Интерполяционная задача Абеля-Гончарова тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

я - го

{у « уг , .

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им.Н.Э.БАУМАН А

На правах рукописи

Андриянов Геннадий Иванович

ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ЗАДАЧА АБЕЛЯ — ГОНЧАРОВА

Специальность 01.01.01 — "Математический анализ"

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Научный руководитель

доктор физико - математических наук,

профессор В.А.Осколков

Калуга — 1998

СОДЕРЖАНИЕ

I —

ВВЕДЕНИЕ ......................................................4

1. ПРОСТРАНСТВА СХОДИМОСТИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ НЕКОТОРЫХ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ЗАДАЧ И СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ, СВЯЗАННЫЕ С НИМИ 22

1.1. Квазистепенная базисность некоторых функциональных систем.......................... 22

1.2. Пространства сходимости интерполяционной задачи Абеля - Гончарова для некоторых видов узлов интерполяции ............................ 37

1.3. Пространства единственности интерполяционной задачи Абеля-Гончарова..................... 44

2. РЕШЕНИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОЙ ЗАДАЧИ АБЕЛЯ-ГОНЧАРОВА ДЛЯ НЕКОТОРОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ УЗЛОВ ИНТЕРПОЛЯЦИИ 58

2.1. Пространства единственности интерполяционной задачи Абеля-Гончарова для узлов интерполяции Ап =

п + (-1)пт, п = 0,1,..., т £ К.............. 58

2.2. Пространства единственности интерполяционной задачи А-Г для узлов интерполяции Хп = п + (—1 )пт, п =

0,1 ,...,т £ С . . . ...................... 64

2.3. Решение задачи Абеля-Гончарова для узлов интерполяции Хп = п+ (-1 )пт, те с............... 71

3. ПРИНЦИП ДВАЖДЫ СИММЕТРИЧНЫХ МНОЖЕСТВ, ПРОСТРАНСТВА СХОДИМОСТИ И ЕДИН-

СТВЕННОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОЙ ЗАДАЧИ

ТИПА АБЕЛЯ-ГОНЧАРОВА 80

3.1. Принцип дважды симметричных множеств и полнота некоторых систем аналитических функций....... 80

3.2. Пространства единственности симметричной задачи типа Абеля-Гончарова................... 93

3.3. Решение симметричной интерполяционной задачи типа Абеля-Гончарова ....................104

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ...................................122

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация посвящена интерполяционной задаче Абеля-Гончарова (А-Г) для целых функций конечного порядка одного переменного. Задачей А-Г называется задача в теории функций комплексного переменного, состоящая в нахождении всех функций из некоторого класса, удовлетворяющих соотношениям:

^(Лп) = ап, п = 0,1,2,... (0.1)

где {ап}^=0, {Ап}^=0 - допустимые для данного класса последовательности комплексных чисел. Числовая последовательность {Ап}^0 называется последовательностью узлов интерполяции.

Задача А-Г давно привлекает внимание специалистов по теории функций комплексного переменного, ею занимался еще Абель в прошлом веке. В 30ж годах ее рассматривали С.Н. Бернштейн, А.О. Гель-фонд, В.Л. Гончаров. Далее ею занимались Э. Уиттекер, С. Макин-тайр, М.М. Джрбашян, И.И. Ибрагимов, М.А. Евграфов. В 60ж - 70ж годах эту задачу рассматривали Ю.А. Казьмин, В.А. Осколков и другие (см.[1], [9-13], [15,16], [18],[20], [22,23], [27-30]).

Первоначально предполагалось, что решение задачи А-Г даст возможность эффективно изучать распределение нулей производных целых функций. Однако, вскоре оказалось, что задача А-Г очень трудна и вопросы приложения полученных результатов отошли на второй план. И в настоящее время состояние теории здесь очень далеко от законченного. Все это вполне оправдывает интерес к задаче А-Г.

Прежде чем переходить к существу вопроса, приведем известные определения и обозначения, которыми будем постоянно пользоваться.

Пусть И — односвязная область с односвязным дополнением СБ до всей расширенной комплексной плоскости С2, оо ^ И. А{И) — пространство функций f(z), регулярных в I), с топологией равномерной сходимости на компактах из X). Символом Ал обозначаем пространство А(\г\ < К). Через А^(СО) обозначаем пространство функций д(г), д(оо) = 0, регулярных на СИ, с топологией, индуцированной топологией сопряженного пространства, которое, как хорошо известно, может быть реализовано в виде пространства А{В).

