Интегральные представления бикватернионных гиперголоморфных функций и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

рги

0ррстовскии ОРДЕНА ТГ/ПОВОГО КРАСНОГО РНлЖЩ

? О П - ЗХСГ АРСТШННЦЙ УПИВЕРСМЕТ

к.,,,1

Сазциашэароваюшй оомт К.ОСЗ.Г^ЗЛЗ по Зкэяког-ыатоматяческкм наукам

НА ПРАВАХ РУНОШСЙ

КРАВЧЕНКО Владислав Викторович .

Ш 517.540 '

ШШЗГРЛЛЖЕ ПхВДЗТ/ВЛЕЕИЯ ЕИИШЕРНШШХ ШНРГСЛОШВДШ ФУНКЦИЯ И ИХ ШЯ02ЕШЯ '

01.01.01 - катоиатачаожнй анализ

АВТОРЗФЗР А.Т диеовртацня яа сояохашв'учаной отагони кандидата фиаяко-математачосках наук

Роотов-на-доиу 19*3

Работ выполнена на ка£едрь ^-годов гатематяческой фягики Одесского государственного ушзерслтота имена К.И.Мег-шкова.

Научный руководитель: доктор $ л зико-мате me. .'и ча склх наук • " давинчук Г.С.

Официальные ошокентн: доктор йизико-матецаткчискик каук

Шлади B.C.

доктор йизяно-математяче скнх наук Сохдатов Д.П.

Бедуаая организация:

Белорусский гссударсгвешшП университет

¿аш.ата состоится " (ft "

.1994 г. в

час.

на. заседали: Специализированного Совета К 063.52.13 по присуждения ученой степени кандидата (^изико-иатематдчешиа •наук в Ростовском государственное универсамеха ш адресу:* 3..4I04, г.Риотьр-ш-Д^ЧУ» ул.Зорге, 5, уеханик^латемазэ-чеснай факультет . . " . .

; С дчсс ртацией можно ознак даться в научвдй ¿аблиотеке Ростовского государственного университета по адресу: г.Кютов-на-Дону» уд.Црк^кскаг,, I4L

. Автореферат разослан * '^jS^ix 1993 г.

Учений секретарь .Гшвкадиаировашого совета К 063.52.13,

ДОИВ ¡12

сзгдл. ЛАРЛАЧЗЕ:СТИ:СЛ РДЮШ

/.ктуадькоста тй.у.;:. IL .депо.*;: з С. С t-l*w*

t/. k.ïzjùt. :-T.?.í.K?kxoes акзлог

yoioKiT: К02ш-Кг:зна естестЕзн".^ образа*,! irp:Œe.i к co¡ кгатершокшсс гналогог- 2im.-rpajn т::пз üca, оператора сцн-гултрнога 3rTerpnpo5£i^i, ^-оператора, в

рдчноЗ и квагершюнноГ: djopt'iz мяоетля автора4™ /д.в.-'^дэдзо', ^.Л.Вгслланскй, В.С.}:гкоградов, íj.','.IpirrcpscB, Л, Itó.KapxoBire, Ff Л.Тарханов. ?,г,ь.Гасзро,'

BiH.IüexrceEKo» i»ÍI»fíay32jcKac, S. , С. А

R. TbtoMfL, К. Qu*. ¿.¿J., ¿C. f-J*,x3, V. S*,« Là. VVj^'tj ч A. l^M', и др./. ^;:эгсчпс£г;гкш ictj-.o-

систем ?.:о::слла-1Ео юр:оку пр.тг.огл к рр.з^лта?.'. глле-ro.'.apiai'í cöoü;ei;:L'n-', р^сс.'.'лтрггьаз-^глсл з ракета:. В.В.ПдабаЕва, М.П.Етткакова, В.С'.Бгг.оградгза, ¿ G.B/Д' острова, И.В.Волохгча, И. С. Гул о ел чл, В.Ъ.Пэкасеева, Г.К.Фрей-даизона, F. biacLx , Я. . g. dJcLuUb^iM. я. HatL^L

] . ^ , fj Aci^n и др. Схолует зам.зглт^, что

регенкя сястеш одоро еку необходимо наляктся

гарыонетеск21-5 функцяг-г:. "то уставе хауктерш л дгя упомянутых обобкеглИ, так ПЛ2 иначе связанных с огхторкзацяеа оператора Лагоса.

