. Цыганова в работе [15] координатизирует произвольные ^//-плоскости с помощью //-тернара (в дальнейшем ^//-тернар), а в 1973 году, используя аналогичный подход, Е.П. Емельченков [6] координатизирует произвольные //-плоскости. Построенная им алгебраическая система была названа /'//-тернаром.

Использование ^//-тернаров и /'//-тернаров дает возможность алгебраического исследования произвольных ельмслевовых плоскостей.

Несмотря на наличие, достаточно большого количества, работ посвященных ельмслевовым плоскостям, имеется ряд нерешенных задач, относящихся к их теории [1].

Основное содержание данной диссертации изложено в трех главах. В ней предложен оригинальный подход к координатизации Л//-плоскостей и проведено исследование отображений ^(//-плоскостей сохраняющих отношения инцидентности и параллельности. Кроме этого, в диссертации, решена задача описания алгебраической связи между ^//-тернарами, координатизи-рующими изоморфные ^//-плоскости.

В первой главе показана возможность координатизации произвольных ^//-плоскостей с помощью введенных в ней обобщенных тернарных колец Холла со смежностью.

Координатизация ^//-плоскостей впервые была проведена В.К. Цыгановой в статье [15]. Приведем определение Н-тернара, данное в этой статье, с сохранением терминологии и обозначений.

-тернар ([15], определение 4) — это множество М{0,1, а), содержащее нулевой и единичный элементы, в котором определены операции тройное отношение (а-Ь-с) и частичное тройное отношение (аоЬос), обладающие следующими четырнадцатью свойствами:

Свойство 1: для любых а, Ъ, с из М,

1) аОа,

2) если аОЬ, то ЬОа,

3) если аОЬ, ЬОс, то аОс.

Свойство 2: и-0-у=0-х-у=г.

Свойство 3:и'1-0=1-и-0 = и.

Свойство 4: уравнение 4: и- х- г = с однозначно разрешимо относительно г.

Свойство 5: уравнение и, • х • V, = и2 • х • у2 тогда и только тогда однозначно разрешимо относительно х, если и, 0 и2.

Свойство 6. Система

Г И-.ХГУ = С1 [ и-Х2 У=С2 при х, 0 х2 однозначно определяет пару и, V. При О х2 система неразрешима. При ЛГ10 х2, с, О с2 имеем ме N. Свойство 7. Система

Гу= и-х-у цс= то у о с1 где те ЛГ, всегда однозначно определяет пару х, у.

Свойство 8: при ^О^^О^ одна и только одна из систем разрешима относительно и, V соответственно т, с! и имеет, по крайней мере, два решения; при этом V, О у2, а?, О <32. Свойство 9: система о^о (1=х2 а) при у] 0 у2, хг О х2 однозначно определяет пару т, с1, где те N. б) при х1 0 .х% система не имеет решения.

Свойство 10. если а и Ъ таковы, что Г а = тх о Ъ о ^ {а=т2о Ьо й?2, то б/, О ¿/2 и имеется, по крайней мере , еще одна пара аь Ьу такая, что

Свойство 11. уравнение а = т о Ъ о г однозначно разрешимо относи

Свойство 12. 0 о у о с1= с1.

Свойство 13. еслиу=м-х-V, П1,п2,п3е^у1 = (\ •пх-и)-{\ •п2х)-(1 -п3'у), то существует п eN такое, что ух—\-п-у. тельно г.

Свойство 14. еслих= moyo d, nx,n2,riie.N, x, = (l •«,•»?)o(l -n2-y)o{\- n3-d), то существует n eN такое, что x, = 1 ■ n -x.

В перечисленных свойствах символом О обозначается отношение смежности, заданное на множестве М, символ 0 означает его отрицание, а через N обозначено множество элементов, смежных с 0 (делители нуля вместе с нулем, определение 3, [15]).

