Идемпотентный анализ и мультипликативные асимптотики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РГ6 ОД

1 о ;] ■£\9.')шздоская академия наук

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В. А. СТЕКЛОВА

На правах рукописи УДК 517.9 '

Колокольцов Василий Никитич

ВДШОТЕНГШЙ АНАЛИЗ И МУЛЬТШШКАТМВНЫЕ А&МПТОТИКИ /01.01.03 - математическая фиэшса/

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1992

Работа выполнена на кафедре Прикладной математики Московского института электронного машиностроения.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Арсеньев A.A. доктор физико-математических наук, Волович И.В.

доктор физико-математических' наук, профессор Тихоыиро.в В.М.

• Ведущая организация: Екатеринбургский Институт математики и механики Уральского отделения РАН

Защита состоится 1992 г. в часов

на заседания специализированного совета.Д002.38.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Математической институте ии» В.А.Стеклова РАН по адресу': Москва II7333, ул. Вавилова, д. 42,

С дисрертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан ■> " и яс Л-? 199 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических

наук, профессор' А.К.Гувдн

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние десятилетия проводились активные исследования идемпотентной линейной алгебры, т.е. конечномерных полумодулай над полукольцами с идемпотантной билинейной операцией. Эти исследования, частично подитоженные в монографии Р.Каннингхэыа - Грина " УУТлп<&па<х: аЛде&га " 1979 г. развивались далее в работах В.П.Маслова, В.В.Белова, С.Н.Самборского, М.Гондрана и др. Интерес к этой теме был связан в первую очередь с тем фактом, что идеыпотентная линейная алгебра является весьма.адекватным аппаратом для формализации и исследования дискретных задач оптимизации. Первые'шаги к исследованию более общих линейных операторов были сделаны И.В.Романовским в конце 60-ых годов. Эти работы подготовили, построение общего анализа на полумодулях непрерывных функций со значением в полукольце с идемпотентным. сложением, т.е. идемпотент-ного анализа. Стимулирующим фактором для создания этой теории послужило также замечание В.П.Маслова (1983 г.) указавшего, что разрешающий оператор обобщенных решений задачи Коми для уравнений Гамильтона - Якоби и Беллыана должен быть'линейным в полумодуле функций со значением в полукольце с операциями , О - -+ , так что построение обобщенных решений нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка можно провести, используя Соболевскую концепции слабых решений, но с иным законом суперпозиции. Отметим, что теория обобщенных решений уравнений первого порядка развивалась ранее многими авторами (Э.Хопр , З.А.Олейник, С.Н.Кружков, М.Г.Крэндол, П.Л.Лионе), при этом аля этой цели применялись совсем другие идеи, в основном, метод введения исчезающей вязкости.

С другой стороны, развитие квантового стохастического исчисления и квантовой теории фильтрации (Р.С.Хадсон, К.Р.Парта-сарати, Л.Лккарди, А.С.Холево, В.П.БеЛавкин и др.) дало новые •постановки задач в теории непрерывно наблюдаемых и управляемых квантовых систем, вызвавшие необходимость построения теории возмущений для линейных (в смысле идеыпотентных структур) уравнений.

Важным источником идей, направивших развитие идемпотентно-го анализа явился также обнаруженный рядом авторов факт (Р.Ва-радан, С.Н.Молчанов, В.П.Маслов, Б.Саймон, Б.Хелфер, Д.Сьест-ранд), что обобщенные решения уравнений Гамильтона - Якоби определяют логарифмические пределы экспоненциальных асимптотик для решений некоторых известных задач математической физики (квантование в окрестности вакуума, туНнелироиание, поведение решений в области тени). Общий класс соответствующих псевдодифференциальных уравнений был определен в 1965 г. В.П.Масловым и назван им классом уравнений туннельного типа. Одной из наиболее важных задач, связанной с теорией таких уравнений является построение экспоненциальных мультипликативных асимптотик нижних собственных функций оператора Шредингера- и экспоненциально малых по параметру /7 — О величин расщепления нижних собственных значений в случае потенциала с набором симметричных минимумов. В более общем виде - это задача околовакуумного квантования Разумеется, здесь требуется уже значительно больше, чем построение логарифмического предела асимптотики, (являющееся лишь первым шагом), необходимо получить полные мультипликативные, асимптотические разложения. Этой задачей занимались как многие

/

математики (в частности, БаЛ.Маолов, Б.Сайыон, Е.М.Харрел, Е.Херинг, Б.Хелфер), так и (особенно в контексте квантовой теории поля и в многочастичных задачах), физики-теоретики (А.И.Полякове Т'Хофт , С.Коулмен, М.Гутцвиллер, П.Фрэыпток и.многие другие). Следует особенно выделить серию из шести работ Б.Хелг фера и Д.Съестранда 84 - 87 г.г., обобщивших и систематизировавших основные результаты по асимптотикам нижних собственных функций и значений операторов Шредингера, полученные до настоящей работы.

