Интеграл Бохнера-Мартинелли и его применения в многомерном комплексном анализе тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

9 5*131. -

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ОРДЕНА ЛЕНИНА СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕН® ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

Кытманов Александр Мечислазович

УДК 517.55

ИНТЕГРАЛ БОХНЕРА41АРШНЕЛЛИ К ЕГО ПРИШЕНШ В МНОГОМЕРНОМ КОМПЛЕКСНО!! АНАЛИЗЕ

01.01.01. - математический анализ

■ Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора йкзико-мате.-.гаттееских наук

Новое ?/гск - 1Г?1

Работа выполнена в секторе теории функций Институт! физики им. Л.В.Киренского Сибирского отделейЙ^ АН СССР

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор С.Л.Крункаль доктор физико-математических наук: Л.Г.Сергеев

доктор физико-математических наук, профессор Л.П.Юкшкоб

Ведущая организация: Центральный зкономик^-математичос-

кий институт АН СССР

Защита состоится " (2? ^Р .1991 г. в

часов на заседании специализированного совета Д 002.23.02. по зацдате диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при ¡'лституте математики СО ЛН СССР по адресу: 630090, г. Но-восибкрск, 90, Университетский проспект, 4.

диссертацией могло ознакомиться в библиотеке Института мр-ематики СО АН СССР, Университетский проспект, 4. •

Автореферат разослан " 5 " _ 19Э1 г.

I''

Учений секретарь специализированного сойота, доктор физико-математических наук, профессор

х В.С.Еелокосов

- 3 -

ГДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность теш. Интегральное представление Еохиера-Мартинелли для голоморфных санкций многих комплексных переменных появилось в работа^ Е.Мар'чнэлли и С.Еохнера б начале сорокозых годов. Оно было первым по существу ;.'лого!.!ерныл: представлением, е чо1" ром интегрирование велось по всей границе области. Это интегральное представление обладает универсальным ядром (не зависящим от вида области) такие, как ллро Кози в С . Но в про-п ,

странстве й- при а > I ядро Еохнера-'.'артинелли является гармонической, а не голоморфной функцией. Данное обстоятельство долгое время слуадио препятствием к пироко.'лу применению представления Еохнера-Мартинеяли з многомерном комплексно;.; анализе.

Ранее, в пятидесятые и шестидесятые годы, появлялись лишь отдельные работы, посвященные представления Бохнзра-Мартинелли. В них изучалось граничное поведение интеграла (типа) Бохнзра-Мартинелли по аналогии с интегралом (типа)-Коли.. Оно основывалось на то:.!, что интеграл Бохнера-Мартинелли представляет собой потенциала двойного слоя и касательной прои.зтщной потен-, циала простого слоя. Поэ.о:,у скачок иктаграпа Бохкера-!,'артпнелли совпадает с подынтегральной функцией, но вецетонсебяпр'л подходе к границе области, как интеграл Коаи, т.е. несколько . чем потенциал двойного, слоя. Так что интеграл Бохяера-Марткнвяла объединяет/в себе свойства интеграла Копи и потенциала двойного, слоя. ■ " • ; : :

■ Интерес к .предстйзлекнв "Ол\чера-'.!арт!шелли возрос в семидесятые годы. Это связано с .од*:ой,стороны с. ле-ьпение:.! зни:.:ан;:я к конструктивный метода!.: в :.-.нсго:.'.врно.м комплексном анализе, с другой стороны оказалось, что гсы/а обцее интегральное представление КсвИг^анта-шье, найденное ";.Лерз, * легко .'получается ил

представления Бохнера-Мартинзлли (Г.!.!.Хенкин). В по же время появилось представление Коппельмана для внешних дифференциальных форм, частным случаем которого является представление ^охнера-Наргинелли. Ядра е формуле Коппельмана строятся (такие как ядро Еохнера-Марткнзд.лО с помощью проиг-одних фундаментального решения уравнения Лапласа. А в 1975 году ?.Харви и Б.Лоусон полечили кз самых ярких результатов о натягивании коитлексных пленок на нечетномерные многообразия. В оснозз его лежит фор:^»-ла Еохнера-Мартинелли.

