Индуцированная теория гравитации в пространстве Римана-Картана тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

На правах рукописи

гг^ ОД

СУНЧАЛИН Андрей Марсович ] 3 [^Д 7 1

ИНДУЦИРОВАННАЯ ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ РИМАНА-КАРТАНА

специальность 01.04.02— теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2000.

Работа выполнена на кафедре физики для естественных факультетов Московского педагогического государственного университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, Б.Н. Фролов. Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Ярославский государственный педагогический университет им. К.Д.Упгинского.

К.053.22.01 в Российском университете дружбы народов по адресу: 117198, Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3. ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6.

Автореферат разослан . 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, доцент

доктор физико-математических наук, профессор Ц.И. Гуцуааев, кандидат физико-математических наук, A.B. Соловьев

Защита состоится " часов на заседании

I — <vo 2000 г. в I "Э ~

диссертационного совета

6 3^2,03

&3-/3,3 У РЗ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

В настоящее время не существует теории гравитации, которая была бы удовлетворительной с точки зрения квантовой теории поля. Эйнштейновская теория хотя и согласуется с экспериментальными данными на классическом уровне, но не является перенормируемой на квантовом уровне (в однопетлевом приближении с материей и в двухпетлевом приближении без материи). Вместе с тем неоднократно высказывалось мнение, что требование перенормиреумости должно рассматриваться как один из критериев, которому должна удовлетворять истинная теория гравитации.

Простейший спосо б модифицирования эйнштейновской гравитации состоит в добавлении в действие членов квадратичных по кривизне. С квантовой точки зрения подобная теория в римано-вом пространстве мультипликативно перенормируема и ассим-нтотически свободна, но не унитарна. Духи и тахионы присутствуют в спектре ¿"-матрицы в древесном приближении из-за 1/р4 поведения пропагатора метрического поля как следствие наличия в действии высших производных от метрики. Другая возможность модификации теории гравитации состоит в том, что пространство-время может иметь более богатую структуру, чем риманово пространство, связанную с наличием кроме кривизны также кручения (пространство Римана-Картана Щ) и не-метричности (аффинно-метрическое пространство ¿4(5, Г)). В рамках пуанкаре-калибровочного подхода к теории гравитации в пространствах с кручением наличие в гравитационном действии квадратичных лагранжианов неоднократно изучалось различными авторами.

Еще одна возможность модификации теории может состоять в увеличении количества симметрии первоначального действия. Добавочные глобальные или локальные симметрии, которые могут быть подняты на квантовый уровень, могут существенно улучшить свойства перенормируемости теории. Примером может служить суперсимметрия или локальная конформная симметрия, а также теории струн и супер струн. Однако существование пертурбативно перенормируемой квантовой гравитации в рамках этик теорий все еще остается открытым вопросом. Вместе с тем, необходимо отметить, что именно с теорией, обладающей конформной инвариантностью, в настоящее время многие исследователи связывают дальнейшее построение фундаментального объединенного взаимодействия в физике высоких энергий.

Среди различных методов построения квантовой гравитации можно выделить калибровочный подход, как наиболее обещающий. В так называемой пуанкаре-калибровочной теории гравитации (ПКТГ) со структурной группой Пуанкаре "Рщ динамическими переменными являются коэффициенты локальной ло-ренцевой связности и тетрадные коэффициенты haß. Здесь греческие индексы относятся к координатному пространству, а латинские - к касательному пространству с метрическим тензором grob = diag(—1,1,1,1). Тензорами напряженности гравитационного поля в этой теории являются, соответственно, тензор кривизны R%nV и тензор кручения Q%v.

Мы исходим из предположения о существовании пертурбативно неренормируемой теории гравитации, которая может отличатся от эйнштейновской теории, предсталяющей собой эффективное феноменологическое описание гравитаций на больших расстояниях. В основе подобного подхода лежит идея индуцированной

гравитации, впервые предложенная А.Д. Сахаровым. Для развития этой идеи необходима симметрия, которая бы запрещала теорию Эйнштейна в фундаментальном действии на малых расстояниях. ТЪкой симметрией является масштабная (или конформная) инвариантность, которая представляет собой классическую инвариантность, нарушаемую квантовыми флуктуациями. Уже было проведено построение классического варианта теории, в которой ПКТГ дополняется наличием дополнительной локальной симметрией, а именно, обобщенной конформной инвариантностью, представляющей собой некоторое объединение скейлинга тетрад, конформного и: проекционного преобразований. Частным случаем такого типа лагранжиана является следующий лагранжиан:

где Qu = h^Q"^ ~ след тензора кручения, /, gi, дг - произвольные константы, a „ - обобщенный тензор конформной кривизны в Щ.

В данной работе изучаются квантовые свойства данной модели. Представленная работа посвящена изучению этой актуальной проблемы.

Цель работы. Целью работы является исследование классических и квантовых свойств одной из модели Пуанкаре калибровочной теории гравитации, обладающей дополнительной локальной симметрией в U4, а именно, обобщенной конформной инвариантностью, представляющей собой некоторое объединение скейлинга тетрад, конформного и проекционного преобразований; построение BUST- преобразований данных симметрий; но-

С = V4(fWa0liVWa^ + ^Qa^p-gi - g2)Qaf3y +

(1)

лучение однопвтлевого эффективного действия на пространстве Щ в методе фонового ноля в тетрадном формализме с помощью двух основных способов вычисления для соответствующих операторов: методами спектральной геометрии на Щ и обобщенной диаграмной техники Т'Хоофта-Вельтмана с использованием компьютерной программы тензорных вычислений на языке 11-лнсн; физический анализ полученных результатов.

Научная новизна работы. Научная новизна данной работы состоит в изучении квантовых свойств модели в теории гравитации, основанной на лагранжиане (1) на фоне пространства Щ, которая представляет собой обобщение на Щ индуцированной теории гравитации в пространстве Римана, развитой в ряде работ и основанной на лагранжиане где С - тензор конформной кривизны Вейля пространства Римана. Как известно, теория /С2 в пространстве Римана является перенормируемой, ассимптотически свободной и не оказывает влияния на наблюдаемые эффекты, но не унитарной. Лагранжиан (1) может быть также получен из более общего лагранжиана, при специальном выборе консгалт, удовлетворяющем принципу обобщенной конформной инвариантности. Наличие подобной дополнительной локальной симметрии может оказать влияние на перенормируемые свойства модели. Отметим, что влияние проективной инвариантности на квантовые свойства аффинно-метрической калибровочной теории гравитации уже изучалось рядом авторов.

Научная и практическая ценность работы. Результаты диссертации могут служить основой для экспериментального исследования индуцированной теории гравитации. Найденные ограничения на константы связи гравитационного квадратичного лагранжиана могут служить критерием для вы-

бора конкретного лагранжиана в более общей нуанкаро калибровочной теории гравитации, а также могут дать ключ к решению проблемы космологической постоянной.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, были доложены на семинаре Российского гравитационного общества кафедры теоретической физики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (1998 г.), на конференциях IX Российской гравитационной конференции "Теоретические и экспериментальные проблемы гравитации" (Новгород, 1996 год), "Second Meeting on constrained dynamics and quantum gravity" (Santa Margherita Ligure, ITALY, 1996 год), "15 International conference on General Relativity and Gravitation", Pune (декабрь 1997 г.).

Публикации. По теме диссертация опубликовано 6 работ, список приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка цитированной литературы. Общий объем работы — 178 страниц, библиография — 127 наименований.

ОБЩЕЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение посвящено детальному анализу проблематики квантовой терии гравитации. В нем рассмотрены различные методы решений данной проблемы. К ним относятся использование квадратичных лагранжианов в теории, использовании неминимальных взаимодействий, увеличении числа симметрии в первоначальном лагранжиане (суперсимметрия), использование нелокальных объектов в теории струн, усложнение структуры пространства-времени Кроме этого, во введении описывается калибровочный подход в теории гравитации. Первая глава посвящена калибровочному подходу в теории гравитации. В первом параграфе заложена структура различных калибровочных моделей. Далее, со второго по пятый параграфы приводится структура аффинно-метрического пространства и пространства Римана-Картана.Рассмотрены кинематика и динамика, произведен анализ уравнений в бесторсионном пределе и изучены общие свойства Пуанкаре калибровочной теории гравитации. В следующих параграфах соответственно произведено рассмотрение обобщенных конформных преобразований на V4, исследуемых рядом авторов, используемых в дальнейшем в рамках индуцированной гравитации в пространстве Римана-Картана; сформулирован принцип обобщенной конформной инвариантности исследуемых нами теорий; приведен пример лагранжиана, удовлетворяющего принципу обобщенной конформной инвариантности. Наличие подобной дополнительной локальной симметрии может помочь при построении истинной квантовой теории гравитации; рассмотрен механизм спонтанного нарушения масштабной симметрии в данной теории.

Во второй главе рассматривается метод фонового поля. В первом параграфе приведены инвариантные свойства производящего функционала. Обсуждаются различные алгоритмы расчета контрчленов в рамках такого подхода. Во втором параграфе данной главы описан метод собственного времени ДеВитта-Швингера и его обобщение на случай неминимальных операторов и операторов высших порядков, сделанное Барвин-ским и Вилковиским, а также его обобщение на пространства с более богатой структурой, а именно, на пространство Римана-Картана. Указаны достоинства и недостатки данных методов. Во третьем параграфе данной главы проведен анализ предлагаемой нами модели пуанкаре-калибровочной теории гравитации с дополнительной локальной симметрией в рамках обобщения индуцированной гравитации на пространство Римаиа-Картана. Далее в четвертом параграфе исследованы структура симметрии данной модели и различные способы её фиксации. Дело в том, что в подавляющем большинстве случаев дифференциальный оператор вырожден, т.е. для него нельзя указать вид нропагатора. Поэтому здесь описываются способы снятия вырождения, вызванного калибровочными симметриями или присутствием фермионных полей. В нашем случае это достигается фиксацией калибровки и введением духовых полей Фаддеева-Попова. В данной главе явно показало, что на массовой оболочке эффективное действие не зависит от вида калибровочного условия. В следующих параграфах второй главы нами построены ВИбТ-преобразованяя в тетрадном формализме в данной теории гравитации с дополнительными симметриями на С/4; вычислены однопетлевые расходимости ряда операторов теории гравитации с динамическими переменными метрикой и связностью, изученных на классическом уровне в первой главе.

В третьей главе ыредставлевы диаграмные методы вычисления однсшелевых контрчленов в методе фонового поля. В первом параграфе изложен метод обобщенной диаграммной техники т'Хоофта-Вельтмана для вычисления расходящейся части однопетлевого эффективного действия. Здесь построен ряд теории возмущений, найдены пропагаторы квантового ноля, вер-пшш его взаимодействия с классическим фоном и числовые коэффициенты перед диаграммами для случаев минимального и неминимального операторов. Во втором параграфе для минимального оператора для случая плоского пространства указаны все расходящиеся диаграммы и вычислены их индексы расходимости, описан способ нахождения расходящейся части размерно регуляризованных интегралов, получающихся при вычислениях феймановских диаграмм. При помощи вычисления соответствующих расходящихся диаграмм здесь найдена расходящаяся часть однопетлевого эффективного действия в пространстве Минков-ского, показано полное согласие результатов с ранее известными и произведено обобщение результатов на четырехмерное риманово пространство. В третьем параграфе уже для неминимального оператора производится вычисление однопетлевых диаграмм в первом неисчезающсм приближении по слабым полям метрики и связности . Однако в отличие от случая минимального оператора каждый вклад уже не может быть представлен как слабопольный предел от некоторого ковариантного выражения. В данной части производится анализ причин, вызывающих данную ситуацию и устанавливается, что для получения правильного ответа необходимо добавление некоторых вспомогательных диаграмм, дающих вклад как в члены, содержащие метрику, так и в члены, содержащие связность. После этого каждое выражение уже может быть записано ковариантным обра-

зом. Полученный алгоритм иллюстрируется расчетом наиболее простого нетривиального вклада в эффективное действие, содержащего тензора кривизны и а также W^' V - коэффициент при производных (L- 2)-дорядка. Однако указанная сложность отнюдь не является единственной. Дело в том, что в силу имеющихся неоднозначностей вычисление ряда слагаемых, прежде всего квадратичных по тензору кривизпы становится весьма нетривиальным: несмотря на то, что соответствующие диаграммы легко могут быть вычислены в слабовольном приближении, получение ковариантного выражения оказывается неожиданно сложным. Поэтому здесь кратко обрисовывается алгоритм нахождения ковариантного результата. После этого приводится суммарный вклад всех диаграмм, являющемся результатом данного метода ( Пронин П.Й. и Степаньянц К.В.). В четвертом параграфе данной главы был рассмотрен частный случай немннималного оператора, (данные результаты были по-лучепы с использованием ЭВМ) получающийся в нашей модели. Данная глава в последем параграфе содержит формулировку наших основных результатов полученных в диссертации в рамках данной модели и краткий анализ перспектив использования результатов диссертации при далнейшем построении квантовой теории гравитации.

Приложение посвящено описанию программного обеспечения, позволяющего обрабатывать многоиндексные выражения и, в частности, производить автоматическое вычисление однопетле-вых контрчленов. Программное обеспечение представлено в виде дополнительного тензорного пакета для системы аналитических вычислений REDUCE, разработанного на кафедре теоретической физики МГУ Прониным П.И. и Степаньянцем К.В.. Здесь рассмотрена проблема автоматизации обработки много-

индексных, выражений, необходимая, в частности, при вычислении эффективного действия, и указаны основные трудности, стоящие на пути ее решения, а именно, немые индексы, свойства симметрии и тождества Бианки, а также приводится описание алгоритмов используемых в программе. Здесь рассмотрено, каким образом можно наиболее эффективно выполнять операции с метрическим тензором (которые наиболее часто встречаются при практических вычислениях) как при обычной обработке выражения, так и при перемножении двух величия и каким образом можно привести тензорное выражение к некоторому стандартному виду в случае отсутствия тождеств Бианки, решив тем самым проблемы связанные с упорядочиванием немых индексов и индексов симметрии.

Приложение описывает интерфейс программы, то есть, то, что может выполнять пользователь и то, что ему необходимо для этого набрать. Здесь же полностью рассмотрены все возможности тензорного пакета и рассмотрены дополнительные возможности для получения алгоритмов вычисления однопетлевых расходимостей на основе полученных ранее общих формул. В данном приложении рассмотрен нами пример применения тензорного пакета для вычисления расходящейся части однопетле-вого эффективного действия в пуанкаре-калибровочной теории гравитации (тетрада и связность в данной теории рассматриваются как независимые переменные).

В заключении сформулированы основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Был рассмотрен квантовый вариант квадратичной теории гравитации в пространстве Рим агга-К ар тана Щ, основанный на лагранжиане (1), обладающем дополнительной инвариантностью относительно обобщенных конформных преобразований в пространстве Щ. Данная теория развивает идеи индуцированной гравитации применительно к пространству Римана- Кар тана Щ.

2. Построены ВЛБТ-преобразования, соответствующие как общекоординатным и локальным лоренцевым преобразованиям, так и дополнительным преобразованиям: обобщен-ноконформнъш , масштабным (скейминг тетрад) и антисимметричным преобразованиям связности в пространстве Римана-Картана.