Целью данной работы являлось поотроание идемпотентного анализа, исследование его приложений и анализ указанных зыке проблем, теории экспоненциальных асимптотик.

Общая методика исследования опирается на теорию квазиклао-сических асимптотик ВКБ - Маслова, теорию дифференциальных и квантовых стохастических уравнений, а также на спектральный анализ и теоремы о неподвижной точке.

Научная новизна» В диссертации содержатся следующие новые результаты.

I. Построен общий анализ на полумодуле функций со значением в полукольце с идемпотентиыи сложением, доказаны теоремы об ин- . тегральном представлении общих линейных операторов (или эндоморфизмов) на таких полумодулях, исследована структура обратимых и компактных линейных операторов,' а также более общих аддитивных и однородных, построена теория (идемпотентных) обобщенных функций. . " - —

* 2. Построена теория нестационарных и стационарных обобщенных решений дифференциальных уравнений Гамильтона - Якоби и Бел-лмана, получено новое уравнение, описывающее динамику множеств

Парето в вариационных задачах с'векторный интегральный функционален, получены формулы теории возмущений для некоторого класса уравнений, близких к линейный уравнениям идемпотентного«анализа и эти формулы применены для вычисления основных характеристик долго длящихся управляемых квантовых процессов при учете влияния прибора наблюдения.

3. Предложен метод вычисления мультипликативных экспоненциальных асимптотик (в любом порядке по малому параметру h> О величины расщепления нижних уровней оператора Шредингера в об--щеы случае нескольких симметричных ям, как точечных, так(и организованных в невырожденные многообразия; также приводится мультипликативная асимптотика нижних собственных функций. •

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты полученные в работе могут применяться в теории квазиклассического квантования в окрестности вакуума,, в общей теории экспоненциальных асимптотик туннельных систем, при анализе'наблюда-еных квантовых систем слежения, а также в некоторых задачах оптимального управления (векторные критерии, асимптотика решат ний на больших временах).

Апробация работы и публикации. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на семинарах кафедры Прикладной математики МИЭМ, мех.-мат. и BUK факультетов МП, на семинарах МИАН, ВЦ Академии наук, Института проблем механики и Института новых технологий, на международной конференции ИФАК (Владивосток, 1991г.), на всероссийских школах - конференциях по нелинейным уравнениям (Львов, 1988г., Одесса, 1990г.), на всесоюзной конференции "Геометрия, анализ, управление" (Кемерово, 1988 Основные результаты работы опубликованы в [-1-101.

• Структура и.объем работы. Диссертация состоит из аннота-ш и трех глав, каждая из которых снабжена своим введением и 1ИСК0Ы литературы. Общий объем работы 241 страница машинописно текста. Библиография содержит 86 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Основным понятием первой главы является идемпотентное мет-1ческое полукольцо. Для простоты мы сформулируем здесь все ре-рльтаты для простейшего и наиболее ванного частного случая -. злукольца А = IR. U\ с операциями метри-

>й fi: (Р(а> в) -\е'а- е~е I и нейтральными по сложению и-ум-жению элементами ф-+<х> , /-О . В работе основные теоре-1 доказаны в общем виде. Пусть X - хаусдорфово локально-змпактное топологическое пространство и С<р{Х,А)- полумодуль -значных непрерывных функций на X , стремящихся к (D на зсконечности, с топологией равномерной сходимости. Один из . знтральных результатов главы - это теорема о структуре общего дативного .оператора.в Сф(Х,А), i.e. такого непрерывного, сображения В ■' Сф (X, А) (X, А), что 3(h1®hi) = B(hi)®B(hz) для любых Ь;,Иг*Сф(Х,А)

Теорема I.2.I [1,5,7] . Для всякого аддитивного оператора ' S в Сф(Х, А) существует такая функция & '■ Х'Х'А "А < что

®а%) = iCor.y, а,) & и для всех (X,А)

jy ktyl а)

I ■

Отсюда вытекает, что всякий А-линейный оператор (или эндо-юрфизм) в Сф{)(,А), т.е. такое непрерывное отображение 8' Сс (К, А) -СФ (К, А), что при o,t еА, A* f Сф (X,.A) 1

имеет вид

(ВЬ)М - Р (у) '' (2)

с некоторой функцией

Х'Х-А , называемой идемпотент-ныы интегральным ядром В . Доказывается, что у воякого В существует единственное полунепрерывное снизу интегральное ядре В частности, А -линейные (непрерывные) функционалы ГЦ - Сф(ХгА)-взаимно однозначно соответствуют полунепрерывным и ограниченным снизу функциям X — А | который задают функционал формулой

М: а^ (3)

В 'то 'лее время, всякая ограниченная снизу функция определяет аддитивную функцию подмножеств в X • 1=0« идеипогентную меру, по формуле ' .

