Интегрирование солитонных уравнений с интегрируемыми граничными условиями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

... »

АКАДЕМИЯ НАУК СССР МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени В.Л.СТШОВА

Санкт-Петербургское отделение

На правах рукописи УДК 517.946

БИКБАЕВ Рамиль Фаритович

ИНТЕГРИРОВАНИЕ СОЛИГОННЫХ УРАВНЕНИЙ С ИНТЕГРИРУЕМЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт- Петербург 19 9 1

Работа выполнена в лаборатории математических проблем физики Санкт-Петербургского отделения Математического института им.В.А. Стеклова АН СССР

НАУЧНЫЙ КОНСУЛЬТАНТ - доктор физико-математических наук •

Е.К.СКПЯНИН

ОФИЦИАЛЬНЫЙ ОППОНЕНТЫ: академик В.А.МАРЧЕНКО

ВВДЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ : Московский государственный университет

им. М.ВЛомоносова

на заседании специализированного,совета Д002.38.04 при Санкт-Петербургском отделении Математического института им.В.А.Стеклова АН СССР (Санкт-Петербург, наб.р.Фонтанки, 27).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке С.-Петербургского отделения Математического института им.В.А.Стеклова АН СССР

доктор физиио-математических наук, профессор В.С.БУСЛАЕВ

доктор физико-математических наук, профессор А.Б.ШАБА'Т

Защита состоится

1992 г. в

часов

Авторерат

Учений секретарь специализи совета, д-р ф.-м.н..професс

А.П.Осколков

.етиг»^' .

| - з -

1..л общая характеристика работы

Актуальность темы. За последние три десятилетия был достиг-£|^'Е,-сУ№стЕанный прогресс в описании! многих явлений Природы, моделируемых нелинейными; дифференциальными уравнениями. Важную роль при: этом сыграло умелое; использование компьютеров в исследовании некоторых ключевых для нелинейной науки проблем. Достаточно упомянуть численный эксперимент. Крускала и Забусского, приведший к рождению концепции солит о на, открытие, Лоренцем странного аттрактора, универсальность Фейгенбаума я т.д.

Чисто аналитические достижения этих лет также следует признать выдающимися. Необычайно плодотворным оказалось соединение современных математических методов (функциональный анализ, теория групп, топология, алгебраическая геометрия и т.д.) с фундаментальными; физическими идеями. 20 века (калибровочные теории поля, парадокс Ферми-Щста-Улама, проблема турбулентности и др.)

• Взаимное, проникновение; и конкуренция нетрадиционных, кдэй и методов позволили, совершить подлинную революцию в нелинейной науке. В настоящее время даже; в самые старые, классические области физики (гидродинамика, акустика, оптика, твердое тело) уже прочно вошли новые, фундаментальные понятия: аттрактор, солитон и др. В то же время нелинейные- исследования оказали, мощное встречное влияние на современную математику, в том числе и на самые абстрактные ее разделы, такие, как маломерная топология и: квантовые группы. Преобразилась математическая физика, вновь, как во времена Ньютона и Эйлера, ставшая одной из наиболее плодоносных ветвей математики.

Одним из важнейших события в математической физике стало открытие в 1967 г. метода обратной задачи рассеяния (МОЗ), позволив шего "ироинтегркроБагь"' знаменитое.' уравнение Кортевега- де Фриза (Кдф)

- 6и-м.х -*■ -Ч-хх* - О ^ (1)

с нулевыми граничными условиями I » 00 •

Открытие. МОЗ оказало влияние на замечательные аналитические достижения 70 - 80 годов, среди которых отметим следуюцие: I) Открытие и. детальное исследование обширных классов интегрируй-

мых систем типа КдФ.

2) Создание метода конечнозонность интегрирования уравнений типа КдФ; открытие нетривиальных связей о классической алгебраической геометрией, теорией операторов, теорией систем гидродинамического типа.

3) Создание квантового метода обратной задачи (КМОЗ), обнаружение его глубоких связей с точно-решаемыми моделями, статистической физики, топологией,, квантовыми группами, комбинаторикой.

Этот список можно было бы продолжать долго.

Предлагаемая диссертация посвящена развитию классического метода обратной задачи, который, посла; эпохи "солитонного буда" 70-х годов и времени подведения итогов в 80-х, к настоящему моменту действительно уже стал классикой.

МОЗ в современном вида отличается большим разноообразием используемых методов и имеет широкое поле реальных (солитонная волоконная оптика, плазма) и потенциальных приложений. Математический аппарат МОЗ сложился и уже более 1С лет излагается в учебниках. Вместе с тем логика внутреннего развития метода обратной, задачи, а также проблемыг возникшие в приложениях, высветили- ряд трудных нерешенных вопросов.