3. В результате был найден эффективный гравитационный лагранжиан в пространстве Римана-Картана, который включает в себя члены, обусловленные поляризацией вакуумных полей, и в адиабатическом приближении имеет вид Сд — + Л0О0 -Ь Ахах + Л2аг, где - затравочный гравитационный лагранжиан (1), причем ао — 1, Щ ~ Л, аз ~ Л2. Коэффициенты Л определяют ренормировку космологической, гравитационной постоянной и коэффициентов нри квадратичных по кривизне инвариантов. В результате квантовых флуктуации возникает эйнштейновская гравитация, и на расстояниях, больших, чем планковский масштаб, гравитационная физика будет хорошо описываться теорией Эйшнтейна-Картала.

4. Значения констант связи индуцированного лагранжиана, в

том числе гравитационной константы ¿г,п(г, космологической постоянной кш и константы рш также оказываются вычисляемыми и определяются затравочными параметрами исходного гравитационного лагранжиана, причем существенным образом теми параметрами, которые определяют вклад инвариантов тензора кручения в исходное действие. Проведен анализ физических результатов.

5. На основе тензорного пакета, разработанного па кафедре теоретической физики Московского Государственного Университета им. М.ВЛомоносова Стенальянцем К.В. и Прониным П.И., написана процедура для компьютерного вычисления однопетлевых расходимостей недиагонального оператора специального вида при помощи найденных общих формул.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Sountchaline A. M., Frolov В. N. Induced gravity in Riemann-Cartan Space-time / /В сб.:: Second Meeting on constrained dynamics and quantum gravity.- Santa Margherita, Ligure, Italy,

2. Супчалин A. M., Фролов Б. Я. Индуцированная гравитация в пространстве Рнмана-Картана //В сб.: Научные труды Моск. Педагог. Гос. Унив. им. В. И. Ленина. /Сер.: Ест. пауки. М.: "Прометей", 1996.-С. 132-134.

3. Супчалин А. М., Фролов Б. Я. Индуцированная гравитация в пространстве Римана-Картана //В сб.: Теоретические и экспериментальные проблемы гравитации /Тезисы докладов 9 Российской гравитационной конференции, Новгород, 24-30 июня 1996 г.-М.: 1996,-Часть 1.-С. 84.

4. Сунчалин А. М., Фролов Б. 11. Индуцировашшя гравитация в пространстве Римана-Картана //В сб.: Научные труды Моск. Педагог. Гос. Унив. им. В. И. Ленина. /Сер.: Ест. науки. М.: "Прометей", 1997.-С. 148-155.

5. B.N. Frolav and A.M. Sountchaline BRST-transforation and induced gravity in a Riemann-Cartan space. // In: 15 Intern, conf. on Gen. Relat. and Grav., Abstacts, Pune, 1997, p. 264

6. Сунчалин A .M. и Фролов Б.Н. Индуцированная гравитация в пространстве Римапа-Картана //Известия высш. учебн. завед. Физика.-1998-N 5.-С. 126-128.

Подп. к печ. 14.11.2000 Объем 0.75 п.л. Зак. 494 Тир. 100

Типография МПГУ

Введение

Глава 1. КАЛИБРОВОЧНАЯ ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ

1.1 Калибровочный подход в теории гравитации.

1.2 Кинематика аффинного пространства и пространства Римана-Картана.

1.3 Динамика теории гравитации.

1.4 Общие свойства квадратичной Пуанкаре- калибровочной теории гравитации.

1.5 Бесторсионный предел уравнений пуанкаре-калибровочной теории гравитации.

1.6 Конформные преобразования в Пуанкаре калибровочной теории гравитации.

1.7 Принцип обобщенной конформной инвариантности

1.8 Обобщенно конформно инвариантные лагранжиан и уравнения гравитационного поля.

1.9 Спонтанное нарушение масштабной инвариантности

Глава 2. МЕТОД ФОНОВОГО ПОЛЯ. ОДНОПЕТЛЕ ВЫЕ КВАНТОВЫЕ ПОПРАВКИ. МЕТОДЫ ВЫЧИ СЛЕНИЯ.

2.1 Метод фонового поля. Производящий функционал в методе фонового поля.

2.2 Метод спектральной геометрии - метод Швингера-ДеВитта и его обобщения.

2.3 Индуцированная теория гравитации в пространстве Римана-Картана.

2.4 Дополнительные локальные симметрии.

2.5 BRST-преобразования в тетрадном формализме

2.6 Вычисления однопетлевых контрочленов в индуцированной теории гравитации в пространстве Римана-Картана

Глава 3. ДИАГРАМНЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОДНОПЕТЛЕВЫХ КОНТРЧЛЕНОВ В МЕТОДЕ ФОНОВОГО ПОЛЯ

3.1 Обобщенный метод т'Хоофта-Вельтмана вычисления однопетлевых расходимостей

3.2 Эффективное действие для минимального оператора.

3.2.1 Случай плоского пространства.

3.2.2 Случай искривленного пространства.

3.3 Эффективное действие для неминимального оператора.

3.3.1 Случай плоского пространства.

3.3.2 Случай искривленного пространства.

3.4 Вычиление неминимального гостовского вклада в одно-петлевое эффективное действие.

3.5 Выводы.

Вторую половину XX века в физике элементарных частиц можно назвать эпохой калибровочного подхода. После появления полей Янга-Миллса, открытия асимптотической свободы и построения реальной модели электрослабого взаимодействия, подтверждённой впоследствии экспериментально, не вызывает сомнений, что любая теория, претендующая на роль корректного описания реального мира должна строится на основе калибровочного подхода, утверждающего, что все поля, переносчики взаимодействия, являются связностями в главном расслоении. Гипотеза единой теории основывается на предположении, что все взаимодействия существующие в природе, сильное, слабое, электромагнитное, гравитационное, описываются с помощью некой калибровочной группы симметрии. Было предложено множество моделей, основанных на различных структурных группах, объединяющих эле-трослабое и сильное взаимодействия. Однако построить единую теорию, включающую и гравитацию, до сих пор не удается. Проблема заключается в неперенормируемости эйнштейновской теории гравитации.

Как известно, ОТО согласуется со всеми экспериментальными данными, известными к настоящему моменту. Однако в теории присутствует множество нерешённых проблем уже на классическом уровне - проблема сингулярностей, проблема начальных данных, определение тензора энергии-импульса гравитационного поля. Всё это заставляет искать альтернативные теории гравитации, лишённые всех этих недостатков. К сожалению, большие погрешности экспериментальных данных не позволяют нам с уверенностью говорить о корректности какой-либо теории. Поэтому при построении теории гравитации необходимо руководствоваться принципом само согласованности и принципом соответствия теории. Одним из таких критериев является перенормируемость теории. Как известно, из-за наличия размерной константы связи, подсчет индекса расходимости диаграмм, свидетельствует о появлении в диаграмме с Ь петлями контрчлена вида Яь+1, что ведёт к неперенормируемости ОТО в обычном смысле. На самом деле, хотя ОТО конечна в одной петле [1]-[4], на двухпетлевом уровне теория непе-ренормируема [5], [б]. При взаимодействие гравитационного и материального полей, неперенормируемость проявляется уже на однопетлевом уровне [7]-[9]. Все эти причины приводят к необходимости модифицировать ОТО.

Задача заключается в построении самосогласованной модели теории гравитации, либо изменив эйнштейновскую теорию гравитации, либо показав, что трудности имеющиеся в ОТО являются чисто искусственными, вызванными использованием пертурбативной теории.

