Интегральные представления и граничное поведение функций класса Соболева в нерегулярных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ВАСИЛЬЧИК Михаил Юлианович

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ГРАНИЧНОЕ ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИЙ КЛАССА СОБОЛЕВА В НЕРЕГУЛЯРНЫХ ОБЛАСТЯХ

01.01.01 — математический анализ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск, 2006

Работа выполнена в Новосибирском государственном техническом университете. g

Научный консультант^ профессор С.К. Водопьянов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Буренков Виктор Иванович, доктор физико-математических наук, профессор

Демидепко Геннадий Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор

Соловьев Александр Артемович.

Ведущая организация:

Математический институт им. В. А. Стеклова РАН.

Защита состоится . .. 2006 года в .. rf. г?.____часов на

заседании диссертационного Совета ДООЗ.015.03 при Институте м; тематики им. С. J1. Соболева СО РАН (630090, Новосибирск, Пр спект ак. Коптюга, 4).

С диссертацисй можно ознакомиться в библиотеке Института математики им.C.JI.Соболева СО РАН.

Автореферат разослан '/. . 2006 года.

ш

Ученый секретарь диссертационного совета ДООЗ.015.03

А. Е. Гутман

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

^ Актуальность темы. В начале двадцатого столетия развитие теории дифференциальных уравнений и вариационного исчисления потребовало расширения класса функций, среди которых ищется решение. В 20-х годах прошлого века при решении многих задач стали использоваться различные обобщения производной функции и расширенное понимание решения. В конце 30-х годов С. Л. Соболев ввел то понятие обобщенной производной, которое сейчас является общепринятым, и определил пространства функций Ц?},, называемые сейчас пространствами Соболева. Для введенных им классов функций С. Л. Соболевым была разработана теория вложений пространств, нашедшая многочисленные приложения в теории дифференциальных уравнений, механике, прикладной математике.

Суть теории вложений может быть описана следующим образом:

|а достаточно широкой совокупности функций вводится семейство орм, зависящих от некоторых параметров, характеризующих свойства гладкости и свойства суммируемости функций. Задача заключается в том, чтобы из принадлежности функции одному из порождаемых этими нормами функциональных пространств вывести принадлежность ее другим.

Большое значение пространств Соболева и теорем вложения для теории уравнений в частных производных, других разделов математики и приложений обусловило их интенсивное изучение и к настоящему времени привело теорию пространств Соболева па всем пространстве М" или на областях с гладкой границей к практически завершенному виду. Однако для пространств функций, определенных на областях с негладкой границей, теория еще весьма далека от

завершения.

Основные результаты диссертации относятся к теоремам вложения разных измерений или, как их еще называют, теоремам о следах. Первые результаты о следах функций класса У/'р получены С. Л. Соболевым (см. [27., гл. 1]). Теоремы С. Л. Соболева давали определенный ответ па вопрос, какими свойствами обладает след функции из У/'^О.) па многообразии Г С по он давался в терминах класса У/ и не давал полного описания следов.

Первые окончательные результаты по проблемам следов фупк-.ций из пространств Соболева были получены при р = 2 Ароншай-пом [33] и независимо от пего Л. Н. Слободецким [26], Фрейдом и Кралнком [36], Проди [39], [40]. Дальнейшие исследования Гальярдо [34], О. В. Бесова [2], [3], П. И. Лизоркипа [15], [16] и С. 13. Успенского [28] привели к полному решению проблемы о следах функций классов У/'р при любом конечном /; > 1 и при условии достаточной гладкости многообразия Г. Обратимая характеристика следов функ-^ ций из \Ур па Г С О дается в терминах пространств О. В. Бесова

Следы функций на липшицевом многообразии охарактеризованы О. В. Бесовым [5], [6]. Более общая ситуация рассмотрена в работах Йонсопа [37] и Йопсона и Валлипа [38]. В работах [5], [6], [37] и [38] описание следов дано с помощью пространств па многообразии, элементами которых являются наборы функций. Так, если /•■ € И^'(П), / > 1, то элементом такого пространства па множестве Г с будет набор функций {/я}|„|<^ где /„ = и к зависит от

/, /;, п. и размерности Г. Упомянем еще работу С. К. Водопьянова, в которой использован модифицированный подход Уитпи для описания граничных значений функций из пространств

Соболева

и Никольского #¿(£2), заданных в произвольной области евклидо-вого пространства. Особенность этого метода состоит в том, что он применим к любой области, независимо от гладкости ее границы.

Представляет интерес задача описания граничных свойств функций, определенных в области с кусочно-гладкой границей. В этом случае на гладких участках границы определены производные по нормали и, следовательно, правомерно рассматривать задачу о следах в постановке, близкой к классической. При этом оказывается, что при наличии на границе нерегулярных точек описание граничного поведения функций существенно зависит от геометрии области. Так, например, пространства следов функций из \У}, на границе пика будут различными для пика, направленного наружу, и для пика, направленного внутрь области [21], [42].

Для области с кусочно-гладкой границей сШ, имеющей ненулевые углы, С. М. Никольский дал в работах [23] описание следов ^^ пространств Никольского //ДГ2), а Г. Н. Яковлев получил [30], [32] обратную характеристику следов для областей такого же тина для пространств Соболева \Ур(0.).

Задача о следах функций на кусочно-гладкой границе области с ненулевыми углами рассматривалась многими математиками, прежде всего — в связи с краевыми задачами математической физики (см., например, [35] и приведенную там литературу).

В работах [30] и [31] Г. Н. Яковлев рассмотрел граничное поведение функций из пространств Соболева, определенных в областях на плоскости, границы которых имеют изолированные особенности, нарушающие липшицевость границы, в том числе и нулевые углы.

В работе [18] В. Г. Мазья получил необходимые и достаточные условия па следы функций из 1У2' для случая области в М", п ^ 3,

граница которой содержит пики. При доказательстве В. Г. Мазья использовал преобразование Фурье, что не позволяет перенести пспо^ средственно методы доказательства на случай произвольного р ^ В работе В. Г. Мазьи и С. В. Поборчего [21] получено описание следов для областей с пиками на границе для произвольных р е (1,°°)-Одновременно и независимо этот же результат был получен в работе [42]. В работе [20] рассмотрен случай р — 1.

В работах [22], [42] п [48] рассмотрена задача о следах для функций класса Н';)' и для других областей, кроме пика, имеющих на гра-. нице нулевые углы — некоторые случаи гребней, области между и вне касающихся гиперповерхностей.

В диссертации рассматриваются теоремы о следах только для пространств Соболева Аналогичные рассмотрения можно бы-

ло бы провести и для некоторых других функциональных пространств, например, для пространств Бесова 5^(0). Но наша главная цель — изучить граничное поведение функций, определенных в областях^^ нулевыми углами на границе, исследовать зависимость этого поведения от геометрии области. Для этой цели пространства Соболева подходят наилучшим образом. С одной стороны, они наиболее просто определяются и наиболее изучены, что позволяет избежать многих технических сложностей, которые появились бы при исследовании других пространств. С другой стороны, пространства Соболева и сейчас наиболее используемые функциональные пространства, что делает важной любую новую информацию об этих пространствах.

Одним из важнейших инструментов при изучении пространств Соболева \У'р при I ^ 2, является метод интегральных представлений, идущий от работ С. Л. Соболева (см. [27]). После работ С. Л. Соболева метод получил свое развитие в работах О. В. Бесова [4],

[7], В. П. Ильина [13], Ю. Г. Решетняка [24], [25], С. В. Успенского [29], В. Г. Мазьи [17] и других математиков (см. [9] и приведенную ^^Ьм литературу).

Преимущество метода интегральных представлений состоит в том, что представление функции в данной точке х строится по значениям этой функции в точках контролируемого (независимого от функции) множества, содержащегося в области определения (носитель представления). Благодаря этому появляется возможность для изучения функциональных пространств функции, заданных па множестве достаточно общего вида. С использованием интегральных представлений доказаны теоремы вложения Соболева для областей, имеющих на границе угловые точки (см., например, работы [7]—[8]). В диссертации интегральные представления функций применяются при изучении граничного поведения функций.

цель работы. Целью дайной работы является исследование

«апичного поведения функций из пространств Соболева №¡,(£1), ределенных на областях, имеющих на границе нулевые углы и приложение методов этого исследования к задаче о разрешимости эллиптической краевой задачи.

Методика исследования. Методика исследования базируется на построении и систематическом использовании интегральных представлений функций, определенных в областях с нерегулярными точками па границе, в использовании методов теории функций, математического и функционального анализа.

Научная новизна. Все основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми и снабжены строгими доказательствами.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы имеют теоретическое значение. Методы и результаты работы могут быть применены в теории функциональных пространств, пр1? исследовании свойств дифференцируемых функций, в теории уравнений с частными производными. Результаты работы могут быть использованы при чтении спецкурсов по теории функций вещественных переменных, по теории функциональных пространств.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на всероссийских и международных конференциях: на XII Школе по теории операторов в функциональных пространствах (Тамбов, 1987 г.), на XIII Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Куйбышев, 1989 г.), на Международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ"(Москва, 1995 г.), па Международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования"(Москва, 1998 г.), н^ международной школе-конференции по анализу и геометрии (Новосибирск, 2004 г.), на Международной школе-конференции "Геометрический анализ и его приложепия"(Волгоград, 2004 г.), на международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный апализ"(Москва, 2005 г.), на семинарах Новосибирского государственного университета (руководитель профессор С. К. Водопьянов), на семинарах Института Математики СО РАН им. С. Л. Соболева (руководитель академик Ю. Г. Решетпяк).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [41]—[53].

