Интегрируемость и алгебраическая теория возмущений для солитонов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

7 уз

АКАДЕМИЯ НАУК БЕЛАРУСИ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТКГУТ Ф13Ш1 ш. Б.П.СТЕПАНОВА ■

На правах рукописи

докторов евгений владширович

интегрируемость и алгебраическая теория возмущений для солигонов

ОТ.04.02 - георсптскря тпэика

А Б 'Г О Р Ф Р.' Р /> Т

диссертации ка соискание учрно;! степени доктор-д {кзпко-глагематкческм наук

!.:::нск 1982

Работа выполнена в Институте физики км, Б.И.Степанова АН Беларуси

Официальные оппоненты - доктор физико-математических.наук

профессор А.А.Афанасьев

- доктор физикогнатематических наук профессор Л.И.Комаров

- доктор физико-гштематических наук профессор Н.П.Коноплева

Ведущая организация - Институт математики АН Украины

Защита диссертации состоится " ¿6 " 1993 г.

в / о часов на заседании Специализированного совета Д 006.01.02 при Институте физики им, Б.И.Степанова АН Беларуси (220602, Минск, проспект Ф.Скорины, ТО),

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института физики АН Беларуси

Автореферат разослан " 16 " ^¿¿¿/^ 199Г г.

Ученый секретарь Специализированного совета кандидат физико-математических наук

Ю.А.Курочкин

Общая характеристика работы

Актуальность исследования. Прогресо в изучении существенно

нелинейных систем, достигнутый за последнюю четверть века, во многом обусловлен возникновением нового метода решения нелинейных уравнений - метода обратной задачи рассеяния (МОЗР) (С.Gardner, J.Green, M.Kruskal, R.Miura, 1967 ). Современные тенденции в теории солитонных уравнений характеризуются постепенным перемещением акцентов в направлении алгебраизации проблемы интегрируемости. Во-первых, трансформируется взгляд на природу нелинейного уравнения. По словам А.Ньюэлла, "соли-тоннне уравнения являются магическими исключительно по алгебраическим причинам, которые должны проявляться в структуре уравнений в виде весьма специфического отношения между Функцией и ее различными производными" (А.Ньгаэлл, 1989). Во-вторых, установление общих закономерностей, присущих нелинейным интегрируемым уравнениям, а также взаимосвязей между уравнениями этого класса наиболее эффективно выполняется с помощью алгебраических методов. Они отличаются ясностью и сравнительной простотой и адекватны рассматриваемым проблемам, поскольку основываются на различного рода оимметриях, характеризующих конкретную физическую систему (А.Н.Лезнов, М.В.Савельев, 1905). Сочетание преимуществ алгебраического подхода с возможностью получения точных аналитических выражений для решений нелинейных солитонных уравнений открывает перспективы дальнейшего продвижения в тех областях, где применение более односторонних методов может вызвать затруднения.

Особая ценность солитонных решений заключается в их непер-турбативности. Отсюда следует, что при квантовании нелинейной физической системы в окрестности классических солитонных решений полевых уравнений возникающие квантовые »[Л.екты также непертурбативны. Тем самым несомненна актуальность развития методов нахохщення точных нетривиальных классических решений полевых уравнений, в том число в моделях калибровочных полей.

Далеко от завершения решение проблемы формулировки надетого критерия интегрируемости нелинейных уравнений. Существующие методы анализа уравнений на возможную интегрируемость не доказаны как теоремы и в значительно,'; степени носят полуггмпиричес-

кий статус. Среди таких критериев выделяется подход, инициированный УОЛКВИСТОМ 1! Эстебруком (Н.у;а>1Ци1я1;, Я.В^аЪгоак, 1975) и представляющий собой симбиоз алгебраичеоких и геометрических йдей( что предполагает существование далеко идущих обобщений. Б атой связи необходимо более глубокое исследование указанного критерия.

Расширительное толкование понятия алгебраичности подхода, включающее в себя как использование аппарата теории групп и алгебр Ли, так и разработку методов, позволяющих ограничиться решением алгебраических .уравнений там, где стандартные подходы предполагают решение интегральных уравнений! дает возможность существенно расширить класо изучаемых уравнений. С точки зрения приложений солигонной физики особый интерес представляют почти интегрируемые уравнения, описывающие возглущения в системе солитонов. Характерной особенностью традиционных схем теории возмущений для солитонов (В.<1.Каир , 1976; В.И.КарПман, Е.М.Маслов, 197?) является необходимость уже в первом приближении выполнять такие неудобные в практическом отношении действия, как решение интегральных уравнений или обращение линейных операторов. Поэтому представляется актуальным построение аппарата теории возмещений для солитонов, который позволил бы избежать трудоемких вычислений, а также продвинуться в область высших поправок.

Цель работы: Разработка в рамках метода обратной задачи рассеяния эффективных алгебраических методов анализа нелинейных уравнений на интегрируемость, нахождения их решений, учеФа возмущений, действующих на солитоны, и применение развитого аппарата к проблемам нелинейной оптики.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Построение преобразований Беклунда для уравнений самодуальности статических аксиально-симметричных калибровочных полей с калибровочной группой йи (и ), генерирующих солитонные решения указанных уравнений.

2. Доказательство неэквивалентности уравнений Эйнштейна-Максвелла и уравнений самодуальности статических'аксиально-симметричных эи (3) калибровочных полей для всех возможных инволюти-вных автоморфизмов алгебры аи (3).

3. Разработка варианта теории возмущений для солитонов, ос-

4

■новенного из матричной задаче Римаиа и не гребущего решения интегральных уравнений во всех порядках по калош параметру.

4, Получение продстэвлеищ ¡¡улевоЯ кривизны и солптсгошх реаешШ сяохекп иелте::пкх уравнений, обобщивших взвесите щ-¡гегрируемые уравнения Мякояеллв-ВлЯа л опйсышктак взаимодействий слога с нелтсПяой р ^энмкжо-верровокоИ средой. '

С. Фор.'улпроцка 'лсюда о^руктур продолжения я терминах гес-игтрпт расслоении? лросгршпто и алгоритм замнрлняя члгебраи-ческо!! структуру на конвчномерпуп алгебру Ли,

6. Описание Новой пб.ляетт» "г'—гг^гтпт солстг-пев, относя-яр:1!'- ! " локалпзоъггш':'! нар."" т. •" -'ргнп Л;;, ;; ноогроенпс солп-тснн;:/ ичфнугччщЗ V. дрсо.ран<лве вектор-параметров группы вращений.