Самое простое расширение ОТО для решения вышеуказанных проблем это включение в действие слагаемых, квадратичных по кривизне:

Ь = (-АД 4- а,^д + а2К1 + + А) у^ (0.1)

Такая теория перенормирусма во всех петлях и асимптотически свободна, но не унитарна [11]; из-за пропагатора вида ^ в спектре частиц присутствуют духи и тахионы. Были предприняты попытки доказать, что наличие состояний духов и тахионов является искусственным, вызванным использованием пертурбативной теории и что при использовании непертурбативных методов расчета — разложение) теория унитарна [12]. Однако дальнейшего развития данное направление не получило. Альтернативный вариант спасти унитарность- показать, что с учетом квантовых поправок полюса, соответствующие духам и тахионам сдвигаются в нефизическую область. Однако проведённые расчеты не дали желаемых результатов [13].

Ещё одной модификацией ОТО являются теории с неминимальным взаимодействием. Принцип относительности ОТО утверждает, что материальные поля взаимодействуют с гравитационным полем минимальным образом, т.е. V^ = д^ + Г„

Однако можно вводить a priori в лагранжиан неминимальные члены, например Rip2. Такой вариант ОТО также не является удовлетворительным на квантовом уровне. Кроме того, он ведёт к существенным изменениям постулатов ОТО, от которых не хотелось бы отказываться.

Одним из перспективных путей построения квантовой теории гравитации на данный момент является увеличение числа симметрий первоначального лагранжиана. Наличие дополнительных глобальных и локальных симметрий, сохраняющихся на квантовом уровне и не приводящих к появлению аномалий, может значительно улучшать перенормировочные свойства теории. Примером такой симметрии является супер симметрия. Супер симметрия - это новый тип симметрии, связывающий между собой частицы разных спинов, фермионы и бозоны.

Равенство фермионных и бозонных степеней свободы приводит к замечательному свойству супер симметричных теорий сокращению многих расходимостей. Простейшая модель супергравитации [14] с N = 1 является первым примером теории гравитации взаимодействующей с полями материи, имеющей конечные элементы 5—матрицы на однопе-тлевом уровне [15]. Существующие модели супергравитации (И = 1) конечны вплоть до двух петель [16]. Но на трехпетлевом уровне появляются неисчезающие контрчлены, нарушающие конечность теории. [17] Модели супергравитации с расширенной супер симметрией = 8) или с дополнительной симметрией (например локальной конформной симметрией) [18] имеют улучшенные перенормировочные свойства [19] . Но формулировка перенормируемой теории супергравитации отсутствует по сей день.

Возникновение теории струн возродило большие надежды на появление самосогласованной теории, объединяющей все четыре взаимодействия [20]. В этом подходе фундаментальным объектом теории является суперисмметричная струна, последовательное квантование которой возможно только в десятимерном пространстве-времени. Спектр её нормальных мод определяет спектр элементарных частиц эффективной локальной теории. Однако множество нерешённых проблем не позволяет получить в этом подходе эффективную перенормируемую теорию гравитации.

Еще одним из перспективных путей получения квантовой теории гравитации является предположение, что пространство-время является более богатым по своей структуре, чем риманово пространство. Это подразумевает, что для описания пространства-времени необходимо вводить кроме метрики другие геометрические структуры: кручеяие и неметричность [21], [22].

Простейшим неримановым пространством является многообразие с кручением (так называемое пространство Римана-Картана). В таком пространстве существует дополнительная к метрике независимая динамическая переменная, кручение. На данный момент существует огромное количество работ посвященных теории гравитации с кручением [23] - [25]. Мы напомним только некоторые факты, связанные с квантовыми свойствами теорий гравитации с кручением. В рамках пространства Римана-Картана. удалось построить модели, являющиеся унитарными на древесном уровне в линейном приближении [28]. В таких моделях метрика и кручение являются независимыми динамическими переменными, пропагаторы которых имеют вид р-. Однако перенормировочные свойства таких моделей неисследованы. В таких моделях на однопетлевом уровне могут появляться контрчлены размерности 4, не запрещенные существующими в теории симметриями; т.е. любые скаляры, построенные из свертки тензоров кручения и кривизны. Также контрчлены будут нарушать, в общем случае, перенормируемость и (или) унитарность теории.

Дальнейшее расширение геометрии пространства-времени приводит к аффинно-метрическому пространству-времени. Такое пространство характеризуется метрикой и аффинной связностью Г0- . На данный момент предложено несколько моделей аффинно-метрической теории гравитации [27] - [34].

Выше говорилось, что в основе любой реалистической теории лежит калибровочный подход. Однако эйнштейновская гравитация не является последовательной калибровочной теорией, т.к. метрика не является связностью ни в одном из расслоений. В применение к гравитации, калибровочный подход указывает, что динамической переменной, описывающей гравитационное взаимодействие, должна быть связность. Более того, в реальном эксперименте измеряется связность, а не метрика пространства- времени. На многообразии со связностью частица движется по траектории, описываемой уравнением — = -/"

0.2)

1т2 ар ¿т д,т

Всё это говорит о необходимости введения связности как независимого динамического объекта в теорию гравитации.

Настоящая диссертация посвящена проблемам построения обобщения на С/4 индуцированной теории гравитации в пространстве Римана, развитой в [35] и основанной на лагранжиане , где С - тензор конформной кривизны Вейля пространства Римана. Как известно [11], [12], теория /С2 в пространстве Римана является перенормируемой, ассимптотически свободной и не оказывает влияния на наблюдаемые эффекты, но не унитарной.

Данный лагранжиан может быть также получен из общего лагранжиана, рассмотренного в [36], при специальном выборе констант, удовлетворяющем принципу обобщенной конформной инвариантности [37]. Наличие подобной дополнительной локальной симметрии может оказать влияние на перенормируемые свойства модели. Отметим, что влияние проективной инвариантности на квантовые свойства аффинно-метрической калибровочной теории гравитации изучалось в [38].

Диссертация состоит из введения, трех глав основного содержания и заключения.

3.5 Выводы

Был рассмотрен квантовый вариант квадратичной теории гравитации в пространстве Римана-Картана С/4, основанный на лагранжиане (2.70), обладающем дополнительной инвариантностью относительно обобщенных конформных преобразований в пространстве С/4 [37]. Данная теория развивает идеи индуцированной гравитации [68], [35] применительно к пространству С/4. Рассмотрены В118Т-преобразования, соответствующие как общекоординатным и локальным лоренцевым преобразованиям, так и дополнительным преобразованиям: обобщен-ноконформным, масштабным (скейлинг тетрад) и антисимметричным преобразованиям связности.

При помощи вычислений квантовых поправок был найден эффективный гравитационный лагранжиан, в котором в результате квантовых флуктуаций индуцируются как космологическая постоянная, так и линейный лагранжиан Гильберта-Эйнштейна, а также квадратичные по кривизне конформно неинвариантные добавки в общий лагранжиан. Значения констант связи индуцированного лагранжиана, в том числе гравитационной константы и космологической постоянной Кш оказываются вычисляемыми и определяются затравочными параметрами исходного гравитационного лагранжиана, причем существен

3/ Лш ^7^ + 12^1

3.64)

О(Й + 4Й)' Ош Уо 6Я

3.65) ным образом теми параметрами, которые определяют вклад инвариантов тензора кручения в исходное действие.

Если принять, что размерный параметр /о имеет порядок G"1, где G - истинная гравитационная постоянная, то из условия G-md — G и соотношений (3.64) будет вытекать следующая оценка для индуцированной космологической постоянной (Mpi - планковская масса):

Aind ~ G"1 ~ М2Р1 , к^ < 0 . (3.66)

Существование в уравнениях гравитационного поля отличной от нуля космологической постоянной в настоящее время связывается с необходимостью учета энергии нулевых возбуждений физического вакуума [113], [114]. Соответствующий тензор энергии-импульса имеет вид Т™с = -kvac д^р, AVac > о, если принято, что #44 = -1. Согласно существующим теоретическим оценкам [114] вклад этой энергии должен быть огромен, причем величина Ауас по порядку должна совпадать с величиной (3.66), но отличаться от нее знаком. Это теоретическая оценка значения космологической постоянной на 120 порядков превышает то значение, которое согласуется с данными современной наблюдательной космологии. Согласно [114] механизм компенсации этого огромного значения является одной из актуальных проблем современной фундаментальной физики. То, что теория индуцированной гравитации в пространств Римана-Картана приводит к существованию добавочного "тахионного" фонового вакуума с отрицательной космологической постоянной (3.66), позволяет рассматривать эту теорию как один из возможных механизмов указанной компенсации.