. В последнее гре.эд в работах Е.Л.Обэ-папвпхл, М.В.Иаглро, Л.И.Якушаусксса, hUICu.L , F. S^na,^,,

с *

VJ. , Хм иссдцдозз чясь негармонг-

чеекгэ cioöze.'U'1! систем. МоМспла-Исодэрэску, СЕЯза;ш.:е о фа* таразашей операторе. Гель.'л-оды'а.

Изучаемая в кастсяке:; дассартата: система уравнений

■¿„{с - <L.r7 _ < J : ¿Г > „ о. /У

где ; ,/j, '

- Л-^сГ-^сС,- '^о.^.з

/<•,.) , L- " • J - скаллрпез г. шксорнса пвоизБедзнгя/» собери:г» в катесгБз частных nni , X) - О -

снста.чу лго1!сггд=-^еодор5ску; nt:: , ¿ 'Л - скстэ.'у,

рассмотренную CObliJLci., W. Sf^ik^c^ ; прц JL0 ^ О, JL+ziR. , A- 1,2,3 - с :cr->uy, определялцук обобщенные голо-ыорфгае хакюры, введенные в рассмотрение Л.В.Еицадзе л изучавшееся Е.И.ОболащвЕЛц, М.В.Е'апиро, А.П.Янушаускамм, lUcU.

Л.В.ЕЩЗДзе получил ц п^рвке прд^гне}дя янтеграяьинх теорем квасарнионного анализа в ггеораи упругости. Б рабогах Б.Д.лНнтгь, Г\Ы.Гглгорьева, В.В.Науиова; В.Н.Кутрунова; К. S'^sJLjLoL , ViI. Sf^'o^Uy решены некоторые ¿ipooijpaHC»-веннке задача теории улруггсгш шкодам: хвате ршошюго анализа. К. Tma-da , В. ^¿¿^¿гн сказала воз.\ашюсгь дерефорглулировхи классической электродыаыикя в терыанах ' кватеркпонногп анализа. связь ря^а пщродянаглкческих'и хеофдз-чзских моделей с хгагерниошшш пнтегралгагма ъ. даф-' ференццальгаи уравнениями рассмотрена в работах Н.Я.Васа-fECKoro, М.С.НДанова, м.в.Шашро; А.'Т.Щишка. А.В.Бзрвгнн, •К.-А.Толкачев, Ф.К.Федоров " др. доказали, что симметрийный 'анализ уравнения Дирака улросгегол о яслолъоозагаем ezr> кгатершощыйс формулировок.

IPjiz работ - долучть граничные лнтегралыше дред-ставпенгш^-гасерголоюрс^шх йушсций, по есть, фунгадай

f/e, /) 1 удовлетворяющая /1/-/2/, указажь ях соотношения о электромагнитными, ошппрныла шшод, рзшенояш -.уравнений теории упругости, посяроять wscc снмеы нелинейных тдфференжаалшк уравнения в часшшх цр^аводных, рвения котоу-'х ыогут o^ti го туче га, исхода аз решений лешйшяс ' КЕатернионЕЫХ уравгрншй иша фуегера.

Hfemrus доследования, в осасвном, дрфгздяшся аппарат ■ коатерлаонного анализа, теория З'равичных янтегралхшх уравнения математической разики; -при ртаении хпаавых задач исгользуетоя элемента те ори обобцешли фушший и фуцкцио-' адьного анализа; для построения река шей класса нелинейных дифференциальных уравкешМ лрашняетск процедура фактора-1 зада по грулш еашштрий.

Наутааь ножчяа, теоретзчаская и практическая ценность •расюто. в диссертация доказаны теоречш об инт<?-,р£лшй'х Представлениях решений слстсы /I/ /2/, сб юс поЕедешш на. * гра?ащз области, о структура яда оператор Гельдаольца с кзагаршонгш rc^siiei^H, Пох зано, что кватерииолшге aL-

гягарголонор&шо фугааиш п^л огедодегадгх значениях сС тесно связаны с гармоняческаш во времена реке шита: урашаглГ; Каксголда а Дярака. Для гарио.'шчесхгх во времеха электромаг-натнкх а безиассошх сшшорных гохзй подучены давне гршкч-иа ннтегральша дродстамзшя, Есслздоваш некоторые задачи продолжения похай с гранэдк внутрь области, построен! хаг.лл а явном виде. Доказана теорема о пшзркомплехсцоЯ факторлза-цпи класса задач катеыатдчаской фязюта. Подучена решения ряда састеа шэиейких да&5еренвдальных уравнений в част.лк прояз- . пошаас.

