Группы с измерениями для некоторых фактор-групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ КИЇВСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

на правах рукопису Копанні кова Наталі я ВІ кторі вна

УДК 512.54

ГРУПИ З ОБМЕЖЕННЯМИ ДЛЯ ДЕЯКИХ • ФАКТОР-ГРУЛ

(01.01.06 - ал’ебра та теорія чисел)

АВТОРЕФЕРАТ

дисертащ і на здобуття наукового ступеня кандидата фі зико-математичних наук

Дисертаці сю е рукопис

Роботу виконано в Дні пропатровському державному уні верситеті

Науковий керівник:

доктор фі зико-натематичних наук, професор Л.А.Курдаченко

Офіційні опоненти:

доктор ф| зико-матвматичних наук, провідний науковий співробітник Інституту математики АН України Я.П.Сисвк, кандидат фі зико-математичних наук, дошнт Київського

■ університету Ім.Тараоа Шевченка А.П.Петравчук

Провідна установа: '

Львівський деркавниН університет їм. Івана Франка

• Захист відбудеться я;__"_______ 1997 року о 14 год.

на вас) дашп спеці елі зованоі вченої ради Д 01.01.01 при Київському університеті їм. Тараса Шевченка за адресою: 252127, л.Киів-127, пр.акаО.Глуиікова, 6, лвханіко-лтвла-тчний факультет.

З дисертаці со мота ознайомишся в бі блі отет Киї вського університету їм. Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Автореферат розіслано •_______и:______________1996 року

Вчений секретар спаці плізованоі вченої

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТІ!

Актуальні сть теш

В багатьох областях теор]1 груп вивчається вплив влас-тивостой тих чи піших об’єкті в, які зв’язані з групою (сімой рі зномані тних підгруп, сі мей централі заторі в, класів спряжених елементів, груп автоморфізмів, зображень, характерів І т.п.), на властивості всієї групи. Зокрема, важливим е питання про те, якій! вплив на будову всієї групи мають деякі ван-ливі сім'ї п фактор-груп. В теорії скінченних груп ця тематика розвивається давно і інтенсивно в рамках таорі і форяаці Я ( особливо локальних формаціїї ). В теорі I нескінчошіих груп роль сім'ї всіх скінченних фактор-груґі виявилась при вивченні різних алгоритмічних проблем. іншиа показникові® результат гут - теорема Д.Робі пеона про то, що якщо всяка скінченна їактор-група скінченно породеоної розв’язуваної групи ніль-иотентна, то І сама група ні льпотентна1 . Починаючи з робіт

й.Н'юмона* 3 в теорії нескінчеюгах груп сформувався напря-яок, який вивчає вплив сім'ї всіх власних фактор-грул ( тобто фактор-груп по неодиничних нормальних підгрупах) па . 5удову всієї групи. Іншими словами, вивчались групи, всі зласш фаетор-групи яких належать до деякого важливого клаоу груп я.

В якості Ж тут розглядались класи скінченних груп, іадрозв'язуваних, полі циклічних, черні ковських, ні льпотент-шх груп фі ксованого класу ні льпотентпості, скі нченних над іентром, груп зі скінченним комутантом і т.п. В роботі

ROBINSON D.J.S. A theorem on finitely generated lyperabelian groupB//Invent.Hath., 10,1970.-P.P.38-43•

(ШЛШ M.F. On a olaas of netabelian groups// Proo. London Math.Soo. ,10,1960.-P.P.354-364.

NEWMAN M.P.. On a olasa of nilpotent groups// Proo. лпйоп Math.Soo.,10,1960.-P.P.365-375.

Д.РоОі неона і Ж.Жонга4 розглядались груш, всі власні фактор-гругш яких мають скінченний комутшт або скінченні над центром. Групи зі скінченним комутактом і скінченні над

центром групи с окремими підкласами класу гс-груп. В роботі С.Франщозі, Ф.де Повзші і Л.Л.КурдачбНко5 вивчались розв’язувані групи, всі власні фактор-групи якій є гс-групами. В свою чергу, клас гс-груп с підкласом класу груп з черні ковськими класами спряжених елементів - сс-груп. Вивчення сс-груп проходить но так просто, для них ще не створена загальна теорія, на відміну від гс-груп. Тому було

0 природнім спочатку розглянуть групи, всі власні фактор-групи яішх належать деякому достатньо добре вішченому підкласу класу гс-груп. Такій добра вивченим пі дкласом є клас оарово-чорліковсьшіх груп. В дані2 дисертації 1 вивчаються груш, всі власні фактор-групи якій варово-черні ковські.

