Интегральные характеристики конформных отображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ИОСИЛЕВСКИЙ Игорь Львович

ЭФФЕКТЫ НЕИДЕАЛЬНОСТИ И ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В КУЛОНОВСКИХ СИСТЕМАХ

01.04.08 - Физика плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва -

2005

Работа выполнена в Московском физико-техническом институте (Государственном университете).

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Мартынов Георгий Александрович;

доктор физико-математических наук, профессор Воробьев Владимир Сергеевич;

доктор физико-математических наук, профессор Губин Сергей Александрович.

Ведущая организация: ГНЦ «Институт теоретической и экспериментальной

физики» (ГУП ГНЦ РФ ИТЭФ).

Защита состоится «_» _2006 г. в _ ч. на заседании Специализированного Диссертационного совета Д 002.110.02 в Объединенном институте высоких температур РАН (ОИВТ РАН) по адресу: 125412, Москва, ул. Ижорская 13/19.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института высоких температур.

Автореферат разослан «_»_2006 г.

Ваш отзыв на автореферат в 2-х экземплярах, заверенный печатью, просим присылать по адресу: 125412, Москва, ул. Ижорская 13/19, ОИВТРАН, ученому секретарю Диссертационного совета Д 002.110.02. Телефон для справок: (095) 485 90 09

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д 002.110.02 доктор физико-математических наук

А.Л. Хомкин

О Объединенный институт высоких температур РАН, 2005 © Московский физико-технический институт (ГУ), 2005

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена исследованию термодинамических свойств неидеальной плазмы. Содержание работы может быть условно разделено на две части. Первая (гл. 2) посвящена проблеме описания эффектов неидеальности плазмы в области их непрерывной (монотонной) зависимости от определяющих неидеальность параметров. Вторая (гл. 3,4) посвящена существенно нелинейному механизму проявления неидеальности - фазовым переходам в реальной плазме и идеализированных кулоновских моделях.

Целью работы является построение теоретического описания эффектов неидеальности в термодинамике плазмы, исследование особенностей фазового равновесия и специфики протекания фазовых переходов в плазме и модельных кулоновских системах

Актуальность темы диссертации определяется потребностью в исследованиях свойств неидеальной плазмы и специфики фазовых превращений в кулоновских системах для разработок перспективных энергоустройств, таких как, газофазный ядерный реактор, мощные МГД- и взрывные генераторы, инерциальный термоядерный синтез и др. Тема работы также актуальна для проблем физики взрыва, высокоскоростного удара и других приложений физики состояния вещества с высокой концентрацией энергии. Выбранная тема особенно важна для расчетов последствий тяжелых ядерных аварий в рамках проблемы безопасности ядерной энергетики. Исследования проблемы неидеальности, особенно физики фазовых переходов и проблем "термоэлектростатики", важны также в традиционной астрофизике в приложении к проблемам строения и эволюции планет-гигантов, звездных и суб-звездных объектов. Кроме прикладной ценности, проведенные в данной работе исследования важны также и для решения ряда фундаментальных проблем физики газоплазменного состояния, прежде всего в том, что касается специфики фазовых превращений в плазме и кулоновских системах.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем.

• Разработана оригинальная модель термодинамического описания эффектов неидеальности в плотной плазме.

• Выбор специального модельного ряда кулоновских систем и проведение на его основе всестороннего анализа специфики фазовых превращений в кулоновских системах.

• На примере системы уран-кислород разработана оригинальная модель неконгруэнтного фазового равновесия в химически активной плазме.

Результаты и выводы, полученные в диссертации, являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность диссертации заключается в разработке эффективного описания неидеальности в термодинамике плазмы, а также в разработке теоретической модели неконгруэнтного фазового равновесия в химически активной плазме продуктов нагрева диоксида урана — топлива ядерных реакторов. Модель фазового равновесия в иСЬ следует использовать как образец для построения адекватного описания неконгруэнтных фазовых переходов в продуктах нагрева других ураносодержащих компаундов: в карбидах, нитридах и др., а также в смешанном топливе из оксидов урана и плутония.

Достоверность полученных в диссертации результатов и выводов обусловлена физической корректностью постановки задачи, адекватным выбором и всесторонним анализом модельного ряда для исследований специфики фазовых превращений в кулоновских системах, а также точным соответствием развитой модели неконгруэнтного

фазового равновесия в плазме иО(2+х) фундаментальным соотношениям статистической механики.

Личный вклад И.Л. Иосилевского состоит в следующем:

• Теоретическая разработка и реализация модифицированной псевдопотенциальной модели для описания эффектов неидеальности в плазме различных элементов.

• Исследование специфики фазовых превращений в идеализированных кулоновских системах.

• Теоретическая разработка самосогласованной модели для описания неконгруэнтного фазового равновесия в химически реагирующей плазме, составленной из нескольких химических элементов

• Интерпретация полученных результатов и формулировка основных научных выводов и рекомендаций.

На защиту выносятся:

1. Методика описания эффектов неидеальности в термодинамике кулоновских систем. Доказательство эффективности подхода на примере кулоновских моделей.

2. Модифицированное псевдопотенциальное приближение для описания эффектов неидеальности в реальной плазме. Результаты термодинамического описания умеренно неидеальной плазмы цезия и инертных газов. Результаты экстраполяционного расчета динамической сжимаемости экстремально сжатой плазмы железа и водорода (дейтерия).

3. Модельный ряд "безассоциативных" кулоновских систем, позволяющий в идеализированной форме воспроизводить в системе с чисто кулоновскими корреляциями три основных типа фазовых переходов - кипение, плавление и сублимацию. Выявленные, на базе изучения этих моделей, закономерности фазовых превращений в кулоновских системах.

4. Результаты изучения класса аномальных фазовых диаграмм с нестандартной топологией фазовых границ газ-жидкость-кристалл, включая случай непрерывной суперпозиции границ плавления и сублимации, характеризующийся отсутствием критической точки.

5. Результаты исследования специфической особенности кулоновских систем - существования скачка электростатического потенциала на границе раздела фаз. Закономерности поведения потенциала межфазной границы в пределе высоких и низких температур и его взаимосвязь с термохимическими характеристиками вещества.

6. Взаимосвязь фазового перехода в безассоциативных моделях плазмы с появлением аномалий (разрывов) в равновесном профиле пространственного заряда в задачах расчета стационарного профиля заряда в неоднородной плазме в приближении квазиоднородности.

7. Результаты изучения, как наиболее вероятного для реальных веществ, сценария «спинодального распада» зоны плавления, завершающего в пределе низких температур термодинамическую часть зоны глубокого метастабильного плавления.

8. Теоретическая модель неконгруэнтного фазового равновесия в химически реагирующей неидеальной плазме. Результаты расчета структуры фазовых границ и критической точки неконгруэнтного испарения высокотемпературной системы уран-кислород (продуктов экстремального нагрева диоксида урана).

9. Утверждение о неконгруэнтном характере фазовых превращений в гелий-водородной плазме астрофизических объектов. Приближенные оценки параметров неконгруэнтности в плазме Юпитера и Сатурна на примере одной из версий гипотетического «плазменного» фазового перехода, широко используемой в астрофизических приложениях.

10. Результаты цикла прикладных термодинамических расчетов урана и ураносодержаших

смесей, проведенных в рамках многолетнего теоретического сопровождения разработок

перспективных объектов ядерной энергетики.

Апробация диссертации

Материалы диссертации Иосилевского И.Л. прошли апробацию на многих Всероссийских (Всесоюзных) и Международных конференциях. Они докладывались на Всесоюзных конференциях по теплофизическим свойствам веществ (1974-2005 гг.), на Всесоюзных конференциях по физике низкотемпературной плазмы (1973-2003 гг.), на Всесоюзных школах по моделям механики сплошной среды (1972-1991 гг.), на Научно-координационных сессиях «Исследования неидеальной плазмы» Совета по физике низкотемпературной плазмы РАН (Москва, 1968-2004гг.), на Международных конференциях по проблеме уравнения состояния вещества (Терскол, 1979-2004гг.), на Международных конференциях по физике неидеальной плазмы ("Physics of Non-Ideal Plasmas") Берлин-1991, Росток-1998, Грейфсвальд-2000, Валенсия-2003, на Международных конференциях по физике сильно-неидеальных кулоновских систем ("Strongly Coupled Coulomb Systems") Rochester (США) 1993, Binz (Германия) 1995, Boston (США) 1997. Saint-Malo (Франция) 1999; Москва - 2005; На Международных конференциях по физике плазмы и инерциальному термоядерному синтезу (Москва-2002г., С-Петербург-2003, Звенигород-2004); на Международной конференции по теплофизическим свойствам (Boulder, США, 2000); на конференции по теплофизическим аспектам ядерной безопасности ВВЭР (ФЭИ. г. Обнинск. 1998) и на Международном Симпозиуме по термодинамике ядерных материалов (Karlsruhe, Германия, 2004 г.), на конференциях по физике вещества в экстремальных состояниях в Российских федеральных ядерных центрах («Харитоновские чтения», г. Саров, 2001-2005 гг.. «Забабахинские чтения», г. Снежинск, 2001-2003 гг.) на Международной конференции фазовым переходам в астрофизических объектах (Лейден. Голландия, 2004г.) и др.

Материалы диссертации Иосилевского И.Л. неоднократно докладывались на научных семинарах в различных вузах и Институтах РАН и отраслевых институтах.

Публикации

По теме диссертации опубликовано более 60 научных работ в реферируемых журналах и научных сборниках. Содержание диссертации также отражено в четырех монографиях. В силу специфики проведения исследований в НИИ Тепловых Процессов (Центр им. М.В. Келдыша) в период 1965-1982 гг., часть материалов диссертационной работы отражены также в 35 научно-технических отчетах (с внешней рассылкой) и в межотраслевых сборниках ЦНТИ «Поиск». Материалы диссертации нашли свое отражение также в нескольких статьях вводного тома Энциклопедии по физике низкотемпературной плазмы 2000 г. (гл. ред. В.Е. Фортов) и тома приложений ЭНТП «Термодинамические свойства низкотемпературной плазмы», (2004 г.). Помимо этого И. Иосилевский (совместно с А. Старостиным) является редактором-составителем раздела III-1 «Термодинамические свойства низкотемпературной плазмы» вводного тома ЭНТП и одноименного тома III-1 Приложений ЭНТП.

Список основных публикаций по теме диссертации приведен в конце автореферата.

Объем и структура диссертации

Содержание диссертации изложено на 213 стр. машинописного текста. Работа состоит из введения, четырех глав и заключения, а также библиографии из 198 названий, содержит 68 рисунков и 18 таблиц.

АННОТАЦИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы и охарактеризована специфика прикладных задач, обусловившая исходные предпосылки исследования. Сформулированы цели и задачи диссертации. Охарактеризованы результаты, отражающие новизну и практическую ценность работы.

В первой главе приводится анализ состояния теории по теме работы, обосновывается выбор методического подхода и определяется положение основных результатов диссертации в общем развитии теории неидеальной плазмы.

Во второй главе развивается оригинальный подход к описанию эффектов неидеальности в термодинамике кулоновских систем. Приводится доказательство эффективности подхода на примере упрощенных кулоновских моделей. Построено модифицированное псевдопотенциальное приближение для описания нендеальности в реальной плазме. Приводятся результаты термодинамического описания умеренно неидеальной плазмы цезия и инертных газов. Демонстрируются удовлетворительные экстраполяционные свойства развитого приближения на примере сравнения с данными эксперимента по экстремальному сжатию плазмы железа и водорода (дейтерия) в мегабарном диапазоне давлений.

В третьей главе изучаются закономерности фазовых превращений в кулоновских системах. В отличие от т. наз. «локального» подхода к проблеме (Мартынов, УФН, 1999) в работе за основу принят традиционный «двухфазный» подход. Вводится модельный ряд «безассоциативных» кулоновских систем, позволяющий воспроизвести в чисто кулоновской системе три основные типа фазовых переходов - кипение, плавление и сублимацию. Устанавливаются специфические особенности ФП в системах с чисто кулоновскими корреляциями. На базе введенного модельного ряда анализируется класс аномальных фазовых диаграмм с нестандартной топологией фазовых границ газ-жидкость-кристалл, характеризующейся непрерывной суперпозицией границ плавления и сублимации и отсутствием критической точки. Изучается специфическое свойство кулоновских систем — существование скачка электростатического потенциала на границе раздела фаз. Устанавливаются закономерности поведения потенциала межфазной границы в пределе высоких и низких температур. Анализируется взаимосвязь фазовых переходов в изучаемых кулоновских моделях с появлением аномалий (разрывов) в равновесном профиле пространственного заряда в задачах вычисления стационарного профиля заряда в неоднородной плазме. На базе того же модельного ряда анализируется сценарий «спинодального распада», завершающего в пределе Г—» 0 термодинамическую часть зоны глубокого метастабильного плавления.

Четвертая глава посвящена исследованию закономерностей неконгруэнтного фазового равновесия в химически реагирующей неидеальной плазме. Строится теоретическая модель, и приводятся результаты расчета структуры фазовых границ и параметров критической точки неконгруэнтного испарения в высокотемпературной системе уран-кислород, являющейся продуктом экстремального (аварийного) нагрева диоксида урана. Как следствие универсального характера неконгруэнтности фазовых превращений в плазме, составленной из нескольких химических элементов, обосновывается предсказание неконгруэнтного характера гипотетических фазовых превращений в гелий-водородной плазме ряда астрофизических объектов. На примере широко используемой в астрофизических приложениях версии «плазменного» фазового перехода (вашпоп & СЬаЬпег) проводятся приближенные оценки параметров неконгруэнтности этого перехода в недрах Юпитера и Сатурна.

В заключительной части диссертации формулируются основные выводы работы и результаты, выносимые на защиту.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В главе 1 проводится анализ состояния теории по теме работы, обоснование выбора теоретического подхода и положение основных результатов диссертации в общем развитии

теории неидеальной плазмы. ^

*

В главе 2 представлена методика описания неидеальности в термодинамике кулоновских систем. В начале 70-х годов автором (в сотрудничестве с В.К. Грязновым) был разработан подход к описанию эффектов неидеальности в термодинамике кулоновских систем, оптимальный с точки зрения требований, предъявляемых активно проводившимися в это время разработками перспективных энергоустройств ("газофазный" ядерный реактор, мощные МГД-генераторы и др. [1,2],/М1,М4/. Специфика требований, предъявляемых к термодинамическим расчетам в рамках этих разработок, заключалась в следующем,

1. Необходимость оперативного проведения многовариантных термодинамических расчетов многочисленных комбинаций рабочих сред в широком интервале температур и давлений.

2. Необходимость одновременного расчета процессов диссоциации и ионизации составляющих рабочих тел из-за наложения интервалов протекания обоих процессов вследствие близости энергий связи молекулярных составляющих рабочего тела и потенциалов ионизации легко ионизуемой «присадки».

3. Широкий спектр рассчитываемых элементов - от водорода и инертных газов до различных металлов, особую роль среди которых играли уран и щелочные металлы.

4. Доминирующая роль расчетов смесей и химических соединений, при описании чистых веществ - как исключения.

5. Необходимость вычисления помимо уравнения состояния еще и равновесного состава для последующего расчета всего комплекса оптических и переносных свойств рабочих сред, в особенности электронного переноса и диффузии.

6. Высокий уровень энергонапряженности рабочих сред, определяемый предельным конструктивно допустимым уровнем температур (Г < 105 К). Это требовало рассмотрения частичной или полной (включая многократную) ионизации.

7. Высокий уровень динамической напряженности устройств, определяемый предельным конструктивно допустимым уровнем давлений (Р < 102-103 атм.\ делал центральной задачу описания состояния сильной неидеальности одновременно по всем типам взаимодействия: заряд-заряд, заряд-нейтрал и нейтрал- нейтрал.

Ввиду ограниченных возможностей аЬ тШо теоретических подходов (см. выше) в описании одно- или многократно ионизованной сильно неидеальной плазмы сложного химического состава, все сказанное выше однозначно обусловило выбор квазихимического подхода («химической модели плазмы» /1-3//М1/) в качестве рабочего инструмента для решения поставленной задачи.

Базовый подход в описании эффектов неидеальности

Учитывая состояние вычислительной базы того времени и специфику прикладных требований, основу обсуждаемого подхода /5/ составил отказ от трудоемких попыток повысить асимптотическую точность существующих плазменных приближений. Акцент был сделан на использовании относительно простых аналитических приближений в сочетании с точным выполнением набора общих соотношений, справедливость которых не зависит от условия слабой неидеальности. Предполагалось, что такой прием, не повышая

' Материал данной главы публикован в/1-10, 15,16, 19-21,24, 28, 32, 36-38/,/М1-М5/.

асимптотической точности учтенных членов плазменного разложения, вместе с тем приведет к эффективной взаимной компенсации среди членов отброшенных.

Основу указанного набора точных соотношений составляли три их источника.

1. Следствия дальнодействующего характера кулоновского потенциала, приводящего к справедливости в условиях плазмы «условий локальной электронейтральнссти» (Stillinger & Lowett, Gruber, Lebovitz & Martin) - ряда интегральных соотношений, наложенных на корреляционные функции плазмы и играющих для этих функций роль нормировочных условий /5/. Условия локальной электронейтральности выражают требование, чтобы полный заряд т. наз. «экранирующего облака» (включая его полный дипольный и квадрупольный моменты) был в точности равен (со знаком минус) полному заряду экранируемой этим «облаком» частицы (или системы частиц) независимо от степени неидеальности плазмы.

2. Следствия однородности кулоновского потенциала. Известна точная связь между средней потенциальной и кинетической энергиями равновесной кулоновской системы частиц и давлением и внутренней энергией этой системы:

U - t4in + f/pot ; (2.1)

3/>F=2t/kin + t/po,. (2.2)

3. Положительность величин, имеющих физический смысл вероятностей. Это, прежде всего, относится ко всем s-частичным корреляционным функциям плазмы.

Совместное выполнение указанных соотношений используется как инструмент для эффективной коррекции асимптотических приближений при их экстраполяции в область Г > 1. Помимо этого для проверки правильности полученных результатов используется набор точных следствий общего условия устойчивости термодинамического равновесия /МЗ/, справедливых для неидеальных систем в общем случае. К числу этих условий относится семейство неравенств типа неравенства Гиббса-Боголюбова (см. напр. [4]), выражающих свойство выпуклости термодинамических потенциалов относительно интенсивных термодинамических переменных. Эти неравенства требуют достаточно "жесткой" зависимости корреляторов системы и термодинамических функций от потенциала межчастичного взаимодействия, рассматриваемого в качестве дополнительной термодинамической переменной. В простейшем варианте это условие наложено на зависимость от "константы связи" А.: {Ф*(Х,г) ^ ХФ(г)}, вариация которой равносильна «линейному включению» взаимодействия. В кулоновской системе X = е2, и для свободной энергии F(T, V,N\X) должно выполняться соотношение

или '.Ni.Ne S 0. (2.3)

Как следствие (2.3), в рамках химической модели плазмы для подсистемы свободных зарядов должно выполняться условие неубывания величины снижения к-го потенциала ионизации с ростом кратности ионизации. В работах автора отмечалось, что оба эти условия нарушаются в широко используемом в теории однократно ионизованной плазмы «дебаевском приближении в большом каноническом ансамбле» [5] уже при Гц = Го* ~ 0.78.

Модельная проверка эффективности подхода

Эффективность развитого подхода была проверена на примере простейшей кулоновской системы - модели классической однокомпонентной плазмы (ОСР). Термодинамика ОСР достаточно хорошо изучена. Все безразмерные термодинамические

величины, описывающие эффект неидеальности, являются однопараметрическими функциями параметра неидеальности Г (или Го):

Го s (Ze)2/i7>D; Г = (Ze)2(4iui/3)"3/Ar= (Го2/3)"3: LF(N,V,T)/NkT=ßTy, &U/NkT=3{AP/nkT)» е(Г); А\х/кТ =/Г) +■ е(Г)/3. (2.4)

В приложении к модели ОСР базовый подход настоящей работы состоит в следующем.

A. Приближение строится на языке единственной бинарной корреляционной функции (БКФ), FjOO, выбор которой полностью определяет термодинамику системы:

ДU/NkT = 2{АР/пкТ) = - (л/2)/[ F2(r) - 1 ](e2/r) 4mr2dr. (2.5)

B. Любое асимптотическое (по Го) приближение, сформулированное на языке корреляционных функций (но не итоговых термодинамических поправок) корректируется в рамках этого подхода при помощи единого приема. Для этого в качестве исходной величины используется функциональная форма бинарной корреляционной функции (БКФ). даваемой этим приближением в пределе Го « 1.

C. Параметры этой БКФ корректируются так, чтобы выполнялись следующие соотношения. С1. Условие положительности бинарной корреляционной функции Fjfjr):

F2(r) > 0 (0 <г < °о). (2.6)

С2. Условие экспоненциальности, определяющее поведение БКФ в пределе г —> 0:

/V(r)~exp{-/№(r)} (г -> 0). (2.7)

СЗ. Условие локальной электронейтральности (или условие «нулевого момента» [3]):

J[F2(x)-l]x2Ä = -r„s-^- (х s г/го). (2.8)

С4. Условие полного экранирования (условие «второго момента» [3]):

|[ОД-1]х4Л = -6Г„. (2.9)

Ряд приближений приводит к корреляционной функции в линеаризованной форме:

Л» = 1 - ехр(-Лх)/Вх, (х и r/rD), (2.10)

где А и В — функции от Го. Обычному дебаевскому приближению (LDH) соответствует выбор А = 1 и В = Го"1 . В модификациях этого приближения величины ДГо) и В(Г0) представляются в виде точного асимптотического разложения по степеням Го. и 1пГо [7]. Достоинством линеаризованной формы дебаевского приближения (LDH) является точное выполнение условий электронейтральности (2.8) (2.9), но при этом на близких расстояниях неизбежно нарушается условие положительности БКФ (2.6). Широко используемой модификацией приближения (2.10) является переход к нелинейной форме («лестничное» приближение) с теми же значениями Л(Го) и й(Го) («exp{LDH}»):

F(x) = ехр{- ехр (-Ах)/Вх}. (х = r/rD), (2.11)

Это позволяет автоматически выполнить условия (2.6) и (2.7), но при этом при Г > 1 нарушаются условия локальной электронейтральности (2.8)-(2.9). Согласно походу настоящей работы для эффективного улучшения асимптотики указанных приближений при Го > 1 важно одновременное выполнение ими условий (2.6)-(2.9). Например, в результате простейшей коррекции такого рода /Иосилевский, 1968//1-2/ приближение Дебая-Хюккеля (2.10) с А - 1 и В = Го 1 принимает после коррекции следующий вид (обозначение — LDH-C):

^) = {о"(/г/ДС)еХР(Л_ДС) 'хГя'}^-^1^-1 (^-ГопряГ0«1).(2.12)

Для внутренней энергии и давления системы это приводит к выражению

(&)_-<£)„">♦- "'"--'l-

Этот результат совпадает с дебаевским приближением в пределе слабой неидеальности, но имеет существенно иную, "квазикристаллическую" асимптотику (~ лш) в противоположном пределе сильной неидеальности (Г » 1):

! U \ UU/NkT)WH =-Г„/2, при Г„«1 1 (iZ/M^LDH-c-n"2

Шиш., -ЗГ/4 при Г„»1 J (CWVA7Wc~n,/3 (2-14)

Примечательно, что приближение (2.12-2.13) неоднократно выводилось и перевыводилось в литературе, и часто цитируется под названием "Debye-Hückel-Hole Theory" [6].

