Интегрируемые поверхности и симметрии конечнозонных решений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

«в

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА имени В.А. СТЕКЛОВА

На. правах рукописи УДК 517.9

БАБИЧ Михаил Васильевич

ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ПОВЕРХНОСТИ И СИММЕТРИИ КОПЕЧНОЗОПНЫХ РЕШЕНИЙ

01.01.03— математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации яа соискацие ученой степени доктора фи з п м ате м атич ее х их наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1995 г.

Работа выполнена, в С.-Петербургском отделении Математического Института имени В.Л.Стеклова Российской Академии Наук

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ —

доктор физико-математических наук профессор

доктор физико-математических наук профессор

доктор физико-математических наук профессор

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ — Институт математики Сибирского Отделения РАН

Защита состоится "¿2.» ру/оНЛ 1995 г, в ! Н часов на заседании специализированного совета Д 002.38.04 Санкт-Петербургского отделения Математического Института имени В.А.СтекловаРоссийской Академии Наук в С.-Петербургском отд. Ма^ тематического Института РАН но адресу: 191011, Санкт-Петербург, наб. Фонтанки, д. 27.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПОМИ: Санкт-Петербург, наб. Фонтанки, д. 27.

Автореферат разослан " (А." УИ/Ъ^Ц 1д95 г

Изергин А.Г Итс А.Р. Доброхотов С.Ю.

Учёный секретарь специал1рир< доктор физ.-мат. наук ! 4Л»"

щровацпого совета,

Осколков А. П.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Хорошо известно, что применение нетрадиционных для данной области математики методов даёт порой замечательные результаты и толчок к созданию нового научного направления. Так было в 70-х годах с применением алгебраической геометрии в, казалось бы, столь далёкой от неё теории дифференциальные уравнений в частных производных (ко-нечнозонное интегрирование); так произошло и в 90-х, только роли поменялись, и, уже метод обратной задачи позволил "продвинуться" в такой разработанной области классической геометрии, как теория двумерных поверхностей и теория сетей.

История уравнения, называемого теперь Sine-Gordon, уходит в XIX век. Насколько известно автору, впервые оно появилось в работе Эннепера. в 1878. Потом это, и многие другие уравнения, хорошо знакомые специалистам в области обратной задачи и носящие современные названия, стали постоянно появляться в работах геометров конца XIX - начала XX века.

В то время необходимый для исследования этих уравнений математический аппарат ещё не был создан, и многие вопросы, связанные с обсуждаемыми уравнениями, оставались открытыми вплоть до нашего времени.

"Исторически сложилось'1, что после открытия метода обратной задачи, основное внимание исследователей было сосредоточено на задачах математической физики и смежных с ней вопросах. В геометрии же - "колыбели" уравнения Sine-Gordon, метод обратной задачи был применён совсем, недавно - в конце 80-тых.

Первым было уравнение, называемое в диссертации s/i-Laplace 1: Au — —4shu.

Хорошо известно, что ему удовлетворяет метрика, индуцированная на плоскости параметров поверхностью постоянной (ненулевой) средней кривизны, Толчком к современным исследованиям таких поверхностей послужила знаменитая работа Венте1, в которой построены примеры торов постоянной средней кривизны и тем самым опровергнута гипотеза Хопфа, утверждавшая, что единственной компактной поверхностью постоянной средней кривизны в R3 является сфера. Работы Сима, У .Пинка-ля, И.Стерлинга и А.И.Бобенко посвящены дальнейшему исследованию этих поверхностей. Отдельно хочется отметить исследования А.И.Бобенко, в которых существенно используются достижения метода обратной задачи.

Заметим, что в основе новых результатов в этой области лежит изучение дополнительных симметрии у объектов, связанных с интегрируемыми уравнениями — периодичности Ф-функции, голоморфных и антиголоморфных автоморфизмов соответствующей римановой поверхности и.т.п. . Всвязи с этим особенно интересным становится приложение нового метода к к задачам., связанным с более сложными, чем sin-Gordon или s/i-Laplace 1 уравнениями.