Определение" I. Последовательность функций Д, •' X -* А слабо сходится к функции ф : X А на некотором полу-

модуле А-значных функций на X > если дня всякой функции Ь из этого класса

ft-.no п п

Определение 2. Последовательность функции .Д X А сходится к $ : X А по "эре на некотором классе подмножеств пространства X » если для каждого подмножества л ие этого класса существует предел

В работа приведены некоторые критерии слабой сходимости • и сходимости по мера последовательности функций, а также критерии сильной сходимости последовательности А-линейных "операторов в терминах свойств последовательности ядер. Оказывается, далее, что если обозначить значение линейного функционала знаком

(идемпотентного) интеграла -

©

<1 О* = '$f(v)Oh(*)c{x;

то так определенный интеграл обладает свойствами, весьма'схожими с обычным интегралом.

Другая группа результатов связана с исследованием обратимых и компактных операторов и их спектров.

Теорема IA.lU,3j Всякий обратимый А-лин'ейный оператор В в Сф (X, А) имеет вид

(Bh)U) = у fx) oh (J3 (X)), .

где f : X -* A \ { Ф] - непрерывная функция, a Ji X"X ~ гомеоморфизм.

В теореме I.4.2. доказано, что всякий автоморфизм полуалгебры линейных операторов является внутренним, а в теореме 1.4.3 Г10] дана характеризация компактных линейных операторов-в терминах интегрального ядра. Сформулируем теорему о спектре.

Теорема ,1.5.1 [ЮЛ . Пусть В -компактный А-линейный оператор в С@(Х, /)) д интегральным ядром 8: Х"Х"А такимг что. -уоиа в С '<+ оо . тогда

¿г' - * "

уравнение на собственный вектор

вь -аоИ СО

где а е ССФФ, /разрешимо.

Если множество { % £ X '■ 3эс •' £ /эс, у) = ф j не имеет внутренних точек, то собственное значение а единственно.

Доказательство использует принцип неподвижной точки Лере-Шаудера. Близкий результат был доказан методом нестандартного анализа в I). Следствием теоремы 1.5.1 являютоя асимптотики итераций оператора В и спектральный критерий сходимости и ■ конечности ряда Неймана для В . В теореме 1,5.21*0] приводится критерий конечномерности подпалумодуля собственных функций ' оператора В., -

В последнем параграфе первой главы исследованы однородные операторы, т.е. есть такие непрерывные отображения в Сф(К,А) что В С а о И) = а об (И) для лмЗых сгМ . У) сСф.(Х,/\). Для таких операторов доказан аналог теоремы о существовании спектра. Показано, что такие операторы тесно связаны с Бвллмановскими операторами стохастических многршаговых игр и из теорем о спектре'вытекает "для них существование магистральных режимов [2], [ 10].

I) Дудников П.П., Самборский С.Н. Эндоморфизмы полумодуля над полукольцом с идемпотентной операцией. Препринт Ин-та матеи АН УССР, 1987, Киев, 1й 87-48.

Вторая глава открывается построением теории обобщенных решений задачи Коши для дифференциальных уравнений Гамильтона' -Якоби и Беллмана.

Вначале основная идея демонстрируется в случав задачи Коши

Э^ " V Ээс / ' (5)

для уравнения, не зависящего явно от X . Предложение

. Пуоть п выпуклая функция (возможно, не строго выпуклая и не гладкая), а начальная функция $0 (х) гладкая и строго выпуклая. Тогда существует и единственно классическое (т.е. всюду гладкое) решение задачи Коши (5) и.оно имеет вид

г(б).

где Ни) - преобразование Лекандра гамильтониана Н (р).

Легко видеть, что разрешающий оператор /?£ классических решений задачи Коши

'щм-т-о У т

( ¿1 *$<,(*)

4 = 0

также определен на гладких выпуклых функциях и сопряжен с /2 ¿. в смысле спаривания (3), т.е. (Яt ^^ г ( для всяких гладких выпуклых 5* , ^ • Теперь можно определить слабое решение задачи (5) для произвольной начальной функции

Ьо (*) как такую функцию Иг $о , что

для всякой гладкой выпуклой ^ . Из таораиы 1.2.1 (а точнее ее следствия, для А-линейных операторов) вытекает теорема 2.1.1 [?■} о существовании и единственнооги (с точностью до полунепрерывных снизу замыканий) слабых решений задачи Коти (5) для произвольных (возможно разрывных) ограниченных снизу начальных функций.