Из анализа этого определения, видно несоответствие описания //-тернара современной символике и терминологии. Не совсем ясна связь между понятиями //-тернара и классического тернарного кольца Холла. Некоторые из свойств достаточно громоздки или нуждаются в уточнении (например, свойство 8). Также существенным недостатком является отсутствие условий (1.2.10) - (1.2.12) (см. гл.1, стр. 26), которые необходимы для построения АН-плоскости над произвольным Л//-тернаром.

В отличие от [15], в данной диссертации применяется другой подход к координатизации ////-плоскостей с помощью АН-тернаров. Он отчетливо указывает на глубокую аналогию ^//-тернаров и тернарных колец Холла.

Первый параграф главы является вводным. В нем приводятся основные свойства ^//-плоскостей, на которые опирается дальнейшее изложение.

Во втором параграфе вводятся понятия обобщенного тернарного кольца Холла {GTR, определение 1.2.1) и обобщенного тернарного кольца Холла со смежностью {GHTR, определение 1.2.2). Далее устанавливаются простейшие свойства этих колец, а затем в теореме 1.2.4 перечисляются свойства алгебры А(Т), ассоциированной с произвольным тернарным кольцом GHTR. Из материала, приведенного в данной работе, очевидно, вытекает, что — фактически, тернарные кольца GHTR, входящие в состав ////-тернаров, представляют собой как бы "основную часть" произвольных ////-тернаров, так как их изучение в ряде случаев позволяет получать важные геометрические факты (см. например теоремы 2.1.2 и 2.1.6), справедливые для произвольных АН-плоскостей.

В третьем параграфе приводятся условия, определяющие понятия обобщенного частичного тернарного кольца (С77?0, определение 1.3.1) и обобщенного частичного тернарного кольца со смежностью (СНТК0, определение 1.3.2). Здесь же доказываются основные свойства таких тернарных колец.

Понятие частичного тернарного кольца фактически неявным образом используется и при координатизации однозначных проективных и аффинных плоскостей, но не требует отдельного введения из-за своего тривиального характера. Очевидна аналогия между СНТК и СНТК0, но теория СНТК0 не вытекает из теории СНТК и требует самостоятельного рассмотрения. Этот параграф завершается теоремой 1.3.2, в которой выделены основные свойства алгебр А(7~д, ассоциированных с СНТК0.

Четвертый параграф главы посвящен рассмотрению АН-тернаров (определение 1.4.1), которые определяются на основе тернарных колец ОНТЛ и СНТК о. Здесь описываются основные свойства уШ-тернаров и их применение при координатизации ^//-плоскостей. Доказано, что понятие ^//-тернара, введенное в данной диссертации, позволяет координатизировать произвольную ^//-плоскость и что над всяким Л//-тернаром можно построить некоторую ^//-плоскость. Далее в теоремах 1.4.5 и 1.4.6, доказывается, что всякий ¿{//-тернар (с точностью до изоморфизма) является ^//-тернаром, индуцированным невырожденной тройкой точек некоторой ^//-плоскости, а всякая ////-плоскость (с точностью до изоморфизма) является ^(//-плоскостью, индуцированной ^//-тернаром, построенным над произвольной невырожденной тройкой точек этой плоскости. В заключение доказывается теорема 1.4.7, в которой устанавливается, что алгебраические условия однородности АН-тернара (определение 1.4.2) адекватны условию однородности ^//-плоскости, индуцированной этим тернаром.

Структуризация ^//-тернаров, введенная в первой главе диссертации, позволяет более рельефно представить их строение и дает возможность производить изучение свойств ^//-тернаров, а, следовательно, и ^//-плоскостей как бы "по частям". Кроме этого, построение ^//-тернаров с помощью обобщенных тернарных колец СНТК и СНТК0 дает возможность упростить раз

11 работку теории как самих уШ-тернаров, так и тесно связанных с ними АН-плоскостей. С другой стороны, тернарные кольца ОТТЯ и ОНТЯ0 сами по себе представляют определенный алгебраический интерес, связанный, прежде всего, с теорией ЛЯ-плоскостей.