В багатьох роботах розглядались групи, в яких обмекбн-пя накладаються на на всю систему власних Фактор-груп, а на деякі її підсистеми. В дисертації вивчаються групи, в яких обшкення накладаються на фактор-групи по нескі нчетшх підгрупах. .

Іізта робота

' Дослідити будову АОІ-ГруП, тобто груп, в яких будь-яка фактор-група по носкі вчеши й нормальній підгрупі абелева; розв’язувані груш, в яких всяка власна фактор-група шарово-черні ковська; груш, в яких всі обмежені фактор-групи скі пчешп ( ко-варово-скі вченні групи ), при умов), що вони мають зростаючий центральний рял довжини и.

‘ROBUISOIJ I, J.S..ZHAN0 Z. Groups whose proper quotientB have finite derived cubgroupa//J Algebra,118,N2,1988. -P.P.346-368.

"mNCIOSI S., <la GIOVANNI P., KURDACHENKO L.A.. Groups whose proper quotients are FC-groups/AJniversita di Kapoli "Federico 11”, dlpartimento di Uatematika e applioarioni, Preprint N64 -1995s B naiaTH - Journal of Algebra.

Цетоди досліджень

Використовуються мотоди творі і нескінченних узагальнень розв’язуваних груп і теорії модулів над цілочисловими груповими кільцями.

Наукова новизна

Основні результати дисертаційної роботи е новими. Описані типи нескінченних локально розв'язуваних даі-груп. Досліджено будову розв'язуваних груп, в яких всяка власна фактор-група с шарово-чершковською. Вивчаються ко-шарово-скі нчеїші групи. Досліджено будову ко-шарово-скі нченної групи без скруту з центральним рядом довхшш и, а також нільпотентної ко-шарово-скінченної групи І резидуально скінченної локально ні льпотентної ко-шарово-скі нченної груш.

Апробація робота

Результати, отримані в дисертації, доповідались на науковому семінарі кафедри алгебри та математичної логі ки Київського університету імені Тараса Шевченка, Шкнародній конференції по алгебрі пам’яті А.1 .Ширшова та Всеукраїнській науковій конференції "Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідкеннях" (Львів,

5-7 жовтня 1995 р.)

Публі каці I

Основні результати дисертаці і опублі ковані в роботах [1,2,з,4,5,б].

Структура І обсяг дисертаці 1

. Робота складається із вступу, трьох розділів І списку літератури Із 6з найменувань. Обсяг роботи ,8 сторінок.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому корівникові , професору Л.А.Курдачекко за постійну увагу до роботи.

У вступі обгрунтовано актуальні сть проблематики дисергащ і, наводиться короткій огляд робі т за темою ди-сортащі, характеризується зм! ст робота.

В першому розділі розглядаються групи, всі Фактор-груті яких по нескінченних нормальних підгрупах абелеві аоі-групи.

В кокні Я такі й групі е виділяться характеристична підгрупа і(б) - пера тіш всіх нескінченних нормальних підгруп. Тоді кожна о-і нварі антиа підгрупа і<«) скінченна. Можливі дві ситуації: і(о) - Б-кваз і скінченна); і (о) містить в собі таку скінченну о-| нварі антну підгрупу в, що Цв)/в - нескінченний о-головшіЯ фактор. В свою чергу, в першій ситуації або і(о) подільна черніковська підгрупа, або х(о) - елементарна р-підгрупо для деякого простого числа р. Опис лея-груп зводиться до розгляду коїмої з цих ситуаці й. Цей опис одержало в дисертації прн додатковій умові локальної розв'язності групи.