Далее эта методика с некоторыми техническими усложнениями переносится на более общую задачу Коши

(в)

Я.0 - 5> ">

с выпуклым по р и локально липшиц-непрерывныи по га-

мильтонианом Н . В результата доказывается теорема 2.1.?

[?] о существовании и единственности слабого решения задачи (8), которое задается разрешающим оператором

где

- двухточечная функция соответствующей экстремальной задачи.Ясно, что формула (9) задает непрерывную полугруппу операторов вида (2), изучавшихся в главе I. В частности, .сама двухточечная функция 5 ( t, X, является обобщенным решением задачи (8) с начальный условием

г (¡)- X* $

= ОСФ*

являющимися,"как легко видеть, идвмлотентным аналогом $ -функции Дирака, т.е. 5 (X, - функция Грина для задачи (8) и в обозначениях идемпотентного интеграла решение (9) может

быть записано в виде "свертки" ©

функции Грина о начальным условием.

I Ясно, что если гладкая функция вида +

удовлетворяет уравнению"(8), то функция есть клас-

сическое решение стационарного'уравнения

"Поэтому естественно назвать обобщенным решением уравнения (10) собственную функцию (в смысле идемпотентного анализа) разрешающего оператора (9). Пусть лагранжиан ¿¡(у.,и) « являющийся преобразованием Лекандра функции Н1з>р) по переменной р , таков, что 00 при IIОсII, 1/г/Ц - . Тогда опе-

ратор вида (9) является компактным Д-линейным оператором

и по теореме 1.5.1 у него существует не более одного собственного значения.

Теорема 2..1.3 [ 10] .-Пусть' / О) имеет конечное число минимумов в точках вида (§и О),..., 0) . Тогда X -

= гаСп ¿1 есть то единственное значение, при котором

у

обобщенное решение (10) существует, а полумодуль (в смысле идем-потентной структуры) этих решений конечномерен и семейство операторов Л¿ ~ X t имеет предел В при ^ ~ оо вида

$е)Ао$е/х), (П)

где {В,,...; 5*] и I Я,Я* } - базис собственного • полу модуля для J^¿t и соответственно •

Рассмотрим теперь случай однородного по ¡3 гамильтониана вида ч

' (¡СХ>и)>Р)' (12)

где V - компакт, - непрерывная функция, липшиц не-

прерывная по X равномерно по и . Соответствующее- дифференциальное уравнение Гамильтона - Якоби (8), называемое в такой форме также уравнением Беллмана, получается формальным предельным переходом из дискретного. Точный смысл этого перехода следующий.

Определим оператор на ограниченных снизу функциях

У>1Х) формулой

г И

и для каждой такой начальной функции Во/х)определим последовательность функций •

Теорема 2.1.4 [?] . Последовательность слабо

сходится (в онысле определения I) на множестве полунепрерывных сверху и ограниченных снизу функций в обобщенному (слабому) решению ¿(^ос) задачи Коши (8) о гамильтонианом (12).

Далее во второй главе в качестве одного из приложений, идем-потентного анализа выводится новое уравнение Беллмана, описывающее динамику множеств Парето в задачах с векторным интегральным критерием. Именно, пусть /1 - множество попарно не сравнимых точек в Й* в смысле частичного порядка Парето. Множеству /1 однозначно соответствует его нормализация Л/<уип А) в » (а с : ^ £ е М •' <Х >, £} . Граница этой нормализации является, как заметил С.Н.Самборский 2), графиком некоторой функции' : ¿> — $ , определенной на гиперплоскости. ■

¿, = ( С( : (а',,,,,а а^-О} . рассмотрим управляе-

мый процесс в кп , заданный дифференциальным уравнением X = = / (ос, и) ( и £ V - метрический компакт) и непрерывной функцией ^ .' Ц п ' V —* * • задающей векторнозначный

интегральный критерий ф Сое (.)) - С* Ц>(эс(Г), иЩ)с(т

о 1

на траекториях. Поставим задачу об отыскании- множества Парето СО^х) для процесса, длящегося время , начинающегося в'точке ОС и с терминальной-платой, определяемой некоторой функцией СО0 :

«Я"-'/Г.

2) Самборский С.Н., Таращан A.A. О полукольцах, возникающих в многокритериальных оптимизационных задачах анализа вычислительных сред// ДАН.-1989, т. 308, fe 6.

Теорема 2.2.1 [в] Множества Парею СО{. (х) кодируются функциями : ¿?п * — ЬЧ* I являющимися обобщенными решениями уравнения

Ц(13)

с начальным условием $0 (ос) = ИСОо(Х) , где

— 7 *

? = к У > У/. ~ ортогональная проекция точки уе^* на 1~> . Кроме того, разрешающий оператор Я $0~" является линейным в смысле полукольца функций на Ь о операцией поточечного минимума в качестве сложения © и идемпотентно-го аналога свертки в качестве умножения.

