Иерархия групп симметрии материальных и полевых тензоров тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Введение.2

Глава 1. Симметрия в кристаллофизике и термодинамике.5

§ 1. Симметрия - закономерность.5

§2. Геометрическая и физическая симметрии.5

§3. Термодинамика и симметрия.8

Глава 2.Способы вывода совокупностей предельных групп симметрии групп Кюри).10

§ 1. Открытие предельных групп П. Кюри.10

§ 2. Вывод предельных групп симметрии.10

Способ вычитания.12

Предельные группы антисимметрии.18

§ 3. Симметрия систем с наложенными полями (полевые тензоры).22

§ 4. Иерархическая система.22

Глава 3. Принципы иерархии применимые к материальным и полевым тензорам.25

§ 1. Системы иерархии материальных тензоров.25

§ 2. Иерархия сил и потоков (полевые тензоры).51

§ 3. Иерархическая система.53

Глава 4. Вычисление независимых компонент тензоров.54

§1. Метод прямой проверки (метод Фуми).54

§2. Метод циклических координат.55

§3. Метод характеров (метод Багавантама).58

Выводы.66

Симметрия - понятие, вошедшее в физику не так давно, в середине XIX века. Целесообразно использовать симметрийный подход при определении физических свойств, а также термодинамических сил и потоков. Известно, что многие физические свойства, термодинамические силы и потоки описываются и характеризуются предельными группами и представляют собой тензоры различных типов и рангов. В настоящий момент реально изучены и табулированы тензоры до шестого ранга включительно. Неопределенность тензорных свойств более высоких рангов, отсутствиектуризации тензорных величин, а также ряд других тесно связанных вопросов и определяет актуальность темы. Пример неопределенности физических свойств можно предложить из кристаллооптики; при проектировании новых оптических приборов возникает проблема наложения полей. Исследуя разного рода наложения полей на тензор диэлектрической непроницаемости (оптическая индикатриса), например, электрического, магнитного полей, полей температурного градиента, механических напряжений, ранг исходного тензора повышается. Данное обстоятельство требует дополнительного исследования, которое проводится в диссертации. Выводы, полученные в данной работе, используются при проектировании новых оптических, магнитных материалов^

Цель работы - построение иерархии групп симметрии, описывающих физико-математические величины, физические свойства, поля, термодинамические силы и потоки с целью создания системы их классификации по рядам и столбцам. Применение категорий математической логики (конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквивалентности) к полученной структуре предельных и непредельных групп симметрии. Научная новизна:

- иерархия материальных и полевых тензоров (четная и нечетная, или иерархия по строкам) от нулевого до любого конечного ранга;

- четная и нечетная иерархия предельных групп (иерархия по столбцам), сопоставленная с реальными примерами из мира кристаллов. Показано, что столбцы иерархии четных и нечетных тензорных величин являются однозначным отображением класса четных симметрийных величин G на класс нечетных симметрийных величин G ' . При этом отображение является взаимно однозначным соответствием классов G и G 1 . Существует и взаимно обратное отображение G7 на G;

- исследованы столбцы групп полярного и аксиального векторов, показана неприменимость теории отображений для данных групп;

- детализированы и изучены выводы предельных групп симметрии («сверху»), а также предельных групп антисимметрии с учетом особенностей бесконечной оси симметрии.

Выводы, полученные в результате работы, дают возможность прогноза группы симметрии физических свойств, описываемых тензорами, выше шестого ранга. Также они служат ориентиром в нахождении и изучении физических (например, оптических) свойств, изменяющих свою симметрию при наложении на систему полевых величин, описываемых тензорами высших рангов. Работа может оказать содействие в развитии симметрийного подхода в области ряда наук, таких как физика, химия, биология. Основные положения, выносимые на защиту:

- Построение иерархии материальных и полевых тензоров по столбцам и по строкам.

- Столбцы иерархии четных и нечетных тензорных величин представляют собой однозначное отображение класса четных симметрийных величин G на класс нечетных симметрийных величин G7. При этом отображение является взаимно однозначным соответствием классов G и G ' . Существует и однозначное обратное отображение G' на G.

- Доказательство наличия строгой структуры (иерархии) при помощи понятий математической логики.

- Детализированный вывод предельных групп симметрии и антисимметрии.

Выводы

1. Для полного представления возможной иерархической системы проведен вывод подчиненным группам ортогональной и вращения предельных групп методом вычитания. Для сравнения результатов проведен вывод предельных групп антисимметрии с уточнениями, связанными с условными понятиями четности и нечетности бесконечной оси симметрии.

2. Построена иерархическая система групп симметрии для материальных и полевых тензорных физико-математических величин, включающая ряды четных и нечетных тензорных величин, а также соответствующие им столбцы. Система позволяет выстроить ряды с максимальной симметрией (и подчиненные им ряды) до любого тензорного ранга.

