Хорошо обусловленный прямой метод расчета волноводов с резкими граничными неоднородностями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

роотоескш ордена трудового крас1юго зн1шш государственный университет

Социализированный совет К 063.52.13 по фиико-натематичвскин наукам

НА ПРАВАХ РУКОПИСИ

АЕРАШН Цэжаил Эдуардович

Уда 517.958:62^.372.8

ХОРОШО СВУСПОВЛЕЖЫЙ ПРЯМОЙ МЕТОД РАСЧЕТА В0ПНС80ДСВ С РЕЗЙ^И ГРАНИЧНЫМИ НЕ0ДН0Р0ДН0СГОФ1

01.01.02 - даФЬорвнциальнне уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на ооискашэ ученой отэпени кандидата физЕко-натэматичесних паук

Ростов-на-Дону 1992

Работу выполнена в Ростовской ордене Трудового Красного Звааени государственном университете.

Научный руководитель - диктор фззгко-катематическпх наук,

профессор И.Б.Свзаненко

Офацнальшэ опшнвнты - доктор фнзнко-ггатемагЕчеснет наук,

профессор В.&.Устишв, доктор фазяко-математнческшс наук, профессор С.З.Лгвгггаэрсюш

Вздутая органазация - Сашст—Петербургский

государстоснный университет

Защато состоится *2Ъп 1992 г., в 4 о,

час. на заседания спецдалззжрованшго совета К 0S3.52.13 ю прасуздэнню учевой степенг кяэдвЖга ©нзакснаатеиатвчесшп наук в Ростовском государсиенвоа ушверситете ш адресу:

344104, г.Ростов-на-Дону, ул.Зорге, 5, РТУ, иэханако-кзтсиатнчески! факультет.

С дассертацнеЗ коано ознаксшться в научной Оаблжотека Ростовского государственного университета го адресу: г.Ростов-ЕЕ-Дрву, ул.Пушкинская, 14В.

Автореферат разослан 1992 г.

Зва. председателя

спецвалнанровалюго

совету К 063.52.13, -

профессор ^ Н.К.Карапвтящ

>1

(

сэртац/.й

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Современный этеп развития математической (¡дзщш характеризуется ростом усилий, направленных на разработку таких методов решения краевых задач, которые, а одной стороны, допускают строгое обоснование, а с другой стороны, могут бить эффективно ргализоаяны на 3BU. Двшшй процесс активно стимулируется как возросшими потребностями прикладной электродинамики, акустики и других практических дисциплин, так и успехами в развитии средств вычислительной техники.

Среди многообразных катодов решения задач математической фззикп, н, в частности, теории дифракции, моэю наделить два основных направления: численно-аналитические (полу-вналитическио) и прякыэ численные катоды.

К числанш-аналитичэскш методам, пркшняелшм в теории дифракции, могшо отпасти, например, метод задачи Ришш-Гильберта, катод Еинера-Хопфэ, кодифвдироЕашшй метод илотов, метод интегральных уравнений, итерационный метод Шварца в т.д. Бнсохая эффективность данных методов, точность а достоверность получаемых о их помощью результатов объясняет то большое внимание, которое уделяется в настоящее' время вопросам их развития и совершенствования.

Достоичстзаш прямых численных катодов является их Оольяая универсальность, а таккэ простота построения в записи окончательных алгорит'-ов. Однако практическая реализация прягых методов обычно наталкивается на ощугкша трудности, связанные со сложность» обоснования достоверности окончательных результатов, медленной сходимостью, в ряде случаев отсутствием сходимости приблажинних раыаний к точному (либо явлением "относительной сходимостя") и тустойчивостьи (плохой обусловленностью) еоотватотвуыцих алгоритмов.

Распространено даание, что указанные недостатки в той или иной мера присугди всему классу прямых методов.

Настоящая работа призвана показать, что возшено шстт роение строгих, прямых методов, обладакщах свойствами вксш-^

ненциальной сходимости и хорошей обусловленности.

Цель работы. Разработка методов «следования числа обусловленности систем векторов в банаховых пространствах; исследование фредгольмовости и разрешимости задач о волновод-ных сочленениях; разработка и обоснование хорошо обусловленного метода расчета волноводов с резкими, неоднородностями.

Методика исследования. При получении результатов настоящей диссертации использовались метода конструктивной теории функций и теории сингулярных уравнений (глава 1), теории обобщенных регэний краевых задач и теории волноводов (главы 2,3). В главе 1 используется и развивается теория обусловленности, применяемая затем в главе 3.