На основе такого подхода в статье [28] в классе ОТТЯ выделены тернарные кольца, над которыми можно построить ^//-плоскость. Эти кольца названы в ней тернарными кольцами Ельмслева (в обозначении ЕТК). Затем в статье [26] установлены необходимые и достаточные условия, которым должно удовлетворять кольцо с делителями нуля для того, чтобы над ним можно было построить линейное ЕТК. Тернарные кольца, введенные в [26], называются ^-кольцами.

Во второй главе рассматриваются отображения АН-плоскостей, сохраняющие отношения инцидентности и параллельности. Такие отображения принято называть АН-морфизмами. ^//-морфизмы также привлекали внимание большого круга математиков, однако их изучение либо относилось к некоторым частным классам таких плоскостей [37, 41, 53], либо на сами АН-морфизмы накладывались дополнительные условия, такие как регулярность [66] или сохранение смежности точек [40, 65]. В диссертации изучение АН-морфизмов проводится координатным методом с помощью ^//-тернаров. Оказалось, что привлечение /Ш-тернаров позволяет получать новые важные результаты, описывающие условия невырожденности, сюръективности и сохранения смежности, а также результаты, которые усиливают ранее известные.

Первый параграф второй главы посвящен изучению /Ш-морфизмов ^//-плоскостей (определение 2.1.1) и индуцированных ими ^//-морфизмов СНТЯ (определение 2.1.5). Основное внимание уделяется рассмотрению невырожденных ЛЯ-морфизмов (определения 2.1.2, 2.1.4).

Важным фактом, установленным в этом параграфе, является предложение 2.1.3, согласно которому невырожденный ^Л-морфизм ср, переводящий внтя Тв йНТЯ Т*, переводит любую пару несмежных элементов из Тв пару также несмежных элементов из Т*. На этом свойстве основано доказательство теоремы 2.1.2, в которой установлено, что всякий невырожденный АН-морфизм ^//-плоскости П~1 в ^//-плоскость <НГ любую пару несмежных точек и всякую пару несмежных прямых ^//-плоскости И переводит, соответственно, в пару несмежных точек и пару несмежных прямых ЛЯ-плоскости

Эта теорема является усилением основного результата п. 1 статьи [66].

Далее анализируются условия, при которых невырожденный АН-мор-физм сохраняет отношение смежности точек. Основной результат этого исследования вытекает из теоремы 2.1.7 (следствие 2.1.8). В нем доказано, что невырожденный ^Я-морфизм /: сохраняет отношения смежности точек и смежности прямых тогда и только тогда, когда для произвольной пары ^//-тернаров Н и Н\ соответствующих при индуцированный этим отображением ЛЯ-морфизм (р: Н-*НТ является невырожденным.

Во втором параграфе этой главы рассматриваются так называемые отношения улучшенной смежности ~т (определение 2.2.3), примерами которых являются отношения конгруэнции (определение 2.2.1), индуцированные АН-морфизмами произвольных СНТЯ и АН-тернаров.

Основными результатами этого параграфа являются теоремы 2.2.5, 2.2.6 и 2.2.7:

1) Множество отношений улучшенной смежности произвольного АН-тернара /¿"линейно упорядочено по включению;

2) Пусть Н и Н' — некоторые ЛЯ-тернары. Тогда если при ЛЯ-морфиз-ме (р. Н-+Н', (р(Н) = Н* и Н* - некоторый ^Я-тернар, то Н* однозначно определяется полным прообразом любого своего элемента;

3) Пусть ц)\ и (р2 - А Я-морфизмы ЛЯ-тернара Н, (р\{Н) =Н[ и (р2(Н)=Н2. Тогда если Нх и Н2 — некоторые ^Я-тернары, то существует такой АН-мор-физм (р, что (р(Н^=Н2 или 1р{Щ=Нх.

