Грубые и негрубые разрывные системы на плоскости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Грубость разрывной системы.

§ I. Основные определения.

§ 2. Необходимые условия грубости точки.

§ 3. Свойства квазикривых.

§ 4. Топологическая структура окрестности особой точки.

§ 5. Необходимые и достаточные условия грубости особой точки.

§ 6. Негрубость квазикривой, оба конца которой являются квазисепаратрисами

§ 7. Грубые замкнутые квазикривые.

§ 8. Необходимые и достаточные условия грубости системы в области.

Глава II. Негрубые особые точки, лежащие на гладкой линии разрыва.

§ 9. Основные определения.

§ 10. Типы особых точек.

§ II. Степени негрубости особых точек I типа.

§ 12. Степени негрубости особых точек II типа.

§ 13. Особые точки Ш типа, имеющие 1-ую степень негрубости.

§ 14. Особые точки W типа, имеющие 1-ую степень негрубости.

§ 15. Особые точки V и Ъ типов.

§ 16. Число топологических классов изолированных особых точек различных степеней не грубости.

Глава III. Классификация особых точек, лежащих на гладкой линии разрыва, относительно диффеоморфизмов класса С

§ 17. Предположения и леммы.

§ 18. Основная теорема.

Дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями эффективно применяются для решения самых разнообразных по физической природе задач. Много таких задач рассматривается в книге [I]. Ряд процессов в механике, электротехнике и в других областях описывается дифференциальными уравнениями, правые части которых претерпевают разрывы в зависимости от текущего состояния процесса. Например, механическая система с сухим трением, когда сила сопротивления может принимать одно из двух противоположных по знаку значений в зависимости от направления движения. Исследование уравнения нелинейных колебаний при наличии кулоновского и вязкого трения проводится в [2]. В системах автоматического управления применение переключателей приводит к управляющим воздействиям в виде разрывных функций вектора состояния системы и входных воздействий. Такие системы рассматривались во многих работах. Им посвящены, например, книги [3] - [5]. Вопросы теории дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями изучались, в частности, в работах [б] - [ 12].

В настоящей диссертации рассматривается в плоской области система двух уравнений первого порядка

ЗС«РСХ,}|), Vj = О/ ОС, у) /А/ правая часть которой имеет разрыв на конечном числе кусочно-гладких линий конечной длины. Эти линии называются линиями разрыва, они разбивают область & на конечное число областей, в каждой из г 1 которых функции Р ,Gt^C вплоть до границы. На линиях разрыва используется доопределение £8].

В главе I изучаются грубые или структурно-устойчивые системы с разрывной правой частью. Для систем с гладкими правыми частями определение грубости имеется в [13], §6. Коротко говоря, система /А/ является грубой в области W , если всякая достаточно близкая к ней система имеет в W /или в некоторой близкой области/ такую же топологическую структуру, как система /А/ в области \Х/ , о причём тополгическое отображение, переводящее траектории одной системы в траектории другой системы, является сколь угодно малым сдвигом. Это определение можно перенести на системы с разрывными правыми частями. Необходимые и достаточные условия грубости системы с гладкими /класса С / правыми частями имеются в [13], гл.VI . Они не переносятся прямо на системы с кусочно-непрерывными и кусочно -гладкими правыми частями, т.к., например, грубая система г А классаЬ не может иметь в конечной области бесконечное число замкнутых траекторий, а грубая система с кусочно-гладкой правой частью - может. Условия грубости кусочно-гладкой системы формулируются не через свойства её траекторий, а через свойства квазикривых. Квазикривая - это траектория, её часть или непрерывная кривая, состоящая из дуг траекторий, никакая дуга которой не лежит на линиях разрыва, и все точки, отличные от концов, - неособые. Свойства квазикривых изучаются в §3.

Точка называется особой, если либо она является негрубой, либо её окрестность имеет топологическую структуру, отличную от топологической структуры окрестностей всех достаточно близких точек. В §2,6 получены необходимые и достаточные условия грубости особой точки, лежащей на гладкой линии разрыва или на пересечении нескольких линий разрыва. Доказано, что все грубые особые точки изолированы.