Пусть Ф(^) произвольная целая фиксированная функция:

оо ^

= Е—0 < \тп\ < оо, га = 0,1,2,...

п=0 тп

и Е{г) — функция вида

ОО /ч _

Пг) = £ —гп : Нт |6П|» < оо. ¿отп

Функции Р{г) можно поставить в соответствие функцию д(г) по правилу

п=0 *

Функция д(называется Ф — ассоциированной с Р(г). Соответствие -Р(-г) —> д{называется обобщенным преобразованием Бореля.

Хорошо известно, что обобщенное преобразование Бореля является взаимно однозначным и справедливо представление

Ж = (0.2)

где д(Ф,Р',г) Е Ао(СХ)), Г — любой замкнутый жордановый спрямляемый контур, такой,что д(Ф, Р] г) — аналитическая на еж ¿Г и Г.

Заметим, что через тЬТ и ехЬТ обозначаем "внутреннюю" и "внешнюю" открытые области на которые Г разбивает плоскость Си, т.о

Щ = ШТ и Г и еж£Г, ШТ П ехЬТ = 0, оо е ехЬТ.

Пусть функция д(г) регулярна в окрестности бесконечно удаленной точки, д(оо) = 0, д(г) ф 0 и д{г) остается регулярной в некоторой области куда она может быть продолжена аналитически вдоль

прямых, соединяющих точки 2 = оо, 2 = 0.

Область 0\ - замкнутое (компактное) множество точек, содержащее все особые точки функции (7(2), будем обозначать

= зиррд(г).

Через А{Ф,1)) обозначаем пространство функций представи-мых в виде (0.2), с топологией индуцированной топологией сопряженного пространства, которое можно реализовать в виде А(Б). Когда

Ф(;г) = ехрг, получаем пространство А(ехр, Д), которому соответствует классическое преобразование Бореля. Через А(Ф,С) обозначаем пространство функций ^(г), представимых в виде (0.2), для каждой из которых функция д(Ф, Л*1; 2;) регулярна в области СО и д(Ф, оо) = 0. Топология пространства А(Ф,С) задается равномерной сходимостью на замкнутых областях из СС?.

Возвратимся теперь к задаче (0.1). В.Л. Гончаровым и А.О. Гель-фондом было найдено решение задачи А-Г для узлов интерполяции Ап = п, п = 0,1,2, — Было показано, что ряд Абеля

п=0

равномерно сходится на компактах из С к функции Р(г) из пространства А(ехр, О) (см. [6,8]), где область И определяется следующим образом:

В = {г\ \гег+1\<1, \г\<1}.

Кроме того, ими же было установлено, что пространством единственности задачи Абеля является пространство А{ехр, С/), где

и = {г = ре*: 0 < р < \<р\ < тг}, (0.3)

вгщср]

а пространство единственности можно определить как пространство функций А(ехр, £)), такое, что условия Р(г) 6 А(ехр, И) и р(п)(п) = 0, п = 0,1,2,... влекут за собой Р(г) = 0.

В.Л.Гончаровым было установлено, что справедливо следующее утверждение.

Пусть последовательность точек {Ап}^=0 — узлов интерполяции в задаче А-Г удовлетворяет условию

-5(0, п)

lim ! = т < оо, 0 < р < оо,

п-> оо ± ' ~ '

ПР

где 5(0, п) — длина ломаной, соединяющей точки Ао, Ai,... An_i, т.е

71—1

S(0,n)= £ |Аг/ — A„_i|.

V=1

Тогда всякая целая функция F{z) порядка, меньшего чем р, либо порядка р и типа а , удовлетворяющих условию

рсгтр < щр(1 + где щ — положительный корень уравнения

ujpexp(l + uj) = 1, может быть представлена интерполяционным рядом А-Г

F(z) = t F{n)(K)Pn(z), (0.4)

71=0

равномерно сходящимся на любом компакте из С, где {Pn(z)}^L0 полиномы Гончарова (см. [8]).

Некоторого усиления результатов В.Л.Гончарова достиг И.И.Ибрагимов (см. [15]).

