Холловы подгруппы неразрешимых конечных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Новосибирский государственный университет

На правах рукописи УДК 512.542

Ревин Данила Олегович

ХОЛЛОВЫ ПОДГРУППЫ НЕРАЗРЕШИМЫХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

(01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел)

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор В. Д. Мазуров

Новосибирск 1999

Оглавление

Введение 3

1 Холловы подгруппы некоторых конечных простых групп 8

§1.1. Основные обозначения ............................ 8

§1.2. Предварительные результаты главы 1................... 12

§1.3. Общая теорема о холловых 7Т-подгруппах групп Шевалле, характеристика которых

принадлежит 7Г ................................ 19

§1.4. Холловы 7г-подгруппы групп Шевалле, содержащиеся в подгруппе Бореля, в случае, когда характеристика, 2 и 3

принадлежат тг .................. .• ..................21

§1.5. Параболические холловы подгруппы групп Шевалле с системой корней типа Си Е7, Е$, С?2, 2А;, 3/)4, 2Е6, 2-Р4, 2(?2,

А (/ четно) и 2£>г (/ нечетно) ........................ 22

§1.6. Параболические холловы подгруппы групп Шевалле с системой корней типа

I нечетно.................................... 23

§1.7. Параболические холловы подгруппы групп

Шевалле с системой корней типа Е&.................... 26

§1.8. Параболические холловы подгруппы групп Шевалле с системой корней

типа I четно .............................. . 27

§1.9. Параболические холловы подгруппы

групп Шевалле с системой корней типа А;.

Общие замечания............................... 29

§1.10. Параболические холловы подгруппы

групп Шевалле нечетной характеристики

с системой корней типа А;.......................... 32

§1.11. Параболические холловы подгруппы

групп Шевалле с системой корней типа А;

над полем СГ(22') ............................... 35

§1.12. Параболические холловы подгруппы

групп Шевалле с системой корней типа А;

над полем СГ(22<~1) ............................. 42

§1.13. Холловы 7г-подгруппы конечных групп Шевалле, характеристика которых

принадлежит 7г................................. 47

§1.14.Холловы подгруппы спорадических групп.................48

2 Общие теоремы о свойстве Иж 53

§2.1. Сведение к простым группам.................................53

§2.2. Дг-теорема для конечных групп,

композиционные факторы которых обладают абелевыми силовскими

2-подгруппами...............................................58

3 Свойство Дг в одном классе конечных групп 62

§3.1. Предварительные результаты главы 3......................................62

§3.2. Случай 1: группы Шевалле,

характеристика которых принадлежит 7г.................. 71

§3.3. Случай 2: знакопеременные

и спорадические группы............................ 77

§3.4. Основные результаты главы 3................................................79

Список литературы 80

Введение

Попытки различных обобщений классической теоремы Силова уже давно сформировались в теории конечных групп в самостоятельное направление. Естественным обобщением понятия силовской /»-подгруппы явилось понятие холловой тг-подгруппы. Если 7г — некоторое множество простых чисел, то 7г-подгруппа Н конечной группы в называется холловой 7г-подгруппой, если |С : Н| не делится на числа из тт. Ф.Холл ввел в рассмотрение свойства Еп, и конечных групп. Если конечная группа (7 обладает холловой тт-подгруппой, то говорят, что она обладает свойством Еж. Если при этом все холловы подгруппы группы С сопряжены, то говорят, что О обладает свойством Сж. Если к тому же любая 7г-подгруппа группы О содержится в некоторой холловой яг-подгруппе, то говорят, что С обладает свойством О^. Группу со свойством Еп, или называют соответственно Еж-, Сж- или -группой. Свойство Оп, таким образом, означает выполнение для 7Г-подгрупп аналога теоремы Силова. Ф.Холл показал, что конечная группа разрешима тогда и только тогда, когда она для любого множества тт простых чисел обладает свойством Тем

не менее, при любом фиксированном 7Г класс Д-групп значительно шире класса разрешимых групп, поскольку, например, любая 7г-группа обладает свойством Ож.