В последние годы ферула Бохкера-Мартинелли стала успешно • ис.пользоъаться в теории функций многих комплексных переменных: в многомерных начетах (Г.Бус, А.П.¡¡каков, А.К.Цих)3в вопросах устойчивости голоморфных отображений (А.П.Копылов), в условиях существования голоморфного продолжения (Б.Вайнсток, Р.Харви, Е.Лоусон, Е.!Л.Чирка, Е.Л.Даутос), в теории СЯ-Зункций (Е.Л.Ста- • ут, Г.Лупаччиолу,- К.Лоран-Тьебэ, Н.-Л.Рссей, Ю.Лейтерер), Э-за-доче Ней/ана (Л.В.Романов, А.М.Аронов), в получении аналогов форули Карлеманз (Л.А.Айзенберг, Н.Н.Тарханов), в алгебраической геометрии (Ф.Грпффнус, ,13;.'.» Харрио) и т.д. В итоге ыохно сказать, что фор;ула Бохнзра-Мартаюлли устанавливает связь между комплексным к гармсничэсшл анализом в Са . Особенно ото прогуляется при рехеяки Ъ -задачи Неймана: всякая фикция, ортогональная голоаорфнш функциям, есть " Э -нормальная" производная гармонической функции. Данная диссертация посвящена даль-г изучении интеграла Бохнора-Мартинелли и расширению об-• яа:ти его применений.

Тйкя'' обрати цзльс паботы яа.'^егся: 1. '.'л/ч«? че гранична сэоЯсла кнтегрэла Бохнер&Д!арткне;.ли и его гг/оьэзогмл ш? рпз.чичшя к.ряссоп функций.

к. К»¿стоив иптыралз Б««нера-"ар?1!чвл;:и в о

задэпх: существования голоморфного продолжения функций, Ъ -задаче Heib-.auа, стирания особенностей СЖ-функций, многомерной теории вычетов.

3. Изучэнне связи между козетлекспнм и гармоническим анализом в С с помощью интеграла Бохнера-Мартинелли.

Научная новизна исследования заключена в с-едутацих основных- результатах диссертации:

1. Изучено гранкчноэ повэдемиз интеграла Бохнера-Мартлнелян и его производи«;, порчены теорем; о скачкэ этого интеграла для разлкшьк классоз фушсций.

2. Доказана голоморфность гариотчесюос (|ушсцл!}, удовлетворяющих однородному Э -усяов;га Кейшша о областях с гладкой границей. Доказана разржикостъ 3 -задачи Кэи^ана дли распределений в строго пссздоштуклтк о'одасггз;. .

3. ПОЛуТ-ГЗКЫ УСЛ03ИЛ ГОЛОИОрфКОГО ПрОЦОПГ.ОШ!.! СК-^уккц'.Я с.

гиперповерхности з заданную область а терккнах-гармонического продолжения интеграла Бохкзрз-ь'артакзлл:!. •''.';'.

. 4. Приведена рзеультагл сб устранэнан особенностей СК-£ун-кций на порс-.хлсюцтгх многообразиям в яу::э тсоро:¡у Р'гпака (множеством особенностей язлгетсл кпсгестзо птп:а дяя гольдеровсксй СК-(Тунхции).

5. Изучен вопрос о голоморфное продолжении СЗ-^ункций с части границы области. • .

6. Гармоническое представление распределений применено к задачш.! умножения обобщенных функций и нахождению преобразований Зурье.

7. Получены Формулы для нахождения логари^-ическ Я :рсиз-водной результанта систем алгебраически уравнений через "лобальных вычетов. Найдено их применение ..к некоторым с!!сте,/пм уравнений, .везникзих в хи:.:иче~кей кинетике. -•./'-••,: -

- б -

Основная методика исследования - синтез методов гармонического анализа (в частности,теории потенциала), теории Сй-фун-10ШЙ и д-задачи НеЛ/.ала, многомерной теории вычетов и современного многомерного комплексного анализа.

.Апробация. По материалам диссертации неоднократно делались доклады на международных конференциях по теории функций б Москве (1980), Варне (1981, 1987), Галле (1984); на Всесоюзных конф-з- • рэнциях в Харькове (1971), Ташкенте (1975), Новосибирске (1989); на школах по комплексно^ и функциональному анализу в Кацивели (1976, 1985), Миассо (1985), Дивногорске (1987), Ташкенте (1983), на конференциях по комплексному анализу и дифференциальным уравнения.! з Черноголовке (1981, 1985, 1987, 1989), а также на семинарах э Математическом институте им. В.А.Стеклова, Институте математике СО АН СССР, в Московском, Уральском, Харьковском, Ташкентском, Красноярском университетах.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [I - 24] .

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения и пяти глав, разделенных на 23 параграфа. Объем диссертации - 296 '¿азинопистлс страниц, список цитированной литературы соле;..;ит 151 название.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В перзоЯ главе изучается граничное поведение интеграла Еэхнера-Мартинелли. является вводным: в нем приводится интегральное представление Еохнера-"артинелли вместе с комплексным варианте.« *о;-.-/.-.^ Грина и представление Коппельмана для ¡...езних г^сг-енциальшо: *ор\'..

