Гравитационное излучение в нелинейных приближениях и самодействующий гравитон тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.16 ВАК РФ

ч-ТЗ - о А

; " млп

I J ¡1 и II

Санкг-Нетврбургокнй государственный университет

На прлвпх рукописи

У ИТ В л й н о Антонович

ГРАВИТАЦИОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ И САМОДЕЙСТВУЮЩИЙ ГРАВИТОН

01. 04. 1С • физика ядрп и эж'ментщмгга чпстиц

Авторсфервх

диссгртмрш ни снискание ученой степени доктор« «Ьиптко мптемптичсских ивук

Сонкт Петербург 1993.

Работ« выполнена в Институте астрофизики и физики АН Эстонии.

Официальные оппонент:

доктор физико-иатеыатических наук, профеооор

донтор физико-ыатаматичвских наун, профессор

• донтор физино-иатематических наук, профессор

Н.А.ЧЕРНИКОВ

Г.В.ШИШКИН

А.А.ГРИБ

Ведущее учреждение - Институт теоретической фиаини им,Л.Д.Ландау, Нооива (Черноголовка).

Защита'состоитоя 9 декабря 1993 года, в 15чао.30ыин., на заседании Специализированного совета Д.063.5?.Н по зацитэ диссертации на соискание ученой отепенн доктора Лизино-иатоиа-тических наук при Санкт-Петербургокои государственной унивор-ситвте по адреоу: iySOJit, Санкт-Петербург, Университетская наб.,7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Унивароитета.

УченыП секретарь специализированного оовата

- О.В.Чубшшкий-Надеждин

3.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В дпссертацт! изучаются волновые решения уравнений Эйнштейна п асимптотически плоском пространстве-времени с материальными источникам:! "островного" типа. Разрабатывается оригинальный матсмапгческий формализм тиегрированзся уравнений Эйнштейна в нелинейных приближениях. Обратное воздействие гравитационного излучения на метрику и источники описывается решениями качественно нового типа. Развивается теория с нелинейными калибровочными условиями, характеризующими самодействне гравитона.

Актуальность теми. Гравитационные волны заслуживают и настоящее время особого внимания по следующим причинам:

1. Проблема гравитационных волн связана с проблемой торможения гравитационным излучением , непосредственно наблюдаемым при двойном пульсаре ГБЛ 1913+10 (35) и некоторых других двойных пульсаров. На сложность проблемы торможенш гравитационным излучением указывает хотя бы то обстоятельство, что при исследовании аналогичной, но более простой проблемы торможения электромагнитным излучением в теории Максвелла накопилось немало разногласий, она до сих пор обсуждается в литературе, а многие фундаментальные монографии по теории электромагнитного поля излагают ос уклончиво (см. обзор И.П. Клепикова [ЗС]).

2. Проблема гравитационного излучения теснейшим образом связана с крайне трудной проблемой энергия грмштациокного поля. Для удовлетворительного определения энергии теорию гравитации или нужно строить на базе фундаментального пространства Мннковского, как это делается в релятивистской теории гравитации Логунова (РТГ) [37], или же ввести з теорию Эйнштейна дополнительные элементы, такие как фоновая связность [38], векторные поля, ортогональные реперы и условия, позволяющие определить эти элементы. Для нелокального определения энергии пользуются также спикоркшш т гвисторныыи

полями. В этой области имеется большое количество работ. Но следует отметить, что теория Эйнштейна в определенном аспекте совершенна и ее дополнение произвольными элементами может привести к внутренним противоречиям. Здесь имеется аналогия с уравнениями движения, которые в ОТО нельзя произвольно постулировать, а нужно выводить из уравнений поля. Точно также потеря энергии излучающими источниками следует из интегралов уравнений поля, и дополнительные элементы, которые вводятся в теорию Эйнштейна с целью определения энергии гравитационного поля, должны согласовываться с волновыми решениями нелинейных, уравнений поля в приближениях, в которых учитывается обратное воздействие энергии излучения на метрику.

3. Волновые решения уравнений Эйнштейна в нелинейных приближениях при дополнительных предположениях об асимптотическом виде решений или о пространстве функций, в которых ищутся решения, ограничивают допустимые группы пространственно-временных симметрии; общекозариантная группа (группа диффеоморфизмов) заменяется группой ВМС (Вонди-Метцнера-Сакса) [39]. Несмотря ни большие усилия, приложенные исследователями, статус группы ВМС в физгасе островных систем не совсем ясен. Мы считаем, что более детальное изучение самодействня сферических импульсов гравитационного излучения з асимптотически плоском пространстве-времени может дать полезные идеи для решения проблем, связанных с группой ВМС и выявления роли этой группы в физике элементарных частиц.

4. Проблема гравитационного излучения связана с проблемой квантования гравитационного поля. В рамках принятого сейчас формализма доказано, что в двухпетлевом приближении теория Эшщггсй-на неперенормируема. Вследствие этого квантовую теорию гравитации пытаются конструировать в рамках теории супсрструн, но в то же самое время отмечается, что если даже такую теорию удастся построить, в субплакковскоы секторе энергий она должна описываться перенормируемой полевой теорией, а не теорией суперструн [40]. Предлагаемые в данной диссертации принципиально новые пертурбативные схемы могут иметь значение и для квантовой гравитации.

5. Существуют детально разработанные схемы вывода уравнений движения, которые позволяют получать решения уравнений поля во "внутренних" областях пространства-времени. Эти решения нужно сшить с решениями во "внешних" областях, с решениями в волновой

зоне. На интегрирование уравнений Эйнштейна во внешних областях обращено значительно меньше внимания. Имеющийся здесь пробел нуждается в заполнении.

Цель диссертации. Изучение обратного воздействия гравитационного излучения на гравитационное поле и источники поля "островного" типа. Определеш!е общего решения вакуумных уравнений Эйнштейна в волновой зоне и детальное вычисление ряда решений вакуумных урыжеют Эйнштейна в нелинейных щтблнжениях в области пространства-времени О ~ {ж,£;г > Го} для некоторого го > 0 , где г радиальная координата. Интерпретация полученных результатов в рамках теоретико-полевого подхода к гравитации.

Зпдячп дпссертащгтг. Разработка а коордшгатах Бонд:! комбинированного метода последовательных приближений и одновременного разделения угловых переменных во всех уравнениях поля (с неразде-лягащикнея искомыми переменными). Метод должен позволять находить в нелинейных приближениях решения, удовлетворяющие условиям излуче;п!я, в том числе и условию ограниченности рещешгя во всей пространстве- времени. Из решения должны следовать не имеющие аномальной угловой зависимости монотонные изменения массы, импульса я импульса вращения источника, обусловленные радиационными потерями.

