Иерархия марковских подпроцессов в модели дискретных ориентаций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

(тТ-ПЕГБРБУЕГОЙЙ Г0С7ДРСТВЭ1Ш;1 У11И82РС1ГГЕТ

На правах рукоп;:ск

Б У С Л О В Василий Акгтояьежм

ИЕРАРКЯЯ МРКОНЗШ ПОДЛРСЩСССВ В ШДЕЯИ ДИСЖРЗПШХ ОР1ШНГАШ1Й

ОХ. 01-03 - математическая ¡*4:зш;а

Автореферат диссертации на. соясязнке учеиой стеяегат кащшдага фйзжо-кагешглчссякс наук

Сашя?-Пеге;>бург

ICÜ2

fty?05«; c:íí; на вачнскпаяьио^ ësauKs физиче-

ского г'осудзротпсаюто уцс-

Ifcy^Ktät rür.oso^vri-'j,

ÎSÎSSÎRÂ? СотлазчгагексйгчеакЕх йаук дсзск* Шгшэоз Iwá.

С^:хаг.чз>кие опсснокн:

Сежачмйеазстшаа est«,

Гфс^еггза? Ss^scscsïà! Г.2.

^жгло-г&гал^гтесгкх ras« npo<^ecIop Аданйн 6. M.

Зодаад оош&гкйид: гйдслйак^п ¿йздэст паук.

tin заседает; шп^двзвга^жето cossso л, 033.5?. X? по сг&здт кавядаяз

¡ajpj s. CkEÄi^CöZ&JSttSSüt гвйззгсеткгй

ко ItSCS-t, GsSîÂ-i«£s2eii%îCP4 riœ«2W5es«»îï aaí>. 7/3.

- s -

ОЕДАЯ »©ИЯЯЮИЙХ; РАБОТЫ .

тегн. Изучение зй5й?»«кксго а ярс-

езволышх поляк сноса . зяяегся яхжй зздаздЗ теопй-.'л-^оло;! л «атег.;аг^есЕой фгзккя. i&i: позвшго, »ЁцзкчесяЛ лдаегео представляем повултдат уог-еднялпя келгсор}:*. «щ- ио

псе?.? траекториям дафЗузяоккого процесса, В Чйсыхсстл, яачгс-леяле форш лияяя э "îcopjai суперпарагагпосяэиа (cncRigoa 20-глоаевпя свога веяесзвон) вах раз пред&тааяяег ссбой <»?у «з таких ьедач.

Прагякческп вшгаяиенле газсого уезедздййя сгодится к рокс-¡вш слокшяс сЕсгем д^фпере^гальшя: ураацошй з прсг.з-

•водшос к не додуокаеа явксго aimawreeoaorû яреясгаалежгя. йлесгй с s: ем, при калах зюзффодхвнвак г^аргкна датс-

кая изображающей точке, оавечазаая цроцессу,

?ярсгае*ся к й еуаесгвезнш яроДмавяао? ообей процесс а г.о-нечиш чксясм ссогояаай (модема ^скпегкш; оэаеюкщкй). Вич::-слекка s эгоа случае соотаогегвртзз: сазззпх - зо;яг*з ксй г г?брц.

Пароход ся кепропнзяой дпйузяо;шс$ кодежк к г.юдсл.. кредазс орпегпгаетй зааш© ог ?о?о, йакикк деталсз иа могеи пренсйречь л готова погоеаюсг^ sra::oro сокрэдаякого опксашаг. Ваяя ксзодвпЗ проаесс

cecïîtp ареной релайсацгл, va се. гхсд к сзкдеигенаоиу ог.:сс?саз оярзделязгся гоа, кахке декда дзхюевгя сйе.^оз слм-агь бает-Гощютехйюэяни a jasscu шснзаб©' apaseaa, а саг;гг?» косу-зесмюянаш. Tssna сбрззсгл, йагду^ иасигабу зрекенл ovsttvs-

сзоэ сокращеннее оягсасхв, ногспону оагочавг аадкогсккК •роцгсс о соедошвд »яслся сосяоянгй. Бичколзкяе ха^тергс-

язких .провессоз с кокетагл числон ссагоявй гзо. 52: иараовосгл, т-сп eaini.;, ссбоЛ езд,*гхм;т

мель работн. Цель» касгсюаей padora является яргтлое кссг-окпге, zczqzx ш'ffiïg&smmioîi яодсж, хяпхсасгдг. яропеоаос кскечш-с: т:сяом •еосг<*'52г£, ::о';орке горо":о аия<; о:сс>;: гт^узяэчкоо с мздг:.: ко^пгтзюжс^ ч;,: .5о-

зрсг.-еш.-., визкслоляе гсарахгорпот;;« ьтах lOE.npci.eccce яря когоркх зпярохссьтагрл сйагглгай'ся

nlt.