В '2 1>асс«йтр>!аамч./! %оргу. ; Сохоцкого-Пле!.:еля г.ля интег-

рала Зохнера-Мартинелли от интегрируемых функций, Несмотря на многочислен«!«? работы, посвященные граничному поведения интеграла Бохнера-Мартинелли (Лу Цикен, %ун Тукдэ, В.Л.Какичсв, Р.Харви, Б.Лоусон, Е.М.Чирка, П.Дольбо, Н.Н.Тарханов, А.Гаэисв и др.), для интвгри^емьк иунксий эти формулы не приводились. Пусть г

ядро Бохнера-Мартинелли, т.е.

п

(ПЛ.)

к» I

Тп

с1£= Л... Л с1 ,а форма <1 ^ получается из

формы сIС вычеркиванием дифференциала с( {Г . Оснсвкьм результатом 52 язляется

ТЕОРЕМА 2.1. Если £) - ограниченная область в С с границей 0 класса С* , а ^ £ £?~(2Ъ) и £ Э/) есть точка Лебега в,ля йункцик , то

т

-О

где 6 > г) есть чар в С1 с центром в течке' радиуса ^ , точка 3 £ £5 и \ 2е- по некасательны.; т^-тяч. Теорэ:.^Е 2.1 является акадого:/. ле^ллы И.И.Пгчвалога для 'интеграла типа Коей.. Из нее-и следуют форели С6хош(ого~Ллз:.:ел>-для интеграла Бог.нерзЧ'артинелли, . ,

Затек С?3), лривод-тея, тзорег.ы о скачке интеграла „охаер? '..артг.нег.ли. Хотя. тау:;;е.уТЕер:-.:с&ния в причц;'пё гог.уч?.:отся лз цул СохоЦ!;сго-"ле!;елч, кс разность гран'.'.чних знач^н;;^ имтеггвлп

Бохиара-^артинолли веде? себя лучпе, чем каждое из них в отдельности. Например, кктеграл Бохнвра-Мартинелли от непрерывной с£'нк®н* мокст бнт« неограничен в окрестности отделите точек границы облает;; (ей. пример в ?-3), а разность интегралов обязательно икезт предеч.

ТЕОРБА 3.1. Если ] е X ('¿Ъ) и ¿° - точка Лебега функции , а

(ЛЯ (*) --• I ^С*,*), (I)

92)

го

йт Г ОД*)(?*)- (А1) (*)!■= -И*0)

■с т;

где 2 ; -2^2) стремятся к т:'"1 по

некгедтельнш г^гтлм.м # | 5е"! 4 ¡г - 2°| & | _

Если у 6 С ( 3 2) ) 5 то ванный предел достигается равномерна, если константы <1. и о фиксированы.

Отсюда, например, следует, что если Мнепрерывно процояааотся I нутри на о & , то непрерывно продолжа-

ет.;.? извне на и обратно. " ■

Теорема 2.4 утверждает, что если ^> Р^ ^^

то разность - ) сходится к по норме

3 >4 теореми о ск: -1ке распространяется на производные интеграла Ео;:нера~''артинелли. Отметим следующий результат.

Грусть 5) = : ре <1р 4 О на

Если - глее к а.ч '}унгл'-'я окрестности границы оХ) , то

-нг'р".з;.м1уч" ::сон2^ ерредглим так

--ТГ7 )

ЭУ 'Эр

— э

-К 1

Если Л С - мира Лебега на , то кнрагенке ~дн с(С" совпадает с сужением цгЛферекцпельисЯ фор:ги

- /V 21 ^М ас!Т (2)

на ЭХ) ( * - оператор Хо:£:а в С**}.

ТЕОРЕМА 4.7. Если е С^ , а е ¿¿^ ('ЭЗ) ,

то для интеграла „М вида (I) Енпо-няетсл соотношение

где 0 - точка Лебега для пункции , а -2. V £ /)

и 1 - , точки И~ лежат на нормали к ^7)

в точке -г° . Для непрерывных фунлдей ^ этот продел достигаатся равномерно. Если <£■ р ^ -х , то кор-

ка разности

|| \ Л 4 - \ М (*')II ^Р 0 .

Теорема 4.7 постоянно используется в главах 2,2.

В >5 рассмотрен интеграл Еохнера-"аот.чнелли в к?аре. Теорема 5.5 псназкзает, что вычисление интеграла ^1) = ^г.сэ свозится к вычислении одномерного г.нт~гралз. В частност::, для многочленов это зичислекпе провес1""' до кг-чг.

Глачз 2 посЕнцсна сдз^хфу гарпакту & -заллчи Неймьна

- 10 -

по заданной на границе ограниченной области £)

функция 'F найти гармоническую б 2) функцию (3) F , для которой Э(1 F — ^ !ia "ЭЙ .

Если У - р£определение из £ (Уд) , то функция F идете л кз класса G ( Ъ) гармонических функций, »г-еющих конечная порток роста вблизи ЭЙ .