Без подучекика в дяссергашя результаты является гозгая а когут Сать использован: пг:: репекпи пространственных краевых задач математической фазяки, в частности, для уравнений .МаксЕелгл я Дирака.

Апробашя работы. Вззудьтагн диссертация докладывались на 5 Глесоазной елмпазаума "-зетод д-.омрстжх особенностей ь задачах математической (Тизякл", г.Одесса /1991 г./, на городской коЕ^.еренгии "Гаховскяе чтег г.Одесса Д921 г./, на ВэспубллканскоИ научко-методдчоской коп-рерентаи, еосбя-кешюй 2С0-леташ со дня ротченяя П.И.1о^тчевског:>, г.Сйесса /1592 г./, иа 10-2 конференции до проОяемаы и датод&ч математической физики,. г.Хекнац, СРГ /1993 г./, ка семинаре по фушщиональногду анализу п приложениям в Ггсс^юкскск., Институте Высших технологий, рук.- проф. Я. Я /1Э93 г./, на сеютэре йакультета математики Лиссабонского университета, рук.- проф.^.-Р. Тим /19°3 г./, на семинаре по а., .ебре я функциональному ьпадяэу при госунихерсятете . .Гбнта, Бэль-гия, рук.-г..оф. Я. 2/13ЭЛ г./, ¡га семинара кафед-ри математики Горнего университета г.Фрайберха, ФРГ, рук.-проу. IV. /1593 г»/ л неоднократно ка Одесском городском семинаре яо краевым задачам я штегралытнм уравт шяа,. рук.- проф. Г.С.Лятвинчук. ■

Структура а объем диссертация. Диссертации состоит пз вне декад, трех глав я списки, датературн, взлетающего 78 наименований. Работа изложена на 95 страницах кашнописюго текс^

Пубдякацут« Основные-результаты диссертации спуйлпсо-ваш в восьми работах, список которых то: не до и в юнце ав- ' торефе'рата. Рззудьтаты трех совместных с .'.1.в.г'апяро работ

- е -

.. принадлежат автора« в равцой мер».

КРАШЕ СОДКЙАЙЕ РАБОШ Первая глава досвякена построение граничных вктег-I шш представлв}~Й о^-халерголойюрфннх ф^ндадА и решил» некоторых ктааькх задач для них.

Дусть 1Н( С ) - азюгество комплексных кватернионов. Уравнение 2)^4 » О * тт М*. -

оператор Мокспа-Те одореску, - стандартна базисные кватернионы, _£ с Щ{С), «¿¿««Л, ■являете эквивалентной записью системы /1/-/2/.

В § 1.1» который, по сути, является вводнш, рассмотрен случай 0 /ш озовдествдоты вектош из С о часто ыышыыа квошлексными кватернионами =¿1 с<.к /. •

Оператор , в этом случае а при дополнительных

ограничениях: 0<К, ¿ = о,<,г,з изучался в

монографш (¿¿лАиА , V Ъръ'ыид . Позтоау ряд предлож-най § 1.1» ойойдащах такие факт; из комплексного анализа, как фораула Боре ля-Помпе йю, формулы Сохоцкого, интегральная формула Косш, инводшивноста оаератора сингулярного интегрирования а др., получены естественным перенесением соответсзвущих результатов У-- , \л/.

на случай <)е£ , » «С. этом роль аналога

• те града таза Коаш, соответствующего оператору , играет оператор .

■ (.&)()( х«^ - (3)

где КС*)-.* + ..

(^»ЧхП' & - $увдашнтал$нов решение оператора 1&льыгольца Д + /• I *- товдественный

оператор/; Г ЭЛ - замкнутая ляпуновская поверх- ■ нссть в К3 которая ыогат зашкаться и через бесконечно удаленнуо з очку; 7ъ{ ^ ) , - внешняя единичная норки к Г в точке ^ » При хеГ интл1- .

рад в /3/ д^чшгаеимг в смысла главного значения т Кош.