Изучению холловых свойств Еж, Сж и БТ посвящена обширная литература. О классе всех £^--групп известно, что он замкнут относительно гомоморфных образов и нормальных подгрупп, но не замкнут относительно расширений. О классе всех Сж-групп известно, что он замкнут относительно гомоморфных образов и расширений, но не замкнут относительно нормальных подгрупп. О классе всех Д-групп известно лишь, что он замкнут относительно гомоморфных образов.

Поскольку для того, чтобы конечная группа обладала свойством Е^, необходимо чтобы все ее композиционные факторы обладали свойством традиционно важное место в изучении холловых 7г-свойств конечных групп занимает проблема описания холловых подгрупп в группах, близких к простым. Еще до появления классификации конечных простых групп Ф.Холл [1] и Дж.Томпсон [2] описали холловы подгруппы симметрических групп, были опубликованы работы Э.Шпитцнагеля [3] и М.Куни [4], посвященные описанию холловых подгрупп в классических линейных группах. С появлением классификации ценность подобных результатов многократно возросла. Ф.Гроссу принадлежат следующие результаты. Описаны холловы 7г-подгруппы конечных групп Шевалле, характеристика которых принадлежит 7г, а числа 2 или 3 не принадлежат ж (см. [5], теорема 3.2, [6] теорема 3.1). Описаны холловы тг-подгруппы классических групп в случае, когда 2 и характеристика не принадлежат 7Г (см. [7]). Описаны холловы 7г-подгруппы групп вЬп(рт) и $2п{рт) в случае, когда 2£7г,аЗ,р^7г (см. [6]). Описаны холловы 7г-подгруппы в спорадических группах, если 2 ^ 7Г (см. [5], 6.13). Проблема описания холловых 7г-подгрупп в группах Шевалле отмечена в обзоре А.С.Кондратьева (см. [8], стр. 89).

В первой главе диссертации завершено описание холловых 7г-подгрупп в группах Шевалле, характеристика которых принадлежит ж, и в спорадических группах, а именно, доказаны следующие две теоремы.

(1.13.1) Теорема. Пусть С — группа Шевалле над полем характеристики р. Пусть подгруппа А группы С такова, что 2, 3, р делят \А\. Подгруппа А является холловой в С, тогда и только тогда, когда верно одно из следующих утверждений:

(1) Л = в, в ф 2В2{22<+1);

(2) в изоморфна одной из групп Ь2(22<), Б4(22г), и3(22<), и4(22<), и5(224), Эи5(224),

где I — натуральное число, причем в последнем случае Ь нечетно, А является холловой тг-подгруппой разрешимой группы N0(1/), где II — силовская 2-подгруппа группы О, тг С тг(22< - 1) и {2}, 2,3 е тг;

(3) С = Д (2г), число I является простым числом Ферма, 1, — натуральное число, (1,2*-1) = 1, А = N0(11), где и = 02(А) — подгруппа порядка 22^1~1\ группа А/и изоморфна прямому произведению группы !)/_ 1(24) и циклической группы порядка 2г - 1;

(4) С = 2Д(2{), число 1 — 1 является простым числом Мерсенна, £ — натуральное число, (I - 1,2* - 1) = 1, А = М0(и), где II = 02(А) — подгруппа порядка 22^1~1\ группа А/1] изоморфна прямому произведению циклической группы порядка 21 — 1 и группы 2Д_!(24), если I > 4, и 2А3(21), если I = 4;

(5) группа О изоморфна факторгруппе по некоторой центральной подгруппе группы ЭЬ(V), где V —векторное пространство размерности п над полем СЕ^д) характеристики р, А является образом в О относительно естественного гомоморфизма стабилизатора в ЭЦУ) ряда подпространств 0 = Уо < VI < ... < V., = V таких, что сИтУг/Уг-] = П1, г = 1,2,...,5, и выполнено одно из следующих условий:

(а) п — нечетное простое число, (п , д — 1) = 1, з = 2, пх,п2 (Е {1,га — 1};

(6) п = 4, (2 • 3 , д - 1) = 1, з = 2, щ = п2 = 2;

(в) п = 5, (2-5 , д- 1) = 1, 5 = 2, щ,п2 € {2,3};

(г) п = 5, (2 • 3 • 5 , <7 - 1) = 1, й = 3, п1,п2,п3 е {1,2};

(д) п = 7, (5 • 7 , д - 1) = 1, (3 , д + 1) = 1, в = 2, щ, п2 € {3,4};

(е) п = 8, (2 • 5 • 7 , <? - 1) = 1, (3 , <? +1) = 1, 5 = 2, щ = п2 = 4;

(ж) п = 11, (2 • 3 • 7 • 11 , д - 1) = 1, (5 , <? + 1) = 1, 5 = 2, щ, п2 € {5, б}.

(1.14.3) Теорема. Пусть С — одна из 26 спорадических простых групп или группа Титса. Пусть тг С тг(С'), 2 С тг, |7г| > 2. Группа С обладает холловой тг-подгруппой Н тогда и только тогда, когда либо Н = С? и тг = тг(0), либо С, тг и Н могут быть найдены в таблице

С? 7Г Строение Н

Ми {2,3} З2 : £8-2

{2,3,5} А6.2

м22 {2,3,5} 24:А6

м23 {2,3} 24 : (3 х Ал) : 2

{2,3,5} 24 : А6

{2,3,5} 24 : (3 х Аъ) ■ 2

{2,3,5,7} Ь3(4) : 22

{2,3,5,7} 24 : А7

{2,3,5,7,11} м22

М24 {2,3,5} 26 : 3'56

Л {2,3} 2 х А4

{2,7} 23 : 7

{2,3,5} 2 х А5

{2,3,7} 23 :3:7

Л {2,3,5} 2П : (26 : 3'56)

Результаты первой главы опубликованы в [28], [29] и [27], докладывались на студенческих конференциях в Новосибирске в 1997 и 1998 гг. и алгебраической

конференции в Москве в 1998 г. (см. тезисы сообщений в [32], [34] и [35]) и на семинарах "Алгебра и логика" и "Теория групп" в Новосибирском госуниверситете.

Замкнутость класса всех Д-групп относительно расширений и нормальных подгрупп соответственно составляет содержание вопросов 3.62 и 13.33 из Коуровской тетради [9]. Изучение этих вопросов центральное место во второй и третьей главах диссертации.

Вопрос 3.62, восходящий к Ф.Холлу, был внесен в Коуровскую тетрадь Л.А.Ше-метковым, который посвятил этому вопросу ряд статей, например, [10] и [11], где, в частности, доказано, что ответ на него положителен, если холлова 7г-подгруппа расширяемой группы является прямым произведением нильпотентной группы на группу с циклическими силовскими подгруппами. Во второй главе диссертации (см. чуть ниже теорему (2.1.8)) изучение этого вопроса сведено к случаю почти простых групп.

Пусть <3 — замкнутый относительно нормальных подгрупп и гомоморфных образов класс конечных групп. Скажем, что для 0 верна Д-гипотеза, если расширение любой ^-группы из 0 с помощью произвольной Дг-группы является Д-группой. Будем говорить, что Д-гипотеза верна для почти простых групп из £7, если для любой неабелевой простой группы Б £ 0 группа О^й1 разрешима, и свойством Д обладает любая группа С? со следующими свойствами:

(1) Ьшб1 < С < где Б — простая неабелева группа;

(2) С? содержит нормальную подгруппу А из 0, содержащую Б и обладающую свойством Д.