Действительно, согласно первоначальным идеям индуцированной гравитации, высказанным А. Д. Сахаровым [68], [69], появление в общем гравитационном действии индуцированного классического линейного члена, пропорционального скаляру кривизны с очень большим коэффициентом (порядка квадрата планковской массы), отражает свойство "метрической упругости" пространства, связанного с появлением силы, препятствующей искривлению пространства, возникающего за счет квантовых флуктаций всех физических полей. Можно предположить, что появление подобной силы обусловлено необходимостью стабилизации физической системы. По-видимому, с подобной стабилизационной ролью связано также и индуцирование отрицательной космологической постоянной, предназначенной компенсировать энергию нулевых вакуумных флуктуации, которая расходится на верхнем пределе при сверхвысоких частотах, что приводит к необходимости обрезания на расстояниях порядка планковской длины [114].

Далее заметим, что согласно первому из соотношений (3.64) возможно равенство порядков фундаментальной постоянной / и только одной из затравочных констант кручения, например, константы д\. При этом вторая из этих констант (например, константа д2, определяющая связь с псевдовектором кручения) может быть существенно меньше по порядку или даже равна нулю. В последнем случае масса кванта псевдовектора кручения имеет порядок планковской массы и псевдовектор кручения может проявлять себя только на субпланков-ском уровне, что соответствует теории Эйнштейна-Картана. Но при других возможных соотношениях затравочных констант массы квантов кручения могут иметь существенно меньшие значения (в зависимости от величины фундаментальной константы /), что может привести к возможным наблюдаемым проявлениям кручения в современной гравитационной физике на расстояниях существенно больших, чем план-ковский масштаб, в отличие от практически ненаблюдаемых эффектов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

•

Был рассмотрен квантовый вариант квадратичной теории гравитации в пространстве Римана-Картана £/4, основанный на лагранжиане (2.70), обладающем дополнительной инвариантностью относительно обобщенных конформных преобразований в пространстве Щ [70]. Данная теория развивает идеи индуцированной гравитации [68], [35] применительно к пространству Римана-Картана Щ.

•

Построены В НЭТ-преобразования, соответствующие как общекоординатным и локальным лоренцевым преобразованиям, так и дополнительным преобразованиям: обобщенноконформным, масштабным (скейлинг тетрад) и антисимметричным преобразованиям связности в пространстве Римана-Картана.

•

В результате был найден эффективный гравитационный лагранжиан в пространстве Римана-Картана, который включает в себя члены, обусловленные поляризацией вакуумных полей, и в адиабатическом приближении имеет вид Сд = С°д 4- Л0а0 + Л1О1 + Л2а2, где - затравочный гравитационный лагранжиан (2.70), причем а0 ~ 1, а\ ~ Д, а2 — К2- Коэффициенты Л определяют ренормировку космологической, гравитационной постоянной и коэффициентов при квадратичных по кривизне инвариантов. В результате квантовых флуктуаций возникает эйнштейновская гравитация, и на расстояниях, больших, чем планковский масштаб, гравитационная физика будет хорошо описываться теорией Эйнштейна-Картана.

•

Значения констант связи индуцированного лагранжиана, в том числе гравитационной константы Gind, космологической постоянной и константы рш также оказываются вычисляемыми и определяются затравочными параметрами исходного гравитационного лагранжиана, причем существенным образом теми параметрами, которые определяют вклад инвариантов тензора кручения в исходное действие. Проведен анализ физических результатов.

•

На основе тензорного пакета, разработанного на кафедре теоретической физики Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова, написана процедура для компьютерного вычисления однопетлевых расходимостей недиагонального оператора специального вида при помощи найденных общих формул.

Работа была выполнена на кафедре общей физики для естественных факультетов Московского педагогического государственного университета.

Я глубоко признателен моему научному руководителю Фролову Борису Николаевичу за постоянное внимание и помощь при выполнении данной работы, а также сотрудников кафедры теоретической физики, Пронина П.И. и Степаньянца К.В., за предоставленную техническую поддержку.

1. G. t'Hooft and M. Veltman, One-loop divergencies in the theory of gravitation, Ann. 1.st. Henri Poincaré 20, 69-94, 1974

2. R. E. Kallosh, О. V. Tarasov and I. V. Tyutin, One-loop finiteness of quantum gravity off mass shell, Nucl. Phys. B137, 145-163, 1978

3. D. M. Capper and J. J. Dulwich, On the one-loop finiteness of quantum gravity off mass-shell, Nucl. Phys. B221, 349-356, 1983

4. S. M. Christensen and M. J. Duff, Quantisation of Gravity with a cosmological constant, Nucl. Phys. B17QFS1], 480-506, 1980.

5. Б. JI. Воронов, И. В. Тютин, К перенормировке эйнштейновской гравитации, ЯФ, тЗЗ, 1710-1722, 1981.

6. M. Н. Goroff and A. Sagnotti, The ultraviolet Behavior of Einstein Gravity, Nucl. Phys. B266, 709-736, 1986

7. A. E. M. van de Ven, Two-loop quantum gravity, Nucl. Phys. B378, 309-366, 1992

8. S. Deser and P. van Nieuwenhuizen, One-loop divergences of quantized Einstein-Maxwell fields, Phys. Rev. D10, 401-410, 1974

9. P. van Nieuwenhuizen, On the Renormalization of Quantum Gravitation Without Matter, Ann. of Phys. 104, 197-217, 1977.

10. E. Sezgin and P. van Niuwenhuizen, Renormaizability properties of antisymmetric tensor fields coupled to gravity, Phys. Rev. D22, 301307, 1980

11. S. Deser and P. van Nieuwenhuizen, Nonrenormalizability of the quantized Dirac-Einstein system, Phys. Rev. D10, 411-420, 1974.

12. D. M. Capper, G. Leibbrandt, and M. Ramon Medrano, Calculation of the Graviton Self-Energy Using Dimensional Regularization, Phys. Rev. D8, 4320-4331, 1973.

13. D. M. Capper and M. Ramon Medrano, Gravitational Slavnov-Ward identities, Phys. Rev. D9, 1641-1647, 1974

14. D. M. Capper, M. J. Duff and M. Ramon Medrano, Photon corrections to the graviton propagator, Phys. Rev. D10, 461-467, 1974

15. D. M. Capper, A general gauge graviton loop calculation, J. Phys. A: Mat. Gen., 13, 199-213, 1980.

16. K. S. Stelle, Renormalization of higher-derivative quantum gravity, Phys. Rev. D16, 953-969, 1977

17. A. Salam and J. Strathdee, Remarks on high-energy stability and renormalizability of gravity theory, Phys. Rev. D18, 4480-4485, 1978

18. J. Julve and M. Tonin, Quantum Gravity with Higher Derivative Terms, Nuovo Cim. B46, 137-152, 1978.

19. E. S. Fradkin and A. A. Tseytlin, Renormalizable asymptotically free quantum theory of gravity, Nucl. Phys. B201, 469-491, 1982.

20. N. H. Barth and S. M. Christensen, Quantizing fourth-order gravity theories: The functional integral, Phys. Rev. D28, 1876-1893, 1983

21. Б. Л. Воронов, И. В. Тютин, О перенормировке Я3-гравитации, ЯФ, т.39, 998-1010, 1984.