Нзобходайо заыемиь, что предложения 1Л.4, 1.^.5, обобщайте яктегральнуп теорему Ксса я теорему Гйрсра, при 0=0 ранеэ были доке,чаш А-Б.Взцадге. С такта предложите

1*1.6, утверудагцее, что алгебра операторов, пороздешшя операторам сяшуллрного интегрирования* соответствутдаы разлачнш парахззтраи 0е С , совпадает с алгеброй, Досмотре ннс& н.Л.Вааглевсим, й.В.Ьапяро. .

Центральный фактам § 1.2 является гер-гдн Т.2.1, ут-верздавдая, что все результат § Г.1, от^сйчййя к случаи оСд с £ , справедливы и в ойцем случае <£. е 1Н (С) . Это стало возмогшш посла соответствующего доопределе5ая кватершгошшх лит' гралыад: операторов в котором участвует: операторы, введенное в § 1.1. Например» аналог интеграла тппа Ксши, соотвотствуодгй оператору , имеет вид:

К

О,

К0 - , оС еб-, «¿„»О,

где & обозначает по^ногество ¡Н (С ) далнтельи нуля; Р±,.(2гГГ\1<»*««->. уеС",

Наряду с ^ оператором 2)^ естественно рассмотреть оператор ¿А Ь + I , <Ке [И (С) . 7ля наго «прааедлиго' -<2х>

Предложил; 1.2.1. ■ клл »е. ' I {1ил \ )

В § 1.3 с аспальзованлсц результатов §1.2 рассматриваются кр ювнз задачи для Ч. -гиперголог.гарТлшх функций, аналогг-гмв задаче шшлитлвеского продсшвшя'в теорая фуахшЗ. кошлзксного переменного я простейшей задача' Вгльбарта. Црч а тем дается шобходямоа к достаточное условно разроитетесг* задачи оС-пгпзрголоморфпого продолжение и, в сдучао сущзствовашя» строится решение задачи. Пока-

р -

sano, что обобщенная задача 1йдь<5гчта в классе функций нз пространства Лазорника однозначно разрешила, п ее рссекла тенге строится в явном вэде.

Вторая глава погвлцена установлению н исдсгьзовашш соот; яений иэдду хармошчзсканн электромагнитными н сшт-норны^и долшлд с одной ci>:г- они z.cL -гопертолшорфнкма функциями - с другой.

Предварительно в § 2.1 изучается возннкаяедай естественным образом оператор 1\зльмгол"да с кватерняоннкк параметр : Д\:= Д + М-*».-^ , гдо Д - трэхыерннй оператор Лапласа, 1Н(С)эА^оС.г » Введем оператор

ГЪ =

сС-

определенный на (Н (С ) -значных функциях из ¡ил ¿Хх . Тогда при ¿-¿С? операторы П^ , являются

взаимно дополнительными проекторами,, действу щпме в ядре оператора Д^ .. В случае оС е £Г оператор Л^ , Л,^ являются ортогональными проектсрама, и выполняется равенство _ _ з*

Л^П^«^)1^.!. Л

С пошцью введенных проекторов доказывается '

• Тзорема 2.1.1. Дусть о . Тогда

кел\@ км. \ есла А £

если Д € б/

И в случае А = 0 , ■ тс есть* , для ядра оператора Лапласа получено утверждение о дакошазлщш

Теарека. 2.1.2. Цгсть сАсСГ,

б /в зта.1 случае ^=0 / и для определанности О . Тогда*

кслД* к&г. О-аФ I ( кед. Ъ^).

Из лряведзшшх двух тгорси а из пкгеграшгих продета! гажШ с* -хякзргояогю^шх фунэдШ вцгоказг гашзградыаа •драдохавлхлшя дла фикций де кеп'. •..... -

развитая в 5 2.1 техника используется в § 2.2 пгн изучения ураикгай максвелла, описывают га рг.:о: :т:о к;: с электромагнитные поля, в отсутствие сторошии токов а. зарядов, в однородной, изотропной среде:

Чс£ £ - ¿су< н , е- £ , /4/

где {е,н]: ЛсГ-С1; л ..