Научная новизна. Результата диссертации является новыми. Из них можно выделить:

- разработку нового подхода к исследованию числа обусловленности системы векторов в банаховых пространствах;

- теоремы о фредгольмовости и разрешимости краевых задач (в обобщенной постановке) в неограниченных областях с регулярными выходами на бесконечность;

- разработку и обоснование нового прямого метода (метод пересекапцт.ся областей) расчета плоских идэалышх волноводов с кусочно-линейной границей, доказательство его экспоненциальной сходимости и хорошей обусловленности.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер, ее результаты могут быть использованы при исследовании краевых задач теории дифракции в сложных областях, а такие при чтении соответствующих спецкурсов. Прямой метод пересекающихся областей, разработанный в диссертации, мозкаТ успешно применяться при численном исследовании задач, ''..возникащих в гндроакуетахо, электродинамике е других прикладных дисциплинах, .изучайдах полноводные процессы.

Апробация работы. Результаты дасоартвции докладывались на научном семинаре кафедра алгебры и дискретной мет&матша Ростовского университета (руководитель - й.Е.Симоваяко), ке 4-й Региональной пколе-семгошрэ "математические метода призе-

ладной акустики" (Одесса, октябрь 1989 г.), на Всесоюзной конференции но теории приближения функций (Днепропетровск, ишь î990 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть работ, список которых привадится в конце автореферата.

Структура и объем работа. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы из 46 наименований. Объем диссертации - 87 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткая характеристика основных направлений методов решения краевых задач теории дифракции и проводится их сравнение с предлагаемым прямым методом.

В 1° главы i вводится понятие числа обусловленности системы векторов. Данное понятие связано с извесгньл понятием числа обусловленности обратимого линейного ограниченного оператора, действующего в банаховых пространствах *3 :

Определение 1.2.

Пусть В - нормированное пространство, - линейно

независимая система векторов из В ; - линейная

оболочка векторов et,, снабженная В-нормой; <Dn -п-мэрное комплексное пространство а нормой, порожденной батвотвеншм скалярным произведением; J - линейный оператор, действующий иа в (С"; по правилу

«7(2,0, + ... + Zn0j - (Z1,...,Zn).

ПОЛОЙШ

ooniB{ej]"* 1 - GOndfilf<cn J "'l^a ¿"

где fl1 - . Данная величина называется числом

обусловленности Ойстекы ьэкторов te }" из В .

J Jsl

Нумерация определений, теорем, лемм и замечаний совпадает с нумерацией, использованной в диссертационной рЕботе.

Приводятся таюю два полезных свойства числа обусловленности.

Свойство 1.

Пусть ВА,Вг - нормированные пространства, -

линейно независимая система векторов из В1; Аг В1—> Вг -линейный оператор, - линейно' независимая система;

оператор, действующий по правилу А'х ■= Ах У-г^В^ . Тогда

сош1п 1Аэ,, 5 сопй™ а,А' сош1п (е.)" , , ог Л аГу ,&г а, з J*1

причем равенство достигается, если сопйд » 1 -

Свойство 2.

Пусть Н - унитарное пространство, {е^}™^ ~ линейно

независимая система векторов ез - 09 матрица

Грааа.

Тогда имеет ыеото равенство

соп! СдСе,)^, = ( соп<1г{е^}"_1 )г .

(число обусловленности нвтршщ определяется здесь через ее сшктральнув норму).

В 2° описывается анализируемая система функций н Формулируется основной результат данной главы. Исследуемая система кусочно-напрершшых функций шввт вид

ео«р) - 2"1/г 2 ^(ср) е1р(£Рв),

«гп-1 «Р> » 1+

' - Х«^ соа(гаР + Р«>» п»1'2'--- »

где й'г 1 - целое число;

0=а0<а1<...<ам<а1г+1»,1с - разбиение отрезка 10,*1 ;

Х^ - характеристическая функция множества

..,ри> - нвбор вещественных чисел, удовлетворяющих

следующим условиям: |Pn|sic/2 , m=0,.. ,1 ,

Теорема i.l.

Пудть гот л бы для одного- m выполняется равенство

Тогда существуют такие положителшые с' ,с" , что для всех ífe 1 тлеет место двойная оценка

û' Ж&Ь 5 ^(С-^хпЧ^о 5 с" -

Если Ее для всех П |Арт|*ТС/2 , то число обусловленности равномерно по S ограничено:

эо>0 V CQnd^<c^,)íeri}»0 s с .

Последущне пункта данной главы посвящены доказательству теорекы 1.1« В 6° приводятся результаты численного исследования обуоловлэшюсти рассматриваемой системы функций.