В работе приводится пример расчета множества Парето в конкретной вариационной задаче с двумя квадратичными лагранжианами, основанный на этой теореме.

Из пцвипотвнтнога анализа вытекает также новый подход к исследованию некоторого класса нелинейных (даже в новом смысле) уравнений, а именно класса таких уравнений, которые являются в каком-то смысле близкими к уравнениям, линейным в идемпотент-ных полумодулях. Естественно анализировать такие уравнения посредством соответствующей теории возмущений. Важной ситуацией, когда возникают такие уравнения, является анализ квантовой системы слежения и наблюдения, когда малый параметр, определяющий связь квантовой системы с измерительным прибором, задает малое "нелинейное стохастическое" возмущение линейного (в новом смысле дифференциального уравнения Беллмана.

Сформулируем основной результат. Пусть X - гладкое, компактное многообразие, U - метрический компакт» у : \'-"JR* , 4 X$ - непрерывные функции, V, и -2 точки, такие что /(V) - ? (и) = О , в(х)<0 при а ^ V , <f(x)>0 при jr * «У , /; X-V - [0,60]-> m - ' ' такая гладкая функция, что динамика 2 = fiz, У, £) равляема при всех £ е [О, £а ] , т.е. двигаясь вдоль решений этой системы можно попасть из любой точки X в любую другую за конечное время. Обобщенное решение функционально-дифференциального уравнения Беллмана.

(!О (14)

v L 14 £ (J

при t € [ О, Т] , где S* задано, определяет математическое ожидание дохода, которое можно получить за время (T~t) ■ от скачкообразного процесса, заданного динамикой ,

плотностью вероятности 8 j(X) соскальзывания в "вакуум" tr в единицу времени, интегральной плотностью дохода ê(oc) и терминальной функцией.дохода Sf (см., например,. 3) ).

Теорема 2.3Л' [5], Существует непрерывная функция и единственное At » такие что обобщенное решение задачи Коши для уравнения (14) с терминальной функцией S f ' Ь* имеет

S *(t,x) = \t (T-t) + h€(x), . ■

3) BtéaVKon V. fi. //ûr.cAmoiodicn rntaiwumtni, ПопЛсгиая fciyttnXHçf ctnc{ cty***/>1 oyicurvninp &f cfuarUturt и,осАсиф:с /згосем // Con^i. cl*U Injoby- Su., V. 121, />.3*5-363

причем для Ас справедлива формула теорем возмущения

°(и)8+о(£)

а для обобщенного решения уравнения (14) 'С произ-

вольным липщиц-непрерывным терминалом справедливо предель-

ное равенство

$ г х) =

¿-.-00 1-1

Далее в работе эта теорема вместе С теорией квантовой фильтрации Белавкина 3) применяется для анализа конкретной квантовой системы "накачки" двумерного атома, находящегося в бозонноы резервуаре, модулирующем измерительный прибор,

Изложенный результат дает анализ стохастических возмущений скачкообразного типа. В конце второй главы делается первый шаг на пути к построению теории стохастических возмущений диффузионного типа, а именно, доказывается теорема существования и единственности [и] для уравнения квантовой фильтрации Белавкина, описывающего квантовую частицу, находящуюся под непрерывным наблюдением диффузионного типа.

Третья глава посвящена мультипликативным асимптотикам. ¡1о существу, здесь рочь идет о своеобразном "квантовании" обоб-щ.'^ных решений уравнения Гамильтона - Якоби.

В начале главы доказывается теорема 3.2.1 [э]посвященная оценкам точности в асимптотических формулах метода Лапласа. Затем доказывается следующий результат о локальной асимптотике уункции Грина параболического уравнения

Теорема 3.3.1 [9]. Пусть бесконечно ди^еренцируемая-функция У(х) неотрицательна и имеет равномерно ограниченную в ¡Цп матрицу-вторых производных У" foc) . Тогда при 11 ( О, ¿о] для некоторого to > О решение задачи

afjr = аз)

и!ы0 = de)

при каждой Ai ь/V имеет вид

и ft, oct h) - (2Jih)'п/э J (ti a-, i)~.

где J(t,x, Л)=сЬЛ {t, s, Pot£,*,}))

якобиан вдоль (однозначно определенной) траектории гамильтонова потока

j -- р, /э = V'(y)/

соединяющей точки 5 и ^ за время t , S lt, •х> ^ - действие вдоль этой траектории, являющееся функцией Грина в смысле идемпотентного анализа уравнения 9s

г ш ^ - л

dt + 2

а функции fj определены рекуррентными формулами

( t, i) " i S JUJ A ( J -1/î) e/T,

О

причем интеграл берется вдоль траектории ро /))

и %. = 1. • ,

Далее методом туннельного канонического оператора Маслова эта асимптотика переносится на конечные времена и затем доказывается вакный технический результат - теорема 3.5.1 [9]об асимптотическом поведении решения задачи (15), (16) на временах порядка I дв е (0,1) , Затем последовательно.,

строится главный член асимптотики и полное асимптотическое разложение для нижних собственных функций и значений оператора Шредингера

И-'^л^УГх) (17)

с симметричными потенциальными ямами (в на торе).

