Инфракрасные оценки в теории фазовых переходов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

f. s %

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ РОССИЙСКОЙ АКАДИШ НАУК лм. В.А. СГЕКЛОВА

На правах рукописи УДК 538.9

ГОРШШ ВИДЕЛА Марко Эктор

ИНФРАКРАСНЫЕ ОЦЕНКИ В ТЕОРИИ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДСЗ

01.04.02 ~ Теооетическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1992

Работа выполнена в Математическом институте км. Б. А. Стеклова.

Научный руководитель - доктор-физико-математических- наук Д.П.Санкович

Официальные оппоненты - доктор физико-математических игу!

В.Б.Прлезкев

- кандидат физико-математических наук

И.К.Кудрявцев

Ведущее научно-исследовательское учреждение: Флзическяй Факультет М1У им. М.Б.Ломоносова.

Защита состоится НОЗДРЯ 1992 г. в п/^°час.

на заседания Специаллзвровавного совета Д 002.38.01 при Математическом институте им. В.А.Стеклова РАН по адресу : 117966,1X311-1,Москва,ул. Вазащ>ва,д.42 ,ШРАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математячс кого института им. В.А., Стеклова.

1532 г.

А.К.Гущин

Автореферат разослан

Ученый секретарь совета, доктор физико-математических наук

РО С СК. ■

¡•осы»; - - ---'¡АЯ

БЙЬЛииТиКА

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы.Одной из фундаментальных проблем ювесиой статистической механика является задача строгого шательства существования фазовых переходов б дискретных ¡льных системах классических или квантовых взаимодействув-частиц. В последнее впаля сохраняется интерес к дсследо-ю решетчатых взинговскях систем спина I. Критическое позе-« таких моделей часто исследуется хчетодамя реяормгруплы, ;него поля я новыми вариантам методов Монте-Карло.

В таких системах ,как правило.фазовые переходы первого связаны с орзенгационнымя флуктуациямя.а фазовые перехо-торого рода соответствуют флуктуация«' плотности.Мы огра-ваемся моделями,являющимися январиантными по отношение к ретной группа симметрия. Указанные обстоятельства позво-заключить,что метод инфракрасных оценок,рассматриваемый ботах ^является подходящим методом исследования этих лей при нулевых значениях параметра намагниченности, то тогда,когда даскрегнач симметрия не нарушена.Согласно ии инфракрасных оценок возникновение дальнего порядка в ом случае связано с появлением множественности фаз в сис-

Одной из самых о<5ишх моделей такого тапа является модель ( В1с/»гг~ Етжиу-О-н'^Мв ), которая была введена в сабо-модель сверхтекучести и фазового раздела в смесях ч.Модель ЫЩ является удобной моделью такяе и в других аях: смесей нздкосгей,с?^есзй яидкостей-кристаллов.сгстем кидкость-твёрдое тело,мякроэмульсий,полупроводящих сплавов вктропроводящих моделей. Для этой модели разными авторами зано существование большого числа различных типов фазовых ходов,зависящих от значений параметров взаимодействия га-гониана системы. По этим причинам строгое исследование та-системы в рамках метода инфракрасных оценок представляет ной интерес.

Фундаментальное значение для статистической механики имеет проблема строгого доказательства существования бозе-коаденсацив в системах неидеальных бозе-газов.

Конденсация б идеальном газе,открытая Эйнштейном в 1925 году,хорошо изучена во всех её аспектах. В 1947 году Н.Боголюбов рассмотрел свойства нелдеального бозе-газа око дуля температур с помощью специального приближенного метод вторичного квантования в предположении наличия коиенсата Согласно" гипотезе Лондона (195^) силы отталкивания благо-приятсвуют образованию конденсата, Интересно выяснить влия ние взаимодействия на возникновение в неидеальвой бозевско системе конденсации Бозе-Эйнаггейна и попытаться получить строгие оценки для температуры фазового перехода.В последн время з этом направлении были получены новые результаты,активизировавшие исследования в этой области ' '.