¡[»«»оитя» Л;: и.иштшпя ппупт. аа-

ооцкирукапного с уравнениям! сашдуалыгости калибровочных полей, и идентификация в качестве подалгебр алгебр Каца-Муди а Бирасоро.

8. Исследование динаг.шкп н вычисление характеристик солито-иов в нелинейном одномодовом световоде при наличии возмущений различных типов.

Научная новизна. Все результаты, ртдаггеигшс в полоярния,

п !';; •■ . а : ,■;■ . ■ ; ;; т.!'-';.-

- . г; л з -.¡¡-'л

"Г'-." ■ ' 1 : - -•'.•..";.::. " .. чк г, у ч'ч'тии-

'¿¡в "«нигазо иолшбЫых уравнений в частпих производных на возможную интегрируемость п пям»о» ••»—г •..;*• .

ь- : • •" хо&дач иилитонной тематики,

где требуется учесть влияние эффектов, нарушающих интегрируемость.

Апро^ягл*? ., Ггт.лы.и ! ул^п-" та.'; ь л'и';-

осрг'-чпш, докч-'С^нл I, II " III Хог^уиср^яп-х шямарчх

' 5

"Теоретико-групповые мегоды в физике" (Звенигород 1979 и 1982; Юрмала 1985), II и 1У Всесоюзных симпозиумах по световому эху и когерентной спектроскопии (Казань 1981, Куйбышев 1989), сессиях Отделения ядерной физики АН СССР (Москва 1984, 1985), У1 Всесоюзном коллоквиуме "Современный групповой анализ" (Баку 1988), Всесоюзной школе-семинаре "Представления групп в физике" (Тамбов 1989), II и III Всесоюзных семинарах "Теория нелинейных волн" (Калиниград 1989, 1991), ХУШ Международном коллоквиуме "Теоретико-групповые методы в физике" (Москва 1990), У1 Международной школе-семинаре "Теоретико-групповые и компьютер-но-алгебраичеокие методы исследования нелинейных проблем физики (Рахов 1990), УIII Международном симпозиуме "Нелинейные эволюционные уравнения и динамические системы" (Дубна 1992).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 32 работах,

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, трех приложений, заключения и списка литературы, содержащего 236 наименований. Общий объем диссертации - 2Ю страниц машинописного текста, 4 рисунка.

Содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность исследования, сформулирована его цель, приведен краткий литературный обзор по теме диссертации, перечислены основные положения, выносимые на защиту, и изложено основное содержание работы по главам.

Первая глава диссертации посвящена нахождению преобразований Беклунда для статических аксиально-симметричных (САС) самодуальных SVKU) калибровочных полей. Такие преобразования позволяют алгебраически генерировать новые топологически нетривиальные полевые конфигурации.

В § I приведены в удобном для последующего использования виде некоторые результаты по свойствам симметрии уравнений само,'цуальности

^-эдчи^МФ^ДЬо,

для САС самодуальных $и(Н) потенциалов «П ) и ^ »

«I), /4= $ .«I , где ^ = ^ + 11, ц = ^ = И- = Ц + *> Я

А^и е о , ^ - алгебра Ли калибровочной группнЙ, = С ТА ) • Структура уравнений (I) согласуется с условиями принадлежности вида ¿у 6 к ( Ф^, е р . где к и р отвечаю? собственном значения).! +1 и -I некоторого инволютивного автоморфизма Т , причем к + р. Для уравнений самодуальности (I) существует сигма-модельное представление

^ ■?) V + йИ)^- = о.

где & , Г|) ЬС1Ь 1№"1®НИв ураТТГРИПЯ =

- ¿С Ач+ С.фц)£ . Эр-.итовп ¡;.птр;;да $ принадлежит неприводимому глобально симметрическому риманову пространству некомпактного типа (д'/К . где некомпактная вещественная группа,

= к + ср и в зависимости от вида автоморфизма й* есть $>Цц,(!} или = Н , а К - максимальная компактная

подгруппа группы , отвечающая подалгебре к * Наличие факторизации по К отражает тот факт» что уравнение (2) инвариантно относительно локальных преобразований из группы К (оста-то'тнп" кзлнбропсчпяя внпяетштиосеь). Токая "¡вариантность позволяет зибриь ;/доО».;;р (треугольную) парячзтррзчцию для

вчлолнив роэложепго Изаоазд = К Т , Т - разрешимая подгруппа. В свою очередь, разрешимая подгруппа гТтторвзуется в прояэвгзжяо аболепой Д и иильпогенгкой И» подгрупп,Т*АН*. Это поэьоляех с]:ор-.ул!;ровать алзац л треугольной калибровке (ензац Бапсэ-Саоакв) г.ок рпзлоя^нна по базису разрешимой под-алгебпн 1 = Ск + П + :

131

где б.зис ас елевой подялгебрп (Л к {? - базве нильпо-тентпой подалгебры , с]а = ¿¡т > ¿Ц.- система положительных корней для подалгебра Картана, включающей алгебру Д .