22. G. Avramidi and А. О. Barvinsky, Asymptotic freedom in higherderivative quantum gravity, Phys. Lett. B159, 269-274, 1985

23. L. Buchbinder, О. К. Kalashnikov, I. L. Shapiro, V. B. Vologodsky and Yu. Yu. Wolfengaut, The stability of asymptotic freedom in grand unified models coupled to #2-gravity, Phys. Lett. B216, 127-132, 1989

24. I. Antoniadis and E. T. Tomboulis, Gauge invariance and unitary in higher-derivative quantum gravity, Phys. Rev. D33, 2756-2779, 1986.

25. D. A. Johnston, Sedentary ghost poles in higher derivative gravity, Nucl. Phys. B297, 721-732, 1988.

26. D. Z. Ereedman, P. van Nieuwenhuizen and S. Ferrara, Progress toward a theory of supergravity, Phys.Rev.D 13, 3214, 1976

27. S. Deser and B. Zumino, Consistent supergravity, Phys. Lett. B02, 335, 1976

28. P. van Nieuwenhuizen and J. A. M. Vermaseren, One-loop divergences in quantum theory of supergravity, Phys. Lett. B65, 263, 1976

29. M. T. Grisaru, P. van Nieuwenhuizen and J. A. M. Vermaseren, One-loop renormalizability of pure supergravity and of Maxwell-Einstein theory in extended supergravity, Phys. Rev. Lett 37, 1662, 1976

30. M. Grisaru, Two-loop renormalizability of supergravity, Phys. Lett. B66, 75, 1977

31. P. Каллош, Структура расходимостей в супергравитации, Письма в ЖЭТФ, 29, 493, 1979

32. Р. van Nieuwenhuizen, Supergravity, Phys. Rep. 88, 189, 1981

33. E. S. Fradkin and A. A. Tseytlin, Conformal supergravity Phys. Rep. 119, 233, 1985

34. E. Cremmer and B. Julia, The SO(8) supergravity, Nucl. Phys. В159, 141, 1979

35. В. De Wit and M. Nicolai, Extended supergravity with local SU(5) invariance, Nucl. Phys. B188, 98, 1981; n — 8 supergravity with local 517(8) <g> su(s) invariance, ibid 208, 323, 1982

36. S. Deser and J. H. Kay, Three-loop counterterms for extended super-gravities, Phys. Lett. B76, 400, 1978

37. R. Kallosh, Counterterms in extended supergravities, Phys. Lett. B99, 122, 1981

38. M. B. Green, J. H. Schwarz and E. Witten, Superstring Theory, Cambridge University Press, 1987

39. D. Ivanenko and G. Sardanashvily, The gauge treatment of gravity, Phys. Rep. 94, 1, 1983

40. Д. Д. Иваненко, П. И. Пронин, Г. А. Сарданашвили, Калибровочная теория гравитации, М., Изд-во МГУ, 1985

41. В. Н. Пономарев, А. О. Барвинский, Ю. Н. Обухов, Геометроди-намические методы и калибровочный подход к теории гравитационных взаимодействий, М., Энергоатомиздат, 1985

42. E. W. Mielke Geometrodynainics of Gauge Fields, Akademie-Verlag, Berlin, 1987

43. F. W. Hehl, P. Von Der Heyde, G. D. Kerlick and J. M. Nester, General Relativity with spin and torsion: foundations and prospects, Rev. Mod. Phys. 48, 393-416, 1978

44. K. Hayashi and T. Shirafyji, Gravity from Poincare Gauge Theory of the Fundamental Particles.I, Prog. Theor. Phys.64, 866-882, 1980; II, ibid, 883-896; III, ibid, 1435-1452; IV, ibid, 2222-2241; V, ibid 65, 525-532, 1981.

45. F. W. Hehl, On the kinematics of the torsion of spacetime, Found. Phys. 15, 451, 1985

46. D. Neville, Gravity Lagrangian with ghost free curvature-squared terms, Phys. Rev. D18, 3535-3543, 1978; Gravity Lagrangian with propagating torsion, ibid 21, 867-873, 1980; Spin-2 propagating torsion, ibid 23, 1244-1249, 1981.

47. E. Sezgin and P. van Nieuwenhuizen, New ghost-free gravity La-grangians with propagating torsion, Phys. Rev. D21, 3269-3280,1980.

48. E. Sezgin, Class of ghost-free gravity lagrangians with massive or massless propagating torsion, Phys. Rev. D24, 1677-1680, 1981.

49. C. Rovelli, Ghosts in Gravity Theories with a Scalar Field, Nuv. Cim. B78, 167-177, 1983.

50. R. Kuhfuss and J. Nitsh, Propagating Modes in Gauge Field Theory of Gravity, Gen. Rel. Grav.18, 1207-1227, 1986.

51. V. N. Ponomarev and A. A. Tseytlin, Microscopic gravity as a Yang-Mills field, Phys. Lett. A70, 164-166, 1979.

52. L. Smolin, Towards a theory of spacetime structure at very short distances, Nucl. Phys. B160, 253-268, 1979.

53. M. Martellmi, Renormalizability of Quantum Gravity with cosmolog-ical Constant, Phys. Rev. Lett.51, 152-155, 1983; Quantum gravity in the Eddington purely affine picture, Phys. Rev. D29, 2746-2755, 1984.

54. L. Smolin, High-energy behavior and second class constraints in quantum gravity, Nucl. Phys. B247, 511-532, 1984.

55. J. Dell, J. L. de Lyra and L. Smolin, Quantization of gauge theory with independent metric and connection fields, Phys. Rev. D34, 30123024, 1986.

56. Y. Ne'eman and Dj. Sijacki, Gravity from symmetry breakdown of a gauge affine theory, Phys. Lett. B200, 489-494, 1988

57. C. Y. Lee and Y. Ne'eman, BRST transformation for an affine-gauge model of gravity with local GL(4,R) symmetry, Phys. Lett. B233, 286-290, 1989; Renormalization of gauge-affine gravity, ibid 242, 5963, 1990.

58. C. Y. Lee, Renormalization of quantum gravity with local GL(4,R) symmetry, Class. Quant. Grav. 9, 2001, 1992

59. F. W. Hehl, J. D. McCrea, E. W. Mielke and Y. Ne'eman, Progress in metric aifine gauge theories of graviry with local scale invariance, Found. Phys. 19, 1075-1100, 1989

60. F. W. Hehl, J. D. McCrea, E. W. Mielke and Y. Neeman, Metric affine gauge theory of gravity: field equations, Noether identities, world spinors and breaking of dilaton invariance, Phys.Rep. 258,1-171,1995

61. Zee A. //Ann. Phys. 1952. V. 151. P. 431.

62. Floreani R. and Percacci R. //Phys. Rev. D. 1995. V. 52. P. 896.

63. Kalmykov M. Yu., Pronin P.I. and Stepanyantz К. V. Projective invariance and one-loop effective action in affine-metric gravity interacting with scalar field// Class. Quantum Grav. 1994. - 11. - c. 2645 -2652.

64. A. O. Barvinsky and G. A. Vilkovisky, The generalized Schiwger-DeWitt technique in gauge theories and guantum gravity, Phys .Rep. 119, 1-74, 1985.

65. V. P. Gusynin, Seeley-Gilkey coefficients for fourth-order operators on a riemannian manifold, Nucl. Phys. B333, 296-316, 1990.

66. Obukhov Yu.M. Spectral geometry of the Riemann-Cartan space-time// Nucl.Phys. В - 1983. - 212. с. 237 - 254. Cognola G. and Zerbini S. Seely-DeWitt coefficients in a Rieman-Cartan manifold// - Phys.Lett. В - 1988. - 214. - с. 70 - 74.