Результаты, уотановленниэ в главе 1, £. дальнейшем не используются. Вместе о там, предлагаемый материал служит хорошей иллюстрацией ыэтодоз исследования обусловленности систем функций, применяемых в глава 3.

В Iй главы 2 вводятся необходимые понятия и обозначения, связанные со стандартными областями нв плоскости. Твк, через aip.Q'^.eig.üjj и обозначаются множества открытых плоа-ииХ'областей типа прямоугольной полуполосы, угла (без сектора), сектора, круга и влепгаооти. круга соответственно; через , Д2 ) - "естественная" система координат, связанная со стандартной областью AçS^lJîl^Uayjï^USlj, 'декартова при ЛеШр, молярная в противном случае), о центром в точке Од.

Затем рводятся обозначения отдельных чаотей границ стандартных областей. Для , граница которой представляет собой объединение двух луч-зй и перпендикулярного ras отрезка, ' лучи обйзначаагся через и баА, а отрезок - через Г(Л). Для ЛеЯ^иа черэз Г (Л) обозначается .фииолинойная чаоть границы, а через д^А ж дг\ - лучи для ад и отрезки для Наконец, .для АсЗЦШ„ 3,Л=О„Л=0, Г(Л)=ЗЛ. Полагается такие

L, Л 1 <С

ОдЛ в,Л и Огк .

Определение 2.1.

Будем говорить, что область Л1 стандартно вложена (в-влошна) в Л2 (обозначение: Л1< Л2), если

1) э аге{Р,л,5,с,Е) : Л1,л2еаг ,

2) Л,*^ и

3) Л^,

4) б0Л,сд0Лг при хе1Р,А,3),

Б) о. = о. при эгеи,5,с,г).

Л1 лг

Еолн Л^ Л2, то Л, называется а-сукэшэм а -е-расширением А1.

Пункт 2 шсвидэн формулировке основной краевой задачи, анализируемой в данной главе. Вначале дается определение одного класса ограничению, облптей в

Определение 2.2,

Пуоть 0осК" - ограниченная связная открытая область. Введем в ней внутреккио метрику р0:

V х,уф р (х.у) - £ ^ |£ | ,

ху о "

где £ обозначает спрямляемую дугу о концами в точках х и У I \С . | - ее длину В обычной евклидовой метрике. Попш-нив П0 по внутренней »¿а*рика р0 , получим мнокесгаа П0 . Потребуем, чтобы пополнение $с было компактно относительно метрики р0. Потребуем, далее, чтобы для любой точки хе ЙоМ30 существовала окрестность О^с П0 , гомеоморфная полушару { уеШп : ][ < 1 , у, г 0 1 , функции, _ задающие указанный гоггэом.орфззм, была непрерывно диффорэкцируеш в 1М1£>0 и ограничена вмаоте о производными в Па , а ех якобиан - ограничат снйзу в V константой 0я>0 .

Еоли область удовлетворяет перечисленным требова-ншш, будем говорить, что она принадавкит классу © (в Еп).

Граница области П0 из класса В определяется следущик образом: 6П0=Й0\П0 . Бататам, что данное оцредэлениа 6Я0 позволяет "различать" граница берегов разреза, если он зВжб? кэсто В 0о .

Затем определяется область CWR2 с регулярный выходами на бесконечность, в которой ставится краевая задача:

Q - открытая связная неограниченная облаоть, для которой найдется такое (очевидно, непустое) конечное подмноеэст-во &с а^иа^ стандартных непересекающихся областей, что подобласть вида

п0 - 0\и й Л

Ш

будет областью класса Ь в R2 .

Вводится разбиение границы П (0íí1SQq понимается в смысле определения 2.2) на попарно на первсекаидайся измеряло кпогастпа: (50=7,117^73 , прячем требуется, чтобы каог»-ства д^А, dgti при Лей целиком содержались либо a 7, , либо в

Ь -

Веодятся такса слэдущиэ обозначения: fc=S(x)>Q - функция из L (П) такая, что

СО

V Ata 3 Л~<Л : й(х)1 - К. = const ;

|л- А

о - вещзотввшюзначная функция из 1м(73) ;

Ре12 ) - функция с кошшшзш носителем, аирр РсУ , ;

Всаду в дальнейаем vu обозначает градпэнт фушащи у (в сшакэ обобщенных производи:»), a w^ ,vvz - ноиплзксвоо скалярное произведение vut и vug . Для ecos кривит, вводятся надлэкшцая ориентация.