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав и списка литературы из 75 наименований.

Содержание работы. Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается краткий обзор истории и современ-^^юго состояния изучаемых проблем и приводится краткое изложение диссертации.

Глава 1 носит вспомогательный характер и состоит из трех параграфов. В § 1.1 вводятся обозначения, используемые на протяжении всей работы. В § 1.2 вводятся функциональные пространства — весовые пространства Лебега, Соболева и Бесова на плоских кривых и на пространственных областях и поверхностяхт~В.§ 1.3 собраны известные утверждения о функциональных пространствах, существенные для наших рассмотрений. Приводится теорема об аддитивности пространств Соболева, принадлежащая В. И. Буренкову [10], теорема о продолжения функций из пространств Бесова на окрестность гребня — переформулировка результата Л. Н. Слободецкого [26, § 6] к нужному нам виду, теоремы Г. Н. Яковлева [32] о следах функций ^^ пространств Соболева на границе липшицевой кусочно-гладкой области.

В главе 2 строятся интегральные представления для различных областей, имеющих на границе нулевые углы, направленные во внешность. Глава содержит четыре параграфа. В § 2.1 строится интегральное представление для функций, определенных в пике

Р0 = {л-= (.г,,л-2) еК2: 0 < .с, < 1, </>,(*,) < х2 < <р2(.г,)}, (1)

где (р| и (р2 — дифференцируемые па интервале (0, 1) функции. Число производных у <Р| и <р2 определяется показателем / пространства Для <р, и (р2 выполняются условия Ит^фД^,) = 0, / = 1,2.

Положим (р = ср2 — ф,. Интегральное представление функции

/•" 6 \У'р(Рп) имеет вид где

= (3)

где коэффициенты ак дифференцируемы столько же раз, сколько и

Ф,,Ф2.

Для функции /? из (2) выполняется

^ади (4)

м^ "(о)

при | се 1 = к ^ /, а = (а,, а2) — мультииндекс.

Усредпспие функции и интегральное представление по нему строится по известной схеме [9, § 7]. Новое заключается в том, что мы ис^ пользуем переменный радиус усреднения, зависящий от функции ср. Усреднения с переменным радиусом, учитывающие геометрию области, использовались и рапсе. Упомянем здесь только работы О. В. Бесова [7], [8], в которых с помощью усреднения с переменным радиусом строились интегральные представления, которые, в свою очередь, использовались для доказательств теорем вложения в областях с угловыми точками на границе.

Особенностью наших построений является то, что, используя переменный радиус усреднения, мы решаем две проблемы — добиваемся того, что носитель представления лежит в области определения функций, и получаем представление функций из пространств Соболева в виде (2).

В § 2.2 доказываются вспомогательные утверждения. Получаются оценки для коэффициентов ак из (3), доказываются неравенства ^^(4), устанавливаются оценки для следов производных функции R на границе Р0.

В § 2.3 строится интегральное представление для функций, определенных в пространственном гребне D = {jr= (д-рдг2,...,д:п) G R": <р,(л2) < л, < <р2{х2),

О <Xj < 1,./ = 2.....л}.

Функции <р| и <р2 удовлетворяют тем же условиям, что и функции <р, из § 2.1. Интегральное представление функции получается в виде (2), но F, теперь имеет вид ■-——

ад

где xJ = (х,,... ,л_„) € К"-1. В этом же параграфе получены иптеграль-^^ные оценки для функций ак и R. ^^ В § 2.4 рассматриваются функции из IV^ (Л), где

Р = {х = {х\х„) е R" : 0 < х„ < I. |У| < <р(дгя)}, (5)

где «ре С1 ([0,1]) и

lim ф(т) = lim ю'(т) = 0.

Т-+0 г—+0

Интегральное представление для функций из И'Д/5) имеет вид (2), где F|(jt) = F,(x„), а для функции R выполняется

\\^hn(P)<C\\F\\w,ipy

Результаты § 2.4 используются в главе 6 при доказательстве компактности оператора вложения W2 (Р) с L2 дР).

11

Глава 3 посвящена теоремам о следах функций из Wj,(G), где G С К2 — ограниченная область с кусочно-гладкой границей dG, имеющей па dG конечное число особенностей типа внешних или внутренних пиков.

Глава состоит из пяти параграфов. В § 3.1 сформулированы результаты главы 3. Основными являются лемма 3.1.1 и теоремы 3.1.1, 3.1.2 и 3.1.4.

Доказательства теорем 3.1.2, 3.1.4 и некоторых теорем из последующих глав существенно используют лемму 3.1.1. В этой лемме .для функции

7=0 J •

и векторного поля N = {cosco, sin tu}, определенного на кривой Г =

дкР

{л'= (л-,, Л'2) € М2: 0<а-| < 1 ,х2 = у/(л:,)}, производные -j-j1

дгР,

жаются через производные ^д,,1

. Более точно, если = ^дг

выра-

г

д'Р,

г

0, 1,...,/— 1, то функции aj выражаются явно и однозначно через <!;,•

/-1

а

■j{t) = К- 1 y-JL^ ^.. j = 0. 1...../ - 1.

Функции ¿( линейно зависимы от функций и зада-

ются рекуррентными соотношениями, начиная с ¿0 =

Теорема 3.1.1 дает необходимые и достаточные условия па след функции ¡л — •/г|г)Р , где Р е Р0 — область (1), и на след

ц = Р\ду, где Р 6 IV/,(V), V = О\Р0, О — квадрат (- 1,1) х (- 1,1). В этой теореме производные функции Р по нормали пли по некоторому некасательному направлению не участвуют. Пусть

г,. = {.V = (.V,,лч) е К2: 0 < X, < 1,хг = <р,.(л-,)}, /=1,2

12

— части границы области (1). Используя разбиение единицы, задачу описания следов функций на границе области С, имеющей конечное

^исло внешних пиков, можно свести к описанию следов на границе Р0 или V = £>\Р0, где £> — квадрат (—1,1) х причем, можно

считать, что все рассматриваемые функции Г из №р(Р{)) или из И'¿(У) и их следы на дР0 и дУ обращаются в нуль при > хгде х® е (0,1)

— фиксированное число, и на сторонах квадрата О — для области V.

Обозначим = д|г, I— 1,2, для функции ¡1, определенной па дР0. Теорема 3.1.1 утверждает, что функция р будет следом некоторой Г € И^'(/ц) тогда и только тогда, когда она принадлежит весовому пространству Бесова на Г,- и функции и ц2 пе сильно отличаются друг от друга, а точнее —- конечна величина

/-1 X

*=о

dk p2(/)-/i,(/) dtk

ф(0

'-,,.,.(0.1)

/-1

X

к=0

ф: обозначено n¡{t) = 9,(0)- <Р(0 = <Р2(0 ~ <Рi (')• При йт^ф'(г) = 0 мы имеем нулевой угол на границе.

В случае внутреннего пика (область V) ¡.i¡ принадлежат невесовому пространству Бесова на Г; и конечна величина

dk ¿i2(0~M0 dtk t

/„ДО. i)

Обозначим через N¡ единичное векторное иоле, определенное па Г(, / = 1,2, некасательное к Г(. В теореме 3.1,2 получены необходимые и достаточные условия для того, чтобы для системы функций jLí0, /J,.., , определенной па Г! UF2, выполнялись равенства

fJS = /=1'2' '^О'1...../-1' (б)

ulyi Г,

для некоторой функции Р £ \У',{С), где мы считаем С = Р0 или С = У. В (6) обозначено ¿1{/)г — Цг\ ■

Таким образом, постановка вопроса в теореме 3.1.2 вполне классическая (см., например, [9, § 24]).

В теореме 3.1.4 рассматривается постановка задач о следах, типичная для краевых задач математической физики. В теореме 3.1.4 даются необходимые и достаточные условия для того, чтобы для системы функций ¡¿1,..., цк, 0 < к < I - I, определенной па дР0, существовала функция Р € У^р(Рд) такая, что выполняются равенства (б) при /- = 0,

Теорема 3.1.3 есть следствие теоремы 3.1.2. В пей рассматривается область, в которой внутренний пик выродился в разрез.

В § 3.2 рассматриваются вспомогательные утверждения. Доказывается лемма 3.1.1, получаются интегральные оценки для функций возникающих в лемме 3.1.1, строятся функции € \У],(Р0), для которых равенства (6) выполняются на Г(. ^

В §§ 3.3—3.5 доказываются теоремы 3.1.1, 3.1.2 и 3.1.4. В главе 4 рассматриваются пространства \Ур (С), где область С С К", п ^ 3, имеет па границе нулевые углы типа пиков, грсбией или соприкасающихся поверхностей. В главе шесть параграфов. В § 4.1 приведены вспомогательные сведения, использующиеся в главе 4. Рассматривается, в частности, отображение, переводящее пик (5) па бесконечный цилиндр

й = {.г = (л', 5п) е К" : 0 < .v,, < со, |/[ < 1}.