Цель диссертационной работы — Целью диссертации является применение и разработка метода конечнозонного интегрирования, а также приложение его к задачам геометрии и математической физики. В круг рассматриваемых задач входит построение (вещественных) конечкозошшх решений всех вещественных реализаций уравнения Sine-Goidon:

1) Du = sin и — уравнение sin-Gordon (1)

2) Du — sh и — уравнение s/i-Gordon (2)

'Wentç, H.C. CounUraamplc io a conjecture о/ Н.Иор!, Pacific J.of Math., 121:1, (1086), 193-211.

3) Пи = ch.u — уравнение eft-Gordon (3)

4) Д и = sin и - - уравнение stn-La.place (4)

5) Д и = —sh и - — уравнение sh-Laplace 1 (5)

б) Д и = sh и — уравнение .«ft-Laplace 2 (6)

7) Д и — ell и —; уравнение eft-Laplace, (7)

исследование гладкости полученных решений и построение решений с физически интересным множеством сингулярностей -решётками вихрей - для уравнения Ди = sin и.

Кроме уравнения Sine-Gordon в диссертации рассматриваются ещё два уравнения: эллиптическое уравнение Ц и цен ко2 (10), а так же уравнение Форди-Гиббонсг (11).

Общая методика. В работе используются методы алгебраической геометрии, теории интегрируемых систем, теории поверхностей, сетей, а также теории вещественных римановых поверхностей.

Научная новизна и практическая ценность. В диссертации получены условия вещественности конечкозонных решений для (3-7). Исследована гладкость этих решений. Там, где они существуют, найдень: несингулярные компоненты множества решений. Построены общие коиечяозонпые решения уравнений Цидейко (10) и Форди-Гиббоиса (11); рассмотрены простейшие примеры. Построены поверхности постоянной средней кривизны в пространстве Лобачевского. Найдено аналитическое выражение для общих'торов Уиллмора и классифицированы все конем нозоипые торы Уиллмора. Построены решения уравнения sm-Laplace с решетками особенностей типа вихрей.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах Петербургского Отделе- И mí »т.де oí-parKcíí задачи тм я ühk.iiií», иль уръяренн?

пия МИ РАН, во время "Лобачевского семестра" в Международном Математическом Институте им. Л.Эйлера 1993, на международных симпозиумах и школах в Калининграде 1991, Монреале 1994, Черноголовке 1994, а так же на научных семинарах им. Г. Петровского (Москва) 1994, Техническом университете Берлина 1992, Университета Лейпцига 1992, 1994, Курантов-ском Математическом Институте (Нью-Йорк) 1994, Университета Кларксек (Потсдам,<ЗЦ1А) 1993, 1994.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в печатных работах, список которых приведён в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, 8-ми Глав, списка Литературы на 6 страницах и 2-х Приложений на 13 страницах. Общий объем диссертации составляет 16страницы машинописного текста, включая 17 ригунков на 9 страницах.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отмечена актуальность выбранной темы, дан краткий библиографический обзор, сформулирована цель работы, описан метод исследования и анонсированы основные результаты.

Глава I является, no-существу, вводной. В ней определены основные объекты теории конечнозонного интегрирования, введены обозначения, приведены и доказаны формулы, которые используются на. протяжении всей работы.

Глава II посвящена исследованию вещественности решений уравнений типа Sine-Gordon. Там изучаются свойства решения "комплексного" уравнения Sine-Gordon в зависимости от типа

с

антиголоморфной инволюции, действующей на, соответствующей римановой поверхности. Оказывается, что при должном выборе параметров решение, построенное по любой вещественной поверхности, имеет постоянной либо вещественную, либо мнимую часть. Это означает, что нетривиальная часть со-ответсвующей функции удовлетворяет одной из 7 возможных "вещественно-различных" реализаций Sine-Gordon. Интересным также представляется тот факт, что для каждого из 7 уравнений нашелся свой (непустой) класс вещественных конеч-нозонных решений.