.¡tor.^prr.-n, Осаог:п:о ркьугsb'rarii «ШЯЙВТСЯ ксяаге. i.a ос>:сзс; вг.р!т.;*ц;::с::яогс получена а&злпм-гз-

у.:л i: сор;::: со6сл'Ес;-:к:гх чисел с гоиностьп

to ежсдл&жзг и асг.'пгогива сосззззсгву-

ссс'огвснншс йуккц;:': (гдсз погрзшкиого слоя) onspaecpa ли^гузс nsaissusiix: ЕсгекЕЕояъш:; поле'.; сноса. lips ого:.; ягс-яедаксзкс.': гадало сведена к споЕгрсоьког^г анализу его-х-.^-гглес:::::: г.г.тр];ц с э^гхоньпппг^ъко ис.т.г.сц еле^енга^л, коду-собсгз тпксс зекгсрса гзкпх {шгр::ц па основе -тез*:;;;: гранок. Впервые rorasano, чго в лодходггсгх кьоаге&йс оьох&хгс решвШ ypastieicuf; £о;й:ера-1£зкка есшкюга-несхЕ олзсигаегся г<гр::огскй.ш провоза:.::: е довечнзд чссхси счмгояг-Д. Зичзсхеаа sspe-iwe^scsimi г-ггх процессов» г.та раслгяккгл гйсгзгйбаи зпе:.:сиз. С§орг.йэд:роззна и чесигчи© "•г/'-ссг,;:-;; з одномерно:,; случае обгая -гклотеза о свяал собсгазн-ч»:ссл оггратсра мсхон ДЕЗ^гадя со сродни.« времекакг: zm-izx дд£;уздокиого- процесса в обяасзяхпдвказгтсеекой определяемой полем сноса. Лгу курская и теопет^ская гаааосуь. Результата работы соззожег» охглскБаяь &ор:.;у ленш: .в георак сулерпарзиагнеа'гзма и сксс«.:ах со слогаой ск.з,!егриэ£ и укаааваэ® цугь опредевг-

заракгерцссп; погевцдала шшзогроши шгнагках слсгет. газдпгг^е ъ рабск-е метода uoiyc бх-йъ шюяьзовайы при аиаяизо .в:;д'"у21:снныу. скТсекгоа йродзвоаькой щшродк.

Amcfeiпр,абр?н. Резульгагы рабогй. докладнзахксь ва Иек-дуйзродаск i&o Д1:фг)2Е1$П1 (Сашга-ПегерЗУрг 1992), на cetaaiesax кафедр шт!слктейькоа л йатемагвчеокоА фкзвш СЙбУ.

ЦгФв^цда. По двссертацж: клеется 3 дубяшщщг, <12-ролакгце ccnoi>:u-:e результаты работы.

Отп-гутуг-а >', объем imc.cer,rsm;K. Дхссертацшшая работа ys-лохена яа 1С 8 стр. ызешкишсеого текста.- Она состоит ез введения, трех глав* прщгонашш п списка хйерзтурц из 32 кмьтейованпй.

СОДЕРМЙЕ' РАБОТЫ

Зо аг.ог,з)гщ дано- обосковаане вцбора геи ддссертацга, сфог^.^рОЕакы осйозкйе задача и результата рг*>о?н,

Гл.1 псса^ега тйчесяггшюазг сяегдвалык&зг овгикзу плогясгс окертгорз с гялк: £ крк отагщ:;; лроаз-

тшдзгл.'сркс^ кякйкккси :-.:¡:orcoípa3J3i S. c'e-î

. JL.Í

к ací3irT0";rt's црп бсяъгхо: гро-^кзз: cocïn-àtceDj.yr.cx'c

у«?аззявух Сюхсхога-Зжгга». Вдзсь М' - погеггаиап-пог поле е>.">-са - -Стякцзхл .'.'open, пгегепая flf кевирс;:дешйс: гочех; j;o-EaSKíOTO квяшфиа .