В 56 задача (3) сравнивается с классической Ъ -задачей Неймана для дифференциальных форм Необходимым условием раз-pewmocik задачи (3) яе 'яотся следующее условие ортогональности

\ I dc = О (4)

,гдЬ

ес"тс голоморфных на оаглыкании области 5) (т.е.

4 е &(Ъ) ).

Это же условие возникает и при решении касательной Э-з&з/дчн: 0,с U. - f dc .Но в отличлк от нее решение за-

(3) слуг;л-т но произвольная Ъ -замкнутая форма, а форма еидь (2). Более того, если для функции F таюке выполнено условие (4), то такоз решение задачи (3) будет единственным (см.

Сначала i.u рассматриваем однородную задачу (3), т.е. задачу опчеания гармонических функций F ' на 5) , для кото-г»с \ F - О на '2 Ъ .

Тоорсу.а 5Л утверждает, что класс функций из 6(2)) , для xoTopix Э^? = О на "ЭЙ совпадает с классом функций F у..-» з I'/',)t ¿я? кэ?ор:-лс интеграл Б( нера-"агт:!ж.-^л;! (I) Л F Tf.-'W в___.______

1/. ЬэНагЛ r.chu J.J, Tbj Souacuan Ъ1 j^ri- the C;tuahy-

- II -

Если Г - <д ( Й) , го граккхмьм значением этой функции на служит некоторое распределение, из £ (ЪЪ) (ми такте обозначим ого через Р ) а этим мы постоянно пользуемся. Если Тс (гдЪ) , то оператор М Т определяется так: '

{ЛТ) (?) = Т( ( и Ы г) и Спо) , ^ 1- .

Тогда .„/ЦТ э области "X) так;:е принадлежит классу 6 (£)) •

ТЕСГД,!А 7.1, Если 2) - ограниченная область в <£п , * то для того, чтобы М Г Г в для функции F ё С ( "£>) необходимо и достаточно, чтобы функция Р было голоморфной в у) .

СЛЕДСТК^ 7.2. Для тс го, чтобы функция . кз С С?Ъ) голоморфно продолжалась в й необходимо и достаточно, чтобы

■уД-Ь = О ' вне . X) .

Поскольку равенство- 7 О означэет ортогеналь- -

ность ядрам 1С ( £ ч) для ^ £) , а оти

'ядра являются 2 -закк^утавж фориаш на £) , то следствие 7.2 усиливает теореыу Гартогса-Бохнера (см., например, работы Б.Вэ;:нстока, Е.М.Чирки" Р.Харви) дл? данного класса щунхшО.

3 58 результаты §7 переносятся на распределения. Основной здесь является ..

'ГЕСРЕМА 8.6. Если .?'<£ 6 ( е ^ и связан, а

\ р ~ О на ^ .,.ро Г - голо-.'.орфна в й .

Ее дсглзатальстго основано нз теорв:.;е 8.5 об итерации: теграда. Бохяеса-йарткнелли.,..'

Теорз-а 2, является- теоремойЧ^дпнстзоннс^т:: дл.й Э-гадачи

Неймака (3).

Еще едким следствием теорьмы 8.6 является аналог теоремы Риссое для многих переменных.

СЛВДСТЕКЕ 8.7. Если - борелевская м.ера на Т>2) ,

ЭЙ е £ и связка и

{ ¿/а^) т = ** ^

•эй

то г|/-; ~ Т » где -р является граничным значением

функции из класса Харди н О) .

При Л.-- ,2 это утверждение было получено Б.Шаимнуло-ш. Оно обобщает аналог теоремы Риссов, доказанный Л.А.Айзенбергом .

В (,2 приводится теорема о разрешимости д -задачи Неймана (3) для раслглеседений в строго псевдовыпуклих областях.

ШИКА 9.6. Пусть л) - строго псевдовьшуклая область

ь ( 4 ),. ЪЪ & С"" И Те £'(7>Ъ).

Если .

Т(|)=0 • (5)

для всех е ^ 0) , то существует гармоническая функция

ре 6 ( Ъ) такая, что Э„ Р = Т на ? 2) .

Если Р выбрать так, чтобы для граничных значений Р тзст.з

~ипо!шялось рар-енстзо (5), то собранная таи::.: образом ф/нкция Р

егинстгенка. Следовательно, определен оператор Неймана А/Т~ р

Теорема 9.С показывается, используя результат Дг.Дт.Кона

_ с

с ps.i-riizy.yoav ?• -зад»'« исЛ/л^э пль.дифференциальных фара ув^ *»г.й ; ^ , «[. ), > О . Она у-о-.ияет ряд результатоа ,-1.А,Даутст, Г.Я.Хенкикв, Т..-!!.Росе л об описании дяффгренциаяь-

ньос форм, ортогональных голоморфным функциям.