Цель -работы. Основная цель диссертации заключается в исследования некоторых классических спиновых.и квантовых р< ягетчатых систем методом инфракрасных оценок,то есть целью ставится доказательство возникновения дальнего порядка и с: дествования бозе-конденсавда для векоторы.: изинговскнх в 6\ зевских систем и получение оценок для корреляционных функш ассоциированных с данными системами.

Научная новизна г практическая ценность.&дассертацш исследован класс модельных классических в квантовых рекетчг тых систем,обладаниях так называемым свойством отрггетельвс положительности. Для модели .представляющей со-

бой одну из самых общих моделей взинговского.тала сняла ] доказано в рамках метода инфракрасных оценок возникновение дальнего порядка. Новым вкладом в строгую теории фазовых ее реходов является распространение методов инфракрасная оцеас на изинговские модели,гамильтонианы которых содержат поляне киальные взаимодействия по изинговским переменяна.В случае таких систем,представляющих собой смеси различных йаз.зезнг кает необходимость введения дополнительных параметров г.орях ка.когорые могут быть исследованы с поыощью неравенства Бог любова для термодинамических потенциалов.Этот факт поззоляе

)лучить необходимую оценку снизу для квадрупольного момента, >гда это возможно,и,следовательно,применять метод янфракрас-¡х оценок.

В диссертация обобщается модель ангармонических осцилля-|ров работы ' /добавление^ к гамильтониану система слагаемого, >едставляющего собой притяжение бозонов из соседних узлов ¡шёткя.Доказано,что взаимодействие и статистическая сумма та-гй системы обладает свойствами отражательной положительности гауссовой доминантности,соответственно.Из применения мето-1В инфракрасных оценок вытекает теорема о появлении бозе-коя-¡нсацаи и уравнение,позволяющее определить критическую темпе-1гуру фазового перехода. Наконец,с помощью инфракрасных оце-|К и неравенства Боголюбова для корреляционных функций в ди-евтацяи получены новые оценка сверху я снизу для так яазы-[емого структурного фактора.

Защищаемые положения:

1. Модельные классические репетчатне спиновые системы па со взаямодейевиями.инвариантными по отношению к скретной -симметрии и обладающими свойством отраяатель-й положительности могут быть исследованы с помощью метода фракрасяых оцеяок.

2. В модели при определённых условиях на параметры аимодействая доказано существование дальнего порядка при статочно низких температурах.

3. Получена ^ермула для определения критической темпера-ры в модели ,язлявдейся яяасней оценкой для точной прической температуры системы.

4. Гамильтониан системы ангармонических осцилляторов, . ответствутадай гамильтониану система бозе-газа с одно.узель-м отталкиванием и притяжением бозонов из соседних .узлов, ладает свойством отражательной положительности,что влечёт поляимость условия гауссовой доминантности.

5. Для решетчатой системы бозе-газа с притяжением .метод фракрасяых оценок позволяет доказать существование бозе-кон-нсата и определить критическую температуру.

6. Метод инфракрасных оцеяок л неравенство Боголюбова я корреляционных функций позволяют получить оценки сверху снизу для структурного фактора в системе бозе-газа с притя-

гена ем.

Апробация работы. Основные результаты диссертации до -кладовались на v Международном симпозиуме яо избранным nj блемам статистической механики (Дубна,1989).Всесоюзной rai ференции "Современные проблемы статистической фазикв"(Хары 1991).Международной конференция по статистаке в теории вероятностей EIPES х( Сантьяго, 1991) ,18 Международной конфсре! лив по тешодвнамнке в статистической механике (Берлин,I99Í на семинаре отдела математической физики Чилийского католического университета PüCCb (Сантьяго,IS9I) н на научном с минаое Ш им. Стеклова РАН.

Дубли каш в. По результатам диссертации опубликовано дв г печатные работы.

Объём работы.Дассерташя состой! из введения,трёх rviai я содержит 72 страницы машинописного текста :бнблвогра$ичес кий список литературы - 42 наименования.