В § 1, нсяогьзуя cuî.tcoonnffiîSKKoci'b onepasora s cosc'.î крдегракезево w (51) с зессы W0 - ,

на основе варса^огшогй apis-nœsa

Ди = ^ ^pliarorf \\и\\г

(2)

(Ди'чЬ^К ijvo сущбсгзсшкке osp:m собстзегккх ч;:оед ü-Xct), i \v<0 оператора , к

p;t2E0'"iiigiK3JibS0 бистро и отдгяегзной от ссыльной чосгк'слокг». Взрггзциокяао пбЛЕГ'ОгуггксрБО с?рс-лгся ;£з педхорд^г обра-CiKesäKHx: i>exi:cix;xjt tt о^орсспюго ургзкошгя

Щч-Q., (з)

БС«Г2ЙШГЙ:ОГ& С."ЙЯ, »¿торги ^рстргп-хея s скресгисогях

ос™х rpsHKî Г;; c-üíacíci; прС>, дкн:а:;гхес1;о:::

охот «ли x = . ма игугх-л ослосусР

Ep&a?pa;'C;?íiO.. ЗРссапо

ö) tu í) (©>) . .

б) -ÍÍ тхерд'гх;-?? ' £ h i) ,

;;cpЦ> , ipp^ia'rc.; Ï>:;v.W-.v.:;;:

Ц. lh..t - . ^ -

nlj V^tXçp

С * ** С '

= = V + ÍLLbí

2 ,

- интеграл о2и:6о:г .

ь) ззне -окресгносгей гравиц ойяаогей вшок-

няегся гочяое соагксмеаке

иск)! ~ С;

¡Ял^я.. *

4 \Т

Пусть С ~Сй» Лг 14- аоглор аецшкотзческзх "зка-чеииГг" ЕросИда: ^якаий в облгсгях .

Теорс» 1.1, в укасанио:.: хгхг^се аробшас йушсцгй сяравсд-.йяа «№куаяая аамлнгозжа

где - •караовс.кая каедща С -О 7

V1

• п * -

" , 1 ),ксдаагошяькые цемент--которой

г ^?. ("х-.-*Фе<х

:1 - , , ,, <¿4. ,,V* есяк Ьс^ Ъс^ .

' ^есл^-Л гшсае ойиуо хрвйвцу ^

' п ___'_________ ____

О з -епокшнсм -сдучао

Здесь ^сх.) «■'У 'Р* - гауссова оозорхнооги

¡4 - С^д., Р-г. } ) ~ Я^гозгльшя-аооогаймаг-рад

К.^гтгЦ^ч1'^)! «Раде - ь . се)

Таким обрлзац собсжшшш -фгряа эксвааещидакой сергга оператора с2>- оцейяшэгея через ссбстшиа -числа 'вегши-мегричкой -каршзокой. кагрда = . В 5 Й арозодагсл спекграяъгай: анализ кагркца

/¿} > если Й; с 9-

I)., - Л ■ киеш: обпито грашязу (?)

^ | О '.( в противном случае

где V- ^ Ч5 Схо>С - велглгла логскц^алького ба-

рьера,. когорт! ¡сугко дрсодслегь, птобп из о&хаогл Я.¿ попасть в • .

Соотвегс^яуотее да..акгор:1С?;гтесксе урсакеняе длл нахолде-кая соос'1Бе;шп; чисел кгсе? з:щ

ЫСМ-Ю^й . (3)

Здесь

Xе = 2. Л А

'Л У

(3)

& - шокесгво ориентировании: графов боз циклов из //-£ огрело*: на шокесгвс вершя сО такю:, что

из гл.-дой вершка графа вшсода? по более одной сгрелдя ( У/-трафы). Экспояепцлалышв порядка V" ковффщцекгов ^ :.:о-битк вычислены так ■

к. л • V ,■ , у

Vе ^ V.. V - о

(10)

я удовлетворяя? снешлэ керавенсгз вшзукзосгЕ

... . (II)

Теореме 1.2. Пусть яра кекотсрог. V; вшолкеко

V -V >4/ -V — — V ~ ^ > V V ,(12)

тогда справедливо представление .

V».-, - (А-Р **Р"И ^

где ' ^ - р-нй корень упэвяения

(14)

ства гпэ'Зоз , т коздрои достгаегсл кшззв1 V ' цо;.

В "геереде 1.3 полутона ях-отлка соогсе^ссвуясях со'сг ведаагс лекторов в твт*.кках ухасьнтгх ^я-гг-гиклядох V»/ -

С^'ВЙОВ.