Результаты третьего параграфа в основном опираются на результаты двух предыдущих. В нем рассматриваются сюръективные Л/7-морфизмы АН-плоскостей, которые называются АН-эпиморфизмами (определение 2.3.1). Здесь устанавливается справедливость следующих свойств:

1) Всякий ^//-эпиморфизм^//-плоскости на ^//-плоскость является невырожденным ^//-морфизмом (теорема 2.3.1);

2) Невырожденный ^//-морфизм <Н-><7/7 является ^//-эпиморфизмом тогда и только тогда, когда он сюръективен на множестве точек, инцидентных некоторой прямой ^//-плоскости (теорема 2.3.2);

3) Невырожденный уШ-морфизм/\ Н^>(НГ является ^//-эпиморфизмом в том и только в том случае, если он сюръективен хотя бы для одного направления //^//-плоскости ГН' (теорема 2.3.3);

4) Всякий ^//-эпиморфизм f ^//-плоскости 'Н на ^//-плоскость сохраняет смежность и несмежность как точек, так и прямых (теорема 2.3.4);

5) Пусть /¡: (/ = 1,2) ^//-эпиморфизмы ^//-плоскости ГН на АНплоскости <НХ и <//2. Тогда, если хотя бы для одной пары точек, р1 е'7/, и р2 е 'Н2, их полные прообразы совпадают, то плоскости ГНХ и 'Н2 изоморфны (теорема 2.3.5);

6) Пусть / и /2 — ^//-эпиморфизмы АН-плоскости на ^//-плоскости СНХ и *//>. Тогда существует, по крайней мере, один ^//-эпиморфизм/¡/. 'Нс^'Н] О",./ е {1, 2}, / * у) (теорема 2.3.6);

7) Пусть /: ^//-эпиморфизм ^//-плоскости 7/, на АН-плоскость

Тогда существует биективное, изотонное отображение ц> отношений конгруэнтности г плоскости для которых г/стс~, на отношения конгруэнтности плоскости (Н2 (теорема 2.3.7);

8) Всякая конечная собственная ^//-плоскость является ////-плоскостью уровня п ([37], определение 17) для некоторого натурального п>2 (следствие 2.3.8);

9) ^//-плоскость уровня п (Artmann, [32]) имеет ровно п ////-эпиморф-ных образов (теорема 2.3.8);

10) Пусть f. 'Н-^'Н' АН-эпиморфизм ^//-плоскости СИ на ////-плоскость

Н\ Тогда если (Н - однородная ^//-плоскость, то и ////-плоскость Н' однородна (теорема 2.3.9);

11) Если две собственные однородные ^//-плоскости имеют один и тот же канонический гомоморфный образ, то эти плоскости изоморфны, или ни одна из них не является ^///-эпиморфным образом другой (теорема 2.3.10).

Таким образом, результаты второй главы диссертации проясняют взаимосвязи между произвольными ^//-эпиморфными образами одной ////-плоскости и дают важную информацию о их строении. Они показывают, что АН-плоскости можно классифицировать по наличию ^//-эпиморфных образов и указывают на место в этой классификации однородных ////-плоскостей.

-плоскости с улучшенной смежностью изучались в работе [32]. Однако, в ней, (см. [32], определение 8), утверждение, доказанное в следствии 2.3.6, принимается за исходный пункт, а в диссертации это утверждение является одним из ее заключительных результатов. Кроме этого, определение улучшенной смежности, данное в статье [32], фактически означает дополнительное требование того, чтобы ^//-морфизм сохранял смежность точек.

В третьей главе диссертации изучаются алгебраические связи, возникающие между АН-тернарами, координатизирующими изоморфные АН-плоскости. Решение подобных задач в различных классах инцидентностных структур привлекало постоянное внимание многих известных математиков. Эти задачи возникли, благодаря вышедшей в 1962 году монографии М. Холла [13]. Следует отметить, что наиболее выдающийся вклад в их решение, в случае однозначных проективных плоскостей, внесли Л.А. Скорняков ([11], [12]), Г.Е. Мартин ([55], [56], [57]), Ф.В. Стивенсон [64]. Среди работ недавнего времени, посвященных данной проблеме, следует также отметить [7].

В связи с появлением алгебр, координатизирующих произвольные АН и РЯ-плоскости ([6], [15]), эта задача стала актуальной и для класса ельмсле-вовых плоскостей, что и было отмечено в обзоре [1] Б.И. Аргуновым и Е.П. Емельченковым.