Заметим, что на вещественной (т.е. с антиинволюцией г) гиперэллиптической поверхности всегда существует еще одна (по крайней мере) антиинволюция - сг/,г, где егд, - гиперэллиптическая инволюция. В нашем изложении мы рассматриваем их отдельно, т.е. каждую риманову поверхность мы должны исследовать дважды. В некоторых случаях, которые мы оговариваем особо, для каждой из двух антиияволюций можно выбрать свой базис циклов на Г так, что формулы, описывающие их, будут идентичны, так что оба исследования проводятся одновременно:

Выпишем формулу для решения Sine-Gordon:

QMZ(x, у)) fft л Y „ * , А

и - 2 og---- ... < д • д > 4-2тгг < ¿ц Д2 >

beld + A/2](Z(x,y)) 2 Ь 2

Чтобы функция и давала вещественные решения уравнения с гиперболической функцией в правой части достаточно, чтобы мнимая часть « была постоянной; отсюда условия:

Q[d\(z) = constiQ[d\(Z)

ЩГ+'Л/2]Щ = const2Q[d + &/2}(Z)

Распорядимся параметрами d, D следующим образом: tD = D и, следовательно, rZ = Z\ rd ==—</.

г

Пусть базис циклов на Г {а ; Ь} выбран так, что образом а-циклов является линейная комбинация а-циклов:

та = аТ ; тЬ= -ЬТт + аФ (8)

Воспользуемся результатами Главы I и выпишем уравнения на вектор d. Пусть d =[ ^ ], тогда

(TT- I)d1^ 0 ; (Т + I)d2 + <Mi = 0 (9)

di 6 d2- l-diag{$T)T € l-Z9

Утверждение. Если параметры d\, ¿2 € Rtf удовлетворяют (9), то мнимая часть функции и(х, у) постоянна (не зависит от х, у).

В зависимости от типа поверхности и расположения выделенных точек Роо,Ро — существенных особенностей Ф-функции, все поверхности разбиваются на 6 классов. Каждый класс исследуется отдельно — на, нём выбирается базис циклов, исследуется действие антиинволюции, вычисляются величины, необходимые для применения формул, выведенных в Главе I. Прежде всего выясняется, как выбирать локальные параметры в окрестностях Роз, Ро, чтобы аргумент 0-функции — вектор Z(x,y) лежал на вещественной относительно г части якобиана. Проведённые вычисления показывают, что в каждом случае имеется только один способ выбора этих параметров (с точностью до вещественных замен). Напомним, что каждую поверхность мы рассматриваем два раза; один раз ищется Z, симметричный относительно одной антиинволюции, назовём её г, второй раз — относительно 07,7". Далее ищется вектор D - отображение Абеля от дивизора полюсов ф-функции.

В итоге, для каждого из 7 уравнений, указал тип поверхности и значение параметров, дающих вещественные решения.

Особенно хочется упомянуть пункт2.2;3, посвященный уравнению сЛ-Ьар]асе. В нем фигурирует весьма экзотичная поверхность, не имеющая ни вещественных, ни мнимых овалов. В Приложении к первой главе показано, что накрытие С5, на котором однозначна Ф-функция, соответствующая вещественному решению c/i-Laplace, не является вещественной римановой поверхностью (соответствующий антиголоморфный автоморфизм имеет порядок 4).

В Главе III исследуется гладкость полученных в Главе II решений. Все уравнения исследуются с единых позиций. Там, где они существуют, найдены несингулярные компоненты множества всех решений.

Наиболее интересны особые точки решений sin-Laplace; возле особой точки и выглядит как "функция"3 4 arg(ai-Ht/) =• 4arctg!L (хк у - вещественные координаты на плоскости) и описывает вихри намагниченности т.е. поведение вектора намагниченности в окрестности точки, обходя вокруг которой вектор делает четыре полных оборота.

Метод исследования сингулярностей следующий. Как известно, любой вектор из С, в частности аргумент ^-функции Z(x, у) момсло представить в виде Z = *4(3)) - Ярх, где 3) = Q{x\ у)

- дивизор, зависящий от "физических переменных" х, у, Яр^

- вектор римановых констант, Рто - начальная точка отображения Абеля. По теореме Римана в-фуякция имеет ноль, а решение, соответственно, сингулярность, если одна из точек 23 оказывается в точке Poo, или две точки 3) оказываются "одна

3В фкэичесхях приложениях решение уравнения f in-Laplace часто интерпретирует« »'U: угол я определено с точность» до 2т

над другой" - переставляются гиперэллиптической инволюцей. Учитывая, что в формуле участвуют две в-функции, аргументы которых смещены на [Д/2] = Л{Ро), мы получим условие на сингулярность в терминах 20. Для каждого из уравнений (1-7) вектор 2, кроме того, удовлетворяет условию вещественности, которое тоже можно переписать в виде условий на дивизор 5). Решение уравнения имеет сингулярность, если оба эти условия совместны.