Здесь (X = , ' «с; и - аоданссе-сгзо отгсй-

а Л ^Ч»** Лл. Л •• \

- о - -

3 С> 3 лсуиаемя дд^оконнай дроцгсс Xt ка » за-дазае:.о£ урзшеике/. Ооккеоа-Пя::;-:;-.!

íuix,t) ^ - £ Д1Л cUv i-V? u) = Ц -i - (15)

K-o- U<

Paranja: poseteie уравнения (15) в виде ряде ¿урьс по собсг-зешж: чТ^ ояорагора

Ц - в гГ* (16)

где V'W = ЯГ^С*) Y^fcc»^^ . дрк временах г ~ éxf>ta/k) ос в с(16) ¿легло ограничиться лжь пера::.;:: членашг ряда, orsesaBvani экспоненциально малой серки ссисгБешп:^ гиачзка£. 3 связи с откь: яосгро;с: иовий спучайсЫ процесс Л 4, с койечнж чцойоп состояккй путей "укрушокия" eccvocniíl процесса. X, . í-Ьенно, под' состоят процесса будет.: содрагумезать собкгля { £ St- ^ попадашУ! Х^ в JÍ?. . Зектор

pib) : р; СО - uc,x,t>cU (I?)

является ф:;нк1!ле£' пасяпеделен:1я процесса X fc .

Предполагай, что ка£деийые варгацлопяие оцвнйп для еобст-сепгасс чг.ссл окспойоншалькой сери;: являйся дошили, пр:ао-дкл к следужему услоано:.*у утперглдеша.

Лежа I..2. Пусть i^flb) - яоиечнеггерная апироз:сиг.и»л!я уе-редпецкой эволюции pit)

C|.lt) Е # ' (IS)

Разиомсоко по 4 справедтава аепшгогхш

ПС'О-р^Ц^-- о ^ ? (IS)

где R - пространство с веесгл (G), для все:: на-

чальных распрсхедеаяй' w¿ даМ^зкоккого процесса Xt . яе еллпке« сильно укяокш&кся oí стационарного распределения

LZ UMWSWX < i tiwv . (20)

3 § 4 пзучаегся ь:аркозскг2 процесс с конечны:.: число?.! ссс-

- о -

гоянлй, задаваемой матрицей переходких вероятностей Д .Век-гор распределения этого процесса эволюционирует согласно уравнению

Пусть при некотором к справедливо (12) к пусть также ¿к.С£) - возрастающая сТтулкгциг параметра £ , задавшая экспоненциальный маситаб времени

4:* (О - ^ Ц (у^-У*)'] , (22)

где параметр Т этрает роль нового (медленного) времени. Будем интересоваться поведение;* вектора распределения 0.. (Ь) в кецленпогл зпеиелп "Г

= [То (23)

Тогда ^у^) удовлетворяет уравнению

ь1 11 (24)

о; - -А* (25)

у-.-

М. СГ) = £>« - 2 М^ М„<о>?С2б)

- собственные вектора ыгтерпц я .0* соответственно.

Вообще говоря, генератор уде'»о является марковской

матрицей и, кроме тою, гТуакнш распределения С^СО не обязана быть иеппепшиой а »гуле в топ сглзсле, что ^-"Чь) / '¡-с . Гудем говорить, что начальное распределение удогастворя-

ет статистической гипотезе, если •

Состояния пронесса (24) което укрупнить посредстгс:.: некоторого разбиения ¿'--{1.,^,..., глкхсестоа всех состоя-

Ш1й со ~ .[ ..■/>'} так, что гволюцяя укпупяеяного вектора распределения пр&долгазт подменяться дифшеренциальноглу уравяе-шсо. '1акоо разбяояке з жаадом масштабе времени нороз-

даст некоторую аггеору шсяосгв СХ* . В главе Л § 3 построена сдстеш раз<5иеши Ж"" , сосгояаая кз инокеств двух мти~ вой":

(см,Лемму 1.4 яиео).

Пусть Е С^м! - условяоз математическое оаида-

пяе вектора распределения С^СЧ) относительно алтебрн СЯ.^. Введем сектор распределения Р^'сс) меаьпей размерности,, отвечающий даяш.у угруякенш состояний

сцЧ^^У'ЕС^оо^к) ? (28) где У- грягтеугольная штрица

Ле,миа 1.3. Укрувневкнй вектор рабнределеяия Удо-

влетворяет дифференциально^' уравнению

т

где - ,

ЛЧ* = /ЛкСО) .