Интегралы, вычисленные по границе дР или по области Р, переходят после замены переменных в интегралы по боковой стороне

цилиндра

д0И ={5= 5„) € <ЭО: |У| = 1, 0 < .V,, < «}

и по цилиндру О соответственно. После этого мы получаем эквивалентную задачу о следах для весового пространства Соболева на В. В § 4.1 рассматриваются величины, через которые дается явный вид нормы в ТТМр^ф) — пространстве следов функций из на

еШ с нормой

и доказывается эквивалентность некоторых интегралов, что позволяет рассматривать эквивалентные нормировки в (Р0) и ТИ^] ^(О).

В этом же параграфе вводится конформное отображение, переводящее цилиндр О в полупространство что позволяет рассматривать эквивалентную задачу о следах на (/г — I )-мерной координатной ^¿лоскости.

^^ В § 4.2 рассматривается область с внешним пиком на границе, С'-диффеоморфным пику (5).

Положим для ц, определенной па границе Р (см. (5))

|М|т1 = т^НГНи,, =ц),

,~)РдР

д/'.ет'

где

для л: = {х!,хп), у — (у',у,,), X — характеристическая функция отрезка [0,1]. Теорема 4.2.1 утверждает, что

И^Итдо-ШмИЬ^-

Доказательство теоремы 4.2.1 дается в этом же параграфе.

В § 4.3 рассматривается область с вершиной пика на границе, направленного внутрь области. Пусть и — такая окрестность О — начала координат, что и[~)дС = дР, где Р — область (5). Основной результат § 4.3 —доказываемая в этом параграфе теорема 4.3.1, утверждающая, что

+

7/

\х-У\*-"+2 ' .......1 [«>Ы«>ЫГ2

} 1 \х~у\"+р~2 ■

дрдр ' где о — это функция (7).

В § 4.4 рассматривается случай внутреннего пика при р ^ п — 1. В данном параграфе изложение в значительной степени следует работе [18] и основные усилия здесь направлены на то, чтобы результаты, полученные для р — 2, перенести на случай произвольных р£ (1,°°)-Основной результат сформулирован в теореме 4.4.1, и приведено доказательство, краткое в тех местах, где оно следует работе [18].

§ 4.5 посвящен области, находящейся между касающимися в точке гиперповерхностями.

Пусть <р — та же функция, что и в определении пика (5). Область С определяется следующим образом

С={л-=(У,хп)еК": |л-'| < 1, 0 < х„ < ф(|У|)}.

Обозначим

50 = {л: = (У, х„) б К": |У| < I, = 0}, 5, = {л: = (У,*,,) 6 К": |У| <!,*„ = <р(И)},

Г(У,9(И)), еслн*=(У,0)еЗ,0, к{х) = ^

0), еслих= (У,л„) € 5,,

и положим

сК*,}') = X

чгшп{<р(|*' Основным результатом § 4.5 является Теорема 4.5.1. Справедливо соотношение

ПУДС)

'да

1/Ф-) -д (>■)!''

=Л\_^

'1),<р(1У1)}/'

11 Ил)|"<р(|*'|)</!,+

дс

ЭРдР

У <*>'-'(И) /

5С Ф"-'(И) Теорема доказана в этом же § 4.5.

В последнем параграфе главы — в § 4.6, рассматривается случай области, имеющей на границе особенность типа гребня. Пусть функции <р,, <р2 из С'([0,1]) —те же, что и в (1). Положим {х= (.г,, х2,..., х„) <Е К": <р, (дг2) < < <р2{х2),

0<д,< 1,7 = 2.....и}, (8)

<2= {л = (Л|,Л-21...,Д-,,) € К": - 1 <,Л"2 < 1,

Пусть С — это либо область О, либо — область V = £ДО и пусть N — это единичный вектор нормали, определенный почти всюду па

17

дС и направленный внутрь области С. Положим для х, у € д С и

где х ■— характеристическая функция отрезка [0,1]. Через <1(х,у) обозначим точную нижнюю грань длин спрямляемых кривых, лежащих в С и соединяющих х с у. Основным результатом § 4.6 является доказанная в этом параграфе Теорема 4.6.1. Справедливо соотношение

В главе 5 рассматриваются пространства Соболева со старшими производными на областях с особенностью на границе типа гребня — либо О — область (8), либо V = <2\0.

Для того, чтобы сформулировать результаты, в начале § 5.1 рассматривается аналог леммы 3.1.1 для пространственной области О и определяются функции аналогичные введенным в § 3.1 и удовлетворяющие тем же рекуррентным соотношениям.

Далее в § 5.1 формулируется основной результат главы 5 — теоремы 5.1.1 и 5.1.2. В теореме 5.1.1 дается описание граничного поведения функций из 1У'(0), в теореме 5.1.2 охарактеризованы следы

Я >0

р(х) = 5ир{т: т > 0, х + ^(х) е С},

функций из У/'р{У). Теорема 5.1.1 доказывается в § 5.2, теорема 5.1.2 — в §5.3.

™ В главе 6 рассматривается третья краевая задача " д ( . . ди \ " , . .ди

^ + а(х)и = 11(х), хедв,

для случая, когда С — это область (5).

В § 6.1 дается точная формулировка рассматриваемой краевой задачи (описываются условия, накладываемые па коэффициенты задачи) и формулируется утверждение о ее фредгольмовой разрешимости в пространстве (Р).

В § 6.2 доказывается полная непрерывность оператора вложения

При доказательстве существенно используется интегральное представление функций из § 2.4.

В § 6.3 доказывается фредгольмова разрешимость третьей краевой задачи в пространстве (/'). Идея доказательства хорошо известна (см., например, [14, гл.II]) н заключается в том, чтобы свести дифференциальное уравнение к операторному

(/ + А)н = Г,

где / — тождественный оператор, а оператор-А_ вполне непрерывен. Полная непрерывность оператора Л есть следствие компактности операторов вложения И^'(Р) в Ь2{Р) и И^/') в ¿2<р(г)/>). Компактность первого оператора вложения установлена В. Г. Мазьеи (см. [19, гл. 4]), компактность второго доказана в § 6.2. Отсюда следует фредгольмовость третьей краевой задачи в пике.

Литература

[1] Бабич В. М., Слободецкий Л. Н. Об ограниченности интеграла Дирихле // Докл. АН СССР. — 1956. — Т. 106. — № 4. — С. 604—607.

[2] Бесов О. В. О некотором семействе функциональных пространств. Теоремы вложения и продолжения // Докл. АН СССР.

— 1959.— Т. 126.— С. 1163—1165.

[3] Бесов О. В. Исследование одного семейства функциональный пространств в связи с теоремами вложения и продолжения И Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. — 1961. — Т.60. — С. 42— 81.

[4] Бесов О. В. О продолжении функций из и // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. — 1967. — Т.89. — С. 5—17.

[5] Бесов О. В. Поведение дифференцируемых функций на негладкой поверхности // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. — 1972.

— Т. 117.— С. 3—10.

[6] Бесов О. В. О следах на негладкой поверхности классов дифференцируемых функций // Тр. Мат. ип-та им. В. Д. Стеклова.

) — 1972. — Т. 117. — С. И—21.

[7] Бесов О. В. Интегральные представления функций н теоремы вложения для области с условием гибкого // Тр. Мат. ип-та им. В. Л. Стеклова. — 1984. — Т. 170. — С. 12—30.

[8] Бесов О. В. Теорема вложения Соболева для области с нерегулярной границей // Мат. сб. — 2001. — Т. 192, № 3. — С. 3—26.

[9] Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. — М.: Наука, 1975. — С. 480.

[10] Бурспков В. И. Об аддитивности классов II Тр. Мат.

ип-та им. В. А. Стеклова. — 1967. — Т.89. — С. 31—35.

¿11] Водопьянов С. К. Внутренние геометрии и граничные значения ™ дифференцируемых функций // Спб. мат. жури. — 1989. — Т.30, № 2. — С. 29—42.

[12] Ильин В. П. Свойства некоторых классов дифференцируемых функций многих переменных, заданных в /г-мерпой области II Тр. Мат. ин-та им. В. Л. Стеклова. — 1962. — Т.66. — С. 227— 363.

[13] Ильин В. П. Интегральные представления дифференцируемых функций и их применение к вопросам продолжения функций классов \¥¡,(8) Н Сиб. мат. жури. — 1967, № 7. — С. 573—586.

[14] Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. — М.: Наука, 1973. — С. 408.

[15] Лизоркин П. И. Граничные свойства функций из весовых классов //Докл. АН СССР. — 1960. — Т.132, № 3. — С. 514—517.

[16] Лизоркин П. И. Характеристика граничных значений функций из Lrp(En) на гиперповерхностях // Докл. АН СССР. — 1963. — Т. 150, № 5, — С. 984—986.