На рис. 2.1 представлены четыре приближения до и после коррекции, аналогичной вышеописанной, в сравнении с принятым за эталон результатом расчета методом Монте-Карло (МК) (Hansen, 1973):

• обычное (линеаризованное) приближение Дебая-Хюккеля («LDH»);

• дебаевское приближение в большом каноническом {р, К Г}-ансамбле («BDH») [5];

• нелинейное «лестничное» дебаевское приближение («exp{LDHJ») (2.11);

• линеаризованное приближение (2.10), асимптотически учитывающее зависимость амплитуды и радиуса экранирования от Го (Mitchell & Ninham, Cohen & Murphy [7]).

Рис.2.1. Уравнение состояния' однокомпонентной модели плазмы (ОСР). Асимптотические приближения до (а.с) и после (Ь.с) коррекции с целью одновременного выполнения соотношений

(2.6Н2.9):

1,2 на (a,b) и LDH, DDH на (с) - кольцевое (дебаевское) приближение в {//, К Г) н (д V, Т>-ансамблях; 1 *,2* и LDH-C - то же после коррекции, LDH-C - с монотонной БКФ (2.12) (2.13); LDH(-~) - скорректированное приближение LDH с осциллирующей формой БКФ; J и J * - нелинейное («лестничное») ■ приближение У (г) = (e2/ii:7>)exp(-/",'VD)} до и после коррекции; 4 и 4* — приближение [7]; МК и MC - результаты расчета методом Монте-Карло; (с) А - расчет с использованием метода интегральных уравнений ББГКИ; волнистая линия на (с) — момент появления осцилляций в БКФ (М/С); стрелка - нарушения неравенства Гиббса-Боголюбова в 'BDI Г (Го - 0.8)

Ценность требования одновременного выполнения условий (2.6)—(2,9) заключается также и в том, что из него непосредственно следует верхняя граница для момента наступления осцилляции БКФ (F2&))'- Го* <(Ю)3/г/3 = 10,5 (сравни с приближенным результатом МК-моделирования: Гц s 5 (Г s 2)). Учитывая это обстоятельство коррекцию асимптотических приближений можно усилить, переходя к нормированной осциллирующей форме корреляционной функции {см. 'LDH(~)' на рис. 2.1(c)}.

Сравнивая приближения, развитые в данной работе, с более точными, и одновременно более трудоемкими приближениями, следует отметить, что именно одновременное выполнение условий (2.6)-(2.9) составляет основу успеха варианта приближения «средних сфер» (MSA) (Gillan, 1974), где указанное условие специально контролировалось. Еще более точное описание уравнения состояния и БКФ получается в рамках асимптотических приближений «теории простых жидкостей» [8], приводящих в конечном счете к решению интегральных уравнений: «гиперцепного» (CHNC) [9] и уравнения ББГИ (C.Hirt, 1967). Следует подчеркнуть, что в приближении CHNC одновременное выполнение условий (2.6)-(2.9) должно получаться автоматически /М1, МЗ/.

Подводя итог, можно сделать следующие выводы.

• Описанная выше коррекция асимптотических приближений, применимых при Го « 1, с использованием условий (2.6)-(2.9), не меняя асимптотики приближений в этом пределе, заметно повышает их точность (на уровне суммарных термодинамических функций) в области Го äl.

• Предлагаемая модификация обеспечивает корректный характер поведения исправляемых приближений в пределе Г —» <ю, а именно, U/NkT~ я"3.

• Нарушение неравенства Гиббса — Боголюбова (2.3) в приближении БДХ при Го — 1 прямо коррелирует с ошибкой этого приближения при Го> 1 (см. 2 на рис. 2.1(a)). Примечательно, что во всех исправленных асимптотических приближениях, включая BDH*, неравенство Гиббса - Боголюбова выполняется при любых Го-

• Конкретный способ нормировки менее важен, чем сам ее факт. Проведенная коррекция заметно улучшает совпадение различных приближений друг с другом и с эталоном (Hansen, 1973) даже тогда, когда в корреляционной функции последнего возникают осцилляции (волнистая линия на рис. 2.1), в то время как нормированные приближения типа (2.10), (2.11) (2.12) не содержат осцилляций в БКФ.

• Одновременное выполнение условий (2.6)-(2.9) является эффективным средством контроля правильности конкретных реализаций аналитических приближений. Так отмеченное в /1/,/М1/ явное нарушение условий (2.6)-{2.9) в парных корреляционных функциях, полученных в одной из первых попыток применить CHNC-приближение к плазме (Carley, 1963) объясняет низкую точность результатов этих расчетов. Примечательно, что более поздние расчеты [9] показали высокую точность приближения CHNC в применении именно к кулоновским системам. Этот результат закономерен, если учесть, что одновременное выполнение (2.6)-(2.9) в приближении CHNC должно осуществляться автоматически.

Модель классической двухкомпоиеитной плазмы. Эффективность развитого подхода была проверена на примере классической двухкомпонентной модели плазмы - симметричной системы 2N заряженных частиц ± Z с конечным в нуле потенциалом взаимодействия Глаубермана — Юхновского [10]:

Ф±(г) = ±^-[1-ехр(-/7сг)] Ф±(0) = ±Ф„ = ±(Ze)1/a = const. (2.15)

г

Преимуществом потенциала (2.15), вытекающим из его гладкости и обусловившим его выбор, является существование и положительность его фурье-образа (последнее принципиально для термодинамической стабильности системы (Fisher & Ruelle, 1966)), а

также возможность явно вычислить экранированный (квазидебаевский) потенциал, играющий важную роль в модернизации («пересуммировании») асимптотических разложений в теории плазмы. В пределе низких температур кТ « Ф+(0), система (2.15) моделирует при сжатии характерную .для неидеальной плазмы конкуренцию между уменьшением степени ионизации из-за образования связанных электронейтральных комплексов и, напротив, резким ростом ионизации из-за эффектов неидеальности «свободных» зарядов. Методическим преимуществом модели является то, что в ней отсутствует фазовый переход газ-жидкость, и при низких температурах (кТ << Ф*(0)) весь эффект кулоновского притяжения исчерпывается конкуренцией между образованием связанных комплексов и неидеальностью свободных зарядов.

Коррекиия асимптотических приближений. Согласно принятому подходу две корреляционные функции модели Р±(г) принимаются в функциональной форме, даваемой справедливым в пределе слабой неидеальности трехпараметрическим «экранированным лестничным» приближением (4/0,7 и а>) (ш может быть мнимой, а (2.16) — осциллирующей)

Рг(>") = ехр{±у(г)} = ехр{±(/0ехр(—уг)[5Ь(б>г)/юг]}. (2.16)

Выбор нелинейной формы обеспечивает выполнение условий (2.8) и (2.9). Фигурирующие в (9) константы уо, у и со (со может быть мнимой!) выбираются из следующих условий:

1) нормировочное условие экранирования (2.9):

-7\>2А- = -1; (2.17)

2) термодинамическая связь при г-* 0 «потенциала средней силы», у(г) ш кТ 1п{/ч(г)}, с исходным потенциалом и эффективным снижением потенциала ионизации Д//1/ /М1/:

V. -Д/) = -/ф„ -4я»/ф(г)[^ -Р.Уф), (2.18)

ДI = Ар/ + Дд ;

3) термодинамическая связь при г —» 0 «средней силы» между электрон-ионной парой и градиента исходного электрон-ионного потенциала:

¿У»

&

= -7-1-/ИМ')] • <2-19)

1г»0

Условия (2.17)-(2.19) фиксируют три параметра бинарной корреляционной функции (2.16), что полностью определяет термодинамику модели. В пределе слабой неидеальности Гр « 1 (Ф(ГсрУкТ« 1) приближение (2.16)-(2.19) переходит в справедливое в этом пределе линеаризованное «кольцевое» (квазидебаевское) приближение Глаубермана-Юхновского (ниже обозначено «ЛГЮ») [10]. В области сильной неидеальности построенное приближение дает существенно иное уравнение состояние в сравнении с исходным приближением. Различие тем больше, чем ниже температура, и чем больше проявляется второй определяющий термодинамику системы нелинейный эффект - экспоненциальный рост влияния ион-ионного притяжения (образование электронейтральных квазиатомов), и, соответственно, чем выше безразмерный параметр % ~~ глубина потенциала притяжения, отнесенная к температуре: % = Фц/кТ = Ф±(0)/кТ. В пределе Гц —> 0 этот эффект качественно описывается нелинейным «лестничным» приближением (ниже обозначено «ехр{ЛГЮ}»): Р(г)<* ехр{-Ф±'кр(г)/А:7)), (Ф4экр - экранированный потенциал [10], соответствующий исходному потенциалу (2.15)). Однако, как и в случае модели ОСР (см. выше), с ростом неидеальности «лестничное» приближение «ехр{ЛГЮ}» становится неприменимым из-за нарушения условия экранирования (2.8). При х-*2* 1 в этом приближении оказываются одновременно завышенными два эффекта ион-ионнного притяжения: (¡) величина заряда

«экранирующего облака» и (и) величина поправки на неидеальность в уравнении состояния. Исправленное приближение данной работы качественно верно описывает нелинейный рост влияния ион-ионного притяжения в области разреженной плазмы низких температур, но при этом приводит к заметно меньшему термодинамическому эффекту в области высоких плотностей. На рис. 2.2 для обсуждаемого случая низких температур (%» 1) показаны две термодинамические характеристики: корреляционная энергия, отнесенная к глубине ион-ионного притяжения, и безразмерное давление (фактор сжимаемости).

Рис. 2.2.Изотермы классической двухкомпонентной плазмы с потенциалом взаимодействия (2.15) Безразмерные энергия взаимодействия и давление (£//7УФо; Ьр/пкТ) в зависимости от плотности /7<т\ Цифры около кривых — глубина ион-ионного притяжения, отнесенная к температуре, (х = Ф(Д7). Сплошная линия — линеаризованное кольцевое (квази-дебаевское) приближение (ЛГЮ) [10] (В выбранных координатах результаты этого приближения укладываются на одну кривую); Штрих на 2.2(а) и штрих-пунктир на 2.2(6) - приближение настоящей работы (2.16)-(2.19). Штрих на 2.2(6) -нелинейное «лестничное» приближение - «ехр{ЛГЮ}>>; на изотерме Ф0/кТ= 12 отмечено положение критической точки фазового перехода в этом приближении

Особенностью асимптотически равносильных приближений «ЛГЮ» и «ехр{ЛГЮ}» является наличие в них при Ф(ДГС» 1 участка термодинамической неустойчивости {{8Р/дУ)т >0}, традиционно ассоциируемой с возможностью фазового перехода 1-го рода. Критическая температура этого перехода согласно расчетам данной работы составляет соответственно: [*г7,с/Ф0]лгю = 1/20, [*7уФо]„мР|лгю)» я 1/12. Но, как уже отмечалось выше, особенностью модели (2.15) является отсутствие в ней фазового перехода газ-жидкость. В этой связи важно отметить, что после использованной в данной работе процедуры коррекции в исправленном приближении (2.16)-(2.19) такой фазовый переход отсутствует, что служит доводом в пользу правильности предлагаемой коррекции.

Приложение к термодинамике реальной плазмы. Псевдопотенциальная модель.

Опираясь на результаты модельной проверки подхода, для описания подсистемы свободных зарядов в реальной невырожденной плазме в данной работе был развит вариант псевдопотенциальной модели (ППМ), имеющий ряд общих свойств с псевдопотенциальной моделью Зеленера, Норманна и Филинова [11], но вместе с тем имеющий и ряд важных отличий.

• Для эффективного описания электрон-ионного взаимодействия используется аналитический, модельный потенциал Глаубермана-Юхновского (2.15) ("3" на рис. 2.3а) отличный от потенциала, использованного в работах [11] ("2" на рис.2.3а). Преимуществом потенциала (2.15) является существование и положительность

его фурье-образа (последнее принципиально для термодинамической стабильности системы (Fisher & Ruelle, 1966).

Для ион-ионного и электрон-электронного ПП сохраняется кулоновская форма. Глубина электрон-ионного ПП (2.15), обусловлена положением принятой граничной

энергии £, разделяющей свободные и связанные состояния: Фш(0)--е. Эта же

величина одновременно является границей связанных состояний, учитываемых при вычислении статсумм возбуждения атомов и составных ионов.

Для системы с выбранными ПП приближения для вычисления поправок на неидеальность, конструируются на языке бинарных корреляционных функций, для которых сохраняется трехпараметрическая функциональная зависимость (2.20) [10], соответствующая пределу слабой неидеальности (Г«1) модели (2.15):

= (2.20) г саг

Параметры этой зависимости A.p.q выбираются из условий, не зависящих от степени

неидеальности. Для этого используются условия «локальной электронейтральности»

совместно с термодинамической связью амплитуды электрон-ионных корреляций

("экранирующего облака") с глубиной псевдопотенциала ф\,(г = 0) (2.15):

('")№ = I, (2.21)

п J[f» -ч'0 » -in/; = [Ф;, со) -

-^('Hl -

к Гп

dr = 3, -ApJ/W.

(2.22) (2.23)

*t('-)/*n Т о

а

-ff (1 } // » Ч ! / / ». /У » ----ä ---s -----в

ЛГ/ЛГшг*вГ

0,0

О.!

1,0

Рис. 2.3а. Эффективный электрон-ионный псевдопотенциал Ф«*(г) подсистемы свободных зарядов: 2 —"нулевой вариант" псевдопотенциала [11] {/Л>м*(0) = — 3}; 3 - эквивалентный псевдопотенциал *{г) настоящей работы в форме (2.15); 5 - электрон-ионный псевдопотенциал для водорода при Т = 103 К [П]; б — кулоновский потенциал

Рис. 2.3Ь. Безразмерная конфигурационная энергия подсистемы свободных зарядов: 1 — дебаевское приближение; 2 — конфигурационная энергия, вычисленная методом Монте-Карло [И] для упрощенного электрон-ионного псевдопотенциала 2 (рис.2.3.(а)); 3,4 - результаты настоящей работы: 3 - линеаризованная версия (2.20-2.28) для псевдопотенциала (2.15) с /ЗФ„*(0) = = -1\4- нелинейная /5/ версия для псевдопотенциала (2.15) с рФе*{ 0) = - 6

• При вычислении поправок на неидеальность к термодинамическим величинам учитывается следующий из теоремы вириала (2.1) (2.2) положительный сдвиг средней кинетической энергии свободных зарядов: Д 1/ь„ — ЗДРУ— А и,

£/=£/„,„ + i/p«, 3P(/= 2C/kin + i>poi, (2.24)

= -Кл- F-)dr. (2.25)

AU = -Уп2 f(FtO'„ - )dr, (2.26)

ДЯГ = 1 / 3(2 Д С/ - Д t/^,,) = 1 / 3(2 Д {/t,„'+ ДС/Л„, )> (2.27)

Дд = Дд, a(N, +Ne)~'&U . (2.28)

Здесь ДС/, и t/kin - поправки к полной внутренней и к средней потенциальной и

кинетической энергиям подсистемы свободных зарядов; д и Д; - химические потенциалы свободных зарядов.

• Традиционно используемое соотношение между кулоновскими поправками к давлению и внутренней энергии свободных зарядов, ДU = ЗАPV, оставаясь справедливым в области слабой неидеальности, не сохраняется в рамках настоящего приближения в области неидеальной плазмы (Го ~ 1). Это является результатом учета квантовых эффектов, влияющих на вклад свободных и связанных состояний, а также и следствием самой процедуры перехода к химической модели, приводящего к ограничению по импульсу свободных электрон-ионных пар на малых расстояниях. Качественно это приводит к дополнительному эффективному электрон-ионному отталкиванию, зависящему от степени неидеальности плазмы.

• Развитый вариант псевдопотенциальной модели приводит к приближению, которое в пределе Го -> 0 (и -»0; Т = const), совпадает с дебаевским, а с увеличением неидеальности отличается от него меньшими значениями соответствующих поправок (см. рис. 2.3Ь). Там же показана безразмерная "конфигурационная" энергия из работ [11] для отличного по форме псевдопотенциала «2» (рис. 2.3а).

Из сравнения рис. 2.3Ь можно заключить, что для эквивалентных псевдопотенциалов результаты, даваемые приближением данной работы, находятся в согласии с результатами численного моделирования методом Монте-Карло [11].

Результаты термодинамического описания умеренно неидеальной плазмы цезия и инертных газов. Эффективность построенного приближения была проверена в сравнении с результатами динамического сжатия инертных газов во взрывном генераторе (М. Жерноклетов и др. 1980 /6/), и цезия на подогреваемой ударной трубе (Ломакин, Сеченов и др. [12]). В этих экспериментах при ограниченной точности удалось зафиксировать общую тенденцию — наличие в умеренно неидеальной плазме неучтенных дополнительных механизмов эффективного отталкивания в сравнении с результатами применения имеющихся в литературе приближенных моделей. В расчетах данной работы граница, разделяющая свободные и связанные состояния зарядов, и взаимосвязанное с ней ограничение атомной статсуммы выбирались на глубине энергии связи электрон-ионной пары ~ кдТ, что близко к результатам вычисления статсуммы Планка-Ларкина. Сравнение показало, что развитый в данной работе вариант псевдопотенциальной модели позволяет качественно, и, учитывая реальную точность экспериментальных данных, количественно описать параметры экспериментально измеренных ударных адиабат ксенона и цезия и импульсного изобарического нагрева цезия. На рис. 2.4 приведены результаты сравнения теоретических расчетов с результатами ударного сжатия цезия для калорического уравнения состояния U(P,V). Анализ этого сравнения показывает /5,6/, что сдвиг ударных адиабат ксенона и цезия, полученный в настоящей работе, непосредственно связан с наличием в настоящей модели явной (и положительной) поправки к средней кинетической энергии свободных зарядов, что в терминах УРС эквивалентно эффекту дополнительного отталкивания. Вместе с тем следует отметить, что этот результат оказался достижим

в рбласти с заметной ионизацией. Это объясняется тем, что в описанном выше приближении, использованном для сравнения с данныйи динамических экспериментов на цезии и инертных газах, основное внимание было уделено вкладу взаимодействия свободных зарядов, и вклад атомов был учтен в приближении идеального газа. Упомянутый выше эффект химической модели, наличие эффективно недоступных взаимных координат и импульсов у всех "свободных" частиц, в том числе и у атомов, был учтен в модели «ограниченного атома» /6//М1.М2/, где эффект дополнительного эффективного отталкивания нейтральных частиц (атомов) был поставлен на первое место. Это привело к дополнительному, и качественно сходному сдвигу ударных адиабат, но на этот раз преимущественно в области малых степеней ионизации (см. рис. 2.4).

Рве. 2.4. Калорическое уравнение состояния плазмы цезия, ЩР,У)-3/2РУ, на изохоре V - 200 см5/г. Отмечены значения параметра неидеальности Г0 и степени ионизации плазмы а. Затенена полоса экспериментальной ошибки для сглаженной зависимости ЩР,У) [12]: 1 - кольцевое (дебаевское) приближение в большом каноническом ансамбле со статсуммой Планка-Ларкина; 2 — приближение настоящей работы; 3 - приближение «ограниченного атома» для атомной подсистемы; 4 — суперпозиция приближения 2 для подсистемы свободных зарядов и приближения 3 для описания атомной подсистемы

Экстраполяционные свойства приближения в области экстремально сжатой плазмы мегабарного диапазона давлений. Экстраполяционные свойства приближения, полученного в рамках развитого подхода, были проверены на примере сравнения результатов настоящего расчета с экспериментальными данными по динамической сжимаемости экстремально сжатой плазмы железа в мегабарном диапазоне давлений. В этих расчетах использовался описанный выше вариант модифицированной псевдопотенциальной модели (2.18)-(2.28), обобщенный на случай многократной ионизованной плазмы (Z= 1 + 7) и частичного вырождения электронов. Для этого для ион-ионных корреляционных функций использовалась форма (2.12), а для электрон-ионных - форма (2.19). Частичное вырождение электронов учитывалось, во-первых, в идеально-газовом члене, описывающем вклад электронов в свободную энергию, а во-вторых, в электронной составляющей выражения для эффективного радиуса экранирования (Ebeling, 1976; De Witt, 1980). Далее, ввиду высокого уровня плотностей в указанных экспериментах, учет кулоновской неидеальности сочетался с ограничением связанных состояний ионов железа на среднем расстоянии между тяжелыми частицами. Результаты расчета, представленные на рис. 2.5, демонстрируют удовлетворительное согласие с экспериментальными данными различных авторов.

Экстраполяционные свойства приближения данной работы были проверены также в сравнении с экспериментальными данными по динамической сжимаемости экстремально сжатой плазмы водорода (дейтерия) в мегабарном диапазоне давлений. В этих расчетах граница, разделяющая свободные и связанные состояния, как в случае плазмы железа, выбиралась на уровне энергии связи электрон-ионной пары на среднем расстоянии между тяжелыми частицами. Помимо кулоновских поправок при расчете уравнения состояния учитывалось интенсивное отталкивание молекул, атомов и ионов на близких расстояниях. Для этой цели использовалось т. наз. приближение «мягких сфер» (D. Young, 1977), модифицированное на случай смеси частиц разных «радиусов», Параметры этого

отталкивания выбирались в соответствии с рекомендациями неэмпирического «атом-атомного приближения» (Е.Якуб, 1990). Расчет с использованием такого приближения, совмещающего кулоновскую составляющую с приближением «мягких сфер», позволил удовлетворительно описать две независимые и согласующиеся между собой группы результатов ударно-волновых экспериментов: (/) сжатие жидкого дейтерия в лаборатории Sandia (Knudson el al. 2003)) и (ii) сжатие жидкого и твердого (Трунин и др. 2002-2005) и предварительно сжатого газообразного дейтерия (Мочалов, Жерноклетов и др. /37/) с использованием взрывных генераторов (см. рис. 2.6).