Одной из центральных представляется проблема граничных условий в интегрируемых системах. Речь идет, как о задачах на всей оси "X , так и о краевых задачах на полуоси и на отрезке. Проблема состоит в обнаружении и классификации граничных условий, совместимых с "интегрируемостью" (наличием лаксовой лары) исходного нелинейного уравнения, а также в разработке методов эффективного аналитического исследования нетрадиционных краевых задач.

Обычно в МОЗ рассматриваются задачи на всей оси с нулевыми (или постоянными по X ■) граничными условиями цри 1>*\—»»о . Первая же попытка аналитического исследования краевых ■условий другого типа - периодических лох - привела в середине; 70-х годов С.П.Новикова, В.А.Марченко, П.Лакса я др. к созданию нового важного направления - теории конечнозонных решений нелинейных интегрируемых систем.

Другие типы нетривиальных граничных'условий для интегрируемых уравнений также обсуждались в 70-х гог~х. Самыми яркими примерами

представляются граничные условия типа "ступеньки", предложенные и исследеза иные? на "физическом уровне, строгости" А.В.Гуревичем и Л.П.Штаевскш в 1973 г., а такта случай конечной цепочки Тода со свободннми концами, проинтегрированный. Ю.Мозером в 1975 г.

Возникающие в данной тематике задачи естественно разбиваются на два больших класса:

1) Задачи Кош на всей оси -х. с нетривиальными граничными условиями! при х—* ± «*> (типичный пример - задача Гурезича-Штаевского)

2) Смешанные (начально-краевые) задачи на полуоси хЧ-О, шш на отрезке с локальными граничными условиями на концах (типичный пример - задача Мозера).

Подобные задачи не. погружаются в каноническую схему МОЗ и для их исследования требуются новые метода. Настоящая диссертация посвящена разработке, некоторых из них.

' Цель работы : Заработать методаг позволяющие эффективно исследовать интегрируемые; системы с нетрадиционными граничными условиями.

Методика исследования: ИЬпользуются общие принципы МОЗ, методы классической алгебраической геометрии, метода анализа краевых задач Вша на - Гильберта, теория Уизема модуляций многофазных решений нелинейных уравнений, теория Бэклунд - преобразований (в спектральной форме Захарова - Шабата), асимптотические методы математической физики.

Научная новизна: В диссертации получены следующие основные результаты:

1) Впервые получена равномерная по х асимптотику при 4—решения задачи Гуревича-Питаевсксго о распаде ступеньки в теории Кдф, а также асимптотики аналогичных задач об ударных волнах для других физически-интересных моделей: дефокусирую-щего нелинейного уравнения Шредингера и XX?модели Ландау-Лифшца для "легкоплоскостного" ферромагнетика.

2) Предложена интерпретация конечнозонного (к-з) решения уравнения типа КдФ, как своеобразного "интегрируемого аттрактора".

Исследовано сходство к отличие этих конечнозонных аттракторов от известных, в теории диссипатившх еистел.

Поставлена и: впервые исследована в рамках МОЗ задача о переходном процессе между двумя различными, конечнозонными аттракторами при и э<—*-<*>.

3) Установлены важные свойства "строгой гиперболичности" к "Истинной нелинейности" по Дакоу модуляционных уравнений Унзема в таории. уравнений типа Кдф. Проведен анализ классических решение в системе Уизема: а) получена теорема существования и единственности в классе С -гладких решений; б) исследована асимптотика этих решений на больших временах; в) получено решение, задачи Вша на о распаде разрыва в гиперболической системе Уизема,

4) Разработаны эффективные метода выделения интегрируемых граничных условий в МОЗ; на основе Бэклунд-интерпретации граничных условий в диссертации предложена процедура, позволяющая свести' интегрируемую краевую задачу на полуоси, к стандартной хорошо изученной задаче Коши на всей оси. Решение, задача на полуоси доведено до явных, формул в терминах данных рассеяния.

5) На примере моделей НШ+ цродемонстрировака возможность эффективного гостроения алгебро-геометричесних решений краевых задач на полуоси х%0 и на отрезке ^ ё LМ • Построенные решения допускают естественную трактовку в терминах нелинейных © -гармоник.

Приложения. Результаты работы могут быть полезны для дальнейшего развития МОЗ, а также при. анализе интегрируемых физических моделей.

Публикации: По теме диссертации автором опубликованы работы № - [233 .

Апробация работы; Результаты диссертации докладывались на следующих Всесоюзных и Международных конференциях:

1) "Комплексный анализ и дифф. ур-я" (1987 г., Черноголовка).

2) им.Петровского (1988; 1989 гг., Москва)

3)*Квантовые солятоны" (1988 г., Ленинград)

4) "Нелинейные задачи матем.физики" (1989 г., Ленинград)

5) "Теория нелинейных волн" (1989; 1991 гг., Калининград)

6) Международные рабочие совещания по нелинейным процессам (1987; 1989 гг., Киев)

7) Международная конференция НАТО "Сингулярные пределы диспергирующих волн" (1991, Лион)

8) Международная конференция "Динамические системы" (1991,Санкт-Петербург).