Здесь X — прямоугольная ыатраца

X = -11 '

( о ,

Лшма 1.4. Для укрупненного вектора распределения С^* стглстячесгля гипотеза (2?) означает, что

- О ддя любого ь , (32)

осталытао кшяснецтн не'накладывается някакгсс

ограничений, крше условия норшрозкя д неотрицательное«*. Глава К яоевяяека явучежа свойств графов , ьш-

- 1х -

нтжзкрзгюшг. величину V (10) .

В § I полутени Йордан для харакхергскгеесиа полиномов . с определителей алгебраических дополнений прои-волгных квадратных глатрпц в терминах V/ -графов» на которое озиралось вш: "слепкс асимптотик собственных «исед к собственнхс: векторов карковсклх матриц в 1.1.1.

3_§ 2 дсследовз,!ш свойства "роста" гкгяшзйвугоах графа ■ (я* при увелглешк количества стрелок (уиенькегаш индекса к ).

В § 3 вводится система алгебр СД.К гсдкноесссй множества всех состояний , отяе^глая укгулнешш

состояния:.! процесса (24). ^

Рассмотри,! все свйзпно хашпеиги Т графов ^ «. Алгебра СЛЧ порсадавтся кнсяестзагм вершм связ-

ных компонент Тед . //

!Гесрег.та 2.6» Последоватольпость алгебр явля-

'еТОй ■всзрас^'аапей

. ^СЯ.сОЬ^ ...с -3й3 ^ <зз)

где б*1*5 - 'шояесгво все;: подмножеств Ш .

Вс&кай связная кокс чекга М -графа галеет ердпотвениуа 'Еёрьишу - -корень - из яогороЯ не вжоджг стрелка.

'бдредеяенпе. 'Назовем вер;5кну отаечецкой готсоЛ уровня , если супествуе!- грзй а а сцк такой, что а нем вершка с является корнем.

аяеиейгервие гшогеегьа адхебрн С'Д.К . ,г. козгорие содержат ожечен'.ше тст-х, ш иазпва«.. отг.;еПбШШг.й шезеагязш и обозначаем . Осгальшге эяекепгаргзге вясаестаа обозначаем! через

Утвергкеазе 2.5. Пусть при некотором к вадоякело

у*"!->/к > у-""- V*4' <34}

Тогда алгебра СЛ.« содерг^тг ровно к «тизгатагг адочйпзар-аих мкойесгв .

В 5 4 песледугтся "субпредельше" глс1рол«т«г.'я - рпхшге---деления, ппварпзптжо в яасатзбзх вре-сшг, предадут^: (пред-пеоттоваргах) по ораваешэ с , '-.е. едглюдюгаже

хгодяросгрэиотду гатрпц;** Мк .

Теорема 2.7. Пусть ¿>£ - марковская ьатрдца а Екмшде;;-цпально катни яоэ&иядгентами я цусть щ>я нейотсрш к вы-яогшейо (34), тогда для натрюди Мч размерность тагаркает-ппго кодлространсгва . равна к к

- V г * С35)

где ксияояекты аектороя Г.« задается савейсшмг.

еЛг

* ^^ ^ > ЧГС^

- множество УУ -тра§од из 1 стредязг ка жсксстаз

оераш » црдчеи ъ - единотвенаая аершш, ?з коас-

рой не выходат отрезка.

Теореиа 2.9. Цуать рд& некоторого к аааод; еао (34}.тогда генератор Л)*-* укруднзкпсго крсоееса.с&гх--ватствушето масштабу времеш , суг;еп*кй ка гзшарк-актное подпространство штрщк /Н* , является кар»ааз5»й матрицей.

Тгсрема 2.9 доказана дяк .случая "обоего аслогсегш'',' то есть хсох^а вшгаляеко

Рдаг Е яоовясена изучекш соответствующей олпоперксй задача - шго2 да§Оо?эШ1 на отрезку . с убхзагасдк

1 V - - £ гт'; -^'гг' = "Ляг , .

4 ч

гъЧА) -- ича) = о }

где 1 ~ (япшдая в Морса ка озругиостя* яолучаешй вакуим дслпоз цранязутка 1А, &1 , »гезгая /V гоче:: ивш~ лояалышх даккууков . {> I ассвяаея развггга иетодсв оазкод соботясшш •улйел »хмклешадьго" серги", ио^-хг:^;^ ©драэдгш» точность еардагрокагс оиадод дкст.зи X :

«л кпз'ггг^л «круасуэ огппогесу. КШСПХА. Аеп-птсггка по:; £ эгсггоаонцкалыюй серии собстеешяк зиачеияЯ гяфйуаашшого оператора елвладае? о г>г-яссигельяой погреЕкос^ыз оС^"*) с собсод&шшгз: зяаченкя-кз агрпиг» обрагясЗ к г'л?р;:цз усдозш:: сгедкях врелек >.шзв:1 тг^уккшаро процесса Хь в областях при услсв'з, что процесс отаргуег сз гояех: усгойчялого решозес»:я давши-чеа:ссй ссгсяа -47 V1 в областях £1- •

Средаю гремела .-пагш: ТГЛС*-) удозлегворясг урзвкегглягд

Г«^» -г.