Тогда оспоктшп краьвая задача (в o6o6iF,emroü костанонкэ) форму лггруа тел олвдущгал образе:.::

imVr.il йупэдЕо и , опрэдажоаную в Q и ниэщуп том парша обофузвша "цроязеодкшз, сугл?лруе?<нэ о квадратен п любой orj ашчонк&й подрбласгя О muí, го„(П), текув, что '

дал лйбоа Функции а кешшишм касителз!5, на

пара^-кавзг-йюя о 7 , зг.:ээт шэото соогдан&пнб

j* (-VU.4X + ^«X - í^) dr + Г On * Q , (2.1 > fl T3

О , (2:2)

-It."

поведение и. на бесконечности определяется условием

типа парциальных условий излучения А.Г.Свешникова. (2.3)

Б 3° формулируется и доказывается аналог теорема Фрвд-гольма для основной краевой задачи:

Теорема 2.1.

Пусть однородная задача (2.1)-(2.3) ( Р=0 ) имеет лишь тривиальное ретегчэ.

Тогда для всех о компактным носителем задача

(2.1)-(2.3) имеет единственное решение, причем для любых охрашгченных ооластей 7 и [УсО оператор, сопоставляющий функции Р решение и , действует как ограниченный из в 1Г^(£ЗГ > .

Данный пункт завершается обобщением теоремы 2.1 на случай п-мерных областей (теорема 2.2).

Следу щей цункт посвящен доказательству вспомогательных утверждений, использованных при обосновании теореш 2.1.

В закличительном, пятом, пункте главы 2 рассматриваются некоторые случаи разрешимости основной краевой задачи.

Теорема 2.3.

Пусть область ОсШ2 имеет хотя бы один регул*фшй выход на к типа угла; прочие данные - те из, что а 2°.

Тогда задача (2.1)-(2.3) имеет единствэшоэ рсгзшэ для всех к и РсЬг(У) ,. причем для любых ограниченных областей & и (ГсД оператор, сопоставляющий функции Р решение и , действует как ограниченный ш в ^(П') .

.Анализируется такие задача в простейшей области с двумя регулярными выходами на «> типа полуполосы (волновод со "ступенькой"):

О -'Л,Ш^ит ,

где тсГ(А^ПГ,(Ла),'А1ПАг-0.

Относительно разбиения 00 , введенного в 2°, ставится

условие, чтобы а каадое мноаество 1=1,2, ,/«1,2, целиком содержалось либо в 7Т , либо в 72 .

Функция I определяется так ге, как в 2°, £=сопа1;>0 .

Теорека 2.4.

Пусть для лкбнх полФштельных и справед-

ливо неравенство (1) 2)

... "2 гдэ {Л.'-")0® , - полшй набор собственных значений "попереч-

А 1

еой" задачи Шгурма-Лиунвлля для области ЛJ , ,/-1,2 .

Тогда задача (2.1)-(2.3) имеет единственное решение для всех Л и Ре^СР) , причем для лкОых ограниченных областей ? и СУсЯ оператор, сопоставляющий функции Р решение и , действует как ограниченный из в (О* ) .

Из данной таорекы следует, что почта для всех состаоше-шй глубин справа п слева от ступеньки рассмотренная задзча разрешила для всех 2? и для всех а для всех соотношений глубин мозно утверждать, что задача разрепзмз для всех Р почти для всех к>0.

Завершается пункт замечанием о возмоааости распространения утверздений теорем 2.3 и 2.4 на п-керяые области.

Глава 3, центральная в диссертации, посвядвнв'опясаши и теоретическому обоснованию нового прямого метода решения краевых задач в областях о кусочно-линейной границей.

. Пункт 1 начинается с описания плоской области О, в которой ставится ооношая краевая задача:

О - открытая связная неограниченная область, граница которой представляет собой объединение коночного числа пря-колхшейных отрезков п лучей; при этом границы разрезов, осла последние имаит касто а П, нэ отоздеоталяются.

Кэтрудно установить, что для данной области О существуют конечные подаюЕоства ^с^, т=Р,А,3,0,Е, такие, что А1) 0 - 1)ЛсЕГ Л ,

¿2) 80 - иш<> Щ .

АЗ) каздая с?Дпасть Л из £1' -Й^Ш^га^иа^иа^ шкет бить а-расширэна до подобласти'Л+, оставаясь в пределах 0,

А4) каадая область А и? может быть а-оугана до подобласти Л , не пересекащейся с остальными областями из И',

А.Б) для любых областей Л^Л^ей' кривые Г(А{) и Г(Л^) не имеют точек касания.