(2.1.8) Теорема. Пусть 0 — замкнутый относительно нормальных подгрупп и гомоморфных образов класс конечных групп. Если Д-гипотеза верна для почти простых групп из 0, то она верна для 0.

Вопрос 13.33, поставленный Ф.Гроссом в [12], был внесен в Коуровскую тетрадь В.Д.Мазуровым. Из работы Ф.Гросса [5], использующей классификацию конечных простых групп, вытекает, что ответ на этот вопрос положителен, если 2 ^ тг. Во второй главе диссертации (см. ниже теорему (2.1.25)) найдены достаточные условия для того, чтобы в классе конечных групп замкнутом относительно нормальных подгрупп и гомоморфных образов, вопрос 13.33 имел положительный ответ. Сначала несколько определений.

Класс Q назовем Д-нормальным, если в нем свойство Д является наследственным для нормальных подгрупп. Простую неабелеву группу Б будем называть плохой относительно 7г, если выполнены следующие условия:

(1) Б является Д-группой;

(2) любые две холловы 7г-подгруппы группы 5" сопряжены в А^й";

(3) любая 7г-подгруппа группы 5 содержится в некоторой холловой 7г-подгруппе;

, (4) число классов сопряженных холловых 7г-подгрупп в 5 не является 7г-числом.

Простую неабелеву группу Б, не являющуюся плохой, будем называть хорошей относительно тг.

(2.1.25) Теорема. Пусть 0 — класс конечных групп, замкнутый относительно

нормальных подгрупп и гомоморфных образов. Пусть для некоторого множества ж всякая неабелева простая группа из <3 является хорошей. Тогда С/ является Бинормальным классом.

Как следствие указанных результатов и полученного Дж.Уолтером описания простых конечных групп с абелевой силовской 2-подгруппой [14], доказана следующая теорема.

(2.2.3) Теорема. Для любого множества простых чисел тг свойством обладают расширение с помощью произвольной Д -группы и любая нормальная подгруппа всякой О,,-группы, композиционные факторы которой имеют абелевы силовские 2-подгруппы.

Результаты второй главы опубликованы в [25] и [26], докладывались на семинарах "Алгебра и логика"и "Теория групп" в НГУ, на студенческой конференции в Новосибирске в 1995г., они были также анонсированы в тезисах научно-технической конференции в Красноярске в 1997г. и алгебраической конференции в Санкт-Петербурге в 1997 г. (см. тезисы сообщений в [30], [33] и [31]).

Теоремы (2.1.8) и (2.1.25) дают надежду получить ответы на вопросы 3.62 и 13.33 с помощью классификации конечных простых групп. Напомним, что в соответствии с классификационной теоремой любая конечная простая неабелева группа изоморфна либо некоторой знакопеременной группе, либо некоторой группе лиева типа, либо одной из 26 спорадических групп. В третьей главе диссертации получен следующий результат.

(3.4.1) Теорема. Пусть любой неабелев композиционный фактор конечной Дг-группы С изоморфен либо некоторой знакопеременной группе, либо одной из 26 спорадических групп, либо простой группе лиева типа над полем, характеристика которого принадлежит тт. Тогда

(1) любое расширение группы с помощью произвольной -группы обладает свойством Д-,

(2) любая нормальная подгруппа группы (7 обладает свойством Вж.

Пусть О — класс конечных групп, любой неабелев композиционный фактор которых изоморфен либо некоторой знакопеременной группе, либо одной из 26 спорадических групп, либо простой группе лиева типа над полем, характеристика которого принадлежит п. Из приведенного результата и замкнутости класса всех Д--групп относительно гомоморфных образов вытекает, что конечная группа из С? обладает свойством Вж тогда и только тогда, когда каждый из ее композиционных факторов обладает свойством Дг. Поэтому естественно спросить, каковы необходимые и достаточные условия для того, чтобы простая группа 5" £ Я обладала свойством Д? В работе [5] Ф.Гросса доказывается, что если 2 7г, р — некоторое простое число из я-, Ь — группа Шевалле над полем порядка рп, и Ь обладает свойством Д, то 7г П 7Г(Ь) С 7т(рп — 1) и {р} и группа Вейля группы Ь является 7г'-группой. Там же Ф.Гросс спрашивает, будут ли эти условия необходимыми и достаточными для того, чтобы группа Ь обладала свойством Д ? Теорема (3.2.12) в третьей главе диссертации дает на этот вопрос положительный ответ. В качестве следствия этой теоремы и описания холловых 7г-подгрупп в группах Шевалле, характеристика которых принадлежит 7г, получается следующий результат.

