Максимальные пространства сходимости и единственности некоторых классов интерполяционных задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Сопряженные интерполяционные задачи в пространствах целых функций.

§1 Основные положения.

§2 Доказательства теорем.

Глава 2. Представление целых функций экспоненциального типа рядами Тейлора с переменным центром.

§1 Случай произвольного распределения узлов интерполяции в единичном круге и на отрезке.

§2 Случай Ап = п.

Глава 3. Интерполящ?&дная задача Абеля — Гончарова с медленно растущими узлами.

§1 Разложимость целой функции в ряд Абеля - Гончарова в терминах регуляризованного радиального индикатора

§2 Разложимость целой функции в ряд Абеля - Гончарова в терминах расположения особых точек Ф -ассоциированной функции.

Диссертационная работа посвящена некоторым интерполяционным задачам в пространствах целых функций.

Введем некоторые определения, которые будут использоваться на протяжении всей работы.

Пусть I) — открытая односвязная область в комплексной плоскости С, не содержащая бесконечно удаленной точки, с односвязным дополнением СИ до всей расширенной плоскости С; И — замыкание области I). Обозначим через А(Б) пространство функций, регулярных в I), с топологией равномерной сходимости на произвольных компактах из D. Если D — конечная область, то пространство функций, регулярных на D, обозначим через A(D). Топология задается равномерной сходимостью в какой-либо замкнутой области, содержащей D строго внутри.

Через Aq(CD) обозначим пространство функций, регулярных на CD и обращающихся в нуль на бесконечности. Топология Aq(CD) задается равномерной сходимостью в какой-либо замкнутой области, содержащей CD строго внутри.

Если область D — конечна, то через Ao(CD) обозначим пространство функций, регулярных в CD и равных нулю на бесконечности, с топологией, определяемой сходимостью на замкнутых областях из CD.

Всюду в дальнейшем, не оговаривая этого специально, через т = будем обозначать последовательность комплексных чисел, обладающих свойствами: то = 1, 0 < \тп\ < оо (п = 1,2,.), lim |mn|1//n = оо. n—f оо

М)

С последовательностью т будем связывать целую функцию оо п

Обозначим через А(Ф, D) (или А(Ф, D)) пространство целых функций

00 7п

F{z) = У>п — (lim |6n|1/n < оо), n=0 n таких что функции оо (0.2) п=0 принадлежат пространству Ао(CD) (соответственно, Aq(CD)). Топология пространств А(Ф,Б) и А(Ф,£>) индуцируется топологией соответственно сопряженных с ним пространств и A(D).

Связь между функцией д(Ф, F; z) (которая называется Ф - ассоциированной с F(z)) и F(z) носит название обобщенного преобразования Бореля. Классическое преобразование Бореля соответствует функции Ф(я) = exp(z) (см., например, [5], [25]). Кроме того, если тп > 0 (п — 0,1,2,.) и mn/mn+i \ 0 (п —у 0), то Ф(ж) является функцией сравнения (см. [12]). Свойства пространств А(Ф, D), А(ФУВ) хорошо известны (см., например, [7], [10]). В частности, имеет место интегральное представление I (0.3) г где Г — замкнутый жордановый контур, соднржащий внутри себя все особые точки функции д(Ф, ¿).

Нам потребуется общий вид линейного непрерывного функционала Ь, лействующего в прстранствах А(Ф,Г>),

А{ Ф,Г>).

Из [5], [10] известно, что /Ш^Р-,')^, (0-4) Г где ¡(г) Е А(Б), Г С В (соответственно, /(г)еА(В), Г С И), Г содержит все особенности д(Ф, .Р; г).

Пусть нам (на любом из пространств А(Ф, £)) или А(Ф, И)) задана система линейных непрерывных функционалов удовлетворяющая условиям

Ьк(гт) = 0, к > ш, к,т = 0,1,2,. (0.5) и

Ьк(гк) = 1, А; = 0,1,2,. (0.6)

Систему функционалов такого рода будем называть интерполяционной системой функционалов соответствующего пространства.

Заметим, что условиями (0.7) каждый полином Рп(г) степени точно п определяется единственным образом и в силу (0.5), (0.6) коэффициент при хп равен единице.