р.ГПа 100

10

тп=20 т = 10 ii \ i i! \ /т = 5 л а о 1

\ °í\ A 9V -i ---2

X

4 Ч \ "N4 \

р.ГПа

6 p,T¡CUi 8

Рис.

точки -

30 р.т/сы1

2.5. Ударные адиабаты пористого (а) (т = ро/роо = 5-20) и сплошного (Ь) образцов железа: - экспериментальные данные (Л. Альтшулер, Р. Трунин, Е. Аврорин и др. 1968+1998); сплошная кривая — настоящая работа; стрелка — нормальная плотность железа р0

1

_L

) lím f0/?ü)

^^¡З^Щ] 0.199 (g/cc) 0

NOVA

■л —

Твердого D, ir Жидкого D( тir Газового D.

1.0 р, г/см'

Эипериуенг tQaooe) •к Ударнее oqtv© газа С2 Расчетные удаонье адиабаты —код S^HMV

Р, ГПа

Рис. 2.6. Давление (я) и температура (¿) на ударных адиабатах твердого, жидкого и газообразного

дейтерия:

цифры около кривых — значение исходной плотности образцов; стрелки над рис.(а) - величины предельного «идеально-газового» сжатия; значки - экспериментальные данные: Laser NOVA (Collins, DaSilva, 1997); взрывные генераторы ВНИИЭФ (Саров); Z-p¡nch (Knudson et al. 2003); кривые -

расчет настоящей работы

Результаты настоящих расчетов также согласуются с результатами расчета ударной адиабаты дейтерия в рамках строгих 'первопринципкых* подходов: - метода интегралов по траекториям (В.МПЬгег е1 а1. 2000» П.Левашов и др. 2004) со стороны высоких температур, и с расчетами методом Монте-Карло диссоциирующего дейтерия со стороны низких

температур (Е. Якуб, 2003). Вместе с тем результаты настоящего расчета не согласуются с известными экспериментальными данными, полученными с использованием лазера NOVA (Collins, DaSilva). Авторы последнего эксперимента недавно сообщили о найденных ими источниках погрешностей своих экспериментов 1997 г.

Следует подчеркнуть, что полученное согласие с результатами эксперимента на железе и водороде (дейтерии) при столь далекой экстраполяции теории не может быть отнесено исключительно к достоинствам кулоновского приближения данной работы. В действительности успех подобной экстраполяции неизбежно обусловлен многими составляющими, включая модель, используемую для описания вклада интенсивного короткодействующего отталкивания тяжелых частиц. Вместе с тем удовлетворительное согласие с данными эксперимента свидетельствует и в пользу кулоновской составляющей, как составной части полного теоретического описания неидеальной плазмы.

На основании всего вышесказанного можно заключить, что обобщение приближения, полученного в рамках развитого в данной работе подхода, на область плотной, многократно ионизованной, частично вырожденной плазмы экстремальных параметров демонстрирует удовлетворительные экстраполяционные свойства приближения настоящей работы.

Глава 3 1 посвящена исследованию закономерностей фазовых превращений в кулоновских системах. При этом акцент делается на особенностях, привносимых именно кулоновским взаимодействием. Для этой цели основное внимание уделяется модельному ряду «безассоциативных» кулоновских систем, позволяющему в идеализированной форме воспроизводить в чисто кулоновской системе три основных типа фазовых переходов -кипение, плавление и сублимацию. Основой этого семейства моделей служит модификация хорошо известной однокомпонентной модели плазмы на «жестком» (несжимаемом) фоне (обозначение - ОСР(#)). Такой выбор продиктован важной особенностью неидеальных систем: среди термодинамических последствий одновременного наличия в системе межчастичного притяжения и отталкивания можно условно выделить два ведущих механизма проявления неидеальности - образование конечных ассоциаций (комплексов) и появление фазового перехода типа газ-жидкость (ФП). Неидеальность в большинстве реальных и значительной части модельных кулоновских систем представляет собой конкурентную суперпозицию обоих процессов, затрудняющих успешное теоретическое описание каждого из процессов по отдельности. Поэтому представляется целесообразным детальное изучение двух предельных ситуаций: (А) системы, в которой нет фазовых переходов, но могут свободно образовываться ассоциации, и, напротив, (Б) кулоновской системы, в которой по определению нет ассоциаций, но возможны любые фазовые расслоения. Кулоновская модель первого типа (2.15)-(2.19) рассмотрена в предыдущей главе. Данная глава работы посвящена моделям класса «Б». Рассматривается класс кулоновских моделей, где по определению отсутствуют индивидуальные корреляции зарядов противоположного знака, но вместе с тем полностью развиты корреляции зарядов одного и того же знака. По отношению к модели-прототипу, ОСР(#), это означает переход от концепции жесткого, несжимаемого фона к однородно-сжимаемому компенсирующему фону. Непосредственным следствием такой сжимаемости фона является появление для системы <заряды плюс фон> возможности в поисках минимума свободной энергии распадаться на две (и более) фазы разной плотности. Это приводит к появлению в рассматриваемой модельной системе помимо кристаллизации - (единственного перехода в ОСР(#)) дополнительных фазовых переходов первого рода, главным из которых является переход типа газ-жидкость с верхней критической точкой. Следует отметить, что одним из традиционных приложений стандартной версии модели ОСР(#) является сверхплотная

f Материал данной главы публикован в /7, 11-14, 17, 25, 33-35, МЗ, М5/.

плазма астрофизических объектов (напр. белых карликов), где в силу высокой степени вырождения электронов, они не участвуют в формировании ион-ионных корреляций, играя для подсистемы ионов роль жесткого компенсирующего фона. В данной работе в рамках исследования специфики «кулоновских» фазовых переходов модифицированная модель ОСР(~) рассматривается во всей области параметров, включая область малых плотностей.

Главным отличительным признаком изучаемого модельного ряда является запрет -индивидуальных корреляций зарядов противоположного знака. В работе даны три варианта точного определения таких моделей, допускающих прямое численное моделирование их свойств, включая все фазовые превращения. Одно из этих определений возможно с помощью электронейтрального большого канонического ансамбля (Lebowitz & Lieb, 1969), где число зарядов и соответствующая плотность фона являются переменными, будучи при этом строго связанными условием электронейтральности.

Рис. 3.1. Сводная фазовая диаграмма модели ОСР(-) ионов в координатах температура плотность электронов фона при различных значениях заряда ионов Z для «нормальной» (Z = 1;10) и аномальной

(Z= 100) топологии фазовых границ: 1,2 — спинодали и 3,4 — бинодапи фаз низкой (1,3) и высокой (2,4) плотности; .5 - классические ветви полосы плавления вигнеровского кристалла ионов (Г= 175) из кристаллической (А) во "флюидную" (В) фазу (на вставках — окрестность тройной точки для Z = 1 и 100); критические (с) и тройные (tr) точки; б-граница вырождения электронов (n,A/3= 1) и линии постоянства параметра Бракнера ^ = ¿^0^-0.1,1.0,10 и 100. Линия rs 100 приближенно соответствует границе «холодного» плавления вигнеровского кристалла электронов

Обсуждаемый модельный ряд может быть порожден последовательным «выключением» корреляций системы: - вначале электрон-ионных, затем электрон-электронных (либо, напротив, ион-ионных) и т.д., в результате чего взаимодействие между подсистемами заменяется их средним взаимодействием. Использование вариационного принципа статистической механики располагает в этом случае изучаемое семейство моделей в ряд по убыванию свободной энергии, замыкаемый, с одной стороны, исходной системой, а с другой - идеальным газом ионов и электронов:

SCCS ► ОСР(+) + ОСР(-) ► ОСР(+) + Id. Gas (-) ► Id. Gas (+) + Id. Gas (-), (3.1)

SCCS ► OCP(+) + OCP(-) ► OCP(-) + Id. Gas (+) ► Id. Gas (+) + id. Gas (-), (3.2)

Fwifl^' + fH^S^r' + fH'^'s Ff^ + F^K ■ (3.3)

/V, < ^V>(0C'', + /Ч-)<0СР) < FH(OCP> + />)<"ical) < FH(ide>" + (3.4)

Главным следствием постулированного запрета индивидуальных корреляций зарядов противоположного знака, является аддитивность энтропии двух подсистем, что приводит к аддитивности их уравнений состояния. Соответственно, когда уравнения состояния подсистем известны, термодинамика всей системы может быть вычислена полностью, включая все фазовые превращения. В работе рассмотрены, как основа, три варианта указанного модельного ряда: (1) ОСР ионов на однородно-сжимаемом фоне идеального ферми-газа электронов; (II) ОСР электронов на электростатическом либо идеально-газовом фоне ионов; и (III) суперпозиция двух предыдущих вариантов (с электростатическим фоном), как бы «вложенных» друг в друга (Double ОСР). Во всех трех случаях для вычислений используются известные из литературы аппроксимации раздельных уравнений состояния электронной и ионной подсистем: для флюидной и кристаллической фаз ОСР(#) ионов- аппроксимации De Witt & Slattary (1990), Shabrier & Potekhin (2000); для идеального электронного газа — аппроксимации Калиткина и Кузьминой (1975); для неидеального — аппроксимации Ichimaru el cd. (1987). Результаты расчета для различных значений заряда иона Z, приведены на рис. 3.1. и в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Параметры фазовых переходов в безассоциативных кулоновских моделях для различных значений заряда ионов Z,: ОСР ионов на фоне идеального ферми-газа электронов (обозначено "ОСР(~)"); сдвоенной ОСР модели электрон-ионной системы /"DOCP"/, модели неидеального ферми-газа электронов на однородно-сжимаемом электростатическом фоне /"Эл. газ"/

Модель ОСР(~) DOCP Эл. газ

Z, 1 3 10 1 10 - 1

кр. Tm. (Ry) 0,0393 0,314 2,17 0.101 2.69 0.0475

Г„ 8,86 16,3 42,7 5.54 39.4 4.54

(ЫкВ 5,73 2,43 1,00 3.58) 0.87 9.27

("еЛ )KD 7,22 4,22 3,30 7.26 3.60 1.29

{P/(m + njkT), „ 0,125 0,130 0,130 0.107 0.122 0.0655

тр. TJTKD 0.113 0.177 0.417 0.00767 1.15 -

(Ди/п)то 0.019 0.020 0.021 0.012 0.018 -

А ('*5)бинолаль 2,47 1,19 0,531 1.59 0.477 4.20

(гЗ')спимодаль 3,08 1,48 0,664 2.02 0.600 5.27

В Гспинодаль 5,76 11,0 28,9 3.08 25.7 3.08

{АНШо, Ry 0.363 4.715 78.27 - - -

ZeA<f(0)/kT.p 20 36,5 95 10 84 0

Обозначения: Кр - параметры верхней критической точки: температура, Г - параметр неидеальности Г, параметр Бракнера и параметр вырождения электронов, критический фактор сжимаемости; Тр — температура и скачок плотности при плавлении в тройной точке кристалл — жидкость — газ; А и В — параметры бинодали и спинодалей при Г—> 0 со стороны высокой (А) и низкой (В) плотностей; (ДЯ/ЛУ о -теплота сублимации (на один ион) при Г—> 0; 7еЛф(0)//сГрф - безразмерный электростатический потенциал межфазной границы при Т—► 0.

На основе анализа результатов расчета можно выделить ряд особенностей фазового перехода в исследуемых моделях, которые можно считать характерными для фазовых переходов в системах с кулоновским взаимодействием.

1. Примечательно низкое значение критического фактора сжимаемости, составленного с учетом полной концентрации зарядов гкр = {Р/\п\ + пс)кТ}^ ~ 0,1. Это коррелирует с аномально низким значением этой величины у щелочных металлов в сравнении с простыми жидкостями. Для Ся 2кр = 0,1. (НепвеЦ 1985, Кожевников, 1990). Для сравнения, аналог такой формы записи фактора сжимаемости для уравнения ван дер Ваальса составляет гкр = 0.185. В приближении этого же типа, но с «плазменным»

членом, описывающим вклад притяжения, АР ~ п'1 (А. Ликальтер, 1981) величина гкр = 0.145.

2. Заметная асимметрия термической фазовой диаграммы (плотность - температура), выражающаяся в аномально высоком отношении плотности при Р = 0 и Т = 0 к плотности в критической точке (ло/лкр- 12 (ОСР(~)} в сравнении с ли/«кр ~ 4+5 {Се} и л0//?«р) ~ 2+3 {простые жидкости}).

3. Отчетливое искривление вниз «диаметра» пограничной кривой, с/ = (ричшл + Р^У2 такое же, как у цезия и других щелочных металлов. Заметный рост величины этого искривления с ростом величины заряда ионов 2.

4. Примечательно высокое значение отношения теплоты перехода газ - конденсированное состояние в пределе Т —>0 к величине кТ,кр:

5. Высокое значение отношения электростатического потенциала межфазной границы при Т —> 0 к величине кТКр. Для 2 = 1 в модели ОСР(~) это отношение составляет еЛ(р(0)/^7'кр ~ 20 (см. таб. 3.1).

6. Примечательно низкая (по сравнению с нейтральными системами) величина температуры в тройной в модели ОСР(~) в сравнении с критической температурой. Так при X = 1 (Гтр/Т'кр)оср - 0.1. Для сравнения - в модели Леннард-Джонса это отношение составляет — 0.7, а в результатах МС-моделирования параметров фазового перехода в расплаве №-01 (Сшз5ат & СшШог, 1994) оно составляет Т^/Т^ ~ 0.3.

Результаты настоящей работы показывают, что отсутствие электрон-ионных корреляций в безассоциативных кулоновских моделях усиливает особенности, присущие переходу газ-жидкость в кулоновских системах в сравнении с характеристиками этих переходов в металлах и других кулоновских моделях (напр. заряженных твердых шаров), где эти особенности ослабляются за счет конкуренции с эффектом образований ассоциаций, точнее — с эффектом электрон-ионных корреляций.

Аномальные фазовые диаграммы в безассоциативных моделях плазмы. Анализ фазовых переходов в идеализированных кулоновских моделях данной работы позволяет выявить класс аномальных фазовых диаграмм с нестандартной топологией фазовых границ газ-жидкость-кристалл. Вариация дополнительного параметра модели ОСР(~) - заряда иона 2\, приводит при больших значениях этого заряда г*» 1 к двум типам таких диаграмм.

Первый, присущий ОСР(~) при > 2г* ~ 45, характеризуется инверсным взаиморасположением границ плавления и испарения, когда полоса плавления (Г = 175±5Г) модели-прототипа ОСР(#) попадает на «газовый» (а не на «конденсированный») склон границы равновесия плотная фаза — разреженная фаза, где и располагается в этом случае тройная точка (см. границу и вставку для 2= 100 на рис 3.1). Примечательно, что в этом случае в области кристаллического состояния модели реализуется участок равновесия кристалл - кристалл с одинаковым типом решетки с и верхней критической точкой. Подобная фазовая структура достаточно необычна, но встречается и в результатах численного моделирования для короткодействующего потенциала (Бушман и Фортов, обзор 1983), и в реальной ситуации в твердом церии.

Второй тип аномальной фазовой диаграммы моделируется в ОСР(~) в промежуточном интервале значений Ъ (2\*<2<2г* /2|* ~ 35, ~ 45/), когда линия плавления модели-прототипа ОСР(#) (Г= 175) попадает в район верхней критической точки нового перехода, формируя необычную фазовую диаграмму с единым и непрерывным переходом кристалл — флюид, представляющим собою гладкую суперпозицию плавления и сублимации с отсутствием критической точки и, соответственно, участка равновесия типа газ - жидкость с тройной точкой. Граница равновесия этой модели в Р-Г координатах - это единая монотонно растущая непрерывная кривая без разрывов и изломов. В случае классических ионов она не

ограничена сверху. (В случае ионов с квантовой статистикой для обеих масс-асимметричных моделей: ОСР(-) и ООСР(-) обсуждаемая кривая ограничена по температуре «точкой возврата» с максимумом температуры плавления с последующим участком «холодного» квантового плавления). Обсуждаемый тип фазовой диаграммы также встречается в моделировании систем с короткодействующим потенциалом взаимодействия (твердые сферы + притяжение Юкавы (Медегов & Кауавсиев, 1994)) и что важнее, может реализоваться в экспериментах с системой заряженных коллоидных частиц в полимерном растворе.

Рис. 3.2. Аномальные фазовые диаграмма в безассоциативной электрон-ионной модели ОСР(-): (а) - в интервале < 2 - 40 < 7.1*; 0) - в одной из двух пограничных ситуаций 2 = 2\* = 34.6: 1 — линия плавления вигнеровского кристалла (Г = Гт«|75) в модели-прототипе ОСР(#); 2'. 2", 3',3" — единая граница сосуществования фаз кристалл — флюид; 22" — плавление, 3',3" — сублимация; 4\4" - спинодаль (а) и бинодаль (Ь) метастабильного сосуществования газ- жидкость;

5 — критическая точка этого перехода; 6',6"на (Ь) - спинодаль газ-жидкость

Наиболее примечательная аномалия фазовой диаграммы модели ОСР(~) соответствует двум пограничным ситуациям 2 = 2|* = 35 и 2 = 22*~45. В этом случае на пограничной кривой обсуждаемого единого перехода кристалл-флюид появляется псевдо-критическая точка:

• При 2= 2\* — на «газовой» части бинодали кристалл-флюид (рис. Ъ.2,Ъ).

• При 2 - — на кристаллической части этой бинодали.

В этой точке выполняются два из трех стандартных условий критической точки: - (дР/дУ)т = = 0 и (д'Р/дУ^т = 0, но не выполняется третье 0, поскольку в отличие от

стандартной ситуации обсуждаемая псевдо-критическая изотерма является разрывной. На рис. 3.2,6 представлены результаты расчета настоящей работы для этого последнего типа аномальной фазовой диаграммы в модели ОСР(~).

Подводя итог, можно заключить, что методическое преимущество изучаемых в данной работе безассоциативных кулоновских моделей позволяет, варьируя внутренними параметрами модели, изучать как 'нормальные', так и аномальные типы фазовых диаграмм, детально прослеживая, как стабильные, так и все метастабильные ветви. Получаемые фазовые диаграммы необычны, но, вместе с тем, достаточно универсальны. Они встречаются как в результатах численного моделирования систем с короткодействием, так и в реальных кулоновских системах. В приложении к плазме полученные результаты применимы в ситуациях с участием многозарядной 'пылевой' или 'коллоидной' плазмы.

Взаимосвязь фазовых переходов в ОСР(~) с решением задач термоэлектростатнкн.

В работе показано, что фазовые переходы в семействе модифицированных моделей ОСР(~), исследуемые в данной работе, могут своеобразным образом проявляться в задачах термоэлектростатики, т.е. в задачах расчета равновесного профиля пространственного заряда в окрестности источника неоднородности в ситуации, когда проблема сформулирована, как задача на экстремум термодинамического потенциала, свободной энергии, как функционала от одночастичной плотности зарядов п(г) (приближение функционала плотности) [13]:

^-«.¡».„^[«(^»а/^зс).^ + ^Г^у^р + (3.5)

В приближении квазиоднородности, широко используемом на начальных этапах решения задачи, для фигурирующего в правой части (3.5) обменно-корреляционно-кинетического члена /■"*[«(')] используется локальная плотность свободной энергии Дл(г)), соответствующая макроскопической системе зарядов (ионов, либо электронов) - ДЛГ, V, Т):

00]= //(г.л(г)).п(г)«е ; /(Г.») -Ц^рИ

. (3.6)

В 'бескорреляционных' приближениях Томаса-Ферми или Пуассона-Больцмана для /Г(Л', V, Т) используется идеально-газовое выражение (для вырожденной и для невырожденной систем, соответственно). Следующий шаг в рамках приближении квазиоднородности (3.6) -включение в выражении для плотности свободной энергии АТ,п) простейших поправок на неидеальность (корреляцию): приближения Томаса—Ферми—Дирака и Пуассона-Больцмана— Дебая. В работе показано, что логическим завершением этого класса приближений, является использование в (3.6) «точного» уравнения состояния однокомпонентной модели электронов и/или ионов на компенсирующем фоне ОСР(—). Принципиальным следствием такого шага является то, что все аномалии и сингулярности макроскопического уравнения состояния неидеальной системы Р(Ы, V, Т) оказываются вовлеченными в процедуру поиска экстремума функционала (3.5)-(3.6), и в итоге отражаются на конечном результате этого поиска -равновесном профиле зарядов. В частности, изучаемый в работе фазовый переход в ОСР(~) электронов (или ионов) при достаточно низких температурах и плотностях оборачивается вначале немонотонностью, а затем разрывом в профиле электронов (или ионов). В качестве примера в работе методом прямой минимизации функционала плотности (3.5)-(3.6) вычислен профиль электронов в атомной ячейке РЬ (7 = 82) (такой выбор продиктован стремлением провести сравнение с уже имеющимися в литературе расчетами в приближении Томаса-Ферми-Дирака при Т> 0 (Бг^сЬтап & ЕМагег, 1987)). В работе показано, что при температурах ниже критической температуры ОСР(~) электронов (кТ < 0.65 эВ) при расширении системы наступает момент, когда в профиле электронов появляется разрыв, увеличивающийся с понижением температуры, в результате чего электроны ячейки разбиваются на плотную «конденсированную каплю», центрированную на ядре, и разреженную «газовую корону» на периферии ячейки. Это показано на рис. 3.3,а.