Кроме того, результаты докладывались в 1985 - 1991 гг. на семинарах А.Б.Шабата (Уфа); В.С.Буслаева; В.М.Бабича; М.Ш.Еирмата и О.А.Ладыжекской (С-Петербург); В.А.Марченко (Харьков).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и приложения. Общий объем диссертации - стр. машинописного текста. Список литературы содержи 106 наименований.

содержание работы

Во введении изложены исторический обзор и постановка задач, рассматриваемых в диссертация. Указаны также основные идеи и методы, используемые в работе.'

В первой главе- на примере уравнения Кдф изложены основные идеи нашего подхода к исследованию интегрируемых уравнений с нетривиальными граничными: условиями при х *<*>. В ? I рассматривается задача с конечнозошшми граничными условиями \Г+ при отличающимися только фазовым сдвигом 'Ъ , но соответствующими, одной и той же: спектральной кривой Г*

Построена теория рассеяния для оператора Шредингера I» ^-"^ч + и(*) с потенциалом типа (2). Получены уравнения обратной задачи, как в форме Гельфанда-Левитана-Марченко (Г-Л-М), так и в форме сингулярного интегрального уравнения (СИУ) на римановой поверхности ГТ

Исследована асимптотика решения задачи (I), (2) при 4— Для этого используется метод асимптотического анализа СИУ, восходящий к работе Манакова 1973 г.

Возникающие технические' трудности, связанные, с натривиально-стыо рода ( 4>0 ) римаяовой поверхности Г* . преодолеваются с помощью, предложенной в диссертации простой явной формулы для решения скалярной задачи. Вша на (без индекса) на рима новой поверхности П. V

Мы вводим сектора типа А, В и С на плоскости , £ ) в которых характер асимптотики решения и(* различен. Сектора А - аналоги области Захарова-Манакова, сектора В - области Шабата, сектора С - области Абловица-Сегура(ъ обычном быстроубывающем случае. и-ОО-* О , <* 1-><~ , А* £«. */£ ¿-¿^оу^.

Показывается, что старший член асимптотики и-С», £)во всех прах областях задается формулой (ггредполагается, что солитоны отсутствуют)

= чгс-хД \Г ЪС^ -V ; V ?»о,(з)

причем С"^Лпри явная формула для при

ч^ДУС в терминах данных рассеяния приводится в диссертации. " И1з наших результатов следует, в частности, что известной утверждение; Е.А.Кузнецова и А.Б.Михайлова (1974) об устойчивости кноидальной волны в модели 1(дФ (это соответствует ^=1 в

нашей ситуации) требует' корректировки. В действительности происходит модуляция фазы кноидальной волны.

Результат (3) позволяем интерпретировать к-з решение Ь} как"интегрируемый аттрактор"'модели. Кдф [23] . Действительно,решание ^С*,^) „притягивает" .при достаточно близко лежащие решения. Подчеркнем необычность этого аттрактора (модуляция фазы), его конечномерность и уникальную возможность явного формульного описания его структуры, (в отличие от аттракторов в диссилативных системах).

¿¡злее в § I оценивается поправочный член (3) для се-

кторов гида А и В . Показано, что в области В **> ■= о ,

Ч-Л •> О , в области А ~ ОС-Ь^*^ »

Более того, с помощью модернизации эвристической процедуры Уахарова-Макакова (1975) в области. А построен второй член асимптотики решения "и, О*-, :

Здась - функция БеЯхера-Ахиеаара, соответствующая к-з

решению Для функции в диссертации получены яв-

ные формулы в терминах данных рассеяния и. Прим-формы кривой П

Происхождение анзатца (4) станет ясным, если принять во внимание, что функция VI = *"»„ С*-, ^является точным решением линеаризованного на фона к) решения КдФ :

£<™)* + .

В диссертации рассматривается лишь наиболее принципиальный случай отсутствия дискретного спектра V , ^ = I.....Л в задаче рассеяния для /^-оператора. Стандартными,методами, (с помощью процедуры одевания Захарова-Шабата, или. путем модификации СИУ) можно показать, что наличие; дискретного опектра приводит лишь к сдвигу, фазы в асимптотике решения вне солитоншх лучей: ^ . , и к известному решению типа "солитон на к-з фоне" ("дислокация") на солитонных лучах ~ ^ • .

Отметим,, что ^ ^, , и кроме, того, & . Это связано с тем, что \. лежит в лакунах зонного спектра. Одним из следствий свойств монотонности (II), рассмотренных в диссертации, явля-■ ется то, что величина скорости ^. монотонно растет при сдвиге'х к левому, краю лакуны. ^ Л

В § 2 рассматривается качественно более сложная ситуация несовпадающих спектральных кривых (^й Г г граничных условиях (2). Источником такой постановки задачи является знаменитая проблема Гуревича-Питаевского (Е-П) о распаде ступеньки в уравнении КдФ. Обобщая исходную постановку Г-П, задачу о ступенька можно сформулировать следующим образом.