В §10 приводится явное интегральное представление для решения задачи (3) в варо в СЛ . Ранее (Р.Харви, Дд.Полкгнг, Р.Рейндк) были известны интегральные представления не для оператора N , а для оператора Э N

В $11,12 рассматривается локальный вариант однородной задачи (3). Пусть iE- - область з С , а Г - ориентируемая относительно замкнутая гладкая (класса С" ) гиперповерхность в У , = U ic! и ориентация Г согласуется с Ли .По аналогии с определяются классы гармонических функций G (St ), состоящие из функций у , имеющих конечный порядок роста вблизи Г .

Пусть = U , ^ и 7)(ill

а f s - i на .

ТЕОРЕМА 12.2. Коли Г& и $ - СК-распрздз-

ление на Г , то для того, чтобы голоморфно продолжалась в JC- до (|уНКЦИИ

F е G необходгг.лс н достаточно,

• чтобы интегралы Бохнера-Мартинелли л (% -О гармоничес- « ки продолжались из я: в .ß, .

В отличии от ранее известных утверждений s теореме 12.2 речь идет о продолжении j; нз в оболочку голоморфности Г.

В случае, если it! - aap, существование голоморфного продолжения можно записать в следу же:.: виде.

ТЕОРЕМА 12.5. Пусть Г £ : такова, что

состоит из двух связных компонент J L и CR-функция -ffe йС (г) . Для того, чтобы у голоморфно продолжалась в необходимо и достаточно, чтобы

hm ha^ \i ! Q, J

где

<4* - 1 [*э

1-

0« и)

а ^ ) " ортонормированный базис в

состоедий из однородных (степени К ) гармонических шогочлгноЕ.

3 глазе 3 приводятся результаты о стирании особенностей СЯ-функций. Пусть [ - гладкое пороадак'дее многообразие н области ^ ■ <£' ( 1г. > 1 ) размерности 2 а- К

5укчция у £ ¡С ( является СК-функцизй на Г , если

\ * Э<

О

(б)

для все/" длффйрекцчальных форм со типа { гъ , и-к- I ) с

/ о% г

¿оэфтлрггнтам.н из Т> (л!^ . Если 'У - распределение на Г , то условие (6) прекращается ь следующее: ( Эы/Дс) = 03

г зо 6 ГУ ■ ~ мора Лебега на Г .

Задача ставится следукцим образом: пусть & £х. (Г4^)

а является СК-фунет.игй на Г 4 К , где К - замкнутое иио-свстго на Г . Какие условия ку1/но наложить на К и , гпобы -у прс-долуллась до СР.-функции на Г ?

Тагае условия в терминах гладкости -у и метрической раэ-1.ернос?и Г хорошо известны. В 513,14 приводятся результаты в тухг классической мореш Згл:ана.

1?£Рг1'А 13.2. Пусть для порожгзздсго многообразия Г с«», с'а форма '."чей в нг^рг-ллен:;;'. /с (< <. л, ъ, (<•«)> -¿о

к <ь . К"*-- ) (. ] 1 и лг.бой точки

!'-СЛК

- lb -

пункция j fe £ H является CR-^ункцией на 1 N К , где К = Ut- Г: 4>U) = í ] , | vf | < í ш Г 4 К и '-f-CR-функция на Г класса С* ( Г) , тогда ~

CR-йункция на I .

Затем теорема 13.2 распространяется на Ф/нкции имеющие конечный порядок роста при подходе к К. . При этом 4 определяет на Г у:;:е некоторое СЕ-распределенле.

В £14 данниэ утверждения получены, когда Г язияется

я.»

границей ограниченной области в С , никаких.условий на фор-Лези для f тогда налагать не надо.

Для гиперповерхностей Г класс компактоз К! можьо значительно расширить. В ряде нецазних работ Е.Л.Стаута, Г.Лу-паччиолу, К.Лорак-Тьебо, Б.2?рикне и др. (обзор этих результатов приведен Е.Л.Стаутом^ ) рассматривалась следующая задача: пусть 5) - ограниченная область в <ИЛ ( ю. > i ) (или 5} лежит в многообразии Штейна Й ) и К - компакт, ¿),

Какие условия ну/ко наложить на ^ , чтобы всякая СК-%/нк-ция * -f , заданная на Г = ^ голоморфно продолжа-

лесь з 2) 4 К .

Основным инструментом при решении этой задачи является интеграл Еохнера-Мартинелли.

• ТЕОРЕМА 15.1. Пусть -íí? - многообразие Штерна размерности , а область /£) de SL и

— А •

связно. Компакт К с. £) и = , тогда всякая CR-

йункция, заданная на Г = s kf , голоморфно процолга-ется з Ъ 4 К • Гладкости £ и Г соотпотствуиади образом согласованы (как в теореме Гартогеа-Бохксра).