Результати викладені в наступні й основній теоремі:

- ТЕОРЕМА І.18. Нехай в - нескінченна локально розв'язувана група. Всяка нескінченна норлальиа підгрупа в визначає аОелеву фсислор-групу тоді І тільки тоді, коли о -група одного Із наступних типів:

(1)0- абєлєва група;

(2) група в задовольняє наступні улови:

(2а) С(<з) *• ЬхР, де в - ивааіциклічна р-підгруппа,

. р - просте число, г - скінченна підгрупа;

(2Ь) [Сі о] - скікчеьла підгрупа ь;

(2о) фактор-група о/Ца) скінченна; •

(3) о - черніковоьт група, яка задовольняє наступні улови:

(За) якщо о - ділена частина групи, о, то фштор-група о/св(о) е циклічною; . .

. (ЗЬ) якщо і. - нескінченна о-припустиа підгрупа о, то V • о, вокрела, в - ^-підгрупа для деякого простого числа р; .

(Зо) (о, в) - о;

(4) група в ваЗовольняв наступні улови:

(4а) С(°) = де о - квазіцшиїчна р-підгрупа, р - просте число, f - скінченна підгрупа;

(4b) [о, g] = fit(d) - підгрупа простого порядку; (4o) G/t(o) - нескінченна элелетарна абелева р-група; .

(5) група о задовольняє наступні улови: ,

(5з) [о,, о) - скінчеюп слехешарна абелева р-під-груйа Ч(о), р - просте число; .

(5Ъ) о/С(о) - нескінченна елелешарна абелева s-група; .

(5о) яiwp l < [о, с], що група C(o/l) скінченна',

(6) група g задовольняв насгг,упні улови.:

(6/i) d » (о, g], - квазіциклічна p-підгрупа, p - просто число; .

(бъ) С(Ь> = Dxf, де підгрупа г скінченяа;

• (бо) періодична частина т групи в е черніяовськсю; (6d) для будь-якого елєленту нескінченного порядну

* і °\С(°) фсшяор-ррупа а/са(х) - квазіцшиічна р-група;

(7) група о задовольняє*наступні улови:

(7a) {в, g) = к - еле.іепяарна абелева p-підгрупа,

Р - просте число;

(7Ь) шано l - нескінченна в-припустиа підгрупа к,

■та l - к; -

(7о) к- < с(°); • ■ .

(7d) якщо т/к - періодична часягта фаіапор-групи, ■ a/к, то т/к скінченна I т / а; < ' ■ ,

(7е) якщо с = со(к), по с < r t т/с - р - група; (7f) фактор-група о/т ізоларфиа деякій абелевїй підгрупі групи сі.п(г^П*]]);

(7g) о лістижь в собі тису підгрупу н, 140 о = к.и ( перетин нріс скінченний;

(8) груш о задовольняв наступні улови: '

(8а) [о, о) = к ~ ділена черніїювсьіса р-підгрупа,

р - просте число; •

(8Ь) яягцо l - нескінченна а-припуагша підгрупа к,

СТО L « К{ ' ’

(во) к < с(о); '

(3d) якщо т/к - періодична частина фактор-групи

о/к, то т/к скінченна I о ? г;

(ІЗа) со<к) « т;

(аг) 4атор~грут о/т ізолорфна деякій абелев їй підгрупі <я.^{ грсо ), 2р(о - кільце цілих р-адичних чисел;

■ с лісітть б собі таку підгрупу н, що в = к н I

перетин н/~)К скінченний;

(9) група в задовольняє наступні улови: '

(9а) к = (в, в] - лінілальна нескінченна норлалъна підгрупа о; к < С(°)»'

(9Ь) е = кЛа;

(9°) СА(К) - скінченна підгрупа а;

(9й) якщо к - елелентарна абелева р-підгрупа, то періодична частина фатор-групи а/сл(к) е локально циклічною ’ • р -групою; "

' (9е) янщо к вільна від скруту, то періодична части-

на фактор-групи к/сл(к) е локадьно циклічною пЛОгрупоо;

, (Ю) група а задовольняє наступні улови:

(Юа) к = 1с, с] < £(6); '

* (юь) якщо і- - нескінченна а-припушиа підгрупа к,

то ь = к;

(Юо) С(к) скінченна ( к/С(к) нескінченна лінілальна абелева нормальна підгрупа о/£(к);

(Юсі) якщо с - скінченна в-припустіла підгрупа к, по

с < С(к);

(Юв) о/С(к) - група типу (9).