Пусть гладкая функция, быстро стрешщаяся при х—»

—> - к предельным константам ("О

-и,0 О \ -* \ , • ' (5)

Требуется построить асимптотику цри решения задачи Коши

(Г),(5).

Эта задача имеен' свою историю. Задача I-П явилась своеобразным полигоном для испытания разлинных точек зрения на МОЗ. Упомянем здесь основные, работы на эту тему:

1) ГУревич и Шяаевский (1973) использовали теорию однофазных Кдф - модуляций, разработанную в 1965 г. Уиземом, и. привели интуитивные и. численные аргументы в пользу гипотезы о том,что эволюция разрывного начального условия в теории КдФ может быть описана в рамках те орт Уизема.

2) Хруслов (1976) доставил задачу Г-П в современном виде (1),(5) и применил к ней МОЗ. в форме, интегральных уравнений Г-Л-М, предложенных в 1962 г. Буслаевым я Фоминым.

Кроме того, Хруслов исследовал асимптотику при "£•-»+- решения ^Os -k) в окрестности переднего фронта ударной волны х~ , вычислил, фазу солитонного цуга в этой области идем самым, дал первое косвенное подтверждение, одной из гипотез Г-П.

3) Уизем и Фернберг (1978), а также Авилов и Новиков (1987) довела. более детальные численные эксперименты по проблеме Г-П и пришли к качественному согласию с асимптотической гипотезой Г-П в случае £ —» ^^ -

4) Лаке и Левермор (1979), (1983) применили к задаче о ступеньке модулированный многосолитонннй анзатц в F-Л-М теории, методы усреднениями, теорию краевых задач Вшана - Гильберта. Этим авторам удалось получить согласующуюся с Г-П оценку для асимптотики при: -{г—»среднего от решения задачи (I), (5).

5) Венакидес. (1990) развил метод Дакса - Левермора, учтя некоторые, технические достижения к-з теории, и получил глобальное представление для решения t) . Подход Венакадеса настолько громоздок, что получить ясное, представление, о характере решения очень непросто. Кроме того,. в этом подходе пока не удается освободиться от исходных_ эвристических допущений Лакса-Левермора

- ir -

об исчезновении; вклада однократного непрерывного спектра в асимптотику решения и (*, t) ирис -i —* «w„

KáR видно из цриведенного краткого обзора, несмотря на значительные. усилия исследователей, ни определенные успехи в математическом анализа» задачи, о ступенька^ полного обоснования гипотезы 1-Е получено не было.

В § 2 диссертации предлагается новый подход к этой проблеме. Он основан ва синтеза нескольких аналитических идей, развитых в 70 - 80-х годах. Мы используем:

а) Современную теорию нонечнозонных решений; в том числе - теорию к-з модуляций Уизема в спектральной форме Флашкк и Маклафлина.

б) Интарпратацип КОЗ, как метода матричной задачи ймана, - современную точку зрения, возникшую в работах Шабата, Захарова, Ма-накова я др.

в) Модернизацию методов грямого асимптотического анализа матричной задачи Botana Р восходящих к работам Машкова и Итса.

г) Теории автомодельных уиземовских перестроек римановых поверхностей ,■ра звипую автором совместно о Новокшеновнм.

В п. 6 § 2 мы показываем, что в отсутствие дискретного спектра { ^ \ асимптотика при 4—> решения задачи Коши i

(1),(5) имеет следующий вид

Г О,

u^.i^ Ч -i, ~ <-e¿ , ¿ (6)

Здесь tf^t^ модулированное однозонное решение уравнения

КдФ, задаваемое явной формулой в эллиптических функциях. Параметры этого решения модулированы по медленной переменной и.:

определяются в замкнутом виде.

Уиземовская кривая имеев род . \=i и задается ура-

внением

Подвижная точка ветвления монотонно движется с ростом от

d (-6) = О до Д (4) = i. Закон движения однозначно определяется уравнением Уизема.

В бифуркационных точках £ = -6 и |. = 4 происходит резкая смена характера решения яъ^-Ьу". Любопытно отметить, что поведение решения вблизи! точек бифуркации ^ - 11 ^ + различно. В окрестности заднего фронта ударной волны ^ ~ . t~> О происходит "'мягкая потеря устойчивости" - рождаются малоамшштудные почти - гармонические колебания. Шпротив, в окрестности переднего фронта волны (Область Хруслова (1975)) ^ ~ 4 - £ , 1 > О имеет место "жесткая потеря устойчивости": образуется цуг солитонов — существенно нелинейных образований, логарифмически расходящихся с ростом t . Отсугствиа дискретного спектра X имеет место, как в исходной постановке Гуревича-Питаевского (распад разрыва), так и в более реалистическом случае монотонно растущей функции о) вида (5). В случае же_ наличия дискретного спектра V j анализ усложняется незначительно и может быть проведен в духе цроцедуры одевания [4] . Качественный результат следующий: в области ■> 4 i появляются ^ солитонов. Скорость и амплитуда j -го солитона тем больше, чем леве'е на отрицательной полуоси расположена точка X, .