Прежде чем переходить к следующим главам, вернёмся немного назад. В Главе II вещественные решения уравнений выделялись следующим образом: рассматривалась вещзственная риманова поверхность; на ней, удобным образом, выбирался базис циклов и выписывалось решение в ©-функциях, после чего, используя формулы Главы I, выяснялось, при каких значениях параметров решение удовлетворяет тому или иному симметрий-ному ограничению. Данная схема, по-видимому, наиболее удоб: ная для исследования гиперэллиптических поверхностей, оказалась неэффективной для уравнений Цицейко (Глава IV) и Форди-Гиббонса (Глава V), связанных с негиперэллиптическими поверхностями. Основная трудность заключается в том, что для негиперэллиптических поверхностей отсутствует регулярный способ выбора базиса циклов с "хорошими" симметрийными свойствами. (Для формул Главы I - это требование, чтобы при действии автоморфизма, образы а-циклов выражались только через а-циклы.)

В Главах IV и V исследование проводится по другой схеме. Рассмотрение идёт на уровне Ф-функции. На существенные особенности и дивизор полюсов накладываются условия, обеспечивающие совпадение "преобразованной" (автоморфизмом, действующим на поверхности) и исходной Ф-функций. В зависимо-

ю

сти от автоморфизма, конкретных условий на дивизор полюсов и существенные особенности, получаются решения нелинейных уравнений с теми или иными свойствами.

В Главе IV исследуется так называемое эллиптическое уравнение Цицейко (Буллоу - Додда - Жибера - Шабата)4

Аи = еи ~ е~2а . (10)

В первом параграфе описан класс риыановых поверхностей, обладающих двумя дополнительными симметрияыи. На поверхностях из этого класса решения уравнений цепочки Тода удовлетворяют (10).

Наиболее интересной, с точки зрения автора, является второй параграф этой главы. Дело в том, что, обычно, "практическая" ценность решений построенных по негиперэллиптическим кривым невысока из-за исключительной сложности участвующих в формулах обьектов, делающих практически невозможным исследование решений. Поверхности, ассоциированные с уравнением Цицейко, к сожалению, попадают в этот класс, поскольку трёхлистное разветвлённое накрытие Сд (а. именно они связаны с (10)), вообще говоря, поверхность негиперэллиптическая.

Однако, иногда удается найти гиперэллиптическую поверхность, удовлетворяющую тем или иным экзотическим требованиям. Именно такой пример - поверхность, которая двулистно накрывает комплексную плоскость Сг, т.е. является гипчрэлли-птической и, в то же время, трёхлистно накрывает Сд, причем точки А = 0 и А = оо являются точками ветвления третьего порядка, разобран в §2.

4Коаечнозйш<ые решена* "гиперболического" (шесте оаератора Лаплас« стоят волновой тера-*°Р) Уришеява Цшк&ко, связаялого с ряманивынл поверхностями с другим тяпок симметрии, ис-спедив&пись в работе: Черданлев И.,Шар]сиов Р.,Конечнозокны* решено* урлвнемнх Бцлоу-Двддй-Живера-ШШта, ТМФ, 82:1 (1990), 155-160.

И

В Главе V исследуется уравнение Форди-Гиббонса:

Ли = |е"| - с" , (11)

в свете приложения к построению Уиллморовых поверхностей (смотри страницу 15). Это уравнение совпадает с известными уравнениями для двумеризованной цепочки Тода 52х„

£ ~ ехр!1» ~ ^п-х) ~ ехр{г„+1 - агя} (12) со следующими редукциями:

• ¿2 = х-гу

З-п+4 = хп = —Ж_п+1 + С0П5< ~ —1 •

Уравнение(11)получим, положив 1о ^ 11°ё X; а:х = |1о§-ДГ~1; х2 = Ь X; х3 = *1оё X"1