Иногвство пар (Ё, н) ресений /4/ обозначим через ^ . Если 0 с € и к~>/"5", то стобрагэняе

является Спеющей множества ^ .на лшохество пар фу; под И

(7, г) таких, что кел /)_,; , "у 6 (¿¿-г Зл. Наличие биекцкя позволяет использовать результаты §1.1 для ресений уравнений Максвелла. При этом устанавливается ряд аналогий ьтедду фувдамзнталвшиц физическими фактах» и теоремами кватернионного анализа. Например, формулы СтрЭттона-Чу являются аналогом кватернионной интегральной формулы Ковш, а условия перехода от интегральной форкы уравнении Максвелла - к дифференциальной являются ачглогои кватер-нионной теоремы &&>рера. Крош того, подучено новое интегральное граяичлоз представление импульса электромагнитного поля. Заметим, что для изучения гармонических олектрошг-штннх полей достаточно случая оС » J е С.

Вззультатн ^ 1.2 для общего случая аСгЩ(С) сказываются необходинма в § '2.3, где изучаются решения уравнончя Дурака, описывающего свободную частияу со спином-1/2. По-, строено кватерннонное уравнение, эквивалентное уравнении Дарака з той сшсхз, что иезду ею решениями и решениями уравнения Дйэака устанавливается взаимно однозначной соот-ватствЕе, "осжествляеиое биекцией Ъ -. $ У , где

>-л,>;

Гпзязи случай бэсг.когозого ошнорного поля /".оотавгсгвуа-

пего ш;:лр'-ао/ праводат к кватернионна\?у уравнению

' . àt . являицемуся при F = F. перофорг^хкровкой уравнена!! Максвелла в вакууме. Квате^июшш« проекторы Р-4- , вшден-в § 1.2 В бязц с доопределением кнтегиадышх операторов, о^скьа^т частицу и античастицу. Показано, что В <3íio K-£i;Biro отобрахиет ыкозвстьигармонических во времзна tíesaaccoEsuc сшноркых üojeü <p(t,x)^ ^(к) е1^, <-> lia ícvi ( т'до ос = - . - чисто Mimœîi колплекс-

«LLi ква-.^ршон. С дсподьзоЕшшем § 1.2 г. лучены анало: : янтсгралыюл формулы. Кош и форцулСохоцкого для гашони-4ÜCÍÜI/ c5ñsí.!acooELiX сшнориис полей. Например, для дараков-c;-:o;i ам'штудк V , которая-осгсывае tea уравнением

где - маграш Дирака, к-о, <.2, 5, справедлива

'Дзорема 2.3.3. ï с U'¿0n ¿ (Л)п Cl(Л), тогда.

■ ^ _ ? (я) « (B<V)(A) , x ¿ J2 , где ¡К^ЙК/б"".1

Да"ее, в §2.4 результата § 1.3 относительно краевых аадач для -г«r.apro jíú«í о f¡- •тх фуккцгй,. с учетом сея-

seü Последних. с (¿язлчеешгдт ползая, используются при по-следаванш; краевых задач д«1я гармонических элакт. сиагкгЕ-дох " спакоршх поле;!. , .* .

Ь'ааршазр, пусть на Г гдцаны функции- Г—» €, удаызетаерашш >оловиэ 1Ь.*ьдэра. Что<5н зти fy .лцци, были кразвпмк зиачешяш рополиК урагпешй «Гаковедяа /4/ s JZ ¡ неос^одаю и достаточно выполнение условий:

t = i- ( K.jCffëV Jifa - Kj Гг+■ ohj)i

M=JL ('V',re-?+JH3+ К,Г-се+- JÍ]) J -J J

на Г .

Лшлогични2 результат доказан для гармонических-спя-

норшя полей:

Теорема I.4.2. Пусть на Г задана (Т.уккшя удовлетворяющая у слог л а голздера. Ч'^оЬи эта функция Счх а краевым значением решения уравнашш Дирака /5/ в Л •, необходимо и достаточно выполнение условия:

УГ^ = 2(1Х'П(у) , ус Г.

Исследована. следующая краевая задача: Найти в. 31-.= [кг ¡Я* | X, > 0 ! реше.ние V уравнения /5/, исчезающее на бескокчности иудэв.мзтворяг!с;ес услог ум

(и г, = а„ , 3« « С»А , Хи V» = аг , & V, = а, на Г ,

где Г {хеК3( х,«о], X -прост-

ранство Лазорккна. В явном лдз получено решение задачи. Доказана его единственность.