Сформулируем окончательные результаты, причем для простоты представим асимптотики лишь вне фокальных точек. Как показано в работе, на фокальные точки эти аоимптотики распространяются методом туннельного оператора.

Вначале рассмотрим случай двух потенциальных ям. Пусть V (X) гладкая неотрицательная функция в /?" , четная яо первой координате, причем V(х) — 00 при ЦйсЦ-*оа и

У'(х) обращается в ноль лишь в двух точках = в которых матрица вторых производных V" невырождена,

СОД ...г ей* - ее собственные значения, и)к>0 и £ =

п

= сОк . Как известно 4), в этих условиях спектр оператора

4) £игги>п В. с^а-буяО,

// И. РоСпсаЛе, -Г$ЕЗ,\/. 3 2,

5-30р.

(17) дискретен и имеется два собственных значения E1iEi с одинаковый асимптотическим разложением

• _ Е£ ^he, +Ь3ег (18)

причем <?, =■ S X? , а для других уровней Е справедлива

оценка Е - h ef } Ch о некоторой постоянной С>0

Определим фазы S^*), i-t,2 как нижние грани функционала о

!(<? (■)) (1 6 *(t)- V(?(ti))dt (19) -t

по всем кусочно гладким кривым, таким что (~t) <j'iO) = x и всей t > О • , а также множества

Д. St (х) - гпоп Sj (х)\ (20)

являющиеся полупространствами: Dltl = = (х\...}Х*): X1 % о).

В главе 2 показано, что { S< ) } образуют базис в полумодуле решений стационарного уравнения Гамильтона - Якоби

KUr-w-o-

Предположим дополнительно, что норма матриц равномер-

но ограничена в Rn (см. замечание I ниже). Тогда все решения сйстемы Гамильтона

<f*pt f) , (21)

продолжииы на все времена и определены гладко "вложенные в инвариантные растягивающие многообразия Wi . С= 1.2, порожденные гиперболическими особыми точками (\i,0) системы (21),

причем эти многообразия лаграндевы, фазы И; локально являются их производящими функциями и на каждом существуют" такие

глобальные координаты ^и = (^и ...¿^и , что

= • (22)

где у^-^ - образ произвольной точки уМ0 € под дейст-

вием Гамильтонова потока. В случае нерезонансных частот(сок] координаты < локально определяются как линеаризующие систему (21) на \//¿ и вычисляются локально с помощью рядов Дирихле, а далее "разносятся" потоком на все И/с • Назовем точку ^г простой для фазы $с , если существует единственная траектория системы (21) , такая что у °°) - > С?/0)=Э£ и. /ос) = ] /?(.)).

Предложение

16) . Существует €> 0 , такое что в сГ -окрестности £>(- (€) полупространства £>( множество простых точек фазы £(- является открытым, связным и всюду плотным.

В простых точках однозначно определены координаты ^и , построенные вдоль соответствующей траектории потока (21). Зафиксируем £ > О из Предложения и для каждого ¿' = 1.2 некоторую окрестность Р^ в Ь((1) множества непростых точек и тех простых, в которых матрица (/дх) вырождена. В <Х>\ Р4-определена функция

называемая якобианом. Введем еще гладкие функции : $ "—'[0,1] равные 1 в £¿(8/2) и нулю вне £¿(8).

Теорема 3.8.1 [б] Собственные функции % , оператора (17), отвечающие собственным значениям £2 при каждом натуральном // представимы вне Р, и Р^ в виде

\

%'W«П. К'Щ-^С'-кП. <»>.

где С(И)--(лЬ)~Г)/Ч Veo,... сдп , а

JS"i-S¡/hipo)

причем О (h равномерно вне . Р, UP¡ , а функции ^(х) вычисляются по рекуррентным формулам

* ©о

где интеграл берется вдоль траектории системы (21), такой что

íj, ?/0) = Х, S¿ (х) =,](?(.)) , а (Í¿J определяются по методу Лапласа из условия (С. (Ь)) ¿ ЦК^Ц3 =

= 1fO(h"+') .

Отметим, что коэффициенты разложения (8) , участву-

ющие в (25), можно вычислять независимо с помощью ряда Рэлея -Шредингера или вместе с fy по формулам

'ú¡utl ■(26>

Далее, легко показать, что при сделанных предположениях существует траектория системы (21)-, удовлетворяющая условиям

оо

Su = (S^S^i,) = J- j>*(t)c/r (27)

- оо

Такая траектория называется инстантоном. Предположим вначале, что инстантон единственен (с, точностью до сдвига по времени).