Вводятся следущие обозначения:

й>0 - постоянная, 1 *

30=71и72 - разбиение граним П, гдз 7, к уг - непересекающиеся шозества, для которн. каздое ез клокаста 01Л+ к веЛ+, Лей', целиком содераатся либо в , либо в 7£,

70 - стандартный поперечный разрез в К, расположенный в одном из регулярных выходов но бесконечность Л0еЩ' п такой, что 70ПЛ+>^3 V Лей'. Данный разрез делит область Л0 нв две подобласти: ограниченнув к неограниченную. Обозначив ,кг через <2* а соответственно, мояао опредзлкть скачок функция на 70:

1 и V (ик0>ь0> ~ <1«0Ч70>

Далее определяется пространство

^(7)= { иеЯ'з (7) : =0 },

гдо 7СЕ2 - открытая ориентированная гладкая здшаая конечной длина, и з ней вводится стандартное скалярное произведение.

Основная краевая задачи (в обобщенной постановка), рассматриваемая в данной главе, Екэвт вид:

пусть Тс) :

найти функции и , определенную в П\7С н ншзацув там первае обобщенные производите, сумилруеиаэ с квадратом в жбой ограниченной подобласти П\7С , ие^ 1ос(П\70) , такую, что

для любой фувнцга %€Я],(0) с кожшктшм носителе», не пересоквЕщамся е 7? , имеет кесто соотношение

Г + Ьгцс ) йг + Г /д <¡2 " 0 , (3.1)

и|7 - 0 (3.2)

, (3.3)

'О 0

поведение и на бесконешгастЕ определяется условиями тша парциальных условий излучения А.Г.Сеэишкоез. (3.4)

В дальнейшем считается, что соответствующая однородная задача (при /0=/1 =0) имеет лшаь тривисяьшэ решение. Из результатов глава 2 оледуэт, что в этогз случае исходная

оадгла разрешила едппственпнм образом.

Пункт 2 шсвкщоя описешта Функциональных пространств п фуакцпоналов, пспользуокг! прл построении приблазоний искового рзпввпя задача (3.1 >-(3.4).

Для каждой йбласта Лей' строится система функций шда

"А,«<Г>

Оа.П^.Л.А^ХРА.ЛА^» '

где ш. - собственная функция "попопэчпоЯ " иадачп

л i п *

Егуриа-Лаувшыш, связанной с облеегьв Л,

iij1' (fcr,), ,

"A

A ,ts

К _ - собственное значение, соотаататаущез функции о, .

Д |IS

-(V

'A,is

fe2)

t/2

К & >

М*8-**,.)"8. ХА я< ft . ,

Byiy{x) - функция Хвнкеля первого рода, Jv(x) - функция Бесселя,

0Л я - гориЕгруицнй киошзтель, подобршзннй так, чтобы таэло

¿¿зато соотноиеше

^•"A.V'W -O0V«a> -

1, О,

г.р ro(A,»t;»8)

- <у,|г- "а|г >ffi(r)* (0и1/вп|Г' 3^/оа|г

Г»Г(А) - часть грпшодз А, а - нормаль Г, внешняя к А .

Вводится такгв функцяп Л(А,п) : В' О К —< Е! , монотонно возрастания га гг для лвбой Леи', е набор пространств

н - II С и . У JJ J

А.га.Д А,п Z ш=1 ni,«' nv

Далее, через Нд w обозначается лкязйков пространство

функций из 1оо(Л) , у довле творящих интегральному соотно-иэшга (3.1) для X 0 кошактши носителем в Л\(Ги7,) при ^«0, граничному услошш (3.~) на 7,П30Л и условию ианучэ-ш'1 (3.4) на * (последнее - в случае, когда Лей^и^ийд ) к таких, что слад их на Г принадлежит ^(Г), а нормальная производная на Г принадлежит Хг<Г>„

1Ш:ала основных функционально! пространств определяется тешрь олэдущим образом:

при втоа Н,с|^с..с(Нпс..с1Н4'.

Если теШ® - вектор-функция, то ее компонента, соответ-отаушцая области Л , обозначачается (7)Л . В Г вводится скалярное произведение

<т1'*г>о "2 лег Оо^^'д'^а»-» .

пространство И* и его подпространства Й", снабшннае шриоЗ |. |0 , порожденной сквляршш произведенном (•.•)0 . обозначаются к Шц .

Определяя кногаотво Бда - { р-(Л,п), Лей', ией } ц вектор-функции и^лМ*',

, . [ "л ш • 0ОЛИ Мл»«)

<ЦЙ>Л " 1

и 10 в протишоа случае,

получаем полауа ортошрммровгшкую в В^ систему { ц, }р_Е .