Важным достижением нашего подхода является явное выражение фазового сдвига в асимптотике (6) в терминах данных рас-

сеяния. Отметим, что без этой формулы невозможна ни четкая формулировка , ни; обоснование асимптотической гипотезы Гуревича-Питаевского о структуре ударной волны в теории Кдф. Получение формулы для ^ЪС^ требует использования аппарата МОЗ. Отметим, что получить формулу для в рамках подхода Уизема - Гуревича - Пита-евского в принципе невозможно. Структура описываемой формулы следующая

"ЪСл\ = Ъ •+ Г7

4 - 3CCV

где '¿.(v4) - коэффициент отражения в соответствующей задаче рассеяния; некоторая константа; «С - контур на уиземовской кривой V I ^(У)" голоморфный абелев дифференциал (подробности, см.

в [к] ).

В п. 3 - 5 § 2 обсуждается естественное обобщенна задачи Г-Е на случай нетривиальных конечнозонных аттракторов при

В отличие от (2), мы предполагаем, что спектральные кривые Г. И г различны: ^ П ,

Можно сказать, что это - задача об описании переходного режима между двумя различными (в том числе и в самом грубом - топологическом - смысле: род Г^ не обязательно совпадает с род<м : -ф ^ _ ) аттракторами уравнения КдФ- В п.З мы показывает, как задача (I), (7) может быть сведена к неожиданно простой матричной задаче Римана на плоскости С- с контуром сопряжения ^ , являющимся объединением проекций на С , разрешенных зон на Г и

г.

Исходя из аналогии с задачей Г-П (I) - (Ь), естественно предположить, что поведение решения задачи (I), (7) при в отсутствие дискретного спектра задается формулой ( )

= + 0(Ь'Х) (а)

где - уиземовская деформируемая спектральная кривая, такая,

что п рг

1 г <*>

а некоторый явно вычисляемый фазовый сдвиг.

Эта гипотеза в ряде.- простейших случае доказана автором,(см. [1] I [б] , [и] и п. 5 § 2)}однако из-за громоздкости, явной конструкции уяземовской перестройки ГС^ к сопутствующего ей непростого асимптотического анализа МЗР (не забудем, что нам необходимо получить явную формулу для 1) полное доказательство гипотезы (8) пока отсутствует.

Вместо этого в n.I, 2 § 2 ыы развиваем имеющую самостоятельное значение теорию автомодельных уиземовских перестроек спектральных кривых. Объектом исследования здесь слулои модуляционная система Уизема

Здесь - точки, ветвления кривой С ; S, - некоторые достаточно сложные, алгебраические функции ; Хч*. » Та ft - модуляци-

онные, (медленные) переменные. Уравнейм Уизема, приведенные к риг-манову диагональному виду (10), естественно возникают в "методе усреднения" для уравнений тиш КдФ.

Важную роль в теории* уиземовских уравнений (10) играют следующие свойства характеристических скоростей S.= Ь(5:;>Г)\

1) , если \.> (строгая гиперболичность) , 1 . * " J (II)'

о S-

2) О . ^ v (истинная нелинейность) к

Эти. неравенства^высказанные впервые автором в 1986 г. в вида' гипотезы (на основе более ранних результатов Уизема и Новокшэнова для ^ = 1)гбыли строго доказаны в совместной работе автора и Но-вокшенова [z\ (см. также £ll] ). Доказательство было достаточно громоздким и опиралось на нетривиальное детерминантноа тождество (см. [ll\ . [13] ).

Несколько позже, в овязя. с анализом задачи о ступеньке Fypa-вича-Штаевского, автор получил более простое доказательство нера-. венств (II), основанное на аналитических свойствах функции

о , \ « е (12)

где Е - объединение разрешенных зон на Г. Этот результат впервые опубликован в (см. также [б"} , [l3] , [14"^ ).

В 1988 г. Левермор оцубликовал доказательство неравенств (II) (без ссылок на доклад [2] на Международной конференции в Киеве в апреле 198? г.). fti осуждение Левермора также основано на а налит и-

ческих свойствах ' и получено независимо от [i] .

Принципиальное значение, неравенств (II) состоит,во-первых, в том, что на их основа проводится асимптотический агализ задачи Рима на для уравнения КдФ с начальными данными (7) (см. t I~1 • tl4\ ), и, во-вторых,, в том, что они играют решающую роль в анализе некоторых классических задач для гиперболической квазилинейной системы (10) фУ^ .