[17] Мазья В. Г. Интегральные представления функций, удовлетворяющих однородным краевым условиям и его приложения // Изв. вузов. Математика. — 1980. — № 2. — С. 34—44.

[18] Мазья В. Г. О функциях с конечным интегралом Дирихле в области с вершиной пика на границе // Мат. ин-т им.В.А.Стеклова. Ленингр. отд-ние. — 1983. — Т. 126. — С. 117—137.

[19] Мазья В. Г. Пространства Соболева. — Л.: Изд-во Ленингр. гос. ун-та, 1985. — С. 416.

[20] Мазья В. Г., Поборчий С. В. О следах функций с суммируемым градиентом в области с вершиной пика на границе // Мат. заметки. — 1989. — Т.45, № 1. — С. 57—65.

[21] Мазья В. Г., Поборчий С. В. Следы функций из пространств Соболева па границе области с пиком // Тр. Ин-та Математики / АН СССР. Сиб. отд-ние. — 1989. — Т. 14: Современные проблемы геометрии и анализа. — С. 182—208.

[22] Мазья В. Г., Нетрусов Ю. В., Поборчий С. В. Граничные значения функции из пространств Соболева в некоторых нелипшице-вых областях // Алгебра и анализ, 1999. — Вып.1. — С. 141 — 170.

[23] Никольский С. М. Граничные свойства функций, определенных на области с угловыми точками. I—111 // Мат. сб.: I. — 1956.

— Т.48 82, № 3. — С. 303—318; И. — 1957. — Т.44 86. — С. 127—144; III. — 1958. — Т.45 87. — С. 181—194.

[24] Решетняк Ю. Г. Некоторые интегральные представления дифференцируемых функций И Сиб. мат. журп. — 1971. — Т. 12, № 2. — С. 420—432.

[25] Решетняк Ю. Г. Интегральные представления дифференцируемых функций в областях с негладкой границей // Сиб. мат. журн.

— 1980. — Т.21,№6. — С. 108—116.

[26] Слободецкий Jl. Н. Обобщенные пространства С. Л. Соболева и их приложения к краевым задачам в частных производных И Уч. зап. Ленипгр. пед. ин-та им. А. И. Герцена. — 1958.

— Т. 197.— С. 54—112.

[27] Соболев С. Л. Некоторые приложения функционального анализа в математической физике. — Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.— С. 256.

[28] Успенский С. В. Свойства классов W^ с дробной производной на дифференцируемых многообразиях // Докл. АН СССР.

— 1960. — Т. 132, № 1. — С. 60—62.

[29] Успенский С. В. О представлении функций, определяемых одним классом гипоэллиптических операторов // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. — 1972. — Т. 117. — С. 292—299.

[30] Яковлев Г. Н. Граничные свойства функций класса W^ на областях с угловыми точками // Докл. АН СССР. — 1961. — Т. 140, № 1. — С. 73—76.

[31] Яковлев Г. Н. Задача Дирихле для областей с нелипшицевой границей // Дифференц. уравнения. — 1965. —• Т. 1, № 8. — С. 1085—1098.

[32] Яковлев Г. Н. О следах функций из пространства Wj, па кусочно-гладких поверхностях // Мат. сб. — 1967. — Т.74 (116), № 4.

— С. 526—543.

[33] Aronszajn N. On coercive integro-differential quadric forms // Conference on Partial Differential Equations, Univ. of Kansas, 1954.

— Report № 14. — P. 94—106.

[34] Gagliardo E. Carattcrizzazione delle trace sulla frontiera relative ad alcunc classi di funzioni in n variabili // Rend. Scmin. Mat. Univ. dii Padova. — 1957. — Vol.27. — P. 284—305.

[35] Grisvard P. Elliptic problems in nonsmootli domains. — Pitman; Boston, 1985. — P. 410.

[36] Fiend G., Kralik D. Uber die Anwendbarkeit des Dirichletschen Prinzips fur den Kreis // Acta Math. Hung. — 1956. — Vol.7, № 3— 4. — P. 411—418.

[37] Jonsson A. Besov spaces on Lipschitz superfaces // University of Umea. — 1986. — V.7. — P. 1—12.

[38] Jonsson A., Wallin H. A Whitney extension theorem in If and Besov spaces // Ann. Inst. Fourier. — 1978. — V.28. — P. 139— 192.

[39] Prodi G. Tracce Sulla frontiera della funzioni di Beppo Levi // Rend.

^ Semin. Mat. Univ. Padova. — 1956. — V.26. — P. 36—60.

[40] Prodi G. Tracce di funzioni con derívate di ordine I a quadrato integrabile Su varietá di dimensione arbitraria // Rend. Semin. Mat. Univ. Padova. — 1958. — V.28. — P. 402—452.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[41] Васильчик M. Ю. О следах функций m пространств Соболева, определенных в плоской области с внешним пиком на границе // Тез. докл. XII Школы по теории операторов в функциональных пространствах, Тамбов, 1987. — С. 34.

[42] Васильчик M. 10. О следах функций из пространств Соболева VV1, определенных в областях с нелипшиневой границей // Тр. Ин-та Математики / РАН. Спб. отд-пие. — 1989. — Т. 14: Сове-

^^ ременные проблемы геометрии и анализа. — С. 9—45.

[43] Васильчик M. Ю. О следах функций из пространств Соболева, определенных в плоской области с иелипшнцепой границей // Докл. АН СССР. — 1991. — Т.319, № 2. — С. 275—277.

[44] Васильчик М. Ю. О необходимых и достаточных условиях па след функций из пространства Соболева на границе плоской области с пелипшицевой границей // Тр. Ин-та Математики / РАН. Сиб отд-пие. — 1992. — Т.21: Исследования но математическому анализу и рнмановон геометрии. - С. 5—29.

[45] Васильчик M. Ю. Граничные свойства функций класса Соболева, определенных на областях с кусочно-гладкой пелипшицевой границей //Тез. докл. междун. конференции "Функциопаль-

25

ные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", Москва, 1995, — С. 72.

[46] Васильчпк М. Ю. Граничные свойства функций из пространств Соболева, определенных в плоской области с угловыми точками // Сиб. мат. жури. — 1995. — Т.36, № 4. — С. 787—804.

[47] Васильчик М. Ю. Обратимая характеристика следов функций из пространств Соболева на кусочно-гладкой границе плоской области // Тр. Ин-та Математики / РАН. Сиб. отд-ние. — 1996.

— Т.31: Пространства Соболева и смежные вопросы анализа.

— С. 40—57.

[48] Васильчик М. Ю. Некоторые применения интегральных представлений при исследовании граничных свойств дифференцируемых функций // Тр. Ин-та Математики / РАН. Сиб отд-ние.

— 1996. — Т.31: Пространства Соболева и смежные вопросы^ анализа. — С. 58—99.

[49] Васильчик М. Ю. О задаче Дирихле для бигармоническо-го уравнения в плоской области с пиком // Тез. докл. меж-дун. конференции по анализу и геом., посвящ. 70-летию акад. Ю.Г.Решетпяка, Новосибирск, 1999.— С. 117—119.

[50] Васильчпк М. Ю. О граничном поведении функций из пространств Соболева, определенных в плоской области с вершиной пика на границе Н Матем. труды / РАН. Сиб. отд-ние. — 2003. — Т. 6, № 1. — С. 3—27.

[51] Васильчик М. Ю. О граничных значениях функции класса Соболева, определенных в плоской области с кусочно-гладкой

нерегулярной границей И Тез. докл. 2 Мегкдун. конференции "Функц. пространства. Дифференц. операторы. Проблемы образования", Москва, май 2003. — Москва, 2003. — С. 8

[52] Васильчик М. Ю. О компактности оператора вложения пространства Wp{G) в Lptfl(dG) в случае плоской области G с вершиной пика на границе // Тез. докл. междун. конференции "Геом. анализ и его приложения", Волгоград, май 2004. — Волгоград, 2004. — С. 24—26.

[53] Васильчик М. Ю., Гольдштейн В. М. О разрешимости третьей краевой задачи для области с пиком // Мат. заметки. — 2005. — Т.78, вып. 3, септ. — С. 466—468.

Подписано в печать 14.06.2006 Формат 60x80/16. Усл.печ.л. 1,75 Тираж 100 жч. Закяi № ) 0

Отпечатано n типографии ЗЛО ИМИ «ОФСЕТ» 630090, Новосибирск, пр. Академика Коптюга. 1а

К началу двадцатого столетия развитие теории дифференциальных уравнений и вариационного исчисления потребовало расширения класса функций, среди которых ищется решение.

В 20-х годах прошлого века при решении многих задач стали использоваться различные обобщения производной функции и расширенное понимание решения. В конце 30-х годов С. Л. Соболев ввел то понятие обобщенной производной, которое сейчас является общепринятым, определил пространства которые сейчас называются пространствами Соболева, и установил основные соотношения между этими пространствами, а так же между пространствами и пространствами С(й) (^¿00(0), где Г — й-мерное гладкое многообразие в К". Эти соотношения называются теоремами вложения.