В другому розділі вивчаються груш, всі власні . фак-тор-груїш яких ■ шарово-черні ковські. Очевидно кокна проста група буде такою. Для того, щоб виключить таку ситуацію, звичайно в такого роду дослідженнях вимагають, щоб. група включала в себе неодиничну абелоииіотвльнулі лшіллг.

■ Нехай е - група, всі власні фактор-групи якої шарово-'

гарні ковські, а - неодинична абелава нормальна підгрупа е,

Е * {в/в - неодинична е-|нваріантна підгрупа а}. Тут виникають дві ситуації: (їй = <1> ( немонолі тичний випадок ),

П® і1 м *= <і> ( монолітичний випадок, причому н - моноліт всіеї групи о ). Пі дгрупу а «окна розглядати як модуль над груповим кі лыдэм 2н, де и = в/А » шарово-черні ковська група. В першому випадку а містить в соб] шдмодуль в, всі власні

фактор-модулі якого скінченні ( коквазі скі нчегешй гн-модуль), в другому випадку - м - простій гн-модуль). Іншими словаки, для вивчення будови групи б необхідно вивчить два типи модулі в над груповим кі льцем шарово-черні ковської групи н = о/а: коквазі скінченні гн-модулі і прості гн-модулі. їх вивчення І дав можливість описати локально розв’язувані групи шарово-черні ковськими влпсшши фактор-групами.

'Теорела 2.9. Нехай о - розв'язувана група. Всяка власна факпор-група о тобі І тільки тоді шрово-черніковсьт, ісоли в - група о&ного із наступних ілїчів: .

(1)0- шрово-черніковська група;

(2) о - лаОхе абедеба, лінілаксна І всяка власна факпор-група в чєрніковська;

(3) о - локально ищиічна група вільна від скруту;

(4) о = а\£ і виконукться наступні улови:,

(4а) а - нескінченна норлальна елементарна абелева р-підгрупа для деякого простого числа р; •

(4Ь) е - иаробо-черіїїювсьна підгрупа;

(4о) А = Со(А) і ІЇ'Е-Аодуль А - Пр0<Ж&%

<44) Р . (БОСЕ);

(4е) sc.cE віиючае в себе таку підгрупу й, що зосе/к - локально циклічна група І сог*ви = <1>;

(4Г) якщо о - ахо для деякоі підгрупи о, то підгрупи о і е"спряхені. '

В третьому розділі вивчаються групи, в яких всі обкатані фактор-групй скінченні - ко-ша^ово-скінченні -групи. Розглянуто деякі типи гіперценгральних ко-шарово-скі нчеіших груп. Одержано рі зноманітні характеризаці і таких груп, які грунтуються на узагальненні поняття р-базисної підгрупи. Зокрема доведено, що перетин всіх нормальних підгруп, індекс яких дорівнює рп, п € и, буде р-діленою підгрупою. Показано . також, що фактори ш-лперцентральної ко-шарово-скінченної групи без скруту - ко-шарово-скі нченні. • ■ '

Теорела З.ІІ. Нехай а - и-гіперцентральна група без скруту,

<і> = со* ...<:сп < св..<-”«-в^свв 0 г-

верхній центральний рад в. Група в тоді І тільки тоді . но-иарово-скінченна, коли вона задовольняє наступні ^лови:

(1) Оля всякого простого числа р знайдеться такий колер

і , що фактори - р-білені для г> £ /р;

(2) підгрупа с{ лає такий ряд

р

II < Н4 ...ОН = с ,

О 1 пі'

■ р що .

(2а) нв - пІОгрупа скінченного рангу (за Пальцевій-Проферол)',

(2ь) н/И(_, - абелева група без скруту, і < і «; п;

(2с) и/чі.1 - р-ділена група, і < і < п.

Висновок 3.11.1. Нехай в - нільпапентна група, о тоді і тільки тоді ко-иарово-скінченна, коли вона задовольняє наступні улови: .

для будь-якого простого числа- ■ р груш в язе вший ряд

ь£<а иг< і-< ц< ь<.. .-ві^ = о, цо ■

<1) абелева ділена р-група; .