СОДЕР2АШЕ РАБОТЫ

Во введении диссертаций указываются основные работы,oí носящиеся к формулировке в последовательному- врвмевеняю мет дов инфракрасных оценок в исследовании классических и квант вых репетчаткх систем. В этом контексте значительную роль играет ряд работ Фрёлиха в других .Последяшш достижениями в этом напразлешл являются работы Боголюбова .¡ил.) к Санковича,относящиеся к исследов&жю некоторых кеэнтовых се теы .особенно к изучению систем ангармонических осцвлл торов m ^ - «еоной г-иперкубзческой решётке.

Первая глаза является вводной. В ней дашея определена основных покятяй,связанных с классическими н кзаытоваки peía чатнмз системам. Понятая алгебры. найлюдаеадыо^сосгояЕшй сис ка,сход2ыостк термодявамачеехах функций, зкетрелалъпнх соетс ний обсугяахлся в параграфах 1-4.

В §5 формулируется основная теореаа об ькот

мальности трансляционно-январиантных равновесных состояний . Согласно этой теореме,состояние

рт К !т р>'* = <->

(-ЛcZ » 5 -взаимодействие системы, А-обратная температура) .принадлежащее множеству ^ ( -множество всех состояний,которые удовлетворяют неравенству Гиббса),на2/ (У,-алгебра наблюдаемых системы) не является экстремальным тогда и только тогда.когда

цля некоторого оператора ¡<еЦ ,где ("^¿-автоморфизм

грансляцпи). Зто означает,что состояние <~У монет быть представлено в виде выпуклой суммы чистых состояний,принадлежащих Д^® ,то есть

?деосА<:-1 и _/3 / /г. .Будем говорить,что е системе

¡о взаимодействием 3? имеет место фазовый _переход,если чяс-ю экстремальных равновесных состояний в Д^ не является юстоянной функцией обратной температуры (5 ,то есть задача заключается в том,чтобы найти для которой р ' язляется смеланным состоянием".

Б этом контексте фундаментальное значение играет стра-•егия Фрёлнха ^^, основанная на условии (I) появления мяо -:ественностя фаз при достаточно высоких £ .

Стратегия Фрёляха,рассматриваемая в §5.состоит из трёх

гагов:

1. Выбор подходящей наблюдаемой

А в Ч .

2. Нахождение оценки сверху для следующего выражения

<Х*а> - - ¿А*А>Т (2)

Если мы обозначаем через с^боТ -фурье-образ функции, .являющийся положительной мерой на множестве "5> г Ц.^|>то лаД° яайта такое число С{ ,что

<А*АУ - ( 4 С,

(3)

-'е.

3. Определение оценки снизу ^ для 1<60|2«

Таким образом,если С^Сг >то

С другой стороны,очевидно,состояние у является трансляционно-инвараантным экстремальным ..состоянием тогда и только тогда,когда

1гт ±. т <А!ал- 1 <Л>Г (5)

Б этом подходе,значительную роль для. получения оценки (3) играет так называемой свойство .гауссовой доминантности.

В качестве примера этого свойства в §6 рассмотрена система, состоящая из таких случайных переменных-(ь ^.^,что переменная бк находится в узле некоторого параллелепипеда

Лс •

«Гамильтониан Яд. системы имеет вид £1 <е)

Мы обозначаем через ожидание по отаошеада к ме-

ре ,где , .

г е ниш

( - мера вз ¡1$} такая,что для всякого £9йстап-

тгльного числа й. . 2. - статистическая сумма с2с5с:;а).Тиг-да удовлетворяет неравенству

где 4<у -набор вюоизвояьшх. векторов £ Свойств» ¿7) называется гауссовой доминантностью .

Неравенство (7) иояет быть переписано сдадут^; обрз -

г см:

2 , ч (в)

где * Г .

д )е тгш

Наконец,во второй части первой главы формулируются те задачи.которые будут обсуждены подробным образом во второй и третьей главах.

Во второй главе диссертации исследована система ЪЕ<* , являющаяся одной из самых общих изянговсклх сисг ел спина Г . /

В §1 рассмотрены общие свойства гамильтониана системы, имеющего вид

( переменная,принимающая значения 0,1 дли -I ).