Подчеркнем, что значения локальных плотностей электронов на границах разрыва зависят только от температуры и точно равны плотностям сосуществующих фаз указанного перехода в макроскопической системе ОСР электронов, локальный УРС которых используется в выражении для /г*[п()] при решении задачи (3.5)-(3.6). Обсуждаемые разрывы в равновесных профилях пространственного заряда являются характерной идеализацией начального приближения, подобной аналогичным идеализациям ударной волны или межфазной поверхности, как математических разрывов. Это свойственно описанию эффектов неидеальности в приближении квазиоднородности. Дальнейшее уточнение теории за счет включения эффектов нелокальности (например, градиентных

членов в (3.5)), должно привести к размытию разрывов и проявлению их структуры. Примечательно, что появление при Г- 0 разрыва в профиле электронов ячейки в приближении Томаса—Ферми-Дирака, или же «конденсация» контр-ионов коллоидной плазмы на поверхности макро-иона в приближении Пуассона-Больцмана—Дебая ("structuring catastrophe", Manning)) - это эффекты, вообще говоря, известные в литературе (Гомбаш, 1950 /Penfold & Nordholm, 1990). Защищаемым положением работы является утверждение, что эти и подобные им эффекты находят свою естественную и исчерпывающую интерпретацию именно в терминах изучаемого фазового перехода 1-рода в модифицированных моделях ОСР(~). В работе показано, что пример появления разрыва в атомной ячейке качественно повторяется во многих сходных ситуациях расчета профиля электронов, ионов, макрозарядов, «пылинок» и др., где на начальной стадии используется приближение квазиоднородности в сочетании с локальными поправками на неидеальность, удовлетворяющими неравенству Гиббса - Боголюбова (2.3).

-3-1

lg >ч

2423-

21

20-

-V ГРЬ1 «

д 1 -г=о

- \ 2 - Т<ТС

\ 3 - Г=Гс

V 4 - Т>Тс

-

1 ........ 1 1 1 1

lgP(a.e.) -4-

-6-

У 1 - Т= 0,8' Т, ь

V а - т-о,9т,

V. з- т=тс

Vi 4 - Т=1,2-Тс

\\\ —-—_

1\ \ ..... я

1 Ъ' 2

t 1

0.2

0.4 06 0.8 r/R

500

1000 т=и-1(а.е.)

Рис. 3.3. Профиль электронной плотности (а) в атомной ячейке радиуса Я = (3/4лп)' при постоянной плотности п = 2.5;о 19 см-3 и результирующая электронная составляющая уравнения состояния {Ь) плазмы свинца (2 = 82), рассчитанные методом минимизации функционала (3.5Н3.6) с использованием локального уравнения состояния модели квантового электронного газа

на электростатическом фоне: 1,2 - докритические изотермы Т<ТС (кТс а 0.65 эВ); 3 - критическая и 4 - закритическая изотермы.

Штриховая линия на правом рисунке - точки излома изотерм

«Спинодальный распад» метастабилыюго плавления в пределе Т —» 0. Опираясь на преимущество изучаемых в работе безассоциативных моделей плазмы на однородно-сжимаемом фоне, дающего возможность расчета метастабилъных участков фазовой диаграммы, на их основе был изучен гипотетическая схема «спинодального распада» -завершения в пределе Т—*0 термодинамической части зоны глубокого метастабильного плавления. Этот вопрос оказался актуальным в последние годы в связи с экспериментальными успехами в продвижении в эту зону в динамических экспериментах (Каннель и др.), а, кроме того, в связи с теоретическими предсказаниями (Скрипов, 1990) того, что кривая метастабильного плавления, подчиняясь закону Симона в зоне глубоких отрицательных давлений, с высокой вероятностью может достигать нулевой изотермы вещества. В настоящей работе показано, что в модели ОСР(~) реализуется принципиально иной сценарий, когда зона метастабильного плавления вигнеровского кристалла завершается при конечной температуре в результате пересечения одной из её границ — кривой замерзания метастабильной жидкости - с её спинодалью перехода жидкость-газ, т.е. границы

абсолютной термодинамической неустойчивости, за пределами которой вопрос о плавлении теряет свое содержание, поскольку метастабильному кристаллу уже «не во что» плавиться даже метастабильно. Единственная остающаяся возможность для кристалла -самопроизвольная потеря сплошности и необратимый переход вещества в равновесное двухфазное состояние конечной температуры и положительного давления в соответствии с условием изоэнергетичности процесса адиабатического «расширения в пустоту».

Помимо сценария «спинодального распада» в ОСР(~) при Z=I, также рассмотрены другие сценарии, соответствующие завершению плавления при Г —• 0:

1) «холодное» (Т = 0) квантовое плавление вигнеровского кристалла ядер при ультравысоких, астрофизических плотностях.

2) плавный переход полосы плавления в зону сублимации кристалл-газ, происходящий (см. выше) в модели ОСР(~) в интервале высоких значений параметра Z~ 35+45. В этом случае вопрос о завершении метастабильного плавления при Т —» 0 теряет содержание ввиду отсутствия самого метастабильного плавления.

3) необычное завершение метастабильного плавления в ОСР(~) при Z > Zi* ~ 45 (см. п. 3.2), когда зона плавления при Т> О заканчивается спинодальным распадом в момент пересечения теперь уже кривой плавления метастабильного кристалла со спинодалью перехода: кристалл малой плотности—»кристалл высокой плотности, т.е. границы абсолютной термодинамической неустойчивости кристалла с параметрами близкими к границе плавления в ОСР(#). Как и в первом случае (Z - 1) проблема плавления теряет смысл, поскольку теперь уже не существует даже метастабильного состояния кристалла, который мог бы плавиться в жидкость.

Потенциал межфазной границы в кулонбвеких системах. На базе модифицированной модели ОСР(~) и обобщения результатов на другие модели и реальные системы в работе изучено свойство, принципиально отличающее кулоновские системы от систем с короткодействием, а именно, существование в кулоновской системе стационарной разности (скачка) электростатического потенциала на любой межфазной границе. Особенность термодинамического равновесия в кулоновских системах состоит в наличии в нем черт нелокальности, главным носителем которой является средний электростатический потенциал системы tp(r). Эта особенность находит свое выражение в том, что кулоновские системы характеризуются одновременно двумя величинами, равными друг другу с точностью до среднего потенциала tp(r)'. (А) нелокальным электрохимическим потенциалом А (Гугенхейм, 1929), постоянным для всей системы, включая и случай ее фазового расслоения; и (В) локальным химическим потенциалом р,(Т, {иу}), в общем случае различным в сосуществующих фазах и строго определенным в них в случае их однородности. Разность значений химического потенциала в глубине сосуществующих однородных фаз приводит к скачку электростатического потенциала, создаваемого на межфазной границе кулоновской системы двойным электрическим слоем («дипольный барьер»),

В работе проанализирован термодинамический характер рассматриваемого потенциала межфазной границы, отличающий его от других электрофизических характеристик - работы выхода и дипольного барьера на границе металл-вакуум при Т = 0 в расчетах методом функционала плотности (G.Lang, 1975). Для предела Г = 0 (вдоль границы равновесия) установлено соотношение, связывающее предельное значение потенциала межфазной границы газ-конденсат с теплотой сублимации (Äs-H0) и с потенциалом ионизации (!) нейтрального компонента, доминирующего в этом пределе в составе газовой фазы. Для случая границы испарения в металле в работе получено соотношение

lim г—о{еД<5(Г)> = lim 7--.o{[Pe(T)]cond - [АфЫ = (Aj/ + Г)12 + ^(7^0)cond. (3.7)

В противоположном пределе Т —» Гкр потенциал межфазной границы стремится к нулю в критической точке фазового перехода газ-жидкость из-за исчезновения термодинамического различия газа и жидкости. Характер этого стремления может быть описан введением дополнительного критического индекса ф.

AipÇT) ~ \Т-ТС\*. -> О (Т Тс). (3.8)

Если химические потенциалы заряженных компонентов ft,(n,T) в окрестности критической точки являются регулярными функциями своих параметров, то можно показать, что новый критический индекс ф совпадает с критическим индексом Д характеризующим характер сближения при температуре Т —> Тс плотностей жидкой и газовой фаз.

Потенциал межфазной границы естественно вычисляется в модельных подходах, где в расчетах используются раздельные химические потенциалы заряженных компонентов в сосуществующих фазах. Например, при одновременном расчете ' химического, ионизационного и фазового равновесия в химической модели плазмы (код SAHA-IV, Грязнов и Иосилевский). Под термином «потенциала Гапьвани» этот потенциал вычислен для зарядово-асимметричной классической модели заряженных твердых сфер (M.Fisher et al. 2005). Наконец, потенциал межфазной границы может быть непосредственно «измерен» в рамках методов прямого численного «эксперимента» (MC и MD моделирование кулоновских систем) при условии одновременного моделирования обеих сосуществующих фаз. Это особенно актуально для широко обсуждаемого в физике неидеальной плазмы класса «плазменных» фазовых переходов, многократно предсказанных как в модельных вычислениях (Норман и Старостин, Ebeling & Förster, Saumon & Chabrier и др.), так и в прямом численном моделировании квантовых систем (Филинов и др.).

Рис. 3.4. Потенциал межфазной границы плавления вигнеровского кристалла в модели ОСР(#) и ОСР(~):

1 — плавление невырожденной системы ионов в ОСР(#) {Г=175}; 2 — квантовое плавление вырожденной системы ионов 100);

3 - переходная зона между 1 и 2 (качественно);

4 — точка максимальной температуры плавления; 5 — плавление ионов в модели ОСР(~) (фон - идеальный ферми-газ электронов); 6 — «спинодальный распад» метастабильного плавления в ОСР(-) (см. выше)

0 1 2 3 4 5 6 7 T. 10-5Ry<ior,l

В качестве одного из приложений в работе вычислен потенциал границы плавления вигнеровского кристалла в модели ОСР(#) (рис. 3.4) для трех режимов этого плавления: классического (Г и 175), квантового (rs ~ 100) и в переходной области (Г <Гтах). Для классического плавления потенциал границы кристалл-флюид положителен и непосредственно выражается через теплоту перехода: ZeДфтеИ = (7AS/3iV)mei,-s 0.27kBTme\t. Для квантового плавления потенциал кристалл-флюид отрицателен, и возможна лишь его приближенная оценка: еД<ртец ~ - 0.2 В. В переходной области происходит смена знака эффекта, и показано, что в псевдокритической точке возврата (Т- Гтах) потенциал точно равен нулю. Полученные результаты имеют значение для астрофизических приложений. Согласно существующим представлениям (Deloye & Bildsten, 2002) существенное влияние на

эволюцию белых карликов оказывает совместное действие процесса седиментации малой (~2%) примеси ядер щИе22 и движения фронта замерзания кристалла смеси ядер кислорода 8016 и углерода 6С1г. Главным движителем указанной седиментации и№22 является конкуренция двух связанных друг с другом сил: гравитационной (вниз) и электростатической (вверх). Наличие обсуждаемого в данной работе кулоновского скачка потенциала на границе замерзания может отразиться на диффузии ядер юКе22 сквозь эту границу, и тем самым на величине суммарного теплового эффекта процесса и его влиянии на темп остывания звезды.

Помимо плавления в модели ОСР(~) присутствует обширный переход типа газ-жидкость. В работе рассчитан потенциал границы этого перехода, который заметно превосходит потенциал границы плавления. Это представлено на рис 3.5 для моделей ОСР(~) и Е)ОСР(~). Примечательно, что потенциал границы плавления в ОСР(~) оказывается выше, чем в модели-прототипе, ОСР(#). В свою очередь, потенциал границы испарения в ООСР(-) заметно выше, чем в ОСР(~).

2000 4000

6000 8000 10000 12000 Т, К

Рис. 3.5. Потенциал межфазной границы в безассоциативных моделях плазмы {2= 1): а — модель ОСР(~) {классические ионы + идеальный ферми-газ электронов}; Ъ — "сдвоенная" электрон-ионная модель, ООСР; I - граница кристалл-газ; 2 - жидкость-газ; 3 - граница плавления (на вставках)

Рис. 3.6. Потенциал межфазной границы обычного (и) и неконгруэнтного (1.4);) испарения в уране и системе уран-кислород. Результат расчета в «химической модели» плазмы (код 5АНА-1У) /33/. Отмечены точка плавления и критическая точка

Потенциал межфазной границы рассчитан в данной работе помимо модельных фазовых переходов также для реальной плазмы. На рис. 3.6 представлены результаты расчета для границы газ-жидкость в уране и химически реагирующей плазме системы уран-кислород (диоксиде урана) /30,38, МЗ, М5/. В последнем случае испарение является неконгруэнтным (см. ниже). Примечательно, что во всех случаях, включая неконгруэнтное испарения в системе Ч+О, зависимость потенциала границы испарения от температуры сохраняет универсальный характер. Величина же потенциала границы отражает асимметрию в свойствах положительных отрицательных зарядов в обеих фазах, и, как и ожидалось, максимальна в безассоциативных моделях, а минимальна в системе и+О с высокой степенью локализации электронов в атомах, молекулах и т.д. Обсуждаемый потенциал межфазной границы не привлекал серьезного внимания исследователей. Вместе с тем по сути явления он тесно связан с термодинамикой электрон-ионного взаимодействия в металлах (уран и др.) и термодинамикой неконгруэнтного испарения в химически реагирующих смесях (уран-кислород и др.).

Глава 4* посвящена исследованию закономерностей фазового равновесия в химически реагирующей неидеальной плазме. Центральное место занимает описание неконгруэнтного испарения в высокотемпературной системе уран-кислород, являющейся продуктом экстремального (аварийного) нагрева диоксида урана (штатного топлива ядерных реакторов). Некошруэнтность, т. е. распад системы на фазы различающейся стехиометрии при сохранении полной стехиометрии двухфазной системы - явление известное в низкотемпературной теории растворов, жидких и газовых смесей и др. Вместе с тем понимание особенностей неконгруэнтных фазовых расслоений оказалось недостаточным в физике высокотемпературной химически реагирующей плазмы, что привело к неадекватности существующего описания параметров фазового расслоения в процессе гипотетической крупномасштабной ядерной аварии на реакторах на быстрых нейтронах (Е. Fischer, 1992 [14]). В данной работе построена теоретическая модель неконгруэнтного испарения двухкомпонентной системы уран-кислород. Модель впервые правильно предсказывает вызываемую неконгруэнтностью общую структуру фазовых границ такого типа испарения, принципиально отличную от существовавших представлений, и дает параметры этого перехода, играющие ключевую роль при оценке последствий крупномасштабной ядерной аварии: положение «истинной» критической точки перехода, уровень максимума давления и максимума кислородного обогащения пара в режиме аварийного кипения UC>2±x.

Модель применима, помимо диоксида урана, к другим высококипящим уран-содержащим компаундам: карбидам, нитридам и др. а также к уран-содержащим смесям различных схем газофазного ядерного реактора [1,2]/М1,М4/. Кроме того, на основе полученных результатов в работе сделаны выводы об универсальном характере проявления неконгруэнтности в различных ситуациях, выходящих за рамки проблемы ядерной безопасности и относящихся к актуальным проблемам астрофизики, физики электролитов, расплавов солей и др.

Центральным пунктом настоящей модели является использование единого, самосогласованного теоретического описания как газовой, так и жидкой фаз в рамках формализма «химической модели плазмы», как сильно неидеальной химически реагирующей, частично или полностью ионизованной смеси атомов, молекул, различных атомных и молекулярных ионов и электронов®.

Уран-содержащие смеси, включая систему уран-кислород, образуют широкий набор связанных нейтральных и ионно-молекулярных комплексов, который с ростом температуры дополняется атомарными ионами урана. Сложность описания эффектов неидеальности в такой системе в формализме «химической модели плазмы» обусловлена сложностью и неизученностью потенциалов взаимодействия многочисленных участников смеси, включая сам уран и его ионы. Исходные атом-атомные потенциалы взаимодействия уран-кислород существенно неаддитивны и неизотропны и далеки от идеализации бинарно-аддитивного взаимодействия, характерного для «простых» жидкостей. Это существенно затрудняет применение первопринципных подходов описания неидеальности в терминах «физической модели плазмы» с использованием модифицированных групповых разложений или вариантов метода функционала плотности.

Принятый в данной работе подход заключается в следующем. 1. Исходное взаимодействие уран-кислород разделяется (с неизбежной долей условности)

на сильное «химическое» и слабое «остаточное» составляющие.

' Материал данной главы публикован в/3, 18, 22-23, 26-31, 38, М1, МЗ, М5/. 6 Идея применения представления нейтральной химически реагирующей смеси для описания уравнения состояния жидкого диоксида урана принадлежит Е.С. Якубу (Якуб, ТВТ, 1976).

2. Результат первого учитывается в виде равновесной смеси связанных комплексов UmO„<0±>, заряженных и нейтральных, с энергиями связи АЕ~ 5+15 эВ, вклад которых описывается с использованием термохимических констант и статсумм возбуждения, рекомендуемых справочником ИВТАНТЕРМО . Конкретно, в расчетах с использованием представления ионно-молекулярной смеси система уран-кислород описывалась как равновесная смесь следующих компонентов: U, U+, (_Г+, UO, U02, UO3, {U2On} (п = 0,1-6), О, О", 02, UO\ U02+, U02", UO3", е~.

3. «Остаточное», «внехимическое» взаимодействие считалось относительно слабым и бинарно-аддитивным. Но именно оно отвечало за само наличие фазового перехода (или переходов) в системе.

4. При экстраполяции идеально-газовых молекулярных статсумм (ИВТАНТЕРМО) в область плотной плазмы пренебрегалось их искажением под влиянием плотного плазменного окружения.

5. Вместе с тем участвующие в расчете эффективные энергии всех реакций ионизации и диссоциации самосогласованно учитывают сдвиг из-за эффекта взаимодействия, складываясь из табличных значений энергий реакций и «поправок на неидеальность» химических потенциалов всех частиц-реагентов.

6. Взаимодействие свободных частиц условно делится на три составляющие: интенсивное короткодействующее отталкивание (эффект «собственного объема»), короткодействующее притяжение и кулоновское взаимодействие заряженных частиц.

7. Эффект «собственного объема» учитывался в рамках приближения смеси твердых сфер, модифицированного в финальной версии расчетов в рамках теории возмущений"

8. Эффект короткодействующего притяжения учитывался в рамках приближения Ван дер Ваальса, модифицированного в финальной версии расчетов в рамках теории возмущений".

9. Эффект кулоновского взаимодействия зарядов учитывался в рамках комбинированного приближения MSAE/DHSE (Mean Spherical / Debye-Huckel-Hard-Spheres approximations /"Energy" versions) модифицированных в приложении к комбинированной системе заряженных твердых сфер с различающимися диаметрами и зарядами.

10. Выбор параметров всего набора эффективного («внехимического») взаимодействия свободных частиц, заряженных и нейтральных, включал три этапа:

а) предварительная теоретическая оценка параметров взаимодействия компонент'*;

б) выявление среди множества заранее неизвестных параметров межчастичного взаимодействия группы доминирующих параметров, преимущественно определяющих (I) температурную зависимость термодинамики жидкого диоксида урана при фиксированной стехиометрии, и (II) - концентрационную зависимость термодинамики жидкого диоксида урана от вариации стехиометрии при фиксированной температуре (эквивалент т. наз. «модели кислородного потенциала» (Hyland, 1984; Fischer, 1987; /М5/);

в) коррекция предварительно определенных доминантных параметров («калибровка» модели) с целью описания базовых термодинамических свойств стехиометрического жидкого UO20 в окрестности точки плавления (Г= 3120 К): плотности, энтальпии и свободной энергии Гиббса (База данных ИВТАНТЕРМО);

" Использовались данные для компонентов системы уран-кислород, критически переработанные B.C. Юнгманом, Л.Н. Гороховым и др. в Отделе термодинамики ИТЭС ОИВТ РАН (1995-1999) . п Вариант теории возмущений, учитывающий особенности межчастичного взаимодействия в системе

уран-кислород, был разработан Е.С. Якубом /27, М5/. " Эти теоретические оценки были осуществлены A.M. Семеновым /М5/.

г) коррекция суб-доминантных параметров взаимодействия, определяющих «кислородные свойства» жидкого UO^e, в окрестности точки плавления. Точная цель этих действий - описание известных свойств этого типа: (1) величины «кислородного потенциала» жидкого UO2 0 при Г = 3120 К. Эта величина получалась экстраполяцией кислородного потенциала кристаллического UO20 (Hyland, 1997) до 3120 К и условием непрерывности кислородного потенциала из-за конгруэнтности плавления UO20 при Т= 3120 К; (2) экспериментально известной точки азеотропного испарения: (0/U)iiq»id = (0/U)vapor = 1.94 при Г= 3400 К (Reedy & Chasanov, 1972);

д) финальная коррекция всех параметров взаимодействия для дополнительной калибровки

в точке плавления даваемых теорией дифференциальных параметров жидкого UO2 0 - теплоемкости Ср, сжимаемости ßr и коэффициента расширения «р.

11. После окончательного выбора параметров обоих вариантов модели производился расчет равновесного состава и полного набора термодинамических функций для газовой и жидкой фаз системы в широком диапазоне температур, давлений и отклонений от стехиометрии UÛ2±X-. Это фактически являлось экстраполяцией обеих версий модели, «откалиброванных» при 7" = 3120 К и O/U =2.0, в область высоких температур и заметных отклонений от базовой стехиометрии 0:U«->2:1. Формальным пределом применимости такой экстраполяции по температуре является граница аналитического представления статсумм комплексов UmOn(0,±l в справочнике ИВТАНТЕРМО: Т < 12'000 К (см. сноску выше с">).

12. Проверкой экстраполяционных свойств модели служило сравнение рассчитанных свойств жидкого иОц, при Г> 3120 К с независимыми экспериментальными данными и рекомендациями авторитетных экспертных баз данных, например, Центра INSC (Argonne Nat. Lab.) и др. Такое сравнение показало вполне удовлетворительное согласие расчетных данных (как по ионно-молекулярному, так и по высоко-ионному вариантам модели) с имеющейся базой сравнения в диапазоне Т- 3120+6000 К по всем доступным свойствам жидкого UO2.0. Более того, ионно-молекулярная версия настоящей модели оказалась единственной, способной удовлетворительно воспроизвести в диапазоне Г = 312(Ь-7000 К как величину, так и немонотонный ход теплоемкости жидкого UO2 о. измеренные в экспериментах С. Ronchi (ITU, Karlsruhe, 1993). Сравнение показано на рис. 4.1.