Для удовлетворения редукций рассматривается поверхность Г, которая является разветвлённым четырёхлистным накрытием комплексной плоскости (это позволяет получать решения Тоды с периодом 4 по "п") и двумя дополнительными автоморфизмами - голоморфным <г и антиголоморфным г. Доказано, что при естественных предположениях относительно т и <т, Г является вещественным разветвлённым накрытием над гиперэллиптической кривой, что является основой для дальнейших исследований, в частности, для классификации конечнозонных торов Уиллмора. Здесь же найдены условия на остальные параметры конечнозонного решения - дивизор £0 и локальные параметры И 1/оэ. ч

Глава VI. Получение вещественных конечнозонных решений уравнения еЛ-Ьар1асе (см. Главу И) позволило построить

класс поверхностей постоянной средней кривизны Я < 1 в пространстве Лобачевского Н3. Изложим идею метода5, позволяющего строить искомые поверхности, используя Ф-функцию соответствующей Лаксовой пары.

Сделаем это на примере поверхностей постоянной средней кривизны в пространстве Лобачевского [4]. Пусть поверхность F задана функцией /:

R2 Э (г; у) —+ f(x, у) € Н3 С R3,1 ,

осуществляющей параметризацию поверхности точками (х; у)-плоскости.

С каждой точкой / поверхности свяжем матрицу Ф, строками которой являются векторы /, п, (п - единичный век-

тор нормали). Строки Ф образуют базис R3,1 и, следовательно, строки матрицы ^Ф могут быть по нему разложены. В матричной форме это можно записать в виде:

Фж = Í/Ф , где U - 4 х 4 матрица

Аналогично Фу = УФ.

Таким образом, с поверхностью !F мы связали матричнознач-ную функцию Ф, удовлетворяющую системе ("лаксовой паре" — после введения в неё спектрального параметра)

Ф* = £/Ф (13)

В теории поверхностей система (13) называется уравнениями Гаусса-Вейнгартена. Матрицы U, V (элементы которых состоят,

sSjm Л. Soliion ßurfactt onj Ihcir application* (Sohlen feamttj-y from ifecint prvlltmt), Lrct.Notei in Phjr«. - T.239, "Springer", 1#es, 154-231; Bobenlo AJ. Finite-§ap wnitant meo« <urtit«re <ori in IR and S. LOMI, preprint B-J-Í9. I,., tm.

как легко видеть, из коэффициентов фундаментальных форм поверхности /*) удовлетворяют условию совместности

иу - Ух + [(/; V] = 0 , (14)

называемому в геометрии уравнениями Гаусса-Петерсона.-Кода-нни. :■■''.

Нетрудно показать (классический результат), что если Т-поверхность постоянной средней кривизны II < 1 в Н3, то, при должном выборе параметризующих переменных х,у , система (14) сводится к уравнению сЛ-Ьар!а.се на функцию и: и{х\у) 1ой(< (I/; <1/ > /с1хйу) - метрику, индуцированную поверхностью на (х\ у)-нлоскости.

Итак, мы имеем представление уравнения с/1-Ьар1асев виде условия совместности (13), причём само решение системы - матрица у) представляет даже больший интерес, чем решение нелинейного уравнения — функция и(х\у), поскольку первая строка Ф является функцией Да:, у), задающей нашу поверхность.

Мы знаем, как представить сй-Ьар1асе в форме (13) - это представление Лакса. Воспользовавшись тем, что конечнозон-ное интегрирование вместе с и - решением нелинейного уравнения "поставляет" и ф-функцию, удаётся получить ответ -функцию / в явном виде - в терминах Э-функций.

В Главе VII реализация этого метода позволила получить интересные результаты не только в теории поверхностей, о которых уже было сказано, но и в теории сетей — некогда популярном разделе, геометрии, созданном, в основном, в XIX веке в работах Г. Дарбу, С. Ли, Бьянки и др.. После бурного перисща, связанного с именами геометров немецкой школы -Эйзенхарта, Бляшке, и др. и прерванного второй мировой войной, теория

и

сетей становится немодной, хотя и развивается некоторыми наручными школами6. Последние работы по теории сетей посвящены вопросам, далеким от рассматриваемых в диссертации. В Главе VII мы отталкиваемся, в основном, от работ Бляшке и Томсена, посвященных ортогональным сетям на сфере. В диссертации построены два класса (связанных с уравнениями sh-Gordon и сЛ-Gordon) обменных сетей. Это первые, насколько известно автору, нетривиальные примеры сетей данного типа.