В §2 доказано.что гамильтонианы Л »Н^ -гамильтониан конечной системы,-Л<2.) данной системы принадлежат классу гамильтонианов,обладающих свойством отражательной поло -стельности,то есть с помощью подходящего разделения множества на две части-Х^. иД.. порождаются две подалгебры я алгебры наблюдаемых Ц^ ,такие,что существует морфязмб-гзЦц на И^ такой,что гамильтониан мозет быть представлен з виде

'де . Далее показано,что функционал на 11.

тнлеЧъё^-

Ь -обратная температура) удовлетворяет условию

(п)

В доказано,что свойства (10),(II) и неравенство шя-Шварца для интегралов приводят к неравенству

Z(UJ ¿7(0) , CI2)

. г т -РИМ**)

где /6*4,.)^ /Г в , J -набор

произвольных комплексных чисел ( ЯёО'

Неравенство (12) приводит к оценке для парного коррелятора (§4)

' ^ ■ 1131

где ре -4.* i-Atrдуальная решётка) , ^-фурь^-преобразование извнговской переменной ^системы и Ap^^O-tof^tf/J-

Б §6 с помощью неравенства Боголюбова для термодина -мических потенциалов получена оценка садзу для квадруполь -яого момента Лг/С2/'системы

см

<TS*>>, (14)

~ Cj+^v-

при условии(Ti-D^О,где 3* , £ , Р -параметры взаимодействия системы. Это позволяет доказать следущую теорему.

Теорема. Для системы .если размерность реиёт-

т и 0\?-р)£о .существует тако^ ^..что при C >pz

где ^ f

Для определённых значений параметров 3", К, TP намагниченность равна нулю, то есть дискретная -симметрия системы не нарушена. Б этом случае неравенство (15) является условием существования в системе дальнего доряцка.

Наконец показано,что результаты,которые получзны в данной работе соответствуют результатам, огносяшшся к так называемы.! сикметриям Гриффитса

Третья глава диссертации посвящена рассмотрении ва мерной целочисленной решётке бозонррй спстелы

ангармонических осцилляторов,заданной гамшгьтсш'Енэм

Переходя в (16) от бозевских операторов рождения и уничтожения А* к операторам импульса Р я координаты ^ , определяющимся соотношениями *

получим гамильтониан (§1)

(и)

с X.

где ^ ^¡Ь^/ФСШН^Р1

11 { ' * $ 1 Операторы я .действующие в пространстве

как операторы-/¿-и .подчиняются стандартным коммута-

ционным соотношениям

. Л >1

С /гл _

Оператор // действует в пространстве Ь(¡К^/),где гауссова мера на

Для конечной системы с периодическими граничными условиями, алгебра Их наблвдаемых имеет вид

(Л.С2У ),

где 2Сх -алгебра всех наблюдаемых,образованных рператорамя

'А •

л Разделяя гиперкуб -Л. на две частиЦЦ и ,мы определяем такое отображение & ,что

е^вг^-Я/8«®/«, ,

где V - отражение, определяющееся следуют« образом:

В §2 доказано,что функционал Тк удовлетворяет условию:

• Тг(АШ)}>0

для всякого оператора Далее из отражательной положительности взаимодействия системы и некоторых известных теорем вытекает следующее неравенст-

во

где

<Аеаъ,

Для Д еи

тУе

Б §3 доказано,что из предыдущих фактов следует свойство гауссовой доминантности для функционата

(20)

где

«и--ШНЖЛ-О-"*

Это приводит к получению оценки сверху для так называемой ^ двухточечной функции Дюамеля операторов р , <5 ,где ре Ъчп\ и <| -:фгрье-образ оператора ( §4 ). ' ?

? С другой стороны,трансляционная инвариантность системы относительно сдвигов на релётке л инвариантность гамиль-ТОНЙйЙЙ ¿( .по оуно'иеншо к преобразованиям калибровки вида —^приводят к правилам отбор,с помо-

а,

е г I Г

щыо которых, а также известного неравенства 5-олька-Бр.ука , получается оценка сверху для коррелятора ( -Фурье-

образ оператора С). Г Г

Наконец,в §5 доказано,что для модельной системы (16) ври^^ и условии

-Г

Х?*У )

^ иг

я для .где' Д: -единственное решение уравнения

С

-(

(21)

(22)

имеет место базе-ковденсашя.