Важным также является удовлетворительное согласие при Т - 312СН-5000К предсказаний теории с экспериментально измеренным полным давлением паров UO2+1 над кипящим UO2.0 (Bober & Singer, 1987). Это свидетельствует о согласованном одновременном описании теорией свободной энергии Гиббса и кислородного потенциала жидкого UOj.o, совместно определяющих отражаемую полным давлением степень неконгруэнтности равновесных паров (равновесную степень их кислородного обогащения). . ,

0.2

3 4 5 6,7 Температура, 10 К

В

13. Финальной процедурой являлся расчет параметров фазового равновесия в системе (вплоть до критической точки) в двух вариантах: полного (неконгруэнтного) фазового равновесия и частичного (принудительно-конгруэнтного) равновесия фаз с одинаковой стехиометрией. Первый вариант требовал решения полной системы уравнений равновесия по химическим потенциалам всех нейтральных компонентов и электрохимическим потенциалам заряженных компонентов. Второй вариант (более простой) допускал использование стандартного алгоритма «двойной касательной».

14. Для реализации этой процедуры В.К. Грязновым был разработан эффективный численный алгоритм совместного расчета химического, ионизационного и неконгруэнтного фазового равновесия в сильно взаимодействующей (неидеальной) системе. Этот алгоритм был внедрен в компьютерные коды SAHA-IV и SAHA-VI, расширяющие линию кодов «SAHA», развиваемых с начала 1970-х. На базе кода SAHA-VI были произведены массовые расчеты равновесного состава и термодинамических функций в одно- и двухфазной смеси уран-кислород в широком интервале температур, давлений и пропорций составляющих.

Результаты расчета параметров неконгруэнтного испарения в системе уран-кислород по вышеописанной схеме демонстрируют принципиальное отличие структуры и параметров фазовых границ, включая экстремальные точки, как от известных аналогов высокотемпературной фазовой границы в «простых» веществах, например в металлах, так и от результатов, даваемых лучшими из существующих уравнений состояния иОг1х [14]. Наиболее важные отличия состоят в следующем.

1. Особенностью динамики неконгруэнтного испарения является явная зависимость его параметров от скорости испарения.

2. Одной из главных особенностей термодинамики неконгруэнтного испарения является изменение размерности двухфазной области в Р-Т координатах (рис. 4.2) и расщепление стандартно-одномерной зависимости давления насыщенных паров от температуры (напр. 1 и 3 на рис.4.2.) на две раздельные границы: кривую кипения (boiling curve - ВС) и кривую насыщения (saturation curve - SC).

Температура, 103К

3.

Рис. 4.2. Фазовая диаграмма испарения диоксида урана U02 о:

1 — кривая равновесия , принудительно-конгруэнтного испарения с псевдо-критической точкой (PCP) (расчет в рамках данной модели по правилу «двойной касательной»); 2 - граница двухфазной области неконгрумшного испарения с кривой кипения (ZJC). насыщения (5Q, критической точкой (CP) и зонами J ,4 «ретроградной конденсации» (заштриховано); S - зависимость суммарного давления паров и псевдо-критическая точка границы кипения диоксида урана UO: о согласно теории [14] (E.Fischer, Significant Structure Theory)

На языке динамики испарения первая граница («ВС») соответствует режиму медленного, равновесного испарения иОа.о, наиболее близкому к режиму нагрева, который гипотетически реализуется в процессе крупной ядерной аварии.

Вторая граница («БС»), напротив, соответствует режиму сверхбыстрого принудительно-ГСМ), при котором стехиометрия пара не успевает измениться при испарении. Этот

режим больше всего соответствует традиционной экспериментальной технике импульсного (напр. лазерного) нагрева.

Настоящая теория предсказывает существенно более высокий уровень максимума давления, Ртм - 1 ГПа (вместо 0.3 ГПа) и максимума кислородного обогащения, 0/Um„ — 7 (вместо ~ 3), достигаемого в процессе кипения UO20, чем лучшее из предложенных ранее уравнений состояния UO(2±x) [14] (приведено в скобках).

Настоящая теория предсказывает существенно иную форму энтальпийной границы двухфазной области неконгруэнтного испарения в Н-Т и Н-Р координатах, отличную от стандартной. Это эквивалентно предсказанию повышенной величины теплоты испарения UO2.0 и немонотонной зависимости ее от температуры, заметно (~ вдвое) превышающей в максимуме величину, рекомендуемую Центром INSC (J. Fink, 2000). Настоящая теория предсказывает существенно отличную структуру поведения изолиний в двухфазной области неконгруэнтного испарения в сравнении с «обычным» (мономолекулярным) испарением. Так изотермы неконгруэнтного испарения в двухфазной области имеют существенно нелинейный характер и не совпадают с изобарами (рис. 4.3а). Это свойство тоже неверно описывается в теории SST (E.Fischer [14], рис 4.3Ä).

3 4 5 Плотность, г/см5

"Best case" EOS ofUOj <E Fitcher{K<K) -1992)

12000 К „vi- ^

If ср../®';/

.^—лт* 1

- - \l

—• Kw "1' i '|[

. MtJi

(DENSITY (9>елЛ> i

(О' (0'1 u Плотность. r/CM3

Рис. 4.3. Поведение изотерм в двухфазной области неконгруэнтного испарения U02 о (а)

в сравнении с результатами 'Significant Structure Theory' (6) (E.Fischer, 1992 [14]): Цифры около кривых - температура в К; ВС- граница кипения, SC- граница насыщения, СР — критическая точка; TmUi — точка максимума температуры на границе двухфазной области

Все указанные в п.п. 4-7 отличия принципиально важны для оценки последствий гипотетической ядерной аварии /М5/.

Свойства критической точки неконгруэнтного испарения UO20, принципиально отличаются от свойств критической точки «обычного» фазового перехода газ-жидкость, в которой выполняются стандартные отношения: [(дР/0У)т~ (сГP/dV2)T- 0; (д>Р/дУ3)г< 0]. Изотермическая сжимаемость в критической точке неконгруэнтного испарения UO2 о не стремится к бесконечности, а является конечной. Определяющим признаком критической точки неконгруэнтного фазового перехода является совпадение границ кипения и испарения соответствующее равенству стехиометрий фаз, и потеря положительной определенности матрицей Цдц/ди^Ц (|Xi и щ — хим. потенциал и концентрация ¿-того сорта частиц). Настоящая модель предсказывает следующие параметры этой критической точки: Ткра 10120 К; ~ 965 МПа; f\p =2.61 г/см3; SKp«1.84 Дж/гК; /?г= р\Ър1дР)т°> 1.0 ГПа"1; аР=Г\ер!дТ)Р » 5.15е-04 К"'; (С»кр = = 1.8 Дж/гК; (Го)«р « 1.2.

Универсальный характер неконгруэнтности. Анализ механизма проявления неконгруэнтности испарения в системе уран-кислород и известных свойств такого типа фазового равновесия в низкотемпературной теории растворов и флюидных смесей показывает универсальный характер этого явления.

• Любой фазовый переход в равновесной системе, состоящей из двух и более химических элементов, в общем случае должен быть неконгруэнтным.

Исключения из этого правила (достаточно многочисленные) соответствуют «мономолекулярным» фазовым переходам, в процессе которых частицы, составляющие систему, не меняют свою индивидуальность (например, НгО, СОг и др.). В работе обсуждаются три примера ожидаемого проявления неконгруэнтности вне рамок проблемы ядерной безопасности. Для одного из них обсуждение масштаба неконгруэнтности носит количественный характер. Главный качественный эффект, предсказываемый во всех случаях - расщепление стандартной одномерной зависимости давления перехода от температуры Ps(Tt) в двумерную зону двухфазного состояния, ограниченную двумя раздельными границами: кипения более плотной фазы и конденсации фазы менее плотной, подобно показанному на рис. 4.2. Кроме того, следует также ожидать радикального изменения характера поведения изолиний в двухфазной области подобно показанному на рис. 4.3.

Проявления неконгруэнтности фазовых расслоений следует ожидать, например, в следующих случаях:

• гипотетический «плазменный» фазовый переход в гелий-водородной смеси в недрах астрофизических объектов (планет-гигантов, желтых карликов и др.);

• переход газ-жидкость в расплавах солей (напр. галогенидов щелочных металлов);

• переход газ-жидкость в сплавах металлов (напр. в эвтектике K+Na и др.).

Возможный масштаб неконгруэнтности, предсказанный в данной работе для плазменного фазового перехода в гелий-водородной смеси Юпитера и Сатурна, оценен на примере одной из версий такого перехода (Saumon, Chabrier & VanHorn, 1995) (рис. 4.4.). С использованием опубликованных авторами [15] таблиц результатов расчета равновесного состава и термодинамических функций частично диссоциированной и ионизованной смеси гелий-водород в работе восстановлены значения химических потенциалов и поправок на неидеальность из-за межчастичного взаимодействия для нужных компонентов смеси.

0.325 0.300 0.275 0.250' 0.225 0.200

Зародыши молекулярной фазы обогащенные гелием (Y^YJ

Плазменная фаза высокой плотности '

■t..

Рис. 4.4. Оценка неконгруэнтности плазменного фазового перехода (в версии [15]) в гелий-водородной смеси Юпитера и Сатурна (Y„e=Y„=0.257):

1 — объемная доля гелия в зародышах «плазменной» фазы в нисходящем потоке «молекулярной» фазы с Y=Yo на верхней границе предполагаемой двухфазной зоны; 2 - то же в зародышах «молекулярной» фазы в восходящем потоке «плазменной» фазы (с Y=Yo) на нижней границе двухфазной зоны. J и S -

____ наблюдаемый (Galileo) уровень обеднения гелия

8000 10000 ' 120001 14000 ' в атмосфере Юпитера и Сатурна (Fortney & Т, К Hubbard, 2004)

Молекулярная фаза низкой плотности / s

Зародыши "плазменной" фазы обедненные гелием ÇY< Y^)

В предположении о доминирующем влиянии на термодинамику компонент гелиевой примеси их взаимодействия с атомами и молекулами водорода, в окрестности «плазменного» фазового перехода в водороде получена оценка отличия в стехиометрии сосуществующих фаз на двух, предсказываемых как раздельные, границах фазового перехода: со стороны

низких и высоких плотностей. Эти границы соответствуют входу в двухфазную зону, соответственно, нисходящего и восходящего адиабатических конвективных потоков в недрах Юпитера и Сатурна. Примечательно, что масштаб оцененного в работе эффекта неконгруэнтности как по знаку, так и по порядку величины соответствует наблюдаемому уровню обеднения гелия в атмосфере Юпитера и Сатурна (см. напр. Fortney & Hubbard, 2004). Это подтверждает целесообразность проведения полномасштабного расчета обсуждаемых эффектов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработан эффективный подход к описанию неидеальности в термодинамике кулоновских систем. Эффективность подхода подтверждена на примере идеализированных кулоновских моделей.

2. В рамках предложенного подхода построено модифицированное псевдопотенциальное приближение для описания эффектов неидеальности в реальной плазме. С использованием этого приближения успешно описаны термодинамические свойства умеренно неидеальной плазмы цезия и инертных газов.

3. Экстраполяционные свойства построенного приближения подтверждены сравнением расчетных данных с результатами измерения динамической сжимаемости экстремально сжатой плазмы железа, водорода и инертных газов в мегабарном диапазоне давлений.

4. На примере семейства «безассоциативных» кулоновских моделей установлен ряд закономерностей, присущих фазовым переходам в чисто кулоновских системах.

5. На базе модифицированной однокомпонентной модели плазмы (ОКП) установлено существование класса аномальных фазовых диаграмм с нестандартной топологией фазовых границ газ-жидкость-кристалл, включая случай с непрерывной суперпозицией границ кипения и сублимации и отсутствием критических точек, а также пограничные ситуации, отмеченные существованием псевдокритических точек.

6. Установлены закономерности поведения специфической характеристики фазовых переходов в кулоновских системах - электростатического потенциала межфазной границы. Характеристики этого потенциала в пределе высоких и низких температур изучены для фазовых переходов в идеализированных кулоновских моделях и реальной плазме.

7. Впервые изучена взаимосвязь изучаемого фазового перехода в модели ОКП с появлением аномалий (разрывов) в решении задач о вычислении равновесного профиля заряда в неоднородной плазме в приближении квазиоднородности.-

8. На базе модифицированной модели однокомпонентной плазмы установлена структура границ перехода кристалл-жидкость в области глубокого метастабильного плавления в пределе низких температур. Детально изучен, как наиболее вероятный для реальных веществ, сценарий «спинодального распада» зоны плавления, завершающего при конечной температуре термодинамическую часть зоны метастабильного плавления из-за пересечения границы замерзания жидкости и спинодали фазового перехода жидкость-газ.

9. Построена теоретическая модель «неконгруэнтного» фазового равновесия (НФП) в химически реагирующей неидеальной плазме. На примере плазмы продуктов нагрева диоксида урана впервые установлена корректная структура фазовых границ неконгруэнтного испарения в химически реагирующей плазме уран-кислород.

Полученный результат важен для проблемы безопасности существующих и перспективных ядерных реакторов. 10. На основании развитой модели предсказан неконгруэнтный характер гипотетического «плазменного» фазового перехода (ПФП) в гелий-водородной плазме недр планет-гигантов и желтых карликов. На примере широко используемой в астрофизических приложениях версии ПФП (Saumon & Chabrier) приближенно оценены знак и величина такой неконгруэнтности в плазме Юпитера и Сатурна. Полученные результаты соответствуют экспериментально наблюдаемому эффекту гелиевого «обеднения» атмосфер Юпитера и Сатурна.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах /1 - 39/:

1. Грязное В.К., Иосилевский И.Л. Численные методы механики сплошной среды 4 (5) 166171 (1973)

2. Грязное В.К., Иосилевский И.Л. Фортов В.Е. Ж. Прикл. Мех. Техн. Физ. №3, 70-76 (1973)

3. Иосилевский И.Л., Кузнецова Н.И. В сб. Ракетная и космическая техника, серия IV (вып. 25-26), № 02546 (ГОНТИ-8 Москва, 1975), с. 341-373.

4. Грязное В.К., Иосилевский И.Л. Сб. Теплофизические свойства низкотемпературной плазмы / Ред. В.М.Иевлев, М.: наука 1976, с. 25-30.

5. Иосилевский И.Л. ТВТ 18 (3) 447-452 (1980) /High Temperature 18 807 (1980).

6. Грязное В. К., Жерноклетов М.В., Зубарев В.Н., Иосилевский И.Л., Фортов В.Е. ЖЭТФ 78 573-585 (1980).

7. Иосилевский И.Л. Фазовые переходы в кулоновских системах. Сб. «Уравнение состояния в экстремальных условиях». Ред. Г.В. Гадияк, ИТПМ СОАН, Новосибирск, 1981, с. 20-38.

8. Иосилевский И.Л. ТВТ 19 (4) 680-685 (1981) / High Temp. 19494(1981).

9. Иосилевский И.Л., Грязное В.К. ТВТ 19 (6) 1121-1127 (1981) ¡High Temp. 19 799 (1981)/.

10. Грязное В.К., Иосшееский И.Л., Фортов В.Е. Письма ЖТФ 22 (8) 1376 (1982).

11. Иосилевский И.Л. ТВТ 23 (6) 1041-1050 (1985) /High Temp. 23 807 (1985)/.

12. Iosilevski I, Chigvintsev A. in "Physics of Nonideal Plasmas" /Eds. W. Ebeling, A. Förster, R. Radtke, (Teubner, Stuttgard-Leipzig, 1992) p.87-94.

13. Iosilevski I. Phase Transition in Simplest Plasma Models, in "Strongly Coupled Plasma Physics", /Eds. H.M. Van Horn and S. Ichimaru, (Univ. of Rochester Press, 1993) p.343-346.

14. Iosilevski /., Chigvintsev A. in "Physics of Strongly Coupled Plasmas", Eds. W. Kraeft and M. Schlanges, (World Scientific, Singapore-London, 1996) p.145-148.

15. Gryaznov V.K.. Iosilevski I.L., Fortov V.E. in «Strongly Coupled Plasma Physics" Eds. W. Kraeft & M. Schlanges, (World Scientific, Singapore-London, 1996) pp.351-356.

16. Грязное B.K., Жерноклетов M.B., Иосилевский И.Л., Симаков Г.В., Трунин Р.Ф., Трусов Л.И., Фортов В.Е. ЖЭТФ 114 (10) 1242-1265 (1998).

17. Iosilevski /., Chigvintsev A. Anomalous phase diagram in simplest plasma model, in "Strongly Coupled Coulomb Systems", Eds. G.J. Kaiman, K.B. Blagoev, J.M. Rommel, (NY-London, Plenum Press, 1998) p.135-138.

18. Gryaznov У.К., Iosilevski I.L. et al. Ionic Model for Liquid Uranium Dioxide, in "Strongly Coupled Coulomb Systems" / Eds. Kaiman G., Blagoev K. and Rommel M., /Plenum Press, NY-London, (1998) p.147-151.

19. Gryaznov V.K., Iosilevskiy I.L., Fortov V.E. Equation of state for shock compressed plasma of metals, in "Strongly Coupled Coulomb Systems" / Eds. Kaiman G., Blagoev K. and Rommel M., /Plenum Press, NY-London, (1998) p. 297-301.

20. Gryaznov V.K., Iosilevskiy I.L., Fortov V.E. et al. Nuclear Instruments & Methods in Phys. Research A 415 (1998) 581-585.

21. Golubev A., Basko M„ Sharkov В., et al. Iosilevskiy /., Phys. Rev. E 57 (3) 3363-3367 (1998).

22. Грязное В.К., Иосилевский И.Л., Семенов А.С., Якуб Е.С, Фортов В.Е., Hyland G., Ronchi С. Известия РАН, Серия физическая 63 (11) 2258-2261 (1999).

23. Iosilevski I.L., Hyland G.J. Yakub Е., Ronchi С. "An Advanced Equation of State of U02 up to the Critical Point", Transactions ofAmer. Nuclear Society, 81 122-124 (1999).

24. Gryaznov V.K., Iosilevski I.L., Fortov V.E. Contrib. Plasma Phys. 39 (1-2) 89-92 (1999).

25. Iosilevski 1. andChigvintsev A. Journal de Physique IV 10, PrS p.451-454 (2000).

26. Gryaznov V., Iosilevski /., Yakub E., Hyland G„ Ronchi C., Fortov V. Journal de Physique IV 10, Pr5,363-367 (2000).

27. Iosilevski /., Hyland G„ Yakub E.. Ronchi C. Int. Journ. Thermophys. 22 1253-1264(2001).

28. Fortov V., Gryaznov V., Josilevskiy 1. el all Contrib. Plasma Phys. 41 (2-3) p.215-218 (2001).

29. Иосилевский И., Грязное В., Семенов А., Якуб Е„ фортов В., Ronchi С., Hyland G. «Бутлеровские сообщения (Химия и комп. моделирование)», вып. № 10, с.49-53 (2002).

30. losilevskiy /., Gryaznov V., Yakub Е., Semenov A.. Hyland G., Ronchi С., Fortov V. Contrib. Plasma Phys. 43, (5-6) 316-320 (2003).

31. Иосилевский И.. Грязное В., Семенов А., Якуб Е.. Фортов В., Ronchi С., Hyland G. «Вопросы Атомной Науки и Техники» (ВАНТ) вып.1(61), Москва, с.3-15 (2003).

32. Фортов В.. Терновой В., Жерноклетов М„ Мочалов М., Михайлов А., Филимонов А., Пяллинг А., Минцев В., Грязное В., Иосилевский И. ЖЭТФ 124 (2), с. 288-310 (2003).

33. Иосилевский И.Л., Чигвинцев А.Ю. Спинодапьный распад метастабильного плавления при Т=>0, Электронный журнал "Investigated in Russia", с.20-34, (2003).

34. losilevskiy /., Chigvintsev A. // "Equation-of-State and Phase Transition Issues in Models of Ordinary Astrophysical Matter" / Eds. V.Celebonovii, W.DSppen, D.Oough, (American Institute of Physics, New York, 2004) PP. 255-261.

35. losilevskiy I., Chigvintsev A. // "Equation-of-State and Phase Transition Issues in Models of Ordinary Astrophysical Matter" / Eds. V.CelebonoviC, W.Dappen, D.Gough, (American Institute of Physics, New York, 2004), PP. 261-268.

36. Аюков C.B., Батурин B.A, Грязное B.K., Иосилевский И.Л., Старостин А.Н., Фортов В.Е. Письма в ЖЭТФ 80 (3) 163, (2004).

37. С.К.Гришечкин, С.К.Груздее, В.КТрязнов, М.В.Жерноклетов, Р.И.Илъкаее, И.Л.Иосилевский, Г.Н.Кашинцева, С.И. Киршанов, С.Ф. Маначкин, В.Б. Минцев, А.Л.Михайлов, А.Б. Межевое, М.А. Мочалов, В.Е.Фортов, В.В.Хрусталее, А.Н.Шуйкин

A.А.Юхимчук Письма в ЖЭТФ 80 (6) 452-460, (2004).

38. losilevskiy /., Gryaznov V. Problem of critical data for Uranium. Journal of Nuclear Materials 344, PP.30-35 (September, 2005).

39. Украинец А.В., Иосилевский И.Л. И Физика экстремальных состояний вещества /ред.

B.Е.Фортов, / ИПХФ РАН, Черноголовка, 2005, с.181-182 / Особенности реализации гипотетического плазменного фазового перехода в недрах Сатурна и Юпитера.

Материалы работы Иосилевского И.Л. также отражены в монографиях (/М1/-/М5/):

Ml. Грязное В. К., Иосилевский И. Л., Красников Ю. Г., Кузнецова НИ., Кучеренко В.И., Лаппо Г.Б., Ломакин Б. Н, Павлов Г.А., Сон Э.Е., Фортов В.Е. Теплофизические свойства рабочих сред газофазного ядерного реактора (Под ред. Иевлева В.М.) (М.: Атомиздат,1980).

М2. Грязное В.К., Иосилевский И.Л., Фортов В.Е. Термодинамика ударно-сжатой плазмы в представлениях химической модели, «Ударные волны и экстремальные состояния вещества» /Ред. В.Е. Фортов, Л.В. Альтшулер, Р.Ф. Трунин, А.И. Фунтиков, (М.: Наука, 2000), СС.299-387; // Англ. перевод: "Shock waves and extreme states of matter", Springer, Berlin, 2004, PP. 437-490.

МЗ. Иосилевский И.Л., Красников ЮГ., СонЭ.Е., Фортов В.Е. «Термодинамика и транспорт в неидеальной плазме». Изд-во. МФТИ, Москва, 2002.