Пусть АН-тернар Н построен над репером Д(р0, /?„ р2) АН-плоскости <Н, а ЛЯ-тернар Н' - над репером К %Ро, р[, Р2) АЯ-плоскости «Я'.

В диссертации решение, указанной выше задачи, привязано к различным случаям взаимного расположения репера ДД) = (ЛРо)>Лрд,ЯР2)), являющегося образом реперис.1). Поэтому рассматриваемые в диссертации изоморфизмы ^Я-плоскостей называются ре-перными изоморфизмами. Понятно, что решение этой задачи для различных А Я-плоскостсй ведет к параллельному решению аналогичной задачи, описывающей алгебраические связи, возникающие между различными АН-тернарами одной ^Я-плоскости.

В первом параграфе главы вводятся понятия а)-изотопий ЛЯ-тернаров (определения 3.1.1— 3.1.10).

Затем в теоремах 3.1.1-3.1.10 установлено, что ЛЯ-тернар Н со (-изотопен (/ = 0,1,2,.,9) ЛЯ-тернару Н' тогда и только тогда, когда существует изоморфизм/: такой, что соответственно: ра Я(р0, рь р2) при изоморфизме / и репера ЛХРо>Р\»Р2)

Рис. 1

0)ЛРо) = Ро,Лрд = Р\ ,ЯРг) = Р'г;

Ро,т=

2)Лро) = р'о,Лр2)= Р2,ЛХ)=Х'; 4 )ЛУ)=У;

5)№=х'ъплг)~пг\

6)лх)\\х'и ЯУ)\\Г-,

7)ЛУ) II Г;

8) Щу)~Пу>\

9) Д^) =ХГ и /2д у) ф Пг.

Во втором параграфе решена анонсированная выше задача. Для ее решения введено понятие ^//-тернаров, связанных цепочкой &>изотопий (определение 3.2.1), и в теореме 3.2.1 доказано, что ^//-тернары Н и Н' координа-тизируют изоморфные ^//-плоскости в том и только в том случае, если их можно связать цепочкой не более чем из четырех <х>-изотопий вида со0 — со9.

Далее в этом параграфе вводятся понятия еще двух ¿и-изотопий: со10 и (х)п, после чего задачу, поставленную в начале этой главы, удается решить без применения цепочки аьизотопий. Ее решение приводится в теореме 3.2.4, согласно которой АН-тернары Н и Н' координатизируют изоморфные АН-плоскости (или одну ^//-плоскость) в том и только в том случае, если На>3 Нг или На>иНг.

Кроме указанных в данном обзоре основных результатов, в диссертации доказан и ряд других промежуточных и вспомогательных утверждений.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы из 68 наименований. Нумерация утверждений и формул соответствует главе, параграфу и порядковому номеру, например (2.2.5) означает пятая формула второго параграфа второй главы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

На защиту выносятся следующие результаты: структуризация ЛЯ-тернаров с помощью обобщенных тернарных колец Холла со смежностью ((хйТТ?) и частичных тернарных колец со смежностью (СНТЯ0); исследование ЛЯ-морфизмов ЛЯ-плоскостей методом тернарных колец; описание алгебраических связей, возникающих между ЛЯ-тернарами, координатизирующими изоморфные ЛЯ-плоскости; алгебраический метод тернарных колец для исследования свойств аффинных ельмслевовых плоскостей.

Данная работа выполнена в 2008 году и основана на значительно переработанных и дополненных новыми результатами статьях [17,21,24]. При получении и обосновании геометрических результатов диссертации в основном используется координатизация ^/-плоскостей ЛЯ-тернарами.

Диссертация носит теоретический характер в области геометрии инцидентностных структур с приложениями в общей алгебре. Все основные результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Предложенный в диссертации подход к координатизации ЛЯ-плоскостей с помощью обобщенных тернарных колец СЯТК и СНТЕ0 может быть реализован и для ельмслевовых проективных плоскостей относительно РН- тернаров, введенных в [6], а а;-изотопии, рассмотренные в данной диссертации, могут быть подвергнуты дальнейшему исследованию, как в алгебраическом, так и в ^ геометрическом направлениях.