• (2) і'іА1 періодична р -група;

(3) иаАг скінченна р-група;

(4) і-4Л-а група вільна від скруту скінченного рангу-,

■ (5) абелеві р-Оілєні групи вільні від скруту

4 < і < п-1.

Висновок З.11.2. Нехай е - нільпстента ко-шро-во-скіцченна група, т - і і періодична частина. Тоді

т = х т , причалу С(т ) включая в себе шоку ділену р-підгрупу рСр р р

ор, що т^д>р - скін'іенна р-група (тут тр - силівська р-підгрупа в). ■

■ Т в о р е л а 3. 12. Нехай в - ревидусиьно скінченна локально нільпапентна ко-шарово-скінченна' група. Тоді

в < 11 вр, група лае центральний ряд

РЄ" <і> = ^ ьк+іс..* ьо « вр.

в яколу фактори ь.л.. скінченні для і < і ( к, а ц./ц, Іволорфна адитивній групі кільця цілих р-адияних чисел,

ІС 4 1 ^ 1 < П.

№

[1] КАЛАШНИКОВА Н.В. Группы с некоторыми ограничениями на фяктор-группы//Мокд. конф. по алгебре.-Тезиси докл. по теории групп.-Новосибирски991 •-С. 43.

[2} КАЛАМИ НОВА Н.В. Групи, всі власні факгорйгруга яких шарово-скінченні. Тези доповідей Всеукраїнської наукової конференції "Розробка та застосування.математичних методі в в науково технічних досліджещтях" (Львів 5-7 жовтня 1995 p.). .частина 1, с. 57. •

(ЗІ КАЛАШНИКОВА Н.В. Групгш с некоторыми ограничениями на фактор-группы. -31с. Деп. в ГНТБ Украины 12.10.95,

N 2263 - Ук 95. ,

[4] Кплаанікова Н.В. Групи, всі власні фактор-групи яких парово-чорніковські . - 19с. Відправлено в УМЯ..

• (51 КУРДАЧЕНКО Л.А., КАЛАШНИКОВА Н.В. О группах, двойственных к слойно-конечнш. -21 с. Деп. в ГНТБ Украины 18.01.96, N 308 Ук 96.

16] KALASHNIKOVA N.V., ШШАСНЕІКО L.A. Group з, whioh are dual to'lbyer-finite//Iniinite groups 94, Prooaedlngo Intern.Conf. Havello, T?alter de Gruyter, Berlin,1995.

ItEOTOBl слова: група,, фактор-групэ, модуль, групова кільце.

Калашникова Н.В. Группы с ограничениями для некоторых фактор-груш. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 -алгебра и теория чисел. Киевский национальный университет,

. Киев, 1996.

В диссертации исследуются *01-группы, то есть группы, в которых всякая фактор-группа по бесконечной нормальной подгруппе абелева. Описаны типы локально разрешимых aqi-групп. Изучено строение разрешимых групп, в которых всякая собственная фактор-группа слойно-чершшоЕСКая. Рассматриваются ко-олоЯяо-конечные группы. Описано строение ко-слойно-конеч-ных групп без кручения с центральным рядом длины и, а иакхе нильпотентшх ко-слойно-конечных групп и финитно аплрокси-

■ мируемых локально нильпотентных ко-слойно-конечных групп.

Kalashnikova H.V., Gi-oups with restriction on some faotor groupe. UanuBoript. Thecis of dissertation for obtaining of the degree'of oandidate of eoienoee in physios and mathema-tios, speoiality 01.01.06 - algebra and number theory. Kiev national university, Kiev, 1996.

'There are investigated aqi-groupe - groups, in whioh any faotor group on infinite normal subgroup ie abelian. There are deeoribed all typee of looally soluble aqi-groupe. There are studied structure of Boluble groupe,in whioh any own faotor group is layer-Chernikov. Co-layer-finite groups " are ooneidered. There are described etruoture of torBion-free w-hyperoentral oo-layer-finite groupe,' nilpotent oo-layer-finite groupe and residually finite looally nilpotent oo- .ayer-finite groupe.

triM.n■ djt 1/ .sciiz.. .1 й s.'4-- too.