67. Barth N.H. Heat kernel expansion coefficient: I. An extension// -J .Phys. A: Math.Gen. 1987. - 20. - c. 857 - 874. Barth N.H. Heatkernel expansion coefficient: II. Higher order operators// J.Phys.A: Math.Gen. - 1987. - 20. - c. 875 - 888.

68. Becchi C., Rouet A. and Stora R. //Phys. Lett. B. 1983. V. 52. P. 344; Тютин И. В. Препринт ФИАН. N 39. М.: 1975.

69. Pronin P.I. and Stepanyantz K.V. Algorithms for the one-loop divergences calculations// Grav. and Cosmology 1996. - 2. - c. 38 -44.

70. Pronin P.I. and Stepanyantz К. V. "New Tensor Package for REDUCE System"// In: "New Computing Technick in Physics Research. IV.", ed.: B.Denby and D.Perred-Gallix, World Scientific, Singapure, -1995. - c. 187 - 192.

71. E. A. Lord, Gauge theory of a group diffeomorphism, the conformal and de Sitter groups, J. Math. Phys. 27, 3051 3055, 1987; A unified approach to the gauging of space - time and internal symmetries, Gen. Rel. Grav. 19, 983 - 1002, 1987

72. R. Utiyama, Invariant theoretical interpretation of interaction, Phys. Rev. 101, 1597-1607, 1956;

73. Y. M. Cho, Gauge theory of Poincare symmetry, Phys. Rev. D14, 3335-3340, 1976; Gauge theory, gravitation and symmetry, ibid, 33413344; Einstein Lagrangian as the translational Yang-Mills Lagrangian, ibid, 2521 2525

74. K. Hayashi, Restrictions on gauge theory of gravitation, Phys. Lett. B65, 437 440, 1976; The gauge theory of the translation group and underlying geometry, Phys. Lett. B69, 441-444, 1977;

75. J. Nitch and F. W. Hehl, Translational gauge theory of gravity: Post- Newtonian approximation and spin precession, Phys. Lett. B90, 98- 102, 1980

76. A. M. Бродский, Д. Д. Иваненко, Г. А. Соколик, Новая трактовка гравитационного поля, ЖЭТФ, т.41, 1307-1309, 1962

77. F. G. Bosombrio, A comparative reviev of certain gauge theories of the gravitational field, Gen. Rel. Grav. 12, 109 136, 1980

78. Jr. E. E. Fairchild, Gauge theory of gravitation, Phys. Rev. D14, 384 391; (E) 3439, 1976; Yang - Mills formulation of gravitational dynamics, ibid 16 (1977), 2438 - 2447

79. M. Carmeli and S. Malin, Reformulation of general relativity as a gauge theory, Ann. Phys. 103, 208 232, 1977

80. M. Camenzind, On the Yang Mills structure of gravitation: a new issue of the final state, Gen. Rel. Grav. 8,. 103 - 108, 1977

81. C. N. Yang, Integral formalism for gauge fields, Phys. Rev. Lett. 33, 445 447, 1974

82. F. Mansouri and L. N. Cheng, Gravitation as a gauge theory, Phys. Rev. D13, 3192 3200, 1976

83. A. Trautman, A classification of space time structure, Repts. Math. Phys. 10, 297 - 310, 1976

84. Dj. Sijacki, Quark confinement and the short-range component of general affine gauge gravity, Phys. Lett. B109, 435, 1982

85. T. W. B. Kibble, Lorentz invariance and the gravitational field, J. Math. Phys. 2, 212-221, 1961

86. Y. M. Cho and P. S. Jang, Unified geometry of internal space with space-time, Phys. Rev. D12, 3789-3792, 1975

87. P. von der Heyde, The field equations of the Poincare gauge theory of gravitation, Phys. Lett. A58, 141 143, 1976

88. F. W. Hehl, G. D. Kerlick and P. von der Heyde, On a new metric affine theory of gravitations, Phys. Lett. B63, 446-448, 1976.

89. E. A. Lord, The metric-affine gravitational theory as the gauge theory of the affine group, Phys. Lett. A65, 1-4, 1978.

90. Y. Ne'eman and Dj. Sijacki, Unified Affine Gauge Theory Of Gravity and Strong Interactions with Finite and Infinite GL(4,R) Spinor Field, Ann. of Phys. 120, 292-315, 1979.

91. F. W. Hehl and Dj. Sijacki, Towards a unified gauge theory of gravitational and strong interactions, Gen. Rel. Grav. 12, 83 90, 1980

92. A. Bregman, Weyl transformations and Poincare gauge invariance, Prog. Theor. Phys. 49, 667 692, 1973

93. R. Utiyama, On Weyl's gauge field, Prog. Theor. Phys. 53, 565-574, 1975

94. M. Kasuya, On the gauge theory in the Einstein Cartan - Weyl space - time, Nuovo Cim. B28, 127 - 137, 1975

95. J. P. Hamad and R. B. Pettitt, Gauge theories of space-time symmetries, J. Math. Phys. 17, 1827 1837, 1976

96. M. Kaku, P. K. Townsend and P. van Niuwenhuizen, Gauge theory of conformai and superconformai group, Phys. Lett. B69, 304 308, 1977

97. F. Mansouri, Conformai gravity as a gauge theory, Phys. Rev. Lett. 42, 1021 1024, 1979

98. E. A. Ivaiiov and J. Niederle, Gauge formulation of gravitational theories: I. The Poincaré, de Sitter and conformai cases, Phys. Rev. D25, 976 987, 1981; II. The general conformai case, ibid, 988 - 994

99. H. T. Nitch, A spontaneously broken conformai gauge theoru of gravitation, Phys. Lett. A88, 388 390, 1982

100. M. Carmeli, Integral formalism of gauge group and general relativity, Phys. Rev. Lett. 36, 59-61, 1974

101. M. Carmeli and M. Kaye, Gauge group theory of combined gravitational and electromagnetic interaction, Lett. Nuovo. Cimm. 17, 275278, 1976

102. W. Drechsler, Poincaré gauge field theory and gravitation, Ann. Inst. H. Poincaré, A37, 155 184, 1982

103. H. Saitoh, Gravity as a gauge theory with spontaneously broken internal super-Poincaré symmetry, Prog. Theor. Phys. 83, 1003-1024, 1990

104. S. W. MacDowell and F. Mansouri, Unified geometric theory of gravity and supergravity, Phys. Rev. Lett. 38, 739 742, 1977

105. H. Yoshida and T. Kawai, De Sitter gauge theory of gravitation, Prog. Theor. Phys. 62, 266 277, 1979; ibid 84, 1596 - 1607, 1980

106. A. A. Tseytlin, Poincare and the de Sitter gauge theories of gravity with propagating torsion, Phys. Rev. D26, 3327-3341, 1982.

107. T. Fukujama, Gauge theory of gravitation and nodal singularity, Nuovo Cim. B68, 287 301, 1982

108. Adler S. L. Einstein gravity as a symmetry-breaking effect in quantum field theory //Rev. Mod. Phys.-1982.-V. 54.-P. 729-766.

109. Hehl F. W., Nitsch J., von der Heyde P. //In: "General Relativity and Gravitation" (ed. A. Hehld). New York: Plenum Press, 1980. V. 1. P. 329.

110. Hayashi K. Gauge Theories of Massive and Massless Tensor Fields //Progr. Theor. Phys.-1968.-V. 39.-P. 494-515.

111. Yan M. L. The renormalizability of the general gravity theory with torsion and the spontaneous breaking of Lorentz group //Commun. Theor. Phys. (Beijing, China) -1983-V. 2.-P. 1281-1288.