Также и функционалы Ь^ определяются через полиномы Рп(г) с помощью (0.7) единственным образом. Но не каждая система {Рп(х)}определяет функционалы как линейные и непрерывные. Только в случае линейности и непрерывности {Ьк}^ будем называть полиномы — интерполяционной системой полиномов в соответствующем пространстве.

Интерполяционная задача состоит в восстановлении функции Р(г), принадлежащей Л(Ф,1)) или А(Ф,-0), по заданной последовательности где {¿/с}^ — интерпо

Интерполяционной системе функционалов {Ьк}^ поставим в соответствие систему полиномов с помощью условий биортогональности:

0.7) ляционная система функционалов.

Иной способ постановки интерполяционной задачи заключается в задании интерполяционной системы полиномов {Рп(г)}™.

Поставим произвольной целой функции Е{г) в соответствие формальный ряд оо

0.8) п=0 который называется интерполяционным рядом функции

Пространство А{Ф, Б) такое, что любая функция Е(г) £ А(Ф,-0) представляется сходящимся в топологии А(Ф,1)) рядом (0.8) назовем пространством сходимости интерполяционной задачи.

Пространство А(Ф, Б) такое, что условия: Р(г) Е А(Ф,И) и Ьп(Е) = 0 (п = 0,1,2,.) влекут за собой тождество Р(г) = 0 называется пространством единственности интерполяционной задачи.

Соответствующие пространства можно определить и для функций из А(Ф,1)).

Очевидно, что если какое-то пространство является пространством сходимости, то оно представляет собой пространство единственности.

В общей постановке задача выделения пространств сходимости и единственности является мало обозримой. Известны лишь (см., [1], [10], [8]) двойственные связи между интерполяцией с одной стороны и полнотой и базисностью систем {Ln (Ф(^))}°° с другой стороны. * о

Теорема А. Пространство А(Ф, D) тогда и только тогда является пространством единственности интерполяционной задачи, заданной интерполяционной системой функционалов , когда система функций {Ln (Ф(£,г)) t о является полной в пространстве A(D).

Теорема В. Пространство А(Ф,И) тогда и только тогда является пространством сходимости интерполяционной задачи, заданной интерполяционной системой функционалов {Ln}^, когда система функций {Ln (Ф(^))}°° является t о базисом в пространстве A(D).

Теоремы А, В позволяют переносить результаты о полноте и базисности в область интерполяции, но и здесь имеются лишь отдельные результаты, далекие от общей теории (см., [18], [21]).

Настоящая диссертация не претендует на создание общей теории интерполяции; в ней рассматриваются лишь некоторые новые классы интерполяционных задач.

В главе 1 вводится определение сопряженных относительно данной матрицы интерполяционных задач и рассматриваются два класса таких задач.

Если А = (а>п,к)пк=ъ — нижнетреугольная матрица с единицами на главной диагонали, то А может задавать в каких-либо пространствах одновременно две интерполяционных задачи. Первая получается, если задать интерполяционную систему функционалов, положив = о>п,к (п,к = 0,1,2,.). Вторая — задав интерполяционную систему полиномов, положив Рп(г) = ^о° ап,к%к (п,к = 0,1,2,.). Эти задачи можно назвать сопряженными относительно матрицы А и обозначить, соответственно, со и ш.

Если ввести класс матриц -А(А), у которых п ™п л п—к \ 7 а>п,к = Рп-к-Лп , п £ /с,

771}с

Лщк = о, п < к, (п,к = 0,1,2,.), где фиксированная последовательность обладает свойствами (М), последовательность (также фисированная) такова, что

00

А> = 1, Нт |/Зп|1/та = О, п—>■ оо 1 а произвольная последовательность комплексных чисел Л = 6 Л Е {А : |АП| ^ 1,п ^ 0}, то можно рассмотреть два класса интерполяционных задач, которые представляют собой множества задач си (Л) и &(А), сопряженных относительно матриц А(А).

Интересно отметить, что, несмотря на сильное отличие этих классов, максимальные пространства сходимости и единственности у них совпадают.