Для уравнений самодуальности (I) существует ряд преобразований симметрии. Дискретное £-преобразование определено для потенциалов в треугольно:"! калибровке и сохраняет свойство тре-

7

•угольносги. Г-преобразование связано с ассоциированной линейной задачей

(4)

условием совместности которой служат уравнения (I), и переводит решение системы (I) в решение новой системы уравнений о преобразованными функциями М/л. Г -преобразование нарушает треугольность калибровки. Восстановление треугольности достигается за счет К-преобразования, матрица которого находится из разложения Ивасавы для решения уравнений (4)i Ч* =5ГТ,

52 еК,

В § 2 построены преобразования Беклуида (ПБ) для уравнений самодуальности CAO $\J(3) калибровочных полей. Под ПБ понимаются такие преобразования, которые, будучи лрлмененныш к исходной долевой конфщурации, даюг решение уравнений (I) с новым топологическим зарядом. Обозначим комбинированное преобразование К Г через 3 . Тогда искомые ПБ строятся из последовательно выполняемых 3-й X -преобразований. При атом каждый тип преобразований образует группу, тогда как между собой X.-и 73 -преобразования но коммутируют. Поэтому ПБ представляют собой комбинацию попарно чередующихся преобразований 3 и 2Г. Условие вещественности результирующего решения уравнений (I) для $\J(N) полей требует применения X-преобразований N раз. Кроме того, параметры последовательных Г -преобразований, меняющих У\и, должны быть согласованы так, чтобы на заключительном этапе функции М^совпадали с исходными. В случае группы S\J(3) указанные требования означают, . что £ -преобразование должно быть применено три раза, чередуясь всякий раз с 3 -преобразованиями, количество которых должно быть четным. Таким образом, новое решение А уравнений (I) представимо символически как А о

о «

где А - известное (затравочное) решение. Формула (5) представляет собой запись ПБ для SU(3) калибровочных полей. Единственным интегрированием в таком подходе является решение урав-

нений (4) с затравочными потенциалами. Если в качестве известных потенциалов взять хиггсовский вакуум, то указанное интегрирование не представляет трудностей. Оставшиеся вычисления чисто алгебраические. Выполнение всех преобразований по схеме

(5) приводит к полевой конфигурации с дробным топологическим зарядом. Повторное применение ГШ (5) с Т.-преобразованием, отвечающим второму нетривиальной/ элементу грушш Войля сиг,метрического пространства, дает искомое солитониое решение с целым топологическим зарядом,

В § 3 с^ормудвровани ПБ для SIK N ) калибровочных полей. Приведены яшшв выражения для новкх решений d терминах затравочного решения и параметров преобразований. Отмечено, что

имеют«!« рмздичич в стпукт^г" v?.?. *!й?п11х я но*!"™"'"" н ,

В построенной вше схеме генерирования новых решений уравнений (I) после каждого X -преобразования требовалось выполнять трудоемкое разложение Ивасавы для матрицы , являющейся решением линейной системы (4). Поэтому желательно иметь выражение для параметров ПБ через йсходаые параметры задачи, минуя процедуру разложения Иваоави на промежуточных этапах. Эта проблема является чисто алгебраической и решается в § 4, где приведени соответствушие ппракения.

В у 5 описана связь построенного п диссертации метода нахождения солиточнвх решений уравнений (I) с параллельно развиваемым методом супсрпотепцнала (Р.Pórgaos, Z.Horváth, ь.Palla, 1983). Проводимая в диссертации линия па использование в ка\естве фундаментальных объектов исследования калибровочных потенциалов позволяет более глубоко проанализировать структуру теорий, опирающихся на вгорячпке по отношению к потенциалам величины типа эрмитовой пагрнцн S , входящей в уравнение (2). К таким величинам относится суперпотенциал, который определяется как решение систем» уравнений вида

V=i ?tiv ■ f - ■ ЩМ^Ш П

В данном параграфе показано, что, во-первых, суперпотенциал

выражается в терминах квадратов функций Н* » задающих анзац t3)

Во-вторых, такое представление не зависят от ввда инволютивно-го автоморфизма I , В третьих, суперпотенциал инвариантен ло отношению к действию "3 -преобразований. Тем самым ПБ (5) позволяют провести более детализированное описание солитонных конфигураций калибровочных полей.

Для системы уравнений (I) существует бесконечно много сохраняющихся токов, что свидетельствует о наличии нетривиальной "скрытой" симметрии, присущей данной модели. В § 6 выявлена алгебраическая структура такой симметрии. Представляя ассоциированную линейную задачу для уравнения (2) в форме Белинского-Захарова (В.А.Белинский, В.Е.Захаров, 1978), определяем на решениях указанной сиотеш, обладающих определенными свойствами аналитичности, инфинитезималыше преобразования Римана, которые переводят решение линейной системы в новое ее решение. Такое преобразование индуцирует соответствующее преобразование симметрии калибровочных потенциалов, из которого следует структура искомой алгебры симметрии. Если - 'базис алгебры , то алгеброй скрытой симметрии уравнений самодуальности является алгебра петель = ,

Г -Т* * -г» ~ с -г"* ч -

1Та X , Тв X ЬсаТс X

где пространство полиномов по обратным степеням ^ .

Во второй главе анализируются различные стороны сигма-модельного представления нелинейных уравнений.

В § 7 построена ассоциированная сигма-модель для уравнения Эрнста, описывающего стационарные аксиально-симметричные вакуумные гравитационные поля. Данная сигма-модель выражается посредством нелинейного матричного уравнения ввда

Ч^ч^^-^^^вк<6)

где - антикоммутатор, а представление нулевой кривизны ^ _ "з^у + ^? у"} = 0 задается следующими матрицами 1

V - спектральный параметр. Для уравнения (6) получена бесконечная последовательность сохраняющихся токов.

Ю

В § 8 для сигма-модели <6) выведены преобразования Беклун- •

да, содержащие, в отличие от обычных ПБ, дополнительный параметр. 1Ьс мо.-сно трактовать кок новый тип матричных ЦБ, относящихся к уравнениям граваташш. Следует подчеркнуть, что ПБ, реализованные как калибров.:-ч*'ке Чуообрпэования на коэффициентах связности Ш,\7), являются простим следствиям группового характера проблей,! и соогвеготьуят левому действию на представлении группы Ли, Прц эго.м пзьсютны;: нелшеашЛ пршщш супер-по:з::.';ип (¡ил, иными олова".',;'., т со река порсстаиоьочностк), сьо-дитос к утверждения о ког.г.т/тйтк'-цсоги соотьегствугаих калибровочных преобразований.

п к а( »«л«». »•»»•!! ""т^"":;;::!::'. сспсспа ::С20Л

полуютт ггср^'"' ~:"~с"г*ссг" для последовательных ПБ, использующая преимущества векторной параметризации групп и I). Ее применение иллюстрируется на

примере уравнения Кортевега-де Фриза и нелинейного уравнения Шредшгера.