Результаты, приведенные в диссертации, неоднократно докладывались на научных семинарах СГПИ им. К. Маркса, руководимых профессором Б.И. Аргуновым; научном семинаре кафедры алгебры и геометрии СОГУ; международной конференции «Системы компьютерной математики и их

1. Аргунов Б.И. Инцидентностные структуры и тернарные алгебры / Б.И.Аргунов, Е.П. Емельченков // Успехи математических наук. 1982.Т. 37. Вып. 2/224. С. 3 - 37.

2. Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л.: Гостехиздат, 1948.

3. Емельченков Е.П. Инцидентностные структуры и координатизирущие их алгебры / Е.П. Емельченков, Н.Л. Шатохин // Труды семинара по инцидент-ностным структурам Деп. в ВИНИТИ, № 5402-85 ДЕП. С. 21 26 (5/2 е.).

4. Емельченков Е.П. К понятию «середина» в аффинных плоскостях / Е.П. Емельченков, Н.Л. Шатохин / Смоленский гос. пед ун-т. Смоленск, 1998. Деп. в ВИНИТИ, № 2601-В98 ДЕП. С. 1 11 (11/5 е.).

5. Емельченков Е.П. О (77, /)-коллинеациях у!//-плоскостей // Современная геометрия. Л., 1978. С. 1 8.

6. Емельченков Е.П. PH-тернар ельмслевовой проективной плоскости // Смоленский мат. сб. Смоленск, 1973. Т. 4. С. 93 101.

7. Зотов A.K. Н изотопии тернарных колец и изоморфизмы проективных плоскостей / Ун-т дружбы народов им. П. Лумумбы. М., 1983. 64 с. Библиогр. 25 назв. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 15.06.83, № 3281 - 83 Деп.) (514.161) 8 А682 ДЕП.

8. Никитин A.A. О гомоморфизмах свободно порожденных проективных плоскостей // Алгебра и логика. 1981. Т. 20. № 4. С. 419 426.

9. Никитин A.A. О свободно порожденных проективных плоскостях // Алгебра и логика. 1981. Т. 22. № 1. С. 61 78.

10. Скорняков Л.А. Гомоморфизмы проективных плоскостей и Т-гомомор-физмы тернаров // Мат. сб. 1957. Т. 43. С. 285 294.

11. Скорняков Л.А. Натуральные тела Веблен-Веддербарновой плоскости // Изв. АН СССР. 1949. Серия 13: Математика. С. 447 472.

12. Скорняков Л.А. Проективные плоскости // Успехи математических наук. 1951. №6. С. 112-154.

13. Холл М. Теория групп. М.: ИЛ, 1962.

14. Хубежты И.А. Проективные плоскости и их обобщения / И.А. Хубежты, Е.П. Емельченков. Владикавказ (Дзауджикау): Изд-во СОГУ, 2003.

15. Цыганова В.К. Н-тернар ельмслевовой аффинной плоскости // Уч. зап. Смоленского пед. института, XVIII. Смоленск, 1967. С. 44 — 69.

16. Шатохин Н.Л. АН-морфизмы обобщенных тернарных колец Холла со смежностью // Исследования по краевым задачам комплексного анализа и дифференциальным уравнениям: межвуз. сборник научных трудов / Смоленский гос. ун-т. Смоленск, 2007. Вып. 8. С. 100 — 104.

17. Шатохин Н.Л. Аффинные ельмслевовы плоскости и изотопии Н-тер-наров // Смоленск, 1978. Деп. в ВИНИТИ, № 2190-78 ДЕП. С. 1 15.

18. Шатохин Н.Л. Гомоморфизмы Н-плоскостей и РН-тернары // Геометрия инцидентностных структур и дифференциальных уравнений: сборник научных трудов/ Смоленский гос. пед. ин-т. Смоленск, 1981. С. 81-91.