Пространство сходимости (единственности) А(Ф, И) является максимальным, если любое пространство где Э I), не является пространством сходимости (единственности). Соответственно, для класса интерполяционных задач пространство будет максимальным пространством сходимости (единственности), если это пространство максимально для всех задач этого класса.

Главным результатом главы 1 является теорема о том, что максимальным пространством и сходимости и единственности для обоих рассматриваемых классов будет пространство А(Ф,{|;г| < УУр}), где = Нт 7й1/пп—>оо

Последовательность {7п}о° зависит лишь от последовательности {0п}о° и не зависит от последовательности

7п-к = 1—-—г тах \Ьп-к,о\ (п ^ к, п, к = 0,1,2,.).

Здесь является матрицей, обратной к А(Х).

Один из рассматриваемых в главе 1 классов содержит интерполяционную задачу о представлении целой функции экспоненциального типа рядом Тейлора с переменным центром: оо

0.9) тг=0 где произвольная последовательность комплексных чисел А = {Ап}0°° е Л.

Ю. А. Казьминым в [11] приведено утверждение, что пространства А(ехр,{\г\ ^ сг}), 0 < а < \¥, где И^ — известная константа Уиттекера, 0, 7362 < IV < 0, 7378 (см. [21], [27]), и пространства А(ехр, {\г\ < сг}), 0 < а ^ Ш образуют пространства сходимости рассматриваемой задачи для VA 6 Л. А также, что существует последовательность А* £ Л, для которой пространство А(ехр, {|г;| ^ W}) и пространства А(ехр, {\z\ < сг}), У а > W не являются пространствами сходимости.

Из результатов главы 1, как следствие, для интерполяционной задачи (0.9) получается существование последовательности А* Е Л, такой что пространство А(ехр, {\z\ ^ И7"}) и пространства А(ехр, {\z\ < сг}), Ver > W не являются даже пространствами единственности рассматриваемой задачи.

В главе 2 настоящей работы строится, в явном виде, биортогональная система функционалов для задачи (0.9), при этом последовательность А считается произвольной. А именно, = ^(1 +XX J dzx J dz2. J dzs,

As + k As + k-1 Afc-(-1 где fk(z) = Ln (Ф(tz)) (k = 0,1,2,.).

В главе 2 также находятся максимальные пространства единственности и сходимости для задачи (0.9), когда Ап = п, (п = 0,1,2,.).

Максимальным пространством единственности для такой задачи является пространство A(exp,D), где D — область в комплексной плоскости z (z = гег(р), ограниченная кривой Г = (\ф\ < 7г).

Всюду в дальнейшем, через Dr (Dr Э 0) будем обозначать односвязную область, которая отображается функцией w = ip(z) {ф{0) = 0, ^'(0) = 1), регулярной и однолистной в Dr, на круг {|ги| < R}. При этом, через Dr (Dr С Dr, 0 < г ^ R) обозначим образ круга {|ги| < г} при отображении z = '0-1(k;), где ф~г (,01(О) = 0) — функция, обратная к w — ip(z).

Максимальным пространством сходимости рассматриваемой задачи является пространство A(exp,Di/e) (ip{z) = zez).

Этот результат уточняет исследование О. Перрона (см. [28]), доказавшего следующее утверждение.

Функция F(z) экспоненциального типа а тогда и только тогда представляется рядом оо

F(z) = + „)», lim \ап\1/п < (0.10) z—' п\ п—юо е п=О когда о удовлетворяет неравенству: а < х, где х — корень уравнения xex+1 = 1, ж = 0,278.

Также, в главах 1 и 2 рассмотривается квазистепенная базисность систем функций вида i/n(t) = Ln (Ф(^))}°°, в о пространствах A(\t\ < R).

Определение. Система {fn{z)}о° образует квазистепенной базис (КС-базис) в A(DR), R > 0 (см. [24]), если V/(z) € A(Dr) представляется (единственным образом) сходящимся в топологии A(Dr) рядом

СХЭ f(Z) = ^2Xnfn(z) о таким, что lim la^l1/77, < R, n—>оо и, обратно, если последовательность {жп}о° удовлетворяет предыдущему неравенству, то ряд f(z) = xnfn{z) сходится в топологии A(Dr).

Для проверки КС-базисности используется критерий, данный в [19].