В § Ю дано описание нового проявления солитонов* относящегося к пространству локализованных параметров групн Ли, Век-горная параметризация группы вращений (Ф.И.Федоров, 1958)

псйсь: сп^лпяй ^ ' г ч!"1 ■ '.'''¡^-п'.-^о.'^-гссв >■ I1' ■ ;т с-.тг; -..-т

ког.ою'гооо. ул-и ч,,,г. . .'■ >< го '> С" I:-х с п "¡сч о акопо--м-"1, то" '-•-!■!:.'.: '.''Л1:;;'.,,-оо;.г:■ ро :\'Гсзг с: о^л'ст груп;гу. гоооср;груш.: . а--.:ре-

ходе г го-го,;,ооотрзм м , от

кс'/рпно?' то-:?;: г.роьг; ,."г ни (А .Д .Бог,';:!, }, ори

зтог. :":,'{гоь:. Г' >' ■ тог.у.. ■■■У'~ '¡г/'-о 'о ку о гг^г- главного ли-рального поля {сигма-модели) на группе ^ О С 3, К ), которое удо-

■ 'О г' г Гиг' ИГО

(суммирование по координатному индексу м). где ентисимлетрич-ная катина П* оппятгр.лрнч ияк п* и. ч ,11 I - еч?«5гч.;™ли;

оио,-, о». г ь., ^''.г^и!,:1. ..¡¡и; ::н глг-:ньх ■\'Л[:ь:'Л а о. полок

на доу:,:о, ном прост;,онотвг ппгогр-руи:,а: для груш

•Ли и допускают солигонные решения (В.Е.Захаров, А.В.Михайлов,-i960). Тем самым уравнение (?) также может быть проинтегрировано на двумерном пространстве (ОС ). Квадрат модуля соли-тонного вектор-параметра имеет следующий вид:

■ secb*y +[aesm(0/2Mbycos(6/2flz .

1 s! ^ cosW/г) + % çin(е/г))г

где ^(0C,t) и - параметры, угол ô(X,"fc) задает затравочную конфигурацию ("вакуум"). Формула (8) содержит характерный для солитона член ¡f и добавку, переходящую асимптотически в квадрат амплитуды вакуумного вектор-параметра.

Хорошо известная эквивалентность уравнения Эрнста и уравнений самодуальности (I) для SU(2) калибровочных полей позволила впервые построить для последних ПБ и получить солигонные решения (P.Forgaoa, Z.Horváth, L.Palla , 1981). Поскольку как уравнения Эйнштейна-Максвелла, обобщающие уравнение Эрнста, так и уравнения самодуальности (I) для 5U(N) калибровочных полей допускают решение в рамках МОЗР, то возникает вопрос о возможной эквивалентности уравнений Эйнштейна-Маковелла и уравнений самодуальности для §U(3) калибровочных полей. Предпринимались попытки выявить связь между указанными уравнениями (например, M.Gürses, B.Xantophouloa, 1982). В.§ II на основе анализа всех возможных: инволютивных автоморфизмов алгебры SU(3) дано решение этой проблемы. Выбор инволютивного автоморфизма в форме AIII (в обозначениях С.Хелгасона, 1964) влечет за собой принадлежность матрицы S к симметрическое пространству 011(2,'-1)/ <à\J(2)®\J(I). Тогда с помощью анзаца (3) уравнения самодуальности приводятся к виду, максимально соот-вегствующевд уравнениям Эйнштейна-Максвелла. Тем не менее анализ показал, что искомая эквивалентность существует только между комплексифицировашшми версиями рассматриваемых уравнений, которые не имеют непосредственной физической интерпретации.

Третья глава посвящена проблеме установления факта возможной интегрируемости заданного нелинейного уравнения (или системы уравнений), понимаемой в смысле существования нетривиаль-' ной структуры продолжения типа Уолквиста-Эстебрука с полупростой составляющей.

В § 12 предложен новый подход к развитию метода псевдопо-

12

тенциала, использующии понятия геометрии рясолоернчх прост- ■

ртств, Оуглостъ кзгодч л:ог лопотешшача заключается в сопоставлении нелнногно-.с ург.шенгл ооьо^паосгк 2-чсргл с/,а , со-стз г лк замкнут].:;! ¡. с тг~:л ..." прог'.ол-'ичпем его систем:;; :сог„] ■ л-л^лх лол'хлп'гел.г.шх переменных (асевдопотенциалов). Из условия паяной интегрируемости 1;;лл;о:1С1: с»:С1 с:;- ; ллйоргачоекнл структура, не за:.т ¡:г,'?::.2п, лооСло говоря, и:. х:сн'_'т»пс.\:2риуы ¿¡лгсОру Ли. Вложению параметра, играющего роль спектрального параметра в ассо-поттпиянчпй лтоИмп« ЛРСЦ^'Р«

кЧГЛННЧ1 1Н11 *« лм.п«-- ----- --Г. у. . .

X О И оЪ

отбора возмомшх комбинаций элементов структуры, используемых для замыкания. Предложенный в данном параграфе подход, воспроизводящий, в частности, результаты Уолкаиста-Эстебрука, не использует концепцию продолжения. Иными словами, термин "структура продолжения" не вполне адекватно отражает существо выполняемой процедуры. Нами вводится главное расслоенное пространство, база которого бесконечномерна и включает в себя как обн-

;■;."::№! ли.

солитснные уравнения ассоциируются с фактом обращения в нуль

цпчамищ!