3. Показано, что подсистема иерархий полярного и аксиального векторов не полностью входит в выстроенную систему.

4. Полученная система иерархий дополнена и подтверждена с помощью соотношений дуальности, распространенных на все тензорные и псевдотензорные величины.

5. Показано, что полученные в иерархии ряды и столбцы являются однозначным отображением четных групп симметрии на нечетные и взаимно обратным отображением нечетных групп на четные.

6. С целью подтверждения реальности выстроенной системы произведены случайные выборки минералов по группам симметрии. Показано, что входящие в столбцы иерархии группы доминируют во всей совокупности известных минералов.

7. Анализ иерархических соотношений групп симметрии материальных и полевых тензоров показал, что в данном вопросе проявлены все иерархические виды взаимоотношений между величинами -дизъюнкция, конъюнкция, импликация и эквивалентность.

1. Кюри П. Избранные труды: Пер. с франц. / Под ред. Н.Н. Андреева и C.J1. Сазонова-М.: Наука. 1966.

2. Шубников А.В. Избранные труды по кристаллографии М.: Наука. 1975.

3. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. М. 1974. (пер. с англ.)

4. Смирнов Ю.М. Симметрийно-термодинамический анализ роста кристаллов из расплава. // Физика кристаллизации, вып. 8, Калининский государственный университет, 1985.

5. Смирнов Ю.М.Симметрия сложных динамических систем // Физика кристаллизации, вып. 16, Тверской государственный университет, 1994.

6. Смирнов Ю.М. Актуальные проблемы кристаллофизики. Тверь: ТвГУ, 1998.

7. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. М.: Наука. 1979.

8. Смирнов Ю.М. Симметрия и рост кристаллов // Физика кристаллизации, вып. 18, Тверской государственный университет, 2002.

9. Кондаков Н.И. Справочник по математической логике. М.: Наука, 1963.

10. Шаскольская М.П. Кристаллография. М.: Высшая школа. 1984.

11. Минералогические таблицы. / Под ред. Е.И. Семенова. М.: Недра. 1981.

12. Вустер У. Применение тензоров и теории групп для описания физических свойств кристаллов: Пер. с англ. / Под ред. JI.A. Шувалова. -М.: Мир. 1977.

13. Багавантам С., Венкатарайуду Т. Теория групп и ее применение к физическим проблемам.: Пер. с англ. / Под ред. Н.Н. Боголюбова. М.: ИЛ. 1959.

14. Bhagavantam S. Crystal Symmetry and Physical Properties. London -New York: Acad. Press. 1966.

15. Fumi F.G. Acta Crystallographies v.5,1952, p.44, 691.

16. Най Дж. Физические свойства кристаллов и их описание при помощи тензоров и матриц: Пер. с англ. / Под ред. Л.А.Шувалова. -2-е изд. -М.: Мир. 1967.

17. Желудев И.С. Симметрия и ее приложения. М.: Атомиздат. 1976.

18. Схоутен А .Я. Тензорный анализ для физиков. Пер с англ. / Под ред. И.А. Кунина. М.: Наука. 1965.

19. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: МГУ. 1986.

20. Мантуров О.В. Элементы тензорного исчисления. М.: Просвещение. 1991.

21. Вейль Г. Теория групп и квантовая механика. Пер. с англ. / Под ред. Д.П. Желобенко. -М.: Наука. 1986.

22. Васильев Д.М. Физическая кристаллография. М.: Металлургия. 1981.

23. Шафрановский И.И. Симметрия в природе. JL: Недра. 1968.

24. Шафрановский И.И. История кристаллографии в России. М.: J1. 1962.

25. Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа. 1966.

26. Вигнер Е. Теория групп: Пер с англ. / Под ред. Я,Д, Смородинского. -М.: Мир. 1961.27. де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика: Пер. с англ. / Под ред. А.В. Лыкова. М.: Мир. 1964.

27. Ландау Е.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука. 1973.

28. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике: Пер. с англ. / Под ред. А.П.Леванюка. М.: Мир, вып. 1-9. 1967.

29. Хаазе Р. Термодинамика необратимых процессов: Пер. с англ. / Под ред. В.А. Лыкова. Мир. 1967.

30. Шубников А.В., Копцик В.А. Симметрия в науке и искусстве. М.: Наука. 1972.

31. Jahn Н.А. Acta Crystallographies v.2, р.ЗЗ. 1949.

32. Mason W.P. Crystal Physics of Interaction Processes. New York: Acad. Press. 1966.

33. Neumann F. Vorlesungen iiber die Theorie der Elastizitat. Leipzig: Akad. Verlag. 1885.

34. Voigt W. Lehrbuch der Kristallphysik. Leipzig: Verlag Teubner. 1928.

35. Смирнов Ю.М. Кристаллография. Калинин. 1989.