________B_OTnttynj_ от. результатов Г.Лупаччиоту и К.ЛорРл«-?ье£с, а

1). 8tout ."¿.Г,// l-rcpriat Univ. Washing eon. .1.935, P.1-21.

- 16 -

теореме 15Л требуется не связность' Г = З-й s к' , а связность множества St ^ 7^) , которая является необходимым условием такого продолжения.

В теореме 15.4 класс компактов К расширяется.

В качзстве следствий порчены утверждения о существовании одностороннего голоморфного продолжения CR-фунхций с особенностями на гиперповерхности и об устранении особенностей CP,-функций.

В §16 результаты §15 применяются к задаче об устранении особенностей CR-функций, имеющих конечный порядок роста.

Пусть ^ , К , Г такие же, как в теореме 15.I и функция f £= ¿f (f") является CR-функциеЯ на Г , ' существует константа WL > О , для которой

^ I

«S sup I Цъ) d < ^ = U1i d

" р 1 J wfc к

При некоторых условиях на К (теорема 16.1) функция голоморфно продолжается в Ъ А К до функции F и найдется константа т.0 '> О , для которой

Sup I F«> аМос*,ю 1 <

-

(здесь с! (t некоторая эрмитова метрика на ^ ).

Следовательно, граничные значения функции F определяют некоторое CR-распределение на 'Э Э (если ^ с '¿Й ), совпадавшее с j ка Г ,

При доказательстве используется обобщенная-форцула Еох-нбра-Мартинелли на многообразиях Штейна. -

Из результатов 5515,15 получается некоторые геометрические следствия.

Глава 4 посвящена гармоническим представлениям распрьлеле-

гай и некоторым их применения». Пусть - область в К и

Г - гладкая ориентируемая относительно ¡замкнутая гиперповерхность в Л .Я ЧГ= ^ и^с . Поскольку каждая функция из б ) или из (л- (-0. } определяет на Г некоторое распределение, то разность зтих функций такие обладает этим свойством. Пусть С (.0. ; состоим' из пар вида -$- = ( "5", £ где 6 6т ) , а } и граничные значения фун-

кций 4 и на Г совпадают.

В теореме 17.2 утверждается, что для любого распределения I е Т) (г) существует функция = ( ) 6 &($.) (которую мы будем называть гармоническим представлением Т ) такая, что

2**- 11"= т Г г

2 п. нп ' (гда -эТГ

г ' г ±

значение нормальной (к I ) производной функции -у ), придал

сункции и являются гармоническими продолжениями друг

друга в 4 Т . Если к другое гармоническое пред-

ставление Т из ) , то К.- 4 -- ( Ь ~ К " { )

является гармонической функцией в Л

Для гиперповерхностей п С аналогичное представ-

ление дается о помощью интеграла Еохнэра-Мартинелли.

Как известно, гиалитчческие првяставления распределений играют болмую роль в теории обобщенных функций. С их помощью могло, например, ввести умножение распределений. С помоцыо гармонических представлений тат:.-:е можно ввести умножение многомерных обобщенных функций (§10), используя схему В.К.Иванова для одномерного случая. (Различные подходы к вЕвденпо нроиозеления распределений обсущаытся з ПС . Оказалось, что эго произьепен'/п

обладает рядом естественна свойств. 3 ксше §18 приводятся примеры на умножение распределений с точечным сингулярным носителем.

Известно как/то бояьшуи роль играет преобразование $урье ь математической физике. Связанное с ним преобразование Лапласа, позволяет рассьтрквать преобразование $урье, как граничное значение голоморфной функщи и там самым приьлечь для изучения распределений методы комплексного анализа. Оказывается, что и гармоническое представление распределений то:те можно связать с преобразованием fypbO. Этой связи посвящен §19.

пи-

Пусть - мера медленного роста ь К . Определим

обобщеннее преобразование Фурье мера yU- так:

^ ( ¿<t х> - (tk

fx . - "

J j

где ,4-ie S , <K;-t> =•• Xi tt -<-■-• . фикция FW

.«il |, . • Л1 /

определена на множестве К v ~ ïAx< j) $ J < является гар-

r/vH

„ конической ь к ^ и имеет коне--?ннй порток роста при подходе к ^

Станлар-шые рассугленил л оказывает, что при + 0

Р С/иЗ^Л • . ^ (преобразованию $урье меры yU ) д

. слабой топологии пространства распределений медленного роста S. Консгрукшя (7) похожа на конструкция Брооа и Ягзяьнитцера, которыми введено нелинейное преобразование 2урье, но отличается от нее те;.:, что ф/ккцик Ж. не является аналитической з R --

iïGэтo.\y обобщенное, преобразовано ïj-рье.раот^ нельзя определить формулой (7). Для. такого определения ну/хно ис-. пользовать тоорс>.у о г.редстанлеь^к распу^деления в виде npoiio-*3CiH0R конечного порядка .от неп].зрывной .;>/ккцйи педленнэге 'po'eva.