На основе анализа общего асимптотического решения, полученного в координатах Еонди. разработка теоретико-полевого формллнзыа самодействующего гравитационного излучения с неоднородным;! калибровочными условиями (ксоднородгалгцг условиями гармоничности). Новый формализм должен объединить преимущества калибровки Еон-ди с Гфеш^ухдестватхи гармонической калзхбровки.

Разъяснение не известгай'х ранее характерных свойств самодей-стлующего гравитационного хгзлучеши я новой полевой теории гравитации па более простом примере электродинамики Максвелла, расширенной введением л нее соетоподобных токов, моделирующих потоки анергии излучения п ОТО. (Светоподобными мы называем источники, движущиеся со скоростью света.)

б.

Научная новизна результатов.

В диссертации решена крупная физическая задача; в нелинейном приближении найдено общее асимптотическое решение для излучающих островных систем, удовлетворяющее условиям излучения Зоммерфсльда-Траутмана, в том числе и первому условию излучения (условию ограниченности решения) в окрестности вреыенеподобной бесконечности. Гешение получено с помощью разработанного во второй главе оригинального метода одновременного разделения угловых переменных во всех компонентах метрического тензора, заданных в координатах Бонда. Метод связан с применением шаровых функций со спином и приписыванием различным компонентам метрического тензора определенных спиновых весов. Наш метод позволяет описывать само действие энергки-импульса гравитационного излучения в форме монотонно убывающей массы источника и поперечной гравитационной волны, порожденной анизотропией потока энергии-импульса и определяемой уравнениями негиперболического типа. Другие авторы получают в координатах Бонда или с помощью формализма Ньюмена-Пенроуэа вместо убывания настоящей массы монотонные изменения, зависящие от полярных углов, которые ведут в окрестности времене-подобной бесконечности к расходящемуся решению. "Регуляризация" нашего решения получается за счет введения вторичной поперечной волны, определенной уравнениями эллиптического типа. Таким образом, самодействие гравитона приводит в нашей трактовке к волновым движениям негиперболического класса (см. определение Дж.Б.Уйзема

[41])-

На основе анализа свойств общего решения намечены основы нового научного направления, связанного с развитием ОТО как полевой теории класса Б (см. определение Б.И.Огиевецкого и И.ВЛолубаринова

[42]) с характерными для нес неоднородными калиброБочдшмн условиями. Невидимому, наша работа является первой попыткой в этом направлении. Соответствующие новые результаты изложены в пятой главе, а в четвертой главе разрабатывается другая, сравнительно простая модель полевой теории класса Б. Оказывается, что светоподобные токи, введенные формально в уравнения Максвелла, позволяют построить теорию, которая сравнительно хорошо моделирует нелинейные гравитационные волны. Поэтому мы развиваем в четвертой главе электродинамику Максвелла, расширенную светоподобньши токами, как макси-

)

мально простую модель характерных особенностей самодействия гра-витациотшого излучения и как сравнительно простую полевую теорию класса В, в рамках которой взаимодействующему электромагнитному ползо нецелесообразно приписывание определенного спина.

В третьей главе обобщен метод С.Л. Соболева [43], пригодный для применения только в полугеодезических координатных системах, на случай произвольных координатных систем. Новый метод позволяет описывать рассеяние волн на крнииэне пространства-времени.

Практическая ценность работы.

Разработагашй в диссертации метод интегрирования уравнений ЭйшптеГша и намеченные выше основы нового направления исследований имеют общетеоретическое значение. Развитый во второй главе э<}>-фехтивный метод разделения угловых переменных в калибровке Бонда позволяет находить математически корректные решения, обеспечивает физическую достоверность рзулыатов, позволяет обнаружить пр!Ш-цшшально новые физические явления и исследовать эффекты высших порядков. Дан строгий вывод используемой в пракпгческих рассчетах квадрупольной формулы. Развитый в диссертации подход к теории гравитации как к полевой теории класса В с характерными для нее неоднородными калибровочными услов11яаи открывает возможности нового подхода к некоторым трудным и нерешенным проблемам общей теории относительности н даже классической электродинамики.

Практическая ценность работы определяется кругом научных и прикладная задач, где разработанный метод находит применение. Полученные результаты могут быть практически использованы при описании процессов торможения электромагнитным и гравитационным излучением при непериодических движениях. Остановимся на одном из таких перспективных волновых экспериментов, на детектировании всплеска гравитационного излучения от столкновения нейтронных звезд [44]. Если практически все современные теории гравитации предсказывают существование гравитационного излучения, то различия между разными теориями проявляются з искажении формы импульсов радиации вследствие торможения излучением. Из нашей работы следует, что при рассчете формы всплеска гравтациоиного излучения , нужно учитывать суммарный эффект искажения формы всплеска гравитационного излучения силами радиационного трения и меняющимся вследствие

радиационного трения вкладом энергии связанного гравитационного поля в полную массу источника. Уменьшите пассы источника ведет к уменьшению красного смещения Первая половина задачи решена с помощью численных расчетов в работе [44].

Результаты диссертации могут быть использованы в квантовой теории гравитации при вычислении эффектов в высших приближениях в рамках новых схем последовательных приближений, подсказываемых неоднородными калибровочными условиями. Результаты диссертации могут быть использованы при доказательстве глобальных теорем существования решений волновых уравнений, из источников которых удалены с помощью неоднородных калибровочных условий части с плохой асимптотикой.

Тезисы, выносимые на защиту.

1. Метод последовательных приближений для интегрирования уравнений Эйнштейна, в котором используются шаровые функции со спином и компонентам метрического тензора в коордшсатах'Бонди приписывается определенный вес стогна. (Метод одновременного разделения угловых переменных во всех у1>авнсниях гравитациошюго поля).

2. Общее решение уравнений Эйнштейна во втором приближении в окрестности светоподобной бесконечности, удовлетворяющее условиям излучения Зоымерфельда-Храутмана.

3. Формулы для монотонных изменений массы, импульса и импульса вращения излучающей островной системы, вытекающие из решений уравнений гравитационного поля и содержащие функции интегрирования, связь последних в линейном приближении с источниками.

. 4. Вывод квадрупольной формулы без привлечения псевдотензоров и определение границ применимости этой формулы.

5. Обобщенная формула Кирхгофа для описания рассеяния излучения в искривленном пространстве-времени.

С. Теор1ш Максвелла, расширенная введением свет оно добных источников, как простая модель характерных особенностей самодействующего гравитациошюго излучения.