Для изолированных особых точек вводится понятие квазисепаратрисы. Квазисепаратриса L особой точки 0 - это квазикривая, входящая в точку 0 , такая, что существуют сколь угодно близкие к ней квазикривые хотя бы с одной стороны от L , проходящие сколь угодно близко к точке 0 , и выходящие обоими концами из некоторой окрестности точки 0 . В отличие от обычных сепаратрис особых точек систем с гладкими правыми частями, траектория с концом в особой точке 0 , являющаяся частью квазисепаратрисы точки 0 , может быть ор-битно-устойчивой.

В §4 изучена топологическая структура окрестности грубой особой точки. Окрестность грубой особой точки, лежащей на одной или нескольких линиях разрыва, разбивается квазисепаратрисами и траекториями, идущими по линиям разрыва, на секторы восьми типов /четыре гиперболических, три параболических и один эллиптический/. Топологический класс грубой особой точки, состоящей из секторов, указанных типов, полностью определяется типами, циклическим порядком секторов, а также тем является точка стационарной или нет, и в случае отсутствия квазисепаратрис зависит от направления закручивания квазикривых в окрестности особой точки.

В §5 рассматриваются замкнутые квазикривые. Для замкнутой квазикривой /она не содержит особых точек/ аналогично обычной замкнутой траектории берётся дуга без контакта Ь , проходящая через точку Мо этой кривой, и вводится обобщенная функция последования f*C- параметр на дуге Ь , точке соответствует значение параметра j> -0 ) с той разницей, что в окрестности замкнутой квазикривой вместо траекторий рассматриваются квазикривые, на которых фиксируется определённое направление обхода, например, положительное. Доказывается, что замкнутая квазикривая является грубой тогда и только тогда, когда с pL со) -1) >0 /где jfr^ и - правая и левая производные функции ). Грубые замкнутые квазикривые - изолированы.

Основная теорема /§§/. Для того, чтобы система с кусочно-непрерывной и кусочно-гладкой правой частью была грубой в области G- , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: с *

I. В области Ь имеется лишь конечное число особых точек, причём все эти особые точки - грубые.

И. Замкнутых квазикривых конечнечное число, и все они -грубые ш. В G- нет квазикривых, оба конца которых являются квазисепаратрисами особых точек, лежащих в & .

Топологическое исследование окрестности особой точки системы с гладкой правой частью путем её разбиения на секторы проводилось Бендиксоном в [14], и для некоторых частных случаев систем с разрывной правой частью в [15]. Теорема о топологической классификации особых точек на плоскости имеется в [16], а в ri-мерном пространстве в [17]. Исследование системы дифференциальных уравнений с двумя пересекающимися линиями разрыва проводилось в [18].

Теория грубых систем впервые,была разработана Андроновым и Понтрягиным в предположении, что правые части - аналитические.Грубые системы с правыми частями класса С1 в области, ограниченной дугой без контакта, изучались в [19]. Для систем с гладкой правой частью условия грубости особых точек и системы в плоской области и на двумерной сфере изложены в [13], для области любой размерности в [2CQ. Условия грубости системы на замкнутом двумерном многообразии даны в [2l], на двумерном многообразии с краем - в [22], на многообразии с краем любой размерности в [23].

В главах У. , 1Ц рассматриваются особые точки, лежащие на одной гладкой /класса С^ ] линии разрыва £ . Без ограничения общности считаем Ь осью Ох /этого всегда можно добиться преобразованием класса С J. Рассматриваем систему:

Скорость движения по оси Ох в точке (Х90) , для которой Gt+ Gt Л — Я/ и(0,+ Г+С0Г) определяется как в [8], по формуле: arc X) = |сх)/с ОТ сх, о) - Q* (X, 0)); fu) = CP+Q--rQ,^or

В главе И диссертации изучаются негрубые особые точки системы /А/, лежащие на оси Ох , и их бифуркации. Все особые точки, лежащие на осиОх , разбиваются на б типов, характеризуемых следующими условиями /значения всех функций берутся в рассматриваемой точке v^j 0) ):

I. Q,+ QT<0, f(c)=0; и. а+=о, р+*о, о>о или от-о, р~*о, а+*о; iy. а+=р+-о5 а~*о или а"»р"ао, а+*о; v. а+=ог=Р~^ р+*о или р+=о, vi. Q+=p+=(T = P"=ов

Проводится полная топологическая классификация изолированных особых точек 1 , !L , VJLi типов. Число топологических классов изолированных особых точек 1 типа равно 3; 11 типа - 4; Ш типа - 39 (^случай центрофокуса не рассматривается). Топологическая структура описывается с помощью разбиения окрестности особой точки на секторы 15 типов.