М4. Иосилевский И.Л. Теплофизические свойства рабочих тел. В кн.: «Ракетные двигатели и энергетические установки на основе газофазного ядерного реактора» /Под ред. A.C. Коротеева (М.: Машиностроение, 2002) с.379-416.

М5. Ronchi С., Iosilevskiy /., Yakub Е. // Equation of State of Uranium Dioxide / Springer, Berlin, 2004, 366 pp.

Материалы работы Иосилевского И.Л. также отражены в статьях вводного тома и тома

приложений Энциклопедии по физике низкотемпературной плазмы (ЭНТП) / Ред.

В.Е.Фортов, (М.: Наука, 2000) (М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004):

1. Фортов В.Е., Иосилевский И.Л., Старостин А.Н. Термодинамика низкотемпературной плазмы. Введение, ЭНТП, Раздел III-1, (М.: Наука, 2000) с. 267-274.

2. Иосилевский И.Л. Общая характеристика термодинамического описания низкотемпературной плазмы, ЭНТП, Раздел III-1, (М.: Наука, 2000) с. 275-293.

3. Иосилевский И.Л. Старостин А Н. Проблема термодинамической устойчивости в низкотемпературной плазме, ЭНТП, Раздел III-1, (М.: Наука, 2000) с. 327-339.

4. Иосилевский И.Л. Эффекты неидеальности в низкотемпературной плазме. Том приложений III-1, ЭНТП, / Ред. А.Н. Старостин и И..Л. Иосилевский (М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004), с. 352^15.

5. Грязное В.К, Иосилевский И.Л., Фортов В.Е. Термодинамика ударно-сжатой плазмы в

квазихимическом представлении. Том приложений III-1, ЭНТП, / Ред. А.Н. Старостин и И.Л. Иосилевский (М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004), с. 111-139.

Материалы работы Иосилевского И.Л. как соавтора использованы при создании 3-х

изобретений спецустройств, зарегистрированных в НИИ Тепловых Процессов (Центр им.

М.В.Келдыша). Авт. свидетельства: № I27I87 от 07.03.1979; № 161534 от 06.06.1981;

№ 173506 от 04.05.1982.

Цитированная литература [1-15]

1. Иевлев В.М. Известия АН СССР, Серия Энергетика и транспорт. 6 (6) 24 (1977).

2. Демянко Ю.Г., Конюхов Г.В., Коротеев A.C., Павельев А.А / Ядерные ракетные двигатели

(М.: Машиностроение, 2001) 416 с.

3. Stillinger F., Lowett R„ J.Chem.Phys. 49 (5) 1991 (1968); 49 (11) 4863 (1968).

4. ИсихараА. Статистическая физика (пер. с англ.) (М.: Мир, 1973).

5. Ликалыпер A.A. ЖЭТФ 56 240 (1969).

6. Nordholm S. Chem. Phys. Lett 105, 302 (1984).

7. Mitchell D., Ninham B. Phys. Rev. 174 280 (1968); Cohen M.N., Murphy A.B. Phys. Fluids 12 1404-1411 (1969).

8. Физика простых жидкостей, (Ред. Г. Темперли, Дж. Роулинсон, М.:Мир, 1971).

9. Springer J„ PokrantM. J. Chem. Phys., 58,4863 (1973); NgK. J. Chem. Phys. 61 2680 (1974).

10. Глауберман A.E., Юхновский И.Р. ЖЭТФ 22 562 (1952).

11. Зеленер Б.В., Норман Г.Э., Филинов B.C. ТВТ 10 1160 (1972); 11 922, (1973); 12 20 (1974).

12. Буишан A.B. Ломакин Б.Н. Сеченов В.А. идр.ЖЭТФ69 1524(1975).

13. Киржниц Д.А., ЛозовикЮ. Е„ Шпатаковская Г.В. УФН 117 (1) 3 (1975).

14. Fischer Е.А. Reports KfK №№ 4084 (1987), 4889 (1992)/ЖС. Karlsruhe; J. Nucl. Sei. Eng. 101 97 (1989).

15. Saumon D„ Chabrier G., Van Horn H. Astrophys, J. (Suppl) 99 713 (1995).

Иосилевский Игорь Львович

ЭФФЕКТЫ НЕИДЕАЛЬНОСТИ И ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В КУЛОНОВСКИХ СИСТЕМАХ

Автореферат

Подписано в печать 29.12.2005 Формат 60x84/16

Печать офсетная Уч.-изд.л. 2.38 Усл.-печ.л. 2.19

Тираж 100 экз. Заказ N38 Бесплатно

ОИВТ РАН. 125412, Москва, Ижорская ул., 13/19

1 Оценки интегральных средних конформных отображений общего типа

1.1 *-спектр интегральных средних и его сравнение со спектром интегральных средних.

1.2 Нижние оценки для спектра интегральных средних

1.3 Об однолистности функций вида f(z) = / Ф(£п)dt

1.4 Спектр интегральных средних и закон повторного логарифма

1.5 Закон повторного логарифма и граничные свойства конформных отображений.

1.6 Оценки коэффициентов однолистных функций.

1.7 Об аналитическом неравенстве Пуанкаре.

2 Оценки интегральных средних в различных подклассах однолистных функций

2.1 Спектр интегральных средних и закон повторного логарифма для лакунарных рядов

2.2 Спектр интегральныхедних для бассейнов притяжения бесконечности полиномов zq +

2.3 Оценки интегральных средних полиномиальных произведений Рисса.

2.4 Теорема искажения и гипотеза Бреннана, для лакунарных рядов.

2.5 Доказательство гипотезы Бреннана в случае, когда

In (г/'//) » О.

2.6 Точные оценки интегральных средних для трех классов областей.

2.7 Оценки интегральных средних гиперболически выпуклых функций.

Граничное поведение степенных рядов в единичном круге

Теоремы сравнения изопериметрического типа для моментов компактных множеств

В диссертации создан метод, позволяющий получать эффективные нижние оценки интегральных средних для производных конформных отображений круга на односвязные области, а также установлена связь между спектром интегральных средних и законом повторного логарифма.

Оценки интегральных средних конформных отображений занимают ведущее положение в геометрической теории функций комплексного переменного. В качестве примера укажем теорему площадей, доказанную Гронуоллом [79], позволившую получить ряд точных оценок различных функционалов в классе однолистных функций (см., например, [34]). Отметим также, что в силу интегральной формулы Коши проблемы коэффициентов однолистных функций являются по-существу проблемами интегральных средних. Начало бурного развития этого научного направления связано с работами Кебе, Бибербаха и Левнера.

Одной из центральных проблем геометрической теории функций в XX веке стала гипотеза Бибербаха о том, что |ап| < п, где ап -коэффициенты Тейлора функций из класса S. Напомним, что класс S состоит из однолистных и голоморфных в круге 0 = {г:|,г|<1} функций /, удовлетворяющих соотношениям /'(0) — 1 = /(0) = 0. Литтлвуд [91] получил точный порядок роста интегральных средних в классе S

7Г

J\f(re*)\de = o(^y г 1-,

7Г с помощью которого он доказал оценку \ап\ < en, что явилось первым нетривиальным результатом в этом направлении после хорошо известных результатов Бибербаха |а2| < 2 и Левнера |аз| < 3. Впоследствии оценка Литтлвуда неоднократно улучшалась. Здесь следует отметить работы советских математиков И.Е. Базилевича, И.М. Милина и Н.А. Лебедева. В 1985 году де Бранж, доказав гипотезу Лебедева-Милина (из которой следует гипотеза Бибербаха), завершил большой цикл исследований в этом направлении.

Проблема оценки интегральных средних для модуля однолистной функции (или для модуля ее производной) до доказательства гипотезы Бибербаха рассматривалась как вспомогательный инструмент для оценки коэффициентов в классе S.

После работ Н.Г. Макарова [97], Карлесона и Джонса [65] (в которых раскрыты нетривиальные связи между интегральными средними и граничным поведением конформных отображений) оценки интегральных средних начинают играть ведущую роль в работах по геометрической теории функций. Одним из основных результатов диссертации является получение лучших на сегодняшний день нижних оценок для интегральных средних

7Г

J IПге»)?М 7Г производных однолистных функций в интервале t Е (0,1/3], а также для t — — 1. Эта задача сложна тем, что в отличие от проблемы интегральных средних для |/| (эта проблема была решена Бернстай-ном [52]) функция Кебе заведомо не является экстремальной в этой задаче.

Оценки интегральных средних существенно опираются на геометрические методы теории функций. Кроме упомянутых выше ученых важный вклад в развитие этих методов внесли зарубежные математики Альфорс, Варшавский, Дженкинс, Дюрен, Поммеренке, Хей-ман и Шиффер. Значительный вклад в развитие геометрической теории функций принадлежит советским математикам Г.М. Голузину, М.В. Келдышу, М.А. Лаврентьеву, И.И. Привалову. Их плодотворные исследования были продолжены Ф.Г. Авхадиевым, Л.А. Аксен-тьевым, И.А. Александровым, А.Ю. Васильевым, В.В. Горяйновым, Е.П. Долженко, В.Н. Дубининым, Г.В. Кузьминой, С.Л. Крушкалем, С.Р. Насыровым, Д.В. Прохоровым, А.Ю. Солыниным, В.В. Старковым, Н.А. Широковым и другими российскими математиками.

Опишем кратко фундаментальные результаты, развитию и углублению которых посвящена настоящая диссертация.

Пусть О, - односвязная область на плоскости, граница которой содержит не менее двух точек, / - конформное отображение круга i на П. В силу хорошо известных теорем искажения, имеет место соотношение

Правиц [116], обобщая результат Литтлвуда [91], показал, что для любого фиксированного р > 1/2 выполняется соотношение 1 \2p-l \f(re»)\49 = 0{—) , г 1.

-7Г

Таким образом, при интегрировании по линиям уровня порядок роста модуля однолистной функции уменьшается на единицу.

Поскольку l/V)l = °(rb)'' г>1, то естественно ожидать, что для любого фиксированного р > 1/3 выполняется соотношение j \/\ге»)\Чв = О (^У* \ г- 1. 1С

Это было подтверждено Фенгом и МакГрегором в работе [74], однако лишь для случая р > 2/5. Н.Г. Макаровым [96] показано, что этот результат не верен для р, близких к 1/3. Ниже мы покажем, что этот результат не верен при р < 0.341 (имеется гипотеза, что точная грань здесь равна 6 - 4\/2 = 0.343.). Итак, Н.Г. Макаровым установлено существенное различие между интегральными средними однолистной функции и ее производной. Причины этого различия не были ясны до середины 80-х годов XX века. Удачной идеей оказалось рассмотрение спектра интегральных средних

2тг

In jf \f'(rei9)\pd0 Ш = limsup ]Hl-r)\ ' который фактически является порядком роста интегральных средних производной. Для "хороших" областей (например, для областей с ограниченным граничным вращением) (3f(p) является кусочно-линейной функцией от р.

Отметим три важнейших результата, касающихся спектра интегральных средних:

1) Карлесон и Джонс [65] показали, что а (л\ г 1п \™п\ sup pf{ 1) = а = sup lim sup --L, feSi feSi n-»oo m n где Si - класс функций, ограниченных и однолистных в круге D, ап - коэффициенты разложения Тейлора функции /. Заметим, что неравенство sup /5/(1) > а доказывается весьма просто (и основывается на том, что интеграл от модуля некоторой функции не меньше, чем модуль интеграла от той же функции), в то время, как обратное неравенство является глубоко нетривиальным фактом.

2) Н.Г. Макаровым [97] доказано, что если множество А С <9D измеримо но Борелю, то для любого q > 0 справедливо неравенство j- л\ ^ qdimA

Pf(~Q) + 9 + 1 -dim A' где dim Л - хаусдорфова размерность множества А.

3) Поммеренке ([109], [110], стр. 241) установил следующий факт. Если область /(D) является областью класса Джона (т. е. не имеет внутренних нулевых углов), то mdimd/(D) = р, где р - единственное решение уравнения Pf(p) = р— 1, mdim - верхняя метрическая размерность Минковского.

Из этих результатов становится ясна причина сложного поведения (3f(p). Знаменитая теорема Каратеодори утверждает, что конформное отображение друг на друга областей с жордановыми границами может быть продолжено до гомеоморфизма замкнутых областей, однако не дает информацию о том, каким образом искажаются линейные меры борелевских множеств на границе этих областей. Исследование поведения спектра интегральных средних позволяет пролить свет на этот вопрос.

Перейдем теперь к конкретному описанию результатов, полученных в диссертации.

В параграфе 1 главы 1 введена новая характеристика конформных отображений, которая тесно связана со спектром интегральных средних Pf(t). Пусть / - локально однолистная и аналитическая в круге D функция. Тогда In /' также является аналитической в круге Ю> функцией и может быть разложен в степенной ряд Y2b=oakzki равномерно сходящийся внутри Ю>. Величину

00 p}(t) = limsup^—-назовем *-спектром интегральных средних. Здесь и=0

- модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. Поскольку 1п/о(ж) < ж2/4, то /3*j(t) является конечной функцией от t, если

00 Ы2г2к limsupy^---г < оо. v—> 1 |1п(1-г)|

Последнее соотношение выполняется для любой функции /, аналитической и однолистной в круге В .

Модифицированная функция Бесселя 7q при исследовании Pf(t) была впервые использована Роде ([110], стр.191, [121]). Им было показано, что если In f'(z) = aYjZqk, то j3f(t) > \nlQ(at)/\nq.

В этом же параграфе показана связь характеристик /3f(t) и Доказано, что j3j(t) (как и /?/(£)) является непрерывной выпуклой функцией от t. Далее показано, что спектр (3f(t) может быть получен из (3f(t) путем "поворота" (см. ниже свойство 4) тейлоровских коэффициентов In f'(z). Установлено, что если тейлоровские коэффициенты dk разложения In f'(z) положительны, то /?/(£) > P}(t)-Отметим одно важное достоинство *-спектра, а именно, более простое его строение по сравнению со спектром интегральных средних. Это следует из того, что тело модулей коэффициентов в пространстве Блоха устроено относительно просто (см. п. 1.4), что не скажешь о всем теле коэффициентов в этом пространстве. Доказаны следующие свойства *-спектра.

Свойство 1. Предположим, что функция / аналитична и однолистна в круге D. Тогда *-спектр интегральных средних Pj(t) является непрерывной выпуклой функцией от t на всей числовой прямой.

Свойство 2. Пусть In f(z) = Y^k=oakzh > ak> 0- Тогда

3f(t)>p}(t), t> 0.

Свойство 3. Предположим, что функция f аналитична и однолистна в круге D. Тогда *-спектр интегральных средних может быть вычислен по формуле:

1 " f) = limsup — ^ln/oWflitl), п—¥оо in Tl где ak тейлоровские коэффициенты In f'(z).

Свойство 4. Пусть In f'(z) = Y^k=\akzk- Если коэффициенты ak удовлетворяют соотношению

2 п supj^ \ак\ < +оо, п , к=п то найдется последовательность вещественных чисел {в^}, такая, что где W(*) = 2Xi akeldkzk. Пусть (см. [110], стр. 186) r-i In ^

- асимптотическая дисперсия конформного отображения /, где at -тейлоровские коэффициенты In f'(z).

Свойство 5. Для любой аналитической и однолистной в круге D функции / и любого t имеет место неравенство т) * <49

Если коэффициенты a,k —»■ 0 при к —> оо, то знак нестрогого неравенства превращается в знак равенства.

Свойство 6. Если функция f аналитична и однолистна в круге D и In f'(z) = J2akZnk, Нт^-юо Пк+\/щ = q > I, то где lnIo(a t) < < InI0(g+t) In q ~~ * ~ In q a = liminf |ojfc|, a+ = limsup |а&|. k—»oo fc—>oo

1 • f 1

- - mi sup —j=

7 Ы X,N VN eivk ikx

Определим *-универсальный спектр следующим равенством: f) = sup/?}(*), где супремум берется по всем функциям, аналитическим и однолистным в круге В. Обозначим

N к=1

Хорошо известно [45], что 0 < 7 < 1. Имеет место Свойство 7. у 2 j-t2 < B*(t) < 312, t € (-00, +00). 64

В параграфе 2 главы 1 получены нижние оценки спектра интегральных средних, а именно, доказано, что существует ограниченная, аналитическая и однолистная в В функция /, такая, что t2 2 pf{t) > - при 0 < t < -. о о

Также установлено существование ограниченной однолистной функции, для которой (3f(—1) > 0.127. Эти результаты усиливают соответствующие результаты, полученные Роде [121], который доказал существование однолистной функции g, такой, что (3g(t) > 0.117it2 при малых t.

В третьем параграфе решаена задача Дюрена об однолистности функций вида г f(z) = J exp(Xzn)dz. о

Показано, что при |А| < 1.7646 эта функция будет однолистной для достаточно больших п. Для п < 10 эта задача была решена В.Н. Гайдуком [15].

Четвертый параграф главы 1 посвящен закону повторного логарифма для конформных отображений.

Предположим, что функция / аналитична, и однолистна в круге В. Н.Г. Макаров [95] доказал, что существует абсолютная положительная постоянная С, такая, что limsup , |1П//(ГС)| < С\ \ In/'Цв г—»i— ln(l — т) | In In | ln(l — r)| - 11 для почти всех ( на окружности |£| = 1, где

1п/'||в = I In/'(0)1 + sup(l - \z\2)

Z)<1 f"

7W

- стандартная норма Блоха.

В работах ([110], [98], [65]) установлено существование нетривиальной связи между граничным поведением конформных отображений и спектром интегральных средних. С другой стороны, Н.Г. Макаровым [95] показано, что закон повторного логарифма тесно связан с граничными свойствами конформных отображений. Отсюда вытекает естественный вопрос: каким образом связаны между собой закон повторного логарифма и спектр интегральных средних? Возможным ответом на него является следующий результат, доказанный в четвертом параграфе главы 1.

Предположим, что функция / локально однолистна и аналитична в круге О и 5 > 0. Тогда

Г [Ь/Ю! УШ lim sup < 2 lim sup — r-+l- •у | ln(l — r)| In In | ln(l — r)| p—>o \'P\ для почти всех ( на = 1.

В пятом параграфе исследуются граничные свойства конформных отображений на основе закона повторного логарифма.

Предположим, что функция / аналитична и однолистна в круге Ю>. Закон повторного логарифма Макарова эквивалентен тому, что существует абсолютная положительная постоянная С, такая, что

-.г , "п/'(гС)| г->1- \J\ ln(l — г) | In In | ln(l — r) | ~ для почти всех ( на окружности |(| = 1. Поммеренке [110] показал, что данное неравенство справедливо при С = 6. В пятом парагра,-фе доказано, что этот закон верен при С = 2у/3. Этот результат позволяет уточнить метрические свойства образов подмножеств единичной окружности положительной меры при конформных отображениях круга на области, ограниченные жордановой кривой.

Итак, пусть Q - односвязная область на комплексной плоскости, ограниченная жордановой кривой. Тогда по теореме Римана существует конформное отображение / круга В = {z : \z\ < 1} на П.

Основная проблема: пусть А - множество положительной линейной меры на <90; требуется охарактеризовать метрические свойства т.

Классическая теорема Рисса-Привалова утверждает, что если область /(В) имеет спрямляемую границу, то линейная мера f(A) также положительна. М.А. Лаврентьевым [32] показано, что в общем случае этот результат не верен.

Введем некоторые понятия, необходимые для формулировки основного результата пятого параграфа.

Пусть (р - некоторая непрерывная, положительная, строго возрастающая функция на интервале [0, +оо), причем <^(0) = 0. Пусть А -множество на комплексной плоскости.

-мерой Хаусдорфа множества А называется величина где инфимум берется по всевозможным покрытиям Bk множества А, таким, что diamSfc < е. В том случае, когда ip(t) = ta, вместо обозначения Л(<* просто пишут Ла. J1. Карлесоном в 1973 году доказана

Теорема А. Пусть f - конформное отображение круга D на од-носвязную область Предположим, что множество А с 5D имеет положительную линейную меру. Тогда найдется £ > 0, такое,

В 1985 году Н.Г. Макаров показал, что в качестве е можно взять любое положительное число из интервала (0,1/2). Более того, им доказана

Теорема В. Предположим, что А - борелевское множество положительной линейной меры на окружности 5В. Тогда найдется абсолютная константа С > 0, такая, что Aip(f(A)) > 0, где

В 1992 году Поммеренке показал [110], что в качестве константы метим важность константы С: при разных ее значениях получаются неэквивалентные меры Хаусдорфа.

Шестой параграф посвящен проблеме коэффициентов однолистных функций. Основным результатом является решение проблемы Андерсона, Клуни и Поммеренке, поставленной в [48]: найти или оце

A J А) = lim inf } </?(diam5fc) что А 1/2+е(/(А)) > 0.

С можно взять число 30. Мы понижаем эту константу до 6\/3. Отнить sup\an(f)\, fes где an(f) - тейлоровские коэффициенты In f'(z). Показано, что этот супремум равен 4.

Пусть Si — класс функций, однолистных и аналитических в круге О, нормированных следующим образом: f(z)=ai(f)z + a2(f)z2 + \f(z)\<l, zeD.

Рассмотрим наряду с классом Si класс Е — аналитических и однолистных в = {|,z| > 1} функций, нормированных следующим образом:

F{z) = z + bo(F) + bi(F)z~1 + b2(F)z-2 + • • Рассмотрим следующие величины:

Ап = sup \an(f)\, fes,

Bn — sup \bn(F)\, Fez

Карлесон и Джонс [65] доказали неравенства

Вп/С < Ап < С\п2пВГ1, п> 2. в этих неравенствах С — абсолютная положительная константа. В этом параграфе доказано, что на самом деле верно более сильное соотношение

Ап < С\ппВп1ПП.

Преимущество этого неравенства заключается в том, что во-первых, показатель степени логарифма уменьшается на порядок, во-вторых, вместо Вп берутся Вп 1пп.

В седьмом параграфе изучена проблема, поставленная Д. Гамильтоном [54]: Для каких областей £1 существует постоянная k(Q) < +оо; такая, что j\f\2dxdy < k(Q) J\Vf\2dxdy n n для любой аналитической в П функции f(z), нормированной условием /(0) = 0.

Если такая константа существует, то область Q будем называть гамильтоновой.