19. Шатохин Н.Л. Гомоморфные образы битернарных колец со смежностью // Исследования по краевым задачам комплексного анализа и дифференциальным уравнениям: сборник научных трудов / Смоленский гос. пед. ун-т. Смоленск, 1999. С. 118 125.

20. Шатохин Н.Л. Изотопии планарных псевдотернарных колец и псевдоплоскости // Геометрия инцидентностных структур и дифференциальных уравнений: сборник научных трудов / Смоленский гос. пед. ин-т. Смоленск, 1981. С. 75-81.

21. Шатохин Н.Л. Невырожденные гомоморфизмы аффинных ельмслевовых плоскостей // Смоленск, 1978. Деп. в ВИНИТИ, № 2189-78 ДЕП. С. 1-11.

22. Шатохин Н.Л. Обобщенные тернарные кольца Холла со смежностью // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Ростов на Дону, 2008. № 3. С. 24 31.

23. Шатохин Н.Л. Обобщенные тернарные кольца Холла с улучшенной смежностью // Владикавказский математический журнал. 2008. Т. 10. Вып. 2. С. 58-62.

24. Шатохин Н.Л. О координатизации аффинных ельмслевовых плоскостей //

25. Труды семинара по инцидентностным структурам Деп. в ВИНИТИ, № 540285 ДЕП. С. 42-53.

26. Шатохин Н.Л. О координатизации псевдоплоскостей // Материалы 3-й конф. мол. учен. Ун-та дружбы народов (мат. физ. химия). 1980. М., 1980. С. 18 21. Деп. в ВИНИТИ, № 2583-80.

27. Шатохин Н.Л. Построение АН-тернаров над кольцами с делителями нуля // Системы компьютерной математики и их приложения: материалы международной конференции. Смоленск: СмолГУ, 2008. Вып. 9. С. 192 — 199.

28. Шатохин Н.Л. Реперные изоморфизмы аффинных ельмслевовых плоскостей и а) изотопии АН-тернаров // Владикавказский математический журнал. 2007. Т. 9. Вып. 4. С. 49-55.

29. Шатохин Н.Л. Тернарные кольца Ельмслева // Системы компьютерной математики и их приложения: материалы международной конференции. Смоленск: СмолГУ, 2008. Вып. 9. С. 186 192.

30. Ширшов А.И. О тернаре проективной плоскости // Алгебра и логика. 1981. Т. 24, № 3. С. 365 370.

31. Ширшов А.И. К теории проективных плоскостей / А.И. Ширшов, A.A. Никитин // Алгебра и логика. 1981. Т. 20, № 3. С. 330 356.

32. Andre J. Uber Homomorphismen projektiver Ebenen // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1969. 34. S. 98 114.

33. Artmann B. Hjelmslev-Ebenen mit verfeinerten Nachbarschaftsrelationen // Math. Z. 1969. 112. S. 163 180.

34. Artmann B. Hjelmslevsche Inzidenzgeometrie und Verwandte Gebiete-Literstur Verzeichnis / B. Artmann, G. Dorn, G. Torner // J. Geom. 1976. 7. № 2. S. 175-191.

35. Bacon P. Coordinatized Hjelmslev planes: Dissertation / University of Florida. Gainesville, 1974.

36. Bacon P. Hjelmslev planes with small invariants: Masters thesis / University of Florida. Gainesville, 1971.

37. DembowskiP. Finite Geometries // Ergebnisse Math. Berlin — Heidelberg

38. New. Vork : Springer, 1968.

39. Drake D.A. Affine Hjelmslev-Ebenen mit verfeinerten Nachbarschaften // Math. Z. 1975. 143. S. 15-26.

40. Drake D.A. Coordinatization of H-planes by H-modules // Math. Z. 1970. 115. S. 79- 103.

41. Drake D.A. Existence of parallelisms and projektive extensions for strongly n-uniformnear affineHjelmslevplanes// Geom. Dedic. 1974. 3. S. 191-214.