р^'чзпшл ¡«'.яо, иоорааием. Отсюда следуют уравнения для определения коэффициентов связности А^, которые при весьма специальном выборе ( Ах= - I] . = -V , остальные Ал=0) сьо-

вавчиие констглгл.:, осрау. ¿;:в олгеЗрйич&ок,*«» ру продол-

жения. Для замыкания ее предлагается простой рецепт. Реосмот-

13

рим алгебру голономии раослоения, которая порождается всевозможными линейными комбинациями о-значных величин Ър* , ^

Гд,^ .....где = АлгебРа голономии

совершенна, если она порождается исключительно элементами ^ без привлечения ковариантных производных. Правило замыкания формулируется следующим образом: алгебра голономии расслоения, ассоциированного с нелинейным уравнением, должна быть совершенной и содержать полупростую компоненту. Это позволяет однозначно замкнуть алгебраическую структуру и найти представление нулевой кривизны. :

Эффективность описанной выше процедуры продемонстрирована на примере системы уравнений вида

а также редуцированных уравнений Максвелла-Блоха (§ 13):

, Цх-Е3> /и = соп^, (9)

где £ - напряженность электрического поля, Г , и и Б - элементы матрицы плотности, характеризующей свойства среды. В отношении уравнений (9) методом § 12 показано, что существующие в литературе "альтерштивные" представления нулевой кривизны для данных уравнений представляют собой не более чем выбор (зачастую не самый удачный) различных представлений одной и той же алгебры К ) •

В § 14 продемонстрированы эвристические возможности предложенного метода нахождения представления нулевой кривизны для заданной системы нелинейных уравнений. Математически задача заключается в следующем. Хорошо известные солитонные уравнения описывают преимущественно какой-либо один тип нелинейности. Например, уравнения Максвелла-Блоха описывают резонансную нелинейность, т.е. нелинейность, обусловленную наличием резонанса мекду воздействием на систему и свойствами системы. Нелинейное уравнение Шрсдингера, напротив, применимо для описания процессов вдали от резонанса при наличии кубической (керровс-кой) нелинейности. Реальным системам присущи в той или иной степени различные одновременно действующие типы нелинейностей. В этой связи возникает принципиальный вопрос о возможности

учесть на равных основаниях несколько типов нелинейном ей. Очевидно, что непосредственное объединение различных солитон-ных уравнений в некоторое более общее уравнение не приводит, как правило, к новому интегрируемому уравнению. В данном параграфе исследуется на интегрируемость система нелинейных уравнен;;!!, обобщающая известные интегрируемые уравнения Максвелла-Блоха. С точки зрения .¡.папки указанная система описывает, например, нормирование в нелинешоп резонансно-керровокой среде оолитонной конфигурации электромагнитного поля при сканировании по поверхности среди с постоянной скоростью двумерного светового пучка. Б услсшзлх. стационарности такой процесс описывается следующей системой уравнений для безразмерных величин:

Здесь Е - огибающая поля, Р - поляризация/Среды для резонансной компоненты, N - разность нааеленностей, 5 - частотная расстройка, - параметр, содержащий как'керровскую постоянную, так и характеристики резонансной полсистеш, о: - координата ьг;о."Ь яовер:но01 и среды, 7 - координата вглубь среди. Проблема »(тегри^-уемооти системы (10) существенно нетривиальна, поскольку далело не при всех значениях параметров V и р» во.ь-котно еС<)ч?ованпе голитснов. Олсдуя описанное в § Г< подход, сгла г.ллтека идгрбраи'кокяч мьуктура, петрипгялыюе запекание кот орс£ возыо'-но только яри выполнения условия

?рл'=1. (п)

В ¡лом случае представление нулевой кривизны задается матрицами ■ • \ Г'л\ /л

- А И. / 2 \ л , 'А

К

где

А-^^-грЧЕМХ').

(12)

Условие (II) интерпретируется как характерная для солитонов взаимная компенсация таких конкурирующих факторов, как самофокусировка, дифракционная расходимость и эволюция двухуровневой подсистемы. Поскольку спектральная задача для уравнений (10) свелась к хорошо известной задаче Захарова-Шабата, то получение Ы-солитонных решений и других характеристик системы выполняется по известным правилам.Солитон уравнений (10) представляет собой нелинейный аналог известной в линейной электродинамике неоднородной волны (Ф.И.Федоров, 1955), характеризующийся несовпадающими направлениями распространения амплитудного и фазового фронтов.

Анализ полученных вше интегрируемых уравнений Максвелла-Блоха для резонансно-керравских сред был выполнен при'упрощающем предположении об одинаковости величины расстройки 5 для всех атомов (иными словами, без учета неоднородного уширения). В действительности ансамбль атомов распределен по значения!,I 5 с некоторой функцией распределения ^.(5) . В § 15 проведен учет неоднородного уширения, который сводится фактически к появлению в уравнении (10а) слагаемого5" вместо Р и аналогичному усреднению членов с Р и Н в формулах (12). Кроме того, здесь же с применением матричной задачи Римаиа выведен закон эволюции матрицы рассеяния.

В § 16 проводится дальнейшее рассмотрение проблемы замыкания алгебраической структуры, возникающей в рамках метода пое-вдопотенциала. Существуют два аспекта указанной проблемы. Для практических целей, связанных с построением явного вида представления нулевой кривизны, получением законов сохранения и преобразований Беклунда вполне достаточно замкнуть данную структуру на конечномерную алгебру Ли, наложив некоторые дополнительные условия. Этил способом вводится спектральный параметр. Затем, выбрав определенное представление полученной алгебры Ли, можно реализовать схему МОЗР.

Другая сторона состоит в выявлении алгебраического содержания структур продолжения без привлечения дополнительных условий. В последние годы была осознана связь этих структур с бео-конечномернымн алгебрами Ли (М.ОтоЪе, 1986). Нам представляется, что на самом деле проблема замыкания вторична и может быть решена, если будет выяснена природа структурной группы раосло-

'алия, элементами алгебры Ли которой являются искомые матрицы ■

п V • Ь 3 16 на пря.'.:зре урзгнений самодуалыюств (I) показано, что соответствушая зтш уравнениям структура продолжения вкладывается, без приялеченкя пополпктелыпк условие, в оеоксаечког.-ориую одгеор;; Лг, прелстаадящую собор полупрл:-уг,о оу.'-у с^ й V л ял^гаув« алгбОрой Ли структурной груп-пп ръс-'лоекпя. Здесь - алгебра петель, базирующаяся на ве-йчегвенаой некомпактной алгебре Ли 51 (Н ) или г ,<-)), в зависимости от №борч инйожтя.т,пого явтсютрЪзма, о V - ал-геора Ьярасоро. Ког-мутаиташые сс лнг/,ченмя киеет слелушмй вид:

v.-! г, г-. -- - ^ п _ 1 г.