Критерий КС-базисности. Для того, чтобы система {/п(^)}о° образовывала квазистепенной базис в A(Dr) необходимо и достаточно выполнение двух условий:

1) дляУг € (О, Я) lim Гmax \fn{z)\]1/n < Щ п-юо zeDr

2) 3 С Ao(CDrx), Ri < R, система биортогональная с единственная в Aq(CDr) и такая, что для каждого фиксированного р Е (О,R) Зр, = р(р) G (R\, R) такое, что lim n—>oo max \g(z)\ z^CDy,

1 1/n l P

В главе 3 рассматривается разложимость целых функций в интерполяционный ряд Абеля - Гончарова оо

F(z) = ^F^(l(n))Pn(z), (0.11) п=О где функция I является медленно растущей, т. е. удовлетворяющей условиям:

I t +0О (X ->• оо), xl'(x) lim —V" = 0. 0.12 ж-»+оо i[x)

Для случая l(x) = In (ж + 2) вопросы сходимости ряда (0.11) рассматривались в работах [10], [17].

В работе [17] В. А. Осколковым доказаны следующие теоремы. Пусть оо к=1

Теорема 1. Если последовательность узлов интерполяции {Ап} удовлетворяет условиям: д ß(n) lim ----^ = га, lim -=-7— = w(0<ra<oo,0<w<oo), (In Ti) (In Ti)

0.13) то любая целая функция F(z), бесконечного порядка р (0 < р < оо) и нормального типа разлагается в равномерно и абсолютно сходящийся в любом конечной области ряд Абеля - Гончарова оо

Xn)Pn(z), (0.14) n=0 если для функции hp(ip) = тах < 0, lim lim írpln(ln+ тах \F(reie)\)] <*->-+0 r-^-oo \6-4>\<a выполнено неравенство min \m2 + [hF(p)} 2/p - 2m cos <p[hf{(p)]

Теорема 2. Если {Án} удовлетворяет условиям (0.13), то любая целая функция F(z) = anzn бесконечного порядка р (0 < р < оо) представляется равномерно и абсолютно сходящимся в любом конечном круге рядом Абеля

- Гончарова (0.14), если функция J^c? an[ln(n + 2)]n^pz~n~1 регулярна вне какой - либо ограниченной замкнутой подобласти полуплоскости Re z < ^.

Теорема 3. Если {Ап} удовлетворяет условиям (0.13), то ряд Абеля - Гончарова, формально составленный для целой функции оо

Ф,(*о*) = £ [1п(п + 2)}~п/%nzn, п= О не сходится абсолютно и равномерно ни в каком конечном круге \z\ < R, при любом фиксированном таком что -L;<Ret0<±.

В работе [10] И. И. Ибрагимовым была доказана теорема, результаты которой применимы к изучаемой в главе 3 задаче (0.11).

Теорема. Еслип(г) есть число точек последовательности s(n), находящихся внутри отрезка [0, г], то при выполнении неравенства

1пшах < С(0)п{0г), где С (в) < 1п 0 <9 < функция Р(г) представляется рядом (0.14), сходящимся абсолютно и равномерно в любом конечном круге.

Из теоремы И. И. Ибрагимова, в главе 3, выводится лемма о сходимости (0.11) в терминах определяемого там же I - типа функции Р(г). А также, доказываются две теоремы, обобщающие первые два результата В. А. Осколкова на случай произвольной медленно растущей функции. В частности, справедливо следующее утверждение. Любая целая функция Р(г) разлагается в равномерно и абсолютно сходящийся в любом конечном круге ряд Абеля - Гончарова оо

ПО = 5>(п> «"))«.(*),

71=0 если ее Ф - ассоциированная функция д(Ф,.Р;£) регулярна вне какой - либо ограниченной замкнутой подобласти полуплоскости Ие £ < |.

Аналог теоремы 3 В. А. Осколкова для произвольной медленно растущей функции получить не удалось. Доказан более слабый результат.

Ряд Абеля - Гончарова, формально составленный для целой функции не сходится абсолютно и равномерно ни в каком конечном круге {\г\ ^ Я} при любом фиксированном ¿о таком, что |*о| < 1, | <йе го

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [29], [30] и [31].