Так же как в [13], вводится понятие степеней негрубости системы с разрывной правой частью с той разницей, что допускаются возмущения, разрывные по оси

Ох. Доказывается, что особые точки i ,11 , Hi типов, имеющие конечную степень негрубости, - изолированы.

Особая точка (С?0) !типа имеет К-ю степень негрубости /К^О / тогда и только тогда, когда Х = С - корень кратности К+1 функции Получены также необходимые и достаточные условия для того, чтобы особая точка И типа имела К -ю степень негрубости и найдено число топологических классов таких точек.

Все грубые особые точки, лежащие на одной гладкой линии разрыва принадлежат I , 11 типам; число их топологических классов равно 4.

Для особых точек Ш и iv типов получены необходимые и достаточные условия, при которых они имеют 1-ую степень негрубости. Доказывается, что особые точки W типа, имеющие 1-ую степень негрубости - изолированы. Доказывается, что особые точки v типа.не могут иметь степень негрубости ниже 2, а особые точки VI типа - ниже 3. Число топологических классов особых точек 1-ой степени негрубости ш типа равно 7, a w типа равно 8.

Таким образом, получены необхо димые и достаточные условия, при которых особая точка, лежащая на одной гладкой линии разрыва, имеет 1-ую степень негрубости. Число топологических классов грубых особых точек и особых точек 1-ой степени негрубости для каждого типа указано в таблице в конце главы Ц . Изучены бифуркации особых точек 1-ой степени негрубости.

Системы 1-ой степени негрубости с гладкими правыми частями и их бифуркации рассмотрены в [13]. Негрубые особенности на границе двумерного многообразия и их типичные бифуркации рассмотрены в статьях [24], [25], а на границе п.-мерного многообразия - в ^2б]. Бифуркации сшитого фокуса /т.е. фокуса, лежащего на линии разрыва/ рассмотрены в [27], [28].

В главе ш диссертации рассматриваются особые точки системы

А/, лежащие на оси Ох , при условии, что преде^векторов и а") при приближении к особой точке отличны от нуля /т.е. особые точки - I, И, Ш типов/. Проводится классификация таких г1 особых точек относительно диффеоморфизмов класса U

Пусть /0,0/ - особая точка системы /А/. Предполагается, что а±(Х,0)~а±Хгъ±, f(x>~&XK (0^*0, fcSo, целыеЛ

Пусть /А.,/ и /Аt/ - системы вида /А/; /0,0/ - особая точка систем

А.,/ и /Ад/. Все функции и величины, относящиеся к системе /А1/ соответственно /kj) будем отмечать индексом I /соответственно 2/.

С4

Для существования диффеоморфизма /класса U / окрестности точки /0,0/ на окрестность точки /0,0/, переводящего траектории системы /А,,/ в траектории системы /Аи каждую из полуплоскостей в себя, необходимо, чтобы т.е. чтобы порядки касания траекторий с осью Ох в точке /0,0/ для обеих систем были бы одни и те же.

Пусть в окрестности точки /0,0/ нет квазикривых систем /А1/ и /Ад/, более одного раза пересекающих осьОх, выполнено условие /I/ и П+ * а" . В этом случае системы /А^/ и /А^/ в точке' /0,0/ дифференцируемо эквивалентны /т.е. существует диффеоморфизм класса

С , переводящий траектории в траектории/ тогда и только тогда, когда они топологически эквивалентны.

В случае П+=ПГ также получены необходимые и достаточные условия дифференцируемой эквивалентности, которые, в частности, включают условия Kyj = К^ = К и при а1" =Г\Г >0

Са+ р;со,о))/((ц р;со,о)Ы<ъ; Р~СО,0))/(СII /2/

Условие /2/ в случае означает, что отношение в точке

0,0/ кривизн траекторий систем Х = Р+ , IJ^GI* и Х=Р , fj = & ^функции Р~* ,Q3" продолжаются в окрестность точки /0,0/) при диффеоморфизме, переводящем траектории в траектории, сохраняется.