Пространства Соболева и теоремы вложения играют чрезвычайно важную роль в теории дифференциальных уравнений с частными производными, а так же в различных областях математического и функционального анализа. Это обусловило их интенсивное изучение и к настоящему времени привело теорию пространств Соболева на всем пространстве М" или на областях с гладкой границей к практически завершенному виду.

Однако для пространств Соболева функций, определенных на областях с негладкой границей, теория еще весьма далека от завершения.

Основные результаты диссертации относятся к теоремам вложения разных измерений или, как их еще называют, теоремам о следах. Первые результаты о следах функций класса IV}, получены С. Л. Соболевым (см. [37, гл. 1]). Теоремы С. Л. Соболева давали определенный ответ на вопрос, какими свойствами обладает след функции из на многообразии Г с О, но он давался в терминах класса \¥ и не давал полного описания следов.

Первые окончательные результаты по проблеме следов функций из пространств Соболева были получены при р = 2 Ароншайном [48] и независимо от него В. М. Бабичем и Л. Н. Слободедким [1], Л. Н. Слободецким [36], Фройдом и Краликом [54], Проди [59], [60].

Дальнейшие исследования Гальярдо [51], О. В. Бесова [2], [3], П. И. Лизоркина [22], [23] и С. В. Успенского [39] привели к полному решению проблемы о следах функций классов И^ при любом конечном р > 1 и при условии достаточной гладкости многообразия Г. Обратимая характеристика следов функций из Г2) на Г С П дается в терминах пространств О. В. Бесова В^(Г).

Следы функций на липшицевом многообразии охарактеризованы О. В. Бесовым [5], [6]. Более общая ситуация рассмотрена в работах Йонсона [57] и Йонсона и Валли-на [58]. В работах [5], [6], [57] и [58] описание следов дано с помощью пространств на многообразии, элементами которых являются наборы функций. Так, если F € I > 1 то элементом такого пространства на множестве Г С П будет набор функций где к зависит от 1,р,п и размерности Г. Упомянем еще работу С. К. Водопьянова [13], где использован модифицированный подход Уитни для описания граничных значений функций из пространств Соболева И^б) и Никольского заданных в произвольной области евклидового пространства. Особенность этого метода состоит в том, что он применим к любой области, независимо от гладкости ее границы.

Представляет интерес задача описания граничных свойств функций, определенных в области с кусочно-гладкой границей. В этом случае на гладких участках границы определены производные по нормали и, следовательно, правомерно рассматривать задачу о следах в постановке близкой к классической.

При этом оказывается, что при наличии на границе нерегулярных точек описание граничного поведения функций существенно зависит от геометрии области. Так, например, если на границе области есть только одна нерегулярная точка — вершина пика, то пространства следов функции класса будут различными для пика, направленного наружу [28], [64].

В работах [31] С. М. Никольский описал пространство следов функций из пространств Нр(0) (пространства Никольского). Г. Н. Яковлев получил обратимую характеристику следов функций из И^(О) для случая кусочно-гладкой границы 80 с ненулевыми углами на дй, образованными гиперповерхностями-участками дй [44], [46]. Задачей о следах функций на кусочно-гладкой границе области с ненулевыми углами занимались многие математики, прежде всего — в связи с краевыми задачами математической физики (см., например, [56] и [53] и приведенную там литературу).

В работах |44] и [45] Г. Н. Яковлев рассмотрел области на плоскости, границы которых имеют изолированные особенности, нарушающие липшицевость границы, в том числе и нулевые углы. Это, по-видимому, были первые работы, где исследовались следы функций на границе, содержащей нулевые углы.

В работе [25] В. Г. Мазья получил необходимые и достаточные условия на следы функций из И^1 (0) для случая области в Мп, п ^ 3, граница которой содержит пики. При доказательстве В. Г. Мазья использовал преобразование Фурье, что не позволяет перенести непосредственно методы доказательства на случай произвольного р > 1. В работе В. Г. Мазьи и С. В. Поборчего [28] получено описание следов для произвольных р е (1, оо). Одновременно и независимо этот же результат был получен в работе [64]. В работе [27] В. Г. Мазья и С. В. Поборчий рассмотрели случай р= 1.

В работах [29], [64] и [70] рассмотрена задача о следах для функций класса \Ур и для других областей, кроме пика, имеющих на границе нулевые углы — некоторые случаи гребней, области между и вне касающихся гиперповерхностей.

Мы рассматриваем теоремы о следах только для пространств Соболева ^((3). Аналогичные рассмотрения можно было бы провести и для некоторых других функциональных пространств, например, для пространств Бесова £^((3). Но наша главная цель — изучить граничное поведение функций, определенных в областях с нулевыми углами на границе, исследовать зависимость этого поведения от геометрии области. Для этой цели пространства Соболева подходят наилучшим образом. С одной стороны, они наиболее просто определяются и наиболее изучены, что позволяет избежать многих технических сложностей, которые появились бы при исследовании других пространств. С другой стороны, пространства Соболева и сейчас наиболее используемые функциональные пространства, что делает важной любую новую информацию об этих пространствах.

Основным инструментом при изучении пространств Соболева И^ при I ^ 2, у нас является интегральное представление. Метод интегральных представлений, идущий от работ С. Л. Соболева (см. [37]) является одним из важнейших при изучении пространств Ир(С). Дальнейшее развитие метод получил развитие в работах В. П. Ильина [16], О. В. Бесова [4], [7], Ю. Г. Решетняка [33], [34], С. В. Успенского [40], В. Г. Мазьи [24] и других математиков (см. [10] и приведенную там литературу).

Преимущество метода интегральных представлений состоит в том, что представление функции в данной точке х строится по значениям этой функции в точках контролируемого (независимого от функции) множества, содержащегося в области определения (носитель представления). Благодаря этому появляется возможность для изучения функциональных пространств функций, заданных на множестве достаточно общего вида. В нашем случае — это области, имеющие на границе внешние пики или гребни. Кроме того, функцию ^ € можно, используя интегральное представление, представить в виде Р = ^ + Я, где ^ имеет хорошие дифференциальные свойства (зависящие только от области), а функция Я контролируемым образом мала и порядок малости согласуется с размерами поперечного разреза пика или с "толщиной"гребня.

Опишем кратко структуру работы и расположение результатов по главам.

Диссертация состоит из шести глав. Первая глава носит вспомогательный характер и содержит три параграфа. В § 1.1 вводятся обозначения, используемые на протяжении всей работы. В § 1.2 вводятся функциональные пространства — весовые пространства Лебега, Соболева и Бесова на плоских кривых и на пространственных областях и поверхностях. В § 1.3 собраны известные утверждения о функциональных пространствах, существенные для наших рассмотрений. Утверждения мы приводим без доказательств, но с необходимыми ссылками. Приводится теорема об аддитивности пространств Соболева, принадлежащая В. И. Буренкову [11], теорема о продолжении функций из пространств Бесова на окрестность гребня — переформулировка результата Л. Н. Слободецкого [36, § 6] к нужному нам виду, теоремы Г. Н. Яковлева |46] о следах функций из пространств Соболева на границе липшицевой кусочно-гладкой области.

Во второй главе строятся интегральные представления для различных областей, имеющих на границе нулевые углы, направленные во внешность области. Глава содержит четыре параграфа. В § 2.1 строится интегральное представление для функций, определенных в плоском пике:

Р0 = {х = (хь х2) е К2: 0 < XI < 1, </>1(2:1) <х2< ^2(^1)}, (0.1) где щ и <р2 — дифференцируемые на (0,1) функции. Число производных у и ^ определяется показателем I пространства Соболева И^Ро). Для <р\ и <р2 выполняются условия 1ш1 <р{(х) = 0, г = 1, 2. Положим ц> — — Представление функции

XI—»+0

Р е \У1р{Р0) имеет вид

Р = Рх + Я, (0.2) где

Р1(х) = Х;аА(х1)|, (0.3) к=0 где коэффициенты а* дифференцируемы столько же раз, сколько и <рх, щ. Для функции Л из (0.2) выполняется С||Р|и<(Ро), (0.4)

Хр(Яо) при |а| = к ^ а = (ах, аг) — мультииндекс.

Усреднение функции и интегральное представление по нему строятся по известной схеме (10, § 7]. Отличие от построений в [10] состоит в том, что мы используем переменный радиус усреднения, зависящий от функции <р. Переменный радиус усреднения использовался и ранее. Упомянем здесь только работу Л. Д. Кудрявцева [18], в которой усреднение с переменным радиусом использовалось для исследования граничных задач для эллиптических уравнений и работы О. В. Бесова [7]—[9], в которых с помощью усреднений с переменным радиусом строились интегральные представления функций, которые, в свою очередь, использовались для доказательства теорем вложения в областях с углами на границе.

Особенностью наших построений является то, что используя переменный радиус усреднения мы решаем две проблемы — добиваемся того, что носитель представления лежит в области определения функций, и получаем представление функций из пространств Соболева в виде (0.2).

В § 2.2 доказываются вспомогательные утверждения. Устанавливаются оценки для коэффициентов <*к из (0.3), доказываются неравенства (0.4), рассматриваются оценки для следов производных функции Я на границе РоВ § 2.3 строится интегральное представление для функций, определенных в пространственном гребне

Ю = {х = (хих2, .,хп)еШп: щ{х2) < X! < <р2(х2), О <Х1 <\, 1 = 2,. ,п}.