- 19 -

В качестве пржененкя обобщенного преобразования Сурле доказал аналог теоремы З.С.Зладижроаа о характеризаци;: распределений о нос :телем в конусе, а также приведена прчкеру гпчуслен;>. преобразования >^урье некоторых распределений и помощью обобщенного преобразования £урье.

С фор;улоГ5 Бохнера-:.'грткнслли тесно связана форума многомерного логарифмического вычета, полученная А.П.Нл:ако1:ь1м и Г.Русом, в которой интегрирование е. едете л по всей границе области. В своя очередь фор^/ла А.П.Юувкова и Г.Ррса выражается чере>'з

о

су«.т/ локальные вычзтоз, в которых интегрирование ведемся по п,-меркым циклам. Б главе 5 рассмотрены некоторые применения этих фор:.у л.

В ?20 доказывается обобщенная фор.-.г^ла преобразования локального нычзтз. Пусть к^ (_ _ ... ) <1 д } .с( ~ годсмораяие функции в окрестности В ■= Б ( о , г) точки

ii ^

а е С . Точка а является вдиистсенным нулем отображений = ('-Ц , ... 1 и ^ = ( Кроме того, \ п ^ связаны соотношением

' % = А*, .

'г

где Йрица . А = Н ^состогт из голоморфных

функций. С отображением спящем остсв I 4 = | ^ € & '. [ ^ I ~ ^ , | = ^ ■ • ^ » Ориентация Г с определяется ус-еовке"

с1 С^ 4Х л ••• д с! Ти >

Локальным вычетом (Гротендика) со - ,

а о т

• фор:,и в точке а. называ-

!г л ... д

- — —71

-> п.

ется интеграл

СО =

Г

ч

Ванным свойством локального вычета является фсгмула преобразования: если и связаны соотношением (В), то

гс^, к = к ¿Л А .

"а 7 а 2"

Обобщением этой формулы служит

'ТЕ0РН.1А 2,0.1. Если и ^ связаны соотношением (8), то Г к ¿Ъ _

^■••¿м Г1ГТТ71ГТ...

. ^и ^ . •'п.

с ; ; \------J

н.

где константа С ^ ^ _ I ^ (а такке с ^ .,, )

определится так: если в наборе ^ ... с.1Г1 еди-

ница встречается раз, двойка - раз и -.д., то

= ¿л! >■• <1.. Теорема 20.1 затем распространяется на по"1-ю сумлг/ вычетов.

- 21 -

В рассмотрены многомерные аналоги рец/ррентных формул Ньютонаj спясывакших ме;:ку co6oii коэффициенты многочлена и степенные суммы его корней.

Сначала приводятся такие фор:улы для системы уравнений вьда:

= îNOi-O;....., Q^o,

гр.е <3j - многочлены в С степени меньшей, чем ,

Доказана формула, s которсй козфф'лкилнта системы сг-ягыва-улся со степенными (или псевдостепенными) суммой корней сис. гмы.

'Затем эти формулы обобщаются на произвольные невырггнсдекные ¿¿ютемп алгебраических уравнений.

В [?2 рассматривается следующая система уравнений:

~ / „ vi+Î „ »г 1 i

ifi,...,-fJ€<C г? ip j wé: €- . Зукции fj

пзляптся многочленами по ~>г и w , однородными по f . Предполагается, .то система (9) имеет конечное число корней С \ в СР'х i' , к ~ 1 . , . = Д » Результант =

^ ' П. (^-^О . Пусть ф , через (w)

обозначаются корЯи подсистем ( ^vjJ- Сj t'H-i

при фиксированном W , \ ~ i , . . ,^g

ТЕОРЕМА 22.1. Если К = 1 , . .. ^ , то

« Тч у > j

?ор:.ула '10) позволяет находить результант P(wj.. В '23 приводите - примене: ¡л теорем к неко-орс!

- ?.г -

системе алгебраических уравнений;, возни,клей в химической кинетике .

публикаций по теме диссертации

1. Дэутов ШД., Кктманов A.M. О граничных значениях интеграла типа Марткколлк-Бохнера// Некоторые свойства голоморфных функций многих кс.длл. переменных. Красноярск. 1~73, С.49-54. (Сб. науч. тр./Институт физики Си АН СССР).

2. Кытманов A.M. 05 одном характеристическом свойстгэ Э -замкнутых внешних дифференциальных форм// Успехи мат. наук. 1976. Т.31, !?2. С. 217-218.