гив\Тл\- онзио мгеорк 0х ¡- бзгго злггбрк Вграгоро, С-структурные константы алгебры , ГЛ и ^ - целые положительные неотрицательные числа. Очевидная реализация генераторов в виде Га - X Тд 11 С = - X ведет к представлен™ нулевой

кривизны, причем X играет роль спектрального параметра. Появление производной по X в ассоциированной линейной задаче восходит к работе В .А .Белинского и В.Е.Захарова (1978) по аксиально-симметричным гравитационным полям. В нашем подходе такой член возникает естествглнлп .-¡5разом и обусловлен наличием ат-гебры Вирасоро. Таким соразсм, алгебраическая структура типа Уодквнста-Эсгебрука представляет собой конечный фрагмент бесконечномерной алгебр;; ли определенного типа.

13 четвертой главе оуор?.5'дирован алгебраически:; вариант теории воёгдущеннй для солитонов.

В § 17 описана в терминах матричной задачи Рипзна процедура иахокценгя поправок к солптонно.му решению для первых двух порядков теории возмущений для солитонов. В отличие от традиционных схем теории возмущений, предложенный подход алгебраичен я не приводит к необходимости решать интегральные уравнения в лысом порядке -злости. В этом смысле аппарат, вспользущий задачу Римана, наиболее адекватен рассматриваемому классу задач. Для конкретности изложение ведется на примере нелинейного уравнения Шредингера (НУШ), хотя метод применим и к другим почти интегрируемом уравнениям. Ограничение первыми д^умя порядками теории возмущений не является принципиальным и вызвано только

необходимостью продемонстрировать эффективность предложенного подхода. В литературе известны вычисления поправок второго порядка к параметрам солитона НУШ (Е.М.Маслов, 1980),- однако искажение формы солитона было получено только в первом порядке. Возмущенное нелинейное уравнение записывается в форме представления е -кривизны

е«1, (гз)

где К - матрица, вид которой обусловлен конкретным типом возмущения. Линейная спектральная задача сохраняет свой вид и при наличии возмущения и может быть переформулирована в терминах задачи Римана, тогда как эволюция данных рассеяния зависит от возмущения. Найдено точное уравнение эволюции матрицы рассеяния в присутствии возмущения, зависящее от решений задачи Римана. Отсюда следуют точные уравнения эволюции параметров солитона. Поскольку точные решения задачи Римана, относящейся к возмущенному нелинейному уравнению, неизвестны, то предложена итеративная процедура, состоящая в разложении этих решений по степеням малого параметра 6 . Такая процедура индуцирует соответствующие разложения для других представляющих интерес величин. Будучи подставленными в точные выражения для решений задачи Римана, указанные резложения приводят к алгебраической системе уравнений в каждом конкретном порядке по 6 . Уравнения, отвечающие главному порядку, описывают адиабатическое приближение, в котором пренебрегается искажением формы солитона, а действие возмущения проявляется в том, -что параметры солитона будут, вообще.говоря, зависеть от возмущения. Деформация солитона описывается в рамках первого и последующих приближений. Особенность второго и более высоких приближений состоит в том, что утрачивается полное разделение вкладов дискретного и непрерывного спектров, имеющее место в первом приближении. Тем самым второй порядок теории возмущений описывает, в частности, эффекты отдачи, обусловленные обратным действием излучения на солитон. В качестве конкретного примера вычислены поправки второго приближения к параметрам и форме солитона НУШ при наличии диссипации в качестве возмущения. _Анализ поправок свидетельствует о сохранении солитоном свойства локализованное™.

В § 18 описан новый тип возмущения-солитона НУШ и вычислены

18

' соответствующие поправки. Обычно при стационарном прохождений

световых пучков в нелинейной среде действие тепловой нелинейности доминирует по сравнению с безынерционной кубической нелинейностью. Однако ситуация кардинально меняется в случае сканирования пучков, которое существенно ослабляет влияние тепловой нелшейнооги, инерционной по своей природе. При этом кубическая нелинейность может стать не только конкурентоспособной, но и доминирующей. В такой ситуации принципиальный интерес представляет сояэтопгат? рсягм прохождения светового пучка через нелинейную среду, при котором действие геиловоЯ нелинейности играет роль воамущения. Распределение поля в солито-ноподобном волновОдном канале. описывается пплряиптппм возмущенного вида

1Ег- = е« 1,

где £ - безразмерная огибающая, координата х направлена вглубь среды, малый параметр 6 зависит от свойств среды и скорости сканирования. Вычиоления в рамках метода, разработанного в § 17, показывают, что возмущение приводит к уменьшению угла наклона между направлением волноводного канала и осью 7, оез изменения амплитуды солктона, причем чем больше амплитуда, тец больше укаушюз изменение угла. Кроме того, имеет место разевал модуляция огибняией и "запэзднванке" центра со-лтопа по сравнению о неьоям/текнни случаем. Наблюдается такдо слабое иеккхенне дср:л: распределения поля.

Особенностью ргог.г.етршшых ранее спектральных задач с мат-ркпшли 2к2 является наличие определениях аналитических свойств у решениГ. ;,оота. Ситуация кардгнальио меняется пра переходе к мелкие!нь: 1 уравнениям со сиекгралышма задачами большей матричной размерности. В этом случае среди решений Йоста моху г при-и,утчч.т;:0ить нрличкш без определенных оьойетв вн^мтичности. Поскольку теория дгнпя для полигонов в разгаюс-мш подходе существенно использует" аналитичность, то возникает вопрос о построении соответствующего аппарата при наличии спектральной задачи с высшими матричными размерностями. В § 19 на примере уравнений трехволнолого рзатглолействия покзг^но, что при условии привлечения дополнительной спектральной задач;;, естественным образом связанной с исходной, удается полностью перенести

19

'на рассматриваемый случай методы теории возмущений в подходе' задачи Римана.

В § 20 приведена формулировка теории возмущений для солито-нов в терминах 3-задачи, которая активно.используется для решения (2 + 1)-мернЫх нелинейных уравнений. Показано, что в таком подходе поправки к оолитонному решению также находятся без фактического использования интегральных уравнений» Полученные здесь результаты можно рассматривать как предварительный шаг к построению теории возмущений для многомерных солитонов.