Функции (рг и <р2 удовлетворяют тем же условиям, что и функции щ из § 2.1. Интегральное представление функций получается как в (0.2), но ^ имеет теперь вид ад=!>(*')§, к=0 где х' = {х2, .,хп) € К""1. В этом же параграфе получены интегральные оценки

ДЛЯ фуНКЦИЙ йк и Я.

В § 2.4 рассматриваются функции из ИГр(Р), где

Р = {х = (х', х„) е М": 0 < х„ < 1, \х'\ < фп)}, (0.5) где у еСЧМ) и

Шо<р(т)=Шо<р'(т) = 0.

Интегральное представление для функций из \¥р(Р) имеет вид (0.2), где Р^х) = а для функции Я выполняется

Результаты § 2.4 используются в шестой главе при доказательстве компактности оператора вложения №р(Р) <—> Ь-^^дР).

Результаты этой главы опубликованы в [66], [69], [70], [74]. Третья глава посвящена теоремам о следах функций из И^(б), где (? С К2 — ограниченная область с кусочно-гладкой границей <ЭС, имеющей на <9С конечное число особенностей типа внешних или внутренних пиков. Глава состоит из пяти параграфов.

В § 3.1 сформулированы результаты этой главы. Основными являются лемма 3.1.1 и теоремы 3.1.1, 3.1.2 и 3.1.4.

Доказательства теорем 3.1.2, 3.1.4 и теорем из пятой главы существенно используют лемму 3.1.1. В этой лемме для функции Рх(х) = £ аДях) ^—и векг=о гторного поля N — {собш, вт ы}, определенного на кривой Г = {ж € Е2: 0 < Хг < Более

1, &2 = ф{х\)}, производные иХг)

Якр точно, если & = —£ дкЕ1 выражаются через производные г г = 0, 1,.,/ — 1, то функции аг выражаются явно и у г однозначно через & ог(0 = £ИУ~Г 6) т^Л], г = о, 1,., I -1.

Функции Ь{ выписываются в виде рекуррентных соотношений (Ь0 = £о)-Теорема 3.1.1 дает необходимые и достаточные условия на след функции ц = Е\дРо, где Р 6 \Ур(Ро), Р0 - область (0.1), и на след ц = где У = £\Р0 иП-квадрат {х = (х1; ж2) € К2: -1 < х\, х2 < 1}. В этой теореме производные функции Р по нормали или по некоторому некасательному направлению не участвуют. Пусть

Г* = {х = (ж1, х2) £ К2: 0 < х\ < 1, х2 = <¿>¡(£1)}, г = 1, 2 части границы области (0.1). Используя разбиение единицы, задачу описания следов функций на границе области С, имеющей конечное число внешних или внутренних пиков, можно свести к описанию следов на границе Р0 или V = О\Р0, где Б — квадрат (—1,1) х (-1,1), причем, можно считать, что все рассматриваемые функции Р из \¥р(Ра) или из и их следы на дР0 и дУ обращаются в нуль при х\ > х°, где х® € (0,1) — фиксированное число, и на сторонах квадрата И — для области V.

Обозначим щ = /г|г(, г = 1, 2, для функции /х, определенной на <9Р0. Теорема 3.1.1 утверждает, что функция ц будет следом некоторой Р 6 И^(Ро) тогда и только тогда, когда она принадлежит весовому пространству Бесова на Г,- и функции и ц2 не сильно отличаются друг от друга, а точнее — конечна величина

1-1 Е о dk fi2(t) - m{t) dtk

Ф) где обозначено ^(t) = fi(t, <pi(t)), <p(t) = <p2(t) — ip\ (i). При lim <p'(t) = 0 мы имеем нулевой угол на границе.

В случае внутреннего пика (область V) т принадлежат невесовому пространству Бесова на Г; и конечна величина к=0 dk jl2{t) - mjt) dtk t i-P,t(0,l)

Заметим, что В.И.Буренков получил [49] необходимые и достаточные условия на след функции на границе ненулевого угла, не требующие ничего от производных функции д.

Обозначим через Л^ единичное векторное поле, определенное на Г», г = 1, 2, некасательное к Г,-. В теореме 3.1.2 получены необходимые и достаточные условия для того, чтобы для системы функций /¿о, Мь • • • > определенной на Гх уГг, выполнялись равенства

STF дЖ /i(0r) ¿ = 1,2, г = 0, 1,., 1-1,

0.6) г< для некоторой функции F е где мы считаем С = Ро или С = V. В (0.6) обозначено ц^у = ¿¿г|г,

Таким образом, постановка вопроса в теореме 3.1.2 вполне классическая (см., например, [10, § 24] или [42, часть 3, глава И]).

В теореме 3.1.4 рассматривается постановка задач о следах, типичная для граничных задач математической физики. В теореме 3.1.4 даются необходимые и достаточные условия для того, чтобы для системы функций до, Ц1,. 0 < к < I — 1, определенной на дРо, существовала функция F € И^(Ро) такая, что выполняются равенства (0.6) при г = 0, 1,., А;.

Теорема 3.1.3 есть следствие теоремы 3.1.2. В ней рассматривается область, в которой внутренний пик выродился в разрез.

В § 3.2 рассматриваются вспомогательные утверждения. Доказывается лемма 3.1.1, получаются интегральные оценки для функций, возникающих в лемме 3.1.1 и участвующих в формулировках теорем 3.1.2 и 3.1.4.

В этом же § 3.2 строятся функции ^ € И^Ро) такие, что для Fi выполняются равенства (0.6) именно на IV

В §§ 3.3—3.5 доказываются теоремы 3.1.1, 3.1.2 и 3.1.4.

Результаты данной главы опубликованы в [63], [65]—[69], [72[, [73].

В четвертой главе рассматриваются пространства И7^(С), где область (7 из К", п ^ 3, имеет на границе нулевые углы типа пиков, гребней или соприкасающихся поверхностей.

В § 4.1 приведены вспомогательные сведения, использующиеся в этой главе. Рассматривается, в частности, отображение, переводящее пик (0.5) на бесконечный цилиндр = = Зп) е К": 0 < в„ < оо, Ю < 1}.

Интегралы, вычисленные по дР или Р, переходят после замены переменных в интегралы по д0Б и Д где до Б — часть границы дБ: д0Б = {в = (б;, я„) 6 дБ: |а'| = 1, 0 < 8П < оо}.

После этого мы получаем задачу о следах для весового пространства Соболева на Б. В параграфе рассмотрены величины, через которые дается явный вид нормы в ТМГ^Б) — пространстве следов функций из на дБ с нормой

1Н1п»¿„(О) = ВДИи^: Р до~ М, и доказывается эквивалентность некоторых интегралов, что позволяет рассматривать эквивалентные нормировки в ТЖДРо) и ТУ/р^Б).

В этом же параграфе вводится конформное отображение, переводящее цилиндр Б в полупространство М", что позволяет впоследствии рассматривать эквивалентную задачу о следах функций на (п — 1)-мерной плоскости.

В § 4.2 рассматривается область с внешним пиком на границе, С^-диффеоморфным пику (0.5).

Положим для (.I, определенной на границе Р (см. (0.5))

Ы\ар* = уш\р<р{х)<в:ху, 1

НЫПарлут = Ы\аР0 + {р}ар„> где о(х,у) = х п-Уп|

0.7) тах{9?(а;п), <р(р„)} для х = (х',хп), у = (у',уп) € Мп, х(т") — характеристическая функция отрезка [0,1]. Теорема 4.2.1 утверждает, что

В § 4.3 рассматривается область й с пиком на границе, направленным вовнутрь области. Пусть II — некоторая окрестность О — начала координат и функции из и их слеДы 1Ш р) и) отличны от нуля только на [7р|С и и(~]дР, где Р — область (0.5). Тогда теорема 4.3.1 — основной результат § 4.3, утверждает, что где сг — это функция (0.7).

В § 4.4 рассматривается случай внутреннего пика при р ^ п — 1. В данном параграфе изложение в значительной степени следует работе [25] и основные усилия здесь направлены на то, чтобы результаты, полученные для р = 2, перенести на случай произвольных р е (1, оо). Основной результат сформулирован в теореме 4.4.1 и приведено доказательство, краткое в тех местах, где оно следует работе [25].

§ 4.5 посвящен области, находящейся между касающимися в точке гиперповерхностями. аа^идвои

Пусть (р — та же функция, что и в определении пика (0.5). Область й определяется следующим образом в = {х = (х',хп) е К": |х'| < 1, 0 < хп < </з(|х'|)}.

Обозначим

5о = {х = (*', х„) е М": |х'| < 1, ж„ = 0}, 5! ={х = (х',х„) е Кп: |х'| < 1, хп = у?(|х'|)}, (х', </?(|х'|)), если х = (х', 0) € 50, (х', 0), если х = (х', х„) € 51!, х(х) = <

Считаем все рассматриваемые функции из \¥р(0) и на дО равными нулю при |х'| > Хо > 0, где х0 € (0,1) — некоторое фиксированное число.