Обозначив ВЛ « { р»(Л,ю), Лей', пИ , ..,Л(Л,п) } , пояучаоц полную ортонормярованнув в систем { и^ .

Далее в ВТ вводятся норда другого вида (типа скачка):

где

+ (feVA.lT - 8й<'Л,Ь ' ~ к^ф ],г(7)

(здесь - ориентированная кривая, п - нормаль 7,

^.▼геВГ )»

0|/ = Г(Л{)ПЛ<, ,

9 = { 9lJ ' 3 '

Пространство &Г и его подпространства И™ , снабженные нормой 3.Я1 , порожденной скалярным произведением (.,.) , обозначаются и ¡Н^ .

Введенная норла связана с разбиением исходной области П на перэсенаюсдаося подобласти АеИ' . Норму типа скачка «ояш определить также и по разбиению £1 на непересекающиеся подобласти. Данное разбиение а* строится по разбиению а' (вообще говоря, Еэедапственным образом) отбрасыванием у части областей ЛеЯ' пересекающихся участков. При этом каддой "урезанной" области Л* ей* соответствует "неурезашая" стандартная область Лей', Через Г* = Г*(Л*) обозначается часть границы ЗА*, лезвщая внутри П. Норма типа сквчка, связанная с фиксированным разбиением а*, примет вид

где

е*^ = в* (А*,А}) 9(А* )ПГ* (А*),

9* = { в^ : , А*,л^ей*\}.

Соответствуйте нормированные пространства, обозначаются следующим образом: , . Леша 3.1.

Существует функция и0е!?2 1ос (Л0\т0) , удовлетворяющая интегральному соотношению (3.1)'для % о компактным носителем в ^\(Г(Л0)и71) , граничному условии (3.2) на Т-|П|3оЛо » условию (3.3) на 70 и условию (3.4) на « .

Зачетам, что кзгф^циенты разложения функции и0 по

сшстэме С«?. }й> , вншсывавтся в явном виде.

Через uQ обозначается вектор-функция той же структуры, что и функции из frf :

f % при Л«л0 ,

^ л 0 в противном случае к

(при втом и^сТЯ®, поскольку (и0)Л испытывает скачок на 70 ).

Пункт 2 зввервватся определением квадратичного функционала, испольауакого при наховденни приближенного решения задачи (3.1)-(3.4):

V vdf 0F,(y) у у + ^ ц2 .

Помимо основного функционала IF1 определяется "альтернагаа-вый" функционал IF2 :

V vt&f0 F2(v) ¡¡ у + u0 || .

Для данных функционалов справедливо соотаошвнка

V räP Fb(t) s fft(T) .

D 3° ртшшаотоя катода решения основной краевой задачи и дается обоснованна их корректноотц п сходимости. Seopeus 3.1.

Киэюг moto сладущцэ утвервдолыя, связанные о функционалом Gr1 :

1. Если (и*) « 0 , то для любой области Лей' функция (и'+и^д совладеет о решением и" задачи (3.1)-(3.4"Гз Л:

№*+в0)Л - u*jA V Лей' ; обратно, если ц* - р&а&нве задачи (3.1)—(3.4), то, Еоктор- <&уккцгч и" , опчадвляомая по правилу ■

обращает в куль функционал F, : ^(ц*) = 0 .

2. Для леЗого .' нс£1 функционал Ст гашат одннстаанинй цгшамум в класса Ef1 .

3. Uasno ташм образок шбрагь функция Я{А,п) , чтобц вшюлаавзоъ сладукцрв оценка:

V Ш' М(к,п) s п ,

3 0>а, ч€(0,1).: V п£Ш min vef[|n öF, vy) s CqSn . В ходе доказательства приводится алгоритм построении

функции Д(Л,п) по разбиению Я'.

Данная теорема позволяет корректно описать метод нахо-ядения приближенного решэйия задачи (3.1)-(3.4):

1. Исходная облвсть П разбивается на мнокэство й' пересекающихся стандартных областей, описанное а 1° глава 3 и удовлетворяющее условиям А1)-А5).

2. По разбиении 21' строится функция Д(Л,п), и находится последовательность сектор-функций и* , минимизирущих функционал в классе . На практике мяндакзацкя сводится к репэнию специальной системы линэйных ураиввний.

3. Согласно теорокз 3.1 последовательность { и* определяется однозначно и порождает шшроксширующуя последовательность С (и*+и0)л для искомого реЕЭНИЯ и* в каадой стандартной области Лей' .

Описанный метод называется основным, пли методой пересекающихся областей.

ЗзиечаЕнс 3.2. л

Все утзэрздэння теоремы 3.1 останутся справедливыми, если заменить в них функцгонал СГ1 функционалов .