Пятая глава посвящена применению развитых в предыдущих главах методов к некоторым задачам нелинейной оптики.

В § 21 рассмотрено прохождение солитонного импульса по нелинейному градиентному световоду о учетом слабой регулярной неоднородности по продольной координате и диссипации. Найдены аналитически параметры солитона и поправки к его форме, из которых следует, что возмущение Не влияет на движение центра солитона и сохраняет его локализованность, но приводит к фазовой модуляции и уменьшению амплитуды.

В § 22 построена теория возмущений для полученных в.главе 3 уравнений Максвелла-Блоха для резонансно-керровоких сред. Ранее было отмечено (Э.А.Маныкин, А.И.Маймиотов, 1983), что предложенные нами уравнения Максвелла-Блоха для комбинированных нелинейных сред применимы также для описания прохождения солитонного оптического импульоа по нелинейному одномодовому ове-товоду, содержащему примесь резонансных атомов. Здесь также возникает необходимость согласовывать частоту света с параметрами волновода. Данное условие является достаточно жестким, однако его можно обеспечить, варьируя частоту световой волны в пределах неоднородно уширенной линии резонансного перехода. При этом возникает вопрос о воздействии рассогласования, возникающего, в частности, из-*за погрешностей в определении характеристик вещества, на процесс прохождения импульса по световоду. Математически нарушение указанного условия можно трактовать как возмущение интегрируемой системы, что при условии его малости позволяет воспользоваться теорией возмущений для солитонов. При этом возникает необходимость модификации построенного в § 17 аппарата теории возмущений Для солитонов, пооколь-

ку требуется учесть воздействие на среду излучения, испускаемого солитоном под действием возмущения. Такая модификация проявляется в изменении уравнения эволюции матрицы рассеяния и соответствует тому, что после прохождения импульса на все атомы возвращаются в исходное (нижнее) состояние. Возцущешше уравнения Максвелла-Блоха шеи вид

(14)

Здесь d„- параметр, равный отношению длины резонансного поглощения к дисперсионной длйно при условии выполнения указанного выше условия согласования, 6 и £рг - малые параметры, отвечающие вариациям линейной и нелинейной составляющих показателя преломления при варьировании частоты импульса. Вычисления показали, что малое отклонение от условия согласования оставляет неизменной амплитуду оолитона. Кроме того, вариация только линейной части показателя преломления сказывается на скорости солитона, тогда как оба вида возвдщения дают свой вклад в фазовую модуляцию. Найдена поправка к форме первоначально не возмущенного солитона, которая приводит к слабому нарушению симметрии огибающей. Искажение форм! солитона может происходить, з зависимости от параметров системы, как в пределах начальной ширины импульса, так и с некоторым превышением ее, однако в любом случае сохраняется локалпзован-ность возмущенного солитона. Вычислена спектральная плотность мощности излучения pik) солитоном линейных волн (Рис. I). Зависимость от волнового числа к существенно немонотонная -имеются два ярко выраженных максимума, отвечающих излучению вперед и назад. Вне максимумов функция pik) экспоненциально убывает.

В рассмотренньх выше случаях предполагалось, что керровс-кая нелинейность безынерционна. В § 23 проанализирована более общая (и более реалистичная) оитуация в предположении, что керровская нелинейность обладает слабым инерционным эффектом,

обусловливащим возмущение интегрируемой системы. Математически задача сводится к рассмотрению уравнений Максвелла-Блоха

(10), причем уравнение (10а) содержит возмущение вида1е|Е1хЕ; 6« 1 и малый параметр 6 зависит от времени релаксацки, которое характеризует слабый инерционный эффект нерезонансной нелинейности, Такой тип возмущений не влияет на амплитуду со-литона, однако приводит к существенной фазовой модуляции огибающей, зависящей от Z3 »

Наконец, в § 24 описана общая ситуация возмущения солитона уравнений Максвелла-Блоха для резонансно-керровской среды. Общность выражается в том, что матрица возмущений R (см. (13)) зависит не только от огибающей солитонного импульса, как прежде, но также от поляризации и разности населенноотей. Тем не менее и для такого вида возмущения Предложенный аппарат теории возмущений для солитонов оохраняет сврю эффективность и позволяет вычислить основные характеристики возмущенной системы. В качестве конкретного примера приведены результаты расчетов для нелинейной среды типа неодймового отекла.

В приложения вынесены некоторые математические подробности.

В заключении содержатся Некоторые предложения о возможности использования полученных в работе результатов.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах;

1. Doktorov E.V. Prolongation structure without prolongation // J. Phya. A. - 1930. - V. 13. - No. 12. - P. 3599-3604.

2. Докторов E.B. Нелинейные эволюционные уравнения и соответствующий им класс калибровочных полей. - В кн.; Теоретико-групповые методы в физике (Т. 2). - М.: Наука, I960. - 0. 323-329.

3. Власов Р.А., Докторов Е.В. К теории неоднородных уединенных волн в нелинейной оптике. - В кн.: Ковариантные методы в теоретической физике. Оптика и акустика. - Минск: Ин-т фи-

■ зики АН БССР, 1981. - С. 94-101.

4. Власов Р.А., Докторов Е.В. Оптические солитоны в резонанс-но-керровских средах // Тез. докл. II Воео. конф. по световому эху и когерентной спектроскопии. Казань, 1981. - С. 33.

5. Докторов Е.В. Об ассоциированной линейной задаче для уравнений самоиндуцированной прозрачности // Весц1 АН БССР, сер. ф1з. - 1981. - Jé 6. - С. 68-91.

22

6. Власов P.A., Докторов E.B. Неоднородные оптические солито-

ны в резонансно-керровских средах // ДАН БССР. - 1982. -Т. 26. - № 4. - С. 322-324.

?. Doktorov E.V>, Vlaaov H.A. Optical aolltona in media with resonant and non-resonant aelf-focuaing nonlinearitiea // Optica Acta..- 1983. - V. 30. - No. 2. - i. 223-232.

8. Докторов B.B. Сигма-модель, ассоциированная с уравнением Эрнста. - В кн.: Теоретико-групповые методы в физике. (Т. 2). - 1,1.: Наука, 1983. - С. 376-381.