Основным результатом § 4.5 является Теорема 4.5.1. Справедливо соотношение да эр эр оа

В последнем § 4.6 рассматривается случай области, имеющей на границе особенность типа гребня. Пусть функции <ри (р2 из Сх([0,1]) — те же, что и в (0.1). Положим

Б = {х = (жь х2,., х„) € Е": </31(х2) < Хх < <р2(х2), 0 < х/ < 1,;/ = 2,., п},

0.8)

5 = {х = (хь х2,., Хп) е мп: - 1 < ХЬ х2 < 1, 0 < XI < 1, = 3,., п}.

Пусть (? — это либо область Д либо — область V — 0\Б и пусть N — это единичный вектор нормали, определенный почти всюду на дй и направленный внутрь области С. Положим для х, у £ дй и Л > 0 р{х) - зир{т: г > 0, х + тЛГ(ж) 6 (?}, 12 т(х, у) = тш{/>(х), р(у)}, где х ~ характеристическая функция отрезка [0,1]. Через «¿(х, у) обозначим точную нижнюю грань длин спрямляемых кривых, лежащих в б и соединяющих же у. Основным результатом § 4.6 является доказанная в этом параграфе Теорема 4.6.1. Справедливо соотношение

1 ( р 1'

М™г1в)~{1№\>р{х)ЛЪу + П у)<Ех<Е„ > . дв \8gdg '

Результаты четвертой главы опубликованы в работах [64] и [70]. В пятой главе рассматриваются пространства Соболева со старшими производными на областях, имеющих на границе особенность типа гребня Б (0.8) или вида V =

Для того, чтобы сформулировать результаты, мы рассматриваем вначале аналог леммы 3.1.1 в пространственном случае и определяем функции, аналогичные введенным в плоском случае в § 3.1. Формулировка основных результатов параграфа (теоремы 5.1.1 и 5.1.2) приводится в § 5.1. Теорема 5.1.1 доказывается в § 5,2, теорема 5.1.2 - в § 5.3.

Отметим здесь, что в [50] В. И. Буренков рассматривает необходимые и достаточные условия на след функции класса И^ на границе пространственного угла, не предъявляющие к производным функции на границе никаких явных требований. Результаты главы 5 опубликованы в [67] и [70]. В главе 6 рассматривается третья краевая задача

Е ¿: (аФ) + £ Ш ^+а№и = хеС>

1 1 ^ 5 ' г=1 1

Он о(х) и = ц{х), X е для случая, когда й — это пик (0.5).

В § 6.1 дается точная формулировка рассматриваемой краевой задачи и формулируется утверждение о ее фредгольмовой разрешимости (теорема 6.1.2) в пространстве \УЦР).

В § 6.2 доказывается полная непрерывность оператора вложения

I: W*(P) -> Ь2,,(дР).

При доказательстве существенно используется интегральное представление из § 2.4.

В § 6.3 доказывается фредгольмова разрешимость третьей краевой задачи в пространстве W2 (Р)- Доказательство следует хорошо известной схеме установления подобных утверждений (см., например, [20, гл.Н] или [21, гл. III]).

Результаты этой главы опубликованы в [74] и [75].

Параграфы имеют двойную нумерацию. Первая цифра — это номер главы, вторая — номер параграфа в главе. Например, § 3.4 означает четвертый параграф третьей главы.

Параграфы делятся на пункты, нумерация которых тройная. Например, пункт 3.4.2 означает второй пункт в § 3.4.

Тройной нумерацией помечаются теоремы, леммы и номера формул. Первая цифра всегда означает главу, вторая — номер параграфа в этой главе, третья — номер теоремы, леммы или формулы в данном параграфе. Нумерация для теорем, лемм и формул независимая.

Оглавление

1 Обозначения и предварительные сведения 17

1.1 Обозначения.17

1.2 Функциональные пространства и интегральные неравенства .19

1.3 Предварительные сведения.23

2 Интегральные представления дифференцируемых функций 28

2.1 Интегральное представление функций, определенных в плоской области (п = 2) . 29

2.2 Интегральные оценки (п = 2) . 36

2.3 Интегральные представления функций, определенных в гребне (п ^ 3). 54

2.4 Интегральное представление функций, определенных в пространственном пике . 60

3 Теоремы о следах для пространств функций, определенных в областях на плоскости (п = 2) 63

3.1 Формулировка основных результатов.64

3.2 Вспомогательные утверждения.75

3.3 Доказательство теоремы 3.1.1 . . .87

3.4 Доказательство теоремы 3.1.2.95

3.5 Доказательство теоремы 3.1.4.118

4 Теоремы о следах для функций класса W^, определенных в пространственных областях 134

4.1 Предварительные сведения . .134

4.2 Область с внешним пиком на границе.156

4.3 Область с внутренним пиком на границе р > п - 1) .173

4.4 Область с внутренним пиком на границе р < п - 1) .;.198

4.5 Область, заключенная между гиперповерхностями, касающимися в точке210

4.6 Случай гребня.220

5 Теоремы о следах для функций класса I ^ 1, определенных в пространственных областях. 250

5.1 Формулировка основных результатов.250

5.2 Доказательство теоремы для области с внешним гребнем.255

5.3 Доказательство теоремы для области с внутренним гребнем.267

6 Разрешимость третьей краевой задачи в №¡(0) 278 6.1 Постановка задачи. Формулировка основных результатов . . 278

6.2 Доказательство теоремы о компактности оператора вложения /2 • • • • 280

6.3 Доказательство фредгольмовости третьей краевой задачи в И^1 (О) . .284

1. Бабич В. М., Слободецкий Jl. Н. Об ограниченности интеграла Дирихле // Докл. АН СССР. - 195G. - Т.106. - № 4. - С. 604-607.

2. Бесов О. В. О некотором семействе функциональных пространств. Теоремы вложения и продолжения // Докл. АН СССР. 1959. - Т.126. - С. 1163-1165.

3. Бесов О. В. Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и продолжения // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова.- 1961. Т.60. - С. 42-81.

4. Бесов О. В. О продолжении функций из Llp и // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стек-лова. 1967. - Т.89. - С. 5-17.

5. Бесов О. В. Поведение дифференцируемых функций на негладкой поверхности // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1972. - Т.117. - С. 3-10.

6. Бесов О. В. О следах на негладкой поверхности классов дифференцируемых функций // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. — 1972. Т.117. — С. 11—21.

7. Бесов О. В. Интегральные представления функций и теоремы вложения для области с условием гибкого рога// Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. — 1984.- Т.170. С. 12-30.

8. Бесов О. В. Теорема вложения Соболева для области с нерегулярной границей // Мат. сб. 2001. - Т. 192, № 3. - С. 3-26.

9. Бесов О. В. О компактности вложения весовых пространств Соболева на области с нерегулярной границей // Тр. Мат. ин-та РАН им. В. А. Стеклова. — 2001. — Т.232. С. 72-93.

10. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. — М.: Наука, 1975. — С. 480.

11. Буренков В. И. Об аддитивности классов \Vp\Q,) // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1967. - Т.89. - С. 31-35.

12. Виленкин Н. Я. Комбинаторика. — М.: Наука, 1969. — С. 328.

13. Водопьянов С. К. Внутренние геометрии и граничные значения дифференцируемых функций // Сиб. мат. журн. 1989. - Т.ЗО, № 2. — С. 29-42.

14. Глобенко И. Г. Некоторые вопросы теории вложения для областей с особенностями на границе // Мат. сб. — 1962. — Т.57 (99), № 2. — С. 201-224.

15. Гольдштейн В. М., Решетняк Ю. Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения. — М.: Наука, 1983. — С. 284.

16. Ильин В. П. Свойства некоторых классов дифференцируемых функций многих переменных, заданных в п-мерной области // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова.- 1962. Т.66. - С. 227-363.

17. Ильин В. П. Интегральные представления дифференцируемых функций и их применение к вопросам продолжения функций классов №1р{д) // Сиб. мат. журн.- 1967, № 7. С. 573-586.

18. Кудрявцев Л. Д. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений // Тр. Мат. ин-та РАН им. В. А. Стеклова. 1959. - Т.55. - С. 3-181.

19. Лабутин Д. А. Интегральное представление функций и вложение пространств Соболева на областях с нулевыми углами // Мат. заметки. —1997. — Т.61, вып.2, февр. С. 201-219.

20. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. — М.: Наука, 1973.- С. 408.

21. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. — М.: Наука, 1973. — С. 576.

22. Лизоркин П. И. Граничные свойства функций из весовых классов // Докл. АН СССР. 1960. - Т.132, № 3. - С. 514-517.

23. Лизоркин П. И. Характеристика граничных значений функций из Щ(Еп) на гиперповерхностях // Докл. АН СССР. 1963. - Т.150, № 5, - С. 984-986.

24. Мазья В. Г. Интегральные представления функций, удовлетворяющих однородным краевым условиям и его приложения // Изв. вузов. Математика. — 1980.- № 2. С. 34-44.