Глава VIII посвящена конструированию так назывемых У ил-лморовых поверхностей - экстремалей функционала W\

W{F) = \lr{k\ + kl)ds (15)

£1,2 - главные кривизны Т.

Мы представим формулы для погружения Уиллморовой поверхности в терминах решения линейной системы (в 4 X 4 матрицах) с дополнительным ("спектральным") параметром Л. В некоторых специальных случаях (когда ^ является тором) эта система становится известной парой Лакса для двумеризован-ной цепочки Тода с двумя редукциями — теми, что изучались в Главе V.

В первой части Главы VIII выписаны уравнения Гаусса-Веин-гартена (ГВ) для конформного Гауссова образа произвольной поверхности в S3 (или, что то же самое, для поверхности в R3 — конформные Гауссовы образы поверхности в М3 и ее стереографической проекции в S3 совпадают). Мы увидим что возможно поместить добавочный (спектральный) параметр в систему (ГВ). Далее рассмотрен случай Уиллморовых поверхностей; предъявлены формулы для торов Уиллмора в терминах

^Подробна* библиография приведена D обзоре Баэыде&д B.T.: о многомерных cemxx u U1 пре-oipalotaHiu*., "Итоги Hjjuh. Гмиетри.' 196,1. "ВИНИТИ АН СССР", М. 1965.

^-функции Лаксовой пары.

В Приложении I классифицируются и исследуются 3-зон-ные решения уравнения sin-Laplace. Особое внимание уделяется исследованию периодичности и сингулярностей. Особенности построенных двояко-периодических решений образуют решётки вихрей на плоскости физических переменных (х,у). Решения с такими свойствами имеют интересные физические приложения в теории ферромагнетизма, сверхтекучести (Абрнкосоп-ские вихри) и сверхпроводимости. Особо отметим двояко-периодическое решение с правильной б-угольной ("пчелиные соты") решёткой вихрей, переходящее в себя при повороте на 27г/3.

В Приложении II исследуются два класса поверхностей для которых выполнены все условия Глав V и VIII, атак же найден вектор D - параметр, входящий в аргумент тета-функции (чем доказана нетривиальность построенной теории — непустота обсуждаемых множеств); в результате предъявлены два семейства Уиллморовых поверхностей.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКО-ВА Н Ы В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

1. Бабич М .В. Вещественные конечнозонныс решения уравнений типа Sine-Gordon , Алгебра и Анализ, 2(1990), 6373.

2. Бабич М.В. Гладкость вещественных копечнозопных решений уравнений типа Sine-Gordon. , Алгебра и Анализ, 3(1991), 57-66.

3 Бабич М.В. Вещественные конечнозонные решения уравнения ch-Gordón., Математические Заметки, 1991, v. 50, 3-9.

4. М. V. Babich. Constant Mean Curvature H < 1 Surfaces in Hyperbolic Space, Preprint TU Berlin No 316 (1992).

5. M. V. Babich and L. A. Bordag. The Three Phase Solutions of the Sine-Laplace Equation, Leipzig University, 11, (1992).

6. M. V. Babich and A. Bobenko. Willmore Tori with Um-bilic Lines and Minimal Surfaces in Hyperbolic Space, Duke Mathematical Journal, Vol. 72, (1993), 151-186.

7. M. V. Babich. Willmore surfaces, 4-Particles Toda Lattice and Double Coverings of Hyperelliptic Surfaces, Institute for Nonlinear Studies, 249, Clarkson University (1994).

8. M, В. Бабич , E. С. Гутшабаш , В. Д. Лиловский, А. В. Рыбий, М. А. Салль и А. О. Смирнов. Теория Солито-нов и некоторые аспекты слабой сверхпроводимости, веб. "Высокотемпературная сверхпроводимость", 1990, Издательство ЛГУ.

Подписано к печати 15.05.95 Заказ 215 Тираж 100 Объем I п.л. ГШ СПГУ

199034, Санкт-Петербург, наб. Макарова,6.