(3.2.15) Теорема. Пусть Ь — группа Шевалле с полем определения СГ(с/) характеристики р е 7г и группой Вейля IV. Группа Ь обладает свойством Вп тогда и

только тогда, когда либо тт(Ь) С тг, либо тг П тг(Ь) С 7г(д — 1) и {р} и V/ является тг' -группой.

Из полученного Ф.Холлом и Дж.Томпсоном описания холловых подгрупп в симметрических группах вытекает описание симметрических и знакопеременных групп со свойством

(3.3.1) Теорема. Группы Ап и 5'„. п > 5, обладают свойством в том и только в том случае, когда они являются тг- или тг'-группами, или же когда тг(п!) П тг = {р}, где р — простое число.

В той же работе Ф.Гросса [5] описаны спорадические группы со свойством Д., при условии, что 2 ^ тг. Следующий результат завершает описание спорадических групп со свойством Д.

(3.4.2) Теорема. Пусть ,5' — простая спорадическая группа или группа Титса. Группа 3 обладает свойством Д для множества простых чисел тг, содержащего 2, тогда и только тогда, когда либо Я является тг-группой, либо |тт П тг(,5')| < 1-

Таким образом, в классе конечных групп с неабелевыми композиционными факторами, изоморфными простым знакопеременным, спорадическим группам или группам или группам лиева типа над полем характеристика которых принадлежит тг, свойство О к можно считать описанным.

Результаты третьей главы опубликованы в [27], докладывались на студенческой конференции в Новосибирске в 1998 гг., алгебраической конференции в Москве в 1998 г. (см. тезисы сообщений в [34] и [35]) и на семинарах "Алгебра и логика" и "Теория групп" в НГУ.

Хотя диссертационная работа в значительной мере опирается на результаты, полученные в статье Ф.Гросса [13] с помощью классификации конечных простых групп, можно считать, что в диссертации не используется классификация, поскольку результаты из [13] рассматриваются только в применении к конкретным простым группам, для которых эти результаты получены непосредственно.

Результаты первой и третьей глав диссертации получены соискателем лично. Результаты второй главы получены совместно с В.Д.Мазуровым.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору В.Д.Мазурову за постановку задачи, совместную работу и всестороннюю помощь и поддержку с его стороны.

Глава 1

Холловы подгруппы некоторых конечных простых групп

§1.1. Основные обозначения

На протяжении всей работы через тт обозначается некоторое множество простых чисел. Для любого целого числа п через 7г(п) обозначается множество всех простых делителей числа п. Если G — конечная группа, то по определению тт(G) — tt(\G\). Для любого множества простых чисел тт символом тт' обозначается множество простых чисел, не принадлежащих тт. Если р — простое число, то по определению р' = {jo}'. Целое число п называется 7г-числом, если тт' П тт{п) = 0. Для любых двух целых чисел m и п через (т, п) обозначается их наибольший общий делитель. Для любого вещественного числа х символом [ж] обозначается целая часть числа х, т.е. такое целое число к, что к < х < к + 1. Через N, Z, К. обозначаются соответственно множества всех натуральных, целых и вещественных чисел, через Z[t] обозначается кольцо многочленов над Z от переменной t. Для любого многочлена f(t) £ 7i[t] через f'(t)