7. Возможность и целесообразность использовать неоднородные калибровочные условия в общей теории относительности и некоторые следствия, которые из них вытекают.

Апробация работы.

Результаты исследовшгай. изложенных в диссертации, опубликованы в 34 научных работах, и доложены на 3-ей, 4-ой и 7-ой Советских гравитационных конференциях "Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности н гравитации" (Ереван, 1972г., Минск, 1976г., Ереван, 1988г.), на 5-ой и 9-ой международных гравитационных конференциях (Тбилиси, 19С8г., Пена, 1980г.), на П1 Международной гравитационной конференции имени Марселя Гроссмана (Шанхай. 1982г.). на Всесоюзном рабочем совещании "Гравитация и электромагнетизм'' (Минск, 1901г.), на II-V международных семинарах "Гравитационная энергия и гравит<чциош1ыс волны"' (Дубна, ШЭ, 1990, 1991, 1992 гг.). на XIII, XIV и XV международных семинарах "Проблемы физики высоких энергий и теории поля" (Прот-шм, 1990, 1991, 1992 гг.), на семинарах п Калифорний« ои технологическом зшетитуте, в университетах Пнттсбурга и Викторин, а также многократно на семинарах Института физики Эстонской Академии и Тартуского ушгвсрситсча.

Публикации. Основные результаты опубликовали з работах [134].

Структура п обарм паботы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 240 наименований. Объем диссертации составляет 190 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

В целом содержание диссертации распадается на две большие части и дополняющие и соединяющие их раздели. К нерпой части (глава И) относятся работы по нахождению волновых решений уравнений

ю.

Эйнштейна d нелинейных приближения* в координатах Бонди, где решения имеют хорошую асимптотику (т.е. удовлетворяют условиям излучения). Затем мы переосмысливаем свои результаты с точки зрения спина самодействующего гравитона и в конечном счете приходим ко второй существенной составной части (глава V) диссертации, к альтернативной формулировке общей теории относительности как полевой теории гравитации с неоднородными или нелинейными калибровочными условиями.

Во Введешги мы останавливаемся на возникновении проблематики диссертации и даем краткий обзор направлений исследований в теории гравитационного излучения, связанных с тематикой диссертации. Здесь же обосновывается актуальность темы диссертации, определены цели и задачи работы, изложено краткое содержание глав, оформлены тезисы, выносимые на защиту.

Проблематика диссертации выросла из анализа работ по энергии гравитационного поля. Очень скоро мы убедились, что построением псевдотензоров и комплексов энергии-импульса гравитационного поля трудно получить существенно новые результаты, и решили определить радиационные потери непосредственно из решений уравнений поля. Эт i задача не является тривиальной. Например, в гармонических координатах первоначально статическая метрика для островного источника с массой m содержащая слагаемые const • m/r, вследствие радиационных потерь АЕ приобретает трудно интерпретируемые поправки типа ЛЕ\пг/г см [45,§87]. Здесь

U

A%i),ip) = 4ic J <т(и',#,ч>)<1и , (1)

«о

а вклад нелинейных членов в уравнения поля имеет вид

(2)

где r,t? и v3 — полярные координаты, а и — изотропная (эапа^шзт-ющая) координата времени; и = const уравнение светового конуса с

и.

верпсшой б начале пространственных координат. Мы поставили задачу нахождения калибровки, в которой унесенная излучением масса Л- АЕ входит в решение уравнений поля в комбинации т — 11 пришли к координатной системе, которая асимптотически совпадает с координатной системой, введенной ранее з работе X. Бонди [46]. Аогмптотические тгтегралы уравнений поля в координатах Бондн дают следующий линейный элемент [45]

<1,2 =

1 2~<1

СгТ

-АЕ)

</и2 + 2<1и ¿г + ...

(3)

где и Ь ~ т-, р. АЕ определена соотношении (1). Но и решение (3) не является вполне удовлетворительным. Величина АЕ зависит от полярных углов, и в процессе излучения масса источника эволюционирует в зависящий от полярных углов аспект массы М(и,\),<р) = т — Л- АЕ(и. ¡9, ¡р). Чтобы получить формулу для потерн массы. X. Бондн и др. [46] определяют массу как усредненный по сфере аспект массы. Вслед за X. Бонди таким же образом поступают вплоть до настоящего времени многие исследователи, в том числе и те, которые применяют сгтнорзсый формализм Ньюмэна-Пенроуза. Но более детальный анализ покачал, что зависящий от полярных углов аспект массы порождает решения, расходящиеся в окрестности временеподоб-ной бесконечности. Мы решили исследовать вопрос более подробно и для получешы более удовлетворительного решения разработали 1ю-вую методику интегрирования уравнении! Эшаптенна. Предлагаемые нами решения проливают новый свет и на некоторые пртецитшалькые вопросы.

I» первой главе, в первом параграфе приводится аксиоматика А. Лилшеровижса [47] общей теории относительности как геометрической теории пространства временя, базирующейся на современной формулировке дифференциальной геометрии. В работах [2-4] анализируются противоречия, которые могут возникнуть при раеппфегаш аксиоматики Л^пинеровикса. Один из интересных аспектов аксиоматики А. Лиашеровнкса в том, что ее строгое соблюдет«; сближает некоторые результаты общей теории относительности с результатами релятивистской теории гравитации А.А.Логунова. Например, уже в

теории Эйнштейна в гармонических координатах появляется зависимость центрально-симметричных гравитационных полей от структуры источников [С, 7].

Во втором параграфе дается формулировка общей теории относительности п виде полевой теории гравитации как с ненаблюдаемым, так и с выделенным пространством Минковского. Эта проблема представляет для нас интерес в связи с тем, что при налич1ш потоков излучения соблюдение условий излучения ограничивает калибровочный произвол общей теории относительности и выделяет определенные типы пространств Минковского. В споре о существовании или несуществовании в теории гравитации независимого пространства Минковского мы усматриваем в философском аспекте продолжение начатого в 17-ом веке знаменитого спора между Ньютоном и Лейбницем о том. является ли пространство самостоятельной сущностью или же только системой отношений между телами [48].

В третьем параграфе анализируются граничные условия в виде постоянных гравитационных полей, приводится математическая конструкция лифта Эйнштейна и ее интерпретации в рамках полевой теории гравитации как с ненаблюдаемым, так и с выделенным пространством Минковского.

В четвертом параграфе дается формулировка условий излучения, накладываемых на волновые векторные и тензорние поля в волновой зоне, так называемых условий излучения Зоимерфельда-Траутмана [49].

В пятом параграфе обсуждаются доказательства существования решений уравнений Эйнштейна.

Результаты первой главы изложены в работах [2-10].