Данноэ замечание позволяет корректно описать другой ыэтод нахоядения приближенного решения, в котором вместо функционала используется функционал ¥г . Данный метод ннзыввотся альтернативным, ила методом -шнересэяащихсл областей. Нигэ, в 4° и 6°, показывается, что основной метод предпочтительнее альтернативного.

Тесроив 3.2.

Последовательность вектор-функций { хз* , мшиш-зирущих функционал ¡Г, в классе М1 , пей , отроядэет для любой области Лей' последовательность функций { (й*)д )™=1, анпроксишруицую решение задачи (3.1)-(3.4) 'и* в следующем стала:

3 де(0,1) V СУ - ограниченной подобласти (СЭТЛ)\т0

3 0*€({Г )>□ V пеМ

Ташнк образом, метод пдресехаэдяхся областей является

екопона нциальио сходящимся. '

Замечашш 3.3.

Утзарзщшв тесрвкш 3.2 останется справадаззям, вши заме теть в ней ^ьч^онав на фзшкцвонаи . Следдва-тельно, альтернативный кэтод н епересеканцихса областей .такаа является экспоненциально сходящимся.

Описанные вше метода могут считаться вф£окт;шниш, если они, помимо быстрой сходимости, обладают свойством хорошей обусловленности, которое понимается в следующем сшсле: число обусловленности матрицы Грамз системы вектор-функций размера Н либо ограничено для всех либо растет при Я—'» "не слишком быстро": как 0(?/"), где а*2.

В 4° доказывается, что метод торесеквщихоя областей является хорошо обусловленным. Результаты расчетов, приведенные в 6°, свидетельствуют, что метод нопэрасеканцихоя областей свойством хорошей обусловленности нэ обладает.

Теореца 3.3.

Существует такая положительная константа о, что для веет пеШ имеет место оценка

сош1 ^п. { и^ $ о п 1п п .

Заметим, что свойство 2 числа обусловленности, приведенное в 1° глвш 1, позволяет гарайти от исследования числа обусловленности матрицы Грама - основной матрицы- системы линейных уравнений, возникаюдэй в методе паресекапцихся областей, - к 'анализу числа обусловланности порождающей ее системы вектор-функций £ и^ }реВ в пространстве О^1 , а

свойство 1 числа обусловленности - свести последнюю задачу к оцешее числа обусловленности оператора влоиэния, действующего из Ид в И™ , поскольку система £ и^ >реВ в является

ортонаршрованной дая любых гсеСч и, следовательно,

сош%£ { }рев7= 1 •

Таким образом, свойство хорошей обуеддалэннэота ыптода пересакащихон областей вытекает из следующего вспомогательного утварадэния:

Леша 3.2.

йдевт место двойная оценка:

3 0,,0г>0 V П{И Г 7бй"

О, п-1/г |7j}0 S i Ог (in n)t/2 gr|0 .

Доказательству леетш посвящена ваклгчительшзя часть данного пункта.

В 5° формулируется п доказывается аналог тесрегш вред-гольма для краевой задача в П с неоднородностью типа скачка на конечном нкогестпэ гладких кривых конечной длят, рззби-ващах область П на подобласти с лшшнцевой границей. Длнпоэ обоСз^нзо основного результата глвш 2 используется тгря дохвзательстао теоремч 3.2 а ледащ 3.2.

В 6° рассматриваются вопросы практической рэадязвцяи ошсишнх методов на ЭВМ на примере частного случая задачи (3.1)-(3.4) - задачи о набегащеЗ 1-й волна.

Прогрташ, реализущае данные метода, были написаны на язьже ТшЬо Pascal 5.0 и выполнялись па ношгьютера IBM F0 AT 286 с сопроцессором. Вычисления проводились с двойной точность», относительная погрешность вычислений составляла 10~18. Категралыша кор-и нсаду заменялись даскрзтными, о равноотстоящими узлаш дискретизации.

Величина ногрепясста полученного прнблиаеняого решения при факгафованном п определялась посредством сравнения граничных значений функций (и*)А и (¿*)А в п равноотстоящих

точках на общей внутренней граница же областей определения. Определялось как максимальное . значение ( модуля разнос т {максимальная невязка Д^^.), так и среднее значение (средняя невязка A ur).

В диссертации приводятся результата расчетов для двух простейших областей с резкой граничной неоднородностью: голуОесконэчного волновода с наклонной заглушкой, располо-генной под острым углом а=х/3 к нижней границе волновода я прямоугольного валноводного излома о двумя регулярными ян*о~ дами на бесконечность одинаковой ширины.