Обозначим через ^ точку его пересечения с гиперплоскостью Г= • Пусть А есть (п- 1) » (п-1) матрица

I" ' (и\ '

Эх*дхе 1«,е--2 ^ ' К0Т°Рая» очевидно, неотрицательно .определена. -Инстантрн назовем невырожденным, «ели /) невырож-денна.

Теорема 3.8.2 [б] Пусть в условиях теоремы 3.8.1 существует единственный невырожденный инстантон. Тогда

В2-В, - й /у (уЦШАУ1*.

+ ещ /к), (28)

где коэффициенты СУ,- гг лучаются разложением по методу Лапласа интеграла в формула

5 (кГ^"-КГ ™

Здесь д/дп означает производную по внешней нормали к д £>-,.

Замечания. I) Если не предполагать ограниченности У"(х) в Я" , то формулы (24) с равномерными оценками будут справедливы лишь в .некоторых компактных областях. 2) Если система имеет конечное число невырожденных инстантонов, то В2-£, будет равно сумме вкладов типа (28) по всём инстантонам. Эта формула такие обобщается на случай наличия невырожденного многообразия инстантонов [6] .

Уточним теперь формулу (28) в одномерном случае. Для потенциала V ■' /? — /? с нулями в точках % > О , = -/ все элементы формулы (28) вычисляются явно в квадратурах.

В частности,

Теореиа 3.8.3 [б]. Пусть Я- 7 в теореме 3.8.2 и потенциал V ииает в окрестности своих минимумов ^. разложение

V / ОС') = + сог (ос -!¿)(х-1 )(х - )" ,0 (х -1¿)5 Тогда - _; , о со 1)1

Уг^ ^ *

, . (30)

ГД8 * 4 с!х

«= Г, 10)=?, (-1) М (У,/г (Г'»у > ег) ^ -

Пример. В простейшем конкретном олучае потенциала У/х) = $ /Х-])1 (лt 1)г формула (30) дает

. Используя метод ВКБ в сочетании о теорией представлений групп, аналогичные формулы можно получить в более общей ситуации, когда потенциал V инвариантен под дейотвиеи конечной группы

ортогональных преобразований и в каждой фундаментальной

области имеется по одному невырожденному минимуму потенциала, число которых, стало быть, равно порядку группы. В случае Л = 3, как известно, множество конечных групп собственных ортогональных преобразований исчерпывается циклическими, диэдральными и тремя особыми: тетраэдра, октаэдра и иксаэдра. Рассмотрим здесь для определенности случай группы тетраэдра Т . Этот пример рассматривался также в 5), где определялся порядок величин расщепления. Группа тетраэдра изоморфна знакопеременной группе перестановок /1у . Минимумы потенциала удобно занумеровать /¿у , где

= 1,2,3,4 , так что действие перестановки Я ,

Л/3) £ А у имеет вид Л: $ л (п яу)

Действие группы Т = Ач на 12-ти мерной пространстве, порок-денном функциями , построенными ло минимумам /£у анало-

гично функциям К; вида (24), изоморфно регулярному представлению А у и распадается, следовательно, на три одномерных и три эквивалентных трехмерных неприводимых представления. Поэтому 12 собственных значений оператора (I?) вида (18) состоят из одного невырожденного нижнего уровня £/ , двукратного уровня £3 (соответствующего двум одномерным комплексносопряженным представлениям) и. трех трехкратных уровней Е3% Е^, Е5 . Обозначим С, - 5,г ( инстантонноа действие вида (27) вдоль инстантонов, соединяющих 3,2 и (а также всякую пару минимумов /<7|>о и )» а через = ¿,3 (¡ц) ~ инстантонноё действие вдоль инстантонов, соединяющих и

5) Не(//т в., ^/ ¿» ^о^ У. /ТииЛ^г »сМл Си ¿А>

5 £пи'с{аяиля£ // А ЯР. 1/4Н. РоСлчсаЛя.-

И. 92:3, р. /27-2П . '

(а также всйкую пару t > j + к )• Пусть для проото-ты соответствующие инстантоны единственны (и невырождены). Обозначим ßf t ßj их обменные коэффициенты вида (28).

Теорема 3.8.4 [б.]. В этих обозначениях величины расщепления равны

Естественно, что при d, в первой формуле (32)

лишь одно слагаемое играет роль. Отметим, что соответствующие собственные функции по-прежнему являются линейными комбинациями функций Ку , например,

и, = £Sh) r

ГГ Ш TZ-v

а собственные функции для Еа имеют вид

С, (кп * JC3, ' ^ ) + Сг (К2г ' Кзг ' к„ 'К*,)»

с условием С, + Сг •* О.