В частности, в п. 2 § 2 сформулированы простые достаточные условия нзоцрокидывания в системе (10) и вычислена асимптотика такого решения \ (У Т4) для задачи типа "ступеньки". Эта асимптотика имеет автомодельный вид Г(У1 ;

(IS)

и представляет собой суперпозицию последовательных простых волн йшана, известных в газовой динамике.

Нце одна классическая задача теории гиперболических систем -задача Еимана о скачке :

Г + , X > о

_ ^ (14)

\ , X < О .

В диссертации показано, что для системы Уизема (10) эта задача всегда допускает непрерывное: автомодельное, решение * - (Термин "решение"' в подобных задачах понимается в широком смысле: допускаются разрывы у производных). Более того, исходя из общего контекста (9), естественно отбросить в (14) требование совпадения числа компонент векторов У» и х .. Замечательно, что и в этом случае задача (10), (14) имеет единственно непрерывной автомодельное. решение, причем лагко предъявить явную конструкцию [п^ , В этом случае неизбежно происходит рождение или уничтожение новых "фаз" в процессе перестройки от >Г до V" , Сформулированный результат усиливаем и уточняет утверждение известной общей теоремы Лакса (1957) о существовании решения задачи о скачке в квазилинейных системах.. Это усиление связано с более общей постановкой зада-

чи, и специфическими свойствами <11) уиземовских систем. Следует отметить, что свойства (II) присущ также некоторым интересным системам квазилинейного типа (например, лэнгмюровской модели хроматографии; [l3] ), имеющим далекое от метода усреднения Уизе-ма происхождение, но допускающим введение инвариантов Вааана.Все результаты п. I, 2 без труда переносятся и на эти модели, поскольку мы опираемся только'на свойства двойной монотонности (II) и нигде, на используем более глубокую структуру уравнений Уизема (10), связанную с их "повышенной интегрируемостью" (см. работы .Дубровина - Новикова, Царева и др. о дифференциально-геометрической 1фироде. гидродинамических систем).

Перейдем ко второму кругу вопросов,, затрагиваемых в диссертации. В главе 2 речь идет о смешанных краевых задачах на полуоси, и на отрезке для нелинейных интегрируемых уравнений. Подобные задачи долгое: время не поддавались эффективному анализу. Мы имеем в виду' не численные, эксперименты (в которых не-было недостатка), и не доказательство теорем существования и единственности, а традиционные для МОЗ высокорезультативные аналитические исследования. Несмотря на усилия многих авторов в 70 - 80-е года (Кауп, фокас, Калоджеро, Березанекий, Сахковяч и др.) большого прогресса в этой области достигнуто не было. Имелось несколько красивых изолированных примеров решения подобных задач (Мозер (I97S), Абловиц и Сегур (1975)), однако место этих примеров в общей картине оставалось невыясненным.

Ситуация изменилась в 1987 г. с появлением работы Е.К.Скля-нина, предложившего, на основе, алгебраической 1-матричной интерпретации МОЗ, первые нетривиальные примеры интегрируемых чраевых условий на отрезке.

Дальнейшие работы Тарасова, Игса, Хабибуллина и автора были направлены на

1) исследование механизма воъяикновения интегрируемых граничных условий ;

2) их интерпретацию в более привычных для классического МОЗ терминах;

3) явное решение конкретных краевых задач на полуоси и. на отрезке.

В главе 2 диссертации, основываясь на работах I?] , [хй^ ,[«] ¡19}. , мы даем обзор современного состояния исследований в этом направлении, на примере нелинейного уравнения Шредингера (Ш).

В § I главы 2 описан исторически первый, "примесный" подход Склянина к анализу интегрируемой краевой задачи. Мы опираемся на интерпретацию [7] , в которой центральная роль отводится "^-функции-решению вспомогательной "расширенной"' лаксовой пары. Цримес-ная спектральная задача используется для формулировки аксиоматики; матричной "Ч^ -функции, позволяющей, благодаря использованию матричного аналога схемы Кричевера (см. С?] , [э] ), построить алгеброгеометрические (а-г) решения краевой задачи. Аксигматика

^-функции из представляет, собой синтез аксиоматических требований из обычных моделей НШ я изотропного магнетика Гейзен-берга.

В § 2' с помощью достаточно стандартной тэта-функциональной техники построены а-г решения краевой задачи на полуоси и на отрезке, для модели НШ. Замечательным обстоятельством является то, что спектральная кривая должна с необходимостью допускать дополнительную симметрию вида , а также, иметь нечетный род кб<ч/

Конструкция § I и § 2 кажется довольно естественной и представляет методический интерес, однако, уже в § 3 предлагается иная, значительно более элементарная процедура £,16] построения а-г решений интегрируемых краевых задач. Эта новая конструкция по сути дела развивает, хорошо известную в линейном случае (уравнение-теплопроводности, волновое уравнение и т.п.) идею о том,что в ряде, случаев можно свести краевую задачу на полуоси хгО к задаче , Кош на всей оси х . Более конкретно, мы опираемся на наблюдение А.И.Бобенко о возможности; интерпретировать граничное условие, к. к условие треугольности ЛГ-оператора Лакса (что эквивалентно некоторой редукции -функции), а также используем наводящие соображения из б 2 и теорему Фея о развале* многомерной © -функции на симметричной кривой Г.