Наиболее точные результаты в задаче А-Г получил М.А.Евграфов (см.[12,13]), который рассматривал задачу А-Г для частного случая узлов интерполяции

\п = Пр1(п), lim п1-Н = 0. (0.5)

V " Т1 уоо /(п) У )

В этом случае узлы интерполяции обладают двумя, существенными для доказательства свойствами.

1. {Ап}£°=0 — лежат на положительном луче, исходящем из начала координат.

2. An+i > А„, при п > n0 G N.

Для этого случая М.А. Евграфовым установлено, что интерполяционный ряд А-Г (0.4) сходится абсолютно и равномерно к интерполируемой функции в любом конечном круге, если только функция выбрана из некоторого класса целых функций, который нельзя расширить.

Результат М.А Евграфова был уточнен В.А. Осколковым (см. [27,28]). Далее, им же было получено решение задачи А-Г для случая быстро возрастающих узлов интерполяции (см. [25]).

Диссертация состоит из трех глав. Первая глава содержит три параграфа.

В первом параграфе рассматривается квазистепенная базисность некоторых систем функций, а затем ниже, результаты о квазистепенной базисности применяются к интерполяции (схема от базиса к интерполяции).

Пусть И — односвязная область, с односвязным дополнением С В до всей расширенной комплексной плоскости С2, оо 0 И. Ниже нам потребуется следующее

Определение 0.1. Система функций {/п}^=о С А(В), полна в пространстве А(-О), если замыкание ее линейной оболочки в топологии пространства А(В) совпадает со всем А(О).

Пусть ии = - однолистная функция, регулярная в И,

(И^(0) = 0, И^О) = 1), отображающая область И на круг |гу| < Л, а г = ф(т) — функция, обратная к т = Односвязная компо-

нента, содержащая начало координат, на которую функция г = ^(ги) отображает круг |ги| < />, 0 < р < Л, обозначим через (О = Дд).

Определение 0.2. (М.Г. Хапланов) Система функций о С А(Дк) образует квазистепенной базис (КС-базис) в пространстве А(Дд), если любая функция f(z) Е может быть представлена рядом

оо

/М = X «п/п(^),

п=0

сходящимся в топологии пространства А(Дд), таким, что

1

1

Нш |ап|» < — (0.6)

П—ОО1 Л

и обратно, любой ряд

оо

X ап/п(г) п=О

с коэффициентами, удовлетворяющими условию (0.6), сходится в топологии пространства А(Да). Единственность представления гарантирована условием (0.6).

В первом параграфе доказывается КС-базисность системы функций вида

и1{г"*"ехр[(пр + * + о (0.7)

«=о

в пространстве .А(Дя), где

Dr = {z: \zez\ < R, Rez > -1}, DRcU, 0 < R < Rp(aQ, ah ..., ap_i),

{a.s-}?=o — произвольный фиксированный набор комплексных чисел, а i?p(ao,ai, ...,ap_i) = a»o). Здесь cuq — расстояние от начала

координат, до ближайшего к нему нуля определителя

det(aM)J~L0 = Ap(w; a0, au ..., ap_i), (0.8)

27Г i

oik,s = \ksexp(asi/j(w\k))} X = exp(-),

P

z = ф{и]) — функция, обратная к w = zez, p > 1, p 6 N (теорема 1.1).

Рассматриваются некоторые случаи выбора последовательности {«s}s=o ? числа р и возникающие при этом оценки величины Rp. Например

Теорема 1.2. Пусть р, р > 1 - фиксированное натуральное число, {а^}^ - последовательность натуральных чисел вида: clq = 0, ai = 1, a>2 = 2, ..., = р — 1, тогда система функций

р-1

и{^+5еЖр[(пр + 2ф]}-0 (0.9)

5=0

образует КС-базис во всяком пространстве A(Dr), где 0 < i? < при 1 < р < 8; либо R < при р > 8 (число ыо определено выше).

Далее в первом параграфе главы 1 рассматривается один из вариантов следующей задачи.

Пусть система функций {fn(z)}^= 0 С A(Dr) образует КС-базис в пространстве A(Dr). Спрашивается, насколько можно изменить

коэффициенты Тейлора в разложении /п(-г), п = 0,1,2,..., чтобы свойство КС-базисности для подобным образом модифицированной системы о сохранилось?

Для решения этой задачи потребовалось следующее

Определение 0.3. Числовая последовательность {Ьп}^= 0 принадлежит классу В(Дк), 0 Е Дд, если выполнены два условия.