42. Drake D.A. On n-uniform Hjelmslev planes // Journal Combinat. Theory. 1970. 9. S. 267-288.

43. Drake D.A. Projective extensions of uniform affine Hjelmslev planes // Math. Z. 1968. 105. S. 196-207.

44. Graig Robert T. Extension of finite projective planes 1. Uniform Hjelmslev planes // Canad. J. Math. 1964. 16. № 2. S. 261 -266.

45. Hjelmslev J. Die naturliche Geometrie // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1923.2. S. 1-36.

46. Hjelmslev J. Einleitung in die allgemeine Kongruenzlehre // Danske Ved. Selsk., mat.-fys. Medd., 1929, 8:11; 1929, 10:1; 1942, 19:12; 1945, 22:6, 13; 1949, 25:10.

47. Hughes D.R. A class of non Desarguesian projective planes. Canad. J. Math. 1957. 9. № 3. S. 378-388.

48. Hughes D.R. Projective planes / D.R. Hughes, F.G. Piper. New York: Springer, 1973.

49. Klingenberg W. Desarguesshe Ebenen mit Nachbarelementen // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1955. 20. S. 97 111.

50. Klingenberg W. Euklidische Ebenen mit Nachbarelementen // Math. Z. 1954. Vol. 61. S. 1-25.

51. Klingenberg W. Projektive geometrien mit Homomorphismus // Math. Ann. 1956. 132. S. 180-200.

52. Klingenberg W. Projektive und affine Ebenen mit Nachbarelemeten // Math. Z. 1954. Vol. 160. S. 384-406.

53. Knuth D.E. Finite semifields and projective planes // Journal of Algebra. 1965. 2. S. 182-217.

54. Lorimer J.W. Coordinate theorems for affine Hjelmslev Planes // Ann. Mat. purs, ed appl. 1975. 105. S. 171 190.

55. Lorimer J.W. Morphisms of affine Hjelmslev planes / J.W. Lorimer, N.D. Lane // Atti Acad. Naz. Lincei. Mem C. Sei. Fis. Math. Natur. Sez. I 56. 1974. S. 880-885.

56. Lüneburg H. Affine Hjelmslev-Ebenen mit transitiver Translationsgruppe // Math. Z. 1962. 79. S. 260 288.

57. Martin G.E. Parastrophic planar ternary rings // Journal of Algebra. 1968. 10. S. 37-46.

58. Martin G.E. Projective planes and isogeic ternary rings // Mathematiche. 1968. 23. №1. S. 185-196.

59. Martin G.E. Projective planes and isotopic ternaru rings // Amer. Math. Monthly. 1967. 74. S. 1185 1195.

60. Pickert G. Projective Ebenen. Berlin: Springer Verlag, 1955.

61. Row D. A homomorphism theorem for projective planes // Bull. Austral. Math. Soc. 1971. 4. № 2. S. 155 158.

62. Row D. Homomorphisms of sharply transitive projective planes // Bull. Austral. Math. Soc. 1971. 4. № 3. S. 361-366.

63. Salzmann H. Homomorphismen topologischer projektiver Ebenen // Arch. Math. 1959. 10. S. 51-55.

64. Sandler R. On homomorphisms and images of projective planes and pseudo planes // Ser. math. 1973. 29. № 3-4. S. 279 292.

65. Stevenson F.W. Projective planes. San Francisco, 1972.

66. Stevenson F.W. Weakly isotopic planar ternary rings // Canad. J. Math. 1975. 27. S. 32-36.

67. TörnerG. Eine Klassifizierung von Hjelmslev-Ebenen // Mitt. Math. Sem. Giessen. 1974.

68. TörnerG. Homomorphismen von affine Hjelmslev-Ebenen // Math. Z. 1975.141. S. 159- 167.

69. Törner G. Uber Homomorphismen projektiver Hjelmslev-Ebenen // Journal of Geometry. 1974. 5, S. 1 13.

70. Wesson J.R. The construction of projective planes from generalized ternary rings // Amer. Math. Monthly. 1966. 73. S. 36 40.