Изложение, в § 3 ведется на примере фокусирующей модели НИ

(Ш+)

«•и " + икх + 1 = О }

(\w.uM - о • С^ + ^М ~ о , (15)

с1, « К.

Результаты § 3 совпадают с-теми, которые можно получить в рамках "примесной" идеологии § 1,2. Однако подход § 3, безусловно, предпочтительней, хотя бы потому, что позволяет сразу опираться на классические, тэта-функциональные формулы типа Итса для -функции Бейкера-Ахиезара, а не проходить заново весь логически, непростой дуть от формулировки аксиоматики Ч/ -функции до получения явных формул для решения .. Обратим внимание на интеоес-

ную интерпретацию полученных ь § 2, 3 решений 1ьО, краевых задач 122] . Благодаря симметрии. спектральной кривой Г* , переменные -х. и Ь в Э -функциях, описывающих решение и. разделяются, и. решение представляет собой суперпозицию нелинейных стоячих волн. В отличие от линейного случая в роли Фурье-гармоник выступают редуцированные тэта-функции Еимана ( 0-гармоники).Вце одно важное отличие от линейного случая - тот-факт, что имеется целое семейство 9-гармоник, зависящее от модулей римановой поверхности Г7 . Напомним, что в линейном случае, набор Фурьер-гармоник для решения аналогичной краевой задачи на отрезке, счетеи, причем общее решение задачи представляется в виде ряда Фурье -суперпозиции базисных гармоник. Возникающий в связи с этой аналогией интересный и нерешённый вопрос звучит так: "Обладает, ли семейство нелинейных © -гармоник свойством полноты (для нелинейной краевой задачи), аналогичным полноте. Фурье-гармоник в линейном случае ? " (В случае положительного ответа исследование легче провести для "самосопряженной" модели Ш1_). Еде' одна интересная проблема заключается в том, чтойи дать эффективное решение общей задачи на отрезке типа (15). Подобная проблема для краевой задачи на полуоси .' „

+ •=* О • V*. ОО ч-»^ (16)

* ~ 1 X О ' *

полностью решена в § 4 с помощью нетривиального использования описанной выше идеи о сведении задачи на полуоси к обычной задаче Конго на всей оси. Нюнь изложение.основано на работе [19] .

В качестве "продолжения" решения и.(х -А} , хгО на отрицательную полуось выбирается функция гС^-х к \ , где -специальной преобразование Еэклунда потенциала "ч- С—) , сеязан-ное с граничным условием (16). Решение, на всей оси. имеет вид

Г , ,

I. } . * < о .

Впервые идею о связи метода "одевания" (эквивалентно Бэк-лунду - технике) с решением задачи (16) высказал А.Б.Шабат осенью 1988 г. цри обсуждении, неопубликованных результатов работа В.О. Тарасова; А.Р.Итса и a¿íopa. Эта идея Шэбата развивалась в дальнейшем И.Т.Хабибуллиным.

В § 4 мы строим эффективное ^ смысле требований МОЗ) решение краевой задачи (16). Побочным результатом нашей конструкции является ответ на следующий вопрос.

Пусть "и.- быстроубывающая при 1*|-» «>. функция, заданная на всей оси -х . При каких условиях на решение задачи Коши

1) , соответствующее начальному-данному-и. <» , сохраняет граничное условие (16) цри эволюции по времеш. i ?

Ответ: требуется выполнение симметрии

и О") - (.- >0. (17)

Эквивалентное (I?) требование в терминах данных рассеяния <>( К ) = (V), V., , ^ = I,..., к. ^ , для потенщшла ,

ч-С*-^ в задаче рассеяния Захарова - Шабата тлеет вид

* , а

, ^(-чуя (18)

.....ц.

Шенно эти формулы, полученные ¡Ззрвбначально в рамках "примесной" техники В.О.Тарасовым, подтолкнули А.Б.Шабата к мысли о Бэклунд-

интерпретации граничных условий.

В Приложениях I - 3 мы кратко описываем применение наших результатов к некоторым модельным задачам, которые-могут представлять интерес в приложениях.

В заключение я хотел бы выразить глубокую благодарность моим соавторам за плодотворную совместную работу .

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[4 Еикбаев Р.Ф. Уравнение № с конечнозонными. граничными условиями.1 Препринт Башкирского научного центра АН СССР. 1988. Уфа.

28 с.