Во второй главе разрабатывается и применяется оригинальный метод для определения гравитационного поля п-ого приближения нестационарных источников островного типа в области I) = {¡г, 4; г > г0} для некоторого постоянного То, где г радиальная координата. Под "островными" источниками подразумеваются пассивные источники, находящиеся внутри сферы радиуса г0. Используются координаты Бонди, в которых искомые переменные п-ого приближения не отделяются, но при подходящей выборе спина я шаровых функций со спином, по которым разлагаются в ряд различные компоненты метрического тензора, можно одновременно во всех уравнениях поля п-ого

приближения разделить угловые переменные. В аксиальносимметрич-ноы случае шаровые функции со сгогаоы » переходят а присоединенные полиномы Лежандра P¡;' '(cost?).

В первых двух параграфах изучается своеобразная структура уравнений Эйнштейна в координатах Бонди в аксиальносимметрнчном случае и определяются интегралы линеаризованных уравнений Эйнштейна при наличии электромагнитного излучения и интегралы уравнений Эйнштейна второго приближения для случая гравитационного излучения. Полное решение (учитывающее все степени г-1) приводится для дилольного электромагнитного и квадрупольного гравитационного излучения.

В третьем параграфе вводятся шаровые функции со спином ,Yim($,tp) и операторы О, и 0,, соответственно повышающие и понижающие индекс егшна я, а всем компонентам метрического тензора приписывается определенный вес cinara. Это позволяет обобщить результаты двух предыдущих параграфов на случай без симметрии. Шаровые функции со спином можно получить, фиксируя один из углов Эйлера обобщенных сферических гармоник, введенных в монографии [50].

Приведем приближенные выражения для линейного элемента и асимптотических решений уравнешгй Эйнштейна (точные формулы можно найти в диссертации и работах [18] и [19]). В изотропных полярных координатах {ti г t — <;>} в калибровке Бонди имеем

rf..2 и + du2 + 2dudr + 2r7dn{Udti + sm,nVd<p)

- r2 [e^dii* + c^sin^V + 2smh2£sin!?¿p] .

Введем следующие комплексные функции: G s U — iW, F ~ y — i5 = r("i'bv) Функцию r.(u. i?, 9?) называют функцией информацтг,

она определяет попречнуго гравитационную волну и содержит всю информацию об эволюции метрики. Общее решение во "внешней" области содержит кроме ¡p) еще следующие функции гаггегрирования

оо I 1=0 m—-i

Пусть

oo oo /

= X) a«'m(u)-2»ím(l>,v)r-B -

n=l 1=2 m=-l

Так как (t9, ip) = 0, если i < то без огршшчения общности можем считать а„оо — 0, a„im = 0,1Д)о = 0.

Из уравнений Эйнштейна получаем:

G = - 1){Í + 2)etfm(ti)r-a + 2и„(и)г~3] -l Ylm{0,v)

l,m

+ 0( r-4),

V = £ -2w»(«) + r^l oHm(t?,v) + 0(r-2) ,

í,m ^ J

йт = - J л/íy+l) - 1)1(1+ l)(l + 2)a¡i„

И) (5)

- jí«"» >

_ (n-l)(;-r. + l)(i + n) y/V-l)(l + 2)

a-+1',m--2(n + l)(«-2)-~ -i-Ч™ (6)

+ ~~ínlm("), (n>2),

ajim = o , anoo = 0 , a„im = 0 .

Точка над символом обозначает производную по и, а черточка над символом операцию комплексного сопряжения, н /¡т ±

( — l)m/i,_m ;<?nlm — это коэффициенты разложения определенных комбинаций нелинейных членов в Лм„ или компонент тензора энергии импульса EpV электромагнитного поля. Hanpimep,

4^00 = ЪышЫМ*,*) + 0(г-3)

rJ

8т ^ - ¿¿о,) = Ът-пМ-М*'*) + 0(г_3) .

Если рассматривать электромагнитное излучение в линеаризованной теории Эйнштейна, приходится разлагать по шаровым функциям со сшоши компоненты тензора вычисленные в пространстве Мин-

ковского, что исключает неоднозначность при интерпретации коэффициентов qnim.

В стационарном случае имеем в волновой зоне следующее решение уравнений (4) и (5):

Роо = V^m , /1ю ~р_. , ЙИ ~1К- ~ iPit > "Го ~ 1' < l'\\ Ну ,

"i+o ~ Р*" . ~ (Рг - ips)« ,

где т,р и I обозначают соответственно массу, импульс и момент stM-пульса источгпгка. Точкые зкачетня коэффициентов пропорцпоггалт,-ности приведены в диссертации, в целях простоты записи мы их здесь опустили.

Из определения величин q следует:

вооо = -VÖxSm , дою ~ 8рг , ?o"u ~ ¿Рх - iSpy , ?Tio ~ . <7т ~ ^ ~ Шу >

где im, £р и обозначают усреднешгые по поверхности единичной сферы плотности потока массы, импульса и момента импульса электромагнитного или грдвптацношгаго излучения. При / = 0,1 из уравнений

(4), (5) следует

Аоо = 9ооо или m = —6т , Aim = golm ИЛИ р = -6р , vim = 9llm ИЛИ I = -61 .

Далее, при / > 2, нас интересуют следующие специфические решения

уравнений (4) и (Б):

Alm = 0 , (7)

¿■(ш = 0 , (8)

+ + = -49о,т , (9)

W-l)(i + 2)i(/+l)«-r„ = -49~т . (10)

При интегрировании уравнений (7) и (8) положим

Pim = 0 , если I > 2 , (И)

щт = 0 , если I > 2 . (12)

Теперь ряд рекуррентных уравнений (6) обрывается при п = 2 и ре-

шения в виде конечных полиномов по степеням и/г, расходящиеся в окрестности временеподобной бесконечности, исключаются.

В нашем решении неиэотропность потока энергии, импульса и момента импульса, характеризуемая коэффициентами разложения tjoim и </цт при i > 2 порождает вторичную поперечную гравитационную волну c(u,i?,v) с коэффициентами разложения ацт(и), определенную уравнениями (9) и (10). Другие авторы полагают (в переводе в наиш обозначения) ацт = 0 и интегрируют следующие уравнения: Aim = iolm,Vim = ~з\Л(' + l)/'lm- Jiilm• Но теперь нужно учитывать и уравнения (6):

а31т = l)(i + 2)f,m ,

¿4/m = ^(l-2)(i + 3)a3/m ,

и т.д.