Это неравенство является аналогом неравенства Пуанкаре для функций с компактным носителем, которые обращаются в нуль на границе области. Ф.Г. Авхадиевым и Р.Г. Салахудиновым [51] выделены области, для которых оно верно. Этими областями являются области класса Джона, т. е. области без внутренних нулевых углов. В другом направлении Хуммелем [82] был построен пример спиралеобразной области, для которой аналитическое неравенство Пуанкаре не верно. Нами получен следующий результат.

Существуют ограниченная звездная область Q со спрямляемой границей и аналитическая в функция f(z), такие, что

J \f\2dxdy = +оо,

J \Vf\2dxdy < +оо. n

Вторая глава диссертации посвящена оценкам интегральных средних в различных подклассах однолистных функций.

В первом параграфе этой главы рассматриваются конформные отображения, логарифм производных которых представим в виде ла-кунарного ряда Адамара. Эти функции отображают круг на области с фрактальными границами. Доказано, что для таких отображений справедливо неравенство lim sup iin/'K)i < 2 lim т г

1 1п(1 - r)j lnln 11п(1 - г) I t-o t для почти всех ( на окружности = 1. Равенство достигается в случае, если существует предел lim^ b\r)/\ln(l - r)|, где b\r) = |а*| V4 В этом же параграфе доказано асимптотическое соотношение

Pf(t) = P}{t) + 0{tq) при t О, где q - показатель лакунарности ряда функции In /'.

Второй параграф посвящен исследованию спектра интегральных средних для бассейнов притяжения бесконечности полиномов (см. [37]). Подробно рассматривается случай F = zq + с, где q - натуральное число, большее 2. Предполагается, что параметр с выбран таким образом, что бассейн притяжения бесконечности Qр - односвязная область.

Получены следующие результаты.

Пусть / конформное отображение внешности единичного круга D на бассейн притяжения бесконечности полинома F = zq + с lim = ^ + о(Х) при X —> О, t->o t 4

X = dim — 1, где dimf} хаусдорфова размерность dQ. Если

О < с < (\/q)l^q~l\l - 1/q), то , , In In(ct)

Pf{t) > , , 0 < t < +oo. m q

В третьем параграфе второй главы изучаются свойства интегральных средних полиномиальных произведений Рисса, которые тесно связаны с полиномиальной динамикой на плоскости. Рассматриваются локально однолистные в круге функции /, производные которых имеют вид

00 к=О где функция Ф(z) - некоторая функция, аналитическая в круге D.

Следует отметить, что единичный круг является естественной областью определения таких отображений. Литтлвуд [92] использовал такое отображение с функцией Ф(,г) = (1 + z/3)/(l — zjЗ)3 для построения ограниченной аналитической и однолистной в круге функции, коэффициенты которой не удовлетворяют соотношению dk = 0(1/к), к —► оо, что явилось первым нетривиальным результатом в проблеме коэффициентов для ограниченных однолистных функций.

Пусть q,m — натуральные числа, q > 2. Введем следующие обозначения:

00 а\т)Ч) = sup{<72 : /' = ф 0 в к=0 оо q) = suptf/p) : f = Др-(^), f ф 0 в к=О

В этих определениях супремум берется по всем полиномам рт степени т, нормированных условием рт(0) = 1.

Доказано, что ajj(m) зависит аналитически от параметров т и q. Функция /?2(т, </), несмотря на схожесть с a2(m,q), имеет точку фазового перехода т = q— 1, т. е. эта функция изменяет свое поведение в точке т = q — 1.

Показано, что

7Г2 (q + 1 )m2 a (m, q) =

6 (?-l)lng'

А™Г{т+\)\

32 [m,q )\nq = ln —--=— , m<q- 1, m\ \/7г J m> q — 1. 17

В четвертом параграфе главы 2 доказана теорема искажения для лакунарных рядов. Справедливо следующее утверждение.

Предположим, что f конформно отображает круг Ю) на одно-связную область на плоскости, и

00

In/'= к=О где q - натуральное число, большее 1. Тогда для любого а > 0 существует Са < -(-оо, такая, что

1п2+а -2f(z)\<Ca—^, |г| = г<1.

1 — г

Более того, при q > 3 l/'WI <^3, N = r<i.

С помощью этой теоремы показано, что функция dz г) Л exр n \ k=0 / является неоднолистной в круге В, если |А| > In 2 = 0.69. Этот результат улучшает оценку, полученную Крецером:|А| > 0.75 [89].

В этом же параграфе доказана гипотеза Бреннана для конформных отображений круга, логарифм производных которых представим в виде лакунарного ряда Адамара с показателем q > 15.

Речь идет о следующей проблеме. Пусть П - односвязная область на плоскости, не совпадающая со всей плоскостью, и ip - конформное отображение единичного круга В на Q. Брепнаиом [63] была высказана гипотеза о том, что ip' G 4/3 < р < 4, т. е.

J \ip'\pdxdy <оо, 4/3 <р< 4.

Если - плоскость с разрезом по некоторому лучу, то при р £ (4/3,4) p'\pdxdy = оо. п

Нами доказано, что если функция / аналитична, однолистна в круге D и In f(z) = J2kLoakznki пк+i/nk > 9 > 15, то гипотеза, Бреннана верна.

В пятом параграфе главы 2 доказана гипотеза Бреннана для класса функций, имеющих следующее представление: h */'(*) "

-M = h°k (z)' где ак > 0 при к > 1, а функция 0(2) удовлетворяет в круге В условию

Щг) = о(1п(1 - |*|)), \z\ - 0.

Здесь и далее - мнимая часть числа г. Отметим, что функция Кебе f(z) = zf (1 — z)2 принадлежит этому классу. Кроме того, нетрудно показать, что существуют функции из этого класса, отображающие круг на области с фрактальными границами.

Параграф б посвящен точным оценкам интегральных средних в трех подклассах класса Е. Получены следующие результаты.

Пусть F 6 £о и Ф(^) - произвольная функция, аналитическая в круге {\z — 1| < 1}. Тогда для любого R > 1 выполнено неравенство

J |tf(F'(C))|2d0< J |Ф(1 + 1/С2)|2с10 (С = Reie).

ICH-R \C\=R

В частности, при р > — 1 для любой функции F имеет место точная оценка

2тг 1

J |*V)|»de <

О 2

В обоих неравенствах равенство достигается, например, для функции Жуковского F{Q = £ - 1/(.

Пусть F = ( + J2T= 1 ak(~k ^ - произвольная функция, аналитическая в круге {\z — 1| < 3 — 2у/2} . Тогда для любого R > у/2 + 1 выполнено неравенство

J |*(F'(C))|2d0< J |Ф(1 + 1/С2)|2с10 (С = Яе").

С|=л 1СИД

Пусть функция Ф аналитична в окрестности 1 и Ф(1) ^ 0. Тогда найдется положительное число Гф, такое, что sup [ |Ф(/'(*))|с10 = f |Ф(*4(*))|<10 feSR J J z\=r \Z\=T для любого г < r$, где k±(z) = z/( 1 ± z)2.

Пусть Q - односвязная область, лежащая в круге D. Область Q называется гиперболически выпуклой, если любые две точки из О, можно соединить дугой окружности, лежащей в и ортогональной к окружности \z\ = 1. Голоморфная и однолистная в D функция / называется гиперболически выпуклой, если область /(D) лежит в D и является гиперболически выпуклой.

В параграфе 7 главы 2 доказана гипотеза Мехии-Поммеренке о том, что тейлоровские коэффициенты гиперболически выпуклых функций в круге ведут себя как 0(\п~2(п)/п) (п-* оо), в предположении, что образ единичного круга при отображении такими функциями является областью с ограниченным граничным вращением. Кроме того, получены асимптотически точные оценки интегральных средних производных таких функций, а также рассмотрен пример гиперболически выпуклой функции, отображающей единичный круг на область с бесконечным граничным вращением.

Доказано утверждение.

Пусть функция / гиперболически выпукла в круге D. Тогда найдется положительная константа С < оо, такая, что а(П !1/п) Ы < С—rV—, п > 2, пт п где тг

1 г а(Г2) = lim а(Г2г) = Нш^- / г—>1 г—>1 Z7T J тг

J0 1 f'(reie) dO граничное вращение области f(D).

Последний предел (конечный или бесконечный), очевидно, существует. Величины а(Г2г) характеризуют граничное вращение линий уровня области Q, (см. [6]).

В работе [101] была также сформулирована и другая гипотеза: коэффициенты гиперболически выпуклых функций удовлетворяют соотношению

00 / k=1 ^ гу г-1. (1)

Геометрический смысл этого соотношения заключается в том, что при г —> 1 площадь области f(\z\ < г) стремится к площади образа-круга /(D) со скоростью порядка 11п(1 - г)|~3. Получен следующий результат.

Предположим, что функция / гиперболически выпукла и область /(D) имеет конечное граничное вращение. Тогда тейлоровские коэффициенты / удовлетворяют соотношению (1) и выполнено неравенство

7Г

J \ f'{eie) \ lnp(l + |/'(e^)|)d0 < +оо

-7Г для любого положительного р < 1.

В главе 3 изучается граничное поведение аналитических в круге D функций, принадлежащих различным классам. Хорошо известно, что функция, аналитическая в круге, может быть разложена в ряд Тейлора, сходящийся во всем круге. Пусть {а^} — последовательность комплексных чисел. По теореме Фату, если 521а*;|2 < оо, то ряд 52 ак?к имеет почти всюду некасательные пределы на окружности \z\ = 1. С другой стороны, для произвольного ряда ^2akzk} такого, что 52 \ак\2 = 00> перед коэффициентами ак можно расставить знаки ± так, чтобы этот ряд почти всюду не имел даже радиальных пределов ([21], глава 5, и. 8). Пусть последовательность целых чисел \к лакунарна но Адамару, т. е. lim inffc->oo Afc+i/A& > 1- Предположим, что ряд 52 akZXk является аналитической в круге О функцией. Для лакунарных рядов известно ([21], глава 5, п. 6), что если 52 \ак\2 — оо, то этот ряд почти всюду не имеет даже радиальных пределов.

А.И. Маркушевичем ([36], [41], глава 2, п. 10) сформулирована следующая проблема: найти классы функций, существенно отличных от лакунарных рядов, для которых верно следующее: если 52 lafc|2 = 00 > то ряд 52 ^ак%к не имеет почти всюду радиальных пределов для любого набора знаков ±. Под существенно отличными от лакунарных рядов подразумеваются функции, которые не могут быть представлены в виде суммы некоторого лакунарного ряда и ряда, у которого сумма квадратов коэффициентов ограничена.

Основные результаты главы 3 сформулированы в трех теоремах. В теореме 1 получен критерий сходимости ряда из положительных чисел. На этой основе доказана теорема 2, в которой предъявлен класс, содержащий функции, существенно отличные от лакунарных, для которых верно следующее: если 52 \ак\2 = оо, то найдется множество положительной меры на окружности, на котором не существует радиальных пределов. Тем самым дано частичное решение сформулированной выше проблемы А.И. Маркушевича.

Основной целью четвертой главы является получение точных теорем сравнения между q-моментами компактного множества П С

R"(n > 1). Рассматриваются q-моменты вида

J \x\qf(x)dx (q > -n), n где f(x) - неотрицательная функция, / € Ll(Q).

Имеется много результатов о q-моментах в различных областях математики и физики (см., например, [47], [53], [58], [68], [80], [108], [120]).

Изопериметрические неравенства для моментов инерции (см. [108] для п — 2 и [53] для п — 3) \1+2/П ( г \1+2'П fdx) If dx si / < \М<1 /

J \x\2dx f \x\2dx n |x|<l являются точными для любого шара п = в{0,р) = {ж G Rn : |ж| < р].

Имеется несколько обобщений (2) с ограниченным весом для п = 3 (см. [53]).

Отметим, что используя методы симметризации, несложно получить аналог неравенства (2) для fdx и f |ж|9(1ж, q > 0.

В этой главе мы приводим новый способ доказательства неравенства (2) и его нетривиальных аналогов. Доказано следующее утверждение.

Пусть П - компактное множество из Rn(n > 1), mes(fi) > 0. Если 0 < f(x) < I в Q, и 0 < qi < q2 < оо, то \1/91 / \1/в qi 1 lx\qi-nf(x)dx < — / \x\q2~nf(x)dx

Vi-i J I \ 1 „ n / \ n

Равенство достигается тогда и только тогда, когда f(x) = 1 п. в. (почти всюду) в Q, и П = В (0, р) U Е, где mes(Е) — 0 и

В(0,р) = {х € Rn : \х\ <р}, р=

Отметим, что мы имеем дело с монотонностью, но не с выпуклостью, что осложняет проведение доказательств. Например, функции возрастают, но функция Inml(q) вогнута при q £ (0,оо).

Итак, на защиту выносятся следующие результаты:

Разработан метод, позволяющий получать эффективные нижние оценки интегральных средних производных конформных отображений круга на односвязные области;

Усилена константа в правой части закона повторного логарифма для конформных отображений, что позволило уточнить оценку гармонической меры на жордановых кривых;

Доказана гипотеза Мехии-Поммеренке для случая, когда вариация касательной к границе образа линий уровня круга ограничена абсолютной постоянной;

Получены точные оценки интегральных средних производных конформных отображений внешности круга в некоторых классах функций;

Доказана гипотеза Бреннана в случае, когда логарифм производной функции, отображающей круг на односвязную область на плоскости, представим в виде лакунарного ряда Адамара с показателем лакунарности q > 15. Описан класс, содержащий функции, существенно отличные от лакунарных, для которых верно следующее: если |а^|2 = оо, то на окружности найдется множество положительной меры, на котором не существует радиальных пределов.

Результаты главы 4, а также теоремы 1 и 2 параграфа 5 главы 1 получены совместно с Ф.Г. Авхадиевым. Пример гиперболически выпуклой области с бесконечным вращением (параграф 7, глава 2) разобран совместно с Ю.В. Обносовым.

Результаты главы 1 опубликованы в работах [2], [3], [4], [10], [11], [12], [13], [15], [17], [18], [19] (см. список публикаций автора но теме диссертации, стр. 216-217), главы 2 - в работах [5], [6], [7], [9], [14], главы 3 - в работе [1], главы 4 - в работе [8].

Результаты диссертации по мере их получения докладывались на следующих конференциях:

6-я Саратовская зимняя школа по теории функций и приближений, 30 января - 4 февраля 1994, Саратов;

Международная конференция "Алгебра и Анализ", посвященная 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева, 6-11 июня 1994, Казань;

3-я Суслинская конференция, посвященная 100-летию со дня рождения М. Я. Суслина, 20 - 30 июля 1994, Саратов;

4-я международная конференция "Лаврентьевские чтения по Математике, Механике и Физике", 3-7 июля 1995, Казань;

Всероссийская конференция "Теория функций и ее приложения", 15 - 22 июня 1995, Казань;

7-я Саратовская зимняя школа по теории функций и приближений, 28 января - 7 февраля 1996, Саратов;

Международная конференция "Современные проблемы математики и механики", посвященная 175-летию со дня рождения П.Л. Че-бышева, 13 - 19 мая 1996, Москва;

Всероссийская школа-конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева, 16 - 22 июня 1997, Казань;

Международный конгресс математиков, 18 - 27 августа 1998, Берлин;

Всероссийская конференция "Теория функций и смежные вопросы", 13 - 18 сентября 1999, Казань;

Европейский математический конгресс, 10 - 14 июля 2000, Барселона;

Международная конференция "Численные методы и теория функций", 24 июня - 3 июля 2001, Авейро, Португалия;

Воронежская зимняя школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы", 26 января - 2 февраля 2003, Воронеж;

6-я Казанская международная летняя школа-конференция "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы", 27 июня - 4 июля 2003, Казань;

Международная конференция "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений", 4-9 сентября 2003, Минск;

12-я Саратовская зимняя школа "Современные проблемы теории функций и их приложения", 27 января - 2 февраля 2004, Саратов;

Волгоградская школа-конференция "Геометрический анализ и его приложения", 25 - 31 мая 2004, Волгоград;

Международная конференция, посвященная 200-летию Казанского государственного университета, 2-9 июля 2004, Казань;

Международная школа-конференция по анализу и геометрии, посвященная 75-летию Ю.Г. Решетняка, 23 августа - 2 сентября 2004, Новосибирск;

Международная конференция "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященная 100-летию Сергея Михайловича Никольского, 23 - 29 мая 2005, Москва;

Международная конференция "Численные методы и теория функций", 14 - 17 июня 2005, Йонсу, Финляндия;

Международная конференция "Метод рядов Фурье в комплексном анализе", 24 - 29 июля 2005, Мекриярве, Финляндия;

13-я Саратовская зимняя школа "Современные проблемы теории функций и их приложения", 27 января - 2 февраля 2006, Саратов;

Итоговые научные конференции Казанского университета, 1994 -2005.

Результаты докладывались на семинаре по математическому анализу в Санкт-Петербургском отделении МИ РАН им. В.А. Стеклова (рук. - проф. В.П. Хавин), на семинаре по комплексному анализу в МИ РАН им. В.А. Стеклова (рук. - проф. А.И. Аптекарев, чл.-корр. РАН Е.М. Чирка), на семинаре по комплексному анализу в МГУ (рук. - проф. Е.П. Долженко), на семинаре по теории функций комплексного неременного в Саратовском государственном университете (рук. - проф. Д.В. Прохоров), на семинаре по комплексному анализу в Петрозаводском государственом университете (рук. -проф. В.В. Старков), на семинаре по вероятностным методам в теории конформных отображений в Институте им. Миттагг-Леффлера, (Швеция) (рук. - проф. Л. Карлесон, проф. П. Джонс, проф. Н.Г. Макаров), на семинаре но теории потенциала в Технологическом Институте Стокгольма (рук. - проф. X. Шапиро) и на семинаре по комплексному анализу в Математическом институте (Вюрцбург) (рук. -проф. С. Рушевай). В целом работа доложена на семинаре по комплексному анализу в НИИ математики и механики им. Н.Г. Чеботарева Казанского государственного университета (рук. - проф. Ф.Г. Авхадиев).

Автор выражает глубокую благодарность Ф.Г. Авхадиеву за постоянное внимание к работе и плодотворные беседы, способствовавшие улучшению диссертации. Автор признателен A.M. Елизарову и С.Р. Насырову за ряд полезных замечаний, а также Г.И. Мухамадуллиной за техническую помощь при оформлении диссертации.

1. Авхадиев Ф.Г. Конформные отображения и краевые задачи. -Казань: изд-во Казанский фонд "Математика", 1996. - 216 с.

2. Авхадиев Ф.Г. Об условиях однолистности аналитических функций // Известия Вузов. Математика. 1970. - N 11. - С. 3- 13.

3. Авхадиев Ф.Г. Некоторые достаточные условия однолистности аналитических фунуций // Труды семинара по краевым задачам. Казанский ун-т. 1972. - Вып. 10. - С. 3-10.

4. Авхадиев Ф.Г. Некоторые геометрические неравенства и достаточные условия р-листности // Известия Вузов. Математика. -1983. N 10. - С. 3-12.

5. Авхадиев Ф.Г. Допустимые функционалы в условиях инъектив-ности для дифференцируемых отображений n-мерных областей // Известия Вузов. Математика. 1989. - N 4. - С. 3 - 12.

6. Авхадиев Ф.Г., Аксентьев JI.A. Основные результаты в достаточных условиях однолистности // Успехи матем. наук. 1975.- Т. 30, Вып. 4. С. 3-60.

7. Авхадиев Ф.Г., Аксентьев J1.A. Достаточные условия однолистности аналитических функций // ДАН СССР. 1974. - Т. 198, N 4. - С. 743-746.

8. Авхадиев Ф.Г., Аксентьев Л.А. Достижения и проблемы в достаточных условиях конечнолистности аналитических функций // Известия Вузов. Математика. 1986. - N 10. - С. 3-10.

9. Авхадиев Ф.Г., Аксентьев Л.А., Елизаров A.M. Достаточные условия конечнолистности аналитических функций и их приложения // Итоги науки и техники. Математический анализ. -1987. Т. 25. - С. 3-121.

10. Авхадиев Ф. Г., Каюмов И. Р. Оценки в классе Блоха и их обобщения // Доклады РАН. 1996. - Т. 349, N 5. - С. 583-585,

11. Авхадиев Ф.Г., Каюмов И.Р., Салахудинов Р.Г. Исследования по теории функций и изопериметрическим задачам //В книге "На рубеже веков. НИИММ Казанского университета 1998 2003".- Казань: изд-во Казан, матем. общества, 2003. С. 37-50.

12. Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976. - 343 с.

13. Александров И.А., Копанев С.А. Область значений производной на классе голоморфных однолистных функций // Украинский мат. журнал. 1970. - N 5. - С. 660-664.

14. Базилевич И.Е. Об одном критерии однолистности регулярных функций и дисперсии их коэффициентов // Матем. сб. 1967.- N. 74 (116):1. С. 133-146.

15. Гайдук В.Н. Об однолистности решений обратных краевых задач // Труды семинара по краевым задачам. Изд-во Казанского ун-та, 1972 , вып. 9. С. 39-48.

16. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966. 628 с.

17. Данилюк И.И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости.- М.: Наука, 1975.

18. Дженкинс Дж. Однолистные функции и конформные отобра,-жения. М: Издательство иностранной литературы, 1962. - 265 с.

19. Евграфов М.А. Аналитические функции. М.: Наука, 1968. -472 с.

20. Журавлев И.В. Некоторые достаточные условия продолжимости аналитических функций // ДАН СССР. 1978. - Т. 243, N. 6. - С. 1377-1380.

21. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Том 1. М.: Мир, 1965.- 616 с.

22. Карлесон J1. Избранные проблемы теории исключительных множеств. М.: Мир, 1971. - 126 с.

23. Каюмов И.Р. Обобщение и приложение одной теоремы Радона // Известия Вузов. Математика. 1996. - N 4. - С.35-38.

24. Каюмов И.Р. Об аналитическом неравенстве Пуанкаре / Материалы конференции, посвященной 100-летию со Б.М. Гагаева. -Казань, 16-22 июня 1997. С. 114.

25. Каюмов И.Р. Экстремальные задачи в некоторых классах аналитических функций / Дисс. канд. физ.-мат. наук. Казань, 1997. - 100 с.

26. Каюмов И.Р. Теорема искажения для однолистных лакунарных рядов // Сибирский математический журнал. 2003. - Т. 44. -N 6. - С. 1273 - 1279.