оо

1. Функция X) ЬпгпГп такова, что Ур1 Е (0, Л), Эр Е (0, К) :

п=0

оо

Бирр X) ЪпхпГп С

п=0

при любом фиксированном г Е дПР1.

ОО 2

2. Функция т-^^-71 такова, что УА Е (0, Л), ЗАх Е (0, Л) :

71=0 "П

ОО 1 _

зирр £ -*»ГП С С1) л,

п=0 Уп

для любого фиксированного £ Е дО\1.

Определение 0.4. (см. [24]) Функция Е(г) называется целой функцией нулевой степени, если порядок ее, либо строго меньше единицы, либо равен единице, но тогда тип ее обязан равняться нулю. Теоремы 1.3, 1.4 дают ответ на поставленный выше вопрос.

Теорема 1.3. Пусть заданы:

1) система функций {/пйЗ^о? образующая КС-базис в пространстве А(Дн), такая, что биортогональная с ней система о принадлежит пространству А)(|г:| > 0);

2) функция /(г) = о где числовая последовательность

принадлежит классу В(Вд). Тогда система функций = /г(/, /п; тоже является

КС-базисом в пространстве ^4(Дд) (где /¿(/, — означает ком-

позицию Адамара для /(г) и /п(£), п = 0,1,2,...).

Теорема 1.4. Пусть Ь(г) — целая функция нулевой степени и выполнено одно из условий

Ъ{п) = Ъпф 0, п = 0,1,2,...,

Ь(п) = ^,' п = 0,1,2,----

Тогда числовая последовательность С В (И л).

Во втором параграфе главы 1 рассматриваются приложения результатов о КС-базисности, полученных в первом параграфе, к интерполяционным задачам. Существенно используется критерий КС-базисности В.А. Осколкова (см.[25, 26]) и понятие Ф — регулярной сходимости (см. [25]).

Теорема. (В.А. Осколков) Для того, чтобы система функций {/«(г)}^ о С А{Рв) образовывала КС-базис в пространстве А(Дя), необходимо и достаточно выполнение следующих условий: а) для любого р Е (0, К) справедливо неравенство

п1пп[тах|/пИ|]« <Д, (0.10)

р

б) существует единственная в пространстве Ао(СЛд) система функций С Ло(СДо0), Оро С Дв, биортогональная с сис-

темой {/„}~0 > такая 5 чт0 Для любого фиксированного р Е (0,К) найдется число А = Х(р) Е (ро, В), для которого

1

ТшГГтах КЫП« < -. (0.11)

Пусть заданы (см.[25]) :

а) область Б; б) целая функция Ф(;г); в) система функций

/ = Ш*)}£о С А(Р).

Определим систему линейных непрерывных в А(Ф, И) функционалов равенствами :

Ьпр) = ¿Т /г /»(*)$(*, г) ¿г, п = 0,1, 2,..., (0.12)

где Г С -О, д{Е Ао(СВ), вирр д(Ф,Р;г) С ШТ.

Обозначим через Ф, /) интерполяционную задачу, заданную системой (0.12). Требуется восстановить целую функцию Р(г) Е А(Ф,В) по последовательности чисел

Определение 0.5. Пространством единственности интерполяционной задачи о>(1),Ф,/) называется пространство функций А(Ф,В') (В' С В), такое, что условия Р(г) Е А(Ф,В') и Ьп(Р) = 0, п — 0,1,2,... влекут за собой Р(г) = 0.

Если на систему функций С А(В) в (0.12) наложить

дополнительное ограничение, заключающееся в том, что существует единственная в А$(СВ) система функций {^пМЗ-^оэ биортогональ-ная с {/„(г)}^, т.е такая, что

j—. fT fn(z)<Pk(z) dz = 6nit

2т

{5п,к — символ Кронекера), те, к = 0,1,2,..., Г С В, то можно корректно ввести

Определение 0.6. (см.[25]) Пространство А(Ф,В') (В' С В) называется пространством сходимости интерполяционной задачи со(В, Ф, /), если \/Р(г) Е А(Ф, В') представляется сходящимся в топологии пространства А(Ф, В) интерполяционным рядом

00

П*) = £ Ы^)Рп(г), (0.13)

п=О

где

Рп{г) = ^¡1 Ф(Ьг)срп(Ь)(И, п = 0,1,2,..., Г С В.