25. Мазья В. Г. О функциях с конечным интегралом Дирихле в области с вершиной пика на границе // Мат. ин-т им.В.А.Стеклова. Ленингр. отд-ние. — 1983. — Т.126. С. 117-137.

26. Мазья В. Г. Пространства Соболева. — Л.: Изд-во Ленингр. гос. ун-та, 1985.- С. 416.

27. Мазья В. Г., Поборчий С. В. О следах функций с суммируемым градиентом в области с вершиной пика на границе // Мат. заметки. — 1989. — Т.45, № 1.- С. 57-65.

28. Мазья В. Г., Поборчий С. В. Следы функций из пространств Соболева на границе области с пиком // Тр. Ин-та Математики / АН СССР. Сиб. отд-ние. — 1989.- Т.14: Современные проблемы геометрии и анализа. — С. 182—208.

29. Мазья В. Г., Нетрусов Ю. В., Поборчий С. В. Граничные значения функций из пространств Соболева в некоторых нелипшицевых областях // Алгебра и анализ, 1999. Вып.1. - С. 141-170.

30. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. — М.: Наука, 1976. С. 392.

31. Никольский С. М. Граничные свойства функций, определенных на области с угловыми точками. I—III // Мат. сб.: I. — 1956. — Т.48 82, № 3. — С. 303-318; И. 1957. - Т.44 86. - С. 127-144; III. - 1958. - Т.45 87. - С. 181-194.

32. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. — М.: Наука, 1969. — С. 480.

33. Решетняк Ю. Г. Некоторые интегральные представления дифференцируемых функций // Сиб. мат. журн. 1971. - Т.12, № 2. - С. 420-432.

34. Решетняк Ю. Г. Интегральные представления дифференцируемых функций в областях с негладкой границей // Сиб. мат. журн. —1980. — Т.21, № 6. — С. 108— 116.

35. Решетняк Ю. Г. Теоремы устойчивости в геометрии и анализе. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1982. С. 230.

36. Слободецкий JI. Н. Обобщенные пространства С. JI. Соболева и их приложения к краевым задачам в частных производных // Уч. зап. Ленингр. пед. ин-та им. А. И. Герцена. 1958. - Т.197. - С. 54-112.

37. Соболев С. JI. Некоторые приложения функционального анализа в математической физике. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. - С. 256.

38. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. - С. 336.

39. Успенский С. В. Свойства классов Wp^ с дробной производной на дифференцируемых многообразиях // Докл. АН СССР. 1960. - Т.132, № 1. - С. 60-62.

40. Успенский С. В. О представлении функций, определяемых одним классом гипо-эллиптических операторов // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. —1972. — Т.117. С. 292-299.

41. Успенский С. В., Демиденко Г. В., Перепелкин В. Г. Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1984. — С. 224.

42. Фадеев Д. К., Вулих Б. 3., Уральцева Н. Н. и др.; Под ред. М. 3. Соломяка.JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981 — С. 200.

43. Харди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полна Г. Неравенства. — М.: Изд-во иностр. лит., 1948. С. 256.

44. Яковлев Г. Н. Граничные свойства функций класса WP на областях с угловыми точками // Докл. АН СССР. 1961. - Т.140, № 1. - С. 73-76.

45. Яковлев Г. Н. Задача Дирихле для областей с нелипшицевой границей // Дифферент уравнения. 1965. — Т.1, № 8. — С. 1085-1098.

46. Яковлев Г. Н. О следах функций из пространства Wj, на кусочно-гладких поверхностях // Мат. сб. 1967. - Т.74 (116), ДО 4. - С. 526-543.

47. Ambrosio I., Kirchenheim В. Rectifiable Sets in metric and Banach Space // Math. Ann. 2000. - V.318. - P. 527-555.

48. Aronszajn N. On coercive integro-differential quadric forms // Conference on Partial Differential Equations, Univ. of Kansas, 1954. Report № 14. - P. 94-106.

49. Burenkov V. I. Description of traces for Sobolev Spaces defined on piecewise smooth surfaces // Function Spaces, Differential Operators and Nonlinear Analysis: Proc. / Intern, conf. Svratka, Greece, May-June 2004. — Svratka, 2004. — P. 20-21

50. Burenkov V. I. Description of traces for Sobolev Spaces defined on a cube // Functional'nye prostranstva, teoriya priblizhenii, nelineinyi analiz: Proc. / Intern, conf. Moskva, 2005. M., 2005. - P. 271.

51. Gagliardo E. Caratterizzazione delle trace sulla frontiera relative ad alcune classi di funzioni in n variabili // Rend. Semin. Mat. Univ. di Padova. — 1957. — Vol.27.- P. 284-305.

52. Gehring F.W., Vaisala J. The coefficients of quasiconformality of domains in space // Acta Metematica. 1965. - V. 144. - P. 1-70.

53. Grisvard P. Elliptic problems in nonsmooth domains. — Pitman; Boston, 1985. — P. 410.

54. Frend G., Králik D. Uber die Anwendbarkeit des Dirichletschen Prinzips für den Kreis // Acta Math. Hung. 1956. - Vol.7, № 3-4. - P. 411-418.

55. Hestens M. R. Extension of the range of a differentiable function // Duke Math. J.- 1941. T.8 - P. 183-192.

56. Jonsson A. Besov spaces on Lipschitz superfaces // University of Umea. — 1986.- V.7. P. 1-12.

57. Jonsson A. The trace of potentials in general sets // Arc. Math. — 1979. — V.17.- P. 1-18.

58. Jonsson A., Wallin H. A Whitney extension theorem in LP and Besov spaces // Ann. Inst. Fourier. 1978. - V.28. - P. 139-192.

59. Prodi G. Tracce Sulla frontiera della funzioni di Beppo Levi // Rend. Semin. Mat. Univ. Padova. 1956. - V.26. - P. 36-60.

60. Prodi G. Tracce di funzioni con derívate di ordine 1 a quadrato integrabile Su varietá di dimensione arbitraria // Rend. Semin. Mat. Univ. Padova. — 1958. — V.28. — P. 402-452.

61. Rabinowich V., Schulze B.-W., Tarkhanov N. A Calculus of Boundary Value Problems in Domains with Non-Lipschitz Singular Points. — Potsdam, 1997. — 54 P.- (Preprint / Universität Potsdam, Institut für Mathematik)

62. Rabinowich V., Schulze B.-W., Tarkhanov N. Boundary Value Problems in Cuspidal Wedges. — Potsdam, 1998. — 69 P. — (Preprint/ Universität Potsdam, Institut für Mathematik)

63. Васильчик М. Ю. О следах функций из пространств Соболева, определенных в плоской области с внешним пиком на границе // Тез. докл. XII Школы по теории операторов в функциональных пространствах, Тамбов, 1987. — С. 34.

64. Васильчик М. Ю. О следах функций из пространств Соболева И^, определенных в областях с нелипшицевой границей // Тр. Ин-та Математики / РАН. Сиб. отд-ние. — 1989. — Т. 14: Совеременные проблемы геометрии и анализа. — С. 9—45.

65. Васильчик М. Ю. О следах функций из пространств Соболева, определенных в плоской области с нелипшицевой границей // Докл. АН СССР. — 1991. — Т.319, № 2. С. 275-277.

66. Васильчик М. Ю. Граничные свойства функций класса Соболева, определенных на областях с кусочно-гладкой нелипшицевой границей // Тез. докл. междун. конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", Москва, 1995. — С. 72.

67. Васильчик М. Ю. Граничные свойства функций из пространств Соболева, определенных в плоской области с угловыми точками // Сиб. мат. журн. — 1995. Т.36, № 4. - С. 787-804.

68. Васильчик М. Ю. Обратимая характеристика следов функций из пространств Соболева на кусочно-гладкой границе плоской области // Тр. Ин-та Математики / РАН. Сиб. отд-ние. —1996. — Т.31: Пространства Соболева и смежные вопросы анализа. С. 40—57.

69. Васильчик М. Ю. Некоторые применения интегральных представлений при исследовании граничных свойств дифференцируемых функций // Тр. Ин-та Математики / РАН. Сиб отд-ние. — 1996. — Т.31: Пространства Соболева и смежные вопросы анализа. — С. 58—99.

70. Васильчик М. Ю. О задаче Дирихле для бигармонического уравнения в плоской области с пиком // Тез. докл. междун. конференции по анализу и геом., посвящ. 70-летию акад. Ю.Г.Решетняка, Новосибирск, 1999. — С. 117—119.

71. Васильчик М. Ю. О граничном поведении функций из пространств Соболева, определенных в плоской области с вершиной пика на границе // Матем. труды / РАН. Сиб. отд-ние. 2003. - Т. б, № 1. - С. 3-27.

72. Васильчик М. Ю. О компактности оператора вложения пространства в Ьш(дС) в случае плоской области С с вершиной пика на границе // Тез. докл. междун. конференции "Геом. анализ и его приложения", Волгоград, май 2004. Волгоград, 2004. - С. 24-26.

73. Васильчик М. Ю., Гольдштейн В. М. О разрешимости третьей краевой задачи для области с пиком // Мат. заметки. — 2005. — Т.78, вып. 3, сент. — С. 466—468.