9. Doktorov E.V., Tarakanov A.N. Sigma model for Ernst equations Lax representation, Bäcklund transformation and di-vergenes~free currents ff Int, J, Theor. Phys. - 1984. -V. 23. - Ко. 3. - P. 449-459.

10. Власов P.A., Докторов E.B., Цурко В.А. Численное решение задачи о распространении световых импульсов в среде с резонансной и нерезонансной нелинейностями. - В сб.: Вычислит. .методы и матем. моделирование. — М.: Ин-т прикл. ма-

. тем. АН СССР, 1984. - С. 163-164.

11. Doktorov E.V.| Tarakanov A.N. Bäcklund transformations for atatio axially-aymmetric aelf-dual SU(N) gauge fields // Lett. Math. Phya. - 1905. - V. 9. '- Ho. 1 . - P. 59-64.

12. Doktorov E.V. A oigna model associated with the Erri3t equation. - In: Group Theoretical Methods in Fhyaica (V. 1). - Harviood Aoad. Publ., 1985. - i. 435-448.

13. Докторов B.B. Некоторые геометрические и групповые методы в теории вполне интегрируемых нелинейных уравнении. - 3 кн.: Теория групп, гравитация и физика элементарных частиц (Тр. ФИАН, Т. 167). - М.: Наука, 1986. - С. 214-231.

14. Докторов Е.В., Тараканов А.Н. О композиции параметров преобразований Беклунда для уравнений самодуальности полей Яиго-йпллса // Becitl Ail БССР, сер. ф1з- 1586. - " 3. -С. III-I13.

15. Докторов Е.В. Скрытая симметрия уравнений самодуальности для статических аксиально-симметричных калибровочных полей. - В кн.: Теоретико-групповые методы в физике. (Т. I). -

м.: Наука, 1986. - J. 341-346.

16. Докторов Ы.В., Тараканов А.Н. Нелинейный принцип суперпозиции и векторная параметризация групп Ли. - В кн.: Аова-

23

риантные методы в теоретической физике. - Минск: Кн-т зики АН БССр, 1983, - С, 19-23,

17. Doktorov B.V. Select geometric and group jnathads in the theory q£ complexly integrable nonlinear eqliqtiona. -Ins Group theory, Gravitation and Elementary Particle Physics. - Kova Science Publ,, 19a?. - Г. 279-293,

18. Докторов E.B., Милрванов M.B. О связи между уравнениями Эйнштейна-Макййелла и уравнениями оамодуальнооти для калибровочных волей // Теор, мат. физ» - 1988» - Т. 75. -№ 3. - С. 388-395. . .

19. Власов P.Aí, Докторов Е.В. О квдзисолитопнх в реэойаноно-керровоких средах // ДАН БССР, - 1688. - Т. 32. - ft 9. -С. 790-793. ■

20. Докторов Ё.В., Тараканов А.Н, 0 генерировании солитонных решений уравнений самодуольности для калибровочных полей.

- В кн.: Современный групповой анализ. - Баку: Ин-т прякл. матем. АН СССР, Ин-т матем. и механ. АН АзССР, IS89. - 0. 87-93.

21. Власов Р.А., Докторов Е.В. Оптические солитоны в резонанс-но-керровских средах в присутствии возмущения // Тез. док. 1У Всес. конф. по световому эху и когерентной спектроскопии. Куйбышев, 1989, - С. 51.

22. Doktorov Б.V., Vlaaov R.A. Optical eolitona in media with oopibtned resonant and non-reaonant (cubic) nonlineatitiea in the presence of perturbations // J. Mod. Optics. - 1991.

- V. 38. - Ho. - 1. - P. 31-45.

23. Doktorov E.V., Prokopenya I.N. On higher-order corrections in sollton perturbation theory // Inverse Probl. - 1991. -V, 7. - No. 2. - P. 221-230.

24. Doktorov E.V, Prokopenya I.H., Vlaaov R.A. Quaai-soliton light-beam propagation in media with combined cubic and thermal, nonlinearities // Phys. Lett. - 1991. - V. A157. -Nos. 2-3. - P. 181-184.

25. Докторов E.B., Прокопеня И.Н. Распространение и излучение солитона в резонансном нелинейном световоде // ЖЭТФ. -1991. - Т. ЮО. - 8 ID. - С, II29-II39.

26. Doktorov Б.V., Prokopenya I.N. Algebraic version of the soliton perturbation theory. - Ini Group Theoretical Methods

in Physics (beet. ¡Jotes in Phya., V. 3B2). - Springer-Ver-los, 1S9T. - P. 29Ф-253.

27, Oektorov E.V. The '.-nhlqu i a t-Ез tnbrook atruofcurs nnü infinite-dimensional bis algebras. - Ins Öymraetriea and Algebraic Otructureo in Fhvf lea (Ггоо, IBth Int. Coll, on Group Thoor, HethO'ltí i'i Thy£.10.1). - Hew STcrcs Kovo Soteno» ,

28. Докторов E.B., ПрекэпРил lí.íl. Oo яж^пш солктсил г< градиентном световоде в присутствии возмущения // ДАН БССР. -

В кн.: Ковариантные методы в теоретической физике. -

wiMunü« i/tu—ф muiuitu им »441 — Г* . па—

¿ü . докторов a.b., йрокспеня и.Н. задача гимаиа и возмущенный солятон уравнений трехволнового взаимодействия. - В га.: Ковариантные методы в теоретической физике. - Минск: Ин-т физики АН БССР, 1991. -С. 69-73.

31. Власов P.A., Докторов Б.В., Прокопеня И.Н, Оптические со-литоны в комбинированных нелинейных средах. - Минск, 1991.

- 27 с. (Препринт / fe-т физики АН БССР: № 631).

32. Doktorov E.V. Soliton perturbations r.nd apsctral tranB-C... i. - Tu« TirtPl.1 in ?neor. i-nyr. - Hit.¿k, IrS? (Vr-iprliit / In.it. Hi v.,., /.cari. ;3oi. Be i una: ó'-1(.t>).

- >'. 11-13.

Рис. I. Зависимость спектральной плотности мощности

излучения солитоном линейных волн от волнового числа.