(Вклад коэффициентов ?2/т в решение мы здесь не рассматриваем.) Если <7о 1„, и <1\1,п при I > 2 меняются монотонно, то после прохождения импульса излучения имеем зависящий от полярных углов аспект массы М(д, у), а решение уравнеютй Эйнштейна получаем в виде конечного полинома по степням и/г, расходящегося в окрестности временепо-добной бесконечности. Итак, наше специфическое частное решение является единственным, ограниченным во всем пространстве-времени решением для самодействующего гравитационного излучения.

В четвертом параграфе путем перехода к гармоническим координатам устанавливается связь линеаризованного гравитационного поля в волновой зоне с источниками, что позволяет выразить Щт, &п1т и <1„!т через мультипольные моменты источников "островного" типа.

В пятом параграфе непосредственно из решений уравнений поля без привлечения каких-либо псевдотензоров, выводится известная квадрупольная формула и анализируются некоторые принципиальные вопросы.

Результаты второй главы изложены в работах [11-21], самые существенные из них суммированы в статье [19], предварительный вариант которой вышел в виде препринта [18].

Во второй главе развит сравнительно прямолинейный п строгий, но нестандартный формализм интегрирования уравнений Эйнштейна. Поэтому ми попытались а пятой главе перевести часть результатов па более привычный язык, опираясь на аналогию с расширенной электродинамикой, разработанной в четвертой главе.

П третьей главе обобщается работа С.Л. Соболева [43] и развивается формализм для изучения рассеяния волн на кривизне пространства яреырии.

В первом параграфе мы приводим без вывода формулу Кирхгофа, обобщенную на случай искривленного пространства-времени и анализируем ее физическое содержание, откладывая вывод самой формулы до третьего параграфа.

Во втором параграфе остановимся на применяемом обычно методе Ж.Адамара [51] (методе функции Грина) изгтегрирования гиперболических уравнений с непостоянными коэффициентами.

В четвертой параграфе мы сводим интегрирование волновых уравнения электромагнитного и гравитационного поля на фоне метрики Шварцшильда к интегрированию одного скалярного волнового уравнения.

В пятом параграфе мы находим отраженные на кривизне пространства-времени Шварцшильда сферические импульсы квадруполь-ного излучения, пользуясь методом, разработанным в предыдущей главе для вычисления коэффициентов разложения решения, и суммируя затем соответствующие бесконечные ряды.

Важным результатом данной главы является выявление того обстоятельства, что масса Шварцшильда не обуславливает рассеяния (отражения) сферических асимптотических потоков энергии и импульса: отраженное в волновой зоне иэлучешю описывается множителями при высших степенях г-1. Это означает, что при анализе асимптотического вида гравитационного поля самодействующих сферических импульсов излучения нет необходимости учитывать отражение излучения. Результаты третьей главы опубликованы в работах [22-24].

В четвертой главе изучается электродинамика Максвелла, расширенная введением в нее в дополнение к обычным токам еще и сферических без^ассовых импульсов тока движущихся со скоростью света к моделирующих потоки энергии-импульса электромагнитного и гравитационного излучения в общей теор!ш относительности. Более детальный анализ показывает, что непонятые до настоящего времени особенности гравитационного излучения не связаны, в первую очередь, с искривленностью пространства-времени или с нелинейностью уравнений поля, а связаны со светоподобныы характером источника самодействующего гравитационного поля: энергия гравитационного (как и электромагнитного) поля распространяется со скоростью света. Хотя и рассматриваемая нами расширенная электродинамика и является чисто формальной теорией (не существует физических процессов превращения массивных токов в бсзыассовыс), иа ее примере проще всего разъясшш. некоторые особенности самодействующего гравитационного излучения, избегая осложнении, обусловленных в ОТО более сложным, чем в теории Максвелла, тензорным характером поля, кривизной пространства-времени и нелинейностью уравнений поля.

19.

Пусть мы имеем светоподобный ток, моделирующий поток энергии импульса в ОТО:

<т(и,1?,у>)

3' — ——---к* , если < и < «2 ,

г2

3* = 0 , если и < щ или и > «2 ,

оо I 1=1 т=-1

(13)

Пусть

«(и) = 4т / о-о(и') ¿и' .

У»,

Ток (13) порождает следующее решение уравнений Максвелла:

где и поперечные шаровые векторы [52]. Кроме кулоповского поля с убывающим зарядом мы имеем еще трансвсрсальнуго электромагнитную волну, источники ег/,п которой распространяются вместе с волнох'1.

Пусть Е — Ё^ + г — О. Решение (14) и (1Ь) получаем,

если да!шые Коши, удовлетворяющие уравнегапо связи выберем в вице решений следующих уравнений

¿1У2?Ц = 4лчг0/г2 ,

= 4я-(<т - (Го)/г2 .

Аналог решения с аспектом массы (решение с зависящим от полярных углов "аспектом заряда") получается, если взять данные Коши в виде следующих решений уравнения связи

Применяемое при обычных источниках разложение Ё = Ёо + ¡^а<1Ф, = 0, приводит к уравнению связи ДФ = 4тгЗ°, чем

исключаются рассмотренные выше решения.

Хорошо известных полей, порожденных токами ^, мы здесь не рассматриваем.

Во втором параграфе находим из уравнения

з ОА» - = 4*(3" + Л , (1С)

в^кторяоте1щиал полей (14) и (15), как удовлетворяющее условиям излучения решение:

ло_ У-дМ - ; .

л = г 7 - 7 £ ¿ЩТТ) 9)' (17)

г<т(и) е 4х / £г(т(и') ¿и' .

Последнее решение можно получить также из следующего уравнешш:

= —4x3° . (18)

В лоренцевой калибровке векторлотенциалы (17) ведут себя асимптотически как 0(1пг/г), где г радиальная координата, а при г —> оо решения не принадлежат к пространству Гильберта, в котором можно производить ортогональную декомпозицию решений яа части, имеющие различные значения стша. В третьем параграфе приводятся аргументы» пользу того, чтобы взаимодействующему со светоподобныш! источниками электромагнитному полю не приписывать определенного спина, а в четвергом параграфе соответствующая полевая теория трактуется как теория класса В с характех>ными для теорий подобного типа неоднородными калибровочными условиями, которые предлагаем выбрать в виде уравнешш (18), чтобы удалить из источников уравнений поля (16) члены с "плохой'' асимптотикой О (г-2). В калибровке (18) получаем волновое уравнение с несохраняющкмся источником. Интегралы этих уравнений анализируются в простейшем,

центрально-симметричном случае. В пятом параграфе обсуждаются проблемы лоренц-штариантности и калибровочной инвариантности. Результаты четвертой главы изложены в работах [25-28].