Глава з состоят из двух параграфов. В § 3.1 предлагается схеиа ш^еркомплакской факте?.;задки аласса за-' дач математической физика, обобщающая результат!! Б.Д.Аннина, ;о.М.Григор:ьега, Е.З.Наумова; К. (¿¿¡лА4с,<.и, ^'¿ы^ рассматривавших краевое задач;! для уравдана-я Хамаса, . рзльмгольца, Ла;,:е. Она позволяет приводить соответст-, вуацие краевые задачи типа $ „мша н дзуа. краевом задачам в классах с<- -пшерго ломотных функции. Приведен ряд примеров, содержащий кап узв. известные, гчк и ковке классы уравнений математической физики, укладывающиеся в обцуа. схему /к новш относятся уравнение установившихся упругих колебаний; уравнения "статики комзктной теорш. упругоетч/.

В § 3.2 рассматтавае тся процедура фактлтшзации по группе сшаихркй' -римзнихельно к утавь..ниш типа Фуете-ра .

.( 2 1а Я; Г- О, /6/

_ ¿-с > ■1.

тда а = Сопьх'е С - Она заключав тс>.е тоя что а помощью построения инвариантов группы классических сим-¡атрий исходного ^раиюния /б/ шнно получить решения для но которых систем нелинейных ура1 >ниЗ в чаеткы" : производных. Прл.йнеша факторизации по грунт- • расташекий,

являвдзис.. подгруппой симметрия уравке1щя /6/, позволило получить ресекия класса нелинейных кватерниошшх уравнений, солорхаг'.ого, в частности, уравнение сс "одуалвностп после введения для калибровочного потенциала снзаца

. АШ - - Ч Ко^ . То есть,

в., частности, "олучен клаа. ипстантонов.

ОСШВКЩ ЕЕЬУЛЬТлТЫ ШССЗРЩ®} ОПУШШОВАКЫ В РАБОТАХ

1. Кравченко В.". О приближенном решении задачи по скачку для Я -гпшрголомортилх ¡г.уккшй/ ' зисы докладо:

5, Псе сошного симпозиум . "Метод дискретных особенностей в задачах математической фгзики".-Одесса, 1991.-Часть 2. - с.25.

2. Кравченко Б.Г.. Об обобщении; голоморфных векторах/ 1Ь-зисы докладов Ресяублихан :сой научно-кеходичсской кон-ферошдо!, посвя1".еяно;: 200-летао со дня рождения Н. И. Лобачевского.-Одесса, 1Э?2.-Часть I,- с.35. .

3. Кравченко В.В. О связи ыпвду гололор^ными бикватернион-

функхияуи и гармоническими одоктро«агнитшва поля-. ж/ Одесский упгверс-тет.- Одесса, Ш2.- 18 е.- ¿ел. в УкрИГГЗИ 29.12.1932, И 2073-Ук-Э2.

5. Кравченко В.В., -Шапиро .'.¡.В. Об обобщенной системе уравнений Хс„;::-р1Г.:аиа с. кватернионшш параметром// Докл. РАН.— 1993.'- т.32°, И Ь\- о. Г-17-543.

5. Ю

. - , Р^глм^а/ , Г?'7 Г. - 3 ¡>. -

Те.о^и-е ;. А/1).

(,. КлвлЛлЛ.ум,-ърьлМ.м. huldJ.ii-

ау^Сг* Л^А а ^л^х^сЛ^пЛо^1Ч*с -гьгялгс

(и*.

to

A-^l PJl ,

/333. p.iOi-iZè. Ц. ICwiTb-L.rvL V. Z, M У.

Л

a^xcl OL^f^C^CL/tLÀ ¿jLcrt

.Т. ^п^^А/ txA^sxA^rCÀcisbcs"*— (

/it¿. -í 3 9 3 . - Z3 f>. PujsUsd' / ЗЪу». / Mtdk. , CJAl/eST/IV J. RA/ i л/мэ).

K/invxJ'^n'ho V. l/. ffí^^iíf/'^eí/ QclcícL^ —

Каагчалл <3 í&ns^e.

pstsiosn^c^lsi cnxcl tÍÍVH-л - Iwijv^&'MC. i«^¿ии "bLe. LO~b¡\ ijyri^c^jí^eje. a-n

Ph-J..ÍM. — CÀjutvnZÈi t 4 /^33. —y. 33