При наличии дуг траекторий, выходящих обоими концами на ось Ох , условия существования диффеоморфизма включают и другие требования.

Из теоремы о дифференцируемой эквивалентности, в частности, следует, что грубые особые точки, лежащие на одной гладкой линии разрыва, дифференцируемо эквивалентны тогда итолько тогда, когда они топологически эквивалентны.

Для систем с гладкими правыми частями на плоскости классификация особых точек относительно диффеоморфизмов была получена в [29], [30].

Содержание диссертации опубликовано в статьях [34] - [40]

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю А. Ф. Филиппову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э., Теория колебаний, Физ-матгиз, М., 1956.

2. Железцов Н.А., Метод точечного преобразования и задача о вынужденных колебаниях осцилятора с комбинированным трением, Прикл. матем. и мех., 1949, 13, Р I, стр. 3 40.

3. Флюге-Яотц, Метод фазовой плоскости в теории релейных систем, М., Физматгиз, 1959.

4. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р, Об устойчивости периодических движений, Прикл. матем. и механ., 1958, 22, № 6, 750 758.8., Филиппов А.Ф., Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью, Матем. сборн., I960, 51, Р I, 99 128.

5. Неймарк Ю.и., Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний, М., Наука, 1972.

6. Потлов В.В., Потлова Н.И., Качественное интегрирование систем однородного типа, В сборнике "Дифференциальные уравнения", Рязань, 1980, вып.15, 100 115.

7. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г., Качественная теория динамических систем, М., Наука, 1966.

8. Гробман Д.М., Топологическая классификация окрестностей особой точки в ru-мерном пространстве, Мат. сб., 1962, 56, № I, 77 94.

9. Филиппов А.Ф., Исследование системы дифференциальных уравнений с двумя пересекающимися линиями разрыва, Вестник МГУ, сер. матем. и мех., 1979, ИР 6 , 68 75.

10. Баггис Т.Ф., Грубые системы двух дифференциальных уравнений, Успехи мат. наук, 1955, 10, вып.4, 101 126.

11. Pelxoto Д-, С4? Ovb ^txootaxal ^olltltu Д»-тасА1(ЖЦ « 5 fl5 69. i

12. Paxtfto Ж A ^tmciuaai ^WjL&i^ on bvlo--duiuewstoaal racuxl|otcU; To(x>tcga; iy 436&.

13. Peixoto^ Pelxomo, J'tau^ta/toX ^talltlia in "Wtrc,ataaa£cl/ coadliloa^, J a- J cod'. Btcubli. Cl 34, 435-ЧвО.

14. Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, изд. 2, Гостехиздат, 1957.

15. Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, Гостехиздат, 1948.

16. Полиа Г, Сёге Г., Задачи и теоремы из анализа, м., Наука, 1978,

17. Козлова B.C., Грубость разрывных систем, 74 е., деп. в ВИНИТИ 14.06.84, Р 3928-84 Деп.

18. Козлова B.C., Грубость разрывных систем, Вестник Моск. ун-та, сер. мат., мех., 1984, Р 5, 16 -20.

19. Козлова B.C., Грубость разрывных систем, Успех, мат. наук, 1983, т.38, Р 5, стр.155.

20. Козлова B.C., Классификация особых точек, лежащих на линии разрыва правых частей системы двух дифференциальных уравнений, Дифференциальные уравнения, 1981, т.17, Р4, стр. 755.ВИНИТИ 22.06.84 Р 4271-84 Деп.

21. Козлова B.C., Особые точки первой степени негрубости, лежащиена линии разрыва правых частей системы дифференциальных уравнений, рукопись деп. в ВИНИТИ 22.06.84 № 4284-84 Деп.

22. Козлова B.C., Классификация особых точек, лежащих на линии разрыва, относительно диффеоморфизмов, Сборник "Дифференциальные уравнения и их приложения", МГУ, 1984 г., стр. 76 80.