В пятой главе предлагается альтернативный подход к гравитационному излучению с использованием неоднородных или нелинейных калибровочных условий, ''удаляющих" часть источника с самой неудобной асимптотикой к оставляющих нам волновые уравнения с не-сохраняющимися источниками. Здесь мы предлагаем своего рода компромисс между расчетами в координатах Бонди и расчетами в гармо-шгческих координатах.

Пусть в прямолинейных декартовых координатах

уС^/«' = ,г + -К" , = + о (г-2) .

г

Точные уравнения Эйнштейна для Ф'1" можно написать э следующем виде

- " - " + = (г"" + Ё»" + , (19)

где У" тензор энергии-импульса компактных массивных источников, Е'ш тензор энергии-импульса электромагнитного поля, а означает нелинейные члены в

("" = Щ^МкГ + О (г-3) , (20)

г2

кр = г?'">и „ — волновой вектор,

(21)

В первом параграфе обсуждаются трудности, возникающие при применении проекционных операторов, выделяющих поля с определенным спином, к решениям уравнений Эйнштейна (19) для взаимодействующего (Е1'" ф 0) и С1шодействующего (4''" ф 0) гравитона. Спиновая структура решений линеаризованных уравнений Эйнштейна с массивными островными источниками детально изучена. Предполагается, что ортогональная декомпозиция поля на части спинов 2,1,0 и 0' осуществима. С помощью условий гармоничности ^ = 0 можно сделать гравитационное поле максимально неприводимым, удаляя части поля сгаша 1 и 0'. Поле излучения — это чистое поле спина 2, в то время как в ближней зоне налицо также поле спина 0, источником которого является след тензора материи.

Обычно эти свойства свободных линеаризованных гравитационных волн, испускаемых источниками островного типа, приписывают и гравитационному излучению в точной нелинейной теории Эйнштейна. Нашей целью не является доказать, что такой подход ведет обязательно к неправильным результатам. Здесь мы просто развиваем альтернативный подход к самодействующему гравитационному излучению, не приписывая нелинейному гравитону определенного спина. Вычисляются решешья нового пша, которые в волновой зоне эквивалентны решениям, найденным во второй главе и отчаются от решений, предложенных другими авторами.

Во втором параграфе рассматривщотся линеаризованные уравнения Эйнштейна (19) с источниками в виде тензора энерпш-импульса электромагнитного поля в плоском пространстве-времени

= Е^" + О (г-3) ,

Е** = , (22)

г*

где функция о определена известными формулами теории Максвелла [52]. На ураинс1шя поля налагают калибровочные условия

0 = -8кЕа0 , (23)

и определяют интегралы зтих уравнений. Интеграл неоднородного калибровочного условия определяет только ту часть решения уравнений поля, которая обусловлена радиационными потерями. К решешпо

гз.

неоднородных калибровочных условий может быть добавлено произвольное решение однородного калибровочного уравнения, кохскретный вид которого определяется уравнениями поля. Показано, что решение уравнешш поля (удовлетворяющих неоднородным калибровочным условиям) содержит решение уравнений калибровочных условий, если учитывать условия интегрируемости уравнений поля (закон сохранения энергии)

(Г""+ = -£'";„ • (24>

где — тензор энерпги-импульса связанного электромагнитного поля

ЕЦ" = Ё^ - Е"" .

При интерпретации результатов, наряду с величинами Ф**", мы пользуемся также величинами = ц1'" — . Удобной для вычислении уменьшения массы нсточзшка является следующая ОО-коьшонента уравнений поля в ь .либровке (23)

□Ь00 = Щ2Т00 - Г)00Г + 2Е°°) , (25)

которую можно получить, если воспользоваться формулой (Г.35) работы [45]. Рассмотрена система точечных зарядов, связанных силаз-и кулоновского взаимодействия, к системе применена теорема тгрнала.

В третьем параграфе теория торможения электромагнитным излучением, разработанная в классической электродинамике Максвелла, переносится в рамки ОТО и показывается, что неоднородные коорди-наппле условия (23) имеют разумное физическое содержание.

Пусть у нас имеется два заряда е\ и Сг с массами и ж2, удовлетворяющих условиям е\/т\ Л' . Теперь излучением второго заряда можно пренебречь и решение калибровочного условия (23) можно продолжать во внутрь системы вплоть до первого, излучающего точечного заряда. Если вокруг точечного заряд» построить ин-финитезимальну» мировую трубку, производить по ней интегрирование и регуляризацию, то из уравнения (24) можно получить уравнение Лоренца-Д1траха и силу торможения электромагнитным излучением [53], под воздействием которой энергия островной системы как источника гравитационного поля уменьшается. Из решений неоднородных калиброиочных условий, найеннцх в §2,следует

,,«0 = 1 (2С)

где —\Уо описывает энергию, унесенную электромагнитным излучега!-ем. С другой стороны, />°° можно вычислить из уравнения (25) и также получить выражение (20). Показано, что в случае квазипериодического движения точечных зарядов, связанных кулоновскими силами, источник уравнения (25) содержит члены, описывающие сумму кинетической и потенциальной энергии источника, уменьшающейся в соответствии с законом (не)сохраненил (24).

Обсуждаются некоторые трудности классической теории торможения излучением.

В четвертом параграфе результаты третьего параграфа обобщаются на случай самодействующего гравитационного излучения.

В пятом параграфе калибровочно-инвариантные результаты, полученные в рамках расширенной электродинамики (Гл. IV, §1), обобщаются на случай электромагнитного излучения в линеаризованной теорш! Эйнштейна. Используя калибровочло-инварнантныЯ сшшор-ный формализм Ньюмэна-Пеироуза, получено решение, кототос описывает радиационные потери энергии, импульса и импульса вращения излучающего источника и трансверсальную волну, которая определена уравнениями связей на световом конусе и источником которой служит неизотропность потока энергии, импульса и импульса вр.оцения электромагнитного излучения.

Путь к результатам данной главы молшо проследить по нашим докладам [29-31, 34] на семинарах "Гравитациошше волны и энергия гравитациошгаго поля" в Дубне в годы 1089-1992, а т;ккжс по работе [28].

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ПОДУЧЕННЫЕ В ДИССЕРТАЦИИ

1. Показано, что условия излучения Зомыерфельда-Траутмана, введешпле с целью гарантирования единственности решешш уравнашй Эйнштейна, эквивалентны следующим предположениям:

а) метрический тензор дРиыанова пространства-времени удовлетворяет уравнениям Эйнштейна и

б) в хвазидекартовых координатах имеет следующую асимптотическую форму (и = £ — г/с)

где а'"' ограниченные функции.