'<. Кмтмаяэв A.M. О некоторых свойствах внешних дифференциальных форм класса В// 0 голоморфных санкциях многих комплекса переменных. Красноярск. 1976. С. 184-189, (Сб. науч. ""О./Институт фириот СО АН,СССР).

4. Кытмансв A.M. Об интегральном характеристическом свойстве 3 -замкнутых комплексных дифференциальных' форм// ииб.мат. журн. 1978. Т. 19, №4. С.788-792.

5. Китманов A.M. Представление и умножение распределений многих переменных и помощью гармонических функций// "зв. вузе.,.. Hp тематика. 1978. И. С.36-41. . '

6. Кытманов A.M., "йзенберг Л.А. О голоморфности не..рерь:чнкх функций, 1флдстЕьи:,.лх кнте. ралом Мартинезди-Еохнера// Изв. АН Ар:/. ССР. Сер. мат. 1Ш . Т.13, ¡Г'2,\ С./58-169.

7. Кы?л:аноэ A.M. Некоторые дифференциальные критерии гояо..;ор(р- . поста функций н Сп// Некоторые ьопрссы многомерного комплек

>j

ского а:-гали;»а. Красноярск. 1980. С.Ы-64. (rj. науч. tj../ Институт СО АН СССР).

*8. Кытмпнсэ A.M. Об одном классе многомерны?: 'распределен;..}//

9. Кытманов A.M. Об умножении многомерных распределений// Труди межд. конф. по обобщенным функциям. М.: ВЦ АН СССР. 198I. С.316-322.

10. Кытманов А.И. О точном вычислении интеграла типа Мартинелли-Бохнера в шаре в Сп// Успехи мат. наук. 198I. Т.36, №3.

С.217-218.

11. Айзенберг Л.А., Кытм-нов А. И. Многомерные аналоги формул Ньютона для систем нелинейных алгебраических уравнений и некоторые их-.приложения// Сиб.мат.яурн. 1981. Т.22, );-2.С. 19-30.

12. Кытмгноз A.M. О вычислении интеграла типа Мартинелли-Бохне-ра в паре и о некоторых ого приложениях// Изв. вузов. Математика. 1983. Г'З. С.59-66.

13. Кытманов A.M. Представление и умножение распределений многих переменных// Айзенберг Л.А., Даутов Ш.А. Дифференциальные формы, ортогональные голоморф г.м ф/ш-ципм или формам, и некоторые их свойства. Американской мат. общество. 1983.

С.137-150. (англ.).

14.„Кытманов А.Н. Об устранении особенностей СГ-функций//-Успехи мат. наук. 1937. Т.42, Г6. С.197-198.

15. Кытманов А .П. Раэреякмоеть Э-аацачи Неймана для функций// ■ Комплексный анализ а мат. сТлэика. Красноярск. 1988. С.74-

79. (Сб. неуч. тр./Йнстгиуг флзтс! СО АН СССР).

16. Кытманов A.M. О стлраяки особенностей интегрируемых CR-ф/нкций// Кат. сб. 1958. T.I26, !'2. С. 178-186.

[7..Кытманов A.M. О форкулз преобразования вычета Гротенпкка и • некоторых ез приложениях// Сиб. мат. гурн. I9G3. Т.29, J/3. С.198-202.

'8. Кытманов А.... Об одной сис-мв алгебраических уравнений, возникией в химической кинетике// Solecca Matt. 3ov, 1989. Т.8, SI. C.I-II (англ.).

IS. Кытманов A.M. Голоморфное продолжение интегрируемых CR-функций о части границы области//Мат. заметки.' 1990. Т.43, )*2. С.64-71.

20. Айзенберг Л.А., Кытманов А.М, 0 возможности голоморфного продолжения в область функций, заданных на связном i^ckg ее границы// Препринт 1Г-50М. Красноярск. Институт физики СО АН СССР. 3990. C.I-43.

21. Кытманов A.M. Обобранное преобразований %рье распределений медленного роста// Сиб.мат.яурн. 1990. Т.31, К2. С.94-103.

22. Кытманов A.M. О ~Ъ-задаче Неймана для гладких функций к распределений// Мат. сб. 1990. Т. 181, №о\ С. 656-669.

I

23. Кытманов A.M. Логарифмическая производная результанта систем алгебраических уравнений// Сиб.мат.гурн. 1990. Т.31, ¿Го. С.96-103.

24. Кытманов A.M. Голоморфное продолжение CR-фушсций с особенности?.!/. на гиперповерхности// Изв. АН СССР. Сер. met. 19S0. Т.54, З.'-б.

О —_

Подписано к печати 27.05.91 ■

Формат бумага 60 84 I/I6

Объем 1,7 п.п.; 1,3 уч.изц.л. -

Заказ 143 . Тираж 100 экз.

Отпечатано в Институте математики СО АН ССС."

630090, Новосибирск, 90