г.з - су™ь яндакаеога областей .

Для полу^экая аептжетяки гоа о С-?о собственного за&чеапя ш ясяьоуе;,:ся оценкой

и-М £- ^ (40)

яогорая означает, ч?о г интервала

содержгся по крайней мере 'одно собственное значение оператора . Здесь

^ = у З^тт -ЧГМИЯГ # (41)

Еведш матрацу ;

х . _ (42)

Б качестве ярпблиаеккя ЯГС^О к I -ой собственной чзуншш ки вибкраем ликейкуп комбинации сроднил времен: визяя '€«<х) козййкцзенгн когорой суть компонент I -го собственного вектора магпяци &1 .

ОГСх; = X счкгс.лсх) (43}

а а качссгвс пробного "X - веги^ияу» обратную к сосхпатсг-зуже:.!у собственному чзелу каеркцы *. А у3-''и' ,

Доказательство п.Есхези сводится тем сажл к проверке того, чк величина ^Ct) допускает оценку- "äecO - сСьСЛ) .

3 § 2 ш дакасыааегг, что (<V*t 1 )„оо ообс^векеое зкаче-кио задачи (36) не'является эксяоиендаально иаяш и доцускаез? оцеш^

"Х Lb") ^ 'Co-vvSl >0 (44)

Гк.5 casa« эшшеьццалпшая сепия оо0огвевнкг: чисел оператора &*s екаацваегся отдеяеикой о? осг&гькой части спектра, что «asgosea езэеет?ейыаи црк сереходе к «одели дкскреянш: оркез-ssi^ü Седь(ЭД)}.

В § 3 дазучезй аоашкгогт уазркчкшс эдеуенгов кагркци fit дохшей» средааг ваедек щгзгш ярд , Огазнваегоя, ч?о

а зкаааом »с®шге сеохвзтсдазутеш обратная йатржед (которая ssos«® <йггь взкйсдш* задаем агрковоааД вредно с хсцач-шы -чеслся ооо-годадй q убдваюкм* козорнд мог,ез фяъ гакка получен в раэдх оараадаонаохо ые?одд глаоц I.

докагздаезса сдраведядайсть <$ошдаровакноа оте-геза для пордш: дкуэс собствдх ^сед оператора »

■Такш odnaso?.:, а дрчдлагаемой panose даетоя последовав-» льное справданяе перехода пеярершного диффузионного цроцге« cö в произвольном лотезщвдькогд поде сноса э одредедакйых ка» сшгабах времени к кэраовскги зщоцзссаи с конечная чысяс;л состояний (и'члль ддокретвых ораевтадай) я указакц свяэд эгида процессам яри переходе о? одвсдо масшзайа вр^-гнл г. друтоцу (иерархия иаглотзсквх подпроцессоа),

3 ьдоогаеш» доказак ряд угиеркдснай о' йяезооуе варнацк-оякшс йгпкцай п ар-оекгоров кз вариационное тздоросяра^отво к ссогаигагдуЕЗШ дстиенш собственным фуякщкд.я проедаорам. : Основной содержание дассоргацси о^/бЛ1ГксЕано э рабогах

1, Бумов В.Л,, Макаров К. Л. Иарархкя масштабов зрепеЕЯ ярк иалоЙ даЗ&ггчш.// TÄ IS3S., г.76, £ 2,с.219-230.

2, Ь'Лагтг Г.,Л,, Buslov V.A, fcfcn Hioxar-chy of 'Jims iicaJins on Email Diffusion.// Reprint 2>xeio *Jnl"-crsitnt Darlin, Berlin (V.'ont), Cer&au;-, РУВ- HEP/ SS-il.

3, Буолаа В.А., Макаров K.A. Зреглена акакй я кааете собственные зяачеккя сдерагора шяой .дш^фузшг.// ;,!аг. зжякж. 19?2»

hisi.l,. с.£0-31.