В §6 методом инфракрасных оценок получена опенка сверху для структурного фактора £С)с)

П (23)

г где

3 §? в случае модели (16) рассмотрено неравенство Боголюбова, для корреляционных функций

1±. -Г-

В качестве оперг.тора п мы использоезлл олзратор , определяемый Формулой:

хде 'г - единк-нкй вектор. В этом случае в качестве £> ззяг оператор

Л ~ шТ ? 'Гк •

Б диссертация получена следующая оценка для структурного фактора />.4 ' / * 1

> /г1- ~

50л>- ЛлхзЫ______

к,у ■ ] V« -- с С - » -Ч I. УС+УЬг ) Ук+р

>1 т

- Л. К/ , 1 -кегогорчя 2<уякзг.я. параметров

Результата дяссертании опубликованы в работах:

1. Corgini,K.: long Range Order in the Eluœe-Kaery-Griffiths Model • Kod.Phys.Lett.3,Vol.5,N0-25,(1991) 1583-1590.

2. Bo£olubov,lJ.IbJr-,CorËini,n. ,Sankovich,D.P.:{fod.el of the lattice Boson C- as:j^-Coadensat ion • №od.Phys.Iett.B,Vol .6,

Ho.4 (1992) 215-220.

Литература

1. Fröhlich,J-,Simon,B*;Spencer,T.: Infrared Bounds,Phase Transitions end Continuous Simnetry Breaking. Conmun.Math. Phys. 50 (1975? 79«

2. Dyson,F.,Xieb ,E. ,Simo.n,B. : Phase Transitions in the Quan-tun Heisenberg Model-Phys.Eev-Iett. 37 (1976) 120.

3' Dyson,F-,Iieb,E»,Sinon,В»: Phase Transitions ill Quantum Spin Systems with Isotropic and Nonisotropic Interactions. J.Stat-Phys- 18 (1978) 335-

ProhlichjJ.: The Pure Phases (Harmonic Functions)of Generalized Processes or:Liathenatical Physics of Phase Transitions and Simnetry Breaking. Bull.Amer.Math.Soc• ,Vol.84, Bo.2,(1978) 165-193*

5» Irohlich,J.,Lieb,E.: Phase Transitions in Anisotropic Spin Systems.Comm.Math.Phys.Vol.60,No.3,(1978) ¿33'

6. Fröhlich,J.,Israel,R.,Iieb,E. and Simon,3.: Phase Transitions and Reflection Positivity IlrLattice Systems with short Order and Coulomb Interactions.J.Stat»Phys.Vol.22, No.3,(1980).

7- Санкович Д.П. : Гауссова доминантность и фазовые переходы в системах с непрерывной симметрией . Теор.и иат.фаз. 70 3,(19891 460.

8* Bogolubov,îf.IÎ.Jr- ,Sankovich D.P.:Gaussisn Domination: Quantum Wonlinear Oscillator.Phys.lett.A,Vol-1J7,No.4-5, (1989) 179-182.

9- Bogolubov.H.N.,Jr.,Sahkovich,D.p.; Upper Bound in the Two Point Correlation Function of a System of Coupled -inharmonic Oscillators. Mod-Phys -Lett »B,Vol-5,No«1, (1991 ) 51-56-

10» Blume,JU,Emery,V.yzid Grifiiths,B.t Isiag I.'.odel for the Transition and Phase Separation in Ee^-Hs^ Mixtures. Phy s • ?.e v. A, Vol. 4, No. 4, (1971) 1071. 11« Barker,/./fforfcis,It.: Blune-Iaoery-Grifiiths-Potts Kodel in 2wo Dimensions-Phase Diafrsm end Critical properties from a Positicn-Space-Renor^alise tica Group. Fays.Rev. -B, 14 (1975)4946 •