2. Присваивая раэличзгым компонентам метрического тензора в уравнениях Эйнштейна, записанных в калибровке Бонди, определенный вес спина, разработан метод разделения угловых переменных для нахождения решений уравнений Эйнштейна в нелинейных приближениях. Найденные нами ¡Решения удовлетворяют условиям излучения Зоммерфельда-Траутмана в окрестности светоподобной бесконечности и являются конечзгими в окрестности временеподобной бесконечности. (Отметим, что если В.Л.Фок [45] считает условие ограниченности от-делыгым условием, налагаемым на решения волновых уравнений, то А.Траутыан [40] факигчески включает это условие в условия излучения.)

3. Из решений уравнений поля получены формулы для монотонных изменещ;й (радиационных потерь) массы, импульса и импульса вращения произвольных излучающих островных систем. Формулы содержат комплексную фуккгрпо интегрирования, функцию 1шфорыацни. В от-гагше от результатов других авторов, мы получаем монотонно убывю-щуто массу излучающего источника без дополнительного усреднения решения по сфере.

4. В линейном приближении найдена связь функций интегрирования Бонди с источниками.

5. Непосредственно из решений уравнений поля выведена квадру-нодытая Формула.

0. Приведены решения уравнений Эшшггейна для электромаппгт-ного дипольиого излучения в линейном приближении н для гравитационного квадрупольного излучения во втором приближении. В решешш учитываются все степени г-1.

7. Формула Кирхгофа обобщена на случай произвольной фоновой метрики.

г

8.' Найдена отраженная в поле ТПварцпшльда сферическая ква-друпольная волна.

9. С помощью введения в теорию Максвелла в дополнение к обычным токаи светоподобных токов (сферических импульсов тока, движущихся со скоростью света), построена расширенная электродинамика, моделирующая некоторые свойства самодействующего гравитационного излучения. Показано, что светоподобные токи порождают волновые движения негиперболического класса, определенные уравнением связи. Приводятся аргументы в пользу того, чтобы этим полям не приписывать определенного спина. Предлагается развивать теорию соответствующих полей как теорию класса Б, с характерным для нее неоднородным калибровочным условием.

10. Проинтегрированы линеаризованные уравнения Эйнштейна при наличии электромагнитного излучения, воспользовавшись неоднородными калибровочными условиями. Показано, что монотонное уменьшение массы источника, вытекающее из решений неоднородных калибровочных условий, следует также из решений уравнений поля, удовлетворяющих этим калибровочным условиям.

11. Результаты, полученные для случая гравитационных полей, порожденных сферическими импульсами электромагнитного излучения и описываемых с помощью неоднородных калибровочных условий, обобщены на случай сферических импульсов самодействующего гравитационного излучения.

12. Выдвигается гипотеза, что волновые поля, порожденные све-топодобными источниками, "внутренне негиперболичны" [32].

13. Показано, что аксиоматика Лишнеровихса, разработанная для ОХО, может быть частично применена и в РХГ, где она приводит к таким результатам, как зависимость вневзнего центральносимметртшого гравитационного поля от внутренней структуры источника [33].

14. Показано, что в полевых теориях гравитации с выделенным (истинным) пространством Мкнковсхого нужно учитывать постоянное фоновое гравитационное поле в виде грашпошх условий.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Унт В. Волновые решения уравнении Эйнштейна во втором приближении // Труды Института Физики к Астрономия АН ЭССР. 1967. т. 33. с. 3-17.

2. Unt V. Dominant energy condition and extension of solutions //In: Abslr. of 11 tli Intern. Conf. on Gen. Rcl. and Grav. Stockholm 198C. V. 1. P. 190.

3. Unt V. Analytical Extension of the Reissner-Nordstrem Solution, the Dominant Energy Condition, and Gravitational Repulsion // Tallinn.

1987. 24 P. Preprint A-11(198C). Acad. Sci. Estonian SSR. Sect. Pliys. Astron.

4. Унт В. Дополнительные постулаты ОТО и точные решения //В. сб.: Точные peiueinis уравнений гравитационного поля и их физическая интерпретация: Тез. докл. II всесоюэ. сем. Тарту. 1988. С. 33-35.

5. Унт В. Принцип эквивалентности, привилегированные координаты и энергия излучения в ОТО // Таллинн. 1988. 20с. Препринт А-3 (1988). АН ЭССГ. Отд. Фиэ. и Астрон.

G. Унт В.А. Дентральносимыстрические гравитационные поля и условия непрерывности в общей теории отностиельности // Изв. высш. уч. зав. Физика. 19G1. No4. С. 3.

7. Унт В.А. О преобразовшгаях координат л условиях непрерывности в общей теории относительности // Труды ИФА АН ЭССР. 19G2. Nolo. С. 54-70.

8. Унт В.А. Нарушение закона сохранения энергии в релятивистской теории гравитации // Известия АН Эстонской ССР. 1989. Т. 38. Nol. С. 7-11.

9. Унт В.А. Принцип эквивалентности и РТГ // Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации. Материалы VII всесоюзной конференции. Ереван.

1988. С. 224-225.

10. Unt V. Extended electrodynamics as a model of the field theory of gravitation // In: Problems on high energy physics and field theory. Proc. of the XIV Workshop, Protvino July 9-12, 1991. M.: Nauka 1992. P 138-144.

11. Унт В. Аксиально-симметричное электромагнитное излучение в общей теории относительности в первом приближении // Известия АН Эстонской ССР. 19G8. Т. 17. No3. С. 290-302.

12. Unt V. A combined Bondi and fast approximation method in general relativity. I. The axi-symmetric case // Известия АН Эстонской ССР. 19G9. I. 18. No2. С. 1G9-185.

13. Унт В. О структуре уравнений Эйнштейна в аксиально-симметричном случае // Известия АН Эстонской ССР. 19С8. Т. 17. No2. С. 1C4-17G.

14. Unt V. Method of fast approximation in axi-symmetric case. // Abstracts of 5th international conference on gravitation and the theory of relativity. Tbilisi 1968. P. 59-62.

15. Унт В. О гравитационной отдаче // Известия АН Эстонской ССР. 1909. Т. 17. Nol. С. 103-105.

16. Унт В. О связи функции информации с источником в аксиально-симметричном случае // Известия АН Эстонской ССР. 1969. Т. 18. No4. С. 421-428.

17. Ксрес П., Унт. В. Гравитационное квадрупольное излучение // Известия АН Эстонской ССР. 1972. X. 21. Nol. С. 3-16.

18. Unt V. A combmcd Bondi and fast approximation mfithod in general relativity II. The general case // Харту 19C9. 31 с. Препринт FAI-1 Института физики и астрономии АН Эстонской ССР.