112. Туляк В. H. Квадратичные лагранжианы в пространстве с кручением //Изв. высш. учебн. завед. Физика.-1977-N 12.-С. 7-10.

113. Калмыков М. Ю. Квантование аффинно-метрической теории гравитации //Дис. канд. физ.-мат. наук.-М.: МГУ, 1995.

114. Бабурова О. В., Левина С. Б., Фролов Б. Н. О тождестве Баха-Ланцошав пространстве Вейля-Картана //В сб.: Теоретические и экспериментальные проблемы гравитации /Тезисы докладов 9

115. Babourova О. V. and Frolov B. N. On a harmonic property of the Einstein manifold curvature //LANL eprint archive, qr-qc/9503045-Los Alamos, 1995.

116. Фролов В. H. Проблемы теории гравитации с квадратичными лагранжианами в пространствах с кручением и неметричностью //Дис. доктора физ.-мат. наук.-М.: МГУ, 1999.

117. Szczyrba V. Stephenson-Kilmister-Yang theory of gravity and its dynamics //Phys. Rev. D.-1987.-V. 36.-P. 351-374.

118. Бессе А. Многообразия Эйнштейна: В 2-х т.-М.: Мир, 1990.

119. Норден А. П. Пространства аффинной связности.-М.: Наука, 1976.

120. Gambini R., Herrera L. Einstein-Cartan theory in spin coefficient formalism //J. Math. Phys.-1980.-V. 21.-P. 1449-1454.

121. Smalley L. L. Brans-Dicke-type models with nonmetricity //Phys. Rev. D.-1986. -V. 33.-P. 3590-3593.

122. Coleman S., Weinberg E. Radiative corrections as the origin of spontaneous symmetry breaking //Phys. Rev. D.-1973.-V. 7.-P. 1888-.

123. Фролов Б. H. Конформная квадратичная калибровочная теория гравитационного поля //В сб.: "Гравитация и электромагнетизм".-Минск: Изд-во "Университетское", 1988.-С. 246-252.

124. Фролов Б. Н. Нейнштейновское решение квадратичной теории гравитации и проблема конфайнмента //В сб. ?].-С. 82.

125. Minakshisundaram S. and Pleijel A. Some Properties of the Eigen-functions of the Laplace-Operator on Riemannian Manifolds// Canad.J.Math. 1949. - 1. - c. 242 - 256.

126. Minakshisundaram S. Eigenfunctions on Riemannian Manifolds// -J.Ind.Math.Soc. 1953. - 17. - c. 159 - 165.

127. Seeley R. T. Complex powers of an elliptic operator, in Singular Integrals// In: Proc. Symp. Pure Math. 1967. - Vol. 10. - A.M.S., Providence, c. 288 - 307.

128. Gilkey P.В. The spectral geometry of a riemannian manifold// J. Differ. Geomet. - 1975. - 10. - c. 601 - 618.

129. Schwinger J.S. On gauge invariance and vacuum polarization// -Phys. Rev. 1951. - 82. c. 664 - 679.

130. ДеВитт B.C. Динамическая теория групп и полей//, М.: Наука, 1987. - 287 с.

131. Ichinose S. and Omote М. Renormalization using the background-field method// Nucl.Phys. В 1982. - 203. - с. 221 - 267.

132. Jackiw R. Functional evaluation of the effective potential// Phys.Rev. D 1974. - 9. - c. 1686 - 1701.

133. Faddev L.D., Popov V.N. Feyman diagrams for the Yang-Mills field// Phys.Lett. В 1967. - 25. - с. 29 - 30.

134. Славное А.А., Фаддеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей// М.: Наука, 1988. 271 с.

135. Kallosh R.E., Tarasov O.V. and Tyutin I.V. One-loop fmiteness of quantum gravity off mass shell// Nucl.Phys. В 1978. - 137. - с. 145 -163.

136. Vilkovisky G.A. The unique effective action in quantum field theory// Nucl. Phys. В 1984. - 234. - с. 125 - 137.

137. Fradkin E.S. On the new definition of off-shell effective action// Nucl. Phys. В 1984. - 234. - с. 509 - 523.

138. Романов B.H. и Шварц А.С. Аномалии и эллиптические операторы// ТМФ, т.- 1979. 41. - с. 190 - 204.108. t'Hooft G. and Veltman М. Regularization and renormalization of gauge fields// Nucl. Phys. В 1972. - 44. - с. 189 - 213.

139. Bolliani C.G. and Giambiagi J.J. Dimensional renormalization: the number of dimensions as a regularizing parameter// Nuovo Cim. В -1972. 12. - с. 20 - 26.

140. Bolliani C.G. and Giambiagi J.J. Lowest order "divergent" graphs in i/ dimensional space// Phys. Lett. В - 1972. - 40. - с. 566 - 568.

141. Asmore J. A method of gauge invariant regularization// Lett. Nuovo. Cim. - 1972. - 4. - c. 289 - 290.

142. Cicuta G.M. and Montaldi E. Analytic renormalization via continuous space dimension// Lett. Nuv. Cim. 1972. - 4. - c. 329 - 332.

143. Долгов А. Д., Зельдович Я. В., Сажин М. В. Космология ранней Вселенной. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988.

144. Weinberg S. //Rev. Mod. Phys. 1989. V. 61. P. 1.

145. Gladchenko M. S., Zhytnikov V. V. //Phys. Rev. D. 1984. V. 50. P. 5060.

146. Ilyin V.A., Kryukov A.P. ATENSOR REDUCE programm for tensor simplifications// M.V.Lomonosov Moskow State University & V.D.Skobeltsyn Institute of Nuclear Physics, Preprint-94-42/364.

147. Rodionov A.Ya., Taranov A.Yu. Combinatorial aspects of simplifications of algebraic expressions// In: Lecture Notes in Сотр. Sci. 378, Proceedings of EUROLOCAL'87. 1989. - c. 192 - 201.

148. Hearn A. REDUCE USER'S MANUAL, version 3.3// The Rand publication CP78 (Rev. 7.87), 1987.

149. Еднерал В.Ф., Крюков А.П., Родионов А.Я., Таранов А.Ю. Язык аналитических вычислений REDUCE и его приложения в физике// М.: Изд. МГУ, 1989. - 176 с.

150. Крюков Л.Я., Родионов А.Я., Таранов А.Ю. Программирование на языке R-LISP// М.: Радио и Связь, 1990. - 192 с.

151. Frolov D. N. and Sountchaline А. М. Induced gravity in Riemann-Cartan Space-time //В сб.:: Second Meeting on constrained dynamics and quantum gravity Santa Margherita, Ligure, Italy, 17-21 September, 1995.

152. Сунчалин A. M., Фролов Б. H. Индуцированная гравитация в пространстве Римана-Картана //В сб.: Научные труды Моск. Педагог. Гос. Унив. им. В. И. Ленина. /Сер.: Ест. науки. М.: "Прометей", 1996.-С. 132-134.

153. Сунчалин А. М., Фролов Б. Я. Индуцированная гравитация в пространстве римана-картана //В сб.: Научные труды Моск. Педагог. Гос. Унив. им. В. И. Ленина. /Сер.: Ест. науки. М.: "Прометей", 1997.-С. 148-155.

154. B.N. Frolov and A.M. Sountchaline BRST-transforation and induced gravity in a Riemann-Cartan space. //In: 15 Intern, conf. on Gen. Relat. and Grav., Abstacts, Pune, 1997, p. 264

155. Сунчалин A.M. и Фролов Б.Н. Индуцированная гравитация в пространстве Римана-Картана //Известия высш. учебн. завед. Физика-1998.-N 5.-С. 126-128.

156. Frolov В. N. and Sountchaline А. М. BRST-transforation and induced gravity in a Riemann-Cartan space //Int. J. Theor. Phys. -2001.-in preprint