^ Bikbaev R.P., Novokahenov V.Ju. Self-similar solutions of i'.'iiitham equations ancl KdV equation with finite-gap boundary conditions. - In Proc. of the III Internat.Workshop on Honlinear Егосезвез 19B7, Kiev. Naukova Duiiika. 1988. v.1. P.32-35. [з]. Bikbaev IUP., Sharipov R.A. Magnetization waves in the bandau-Lifahitz model. - Physics Letters A., 1988, v.134, H 2, p.105-10?.

\4 Еикбаев Р.Ф. Об асимптотике при + « решения задачи Коиш для уравнения Ландау-Ляфшца. - Теор. и матем.физ., 1988, т.77, гё 2, с.163-170.

[6]. Бикбаев Р.Ф., Итс А.Р. Асимптотика при решения задачи Ковш для уравнения Ландау-Лифшица. - Теор. и мат.физ. 1988, т.76. й I. с.3-17.

Бикбаев Р.Ф., Шарапов P.A. Асимптотика при "i-»-« решения задачи Коши для уравнения КдФ в классе потенциалов с конечно-зонным поведением при -х-* А <*> . - Теор.и мат.физ. 1989. т.78. & 3, с.345-356.

[7] Бикбаев P.O., Итс А.Р. Алгеброгеометрические решения краевой задачи для нелинейного уравнения Шредингора. - Мат.заметки. 1989. т.45. № 5. с.3-9.

[i\ Бикбаев Р.Ф. Временная асимптотика решения нелинейного уравнения Шредингора с граничными условиями типа "ступеньки". -Теор. и мат.физ. 1989. т.81. J6 I. с.3-11'

^ Бикбаев Р.Ф. О новом классе конечнозонннх решений XX? уравнения Ландау-Дифпица. - Маг.заметки. 1989. т.46.'в.1. с.112-114. ^0]. Бикбаев Р.Ф. О распределении намагниченности в лопсоплоскост-ном ферромагнетике. - Теор. и мат.физ. 1989. т.80. й 3. с.470-474.

[i^. Бикбае. Р.Ф., Новокшенов В.Ю. Уравнение КдФ с конотаозо! шли граничными условиями и одноиараметрические решения уравнений Уизема. - В сб. Асимптотические методы решения задач матем. физики. Уфа. 1989. с.9-24 и с.81-96. [i^. Бикбаев Р.Ф. О дифракции в дефодусирующей нелинейной среде. -

Зап.науч.сем.ЛОМИ 1989. т.179. с.23-32. ¡13^. Бикбаев Р.Ф. Гиперболические системы Уизема и интегрируемые

уравнения. - Зап.науч.сем.ЛОМИ. 1989. т.180. с.23-36. [l4j. Бикбаев Р.Ф. Уравнение КдФ с конечнозоннши граничными условиями и уиэгмовские деформации римановых поверхностей. - функц. апал. и его прил. 1989. т.23. вып.4. с.1-10-Blkbaev R.F. Structure of a shock wave in the theory of the KdV équation. - Phya.lett.A. 1989, v.141, N 5, 6, p.289-293. [гф Бикбаев Р.Ф. Конечно зонные решения краевых задач для интегрируемых уравнений. - Шт.заметки. 1990. т.48. вып.2. с. 10-18. [i1^. Бикбаев Р.Ф. Перестройка Уизема и временная асимптотика решения нелинейного уравнения Шредингера.с конечнозонным поведением при + . - Алгебра и анализ. 1990. т.2. вып.З. с Л31-143.

Бикбаев Р.Ф. О задачеКоши для волн на мелкой воде. - Теор. и мат.физ. 1991. -.86. JS3. с.

Blkbaev R.F., Tarasоу V.OiInitlal-boundery problem for the Honllnear Schrodlnger eqUatlon. - Journ.Phys.A. 1991. v.24. И 11. p.2507-2517. [2ÔJ, Бикбаев Р.Ф., Тарасов B.O. Неоднородная краевая задача па полуоси и на отрезке для уравнения sine-Gordon. Алгебра и анали^. 199I. т.З. вып.4. с.77-91. £ Blkbaev R.P. KdV équation with nontrlvlal boundary conditions at -x-»i®o . - In; Singular limita of dloperaive r/avea, Iroc. Lyon Conférence: ed. by li.Brcolani, D.Loviîmore, D.Serre.

1991. Plenum. New York.

Еикбаев Р.Ф. Интегрируемые краевые задачи и нелинейные Фурье-гарыоншш. Зад.иауч.семЛОШ. 1991. т.199. с.23-30. [23], Еикбаев Р.Ф. Конечнозоныые аттракторы и переходные процессы типа ударных волн в интегрируемых системах. San.науч.сем.ЛОМИ. 1991. т.199. с.31-43.

РХЯ ЛИЯФ,8ак.980,тирЛ00,уч.-изд.л.1,0;2АД-1991г. Бесплатно