36. Смирнов Ю.М. Кристаллофизика. Калинин. 1990.

37. Современная кристаллография: В 4т. М. 1981.

38. Смирнов Ю.М., Афанасьев С.В. Движущие силы и потоки при росте кристаллов // Вопросы физики формообразования и фазовых превращений. Калинин. 1983.

39. Уэрт Ч., Томсон Р. Физика твердого тела. М.: Мир. 1966.

40. Смит Г. Драгоценные камни. М.: Мир. 1980.

41. Китель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука. 1978.

42. Попов Г.М., Шафрановский И.И. Кристаллография. М.: Высшая школа. 1972.

43. Смирнов Ю.М. Введение в физику кристаллизации. Калинин. 1979.

44. Koptsik V.A. New Group Theoretical Method in Physics of Imperfect Crystals and the Theory of Structure Phase Transitions. J. Phys. C.,vol. 16. 1983.

45. Koptsik V.A. Symmetry Principle in Physics. J. Phys. C.,vol. 16. 1983.

46. Браве А. Исследование о многогранниках симметрической формы / Пер. Я. Самойлова. В кн.: Вестн. опытной физики и элементарной математики. Одесса. 1896.

47. Гадолин А.В. Вывод всех кристаллографических систем и их подразделения из одного общего начала. Зап. СПб. минер о-ва. Сер 2. Вып. 4. 1867.

48. Федоров Е.С. Симметрия правильных систем фигур. Зап. минер о-ва. Сер 2. Т. 2. 1891

49. Денбиг К. Термодинамика стационарных необратимых процессов. -М.: Иностранная литература. 1954.

50. Барфут Дж. Введение в физику сегнетоэлектрических явлений: Пер. с англ. / Под ред. JI.B. Шувалова. -М.: Мир. 1970.

51. Борн М., Вольф Э. Основы оптики: Пер. с англ. / Под ред. Г.П. Мотулевич. М.: Наука. 1970.

52. Борн М. Оптика: Пер. с англ. / Под ред. И.В. Обреимова. Харьков; Киев: ГНТИУ. 1937.

53. Вейль Г. Симметрия: Пер. с англ. / Под ред. Б.М. Розенфельда. М.: Наука. 1968.

54. Смоленский Г.А., Боков В.А., Исупов В.А. и др. Сегнетоэлектрики и антисегнетоэлектрики. М.: Наука. 1971.

55. Лурье А.И. Теория упругости. -М.: Наука. 1970.

56. Малолеткин Г.Н., Фомин В.Л. Тензорные базисы в кристаллофизике. -Л.: ЛГУ. 1972.

57. Нокс Г., Голд А. Симметрия в твердом теле: Пер с англ. / Под ред. В.Л. Бонч-Бруевича. -М.:Наука. 1970.

58. Birss R. Symmetry and Magnetism. Amsterdam: Ed. Holland Publ. Co. 1964.

59. Bhagavantam S., Suryanarayana D. Acta Crystallographica. v 2. 1949.

60. Buerger MJ. Contemporary Crystallography. New York: McGraw Hill Book Co. 1970.

61. Kleber W., Meyer K., Schoenborn W. Einfuhrung in die Kristallphysic. -Berlin: Acad. Verlag. 1968.

62. Марковский В.Ю., Полухин П.И., Шаскольская М.П. Поляризационно-щптический метод исследования напряжений / Под ред. Н.И. Пироговского. Сб. Л.: ЛГУ. 1966.

63. Дмитриев В.Е. Иерархия групп симметрии материальных тензоров. // Конференция молодых ученых «Ломоносов». Москва. МГУ. 2002

64. Dmitriev V.E. Axial-Polar Curie Group // Nineteenth European Crystallographic Meeting. Nancy. France. 2000.

65. Dmitriev V.E. Derivation Curie Groups of Symmetry by Exception of Elements of Symmetry // Third International Conference on Single Crystal Growth, Strength Problems, and Mass Heat Transfer. Obninsk. Russia. 1999.

66. Дмитриев В.Е. Вывод предельных групп симметрии путем исключения элементов симметрии // Физика кристаллизации. Тверь, 1999.

67. Dmitriev V.E. Interaction of vector quantities at crystal growth from melt // The Thirteenth International Conference on Crystal Growth. ICCG-13. Doshita University. Kyoto. Japan. 2001.

68. Дмитриев В.Е. Построение иерархии тензоров с использованием принципа дуальности // Физика кристаллизации. Тверь, 2002.

69. Смирнов Ю. М., Дмитриев В. Е. Повторяемость в ряду групп симметрии материальных тензоров // Фундаментальные проблемы пьезоэлектрического приборостроения. Тверь, 2002.