Автор выражает глубокую признанательность д. ф.-м. н., профессору В. А. Осколкову и д. ф.-м. н., профессору А. М. Седлецкому.

1. Банах С. Курс функционального анализа, Кшв: Ра-дянська школа, 1948.

2. Бибербах Л. Аналитическое продолжение, М.: Наука, 1967.

3. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей, М.: Гостехиздат, 1952.

4. Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения функций, М.: Гостехиздат, 1954.

5. Евграфов М.А. Интерполяционная задача Абеля -Гончарова, М.: Гостехиздат, 1954.

6. Евграфов М.А. Метод близких систем в пространстве аналитических функций и его применения к интерполяцииТруды московского матем. общества. 1956. Т. 5. С. 89 -201.

7. Евграфов М.А. Основные понятия интерполяции целых функций, М.: Институт прикладной математики АН СССР им. М.В.Келдыша, препринт №20, 1975.

8. Евграфов М.А. О сходимости одного класса интерполяционных задач, М.: Институт прикладной математики АН СССР им. М.В.Келдыша, препринт №89, 1978.

9. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции, М.: Наука, 1979.

10. Ибрагимов И.И. Методы интерполяции функций и некоторые их применения, М.: Наука, 1971.

11. Казьмин Ю.А. Возмущенные многочлены Аппеля и ассоциированные с ними системы функций // ДАН СССР. 1985. Т. 282. т. С. 19 22.

12. Казьмин Ю.А. Сравнения функций // Мат. энциклопедия. М.: Советская энциклопедия. 1985.

13. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа, М.: Наука, 1981.

14. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций, М.: Гостехиздат, 1956.

15. Маркушевич А.И. О базисе в пространстве аналитических функций //Матем. сборник. 1945. Т. 17. №2. С. 211 252.

16. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций, Т. 1,2. М.: Наука, 1967 1968.

17. Осколков В.А. Задача Абеля Гончарова для целых функций бесконечного порядка // Сибирский матем. журн. 1975. Т. 16. т. С. 75 - 85.

18. Осколков В.А. О полноте и квазистепенной базисно-сти систем {znf(Xnz)} // Матем. сборник. 1989. Т. 180. т. С. 375 384.

19. Осколков В.А. Об одном критерии квазистепенного базиса и его применении // Матем. заметки. 1990. Т. 48. т. С. 72 78.

20. Осколков В.А. О базисности некоторых полиномиальных систем в пространствах целых функций экспоненциального типа // Серия матем. 1993. Т. 57. №3. С. 179 -191.

21. Осколков В.А. Свойства функций, заданных значениями их линейных функционалов. Дисс. д. ф.- м. н. М.: МГУ, 1994.

22. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции, М.: Наука, 1985.

23. Фридман Г.А. Медленно возрастающие функции и их приложения // Сибирский матем. журн. 1966. Т. 7. №5. С. 1139 1160.

24. Хапланов М.Г. Матричный признак базиса в пространстве аналитических функций // ДАН СССР. 1951. Т. 80. №2. С. 117-180.

25. Boas R.P. Entire function, 1954.

26. Gontcharoff V.L. Recherche sur les derivées successives des fonctions analytiques. I. Généralisation de la serie d'Abele // Ann. École Norm. 1930. V. 47. P. 1 78.

27. Macyntyre S.S. An upper bound for the Whittaker constant // London Math. Soc. J. 1947. V. 22. P. 305 -311.

28. Perron 0. Über Bruwiersche Reihen // Math. Z. 1939. V. 45. P. 127 141.Публикации автора по теме диссертации

29. Шаповалов А.И. Интерполяционная задача Абеля- Гончарова с медленно растущими узлами / / Материалы Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам: Ломоносов. Выпуск 4. Москва. 2000. С. 341.

30. Шаповалов А.И. Представление целых функций экспоненциального типа рядами Тейлора с переменным центром / / Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докл. 10-й Сарат. зимней школы. Саратов. 2000. С. 153 154.

31. Шаповалов А.И. Сопряженные интерполяционные задачи в пространствах целых функций // Матем. заметки. 2000. Т. 67. №4. С. 616 628.