Пусть опять потенциал симметричен относительно гиперплоскости Г- {х : ОС 1-0} , но минимумы V не точечные, а организованы в два невырожденных связных компактных многообразия

с/). , с ■а 1,2, размерности К , так что ограничение \/"Ст) ■на трансверсаль к М в любой точке М £ Л} невырождено. Обозначим эту (п-К) * (п-к) матрицу > ее собственные значения через Со?(т), (т) . Для описания ква-

(31)

Ш)

зиклассически нижних уровней оператора Шредингера в этой ои-туации естественно выделять два частных случая 6) функция

¿-¿¿¿(т) на каждом имэет конечноь число невырожденных минимумов и £(т) = д, постоянна. Рассмотрим для определенности второй случай. Как показано в 6), тогда существует два собственных значения вида (18), а любое другое больше их по крайней мере на С(Ьг) с некоторой постоянной С > О . фазы '¿[(х) определяются теперь как нижние грани функционала (19) по всем кривым, соединяющим //'г- с X , Растягивающее многообразие С изоморфно Н,- * и каждой карте [/ с координатами о( на А! с отвечает карга Vх с координатами С1*,/4) - на Ш-^ в которых уравнения потока (21) имеют вид к = О, = СО "'('о'-) /¿^ » причем 9

с1еЛ ~ 1 * где 2 - ортогональные координаты в

трансверсальной к А} в т &■ А1 плоскости. Как выше^определим множества Р(- и на £>(- \РС- - якобиан ^ /йс) »

Теорема 3.8.5 [б]. Собственные функции ^ имеют

вид

р. Г.'.уу/К-'О,.

где (с(и/; = (<*)</<Л - форма объема на

6) НгЦШ в., ^

<%, ^-асчмШ « 6 //Aw.ini■ И. Рошсал,.-

158?, К 96 ■■ <Г, р. 351-372

и величина расщепления в случав (для простоты) одного невырожденного инстантона имеет вид (здесь у -<^¿0) 6 Г )

'^"^(-г]/!^ У (нош).

В качестве примера полученные формулы применяются для вычисления величины ращепления в случае потенциала

где оС , $ , \ > О - параметры, СС0-ОСп , 'зта? потенциал, очевидно, описывает систему попарно взаимодействующих частиц в общем потенциальном поле.

Список работ по теме диссертации I. Колокольцов В.Н. Полукольцевые аналоги линейной эквивалентности пространств. Тезисы докл. Всес..школы "Геометрия. Анализ. Управление." - Кемерово, 1988, с. 30.

2. Колокольцов В.Н. Магистрали и бесконечные экстремали в марковских процессах принятия реиений // Мат. заметки. -1989, т. 46:4, с. II8-I20.

3. Колокольцов В.Н. Арифметика Маслова в общей топологии // Сб. "Геометрия, топология и приложения". Московский ин-ут приборостроения. - 1990, с. 64-68.

4. Колокольцов В.Н. Квазиклассические решения уравнения квантовой фильтрации Белавкина // Мат. заметки. - 1991, т. 50:5, с. 153-156.

5. Колокольцов В.Н. Стохастическое уравнение Беллмана как нелинейное уравнение в пространствах Маслова. Теория возмущений //ДАН. - 1992, т. 323:3, с. 223-228.

6. Колокольцов В.Н. Об асимптояике нижних собственных функций • и значений оператора Шредингера// ДАН. — 1992, т. 32

7. Колокольцов В.Н., Маслов В.П. Идемпотентный анализ как аппарат теории управления // Функ. анал. и прил. - 1989, т. 23:1, с. I-I4 (часть Г), т. 23:4, с. 53-62 (часть 2).

8. Колокольцов В.Н., Маслов В.П. Дифференциальное уравнение Беллиана и принцип максимума Понтрягина для многокритериальных задач оптимизации //.ДАН. - 1992, т. 324:1, с. 29-34.

9. Доброхотов С.Ю., Колокольцов В.Н., Маслов В.П. Расщепление нижних энергетических уровней оператора Шредингера и асимптотика фундаментального решения уравнения hut ~t,'niju U TM. - 1991, т. 87:3, с. 323-375.

10. Kofoxodtsov V-M Ctßou-t ¿aiea?t crc/ctiiive W

lle/rtcyenucul oßtncbtots ¿ai ¿Ыс*1/Ьо£ел(

In: 1с6УП/ЮCt/iaJyPi^ fy V. fi /T7ai£ov asic/

S-ЛГ SouriifotiKi ßtJb'cLnees Sovt&t /MatAe/rTa-tt&it ~ /9 9.?, и. /5 - 20/>fi.

IVP;--' -