Результаты расчетов для первой области собраны в табли-

цат: 1 и 2. Глубина волновода полагалась равной 1. На его ншшэй граница и заглушке ставилась условия абсолютной васт-кости, на верхней границе - уоювиэ абсолютной мягкости.

Приводимый в таблицах параметр п связан с размерностью пространства Л™ , в котором ютшазярувгся функционалы. Параметр п связан также с количеством узлов дискретизации пл на кавдой кривой: пй-1п/21 . Для каждого и в таблицах приводятся значения максимальной и средней невязок при выбранных 1 (валорах набегающей волны), в также значение числа обусловленности матрицы Грама С и время расчета Тса1а (без вреш-да, использованного на непосредственное вычисление навязок).

Прочерки в таблице 2 при п«40 означают, что из-за большого числа обусловленности матрицы О процесс решения соответствующих систем линейных уравнений не был доведен до конца.

Результата расчетов свидетельствуют о том, что метод резания задачи (3.1)-(3.4), основанный на разбиении исходной области О на стандартные пересеиащиеся подобласти аффективнее альтернативного метода, в котором облаотн разбиения являются нетресекапцимцся.

В заключение автор выракае- глубокую благодарность своему научному руководители профессору Игорю Борисовичу Сишнекко гв большое количество ценных советов и постоянное внимание.

ТАБЛИЦА 1. ОСНОВНОЙ МЕТОД

& « б Й - 15

1 п 1 - 1 сопй. в, ! 1 - 1 I " б сош! в,

А ' • ,Д тлх' аиг гоа1о ! А ,А пах аиг А ,А шал* аиг г , с а. 1с

10 3.09Е-06 1.01Е-06 1.01Е01 00' 34" ! 1.32Е-04 I З.ббЕ-05 7.47Е-05 1.49Е-05 2.30Е01 00' 44"

20 7.18Е-10 1.59Е-10 1.01Е01 03' 25" 7.40Е-10 | 1.62Е-10 Т.22Е-10-1 .БЗЕ-10 2.29Е01 04' 20"

30 2.69Е-13 5.32Е-14 1.01Е01 10' 39" | 2.55Е-13 4.99Е-14 2.42Е-13 4.64Е-14 2.280 13' 09"

40 1 1.33Е-16 3.29Е-17 1.01Е01 23' 49" 6.98Е-16 1.92Е-16 2.62Е-'6 1.21 Е-1 Г 2.28Е01 30' 1 <

ТАБЛИЦА 2. АЛЬТЕРНАТИВНЫЙ МЕТОД

к • 5 й - 15

п г - 1 сотк! С, г - 1 г - 5 соп! 0,

А ,& тол аог Г оа!в А ,А пах' аиг А тах' аиг Т оа!а

)0 1.72Е-06 6.08Е-0Т 2.65Б03 СЮ'34" 8.22Е-05 4.21Е-05 2.15Е-05 1.0932-05 7.57Е02 00' 42"

20 4.15Е-10 1.54Е-10 1.12Е07 03'28" 6.53Ё-10 3.36Е-10 5.Т1Е-10 2.94Е-10 6.38Е06 04' 05"

30 1-64Е-13 5.95Е-14 4.34Е10 10'59" 1.63Е-13 8.06Е-14 1.46Е-13 7.16Е-14 3.00Е10 13'00"

40 - » - 00

ПУБШХАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Абрамян Н.Э., Симонекхо й.В. Обусловленность одной специальна системы функций- - Деп. в ВИНИТИ 28.10.88, Н 7732-В8Э. - 13 с.

ч. Абрамян М.Э., Симоненко И.Б. Обусловленность специальных систем функций. Двусторонние оценка. - Деп. в ВИНИТИ 15.06.89, й 3990-В69. - 17 с.

3. Абрамян Н.Э., Сшоненко И.Б. Оценка числа обусловленности некоторых систем функций // Изв. СКНЦ ВШ. Естеотв. науки. 1990, » 2. - 0.63-66.

4. Абрамян Н.Э., Сшоненко И.Б. Оценка числа обусловленности для некоторых специальных систем функций // Иатернв-ла Всесовзн. конф. по теории приближения функций 26-29 Исая 1990 г. - Днепропетровск, 1991. - 0.25-26.

б. Абрамян М.Э., Симоненко И.В. Фредгояьмовость и разреш-кость задач о полноводных сочленениях,- Деп. в ВИНИТИ 23.05.91, N 2120-В91. - 34 О.

6. Абрамян Ы.Э. Метод пересекалцихся областей для расчета плоских волноводов с резкимя граничными неоднородности-