Замечание 0.1. Представление (0.13) единственно, поскольку система функций о полна в пространстве А(В).

Определение 0.7. (см. [25]) Говорят, что интерполяционный ряд (0.13) сходится Ф — регулярно в пространстве А(Ф,£)д), если

Й&М^Ж < R

и для любого фиксированного р Е (О , iü) найдется число Л = А(/>) Е (po,R) , для которого справедливо неравенство (0.11).

Определение 0.8. (см.[25]) Пространство А(Ф,Дк) назовем про-

т и V

странством Ф — регулярной сходимости интерполяционнои задачи а;(£),Ф,/), С если УР(г) Е .А(Ф,1)д) единственным образом

представляется Ф — регулярно сходящимся в пространстве А(Ф, 1)д) интерполяционным рядом (0.13).

Из определений 0.6 и 0.8 следует, что если А(Ф, В л) — пространство Ф — регулярной сходимости интерполяционной задачи Ф, /), то .А(Ф,Дк) есть пространство сходимости этой задачи. Обратное неверно.

В этом же параграфе доказываются теоремы об условиях представимости функции Р(г) интерполяционным рядом вида (0.13) (теоремы 1.6-1.8), описывающие пространства Ф — регулярной сходимости некоторых интерполяционных задач.

В теоремах 1.9-1.11 описываются пространства сходимости интерполяционной задачи А-Г, для некоторых конкретных видов узлов интерполяции, отличных, в общем случае, от узлов интерполяции вида (0.5).

Например, пусть задана последовательность узлов интерполяции вида:

А п = п + трп, п = 0,1,2,..., (0.14)

где г,(г £ С) — произвольное число, {/эп}^10 — неубывающая (или невозрастающая) при п > ТУо, действительная последовательность рп = о(п), п —> оо.

Теорема 1.9. Пусть Вр = {г : \гег\ < р^Яег > —1}. Справедливы следующие утверждения.

1. Каждое пространство А(ехр, 0 < р является пространством ехр — регулярной сходимости любой интерполяционной задачи А-Г, определяемой последовательностью узлов интерполяции (0.14).

2. Если Р(г) Е А(ехруОг), 0 < г < ^ и на дВг расположена хотя бы одна особая точка функции д(ехр,Р;г), то

Ит| ^П>(п + 77>п)|* = г.

3. Если Р(х) — спРп(%), где Рп(г)1 п = 0,1,2,... - полиномы Гончарова с узлами интерполяции (0.14) и {сп}^10 последователь-

ность комплексных чисел такая, что

т—I I1 1

то Р(г) Е А{ехр,Ог) и на сШг лежит хотя бы одна особая точка функции д(ехр, Р; г).

В третьем параграфе главы 1 рассматриваются пространства единственности решения задачи А-Г. Конкретно рассматриваются пространства единственности решения задачи А-Г для узлов интерполяции

А П = п + а(п), (0.15)

где а(п) = 5, п = кр + я, 0 < з< р — 1,р > 1 ,р 6 14, & = 0,1,2,... (задача сходимости для этого вида узлов была рассмотрена в параграфе 2 главы 1).

Здесь существенно используется общая проблема моментов Ю.А.Казьмина (см.[17]). Сначала доказывается более общий результат (теорема 1.12), который затем применяется для описания более конкретных пространств единственности интерполяционной задачи А-Г с узлами интерполяции (0.15). Подробно рассматриваются случаи р = 1 ,р = 2, и р > 3 в (0.15). Это лемма 1.1 и теорема 1.13. Заметим, что для случая р = 1, полученные результаты примыкают к результатам А.О. Гельфонда [6,7], В.Л. Гончарова [8].

При р = 2, полученные результаты сильнее полученных ранее в [1], а при р > 3 пространства единственности не были описаны ранее. Теоремы 1.15, 1.16 описывают пространства единственности задачи А-Г при р > 3 (см. [43,44]).

Приведем характерный результат

Теорема 1.13. Пространство А(ехр, и\Ь) является пространством единственности интерполяционной задачи А-Г с узлами интерполяции (0.15), при р = 2, где область II определена равенством (0.3). Здесь Ь — разрез вдоль положительной части действительной оси

от точки го, ZQ это единственный положительный корень уравнения гехр( 1 + г) - 1, 20 = 0,2784....

Аналогично формулируются результаты для р > 3. Показано, что в некоторых случаях полученные результаты не могут быть улучше