19. Kuusk P., Unt V. Approximate Radiative Solutions of the Einstein Equations // J. Gen. Rel. and Grav. 1976. V. 7. N. 5. Г. 399-417.

20. Кууск П., Унт В. О некоторых следствиях из волновых решещш уравнений Эйнштейна в высших приближениях // Хезисы докладов третьей советской гр&витациошюй конферасщш. Ереван: Ереванский университет. 1972. С. 91-93.

21. Unt V., Kuusk P. Hamiltonian formulation of gravitational radiation from bounded sources // Abstracts of Contributed Papers for the Discussion Groups. 9th International Conference on General lieltv-tivity and Gravitation. Jena: lYiedricli Sdiiller University 19S0. P. 21G-217.

22. Unt V., Kuusk P. A new method for calculating wave generation and propagation in a curved space-time // Известия АН Эстонской ССР. 107G. X. 25. No3. С. 234-244.

23. Унт В., Kepcc П. О "хвостах" волн в поле Шварцпшльда // Известия АН Эстонской ССР. 1972. Т. 21. Nol. С. 17-30.

24. Унт В., Кууск П. Новый метод рассчета излучения на фоне искривленного пространства-времени // Тезисы докладов IV советской гравитационной конференции. Минск 197(1. С. 74-76.

25. Unt V. On interacting gauge fields // Proc. Estonian Acad. Sci. Phys. Mat. 1990. V. 39. N. 4. P. 344-352.

26. Unt V. On tlie restriction of gauge symmetries by ultrarelativistic sources //In: Problems on high energy physics and field theory. Proceedings of the XIII workshop. Protvino. July 9-13, 1930. M.: Nauka. 1991. P.150-15G.

27. Унт В. Нарушение калибровочной симметрии в теории Максвелла //В сб.: Гравитация и болпы. Труды Института Физики АН Эстонии. Тарту 1989. С. 71-78.

28. Unt A., Unt V. Constraints in general relativity in the form of Maxwell equations // Известия АН Эстонской ССР. 1983. Т. 32. Nol. С. 114—11С.

29. Унт В.А. О нарушении калибровочной симметрии светоподобными источниками в ОТО // Труды II семинара "Гравитационная энергия и граяитацио!гкые волны''. Дубна. 1990. С. 101-108.

30. Унт В.А. Неизвестный взаимодействующий к самодействующий гравитон // Труды III семинара ''Гравитационная энергия и гравитационные волны". Дубна. 1991. С. 42-53.

31. Унт В.А. О неоднородных и нелинейных координатных условиях в ОТО // Труды IV семинара "Гравитационная энергия и гравитационные волны". Дубна. 1992.

32. Unt V. On the types of Einstein equations and globally admissible coordinate systems // Proc. Ill M.Grossmann Meeting on General Relativity, Hu Ning (ed). Science Press and North Holland, 1983. P. 950-002.

33. Унт В. О строгой решении основных уравнений релятивистской теории гравитации // Таллинн 1987. 27 с. Препринт А-4 (1987) отд. физ. и астрой. АН Эстонской ССР.

34. Унт A.B., Унт В.А. Разрешение связей в ОТО при наличии потоков энергии излучения // Труды V семинара "Гравитационная энергия и гравитационные волны". Дубна, 1993. С.104-111.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

35. Taylor .Т.Н., Weisberg M.J. Further Experimental Tests on Rclativistc Gravity Using the Binary Pdsar PSR 1913+16 // Astrophys. J. 1989. V.345. 434 -450.

30. Клепиков Н.П. Силы торможения излучением и излучение заряженных частиц // УФН. 1985. T. 14G. Вып. 2. С. 317-339.

37. Логунов AiA., Мествиришвили М.А. Релятивистская теория гравитации. М.: Наука. 1989. 304 с.

38. Черников Н.А. Необходимый объект в ОТО - тен:ор аффинной деформации //В кн.: Гравитационная энергия и гравитационные волны. Труды семинара, 11-13 мая, 19S8. Дубна. 1989. С. 12-23.

39. Sachs R.K. Asymptotic Symmetries in Gravitational Theory // Phys. Rev. 1962. -V. 128. N.0. P. 2851-2864.

40. Lee C.-T., Ne'eman Y. Renormalizatiori of gauge-affine gravity // Phys. Lett. 1990. V. B242. N. 1. P. 59-63.

41. Whitham G.B. Dispersive waves and variational principles //In: studies in applied mathematics, ed. H. Taub. Eglewood Cliffs. 1971 V. 7. P. 181-212.

42. Ogievetskij V.I., Polubarinov I.V. Interacting Fields of Spin 1 and Symmetry properties // Arm. Phys. 1963. V. 25. P. 358-386.

43. Soboleff S. Méthode nouvelle à résoudre le problème de Cauchy pour les équations linéaires hyperboliques normales // Математический сборник. 1936. т. 1 (43). Nol. С. 39-72.

я.

44 Ooliara К., Nakamma Т. Gravitational Radiation from Coalescing Binary Neutron Stars II. - Simulations Including Back Reaction Potential // ProgTees Theor. Phys. 1980. V. 82. N. 6. P. 1066-1483.

45. Фок B.A. Теория пространства, времени и тяготения - 2-е изд., доп. - М.: Физыатгиз. 1961. 563с.

46. Bondi II., Van der Burg M.G.J., Metzner. Gravitational waves in general relativity. VII. Waves from axi symmetric isolated systems // Proc. lloy. Soc. bond. //. 1962. V. А26Э. N. 1336. P.21-52.

47. Liclinerowic'i A. Theories rélotivistes de la gravitation et de l'élertro-magnétisme. Paris: Mason 1955. 146 p.

48 Gardner M.B. Ilelationism and Relativity //Brit. J. Pliil. Sei. 1977. V. 28. P. 215 233.

49. TVautman A. Lectures on general relativity (mimeographed notes) London: King's College. 1958.

50. Гельфанд U.M., Минлос P.A., Шапиро 3 Я. Представления группы вращений и группы Лоренца. М.: Физматгиз. 1958.

51 Ддамар Ж. Задача Коши для линейных уравнении с частными про-изводнцми гиперболического типа. М.: Наука. 1978. 351 с.

52. Ахиезер А.И., Верестецкий В.Б. Кванювия электродинамика. М.: Наука. 1981. 432 с.

53. Teitelboim е., Villkrroel П., Van Weert Ch. G. СЬчмса! electrodynamics of Retarded Fields and Point Particles // í tiv. Nnovo Cimento. 1980. V. 3. N. 9. P. 1 64.