27. Коллингвуд Э., Ловатер А. Теория предельных множеств. М.: Мир, 1971.-312 с.

28. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. -М.: Наука, 1987. 425 с.

29. Коппенфельс В., Штальман Ф. Практика конформных отображений. М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. - 407 с.

30. Кусис П. Лекции по теории пространств Нр. М.: Мир, 1984. -368 с.

31. Лаврентьев М.А. О некоторых граничных задачах в теории однолистных функций // Матем. сб. 1936. - Т. 1. - С. 815-846.

32. Лаврентьев М.А. и Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. - 736 с.

33. Лебедев Н.А. Принцип площадей в теории однолистных функций. М.: Наука, 1975. - 336 с.

34. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Том 2. М.: Наука, 1968. - 624 с.

35. Маркушевич А.И. Некоторые вопросы теории граничных свойств аналитических функций // Успехи Математических Наук. 1949. - Т.4, Вып. 4(32). - С. 3-18.

36. Милнор Дж. Голоморфная динамика. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2000. - 320 с.

37. Милин И. М., Однолистные функции и ортонормированные системы. М.: Наука, 1971. 256 с.

38. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.

39. Носиро К. Предельные множества. М.: изд-во иностранной литературы, 1963. - 253 с.

40. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций.- Москва-Ленинград: Гос. издательство технико-теоретической литературы, 1950, 336 с.

41. Прохоров Д.В. Множество значений системы функционалов на классе однолистных функций // Мат. Сборник. 1990. - Т. 181, N 12. - С. 1659-1677.

42. Радон И. О краевых задачах для логарифмического потенциала // Успехи матем. наук. 1. 1946. - N 3-4. - С. 96-124.

43. Рамис Ж.П. Расходящиеся ряды и асимптотическая теория. -Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. -80 с.

44. Стечкин С.Б. Избранные труды: Математика. М.: Наука. Физ-матлит, 1998. - 384 с.

45. Шабалин П. Л., О продолжимости с границы внутрь области условия Гельдера для гармонических функций // Известия вузов. Математика. 1986. - N 10. - С. 82-84.

46. Albeverio S., Fenstad J.E., H0egh-Krohn R., Lindstr0m Т., Nonstandard methods in stochastic analysis and mathematical physics, Academic Press, Inc., 1986.

47. Anderson J.M., Clunie J. and Pommerenke Ch. On Bloch functions and normal functions //J. Reine Angew. Math. 1974. - T. 270.- P. 12 37.

48. Avhadiev F.G., Kayumov I.R. Estimates for Bloch functions and their generalization // Complex Variables. 1996. - V. 29. - P. 193-201.

49. Avkhadiev F.G., Kayumov I.R. Comparison theorems of isoperimetric type for moments of compact sets // Collect. Math. 2004. - V. 55, N 1. - C. 1-9.

50. Avhadiev F.G., Salahudinov R.G. Sharp estimations of norms in Bergman Spaces and their application // The 5 g. Preprint, Series in Mathematics. Kazan University Press. 1997. - N 1. - P. 1-4.

51. Baernstein A. Integral means, univalent functions and circular symmetrization // Acta Math. 1974. - V.133. - P. 139-169

52. Bandle C. Isoperimetric inequalities and applications, Pitman Publishing Inc., 1980.

53. Barth K. F., Brannan D. A., Hayman W. K. Research problems in complex analysis // Bull. London Math. Soc. 1984. - N 16. -P. 490-517.

54. Бибербах JI. Аналитическое продолжение. М.: Наука, 1967. -240 с.

55. Becker J. Lownersche Differentialgleichung und quasikonform fortsetzbare schlichte Funktionen // J. Reine und Angew. Math.- 1972. T. 255. - P. 23-43.

56. Becker J., Pommerenke Ch. Shlichtheitskriterien und Jordangebiete // J. Reine und Angew. Math. 1984. - T. 354. - C. 74-94.

57. Beckenbach E.F., Bellman R. Inequalities. Springer-Verlag, 1961.

58. Bergh J., A converse inequality of Holder type // Math. Z. 1994.- V. 215. P. 205-208.

59. Bergh J., Burenkov V. and Persson L.E. Best constants in reversed Hardy's inequalities for quasimonotone functions // Acta Sci. Math. (Szeged). 1994. - V. 59. - P. 221-239.

60. Bergh J., Burenkov V. and Persson L.E. On some sharp Holder and Hardy type inequalities // Math. Nachr. 1994. - V. 169. - P. 19-29.

61. Bertilsson D. On Brennan's conjecture in conformal mapping. Doctoral Thesis. Royal Inst, of Tech., Stockholm, 1999.

62. Brennan J.E. On the integrability of the derivative in conformal mapping // J. London Math. Soc. (2). 1978. - V. 18. - P. 261272.

63. Baranski K., Volberg A., Zdunik A. Brennan's conjecture and the Mandelbrot set // Int. Math. Res. Notices. 1998. - V. 12. - P. 589-600.

64. Carleson L. and Jones P. On coefficient problems for univalent functions // Duke Math. J. 1992. - V. 66, N 2. - P. 169-206.

65. Carleson L., Makarov N.G. Some results connected with Brennan's conjecture // Ark. Mat. 1994. - V. 32. - P. 33-62.

66. Carmona J., Pommerenke Ch. Twisting behaviour of conformal maps // J. London Math. Soc. (2). 1997. - V. 56. - P. 16-36.

67. Cassier G. Probleme des moments sur in compact de Rn et decomposition de polyomes a plusieurs variables // J. Func. Anal. 1984. - V. 58. - P. 254-266.

68. Clunie J., Duren P.L. Addendum: An arclength problem for close-to-convex functions // J. London Math. Soc. 1966. - V. 41. - P. 181-182.

69. Clunie J., Pommerenke Ch. On the coefficients of univalent functions // Michigan Math. J. 1967. - V. 14. - P. 71-78.

70. Duren P.L. Univalent functions. Springer, New York, 1983.

71. Duren P.L., Shapiro M.S., Shields A.L. Singular measures and domains not of Smirnov type // Duke Math. J. 1966. - V 33. - P. 247-254.

72. Edwards R.E. Functional analysis. Holt, Rinehart and Winston, 1965.

73. Feng J., MacGregor Т.Н. Estimates of integral means of the derivatives of univalent functions //J. Analyse Math. 1976. -V. 29. - P. 203-231.

74. Girela D. Integral means and radial growth of Bloch functions // Math. Zeit. 1987. - V. 195. - P. 37-50.

75. Gnuschke-Hauschild D., Pommerenke Ch. On Bloch functions and gap series //J. Reine Angew. Math. 1986. - V. 367. - P. 172-186.

76. Godula J. and Starkow V. Logarithmic Coefficients of Locally Univalent Functions // Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska, Lublin Polonia. - 1989. - V. XLIII, N 2. - P. 9-13.

77. Grad A. Coefficient regions of schlicht functions // Amer. Math. Soc., Colloqium Publ. 1950. - V. 35, New York.

78. Gronwall Т.Н. Some remarks on conformal representation // Ann. of Math. V. 2, N 16. - P. 72-76

79. Hardy G.H., Littlewood J.E., Polya G., Inequalities, Cambridge University Press, Cambridge, 1967.

80. Hedenmalm H, Shimorin S., Weighted Bergman spaces and the integral means spectrum of conformal mappings // Duke Math. J. 2005. - V. 127. - P. 341-393.

81. Hummel J.A. Counterexamples to the Poincare inequality // Proc. Amer. Math. Soc. 1957. - V. 8, N 2. - P. 207-210.

82. Jones P.W., Makarov N.G. Density properties of harmonic measure // Ann. of Math. 1995. - V. 142. - P. 427 - 455.

83. Kayumov I.R. // The integral means spectrum for lacunary series // Ann. Acad. Sci. Fennicae. 2001. - V. 26. - P. 447-453.

84. Kayumov I.R. Lower estimates for the integral means spectrum // Complex Variables. 2001. - V. 44. - P. 165-171.

85. Kayumov I.R. Lower estimate for the integral means spectrum for p=-l // Proc. Amer. Math. Soc. 2001. - V. 130, N 4. - P. 10051007.

86. Kayumov I.R. The law of the iterated logarithm for locally univalent functions // Ann. Acad. Sci. Fennicae. 2002. - V. 27. - P. 357-364.

87. Kraetzer Ph. Experimental bounds for the universal integral means spectrum of conformal maps // Complex Variables. 1996. - V. 31. - P. 305-309.

88. Kraetzer Ph. Algorithmische Methoden der konformen Abbildungen auf fraktale Gebiete. Genehmigte Dissertation, Berlin, 2000.

89. Leung Y.J. Integral means of the derivatives of some univalent functions // Bull. London Math. Soc. 1979. - V. 11. - P. 289294.

90. Littlewood J. On inequalities in the theory of functions // Proc. London Math. Soc. (2). 1925. - V. 23. - P. 481-519.

91. Littlewood J. On the coefficients of schlicht functions // Quart. J. Math. Oxford Ser. 1938. - V. 9. - P. 14-20.

92. MacGregor Т.Н. Applications of extreme point theory to univalent functions // Michigan Math. J. 1972. - V. 19. - P. 361-376

93. McMillan J. Boundary behaviour of a conformal mapping // Acta Math. 1969. - V. 123. - P. 43-67.

94. Makarov N.G. On the distortion of boundary sets under conformal mappings // Proc. London Math. Soc. 1985. - V. 51, N 3. - P. 369-384.

95. Makarov N.G. A note on the integral means of the derivative in conformal mapping // Proc. Amer. Math. Soc. 1986. - V. 96. -P. 233-236.

96. Makarov N.G. Conformal mapping and Hausdorff measures // Ark. Mat, 1987. - V. 25. - P. 41-89.

97. Makarov N.G., Fine structure of harmonic measure // St. Petersbg. Math. J. 1999. - V. 10, N 2. - P. 217-268.

98. Ma W., Minda D. Hyperbolically convex functions//Annales Polonici Mathematici. 1994. T. LX.l. - P. 81-100.

99. Marshall A.W., Olkin I. Inequalities: Theory and its applications. Academic Press, Inc., 1979.

100. Mejia D., Pommerenke Ch. Sobre aplicationes conformes hiperbolicamente convexas // Revista Colombiana de Matematicas. 1998. - V. 32. - P. 29-43.

101. Mejia D., Pommerenke Ch. On the derivative of hyperbolically convex functions // Ann. Acad. Sci. Fennicae. Math. 2002. - V. 27. - P. 47-56

102. Myasnikov E.A., Persson L.E. and Stepanov V.D., On the best constants in certain integral inequalities for monotone functions // Acta Sci. Math. (Szeged). 1994. - V. 59. - P. 613-624.

103. Nehari Z. The Schwarzian derivative and schlicht functions. // Bull. Amer. Math. Soc. 1949. - V. 55, N 6. - P. 545-551.

104. Noshiro K. On the theory of schlicht functions //J. Fac. Science, Hokkaido Imp. univ. 1934. - N 2. - P. 124-155.

105. Pecaric J.E. and Persson L.E. On Bergh's inequality for quasi-monotone functions // Journal of Math. Anal, and Appl. 1995. -V. 195. - P. 393-400.

106. Polya G, Shiffer M. Sur la reprepresentation conforme de l'exterieur d'une courbe fermee convex // C. R. Acad. Sci. 1959. - V. 248, N 20. - P. 2837-2839.

107. Polya G. and Szego G. Isoperimetric inequalities in mathematical physics. Princeton, Princeton University Press. 1951.

108. Pommerenke Ch. On boundary size and conformal mapping // Complex Variables. 1989. - N 12. - P. 231-236.

109. Pommerenke Ch. Boundary behaviour of conformal maps. Springer-Verlag, Berlin, 1992.

110. Pommerenke Ch. On Bloch functions //J. London Math. Soc. -1970. V. 2, N 2. - P. 689-695.

111. Pommerenke Ch. On the integral means of the derivative of a univalent functions // J. London Math. Soc. 1985. - V. 32. -P. 254-258.

112. Pommerenke Ch., Relations between the coefficients of a univalent function // Inventiones Math. 1967. - V. 3. - P. 1-15.

113. Pommerenke Ch., The integral means spectrum of univalent functions // Zap. Nauchn. Sem. St. Petersburg. 1997. - V. 237. -P. 119-128.

114. Pommerenke Ch. Conformal maps at the boundary // Handbook of complex analysis: Geometric function theory. V. 1, Elsevier Science B.V. - P. 37-74.

115. Prawitz H., Uber die Mittelwerte analytischer Funktionen // Arkiv Mat. Astr. Fys. 1927/28. - N 20. -P. 1-12.

116. Przytycki F. On the law of iterated logarithm for Bloch functions // Studia Math. 1989. - V. XCIII. - P. 145-154.

117. Przytycki F., Urbanski M., Zdunik A. Harmonic, Gibbs, and Hausdorff measures on repellers for holomorphic maps. I // Ann. of Math. 1989. - N 2, - P. 1-40.

118. Przytycki F., Urbanski M., Zdunik A. Harmonic, Gibbs, and Hausdorff measures on repellers for holomorphic maps. II // Studia Math. 1991. - V. 97. - P. 189-225.

119. Putinar M. Vasilescu F.-H. Solving moment problems by dimensional extension // Ann. of Math. 1999. - V. 149. - P. 1087-1107.

120. Rohde S. Hausdorffmas und Randverhalten analytischer Functionen, Thesis, Technische Universitat, Berlin, 1989.

121. Ruelle D. Repellers for real analytic maps // Ergodic Theory Dynam. Systems. 1982. - N 2. - P. 99-107.

122. Shimorin S., A multiplier estimate of the Schwarzian derivative of univalent functions.

123. Stein E.M., Singular integrals and differentiability properties of functions, Princeton University Press. 1970.

124. Stein E.M, Weiss G., Introduction to Fourier Analysis on euclidean spaces, Princeton University Press. 1971.

125. Umezawa T. On the theory of univalent function // Tohoku Math. J. 1955. - N 5. - P. 218-228.

126. Warschawski S. E. On the higher derivatives at the boundary in conformal mapping // Trans. Amer. Math. Soc. 1935. - V 38. -P. 310-340.

127. Weiss M. On the law of the iterated logarithm for lacunary trigonometric series // Trans. Amer. Math. Soc. 1959. - V. 91. -P. 444-469.

128. Wirths K.-J. Uber holomorphe Functionen, die einer Wachstumsbe-schrankung unterliegen // Arch. Math. 1978. - N 30. - P. 606-612.

129. Zemyan S.M., On the Schwarzian coefficients of univalent functions // Bull. Austral. Math. Soc. 1992. - V. 46. - P. 391-400.Список публикаций автора по теме диссертации

130. Каюмов И.Р. Граничное поведение аналитических произведений Рисса в круге // Математические труды. 2006. - Т. 9, N 1. -С. 34-51.

131. Kayumov I.R. Lower estimates for integral means of univalent functions // Arkiv for matematik. 2006.

132. Каюмов И.P. К закону повторного логарифма для конформных отображений // Математические заметки. 2006. - Т. 79, Вып. 1. -С. 150 - 153.

133. Каюмов И.Р. Спектр интегральных средних и модифицированная функция Бесселя нулевого порядка // Алгебра и Анализ. 2005. -Т. 17. -N 3. - С. 107- 123.

134. Каюмов И.Р. О гипотезе Бреннана для специального класса функций // Математические заметки. 2005. - Т. 78, Вып. 4. - С. 537 - 541.

135. Каюмов И.Р., Обносов Ю.В. Оценки интегральных средних гиперболически выпуклых функций // Сибирский математический журнал. 2005. - Т. 46, N 6. - С. 1316 - 1323

136. Каюмов И.Р. Точные оценки интегральных средних для трех классов областей // Математические заметки. 2004. - Т. 76, Вып. 4.-С. 510-516.

137. Avkhadiev F.G., Kayumov I.R. Comparison theorems of isoperimetric type for moments of compact sets // Collect. Math. 2004.- T. 55. N 1. - C. 1-9.

138. Каюмов И.P. Теорема искажения для однолистных лакунарных рядов // Сибирский математический журнал. 2003. - Т. 44. - N 6.- С. 1273 1279.

139. Авхадиев Ф.Г., Каюмов И.Р., Салахудинов Р.Г. Исследования по теории функций и изопериметрическим задачам //В книге "На рубеже веков. НИИММ Казанского университета". Казань, изд-воКазан, матем. общества. 2003. - С. 37-50.

140. Kayumov I.R. Lower estimate for the integral means spectrum for p=-l // Proc. Amer. Math. Soc. 2002. - V. 130. - No 4. - P. 1005-1007.

141. Kayumov I.R. The law of the iterated logarithm for locally univalent functions // Ann. Acad. Sci. Fennicae. 2002. - V. 27. - P. 357-364.

142. Kayumov I.R. Lower estimates for the integral means spectrum // Complex Variables. 2001. - V. 44. - P. 165-171.

143. Kayumov I.R. The integral means spectrum for lacunary series // Ann. Acad. Sci. Fennicae. 2001. - V.26. - P. 447-453.

144. Авхадиев Ф.Г., Каюмов И.P. Оценки в классе Блоха и их обобщения // Доклады АН России. 1996. - Т.349. - N 5. - С.583-585.

145. Каюмов И.Р. Обобщение и приложение одной теоремы Радона // Известия Вузов. Математика. 1996. - N 4. - С.35-38.

146. Avhadiev F.G., Kayumov I.R. Estimates for Bloch functions and their generalization // Complex Variables. 1996. - V.29. - P.193-201.

147. Каюмов И.P. О проблемах коэффициентов для однолистных функций // Материалы международной конференции и Чебышев-ских чтений, посвященных 175-летию со дня рождения П.Л. Чебы-шева. Том 1. М.: Изд-во мехмата МГУ, 1996. С.188-191.

148. Авхадиев Ф.Г., Каюмов И.Р. Оценки логарифмических коэффициентов для производных в основных классах однолистных функций // Труды 7-й Саратовской зимней школы "Теория функций и ее проиложения". 1995. - 4.2. - С.77-81.Тезисы докладов на конференциях:

149. Каюмов И.Р., Хеденмальм X. К закону повторного логарифма для конформных отображений / Тезисы докладов 12-й Саратовской зимней школы "Современные проблемы теории функций и их приложения", Саратов, 27 января 3 февраля 2006. - С. 83-84.

150. Каюмов И.Р. Граничные свойства конформных отображений /Тезисы докладов международной школы-конференции памяти И.П. Митюка "Комплексный анализ и его приложения". 11-17 сентября 2005. - Краснодар. - С. 54-55.

151. Kayumov I.R. Lower estimates of the integral means for conformal maps / Abstracts of the conference "Computational Methods and Function Theory ". Joensuu, Finland, June 13-17, 2005. - P. 77.

152. Каюмов И.P. К закону повторного логарифма для конформных отображений / Тезисы докладов Международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", Москва, 23-29 мая 2005, С. 126.

153. Каюмов И.Р. Нижние оценки спектра интегральных средних/ Материалы конференции "Современные методы теории функций и смежные проблемы". 27 января - 2 февраля 2005. - Воронеж. -С. 111-112.

154. Каюмов И.Р. Граничное поведение рядов в круге с заданными модулями коэффициентов / Тезисы докладов 12-й Саратовской зимней школы "Современные проблемы теории функций и их приложения", Саратов, 27 января 3 февраля 2004. - С. 98-99.

155. Каюмов И.Р. О граничном поведении аналитических функций, коэффициенты которых не стремятся к нулю / Геометрический анализ и его приложения. Тезисы докладов международной школы-конференции, Волгоград, 24 мая 30 мая 2004. - С. 71-72.

156. Каюмов И.Р. Интегральные средние и граничные свойства конформных отображений // Труды Матем. центра имени Н.И. Лобачевского. 2004. - Т. 23. - С. 36-37.

157. Каюмов И.Р., Обносов Ю.В. Оценки интегральных средних гиперболически выпуклых функций / Тезисы докладов международной школы-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию Ю.Г. Решетняка. 23 августа - 2 сентября 2004. - Новосибирск. - С.129.

158. Каюмов И.Р. О гипотезе Бреннана для лакунарных рядов // Труды Математического Центра им. Н.И.Лобачевского. -Т. 19. Казань: Изд-во Казанского мат. общества, 2003. -С. 118-119.

159. Каюмов И.Р. О законе повторного логарифма для конформных отображений / Материалы конференции "Современные методы теории функций и смежные проблемы". 26 января - 2 февраля 2003. - Воронеж. - С. 120-121.

160. Kayumov I.R. The distortion theorem for univalent lacunary series / Abstracts of the conference "Analytic methods of analysis and differential equations"(4-9 of September 2003, Minsk, Belarus).

161. Kayumov I.R. The integral menas spectrum for lacunary series / Abstracts of the conference "Computational Methods and Function Theory 2001". Aveiro, Portugal, June 25-29 2001. - C. 56.

162. Kayumov I.R. Lower estimates for the integral means spectrum / Abstracts of Europeen Congress of Mathematicians. Barcelona, July 10-14 2000, Proceedings CD-ROM.

163. Каюмов И.P. Нижние оценки для спектра интегральных средних / Материалы конференции, посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф. Егорова. Казань, 13-18 сентября 1999. - С. 118-119.

164. Kayumov I.R. Lower estimates for the integral means spectrum / Abstracts of the VHI-th Romanian-Finnish seminar, August 23-27. -1999. Romania, Iassy. - P. 35.

165. Kayumov I.R. Asymptotical behaviour of logarithmic coefficients of univalent functions / Abstracts of Int. Congress of Mathematicians. -Berlin, August 18-27 1998. P.134

166. Каюмов И.P. Об аналитическом неравенстве Пуанкаре / Материалы конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева. Казань, 16-22 июня 1997. - С. 114.

167. Каюмов И.Р. Проблемы коэффициентов и интегральные средние / Тезисы докладов II республиканской научной конференции молодых ученых и специалистов. Казань, 28 июня - 1 июля, 1996. -Книга 3. - С. 15.

168. Каюмов И.Р. Об одной теореме Карлесона и Джонса / Тезисы докладов IV международной конференции "Лаврентьевские чтения" по математике, механике и физике. Казань, 1995. - С.43.

169. Авхадиев Ф.Г., Каюмов И.Р. Оценки в классе Блоха и их обобщения / Тезисы докладов международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева. -Казань, 5 -И июня, 1994, -Ч. 2, -С. 9.